|
Trapezijska metoda
Glavni članak:Trapezijska metoda
Ako se funkcija na svakom od djelomičnih segmenata aproksimira ravnom crtom koja prolazi krajnje vrijednosti, tada dobivamo trapezoidnu metodu.
Površina trapeza na svakom segmentu:
Pogreška aproksimacije na svakom segmentu:
 Gdje 
Kompletna formula trapezoidi u slučaju podjele cijelog integracijskog intervala na segmente iste duljine:
 Gdje
Pogreška formule trapezija:
 Gdje 
Simpsonova metoda.
 Integrand f (x) zamjenjuje se interpolacijskim polinomom drugog stupnja P (x) - parabola koja prolazi kroz tri čvora, na primjer, kao što je prikazano na slici ((1) - funkcija, (2) - polinom).
Razmotrimo dva koraka integracije ( h \u003d const \u003d x i + 1 - x i), odnosno tri čvora x 0, x 1, x 2, kroz koji crtamo parabolu koristeći Newtonovu jednadžbu:
Neka bude z \u003d x - x 0,
zatim
Sada, koristeći dobivenu relaciju, izračunavamo integral preko ovog intervala:
.
Za jednolična mreža i paran broj koraka n Simpsonova formula ima oblik:
Ovdje  , i  pod pretpostavkom kontinuiteta četvrtog izvoda integranda.
[Uredi] Povećana točnost
Približavanje funkcije jednim polinomom tijekom cijelog intervala integracije u pravilu dovodi do velike pogreške u procjeni vrijednosti integrala.
Da bi se smanjila pogreška, segment integracije podijeljen je na dijelove i numeričkom metodom koristi se procjena integrala na svakom od njih.
Kako broj particija teži ka beskonačnosti, procjena integrala teži svojoj stvarnoj vrijednosti za analitičke funkcije za bilo koju numeričku metodu.
Gore navedene metode omogućuju jednostavan postupak smanjenja koraka za pola, dok je u svakom koraku potrebno izračunati vrijednosti funkcije samo u novo dodanim čvorovima. Pravilo Runge koristi se za procjenu pogreške izračuna.
Primjena Runge pravila
uredi] Procjena točnosti izračuna određenog integrala
Integral se izračunava pomoću odabrane formule (pravokutnici, trapezoidi, Simpsonove parabole) s brojem koraka jednakim n, a zatim s brojem koraka jednakim 2n. Pogreška u izračunavanju vrijednosti integrala s brojem koraka jednakim 2n određuje se Rungeovom formulom:
, za formule pravokutnika i trapeza, te za Simpsonovu formulu.
Dakle, integral se izračunava za uzastopne vrijednosti broja koraka, gdje je n 0 početni broj koraka. Proces računanja završava kad je zadovoljen uvjet za sljedeću vrijednost N, gdje je ε navedena točnost.
Značajke ponašanja pogreške.
Čini se, zašto analizirati različite metode integracija ako možemo postići visoka preciznostjednostavnim smanjenjem vrijednosti koraka integracije. Međutim, razmotrite graf ponašanja stražnje pogreške Rrezultati numeričkih proračuna ovisno o  i od broja n particije intervala (to jest, u koraku. U odjeljku (1), pogreška se smanjuje uslijed smanjenja u koraku h. Ali u odjeljku (2), računska pogreška počinje dominirati, akumulirajući se kao rezultat brojnih aritmetičkih operacija Dakle, za svaku metodu postoji svoj R min, što ovisi o mnogim čimbenicima, ali prije svega o apriornoj vrijednosti pogreške metode R.
Pročišćavanje Rombergove formule.
Rombergova metoda sastoji se u sukcesivnom pročišćavanju vrijednosti integrala s višestrukim povećanjem broja particija. Kao osnova može se uzeti formula trapezija s jednoličnim korakom h.
Označavamo integral s brojem particija n \u003d 1 kao  .
Smanjujemo korak za pola, dobivamo  .
Ako korak zaredom smanjimo za faktor 2 n, dobit ćemo relativnu relaciju za izračun.
Definitivan integral. Primjeri rješenjaBok opet. U ovoj ćemo lekciji detaljno analizirati tako divnu stvar kao što je određeni integral. Ovaj put uvod će biti kratak. Svi. Jer je snježna oluja izvan prozora. Da biste naučili kako rješavati određene integrale, morate:
1) Moći pronaći neodređeni integrali.
2) moći izračunati određeni integral.
Kao što vidite, da biste ovladali određenim integralom, morate biti prilično upoznati s "običnim" neodređenim integralima. Stoga, ako ste tek počeli zaranjati u integralni račun, a kotlić uopće nije proključao, onda je bolje započeti s poukom Neodređeni integral. Primjeri rješenja.
U opći pogled definitivni integral zapisan je ovako:
Što se povećalo u odnosu na neodređeni integral? Jesu li dodali ograničenja integracije.
Donja granica integracije
Gornja granica integracije označena slovom kao standard.
Segment se naziva segment integracije.
Prije nego što stignemo do praktični primjeri, mala česta pitanja o određenom integralu.
Što znači riješiti određeni integral? Rješavanje određenog integrala znači pronalaženje broja.
Kako riješiti određeni integral?Uz pomoć Newton-Leibnizove formule poznate iz škole:
Bolje je formulu prepisati na zaseban papir, ona bi vam trebala biti pred očima tijekom cijele lekcije.
Koraci za rješavanje određenog integrala su sljedeći:
1) Prvo, nalazimo antiderivativnu funkciju (neodređeni integral). Primijetimo da je konstanta u određenom integralu nije dodan... Oznaka je isključivo tehnička, a okomiti štap nema nikakvo matematičko značenje, zapravo je samo upadljiv. Zašto vam je potrebna sama snimka? Priprema za primjenu Newton-Leibnizove formule.
