U sljedećem ispitne stavke želite pronaći opseg lika prikazanog na slici.

Možete pronaći opseg oblika različiti putevi... Možete transformirati izvorni oblik tako da se opseg novog oblika može lako izračunati (na primjer, idite na pravokutnik).

Drugo rješenje je traženje opsega slike izravno (kao zbroj duljina svih njegovih stranica). Ali u ovom se slučaju ne možete osloniti samo na crtež, već na temelju podataka problema možete pronaći duljinu segmenata.

Želim vas upozoriti: u jednom od zadataka, među predloženim odgovorima, nisam pronašao onaj koji sam dobio.

C) .

Pomaknite stranice malih pravokutnika s unutarnje na vanjsku stranu. Kao rezultat toga, veliki je pravokutnik zatvoren. Formula za pronalaženje opsega pravokutnika

U ovaj slučaj, a \u003d 9a, b \u003d 3a + a \u003d 4a. Dakle, P \u003d 2 (9a + 4a) \u003d 26a. Do oboda veliki pravokutnik zbroj duljina četiri segmenta crta, od kojih je svaki jednak 3a. Kao rezultat, P \u003d 26a + 4 ∙ 3a \u003d 38a .

C) .

Nakon prenošenja unutarnjih stranica malih pravokutnika na vanjsko područje, dobivamo veliki pravokutnik čiji je opseg P \u003d 2 (10x + 6x) \u003d 32x, a četiri segmenta, dva su x-dugačka, dva 2x- dugo.

Ukupno, P \u003d 32x + 2 ∙ 2x + 2 ∙ x \u003d 38x .

?) .

Prebacimo 6 vodoravnih "koraka" iznutra u van. Opseg rezultirajućeg velikog pravokutnika je P \u003d 2 (6y + 8y) \u003d 28y. Ostaje pronaći zbroj duljina segmenata unutar pravokutnika 4y + 6 ∙ y \u003d 10y. Dakle, opseg slike je P \u003d 28y + 10y \u003d 38y .

D) .

Krenimo segmenti okomite crte od unutarnjeg područja oblika lijevo, do vanjskog područja. Da biste dobili veliki pravokutnik, pomaknite jednu od 4x dugih linija u donji lijevi kut.

Opseg izvorne slike nalazimo kao zbroj opsega ovog velikog pravokutnika i duljine preostala tri segmenta P \u003d 2 (10x + 8x) + 6x + 4x + 2x \u003d 48x .

E) .

Pomicanjem unutarnjih stranica malih pravokutnika na vanjsko područje dobivamo veliki kvadrat. Njegov opseg je P \u003d 4 ∙ 10x \u003d 40x. Da biste dobili opseg izvorne slike, dodajte zbroj duljina osam segmenata, svaki po 3x, na obodu kvadrata. Ukupno, P \u003d 40x + 8 ∙ 3x \u003d 64x .

B) .

Pomaknite sve vodoravne "stepenice" i okomite gornje segmente na vanjsko područje. Opseg rezultirajućeg pravokutnika je P \u003d 2 (7y + 4y) \u003d 22y. Da biste pronašli opseg izvorne slike, dodajte zbroj duljina četiri segmenta, svaki duljine y, na opseg pravokutnika: P \u003d 22y + 4 ∙ y \u003d 26y .

D) .

Prebacimo sve vodoravne crte iz unutarnjeg područja u vanjsko i pomaknimo dvije okomite vanjske crte u lijevom i desnom kutu za z lijevo i desno. Kao rezultat, dobili smo veliki pravokutnik, čiji je opseg P \u003d 2 (11z + 3z) \u003d 28z.

Opseg izvorne slike jednak je zbroju opsega velikog pravokutnika i duljina šest segmenata duž z: P \u003d 28z + 6 ∙ z \u003d 34z .

B) .

Rješenje je potpuno slično rješenju u prethodnom primjeru. Nakon transformacije oblika, pronalazimo opseg velikog pravokutnika:

P \u003d 2 (5z + 3z) \u003d 16z. Opsegu pravokutnika dodajemo zbroj duljina preostalih šest segmenata, od kojih je svaki jednak z: P \u003d 16z + 6 ∙ z \u003d 22z .

Sigurno je svatko od nas u školi poučavao tako važnu komponentu geometrije kao što je perimetar. Pronalaženje opsega bitno je za mnoge zadatke. Naš članak će vam reći kako pronaći obod.

Vrijedno je zapamtiti da je opseg bilo koje figure gotovo uvijek zbroj njezinih stranica. Pogledajmo nekoliko različitih geometrijskih oblika.

