Definicija. Poziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka najveći zajednički faktor (gcd) ove brojke.

Pronađi najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 35.
Djelitelji 24 bit će brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji 35 brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi se brojevi nazivaju međusobno jednostavni.

Definicija. Prirodni brojevi se zovu međusobno jednostavni ako je njihov najveći zajednički djelitelj (GCD) 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) mogu se pronaći bez ispisivanja svih djelitelja navedenih brojeva.

Uzimajući u obzir brojeve 48 i 36, dobivamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz čimbenika uključenih u razlaganje prvog od ovih brojeva brišemo one koji nisu uključeni u razlaganje drugog broja (to jest dvije dvojke).
Čimbenici ostaju 2 * 2 * 3. Njihov umnožak je 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.

Pronaći najveći zajednički faktor

2) iz čimbenika uključenih u razlaganje jednog od ovih brojeva izbrišite one koji nisu uključeni u razlaganje drugih brojeva;
3) pronaći umnožak preostalih faktora.

Ako su svi ti brojevi djeljivi jednim od njih, onda je taj broj najveći zajednički faktor dati brojevi.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj 15, 45, 75 i 180 je 15, budući da su svi drugi brojevi djeljivi s njim: 45, 75 i 180.

Najmanje zajedničko višestruko (LCM)

Definicija. Najmanje zajedničko višestruko (LCM) prirodni brojevi a i b nazivaju se najmanjim prirodnim brojem, koji je višekratnik i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez ispisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, razlažemo 75 i 60 na proste faktore: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Napišimo čimbenike uključene u razlaganje prvog od ovih brojeva i dodajmo im faktore koji nedostaju 2 i 2 iz razlaganja drugog broja (tj. Kombiniramo faktore).
Dobivamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je umnožak 300. Taj je broj najmanji zajednički višekratnik 75 i 60.

Pronađen je i najmanji zajednički višekratnik od tri ili više brojeva.

Do pronaći najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno vam je:
1) razložiti ih na osnovne faktore;
2) zapišite faktore uključene u razlaganje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) pronaći umnožak nastalih čimbenika.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, tada je taj broj najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik od 12, 15, 20 i 60 je 60 jer je djeljiv sa svim tim brojevima.

Pitagora (VI. St. Pr. Kr.) I njegovi učenici proučavali su pitanje djeljivosti brojeva. Broj jednak zbroju svih njegovih djelitelja (bez samog broja), nazvali su savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su znali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. stoljeću. n. NS. Peti - 33 550 336 - pronađen je u 15. stoljeću. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. No, do sada znanstvenici ne znaju postoje li neparni savršeni brojevi, postoji li najveći savršeni broj.
Zanimanje drevnih matematičara za proste brojeve posljedica je činjenice da je bilo koji broj ili prost ili se može predstaviti kao proizvod primarni brojevi, to jest, prosti brojevi su poput cigli od kojih je izgrađen ostatak prirodnih brojeva.
Vjerojatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva javljaju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ima ih više, u drugima - manje. No, što se dalje krećemo po nizu brojeva, to su rjeđi prosti brojevi. Postavlja se pitanje: postoji li zadnji (najveći) prost broj? Starogrčki matematičar Euklid (III. St. Pr. Kr.) U svojoj knjizi „Počeci“, koja je dvije tisuće godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, odnosno da iza svakog prostora stoji još veći prost broj .
Da bi pronašao proste brojeve, drugi grčki matematičar istog vremena, Eratosten, smislio je takvu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedinicu koja nije ni prost ni složeni broj, a zatim je precrtao sve brojeve iza 2 (brojevi koji su višekratnici 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim su svi brojevi nakon 3 (brojevi višekratnici 3, odnosno 6, 9, 12 itd.) Precrtani nakon dva. na kraju su samo prosti brojevi ostali neprecrtani.

Matematički izrazi i problemi zahtijevaju puno dodatnog znanja. NOC je jedan od glavnih, posebno se često koristi u Tema se proučava u srednjoj školi, iako nije osobito teško razumjeti gradivo, osobi koja je upoznata sa diplomama i tablicom množenja neće biti teško odabrati potrebne brojeve i pronađite rezultat.

Definicija

Zajednički višekratnik je broj koji se može potpuno podijeliti na dva broja istovremeno (a i b). Najčešće se taj broj dobije množenjem izvornih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv s oba broja odjednom, bez odstupanja.

NOC je prihvaćena oznaka kratko ime prikupljeno iz prvih slova.