2) Zamijenite vrijednost gornje granice u antiderivativnoj funkciji :.
3) Zamijenite donju graničnu vrijednost u antiderivativnu funkciju :.
4) Izračunavamo (bez grešaka!) Razliku, odnosno pronalazimo broj.
Postoji li uvijek određeni integral? Ne uvijek.
Na primjer, integral ne postoji, jer interval integracije nije uključen u domenu definicije integranda (vrijednosti pod korijen ne može biti negativan). Evo manje očitog primjera :. Takav integral ne postoji, jer tangenta ne postoji u točkama segmenta. Inače, tko to još nije pročitao metodički materijal Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija - vrijeme je da to učinimo sada. Izvrsno će vam pomoći tijekom cijelog tečaja više matematike.
Za da bi određeni integral uopće mogao postojati, dovoljno je da je integrand kontinuiran na intervalu integracije.
Iz navedenog slijedi prva važna preporuka: prije nego što nastavite s rješenjem BILO KOJEG definitivnog integrala, morate osigurati da integrand je kontinuirano na intervalu integracije... Kao student imao sam mnogo puta incident kad sam dugo bio mučen pronalazeći teškog primitivca, a kad sam ga napokon pronašao, zbunio sam se oko još jednog pitanja: "kakve su se gluposti dogodile?" U pojednostavljenoj verziji situacija izgleda ovako:  ??? Ne možete zamijeniti negativne brojeve ispod korijena! Koji vrag ?! Početna nepažnja.
Ako je za rješenje (u probni rad, na testu, ispitu) Nudi vam se nepostojeći integral poput, tada morate odgovoriti da integral ne postoji i obrazložiti zašto.
Može li određeni integral biti jednak negativan broj?
Limenka. I negativan broj. I nula. Možda se ispostavi da je to beskonačnost, ali već će biti nepravilni integral, koja je posvećena zasebnom predavanju.
Može li donja granica integracije biti veća od gornje granice integracije?Možda se ova situacija zaista događa u praksi.
- integral se lako izračunava Newton-Leibnizovom formulom.
Bez čega može viša matematika? Naravno, bez svakakvih svojstava. Stoga ćemo razmotriti neka svojstva određenog integrala.
U određenom integralu, gornja i donja granica mogu se međusobno mijenjati promjenom predznaka: 
Na primjer, u određenom integralu, prije integracije, preporučljivo je ograničenja integracije promijeniti u "uobičajeni" redoslijed:
 - mnogo je prikladnije integrirati u ovom obliku.
 - to vrijedi ne samo za dvije, već i za bilo koji broj funkcija.
U određenom integralu, može se provesti promjena integracijske varijable, međutim, u usporedbi s neodređenim integralom, ovo ima svoje specifičnosti, o čemu ćemo kasnije.
Za određeni integral, integracija po formuli dijelova:
Primjer 1
Odluka:
(1) Pomaknite konstantu iz integralnog predznaka.
(2) Integriramo preko tablice koristeći najpopularniju formulu  ... Preporučljivo je odvojiti pojavljenu konstantu od i staviti je izvan zagrade. To nije potrebno učiniti, ali poželjno je - zašto nepotrebni izračuni?
 ... Prvo zamjenjujemo u gornjoj granici, a zatim - donjoj granici. Provodimo daljnje izračune i dobivamo konačni odgovor.
Primjer 2
Izračunaj definitivni integral
Ovo je primjer za samo-rješenje, rješenje i odgovor na kraju vodiča.
Da malo zakompliciramo zadatak:
Primjer 3
Izračunaj definitivni integral
Odluka:
(1) Koristimo svojstva linearnosti određenog integrala.
(2) Integriramo se preko tablice, dok vadimo sve konstante - one neće sudjelovati u zamjeni gornje i donje granice.
(3) Za svaki od tri pojma primjenjujemo Newton-Leibnizovu formulu:
SLABA VEZA u određenom integralu pogreška je u izračunu i uobičajena ZBUNA U ZNAKOVIMA. Budi oprezan! Posebna pažnja Usredotočujem se na treći termin:  - prvo mjesto u hit paradi pogrešaka zbog nepažnje, vrlo često pišu automatski  (posebno kada se zamjena gornje i donje granice provodi usmeno i nije napisana tako detaljno). Ponovno pažljivo proučite gornji primjer.
Treba napomenuti da razmatrana metoda za rješavanje određenog integrala nije jedina. Uz određeno iskustvo, rješenje se može znatno smanjiti. Na primjer, i sam sam navikao rješavati takve integrale poput ovog:
Ovdje sam se usmeno služio pravilima linearnosti, usmeno ih integrirao preko stola. Završio sam s samo jednom zagradom s lišenim ograničenjima:  (za razliku od tri zagrade u prvoj metodi). I u "cjelovitoj" antiderivativnoj funkciji, prvo sam zamijenio 4, zatim -2, opet radeći sve radnje u mislima.
Koji su nedostaci kratkog rješenja? Ovdje sve nije baš dobro sa stajališta racionalnosti izračuna, ali osobno me nije briga - uobičajene razlomke Računam na kalkulator.
Uz to, povećan je rizik da pogriješe u izračunima, pa je bolje da lutka student koristi prvu metodu, s "mojim" rješenjem znak će se negdje izgubiti.
ali nedvojbene prednosti drugi način je brzina otopine, kompaktnost zapisa i činjenica da je antiderivativ u jednoj zagradi.