1. Pravokutnik je četverokut u kojem su paralelne stranice u parovima jednake. Ako je jedna strana X, a druga Y, tada ćemo dobiti sljedeću formulu za pronalaženje opsega ove slike:

   P \u003d 2 (X + Y) \u003d X + Y + X + Y \u003d 2X + 2Y.

   Primjer rješavanja problema:

   Recimo da je stranica X \u003d 5 cm, stranica Y \u003d 10 cm. Dakle, zamjenjujući ove vrijednosti u našoj formuli, dobivamo - P \u003d 2 * 5 cm + 2 * 10 cm \u003d 30 cm.

2. Trapez je četverokut u kojem su dvije suprotne stranice paralelne, ali nisu jednake jedna drugoj. Opseg trapeza zbroj je svih četiriju stranica:

   P \u003d X + Y + Z + W, gdje su X, Y, Z, W stranice slike.

   Primjer rješavanja problema:

   Pretpostavimo da je stranica X \u003d 5 cm, stranica Y \u003d 10 cm, stranica Z \u003d 8 cm, stranica W \u003d 20 cm. Dakle, zamjenjujući ove vrijednosti u našoj formuli, dobivamo - P \u003d 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm \u003d 43 cm.

3. Opseg kruga (opseg) može se izračunati pomoću formule:

   P \u003d 2rπ \u003d dπ, gdje je r polumjer kružnice, d promjer kružnice.

   Primjer rješavanja problema:

   Recimo da je polumjer r naše kružnice 5 cm, tada će promjer d biti 2 * 5 cm \u003d 10 cm. Poznato je da je π \u003d 3,14. Dakle, zamjenjujući ove vrijednosti u našoj formuli, dobivamo - P \u003d 2 * 5 cm * 3,14 \u003d 31,4 cm.

4. Ako trebate pronaći opseg trokuta, tada možete naići na niz problema s tim, jer trokuti mogu imati vrlo različitih oblika... Primjerice, postoje oštri, tupi, jednakokraki, pravokutni ili jednakostranični trokuti. Iako je formula za sve vrste trokuta:

   P \u003d X + Y + Z, gdje su X, Y, Z stranice slike.

   Problem je u tome što prilikom rješavanja mnogih problema pronalaženja opsega ove figure nećete uvijek znati duljine svih stranica. Na primjer, umjesto podataka o duljini jedne od stranica, možete imati stupanj kuta ili duljinu visine određenog trokuta. To će značajno zakomplicirati zadatak, ali njegovo rješenje neće učiniti nerealnim. Kako pronaći opseg trokuta, bez obzira na oblik, možete pročitati "".

5. Opseg lika poput romba nalazi se na isti način kao i opseg kvadrata, jer je romb paralelogram koji ima jednake stranice. Kako pronaći opseg kvadrata možete saznati čitajući članak na našoj web stranici "".

   Sad znate kako pronaći stranu oboda toga geometrijski oblikšto vam treba!

Dovoljno je saznati duljinu svih njegovih stranica i pronaći njihov zbroj. Opseg je kumulativna duljina granica. ravna figura... Drugim riječima, to je zbroj duljina njegovih stranica. Jedinica mjere za opseg mora odgovarati jedinici mjere za njegove stranice. Formula za opseg mnogougla je P \u003d a + b + c ... + n, gdje je P opseg, ali a, b, c i n su duljine svake stranice. Inače se izračunava (ili opseg kruga): koristi se formula p \u003d 2 * π * r, gdje je r radijus, a π konstantan broj, približno jednak 3,14. Razmotrimo nekoliko jednostavni primjerikoji jasno pokazuju kako pronaći opseg. Uzmimo za primjer figure poput kvadrata, paralelograma i kruga.

Kako pronaći opseg kvadrata

Kvadrat je pravilni četverokut, u kojem su sve stranice i kutovi jednaki. Budući da su sve stranice kvadrata jednake, zbroj duljina njegovih stranica može se izračunati formulom P \u003d 4 * a, gdje je a duljina jedne od stranica. Dakle, sa stranicom od 16,5 cm je P \u003d 4 * 16,5 \u003d 66 cm. Također možete izračunati opseg jednakostraničnog romba.

Kako pronaći opseg pravokutnika

Pravokutnik je pravokutnik sa svim kutovima jednakim 90 stupnjeva. Poznato je da su u obliku poput pravokutnika duljine stranica jednake u parovima. Ako su širina i visina pravokutnika iste dužine, tada se naziva kvadrat. Obično se duljina pravokutnika naziva najvećom od stranica, a širina je najmanja. Dakle, da biste dobili opseg pravokutnika, trebate udvostručiti zbroj njegove širine i visine: P \u003d 2 * (a + b), gdje je a visina, a b širina. Imajući na raspolaganju pravokutnik čija je jedna stranica dugačka 15 cm, a druga široka 5 cm, dobivamo opseg jednak P \u003d 2 * (15 + 5) \u003d 40 cm.

