U ovom videu ćemo pogledati cijeli set. linearne jednadžbe, koji se rješavaju istim algoritmom – zato se i nazivaju najjednostavnijima.

Za početak, definirajmo: što je linearna jednadžba i koju od njih treba nazvati najjednostavnijom?

Linearna jednadžba je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo u prvom stupnju.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe svode se na najjednostavnije pomoću algoritma:

1. Otvorene zagrade, ako postoje;
2. Pomaknite pojmove koji sadrže varijablu s jedne strane znaka jednakosti, a pojmove bez varijable s druge;
3. voditi poput pojmova lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Dobivenu jednadžbu podijelite s koeficijentom varijable $x$ .

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da ponekad, nakon svih tih makinacija, koeficijent varijable $x$ ispadne jednak nuli. U ovom slučaju moguće su dvije opcije:

1. Jednadžba uopće nema rješenja. Na primjer, kada dobijete nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj je broj različit od nule. U videu u nastavku pogledat ćemo nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednadžba svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, svejedno će ispasti “nula je jednaka nuli”, tj. ispravna brojčana jednakost.

A sada da vidimo kako sve to funkcionira na primjeru stvarnih problema.

Primjeri rješavanja jednadžbi

Danas se bavimo linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednadžba označava svaku jednakost koja sadrži točno jednu varijablu, a ide samo do prvog stupnja.

Takve konstrukcije rješavaju se približno na isti način:

1. Prije svega, morate otvoriti zagrade, ako postoje (kao u našem zadnjem primjeru);
2. Zatim donesi slično
3. Na kraju, izolirajte varijablu, tj. sve što je povezano s varijablom - termini u kojima je sadržana - prenosi se na jednu stranu, a sve što ostane bez nje prenosi se na drugu stranu.

Zatim, u pravilu, trebate donijeti slično na svakoj strani rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti s koeficijentom na "x", i dobit ćemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive pogreške u prilično jednostavnim linearnim jednadžbama. Obično se griješi ili pri otvaranju zagrada, ili pri prebrojavanju "pluseva" i "minusa".

Osim toga, događa se da linearna jednadžba uopće nema rješenja ili da je rješenje cijeli brojevni pravac, tj. bilo koji broj. Analizirat ćemo ove suptilnosti u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najviše jednostavni zadaci.

Shema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Za početak, dopustite mi da još jednom napišem cijelu shemu rješavanja najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako postoje.
2. Izdvojite varijable, tj. sve što sadrži "x" prenosi se na jednu stranu, a bez "x" - na drugu.
3. Predstavljamo slične uvjete.
4. Sve dijelimo s koeficijentom kod "x".

Naravno, ova shema ne radi uvijek, ima određene suptilnosti i trikove, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak #1

U prvom koraku moramo otvoriti zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Bilješka: pričamo samo o pojedinim komponentama. Idemo pisati:

Slične termine dajemo s lijeve i desne strane, ali to je ovdje već učinjeno. Stoga prelazimo na četvrti korak: dijelimo s faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ovdje smo dobili odgovor.

Zadatak #2

U ovom zadatku možemo promatrati zagrade, pa ih proširimo:

I s lijeve i s desne strane vidimo približno istu konstrukciju, ali postupajmo prema algoritmu, tj. varijable sekvestra:

Evo nekih poput:

Na kojim korijenima ovo radi? Odgovor: za bilo koji. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak #3

Treća linearna jednadžba je već zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ima tu nekoliko zagrada, ali se ničim ne množe, samo stoje ispred njih razne znakove. Razdvojimo ih:

Izvodimo drugi korak koji nam je već poznat:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvodimo posljednji korak - sve dijelimo s koeficijentom na "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednadžbi

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, onda bih želio reći sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednadžba rješenje - ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, nula može ući među njih - nema ništa loše u tome.

Nula je isti broj kao i ostali, ne biste je trebali na neki način razlikovati ili pretpostaviti da ste, ako dobijete nulu, učinili nešto pogrešno.

Još jedna značajka povezana je s proširenjem zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotan. A onda ga možemo otvoriti prema standardnim algoritmima: dobit ćemo ono što smo vidjeli u gornjim izračunima.

Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i bolne pogreške u srednjoj školi, kada se takve radnje podrazumijevaju.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Prijeđimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati kompliciranije i pojavit će se kvadratna funkcija pri izvođenju raznih transformacija. Međutim, ne biste se trebali bojati toga, jer ako, prema namjeri autora, riješimo linearnu jednadžbu, tada će se u procesu transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno reducirati.

Primjer #1

Očito, prvi korak je otvaranje zagrada. Učinimo to vrlo pažljivo:

Pogledajmo sada privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih poput:

Očito ova jednadžba nema rješenja, pa u odgovoru pišemo kako slijedi:

\[\raznolikost \]

ili bez korijena.

Primjer #2

Izvodimo iste korake. Prvi korak:

Pomaknimo sve s varijablom ulijevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih poput:

Očito, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa je pišemo ovako:

\[\varnothing\],

ili bez korijena.

Nijanse rješenja

Obje jednadžbe su potpuno riješene. Na primjeru ova dva izraza još jednom smo se uvjerili da i u najjednostavnijim linearnim jednadžbama sve može biti i ne tako jednostavno: može biti ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo. U našem slučaju razmatrali smo dvije jednadžbe, u obje jednostavno nema korijena.

Ali želio bih vam skrenuti pozornost na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih proširiti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja potrebno je sve pomnožiti sa "x". Napomena: umnožite svaki pojedini termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva pojma i umnožava se.

I tek nakon tih naizgled elementarnih, ali vrlo važnih i opasnih transformacija, može se otvoriti zagrada s gledišta da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije gotove, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod samo mijenja predznak. U isto vrijeme, sami nosači nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo s drugom jednadžbom:

Nije slučajno što obraćam pozornost na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Zato što je rješavanje jednadžbi uvijek slijed elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da srednjoškolci dolaze kod mene i ponovno uče rješavati tako jednostavne jednadžbe.

Naravno, doći će dan kada ćete te vještine izbrusiti do automatizma. Ne morate više svaki put izvoditi toliko transformacija, sve ćete napisati u jednom retku. No, dok tek učite, svaku akciju trebate napisati zasebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednadžbi

Ovo što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak #1

\[\lijevo(7x+1 \desno)\lijevo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Napravimo povlačenje:

Evo nekih poput:

Napravimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I unatoč tome što smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništili, što čini jednadžbu točno linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak #2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Pažljivo napravimo prvi korak: pomnožimo svaki element u prvoj zagradi sa svakim elementom u drugoj. Ukupno bi se nakon transformacija trebala dobiti četiri nova člana:

A sada pažljivo izvršite množenje u svakom članu:

Pomaknimo članove s "x" ulijevo, a bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Dobili smo konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija primjedba o ove dvije jednadžbe je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade u kojima je više od jednog člana, onda se to radi prema sljedećem pravilu: uzimamo prvi član od prvog i množimo sa svakim elementom iz drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i slično množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, dobivamo četiri pojma.

Na algebarskom zbroju

U zadnjem primjeru želio bih podsjetiti učenike što je algebarski zbroj. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo jednostavan dizajn: Oduzmi sedam od jedan. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju "jedan" dodajemo još jedan broj, naime "minus sedam". Ovaj algebarski zbroj razlikuje se od uobičajenog aritmetičkog zbroja.

Čim prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

Zaključno, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili, morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomkom

Za rješavanje takvih zadataka morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo ću podsjetiti na naš algoritam:

1. Otvorene zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slično.
4. Podijelite s faktorom.

Nažalost, ovaj prekrasan algoritam, usprkos svoj svojoj učinkovitosti, nije sasvim prikladan kada pred sobom imamo razlomke. A u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak s lijeve i s desne strane u obje jednadžbe.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može izvesti i prije prve radnje i nakon nje, naime, da se riješite razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorene zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slično.
5. Podijelite s faktorom.

Što znači "riješiti se razlomaka"? I zašto je to moguće učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju, svi razlomci su numerički u smislu nazivnika, tj. svugdje je nazivnik samo broj. Stoga, ako oba dijela jednadžbe pomnožimo ovim brojem, tada ćemo se riješiti razlomaka.