Savjet: prije korištenja Newton-Leibnizove formule korisno je provjeriti: je li sam antiderivativ ispravno pronađen?
Dakle, u odnosu na razmatrani primjer: prije zamjene gornje i donje granice u antiderivativnu funkciju, poželjno je provjeriti propuh i je li neodređeni integral pravilno pronađen? Razlikujemo:
Dobiva se izvorni integrand, što znači da je neodređeni integral pravilno pronađen. Sada možete primijeniti Newton-Leibnizovu formulu.
Takva provjera neće biti suvišna pri izračunavanju bilo kojeg određenog integrala.
Primjer 4
Izračunaj definitivni integral
Ovo je primjer za vaše vlastito rješenje. Pokušajte to riješiti na kratak i detaljan način.
Promjenjiva promjena u određenom integralu
Sve vrste zamjena vrijede za određeni integral, kao i za neodređeni integral. Stoga, ako niste baš dobri s zamjenama, trebali biste pažljivo pročitati lekciju Zamjenska metoda u neodređenom integralu.
U ovom odlomku nema ništa strašno ili teško. Novost leži u pitanju kako promijeniti granice integracije prilikom zamjene.
U primjerima ću pokušati dati takve vrste zamjena koje još nisu pronađene nigdje na web mjestu.
Primjer 5
Izračunaj definitivni integral
Ovdje glavno pitanje uopće nije u određenom integralnom dijelu, već u tome kako ispravno izvršiti zamjenu. Pogledamo unutra integralna tablica i pitate se kako naša funkcija integriranja najviše izgleda? Očito, za dugi logaritam:  ... Ali postoji jedno odstupanje, u tabličnom integralu ispod korijena, i u našem - "x" na četvrtom stupnju. Ideja zamjene također proizlazi iz obrazloženja - bilo bi lijepo da svoju četvrtu silu nekako pretvorimo u kvadrat. Ovo je stvarno.
Prvo pripremamo naš integral za zamjenu:
Iz gornjih razmatranja, zamjena se sasvim prirodno sugerira:
Tako će u nazivniku sve biti u redu :.
Doznajemo u što će se pretvoriti ostatak integranda, za to nalazimo diferencijal:
U usporedbi sa supstitucijom u neodređenom integralu, dodajemo dodatni stupanj.
Pronalaženje novih granica integracije.
Dovoljno je jednostavno. Gledamo na našu zamjenu i stare granice integracije.
Prvo zamjenjujemo donju granicu integracije u zamjenski izraz, odnosno nulu:
Zatim zamjenjujemo gornju granicu integracije u zamjenski izraz, to jest korijen tri:
Gotovo. I to je samo ...
Nastavljamo rješenje.
(1) Prema zamjeni napiši novi integral s novim granicama integracije.
(2) Ovo je najjednostavniji tablični integral koji se integrira preko tablice. Bolje je konstantu ostaviti izvan zagrada (to možda nećete učiniti) kako ne bi ometala daljnje izračune. S desne strane ocrtavamo crtu koja ukazuje na nove granice integracije - ovo je priprema za primjenu Newton-Leibnizove formule.
(3) Koristimo Newton-Leibnizovu formulu  .
Nastojimo odgovor zapisati maksimalno zbijen oblik, ovdje sam koristio svojstva logaritama.
Druga razlika od neodređenog integrala je ta što, nakon što smo izvršili zamjenu, nisu potrebne obrnute zamjene.
A sada nekoliko primjera za neovisna odluka... Koje zamjene izvršiti - pokušajte sami pogoditi.
Primjer 6
Izračunaj definitivni integral
Primjer 7
Izračunaj definitivni integral
Ovo su primjeri za vaše vlastito rješenje. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.
I na kraju odlomka par važne točkečija se analiza pojavila zahvaljujući posjetiteljima stranice. Prva se tiče prihvatljivost zamjene. U nekim se slučajevima to ne može učiniti! Dakle, čini se da je Primjer 6 riješen univerzalna trigonometrijska supstitucija međutim gornja granica integracije ("Pi") nije uključeno u domena ove tangente i stoga je ova zamjena nezakonita! Tako, funkcija "zamjene" mora biti kontinuirana u svemu točke segmenta integracije.
U drugom e-mail ušao sljedeće pitanje: "Je li potrebno promijeniti granice integracije kada funkciju dovedemo pod diferencijalni znak?" U početku sam želio "odbaciti gluposti" i automatski odgovoriti "naravno da nisam", ali onda sam razmislio o razlogu ovog pitanja i iznenada otkrio da informacija
nedostaje. Ali to je, iako očito, ali vrlo važno:
Ako funkciju dovedemo pod diferencijalni predznak, tada nema potrebe za promjenom granica integracije! Zašto? Jer u ovom slučaju nema stvarnog skoka na novu varijablu... Na primjer:
I ovdje je sažimanje puno prikladnije od akademske zamjene, nakon čega slijedi "popis" novih integracijskih ograničenja. Tako, ako definitivni integral nije jako težak, uvijek pokušajte funkciju dovesti pod znak diferencijala! Brži je, kompaktniji je i uobičajeno je - kao što ćete vidjeti desetke puta!
Puno vam hvala na vašim pismima!
Integracija po dijelovima u određeni integral
Ovdje je još manje novosti. Svi izračuni članka Integracija po dijelovima u neodređeni integral u potpunosti vrijede za određeni integral.
Osim toga, postoji samo jedan detalj, u formulu za integraciju po dijelovima dodaju se ograničenja integracije:
Ovdje se dva puta mora primijeniti Newton-Leibnizova formula: za proizvod i nakon što uzmemo integral.
