Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve opcije prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ključne riječi: integralni, krivocrtni trapez, područje figura omeđeno ljiljanima

Oprema: ploča, računalo, multimedijski projektor

Vrsta lekcije: sat-predavanje

Ciljevi lekcije:

• obrazovni: formirati kulturu umnog rada, stvoriti situaciju uspjeha za svakog učenika, formirati pozitivnu motivaciju za učenje; razviti sposobnost govora i slušanja drugih.
• razvijanje: formiranje samostalnosti učenika u primjeni znanja u različitim situacijama, sposobnost analize i donošenja zaključaka, razvoj logike, razvoj sposobnosti ispravnog postavljanja pitanja i pronalaženja odgovora na njih. Unaprjeđenje formiranja računalstva, računalnih vještina, razvoj mišljenja učenika tijekom rješavanja predloženih zadataka, razvoj algoritamske kulture.
• obrazovne: formirati pojam krivolinijskog trapeza, integrala, ovladati vještinama izračunavanja površina ravnih figura

Nastavna metoda: objašnjavajuće i ilustrativno.

Tijekom nastave

U prethodnim razredima naučili smo izračunati površine oblika čije su granice poligonalne linije. U matematici postoje metode koje vam omogućuju izračunavanje površina oblika koje su omeđene krivuljama. Takvi oblici nazivaju se krivuljastim trapezima, a njihova površina se izračunava pomoću antiderivata.

Zakrivljeni trapez ( slajd 1)

Krivolinijski trapez je lik omeđen grafom funkcije, ( schm.), ravno x = a i x = b i apscisa

Razne vrste zakrivljenih trapeza ( slajd 2)

Smatrati različite vrste krivolinijski trapezi i primijetiti: jedna od ravnih linija degenerira se u točku, ulogu granične funkcije ima ravna linija

Zakrivljeno područje trapeza (slajd 3)

Popravite lijevi kraj praznine a, i pravo x promijenit ćemo se, odnosno pomaknuti desni zid zakrivljenog trapeza i dobiti promjenjiv oblik. Područje promjenjivog krivolinijskog trapeza, ograničeno grafom funkcije, je antiderivat F za funkciju f

A na segmentu [ a; b] površina zakrivljenog trapeza formiranog funkcijom f, jednak je prirastu antiderivata ove funkcije:

Vježba 1:

Nađite površinu zakrivljenog trapeza omeđenu grafom funkcije: f (x) = x 2 i ravno y = 0, x = 1, x = 2.

Riješenje: ( prema algoritmu slajd 3)

Nacrtajmo graf funkcije i linije

Nađimo jednu od antiderivati f (x) = x 2 :

Samotestiranje slajdovima

Sastavni

Razmotrimo zakrivljeni trapez zadan funkcijom f na segmentu [ a; b]. Podijelimo ovaj segment na nekoliko dijelova. Površina cijelog trapeza podijelit će se na zbroj površina manjih zakrivljenih trapeza. ( slajd 5)... Svaki takav trapez se otprilike može smatrati pravokutnikom. Zbroj površina ovih pravokutnika daje približnu ideju o cijeloj površini zakrivljenog trapeza. Što manji dijelimo segment [ a; b], točnije izračunamo površinu.

Zapišimo ovo razmišljanje u obliku formula.

Podijelite segment [ a; b] na n dijelova po točkama x 0 = a, x1, ..., xn = b. Duljina k- th označiti sa xk = xk - xk-1... Nadoknadimo iznos

Geometrijski, ovaj zbroj je površina lika zasjenjena na slici ( m.)

Zbrojevi oblika nazivaju se integralnim zbrojima za funkciju f. (šm.)

Integralni zbroji daju približnu vrijednost površine. Točna vrijednost dobiva se odlaskom do granice. Zamislite da pročistimo particiju segmenta [ a; b] tako da duljine svih malih odsječaka teže nuli. Tada će se površina sastavljene figure približiti području zakrivljenog trapeza. Možemo reći da je površina krivolinijskog trapeza jednaka granici integralnih suma, Sk.t. (šm.) ili integral, tj.

Definicija:

Integral funkcije f (x) iz a prije b naziva se granica integralnih suma

= (šm.)

