Svrha:

• Formiranje koncepta antiderivata.
• Priprema za percepciju integralnog.
• Formiranje računskih vještina.
• Poticanje osjećaja za lijepo (sposobnost da se ljepota vidi u neobičnom).

Matematička analiza skup je dijelova matematike posvećenih proučavanju funkcija i njihovih generalizacija metodama diferencijalnog i integralnog računa.

Do sada smo proučavali dio matematičke analize koji se naziva diferencijalni račun, čija je suština proučavanje funkcije u "malom".

Oni. ispitivanje funkcije u dovoljno malim susjedstvima svake točke definicije. Jedna od operacija diferencijacije je pronalazak izvoda (diferencijala) i njegova primjena na proučavanje funkcija.

Inverzni problem nije ništa manje važan. Ako je poznato ponašanje funkcije u blizini svake točke njezine definicije, kako onda vratiti funkciju u cjelini, tj. na cijelom području njegove definicije. Ovaj je problem predmet proučavanja takozvanog integralnog računa.

Integracija je suprotnost diferencijaciji. Ili oporavak funkcije f (x) iz zadanog izvoda f` (x). Latinska riječ "integro" znači obnova.

Primjer # 1.

Neka je (x) `\u003d 3x 2.
Pronađite f (x).

Odluka:

Na temelju pravila diferencijacije lako je pogoditi da je f (x) \u003d x 3, jer je (x 3) `\u003d 3x 2
Međutim, lako je uočiti da se f (x) nalazi dvosmisleno.
Kao f (x) možemo uzeti
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3 itd.

Budući da je izvod svakog od njih 3x 2. (Izvod konstante je 0). Sve se ove funkcije međusobno razlikuju u konstantnom terminu. stoga zajednička odluka problemi se mogu zapisati u obliku f (x) \u003d x 3 + C, gdje je C bilo koji konstantan realan broj.

Pozva se bilo koja od pronađenih funkcija f (x) PRIMARNI za funkciju F` (x) \u003d 3x 2

Definicija. Funkcija F (x) naziva se antiderivativom funkcije f (x) na danom intervalu J ako je za sve x iz ovog intervala F` (x) \u003d f (x). Dakle, funkcija F (x) \u003d x 3 je antiderivat za f (x) \u003d 3x 2 na (- ∞; ∞).
Budući da je za sve x ~ R jednakost istinita: F` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Kao što smo već primijetili, ovu funkciju ima beskonačan skup antiderivata (vidi primjer # 1).

Primjer br. 2. Funkcija F (x) \u003d x je antiderivat za sve f (x) \u003d 1 / x na intervalu (0; +), budući da za sve x iz ovog intervala vrijedi jednakost.
F` (x) \u003d (x 1/2) `\u003d 1 / 2x -1/2 \u003d 1 / 2x

Primjer br. 3. Funkcija F (x) \u003d tg3x je antiderivat za f (x) \u003d 3 / cos3x na intervalu (-n / 2; P / 2),
od F` (x) \u003d (tg3x) `\u003d 3 / cos 2 3x

Primjer br. 4. Funkcija F (x) \u003d 3sin4x + 1 / x-2 antiderivativ za f (x) \u003d 12cos4x-1 / x 2 na intervalu (0; ∞)
od F` (x) \u003d (3sin4x) + 1 / x-2) `\u003d 4cos4x-1 / x 2

Predavanje 2.

Tema: Antiderivativ. Glavno svojstvo antiderivativne funkcije.

Pri proučavanju antiderivata, oslanjat ćemo se na sljedeću tvrdnju. Kriterij konstantnosti funkcije: Ako je na intervalu J izvod Ψ (h) funkcije jednak 0, tada je na tom intervalu funkcija Ψ (h) konstantna.

Ova se izjava može demonstrirati geometrijski.

Poznato je da je Ψ` (x) \u003d tanα, γde α-kut nagiba tangente na grafik funkcije Ψ (x) u točki s apscisom x 0. Ako je Ψ` (υ) \u003d 0 u bilo kojoj točki intervala J, tada je tanα \u003d 0 δ za bilo koju tangentnu crtu na grafu funkcije Ψ (x). To znači da je tangenta na graf funkcije u bilo kojoj točki paralelna osi apscise. Stoga se na naznačenom intervalu graf funkcije Ψ (x) podudara s odsječkom prave crte y \u003d C.

Dakle, funkcija f (x) \u003d c konstantna je na intervalu J ako je f` (x) \u003d 0 na ovom intervalu.