Kako pronaći opseg trokuta

Trokut čine tri segmenta crte koji su povezani u točkama (vrhovima trokuta) koji ne leže na istoj ravnoj crti. Trokut se naziva jednakostraničnim ako su mu sve tri stranice jednake, a jednakokrakim ako postoje dvije jednake stranice. Da biste saznali opseg, trebate pomnožiti duljinu njegove stranice s 3: P \u003d 3 * a, gdje je a jedna od njegovih stranica. Ako stranice trokuta nisu međusobno jednake, potrebno je izvršiti operaciju zbrajanja: P \u003d a + b + c. Opseg jednakokračan trokut sa stranama 33, 33 i 44, bit će jednaki: P \u003d 33 + 33 + 44 \u003d 110 cm.

Kako pronaći opseg paralelograma

Paralelogram je četverokut s paralelno paralelnim suprotnim stranicama. Kvadrat, romb i pravokutnik posebni su slučajevi lika. Suprotne stranice bilo kojeg paralelograma jednake su, stoga ćemo za izračunavanje njegovog opsega upotrijebiti formulu P \u003d 2 (a + b). U paralelogramu sa stranicama od 16 cm i 17 cm, zbroj stranica ili opsega iznosi P \u003d 2 * (16 + 17) \u003d 66 cm.

Kako pronaći opseg

Kružnica je zatvorena linija, čije se sve točke nalaze na jednakoj udaljenosti od središta. Opseg i promjer kruga imaju uvijek isti odnos. Ovaj omjer izražava se kao konstanta napisana slovom π i iznosi približno 3,14159. Opseg kružnice možete saznati po umnošku polumjera 2 i π. Ispada da će duljina kruga polumjera 15 cm biti jednaka P \u003d 2 * 3.14159 * 15 \u003d 94.2477

Studenti stječu znanje kako pronaći opseg u osnovna škola... Tada se te informacije neprestano koriste tijekom cijelog tečaja matematike i geometrije.

Opća teorija za sve figure

Uobičajeno je da se stranice označavaju latiničnim slovima. Štoviše, mogu se označiti kao segmenti. Tada će slova trebati po dvije za svaku stranu i napisati velikim slovima. Ili unesite oznaku s jednim slovom, što će sigurno biti malo.
Slova su uvijek odabrana po abecedi. Za trokut će biti prva tri. Šesterokut će ih imati 6 - od a do f. Ovo je prikladno za unos formula.

Sada kako pronaći opseg. To je zbroj duljina svih strana lika. Broj pojmova ovisi o vrsti. Označen je opseg latinično slovo R. Mjerne jedinice su iste kao one dane strankama.

Obodne formule za različite oblike

Za trokut: P \u003d a + b + c. Ako je jednakokračan, tada se formula transformira: P \u003d 2a + b. Kako pronaći opseg trokuta ako je jednakostraničan? To će pomoći: P \u003d 3a.

Za proizvoljan četverokut: P \u003d a + b + c + d. Njegov je poseban slučaj kvadrat, obodna formula: P \u003d 4a. Tu je i pravokutnik, tada je potrebna takva jednakost: P \u003d 2 (a + b).

Što ako je duljina jedne ili više stranica trokuta nepoznata?

Koristite kosinusni teorem ako postoje dvije stranice među podacima i kut između njih, koji je označen slovom A. Tada ćete, prije pronalaska opsega, morati izračunati treću stranicu. Za to je korisna sljedeća formula: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Poseban slučaj ovog teorema formulira Pitagora za pravokutni trokut. U njemu je vrijednost kosinusa pravi kut postaje jednako nuli, što znači da posljednji pojam jednostavno nestaje.

Postoje situacije kada možete saznati kako pronaći opseg trokuta s jedne strane. Ali istodobno su poznati i kutovi lika. Tu dolazi u pomoć teorem sinusa, kada su omjeri duljina stranica i sinusa odgovarajućih suprotnih kutova jednaki.

U situaciji kada se opseg lika treba znati po površini, druge formule će dobro doći. Na primjer, ako je poznat polumjer upisane kružnice, tada će u pitanju kako pronaći opseg trokuta dobro doći sljedeća formula: S \u003d p * r, ovdje je p poluperimetar. Mora se izvesti iz ove formule i pomnožiti s dva.