Primjer #1

\[\frac(\lijevo(2x+1 \desno)\lijevo(2x-3 \desno))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\lijevo(2x+1 \desno)\lijevo(2x-3 \desno)\cdot 4)(4)=\lijevo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot četiri\]

Imajte na umu: sve se jednom množi s "četiri", tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku od njih množiti s "četiri". Idemo pisati:

\[\lijevo(2x+1 \desno)\lijevo(2x-3 \desno)=\lijevo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada ga otvorimo:

Izvodimo izdvajanje varijable:

Vršimo smanjenje sličnih termina:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, prelazimo na drugu jednadžbu.

Primjer #2

\[\frac(\lijevo(1-x \desno)\lijevo(1+5x \desno))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\lijevo(1-x \desno)\lijevo(1+5x \desno)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem riješen.

To je, zapravo, sve što sam danas htio ispričati.

Ključne točke

Ključni nalazi su sljedeći:

• Poznavati algoritam za rješavanje linearnih jednadžbi.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerojatnije, u procesu daljnjih transformacija, oni će biti smanjeni.
• Korijeni u linearnim jednadžbama, čak i onim najjednostavnijim, su tri vrste: jedan korijen, cijeli brojevni pravac je korijen, korijena uopće nema.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za daljnje razumijevanje cijele matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu, riješite tamo prikazane primjere. Ostanite s nama, čeka vas još puno zanimljivih stvari!