Zapravo, za proizvoljne h 1 i h 2 iz intervala J, prema teoremu o srednjoj vrijednosti funkcije, možemo napisati:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), jer f` (c) \u003d 0, tada je f (x 2) \u003d f (x 1)

Teorem: (Glavno svojstvo antiderivativne funkcije)

Ako je F (x) jedan od antiderivata za funkciju f (x) na intervalu J, tada skup svih antiderivativa ove funkcije ima oblik: F (x) + S, gdje je S bilo koji realan broj.

Dokaz:

Neka je F` (x) \u003d f (x), zatim (F (x) + C) `\u003d F` (x) + C` \u003d f (x), za x Є J.
Pretpostavimo da postoji Φ (x) - još jedan antiderivat za f (x) na intervalu J, tj. Φ` (x) \u003d f (x),
tada je (Φ (x) - F (x)) `\u003d f (x) - f (x) \u003d 0, za x Є J.
To znači da je Φ (x) - F (x) konstanta na intervalu J.
Prema tome, Φ (x) - F (x) \u003d C.
Odakle je Φ (x) \u003d F (x) + C.
To znači da ako je F (x) antiderivat za funkciju f (x) na intervalu J, tada skup svih antiderivativa ove funkcije ima oblik: F (x) + C, gdje je C bilo koji realan broj.
Stoga se bilo koja dva antiderivata određene funkcije međusobno razlikuju konstantnim pojmom.

Primjer: Naći skup antiderivativa funkcije f (x) \u003d cos x. Nacrtajte grafikone prve tri.

Odluka: Sin x - jedan od antiderivata za funkciju f (x) \u003d cos x
F (x) \u003d Sin x + C je skup svih antiderivata.

F 1 (x) \u003d Sin x-1
F 2 (x) \u003d Sin x
F 3 (x) \u003d Sin x + 1

Geometrijska ilustracija: Grafikon bilo kojeg antiderivativa F (x) + C može se dobiti iz grafa antiderivativa F (x) paralelnim prevođenjem r (0; c).

Primjer: Za funkciju f (x) \u003d 2x, pronađite antiderivativ čiji graf prolazi kroz točku M (1; 4)

Odluka: F (x) \u003d x 2 + C je skup svih antiderivativa, F (1) \u003d 4 - prema izjavi problema.
Prema tome, 4 \u003d 1 2 + C
C \u003d 3
F (x) \u003d x 2 +3

Antiderivativno.

Antiderivativ je lako razumjeti na primjeru.

Uzmimo funkciju y \u003d x 3. Kao što znamo iz prethodnih odjeljaka, izvedenih iz x 3 je 3 x 2:

(x 3)" = 3x 2 .

Prema tome, iz funkcije y \u003d x 3 dobivamo nova funkcija: na = 3x 2 .
Slikovito rečeno, funkcija na = x 3 ispaljena funkcija na = 3x 2 i njezin je "roditelj". U matematici ne postoji riječ "roditelj", ali postoji srodni koncept: antiderivativ.

To je: funkcija y \u003d x 3 je antiderivat za funkciju na = 3x 2 .

Definicija antiderivata:

U našem primjeru ( x 3)" = 3x 2, dakle y \u003d x 3 - antiderivat za na = 3x 2 .

Integracija.

Kao što znate, postupak pronalaska izvoda date funkcije naziva se diferencijacija. A obrnuta operacija naziva se integracija.

Primjer pojašnjenja:

na = 3x 2 + grijeh x.

Odluka:

Znamo da antiderivat za 3 x 2 je x 3 .

Antiderivativ za grijeh x je –kos x.

Dodajte dva antiderivata i dobijte antiderivat za zadanu funkciju:

y \u003d x 3 + (–kos x),

y \u003d x 3 - cos x.

Odgovor:
za funkciju na = 3x 2 + grijeh x y \u003d x 3 - cos x.

Primjer pojašnjenja:

Pronađite antiderivat za funkciju na \u003d 2 grijeha x.

Odluka:

Imajte na umu da je k \u003d 2. Antiderivat za grijeh x je –kos x.

Stoga, za funkciju na \u003d 2 grijeha x antiderivat je funkcija na \u003d –2 cos x.
Koeficijent 2 u funkciji y \u003d 2 sin x odgovara koeficijentu antiderivata iz kojeg je ta funkcija formirana.

Primjer pojašnjenja:

Pronađite antiderivat za funkciju g \u003d grijeh 2 x.