Newton-Leibnizova formula.

Zapamtite da je granica integralnih suma jednaka površini krivolinijskog trapeza, što znači da možete napisati:

Sk.t. = (šm.)

S druge strane, površina zakrivljenog trapeza izračunava se po formuli

S K. t. (šm.)

Uspoređujući ove formule, dobivamo:

Ova se jednakost naziva Newton-Leibnizova formula.

Za praktičnost izračuna, formula je napisana u obliku:

Zadaci: (šm.)

1. Izračunajte integral po Newton-Leibnizovoj formuli: ( provjeri slajd 5)

2. Napravite integrale prema crtežu ( provjeriti slajd 6)

3. Pronađite površinu lika omeđenu linijama: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slajd 7)

Pronalaženje površina ravnih figura ( slajd 8)

Kako pronaći područje oblika koji nisu zakrivljeni trapezi?

Neka su zadane dvije funkcije, čije grafove vidite na slajdu ... (šm.) Potrebno je pronaći područje ispunjene figure ... (šm.)... Dotični lik je zakrivljeni trapez? I kako možete pronaći njegovu površinu koristeći svojstvo aditivnosti površine? Razmotrimo dva zakrivljena trapeza i oduzmimo površinu drugog od površine jednog od njih ( schm.)

Sastavimo algoritam za pronalaženje područja animacijom na slajdu:

1. Iscrtajte grafove funkcija
2. Projicirajte presječne točke grafova na os apscise
3. Obojite sliku dobivenu na sjecištu grafova
4. Pronađite zakrivljene trapeze čiji je sjecište ili sjedinjenje zadana figura.
5. Izračunajte površinu svakog od njih
6. Pronađite razliku ili zbroj površina

Usmeni zadatak: Kako dobiti površinu zasjenjene figure (prikazati uz pomoć animacije, slajd 8 i 9)

Domaća zadaća: Razradite sinopsis, br. 353 (a), br. 364 (a).

Bibliografija

1. Algebra i početak analize: udžbenik za 9.-11. razred večernje (smjenske) škole / ur. G. D. Glazer. - M: Prosvjeta, 1983.
2. Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: udžbenik za 10-11 razred srednje škole / Bashmakov M.I. - M: Prosvjeta, 1991.
3. Bašmakov M.I. Matematika: udžbenik za ustanove rane. i srijeda. prof. obrazovanje / M.I. Bašmakov. - M: Akademija, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra i početak analize: udžbenik za 10-11 razred. obrazovne ustanove / A.N. Kolmogorov. - M: Obrazovanje, 2010.
5. S. L. Ostrovsky Kako napraviti prezentaciju za lekciju? / S.L. Ostrovskog. - M .: 1. rujna 2010.

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu lika omeđenu linijama

Integralna primjena za rješavanje primijenjenih problema

Izračun površine

Definitivni integral neprekidne nenegativne funkcije f (x) brojčano je jednak površina zakrivljenog trapeza omeđena krivuljom y = f (x), osi O x i ravnim linijama x = a i x = b. U skladu s tim, formula površine se piše na sljedeći način:

Pogledajmo nekoliko primjera za izračunavanje površina ravnih likova.

Zadatak br. 1. Izračunajte površinu omeđenu pravcima y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Riješenje. Izgradimo lik, čiju ćemo površinu trebati izračunati.

y = x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomaknuta u odnosu na os O y prema gore za jednu jedinicu (slika 1).

Slika 1. Grafikon funkcije y = x 2 + 1

Zadatak broj 2. Izračunajte površinu omeđenu linijama y = x 2 - 1, y = 0 u rasponu od 0 do 1.

Riješenje. Graf ove funkcije je parabola grane koja je usmjerena prema gore, a parabola je pomaknuta u odnosu na os O y prema dolje za jednu jedinicu (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije y = x 2 - 1

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu lika omeđenu linijama

y = 8 + 2x - x 2 i y = 2x - 4.

Riješenje. Prvi od ova dva pravaca je parabola s granama usmjerenim prema dolje, budući da je koeficijent pri x 2 negativan, a drugi pravac je ravna koja siječe obje koordinatne osi.