Servis za online rješavanje jednadžbi pomoći će vam da riješite bilo koju jednadžbu. Korištenjem naše stranice ne samo da ćete dobiti odgovor na jednadžbu, već ćete vidjeti i detaljno rješenje, odnosno korak po korak prikaz procesa dobivanja rezultata. Naša usluga bit će korisna srednjoškolcima općeobrazovne škole i njihovi roditelji. Učenici će se moći pripremati za kolokvije, ispite, provjeriti svoje znanje, a roditelji će moći kontrolirati rješavanje matematičkih jednadžbi od strane svoje djece. Sposobnost rješavanja jednadžbi obavezan je uvjet za učenike. Usluga će vam pomoći u samostalnom učenju i poboljšanju znanja u području matematičkih jednadžbi. S njim možete riješiti bilo koju jednadžbu: kvadratnu, kubnu, iracionalnu, trigonometrijsku itd. online usluga ali neprocjenjivo, jer osim točnog odgovora, dobivate detaljno rješenje svake jednadžbe. Prednosti online rješavanja jednadžbi. Bilo koju jednadžbu možete riješiti online na našoj web stranici potpuno besplatno. Usluga je potpuno automatizirana, ne morate ništa instalirati na svoje računalo, samo trebate unijeti podatke i program će izdati rješenje. Isključene su računske pogreške ili tiskarske pogreške. S nama je vrlo jednostavno riješiti bilo koju jednadžbu online, stoga svakako koristite našu stranicu za rješavanje bilo koje vrste jednadžbi. Vi samo trebate unijeti podatke i izračun će biti gotov za nekoliko sekundi. Program radi samostalno, bez ljudske intervencije, a dobivate točan i detaljan odgovor. Rješavanje jednadžbe u opći pogled. U takvoj jednadžbi varijabilni koeficijenti i željeni korijeni su međusobno povezani. Najveća snaga varijable određuje poredak takve jednadžbe. Na temelju toga, za jednadžbe koristiti razne metode te teoreme za pronalaženje rješenja. Rješavanje jednadžbi ove vrste znači pronalaženje željenih korijena u općem obliku. Naša usluga omogućuje vam online rješavanje čak i najsloženijih algebarskih jednadžbi. Možete dobiti i opće rješenje jednadžbe i privatno rješenje za one koje ste naveli. brojčane vrijednosti koeficijenti. Za rješavanje algebarske jednadžbe na stranici dovoljno je ispravno ispuniti samo dva polja: lijevi i desni dio zadane jednadžbe. Algebarske jednadžbe s promjenjivim koeficijentima imaju beskonačan broj rješenja, a postavljanjem određenih uvjeta iz skupa rješenja odabiru se određena. Kvadratna jednadžba. Kvadratna jednadžba ima oblik ax^2+bx+c=0 za a>0. Rješenje jednadžbi kvadratnog oblika podrazumijeva pronalaženje vrijednosti x, pri kojima je zadovoljena jednakost ax ^ 2 + bx + c \u003d 0. Da biste to učinili, vrijednost diskriminante nalazi se formulom D=b^2-4ac. Ako diskriminant manje od nule, tada jednadžba nema realnih korijena (korijeni su iz polja kompleksnih brojeva), ako je jednaka nuli, onda jednadžba ima jedan realan korijen, a ako je diskriminant veći od nule, onda jednadžba ima dva realna korijena, koji se nalaze po formuli: D = -b + - sqrt/2a. Da biste riješili kvadratnu jednadžbu online, trebate samo unijeti koeficijente takve jednadžbe (cijeli brojevi, razlomci ili decimalne vrijednosti). Ako u jednadžbi postoje znakovi za oduzimanje, morate staviti minus ispred odgovarajućih članova jednadžbe. Kvadratnu jednadžbu možete riješiti i online ovisno o parametru, odnosno varijablama u koeficijentima jednadžbe. Naša online usluga za pronalaženje uobičajena rješenja. Linearne jednadžbe. Za rješavanje linearnih jednadžbi (ili sustava jednadžbi) u praksi se koriste četiri glavne metode. Opišimo svaku metodu detaljno. Metoda zamjene. Rješavanje jednadžbi metodom supstitucije zahtijeva izražavanje jedne varijable u smislu ostalih. Nakon toga se izraz zamjenjuje u ostale jednadžbe sustava. Otuda i naziv metode rješenja, odnosno umjesto varijable zamjenjuje se njezin izraz kroz ostale varijable. U praksi, metoda zahtijeva složene izračune, iako ju je lako razumjeti, pa će rješavanje takve jednadžbe online uštedjeti vrijeme i olakšati izračune. Vi samo trebate navesti broj nepoznanica u jednadžbi i ispuniti podatke iz linearnih jednadžbi, a zatim će servis napraviti izračun. Gaussova metoda. Metoda se temelji na najjednostavnijim transformacijama sustava kako bi se došlo do ekvivalentnog trokutastog sustava. Iz njega se određuju jedna po jedna nepoznanica. U praksi je potrebno riješiti takvu jednadžbu putem interneta Detaljan opis, zahvaljujući kojem ćete dobro savladati Gaussovu metodu za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Zapišite sustav linearnih jednadžbi u ispravnom formatu i uzmite u obzir broj nepoznanica kako biste ispravno riješili sustav. Cramerova metoda. Ova metoda rješava sustave jednadžbi u slučajevima kada sustav ima jedina odluka. Glavna stvar matematička radnja ovdje je izračun matričnih determinanti. Rješavanje jednadžbi Cramer metodom provodi se online, rezultat dobivate odmah s potpunim i detaljnim opisom. Dovoljno je samo ispuniti sustav koeficijentima i odabrati broj nepoznatih varijabli. matrična metoda. Ova se metoda sastoji u prikupljanju koeficijenata za nepoznanice u matrici A, nepoznanice u stupcu X i slobodne članove u stupcu B. Time se sustav linearnih jednadžbi svodi na matričnu jednadžbu oblika AxX=B. Ova jednadžba ima jedinstveno rješenje samo ako je determinanta matrice A različita od nule, inače sustav nema rješenja, ili ima beskonačan broj rješenja. Rješenje jednadžbi matričnom metodom je pronaći inverzna matrica ALI.

Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Jednadžbe čovjek koristi od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Potencijalne ili eksponencijalne jednadžbe nazivaju se jednadžbe u kojima su varijable potencije, a baza je broj. Na primjer:

Rješenje eksponencijalne jednadžbe svodi se na 2 jednostavne akcije:

1. Potrebno je provjeriti jesu li baze jednadžbe s desne i s lijeve strane iste. Ako baze nisu iste, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.

2. Nakon što baze postanu iste, izjednačimo stupnjeve i riješimo dobivenu novu jednadžbu.

Pretpostavimo da nam je dana eksponencijalna jednadžba sljedećeg oblika:

Rješenje ove jednadžbe vrijedi započeti analizom baze. Baze su različite - 2 i 4, a za rješenje trebamo da budu iste, pa transformiramo 4 prema sljedećoj formuli - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Dodajte izvornoj jednadžbi:

Izvadimo zagrade \

Express \

Budući da su stupnjevi isti, odbacujemo ih:

Odgovor: \

Gdje mogu riješiti eksponencijalnu jednadžbu na mreži pomoću rješavača?

Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https: // site. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbe bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.

Online kalkulator za pronalaženje korijena kubna jednadžba. Unesite koeficijente kubne jednadžbe i dobijete njezino rješenje.

Zahtjevi preglednika: potrebna je podrška za javascript 1.8.1.

Kalkulator korijena kubične jednadžbe

Opis online kalkulatora

Kalkulator izračunava korijene kubne jednadžbe:
(1) .
Da biste pronašli korijene ove jednadžbe, unesite vrijednosti koeficijenata A, B, C, D u polja obrasca i kliknite gumb "Izračunaj korijene". Nakon toga u nastavku će se pojaviti rezultati izračuna. Ako su koeficijenti pogrešno uneseni, polje za unos je označeno crvenom bojom i korijeni se ne izračunavaju. Ispravite istaknutu vrijednost i ponovno kliknite gumb Izračunaj korijene.

Pravila za unos brojeva

Za unos broja unesite sljedeće u polje za unos:
-6.626e-34
To je razdjelnik cijelog i razlomljenog dijela broja je točka.
Redoslijed broja upisuje se nakon latinično slovo e.

Metoda izračuna

Neka imamo kubnu jednadžbu:
.
Podijelimo ga na:
(1) ,
gdje , , . Napravimo zamjenu:
.
Dobivamo nepotpunu jednadžbu:
(4) ,
gdje
(5) ; .
Izračunavamo determinantu:
.

Ako je , onda izračunavamo korijene koristeći Cardano formulu:
(6) , ,
gdje
(7) ; .

Jer korijeni su stvarni. Izračunavamo ih pomoću Vieta formule:
(9) ;
(10) ;
(11) ,
gdje
(12) ; .

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što eksponencijalna jednadžba? Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori neki stupnjevi. I samo tamo! To je važno.

Tu si ti primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

3 x 2 x = 8 x + 3

Bilješka! U bazama stupnjeva (ispod) - samo brojevi. NA indikatori stupnjevi (iznad) - veliki izbor izraza s x. Ako se iznenada x pojavi u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:

ovo će biti jednadžba mješovitog tipa. Takve jednadžbe nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješenje eksponencijalnih jednadžbi u svom najčišćem obliku.

Zapravo, čak ni čiste eksponencijalne jednadžbe nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalne jednadžbe koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su tipovi koje ćemo promatrati.

Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi.

Počnimo s nečim vrlo osnovnim. Na primjer:

Čak i bez ikakve teorije, jednostavnim odabirom jasno je da je x = 2. Ništa više, zar ne!? Nema drugih bacanja vrijednosti x. A sada pogledajmo rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:

Što smo učinili? Mi smo, zapravo, samo izbacili iste dna (trojke). Potpuno izbačen. I, što drago, pogodio u metu!

Doista, ako su u eksponencijalnoj jednadžbi s lijeve i s desne strane isto brojeva u bilo kojem stupnju, ti se brojevi mogu ukloniti i jednaki eksponenti. Matematika dopušta. Ostaje riješiti puno jednostavniju jednadžbu. Dobro je, zar ne?)

Međutim, prisjetimo se ironično: možete ukloniti baze samo kada su brojevi baze s lijeve i desne strane u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Recimo u jednadžbama:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , ili

Ne možete ukloniti dvojnike!

Eto, svladali smo ono najvažnije. Kako prijeći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednadžbe.

— Evo tih vremena! - Ti kažeš. "Tko će dati takvog primitivca na kontrolnim i ispitima!?"

Prisiljen pristati. Nitko neće. Ali sada znate kamo ići kada rješavate zbunjujuće primjere. Potrebno je to dovesti u obzir, kada je isti osnovni broj s lijeve strane - s desne strane. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasik matematike. Uzimamo izvorni primjer i transformiramo ga u željeni nas um. Po matematičkim pravilima, naravno.