Odluka:

Imajte na umu da k \u003d 2. Antidirivat za grijeh x je –kos x.

Našu formulu primjenjujemo pri pronalaženju antiderivata za funkciju g \u003d cos 2 x:

1
g \u003d - · (–kos 2 x),
2

cos 2 x
g = – ----
2

cos 2 x
Odgovor: za funkciju g \u003d grijeh 2 x antiderivat je funkcija g = – ----
2

(4)

Primjer pojašnjenja.

Uzmimo funkciju iz prethodnog primjera: g \u003d grijeh 2 x.

Za ovu funkciju, svi antiderivati \u200b\u200bsu:

cos 2 x
g = – ---- + C.
2

Obrazloženje.

Uzmimo prvi redak. To glasi ovako: ako je funkcija y \u003d f ( x) jednako je 0, tada je antiderivat za njega 1. Zašto? Budući da je izvedena jedinica nula: 1 "\u003d 0.

Ostatak redaka čita se istim redoslijedom.

Kako zapisati podatke iz tablice? Uzmimo osmi redak:

(-kos x) "\u003d grijeh x

Drugi dio zapisujemo znakom izvedenice, zatim znakom jednakosti i izvedenicom.

Čitamo: antiderivat za funkciju grijeha x je funkcija -cos x.

Ili: funkcija -cos x je antiderivat za grijeh x.

Razmotrite kretanje točke duž ravne crte. Neka za vrijeme t od početka pokreta točka je prošla put s (t). Zatim trenutna brzina v (t) jednak je izvodu funkcije s (t), tj v (t) \u003d s "(t).

U praksi postoji obrnuti problem: za zadanu brzinu kretanja točke v (t) pronaći put kojim je prešla s (t), odnosno pronaći takvu funkciju s (t), čija je izvedenica jednaka v (t)... Funkcija s (t), takav da s "(t) \u003d v (t), nazvan antiderivatom funkcije v (t).

Na primjer, ako v (t) \u003d atgdje iJe li zadani broj, a zatim funkcija
s (t) \u003d (at 2) / 2 v (t), jer
s "(t) \u003d ((at 2) / 2)" \u003d at \u003d v (t).

Funkcija Ž (x) naziva antiderivativom funkcije f (x)na nekom intervalu, ako je za sve xiz ovog jaza F "(x) \u003d f (x).

Na primjer, funkcija F (x) \u003d sin xje antiderivat funkcije f (x) \u003d cos x,jer (grijeh x) "\u003d cos x; funkcija F (x) \u003d x 4/4je antiderivat funkcije f (x) \u003d x 3, jer (x 4/4) "\u003d x 3.

Razmotrimo problem.

Zadatak.

Dokazati da su funkcije x 3/3, x 3/3 + 1, x 3/3 - 4 antiderivativ iste funkcije f (x) \u003d x 2.

Odluka.

1) Označavamo F 1 (x) \u003d x 3/3, zatim F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2/3) \u003d x 2 \u003d f (x).

2) F 2 (x) \u003d x 3/3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3/3 + 1)" \u003d (x 3/3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f ( x).

3) F 3 (x) \u003d x 3/3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3/3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).

Općenito, bilo koja funkcija x 3/3 + C, gdje je C konstanta, antiderivat je funkcije x 2. To proizlazi iz činjenice da je izvod konstante nula. Ovaj primjer pokazuje da za zadanu funkciju njezin antiderivat nije jedinstveno određen.

Neka su F 1 (x) i F 2 (x) dva antiderivata iste funkcije f (x).

Tada je F 1 "(x) \u003d f (x) i F" 2 (x) \u003d f (x).

Izvod njihove razlike g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) jednak je nuli, budući da je g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x ) - f (x) \u003d 0.

Ako je g "(x) \u003d 0 na nekom intervalu, tada je tangenta na graf funkcije y \u003d g (x) u svakoj točki ovog intervala paralelna osi Ox. Stoga je graf funkcije y \u003d g (x) je ravna crta paralelna s osi Ox, tj. g (x) \u003d C, gdje je C neka konstanta. Iz jednakosti g (x) \u003d C, g (x) \u003d F 1 ( x) - F 2 (x) da je F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.

Dakle, ako je funkcija F (x) antiderivat funkcije f (x) na nekom intervalu, tada su svi antiderivativi funkcije f (x) zapisani u obliku F (x) + S, gdje je S an proizvoljna konstanta.