Na primjer, ponovno sam odabrao vrstu integrala koji nisam vidio nigdje na web mjestu. Primjer nije najlakši, ali vrlo, vrlo informativan.
Primjer 8
Izračunaj definitivni integral
Mi odlučujemo.
Integriramo dio po dio:
Za one koji imaju poteškoća s integralom, pogledajte lekciju Integrali trigonometrijskih funkcija, tamo se detaljno analizira.
(1) Rješenje zapisujemo u skladu s formulom za integraciju po dijelovima.
(2) Za proizvod koristimo Newton-Leibnizovu formulu. Za preostali integral koristimo svojstva linearnosti, dijeleći ga na dva integrala. Nemojte se zbuniti u znakovima!
(4) Primjenjujemo Newton-Leibnizovu formulu za dva pronađena antiderivata.
Da budem iskren, ne sviđa mi se formula  i, ako je moguće, ... uopće ne radim bez nje! Razmotrimo drugo rješenje, s mog gledišta ono je racionalnije.
Izračunaj definitivni integral
U prvom koraku pronalazim neodređeni integral:
Integriramo dio po dio:
Pronađena antiderivativna funkcija. U ovom slučaju nema smisla dodavati konstantu.
Koja je prednost takvog pješačenja? Nema potrebe za "povlačenjem" granica integracije, zaista, možete se mučiti ako deset puta zapišete male ikone granica integracije
U drugom koraku provjeravam (obično na propuhu).
To je i logično. Ako sam pogrešno pronašao antiderivativnu funkciju, tada ću i pogrešno riješiti određeni integral. Bolje je to odmah saznati, razlikujemo odgovor:
Dobiva se izvorni integrand, što znači da je antiderivativna funkcija pravilno pronađena.
Treća faza je primjena Newton-Leibnizove formule:
I tu postoji značajna korist! U "mojem" rješenju postoji mnogo manji rizik od zabune u zamjenama i izračunima - Newton-Leibnizova formula primjenjuje se samo jednom. Ako čajnik rješava sličan integral formulama  (na prvi način), tada će negdje pogriješiti.
Razmatrani algoritam rješenja može se primijeniti na bilo koji određeni integral.
Dragi student, ispišite i spremite:
Što učiniti ako je dan određeni integral, koji se čini složenim ili nije odmah jasno kako ga riješiti?
1) Prvo, nalazimo neodređeni integral (antiderivativna funkcija). Ako je u prvoj fazi bilo smetnje, besmisleno je ljuljati brod s Newtonom i Leibnizom. Postoji samo jedan način - povećati razinu znanja i vještina u rješavanju neodređeni integrali.
2) Diferencijacijom provjeriti pronađenu antiderivativnu funkciju. Ako se pogrešno pronađe, treći će korak biti gubljenje vremena.
3) Koristimo Newton-Leibnizovu formulu. Sve izračune provodimo Izuzetno PAŽLJIVO - evo najslabije karike zadatka.
I za međuobrok, sastavni dio neovisnog rješenja.
Primjer 9
Izračunaj definitivni integral
Rješenje i odgovor su negdje u blizini.
Sljedeća preporučena lekcija na temu je - Kako mogu izračunati površinu lika pomoću određenog integrala?
Integriramo dio po dio:
Jeste li sigurni da ste ih riješili i dobili takve odgovore? ;-) A tu je i pornografija o starici. |
Teorema... Ako je funkcija f (x) je integriran na segmentu [ a, b], gdje a< b
i za sve x ∈ vrijedi nejednakost
Koristeći se nejednakostima iz teorema, može se procijeniti određeni integral, t.j. označavaju granice između kojih je zatvorena njegova vrijednost. Te nejednakosti izražavaju procjenu određenog integrala.
Teorem [teorem o srednjoj vrijednosti]... Ako je funkcija f (x) je integriran na segmentu [ a, b] i za sve x ∈ vrijede nejednakosti m ≤ f (x) ≤ Mzatim
gdje m ≤ μ ≤ M.
Komentar... U slučaju kada je funkcija f (x) je kontinuirano na segmentu [ a, b], jednakost iz teorema ima oblik
gdje c ∈... Broj μ \u003d f (c)definirano ovom formulom naziva se prosječno funkcija f (x) na segmentu [ a, b]. Ova jednakost ima sljedeće geometrijsko značenje: područje zakrivljenog trapeza omeđeno kontinuiranom linijom y \u003d f (x) (f (x) ≤ 0), jednako je površini pravokutnika s istom osnovom i visinom jednakom ordinati neke točke ove crte.
Postojanje antiderivata za kontinuiranu funkciju
Prvo uvodimo koncept integrala s varijabilnom gornjom granicom.
Neka funkcija f (x) je integriran na segmentu [ a, b]. Onda, bez obzira na broj x od [ a, b], funkcija f (x) je integriran na segmentu [ a, b]. Prema tome, na segmentu [ a, b] funkcija je definirana
koji se naziva integralom s promjenjivom gornjom granicom.
Teorema... Ako je integrand kontinuiran na segmentu [ a, b], tada izvod određenog integrala s varijabilnom gornjom granicom postoji i jednak je vrijednosti integranda za tu granicu, tj.
Posljedica... Definitivni integral s varijabilnom gornjom granicom jedan je od antiderivata za kontinuirani integrand. Drugim riječima, za bilo koju kontinuiranu funkciju u intervalu postoji antiderivat.