Razmotrite primjere koji zahtijevaju dodatne napore da ih dovedete do najjednostavnijih. Nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.

Rješenje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi glavna su pravila akcije s ovlastima. Bez znanja o tim radnjama ništa neće uspjeti.

Radnjama sa stupnjevima treba dodati osobno zapažanje i domišljatost. Trebaju li nam isti osnovni brojevi? Stoga ih u primjeru tražimo u eksplicitnom ili šifriranom obliku.

Da vidimo kako se to radi u praksi?

Dajmo nam primjer:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prvi pogled na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vrijeme je da se toga prisjetimo

Dva i osam su srodnici u stupnju.) Sasvim je moguće zapisati:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ako se prisjetimo formule iz akcija s ovlastima:

(a n) m = a nm,

općenito radi odlično:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Izvorni primjer izgleda ovako:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

prenosimo 2 3 (x+1) desno (nitko nije otkazao elementarne radnje matematike!), dobivamo:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To je praktički sve. Uklanjanje baze:

Riješimo ovo čudovište i dobijemo

Ovo je točan odgovor.

U ovom primjeru pomoglo nam je poznavanje moći dvojke. Mi identificiran u osmici, šifrirana dvojka. Ova tehnika (šifriranje zajedničkih osnova pod različite brojeve) je vrlo popularna tehnika u eksponencijalnim jednadžbama! Da, čak iu logaritmima. Čovjek mora znati prepoznati moći drugih brojeva u brojevima. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi.

Činjenica je da podizanje bilo kojeg broja na bilo koju potenciju nije problem. Umnožite, makar i na komad papira, i to je sve. Na primjer, svatko može podići 3 na petu potenciju. 243 će se ispostaviti ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednadžbama, mnogo češće je potrebno ne dizati na potenciju, već obrnuto ... koji broj u kojoj mjeri krije se iza broja 243, ili, recimo, 343... Tu vam nikakav kalkulator neće pomoći.

Moći nekih brojeva morate znati iz viđenja, da ... Hoćemo li vježbati?

Odredi koje su potencije i koji brojevi brojevi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (u neredu, naravno!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ako pažljivo pogledate, možete vidjeti čudna činjenica. Više je odgovora nego pitanja! Pa, događa se... Na primjer, 2 6 , 4 3 , 8 2 je sve 64.

Pretpostavimo da ste primili na znanje informacije o poznavanju brojeva.) Dopustite mi da vas podsjetim da za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi primjenjujemo cjelina zaliha matematičko znanje. Uključujući i one iz niže srednje klase. Nisi valjda otišao ravno u srednju školu?

Na primjer, kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi vrlo često pomaže stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada (pozdrav 7. razredu!). Pogledajmo primjer:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I opet, prvi pogled - na terene! Osnove stupnjeva su različite ... Tri i devet. I želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju, želja je sasvim izvediva!) Jer:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Prema istim pravilima za akcije sa stupnjevima:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

To je super, možete napisati:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Dali smo primjer iz istih razloga. Dakle, što je sljedeće!? Trojke se ne mogu izbaciti ... Ćorsokak?

Nikako. Prisjećanje na najuniverzalnije i najsnažnije pravilo odlučivanja svi matematički zadaci:

Ako ne znate što učiniti, učinite što možete!

Gledate, sve je formirano).

Što je u ovoj eksponencijalnoj jednadžbi limenkačini? Da, lijeva strana izravno traži zagrade! Zajednički faktor 3 2x jasno to upućuje. Pokušajmo, pa ćemo vidjeti:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Primjer postaje sve bolji i bolji!

Podsjećamo da nam je za eliminiranje baza potreban čisti stupanj, bez ikakvih koeficijenata. Muči nas brojka 70. Podijelimo obje strane jednadžbe sa 70 i dobijemo:

Op-pa! Sve je bilo u redu!

Ovo je konačan odgovor.

Događa se, međutim, da se po istim osnovama dobije taksiranje, ali ne i njihova likvidacija. To se događa u eksponencijalnim jednadžbama druge vrste. Uzmimo ovu vrstu.

Promjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Riješimo jednadžbu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Prvo - kao i obično. Prijeđimo na bazu. Do dvojke.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobivamo jednadžbu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I ovdje ćemo visjeti. Prethodni trikovi neće uspjeti, kako god okrenete. Morat ćemo iz arsenala nabaviti još jedan moćan i svestran način. To se zove varijabilna supstitucija.

Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju 2 x), pišemo drugu, jednostavniju (na primjer t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerojatnih rezultata!) Sve postaje jasno i razumljivo!

Pa neka

Zatim 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Zamjenjujemo u našoj jednadžbi sve potencije s x-ovima s t:

Pa, sviće?) Kvadratne jednadžbe još nisi zaboravio? Rješavamo kroz diskriminantu, dobivamo:

Ovdje je glavna stvar ne stati, kao što se događa ... Ovo još nije odgovor, trebamo x, a ne t. Vraćamo se na Xs, tj. izrada zamjene. Prvo za t 1:

To je,

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugu, iz t 2:

Hm... Lijevo 2 x, Desno 1... Zastoj? Da, nikako! Dovoljno je zapamtiti (od radnji sa stupnjevima, da ...) da je jedinica bilo koji broj do nule. Bilo koje. Što god trebate, mi ćemo to staviti. Trebamo dva. Sredstva:

Sada je to sve. Dobio 2 korijena:

Ovo je odgovor.

Na rješavanje eksponencijalnih jednadžbi na kraju se ponekad dobije neki neugodan izraz. Tip:

Od sedam, dvojka kroz jednostavan stupanj ne radi. Oni nisu rođaci ... Kako mogu biti ovdje? Netko može biti zbunjen ... Ali osoba koja je na ovoj stranici pročitala temu "Što je logaritam?" , samo se štedljivo nasmiješite i zapišite čvrstom rukom apsolutno točan odgovor:

Takav odgovor ne može biti u zadacima "B" na ispitu. Potreban je određeni broj. Ali u zadacima "C" - lako.

Ova lekcija pruža primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednadžbi. Istaknimo ono glavno.

Praktični savjeti:

1. Prije svega gledamo osnove stupnjeva. Da vidimo mogu li se učiniti isto. Pokušajmo to učiniti aktivnim korištenjem akcije s ovlastima. Ne zaboravite da se brojevi bez x također mogu pretvoriti u potencije!

2. Pokušavamo eksponencijalnu jednadžbu dovesti u oblik kada su lijevo i desno isto brojevi do bilo kojeg stupnja. Koristimo akcije s ovlastima i faktorizacija.Što se brojkama može prebrojati - mi brojimo.

3. Ako drugi savjet nije uspio, pokušavamo primijeniti zamjenu varijable. Rezultat može biti jednadžba koja se lako rješava. Najčešće - kvadrat. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.

4. Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednadžbi potrebno je poznavati stupnjeve nekih brojeva "iz viđenja".

Kao i obično, na kraju lekcije pozvani ste da malo riješite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.

Riješite eksponencijalne jednadžbe:

Teže:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Pronađite produkt korijena:

2 3-x + 2 x = 9

Dogodilo se?

Pa, onda najsloženiji primjer (riješen je, međutim, u umu ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Što je zanimljivije? Onda vam je loš primjer. Prilično vuče na povećanu težinu. Nagovijestit ću da u ovom primjeru spašava domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih zadataka.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Primjer je jednostavniji, za opuštanje):

9 2 x - 4 3 x = 0

A za desert. Pronađite zbroj korijena jednadžbe:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da da! Ovo je jednadžba mješovitog tipa! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. A što ih smatrati, treba ih riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednadžbe. Pa, potrebna je domišljatost ... I da, pomoći će vam sedmi razred (ovo je hint!).

Odgovori (u nizu, odvojeni točkom i zarezom):

jedan; 2; 3; četiri; nema rješenja; 2; -2; -5; četiri; 0.

Je li sve uspješno? Izvrsno.

Imamo problem? Nema problema! U posebnom odjeljku 555 sve ove eksponencijalne jednadžbe rješavaju se uz detaljna objašnjenja. Što, zašto i zašto. I, naravno, tu su dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Ne samo s ovim.)

Još jedno zabavno pitanje za razmatranje. U ovoj lekciji radili smo s eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječ o ODZ? U jednadžbama, ovo je vrlo važna stvar, usput ...

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.