Razmotrimo grafikone svih antiderivativa zadane funkcije f (x). Ako je F (x) jedan od antiderivativa funkcije f (x), tada se bilo koji antiderivat te funkcije dobiva dodavanjem neke konstante u F (x): F (x) + C. Grafikoni funkcija y \u003d F (x) + C dobiveni su iz grafa y \u003d F (x) pomakom duž osi Oy. Odabirom C možete postići da antiderivativni graf prolazi kroz zadanu točku.

Obratimo pažnju na pravila za pronalaženje antiderivata.

Podsjetimo da je pozvana operacija pronalaska izvoda za datu funkciju diferencijacija... Poziva se inverzna operacija pronalaska antiderivata za datu funkciju integrirajući(od latinske riječi "vratiti").

Tablica antiderivata jer se neke funkcije mogu sastaviti pomoću tablice izvedenica. Na primjer, znajući to (cos x) "\u003d -sin x, dobivamo (-cos x) "\u003d grijeh x, odakle proizlazi da su svi antiderivati grijeh x napisani su kao -cos x + Cgdje IZ- konstantno.

Razmotrimo neka značenja antiderivata.

1) Funkcija: x p, p ≠ -1... Antiderivativ: (xp + 1) / (p + 1) + C.

2) Funkcija: 1 / x, x\u003e 0. Antiderivativ: ln x + C.

3) Funkcija: x p, p ≠ -1... Antiderivativ: (xp + 1) / (p + 1) + C.

4) Funkcija: f x... Antiderivativ: fx + C.

5) Funkcija: grijeh x... Antiderivativ: -cos x + C.

6) Funkcija: (kx + b) p, p ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivativ: (((kx + b) p + 1) / k (p + 1)) + C.

7) Funkcija: 1 / (kx + b), k ≠ 0... Antiderivativ: (1 / k) ln (kx + b) + C.

8) Funkcija: e kx + b, k ≠ 0... Antiderivativ: (1 / k) e kx + b + C.

9) Funkcija: grijeh (kx + b), k ≠ 0... Antiderivativ: (-1 / k) cos (kx + b).

10) Funkcija: cos (kx + b), k ≠ 0.Antiderivativ: (1 / k) grijeh (kx + b).

Pravila integracije može se dobiti s pravila diferencijacije... Pogledajmo neka pravila.

Neka bude Ž (x) i G (x) - antiderivativi funkcija f (x)i g (x)u nekom intervalu. Zatim:

1) funkcija F (x) ± G (x) je antiderivat funkcije f (x) ± g (x);

2) funkcija aF (x)je antiderivat funkcije od (x).

web mjesto, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala, potrebna je veza do izvora.

Rješavanje integrala jednostavan je zadatak, ali samo za nekolicinu odabranih. Ovaj je članak namijenjen onima koji žele naučiti razumjeti integrale, ali o njima ne znaju ništa ili gotovo ništa. Integral ... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Što su određeni i neodređeni integrali? Ako je jedina aplikacija koju znate za integralu heklanje nečega korisnog u obliku integralne ikone od teško dostupna mjestaonda dobrodošli! Naučite kako rješavati integrale i zašto bez toga ne možete.

Proučavamo pojam "integrala"

Integracija je bila poznata još u Drevni Egipt... Naravno da ne u suvremeni oblik, ali ipak. Od tada su matematičari napisali mnogo knjiga na ovu temu. Posebno su se istakli Newton i Leibniz ali suština stvari nije se promijenila. Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, još uvijek trebate osnovno znanje o osnovama matematičke analize. Upravo ove temeljne podatke o vama naći ćete na našem blogu.

Neodređeni integral

Pretpostavimo da imamo neku funkciju f (x) .

Neodređeni integral funkcije f (x) takva se funkcija naziva Ž (x) čiji je izvod jednak funkciji f (x) .

Drugim riječima, integral je obrnuti derivat ili antiderivativ. Usput, o tome pročitajte u našem članku.

Antiderivat postoji za sve kontinuirane funkcije. Također, antiderivativu se često dodaje znak konstante, jer se izvodi funkcija koje se razlikuju po konstanti podudaraju. Proces pronalaska integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Da se ne bi stalno izračunavali antiderivati \u200b\u200belementarnih funkcija, prikladno ih je spustiti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti:

Definitivan integral

Kad se bavimo pojmom integrala, imamo posla s beskonačno malim veličinama. Integral će vam pomoći izračunati površinu lika, masu nehomogenog tijela, put neravnomjernim kretanjem i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbroj beskonačno velikog broja beskonačno malih članova.