Primjedba 1... Imajte na umu da ako je funkcija f (x) je integriran na segmentu [ a, b], tada je integral s promjenjivom gornjom granicom kontinuirana funkcija gornje granice na ovom segmentu. Doista, iz St. 2 i teorema o srednjoj vrijednosti imamo
Napomena 2... Integral s varijabilnom gornjom granicom integracije koristi se za definiranje mnogih novih funkcija, na primjer, 
... Te funkcije nisu elementarne; kao što je već napomenuto, antiderivati \u200b\u200bderivata naznačenih integranda nisu izraženi u smislu elementarnih funkcija.
Osnovna pravila integracije
Newton-Leibnizova formula
Budući da bilo koja dva antiderivativi f (x) razlikuju se konstantom, tada se prema prethodnom teoremu može tvrditi da bilo koji antiderivativ Φ (x) kontinuirano na segmentu [ a, b] funkcije f (x) ima oblik
gdje C - neka konstanta.
Stavljajući ovu formulu x \u003d a i x \u003d bpomoću r. 1 određenih integrala nalazimo
Te jednakosti podrazumijevaju odnos
koji se zove po Newton-Leibnizovoj formuli.
Dakle, dokazali smo sljedeći teorem:
Teorema... Definitivni integral kontinuirane funkcije jednak je razlici između vrijednosti bilo kojeg od njegovih antiderivata za gornju i donju granicu integracije.
Newton-Leibnizova formula može se prepisati kao
Promjenjiva promjena u određenom integralu
Teorema... Ako je a
- funkcija f (x) je kontinuirano na segmentu [ a, b];
- odjeljak [ a, b] je skup vrijednosti funkcije φ (t)definirano na segmentu α ≤ t ≤ β i ima kontinuirani derivat na sebi;
- φ (α) \u003d a, φ (β) \u003d b
tada je formula valjana
Integracija po formuli dijelova
Teorema... Ako funkcionira u \u003d u (x), v \u003d v (x) imaju kontinuirane izvode na segmentu [ a, b], tada vrijedi sljedeća formula
Primijenjena vrijednost teorem o srednjoj vrijednosti
je mogućnost dobivanja kvalitativna procjena vrijednosti određenog integrala bez izračunavanja. Formuliramo
: ako je funkcija kontinuirana u intervalu, tada unutar tog intervala postoji točka takva da 
.
Ova je formula prilično pogodna za grubu procjenu integrala složene ili glomazne funkcije. Jedino što čini formulu približno
, je potreba samoizbor
bodova. Ako uzmemo najjednostavniji način - sredinu intervala integracije (kao što je predloženo u mnogim udžbenicima), tada pogreška može biti prilično značajna. Za točniji rezultat preporuči
izvršite proračun u slijedećem slijedu:
Nacrtajte funkciju na interval;
Nacrtajte gornju granicu pravokutnika tako da su izrezani dijelovi grafikona funkcije približno jednake površine
(upravo je to prikazano na gornjoj slici - dva zakrivljena trokuta gotovo su ista);
Odrediti sa slike;
Upotrijebite teorem o srednjoj vrijednosti.
Kao primjer, izračunajmo jednostavan integral:
Točna vrijednost ;
Za sredinu intervala 
dobivamo približnu vrijednost, tj. očito netočan rezultat;
Izgradivši graf s gornjom stranom pravokutnika u skladu s preporukama, dobivamo, odakle je približna vrijednost. Sasvim zadovoljavajući rezultat, pogreška je 0,75%.
Formula trapeza
Točnost izračuna pomoću teorema o srednjoj vrijednosti u osnovi ovisi, kako je pokazano, o vizualna svrha
prema bodovnom rasporedu. Doista, odabirom, u istom primjeru točaka ili, mogu se dobiti druge vrijednosti integrala, a pogreška se može povećati. Subjektivni čimbenici, mjerilo grafike i kvaliteta crteža uvelike utječu na rezultat. to neprihvatljivo
u odgovornim proračunima, stoga se srednji teorem primjenjuje samo za brze kvalitetu
integralne procjene.
U ovom ćemo odjeljku razmotriti jednu od najpopularnijih približnih metoda integracije - trapezoidna formula
... Glavna ideja konstrukcije ove formule temelji se na činjenici da se krivulja može približno zamijeniti izlomljenom crtom, kao što je prikazano na slici.
Pretpostavimo, za određenost (i u skladu sa slikom), da je interval integracije podijeljen na jednak
(ovo nije obavezno, ali vrlo je zgodno) dijelovi. Duljina svakog od ovih dijelova izračunava se formulom i naziva se korak
... Ako su specificirane apscise s podijeljenim točkama, određuju se formulom, gdje. Ordinate se mogu lako izračunati iz poznatih apscisa. Tako,
Ovo je slučaj trapezoidne formule. Imajte na umu da je prvi član u zagradama poluzbroj početne i završne ordinate, kojoj se dodaju sve srednje ordinate. Za proizvoljan broj particije integracijskog intervala općenita trapezoidna formula
izgleda kao: kvadraturne formule : pravokutnici, Simpson, Gauss itd. Izgrađene su na istoj ideji da predstavljaju krivolinijski trapez s elementarnim područjima raznih oblika, stoga, nakon savladavanja trapezne formule, neće biti teško razumjeti slične formule. Mnoge formule nisu tako jednostavne kao trapezoidna formula, ali omogućuju vam postizanje rezultata visoke preciznosti s malim brojem particija.
Uz pomoć formule za trapezije (ili slične) moguće je izračunati, s točnošću potrebnom u praksi, i integrale koji nisu "stalci" i integrale složenih ili glomaznih funkcija.
Ranije smo definitivni integral smatrali razlikom između vrijednosti antiderivata za integrand. U ovom se slučaju pretpostavljalo da integrand ima antiderivat na intervalu integracije.