Da bismo izgradili parabolu, nalazimo koordinate njenog vrha: y ’= 2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - apscisa vrha; y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 je njegova ordinata, N (1; 9) je vrh.

Sada ćemo pronaći točke presjeka parabole i prave linije rješavanjem sustava jednadžbi:

Izjednačavanje desnih strana jednadžbe, čije su lijeve strane jednake.

Dobivamo 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 ili x 2 - 12 = 0, odakle .

Dakle, točke su sjecišta parabole i ravne linije (slika 1).

Slika 3 Grafovi funkcija y = 8 + 2x - x 2 i y = 2x - 4

Konstruirajmo pravac y = 2x - 4. Prolazi kroz točke (0; -4), (2; 0) na koordinatnim osi.

Da biste konstruirali parabolu, također možete imati njezine presječne točke s osi 0x, odnosno korijene jednadžbe 8 + 2x - x 2 = 0 ili x 2 - 2x - 8 = 0. Prema Vietinom teoremu, lako je pronaći njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = 4.

Slika 3 prikazuje sliku (parabolički segment M 1 N M 2), ograničenu ovim linijama.

Drugi dio zadatka je pronaći područje ove figure. Njegovo područje može se pronaći pomoću određeni integral prema formuli .

S obzirom na ovaj uvjet, dobivamo integral:

2 Izračun volumena tijela okretanja

Volumen tijela dobiven rotacijom krivulje y = f (x) oko osi O x izračunava se po formuli:

Kada se okreće oko osi O y, formula izgleda ovako:

Problem broj 4. Odredite volumen tijela dobiven rotacijom zakrivljenog trapeza omeđenog ravnim linijama x = 0 x = 3 i krivuljom y = oko osi O x.

Riješenje. Napravimo sliku (slika 4).

Slika 4. Grafikon funkcije y =

Potrebni volumen je

Problem broj 5. Izračunajte volumen tijela dobiven rotacijom zakrivljenog trapeza omeđenog krivuljom y = x 2 i ravnim linijama y = 0 i y = 4 oko osi O y.

Riješenje. Imamo:

Pregledajte pitanja

Promotrimo zakrivljeni trapez omeđen osi Ox, krivulju y = f (x) i dvije ravne: x = a i x = b (slika 85). Uzmimo proizvoljnu vrijednost x (ali ne a i ne b). Dajmo mu prirast h = dx i razmotrimo traku omeđenu ravnim linijama AB i CD, osi Ox i lukom BD koji pripada krivulji koja se razmatra. Ova traka će se zvati elementarna traka. Površina elementarne trake razlikuje se od površine pravokutnika ACQB zakrivljenim trokutom BQD, a površina potonjeg manje površine pravokutnik BQDM sa stranicama BQ = h = dx) QD = Ay i površinom jednakom hAy = Ay dx. Sa smanjenjem stranice h, strana Du također se smanjuje i istovremeno s h teži nuli. Stoga je površina BQDM beskonačno mala drugog reda. Površina elementarne trake je povećanje površine, a površina pravokutnika ACQB jednaka AB-AC == / (x) dx> je razlika površine. Stoga nalazimo samo područje integracijom njegovog diferencijala. Unutar razmatrane slike nezavisna varijabla l: varira od a do b, pa će tražena površina 5 biti jednaka 5 = \ f (x) dx. (I) Primjer 1. Izračunajmo površinu omeđenu parabolom y - 1 -x *, ravnim linijama X = - Fj-, x = 1 i osi O * (slika 86). na sl. 87. Sl. 86. 1 Ovdje su f (x) = 1 - n?, Granice integracije su a = - i t = 1, dakle 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * Primjer 2. Izračunajte površinu omeđenu sinusoida y = sinXy po osi Ox i pravoj liniji (slika 87). Primjenom formule (I) dobivamo L 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (- 1) = lf Primjer 3. Izračunajte površinu omeđenu lukom sinusoide ^ y = sin jc, priloženo između dvije susjedne točke presjeka s osi Ox (na primjer, između ishodišta i točke s apscisom i). Imajte na umu da je iz geometrijskih razmatranja jasno da će ovo područje biti dva puta više površine prethodni primjer. Međutim, napravimo izračune: i 5 = | s \ nxdx = [- cosx) * - - cos i - (- cos 0) = 1 + 1 = 2. o Doista, naša se pretpostavka pokazala točnom. Primjer 4. Izračunajte površinu omeđenu sinusoidom i ^ osi Ox u jednoj periodi (slika 88). Preliminarna razmatranja omogućuju nam pretpostaviti da će površina biti četiri puta veća nego u pr. 2. Međutim, nakon proračuna, dobivamo "i G, * i S - \ sin x dx = [- cos x] 0 = = - cos 2l - (- cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ovaj rezultat zahtijeva pojašnjenje. Da bismo razjasnili bit stvari, također izračunavamo površinu omeđenu istom sinusoidom y = sin l: i osi Ox u rasponu od l do 2i. Primjenom formule (I), dobivamo 2l $ 2l sin xdx = [- cosx] l = -cos 2ya ~) -c05ya = - 1-1 = -2. Dakle, vidimo da se ovo područje pokazalo negativnim. Uspoređujući ga s površinom izračunatom u pr. 3, nalazimo da je njihova apsolutne vrijednosti isti su, ali su znakovi različiti. Ako primijenimo svojstvo V (vidi poglavlje XI, § 4), tada ćemo dobiti 2l I 2l J sin xdx = J sin * dx [sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Ono što se dogodilo u ovom primjeru nije slučajno . Uvijek se površina ispod osi Ox, pod uvjetom da se nezavisna varijabla mijenja s lijeva na desno, dobiva izračunavanjem negativnih integrala. U ovom tečaju uvijek ćemo razmatrati neoznačene kvadrate. Stoga će odgovor u upravo analiziranom primjeru biti sljedeći: tražena površina jednaka je 2 + | -2 | = 4. Primjer 5. Izračunajmo površinu OAB prikazane na sl. 89. Ovo područje je omeđeno osi Ox, parabolom y = - xr i ravnom linijom y - = -x + \. Područje krivolinijskog trapeza Područje pretraživanja OAV sastoji se od dva dijela: OAM i MAV. Budući da je točka A sjecište parabole i ravne, njezine koordinate pronaći ćemo rješavanjem sustava jednadžbi 3 2 Y = mx. (trebamo pronaći samo apscisu točke A). Rješavajući sustav, nalazimo l; = ~. Stoga se površina mora izračunati u dijelovima, prvi kvadrat. OAM i zatim pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM- ^ x funkcija grafa y = x 2 +2 smještena iznad osi Vol , Zato:

Odgovor: S = 9 kvadratnih jedinica

Nakon što je zadatak dovršen, uvijek je korisno pogledati nacrt i procijeniti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, oko 9 će biti upisano, izgleda kao istina. Sasvim je jasno da ako smo dobili, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena pogreška - brojka koja se razmatra očito ne odgovara 20 ćelija, najviše deset. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Što učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osi Oh?

b) Izračunajte površinu oblika omeđenog linijama y = -e x , x = 1 i koordinatne osi.

Riješenje.

Dovršimo crtež.

Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod osovine Oh , tada se njegovo područje može naći po formuli:

Odgovor: S = (e-1) četvornih jedinica "1,72 četvornih jedinica.

Pažnja! Dvije vrste zadataka ne treba miješati:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se u upravo razmatranoj formuli pojavljuje minus.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini.

S) Nađi površinu ravnog lika ograničenog linijama y = 2x-x 2, y = -x.

Riješenje.

Prvo morate dovršiti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima na nekoj površini najviše nas zanimaju točke presjeka pravaca. Pronađite presječne točke parabole i ravno To se može učiniti na dva načina. Prvi način je analitički.

Rješavamo jednadžbu:

Dakle, donja granica integracije a = 0 , gornja granica integracije b = 3 .

Možete crtati crte točku po točku, dok su granice integracije razjašnjene kao da su "sama po sebi". Ipak, analitička metoda pronalaženja granica ponekad se ipak mora primijeniti ako je, primjerice, graf dovoljno velik ili precizna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne).

Traženi lik omeđen je parabolom na vrhu i ravnom linijom na dnu.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor: S = 4,5 četvornih jedinica