Kao primjer, zamislimo graf neke funkcije. Kako pronaći područje oblika omeđeno grafom funkcije?

Koristeći integral! Krivolinijski trapez, ograničen koordinatnim osima i grafom funkcije, dijelimo u beskrajno male segmente. Dakle, lik će biti podijeljen u tanke stupce. Zbroj površina stupova bit će površina trapeza. Ali ne zaboravite da će takav izračun dati približni rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, to će proračun biti točniji. Ako ih smanjimo do te mjere da duljina teži nuli, tada će zbroj površina segmenata težiti području slike. Ovo je definitivni integral, koji je napisan ovako:

Točke a i b nazivaju se granicama integracije.

Bari Alibasov i grupa "Integral"

Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10%

Integrirana pravila izračunavanja za lutke

Neodređena integralna svojstva

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo se osvrnuti na svojstva neodređenog integrala, koja će dobro doći prilikom rješavanja primjera.

• Izvod integrala jednak je integrandu:

• Konstanta se može izvaditi ispod integralnog predznaka:

• Integral zbroja jednak je zbroju integrala. To vrijedi i za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Znak integrala mijenja se ako se obrnu ograničenja integracije:

• Kada bilo koji bodova a, b i iz:

Već smo otkrili da je definitivni integral granica zbroja. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri integralnih rješenja

U nastavku ćemo razmotriti nekoliko primjera pronalaska neodređenih integrala. Predlažemo da samostalno otkrijete zamršenost rješenja, a ako nešto nije jasno, postavljajte pitanja u komentarima.

Da biste učvrstili materijal, pogledajte videozapis o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Nemojte se obeshrabriti ako integral ne bude dat odmah. Pitajte i oni će vam reći sve što znaju o izračunavanju integrala. Uz našu pomoć, bilo koji trostruki ili krivolinijski integral preko zatvorene površine bit će vam nadohvat ruke.

Funkcija Ž (x ) pozvao antiderivativni za funkciju f (x) u zadanom intervalu, ako je za sve x iz ovog intervala, jednakost

F "(x ) = f(x ) .

Na primjer, funkcija F (x) \u003d x 2 f (x ) = 2x , jer

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄

Glavno svojstvo antiderivata

Ako je a Ž (x) - antiderivat za funkciju f (x) na danom intervalu, zatim funkcija f (x) ima beskonačno mnogo antiderivata, a svi ti antiderivati \u200b\u200bmogu se zapisati kao F (x) + Cgdje IZ Je li proizvoljna konstanta.

Pravila izračuna antiderivativa

1. Ako je a Ž (x) - antiderivativ za f (x) , i G (x) - antiderivativ za g (x) zatim F (x) + G (x) - antiderivativ za f (x) + g (x) ... Drugim riječima, antiderivativ zbroja jednak je zbroju antiderivata .
2. Ako je a Ž (x) - antiderivativ za f (x) , i k - konstanta, dakle k · Ž (x) - antiderivativ za k · f (x) ... Drugim riječima, konstantni faktor može se premjestiti izvan predznaka izvedenice .
3. Ako je a Ž (x) - antiderivativ za f (x) , i k, b- trajni, štoviše k ≠ 0 zatim 1 / k Ž (k x +b ) - antiderivativ za f(k x + b) .

Neodređeni integral

Ne određeni integral iz funkcije f (x) naziva izrazom F (x) + C, odnosno ukupnost svih antiderivativa određene funkcije f (x) ... Neodređeni integral označava se na sljedeći način:

∫ f (x) dx \u003d F (x) + S. ,

f (x)- nazovite integrand ;

f (x) dx - nazovite integrand ;

x - nazovite varijabla integracije ;

Ž (x) - jedan od antiderivativa funkcije f (x) ;

IZ Je li proizvoljna konstanta.

Na primjer, ∫ 2 x dx \u003dx 2 + IZ , ∫ cosx dx \u003dgrijeh x + IZ itd. ◄

Riječ "integral" potječe od latinske riječi cijeli broj što znači "obnovljena". S obzirom na neodređeni integral od 2 x , nekako vraćamo funkciju x 2 čija je izvedenica jednaka 2 x ... Rekonstrukcija funkcije iz njenog izvoda ili, koja je ista, pronalaženje neodređenog integrala nad danim integrandom, naziva se integrirajući ovu funkciju. Integracija je inverzna diferencijacija. Da bi se provjerilo je li integracija točna, dovoljno je diferencirati rezultat i dobiti integrand.