U slučaju kada se antiderivativ izražava kroz elementarne funkcije, možemo biti sigurni u njegovo postojanje. Ali ako nema takvog izraza, pitanje postojanja antiderivativa ostaje otvoreno i ne znamo postoji li odgovarajući određeni integral.
Geometrijska razmatranja sugeriraju da iako je, na primjer, za funkciju y \u003d e ^ (- x ^ 2) antiderivativ nemoguće izraziti u smislu elementarnih funkcija, integral \\ textstyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) e ^ (- x ^ 2) \\, dx) postoji i jednaka površini lik ograničen osi apscise, grafikon funkcije y \u003d e ^ (- x ^ 2) i ravnih crta x \u003d a, ~ x \u003d b (slika 6). No rigoroznijom analizom ispada da sam pojam područja treba potkrijepiti, pa se na njega nemoguće pouzdati u rješavanju problema postojanja antiderivata i određenog integrala.
Dokažimo to bilo koja funkcija koja je kontinuirana na segmentu ima antiderivat na tom segmentu, i, prema tome, za njega postoji određeni integral nad ovim segmentom. Da bismo to učinili, potreban nam je drugačiji pristup konceptu određenog integrala, koji se ne temelji na pretpostavci postojanja antiderivata.
Prvo instalirajmo neke određena integralna svojstva, shvaćena kao razlika u vrijednosti antiderivata.
Procjene određenih integrala
Teorem 1. Neka su funkcije y \u003d f (x) ograničene na interval, i m \u003d \\ min_ (x \\ in) f (x) i M \u003d \\ max_ (x \\ in) f (x), odnosno najmanji i najviša vrijednost funkcija y \u003d f (x) na, a na ovom segmentu funkcija y \u003d f (x) ima antiderivativ. Zatim
m (b-a) \\ leqslant \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \\ leqslant M (b-a).
Dokaz. Neka je F (x) jedan od antiderivata za funkciju y \u003d f (x) na segmentu. Zatim
\\ int \\ limite_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d \\ Bigl. (F (x)) \\ Bigr | _ (a) ^ (b) \u003d F (b) -F (a).
Lagrangeovim teoremom F (b) -F (a) \u003d F "(c) (b-a)gdje \\ int \\ ograničenja_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d f (c) (b-a).
Prema hipotezi, za sve vrijednosti x iz segmenta, nejednakost m \\ leqslant f (x) \\ leqslant M, tako m \\ leqslant f (c) \\ leqslant M i stoga
m (b-a) \\ leqslant f (c) (b-a) \\ leqslant M (b-a), tj m (b-a) \\ leqslant \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \\ leqslant M (b-a),
q.E.D.
Dvostruka nejednakost (1) daje samo vrlo grubu procjenu vrijednosti određenog integrala. Primjerice, na intervalu su vrijednosti funkcije y \u003d x ^ 2 između 1 i 25, pa se stoga događaju nejednakosti
4 \u003d 1 \\ cdot (5-1) \\ leqslant \\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant 25 \\ cdot (5-1) \u003d 100.
Da biste dobili precizniju procjenu, podijelite segment na nekoliko dijelova točkama a \u003d x_0 a na svaki se dio primjenjuje nejednakost (1). Ako nejednakost vrijedi na segmentu, tada
m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ leqslant \\ int \\ limit_ (x_k) ^ (x_ (k + 1)) f (x) \\, dx \\ leqslant M_k \\ cdot \\ Delta x_k \\,
gdje \\ Delta x_k označava razliku (x_ (k + 1) -x_k), odnosno duljinu segmenta. Zapisujući ove nejednakosti za sve vrijednosti k od 0 do n-1 i dodajući ih, dobivamo:
\\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ cdot \\ Delta x_k) \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ int \\ limit_ (x_k) ^ (x_ (k + 1 )) f (x) \\, dx \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (M_k \\ cdot \\ Delta x_k),
Ali aditivnim svojstvom određenog integrala, zbroj integrala po svim dijelovima segmenta jednak je integralu nad tim segmentom, t.j.
\\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ int \\ ograničenja_ (x_k) ^ (x_ (k + 1)) f (x) \\, dx \u003d \\ int \\ ograničenja_a) ^ (b) f (x) \\, dx \\,.
Sredstva,
\\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ cdot \\ Delta x_k) \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x ) \\, dx \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (M_k \\ cdot \\ Delta x_k)
Na primjer, ako podijelite segment na 10 jednakih dijelova, od kojih svaki ima duljinu 0,4, onda na djelomični segment
vrijedi nejednakost
(1 + 0, \\! 4k) ^ 2 \\ leqslant x ^ 2 \\ leqslant \\ bigl (1 + 0, \\! 4 (k + 1) \\ bigr) ^ 2
Stoga imamo:
0, \\! 4 \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (9) (1 + 0, \\! 4k) ^ 2 \\ leqslant \\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant 0, \\! 4 \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (9) \\ bigl (1 + 0, \\! 4 (k + 1) \\ bigr) ^ 2.
Izračunavajući, dobivamo: 36, \\! 64 \\ leqslant \\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant 46, \\! 24... Ova je procjena puno preciznija od ranije dobivene. 4 \\ leqslant \\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant100.
Da bismo dobili još precizniju procjenu integrala, potrebno je podijeliti segment ne na 10, već recimo na 100 ili 1000 dijelova i izračunati odgovarajuće zbrojeve. Naravno, ovaj je integral lakše izračunati pomoću antiderivata:
\\ int \\ limite_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \u003d \\ lijevo. (\\ frac (x ^ 3) (3)) \\ desno | _ (1) ^ (5) \u003d \\ frac (1) (3) (125-1) \u003d \\ frac (124) (3) \\,.