Primjeri zadataka

Stanje prvog. Doznajte opseg trokuta čije su stranice 3, 4 i 5 cm.
Odluka. Morate upotrijebiti jednakost koja je gore navedena i u nju samo zamijeniti podatke u vrijednosnom problemu. Izračuni su jednostavni, vode do broja 12 cm.
Odgovor. Opseg trokuta je 12 cm.

Uvjet dva. Jedna stranica trokuta je 10 cm. Poznato je da je druga 2 cm veća od prve, a treća 1,5 puta veća od prve. Potrebno je izračunati njegov opseg.
Odluka... Da biste je prepoznali, trebate izbrojiti dvije strane. Drugi je definiran kao zbroj 10 i 2, treći je jednak umnošku 10 i 1,5. Tada ostaje samo izračunati zbroj triju vrijednosti: 10, 12 i 15. Rezultat će biti 37 cm.
Odgovor. Opseg je 37 cm.

Uvjet tri. Postoje pravokutnik i kvadrat. Jedna stranica pravokutnika je 4 cm, a druga 3 cm veća. Potrebno je izračunati vrijednost stranice kvadrata ako je njegov opseg 6 cm manji od pravokutnika.
Odluka. Druga stranica pravokutnika je 7. Znajući to, lako je izračunati njegov opseg. Izračun daje 22 cm.
Da biste saznali stranicu kvadrata, prvo morate oduzeti 6 od opsega pravokutnika, a zatim dobiveni broj podijeliti s 4. Kao rezultat, imamo broj 4.
Odgovor. Stranica kvadrata je 4 cm.

Pravokutnik (ili paralelogram) AVSD-a, tada ima sljedeća svojstva: paralelne stranice su u paru jednake (vidi). AB \u003d SD i AC \u003d VD. Znajući omjer stranica na ovoj slici, možete zaključiti pravokutnik (i paralelogram): P \u003d AB + SD + AC + VD. Neka su neke stranice jednake broju a, ostale broju b, a zatim P \u003d a + a + b + b \u003d 2 * a \u003d 2 * b \u003d 2 * (a + b). Primjer 1. U AVSD-u su stranice jednake AB \u003d SD \u003d 7 cm i AC \u003d VD \u003d 3 cm. Nađite opseg takvog pravokutnika. Rješenje: P \u003d 2 * (a + b). P \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 cm.

Pri rješavanju zadataka na zbroju duljina stranica s likom koji se naziva kvadrat ili romb, treba koristiti malo modificiranu obodnu formulu. Kvadrat i romb su likovi koji imaju iste četiri stranice. Na temelju definicije opsega, P \u003d AB + SD + AC + VD i pretpostavljajući duljinu sa slovom a, tada je P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a. Primjer 2. Romb stranice 2 cm. Pronađite njegov opseg. Rješenje: 4 * 2 cm \u003d 8 cm.

Ako je ovaj četverokut trapezoid, tada u ovom slučaju trebate samo dodati duljine njegove četiri stranice. R \u003d AB + SD + AC + VD. Primjer 3. Pronađite AVSD ako su mu stranice jednake: AB \u003d 1 cm, SD \u003d 3 cm, AC \u003d 4 cm, VD \u003d 2 cm. Rješenje: P \u003d AB + SD + AS + VD \u003d 1 cm + 3 cm + 4 cm + 2 cm \u003d 10 cm. Može se dogoditi da se pokaže jednakokrakim (ima dvije jednake stranice), tada se njegov opseg može svesti na formulu: P \u003d AB + SD + AC + VD \u003d a + b + a + c \u003d 2 * a + b + c. Primjer 4. Pronađite opseg jednakokračnog ako su njegove bočne stranice 4 cm, a osnove 2 cm i 6 cm. Rješenje: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4 cm + 2 cm + 6 cm \u003d 16 cm.

Videi sa sličnim sadržajem

Koristan savjet

Nitko se ne trudi pronaći opseg četverokuta (i bilo koje druge figure) kao zbroj duljina stranica, bez korištenja izvedenih formula. Dane su radi praktičnosti i jednostavnosti izračuna. Metoda rješenja nije pogreška, važni su točan odgovor i poznavanje matematičke terminologije.

Izvori:

• kako pronaći opseg pravokutnika

Jednom u školi svi počinjemo proučavati opseg pravokutnika. Pa sjetimo se kako to izračunati i općenito koji je opseg?

Riječ "opseg" dolazi od dvije grčke riječi: "peri" što znači "oko", "oko" i "metron" što znači "mjera", "mjera". Oni. perimetar, u prijevodu s grčkog znači "mjerenje oko".