Osnovna svojstva neodređenog integrala

1. Izvod neodređenog integrala jednak je integrandu:

(∫ f (x) dx )" \u003d f (x) .

2. Konstantni faktor integranda može se uzeti izvan integralnog predznaka:

∫ k · f (x) dx = k · ∫ f (x) dx .

3. Integral zbroja (razlike) funkcija jednak je zbroju (razlike) integrala ovih funkcija:

∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x ) dx .

4. Ako je a k, b- trajni, štoviše k ≠ 0 zatim

∫ f ( k x + b) dx = 1 / k Ž (k x +b ) + C .

Tablica antiderivativa i neodređenih integrala

Definitivan integral

Neka u intervalu [a; b] dana je kontinuirana funkcija y \u003d f (x) zatim određeni integral od a do b funkcija f (x) naziva se prirast antiderivata Ž (x) ovu funkciju, tj

$$ \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d F (x) | (_a ^ b) \u003d ~~ F (a) -F (b). $$

Brojevi ai b su imenovani u skladu s tim niži i vrh granice integracije.

Osnovna pravila za izračunavanje određenog integrala

1. \\ (\\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\);

2. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d - \\ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \\);

3. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx \u003d k \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx, \\) gdje k - konstantno;

4. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \\ int_ (a) ^ (b) g (x) dx \\);

5. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \\ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \\) ;

6. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 2 \\ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \\), pri čemu f (x) - ujednačena funkcija;

7. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\), gdje f (x) Neparna je funkcija.

Komentar ... U svim se slučajevima pretpostavlja da su integrandi integrirani na numeričkim intervalima, čije su granice granice integracije.

Geometrijsko i fizičko značenje određenog integrala

Geometrijsko značenje određeni integral	Fizički osjećaj određeni integral
Kvadrat S krivolinijski trapez (slika, ograničena grafom kontinuiranog pozitiva u intervalu [a; b] funkcija f (x) , os Vol i izravno x \u003d a , x \u003d b ) izračunava se po formuli $$ S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$	Put s, koju je materijalna točka prevladala, krećući se pravocrtno brzinom koja varira u skladu sa zakonom v (t) , za vremenski interval a ; b], zatim područje slike, ograničeno grafikonima ovih funkcija i ravnim linijama x \u003d a , x \u003d b , izračunato prema formuli $$ S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx. $$
	Na primjer. Izračunavamo površinu slike, ograničen crtama y \u003d x 2 i y \u003d2 - x . Shematski prikažimo grafikone ovih funkcija i označimo u drugoj boji lik čije područje treba pronaći. Da bismo pronašli granice integracije, rješavamo jednadžbu: x 2 = 2 - x ; x 2 + x -2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$ S \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx \u003d $$
$$ \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx \u003d \\ lijevo (2x- \\ frac (x ^ 2) (2) - \\ frac (x ^ 3) (2) \\ desno) \\ bigm | (_ (- 2) ^ (~ 1)) \u003d 4 \\ frac (1) (2). $$ ◄

Volumen tijela revolucije

	Ako se tijelo dobije kao rezultat rotacije oko osi Vol krivolinijski trapez, ograničen grafom kontinuiranog i nenegativnog u intervalu [a; b] funkcija y \u003d f (x) i izravno x \u003d ai x \u003d b onda se to zove tijelo revolucije . Volumen tijela okretaja izračunava se po formuli $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$ Ako se tijelo okretaja dobije kao rezultat rotacije lika ograničenog gore i dolje grafikonima funkcija y \u003d f (x) i y \u003d g (x) , odnosno, tada $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) dx. $$
	Na primjer. Izračunavamo volumen konusa s radijusom r i visina h . Postavite konus u pravokutni koordinatni sustav tako da se njegova os podudara s osi Vol , a središte baze bilo je u ishodištu. Zakretanje generatora AB definira konus. Budući da je jednadžba AB $$ \\ frac (x) (h) + \\ frac (y) (r) \u003d 1, $$ $$ y \u003d r- \\ frac (rx) (h) $$
a za obujam stošca koji imamo $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (0) ^ (h) (r- \\ frac (rx) (h)) ^ 2dx \u003d \\ pi r ^ 2 \\ int_ (0) ^ (h) (1- \\ frac ( x) (h)) ^ 2dx \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ cdot \\ frac ((1- \\ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ lijevo (0- \\ frac (1) (3) \\ desno) \u003d \\ frac (\\ pi r ^ 2h) (3). $$ ◄