Ali ako ne znamo izraz za antiderivat, tada nejednakosti (2) omogućuju procjenu vrijednosti integrala odozdo i odozgo.
Definitivni integral kao razdvajajući broj
Brojevi m_k i M_k uključeni u nejednakost (2) mogu se odabrati proizvoljno, sve dok je nejednakost m_k \\ leqslant f (x) \\ leqslant M_k... Najtočnija procjena integrala za danu particiju segmenta dobit će se ako uzmemo M_k kao najmanju, a m_k kao najveću od svih mogućih vrijednosti. To znači da kao m_k moramo uzeti točnu donju granicu vrijednosti funkcije y \u003d f (x) na segmentu, a kao M_k - točnu gornju granicu ovih vrijednosti na istom segmentu:
m_k \u003d \\ inf_ (x \\ in) f (x), \\ qquad M_k \u003d \\ sup_ (x \\ in) f (x).
Ako je y \u003d f (x) ograničena funkcija na intervalu, tada je također ograničena na svaki od intervala, pa prema tome brojevi m_k i M_k, ~ 0 \\ leqslant k \\ leqslant n-1... Ovim izborom brojeva m_k i M_k, zbrojevi \\ textstyle (\\ sum \\ limit_ (k \u003d 0) ^ (n-1) m_k \\ Delta x_k) i \\ textstyle (\\ sum \\ limit_ (k \u003d 0) ^ (n-1) M_k \\ Delta x_k) nazivaju se donjim i gornjim integralnim Darbouxovim zbrojevima za funkciju y \u003d -f (x) za datu particiju P:
a \u003d x_0
segment. Te ćemo sume označavati s_ (fP) i S_ (fP), a ako je funkcija y \u003d f (x) fiksna, onda jednostavno s_P i S_P.
Nejednakost (2) znači da ako funkcija y \u003d f (x) ograničena na interval ima antiderivativ na tom intervalu, tada određeni integral razdvaja numeričke skupove \\ (s_p \\) i \\ (S_P \\), koji se sastoje, od svih donjeg i gornjeg Darbouxa zbrojevi za sve moguće particije P intervala ... Općenito govoreći, može se dogoditi da broj koji razdvaja ova dva skupa nije jedinstven. Ali u nastavku ćemo vidjeti da je jedinstven za najvažnije klase funkcija (posebno za kontinuirane funkcije).
To vam omogućuje uvođenje nove definicije za \\ textstyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx), koji se ne temelji na konceptu antiderivata, već koristi samo Darbouxove iznose.
Definicija. Funkcija y \u003d f (x) ograničena na segment naziva se integrabilnom na ovom segmentu ako postoji jedan broj koji razdvaja skupove donjeg i gornjeg Darbouxova zbroja formiranih za sve moguće particije segmenta. Ako je funkcija y \u003d f (x) integrirana na segmentu, tada se jedini broj koji razdvaja ove skupove naziva definitivnim integralom ove funkcije preko segmenta i označava.
Definirali smo integral \\ textstyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx) za slučaj kada a b, onda stavljamo
\\ int \\ limite_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d - \\ int \\ limite_ (b) ^ (a) f (x) \\, dx \\,.
Ova je definicija prirodna, jer kad se promijeni smjer intervala integracije, sve razlike \\ Delta x_k \u003d x_ (k + 1) -x_k promijenite znak, a zatim promijenite znakove i sume Darbouxa i, prema tome, broj koji ih razdvaja, tj. sastavni.
Budući da za a \u003d b svi \\ Delta x_k nestaju, stavljamo
\\ int \\ limite_ (b) ^ (a) f (x) \\, dx \u003d 0.
Dobili smo dvije definicije pojma određenog integrala: kao razliku između vrijednosti antiderivata i kao razdvajajući broj za Darbouxove sume. Ove definicije, u najvažnijim slučajevima, dovode do istog rezultata:
Teorem 2. Ako je funkcija y \u003d f (x) ograničena na segment i na sebi ima antiderivativ y \u003d F (x), a postoji jedan broj koji razdvaja donju i gornju Darbouxovu sumu, tada je taj broj jednak F (b ) -F (a).
Dokaz. Iznad smo dokazali da broj F (a) -F (b) razdvaja skupove \\ (s_P \\) i \\ (S_P \\). Budući da je separacijski broj jedinstveno određen hipotezom, on se podudara s F (b) -F (a).
Od sada ćemo se služiti oznakom \\ textstyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx) samo za singular koji razdvaja skupove \\ (s_P \\) i \\ (S_P \\). Iz dokazane teoreme proizlazi da u ovom slučaju nema proturječja s razumijevanjem ove notacije koju smo gore koristili.
Svojstva donjeg i gornjeg zbroja Darbouxa
Da bi definicija integrala dana ranije imala smisla, potrebno je dokazati da se skup gornjih zbrojeva Darbouxa doista nalazi desno od skupa donjih zbrojeva Darbouxa.
Lema 1. Za svaku particiju P, odgovarajuća donja Darbouxova suma ne prelazi gornju Darbouxovu sumu, s_P \\ leqslant S_P.
Dokaz. Razmotrimo neku particiju P segmenta:
a \u003d x_0 "
Očito je da za bilo koji k i za bilo koju odabranu particiju P vrijedi nejednakost s_P \\ leqslant S_P. Slijedom toga, m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ leqslant M_k \\ cdot \\ Delta x_k, i zato
s_P \u003d \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ cdot \\ Delta x_k) \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (M_k \\ cdot \\ Delta x_k) \u003d S_P.
q.E.D. Nejednakost (4) vrijedi samo za fiksnu particiju P. Stoga još uvijek nije moguće tvrditi da donji Darbouxov zbroj jedne particije ne može premašiti gornji Darbouxov zbroj druge particije. Da bismo dokazali ovu izjavu, trebamo sljedeću lemu:
Lema 2. Dodavanjem nove točke podjele, donji zbroj Darbouxa ne može se smanjiti, a gornji iznos ne može povećati.
Dokaz. Odaberite neku particiju P segmenta i dodajte joj novu točku podjele (x ^ (\\ ast)). Označimo novu particiju s P ^ (\\ ast). Particija P ^ (\\ ast) je prečišćavanje particije P, tj. svaka točka particije P istovremeno je i točka particije P ^ (\\ ast).
Neka točka (x ^ (\\ ast)) padne na segment \\ dvotačka \\, x_k ... Razmotrimo dva oblikovana segmenta i
i označiti odgovarajuće točne donje granice vrijednosti funkcije s m_ (k) ^ (\\ ast) i m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast), a točne gornje granice s M_ (k) ^ ( \\ ast) i M_ (k) ^ (\\ ast \\ ast).
Termin m_k (x_ (k + 1) -m_ (k)) izvorni donji zbroj Darbouxa u novom donjem zbroju Darbouxa odgovara dvama pojmovima:
m_ (k) ^ (\\ ast) (x ^ (\\ ast) -x_k) + m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast)).
Pri čemu m_k \\ leqslant m_ (k) ^ (\\ ast) i m_k \\ leqslant m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast), budući da je m_k točna donja granica za vrijednosti funkcije f (x) na cijelom intervalu, a m_ (k) ^ (\\ ast) i m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) samo na njegovom dijelovi i
odnosno.
Procijenimo odozdo zbroj dobivenih pojmova:
\\ početak (poravnato) m_ (k) ^ (\\ ast) \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_ (k) \\ bigr) + m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) \\ bigl (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ bigr) \\ geqslant & \\, \\, m_k \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_k) + m_k (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ bigr ) \u003d \\\\ & \u003d m_k \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_k + x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ bigr) \u003d \\\\ & \u003d m_k \\ bigl (x_ (k + 1) -x_k \\ bigr). \\ kraj (poravnato)
Budući da ostatak pojmova i u starom i u novom donjem zbroju Darbouxa ostaje nepromijenjen, niži zbroj Darbouxa nije se smanjivao dodavanjem nove točke podjele, s_P \\ leqslant S_P.
Tvrdnja se pokazala valjanom pri dodavanju bilo kojeg konačnog broja točaka u particiju P.
Izjava o gornjem zbroju Darbouxa dokazuje se na sličan način: S_ (P ^ (\\ ast)) \\ leqslant S_ (P).
Prijeđimo na usporedbu zbroja Darbouxa za bilo koje dvije particije.
Lema 3. Nijedan donji zbroj Darbouxa nije veći od bilo kojeg gornjeg zbroja Darbouxa (barem odgovara drugoj particiji segmenta).
Dokaz. Razmotrite dvije proizvoljne particije P_1 i P_2 segmenta i formirajte treću particiju P_3, koja se sastoji od svih točaka particija P_1 i P_2. Dakle, particija P_3 je prečišćavanje i particije P_1 i particije P_2 (slika 7).
Označavamo donju i gornju Darbouxovu sumu za ove particije s_1, ~ S_1. ~ s_2, ~ S_2 i dokazati da je s_1 \\ leqslant S_2.
Budući da je P_3 dorada particije P_1, tada je s_1 \\ leqslant s_3. Nadalje, s_3 \\ leqslant S_3, budući da zbrojevi s_3 i S_3 odgovaraju istoj particiji. Konačno, S_3 \\ leqslant S_2, budući da je P_3 dorada particije P_2.
Tako, s_1 \\ leqslant s_3 \\ leqslant S_3 \\ leqslant S_2, tj. s_1 \\ leqslant S_2, prema potrebi.
Lema 3 to implicira brojčani skup X \u003d \\ (s_P \\) donjih zbroja Darbouxa leži lijevo od skupa brojeva Y \u003d \\ (S_P \\) gornjih zbrojeva Darbouxa.
Na osnovu teorema o postojanju broja koji razdvaja dva skupa brojeva1, postoji najmanje jedan broj / koji razdvaja skupove X i Y, tj. takav da za bilo koju particiju segmenta vrijedi dvostruka nejednakost:
s_P \u003d \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr) \\ leqslant I \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (M_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr) \u003d S_P.
Ako je ovaj broj jedinstven, onda \\ textstyle (I \u003d \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx).
Dajmo primjer koji pokazuje da takav broj I, općenito govoreći, nije jedinstveno određen. Prisjetimo se da je Dirichletova funkcija funkcija y \u003d D (x) na intervalu definiranom jednakostima:
D (x) \u003d \\ begin (slučajevi) 0, & \\ text (if) ~~ x ~~ \\ text (je iracionalan broj); \\\\ 1, & \\ text (if) ~~ x ~~ \\ text (je racionalni broj). \\ kraj (slučajevi)
Koji god segment da zauzmemo, na njemu postoje i racionalne i iracionalne točke, tj. i točke gdje je D (x) \u003d 0, i točke gdje je D (x) \u003d 1. Stoga su za bilo koju particiju segmenta sve vrijednosti m_k jednake nuli, a sve vrijednosti M_k jednake su jedinici. Ali onda sve donje Darbouxove sume \\ textstyle (\\ sum \\ limit_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr)) jednaki su nuli i svi gornji zbrojevi Darbouxa \\ textstyle (\\ sum \\ limit_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (M_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr)) jednak jedinici,