Načini dobivanja broja

Za pronalaženje LCM-a metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna; mnogo je prikladnija za jednostavne jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. uobičajeno je podijeliti po čimbenicima, što je veći broj, bit će više čimbenika.

Primjer br. 1

Za najjednostavniji primjer, škole obično koriste jednostavne, jednoznačne ili dvoznamenkaste brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći problem, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je vrlo jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat toga, postoji broj 21, jednostavno nema manjeg broja.

Primjer br. 2

Druga varijanta zadatka puno je teža. S obzirom na brojeve 300 i 1260, pronalaženje LCM -a je obavezno. Za rješavanje zadatka poduzimaju se sljedeće radnje:

Razlaganje prvog i drugog broja na najjednostavnije čimbenike. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prva faza je završena.

Druga faza uključuje rad s već primljenim podacima. Svaki od dobivenih brojeva mora sudjelovati u izračunu konačnog rezultata. Za svaki faktor iz sastava izvornih brojeva najviše veliki broj pojavama. NOC je ukupni broj, stoga se čimbenici iz brojeva moraju u njemu ponoviti u jedan, čak i oni koji su prisutni u jednoj kopiji. Oba početna broja u svom sastavu imaju brojeve 2, 3 i 5, u različitim stupnjevima, u jednom slučaju postoji samo 7.

Da biste izračunali konačni rezultat, morate uzeti svaki broj u najvećoj od prikazanih snaga, u jednadžbi. Ostaje samo pomnožiti i dobiti odgovor, uz ispravno popunjavanje, zadatak se uklapa u dva koraka bez objašnjenja:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM = 6300.

To je cijeli problem, ako pokušate izračunati potreban broj množenjem, odgovor definitivno neće biti točan, jer je 300 * 1260 = 378.000.

Ispit:

6300/300 = 21 - istina;

6300/1260 = 5 - ispravno.

Točnost dobivenog rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM -a s oba početna broja, ako je broj u oba slučaja cijeli broj, tada je odgovor točan.

Što LCM znači u matematici

Kao što znate, u matematici nema niti jedne beskorisne funkcije, to nije iznimka. Najčešća upotreba ovog broja je pretvaranje razlomaka u zajednički nazivnik... Ono što se obično proučava u 5-6 razredima srednje škole. Također je i zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti u problemu. Sličan izraz može pronaći višekratnik ne samo dva broja, već i mnogo većeg broja - tri, pet itd. Što više brojeva - više radnji u zadatku, ali složenost se time ne povećava.

Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, morate pronaći njihov ukupni LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - u ovom je primjeru detaljno opisano raščlanjivanje bez otkazivanja.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Kako bi se sastavio izraz, potrebno je spomenuti sve čimbenike, u ovom slučaju su dati 2, 5, 3, - za sve te brojeve potrebno je odrediti najveći stupanj.

Pažnja: svi multiplikatori moraju biti dovedeni do potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, proširujući se na razinu nedvosmislenih.

Ispit:

1) 3000/250 = 12 - točno;

2) 3000/600 = 5 - točno;

3) 3000/1500 = 2 - točno.

Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti na razini genija, sve je jednostavno i jasno.

Drugi način

U matematici je puno toga povezano, puno se toga može riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda može se koristiti u slučaju jednostavnih dvoznamenkastih i jednoznamenkastih brojeva. Sastavlja se tablica u koju je množitelj upisan okomito, množitelj vodoravno, a umnožak je naznačen u presječenim ćelijama stupca. Tablicu možete odraziti pomoću retka, uzima se broj i rezultati množenja tog broja s cijelim brojevima, od 1 do beskonačnosti, zapisuju se u niz, ponekad je dovoljno 3-5 bodova, drugi i sljedeći brojevi su podvrgnuti istom računskom procesu. Sve se događa sve dok se ne pronađe zajednički višekratnik.

S obzirom na brojeve 30, 35, 42, morate pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:

1) Više od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Više od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Više od 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Primjetno je da su svi brojevi prilično različiti, jedini zajednički broj među njima je 210, pa će to biti LCM. Među procesima povezanim s ovim računanjem postoji i najveći zajednički djelitelj koji se izračunava prema sličnim načelima i često se susreće u susjednim problemima. Razlika je mala, ali dovoljno značajna, LCM pretpostavlja izračun broja koji je podijeljen sa svim tim početnim vrijednostima, a GCD pretpostavlja izračun najveća vrijednost kojim se dijele izvorni brojevi.

Drugi broj: b =

Odvajač znamenki Nema razdjelnog prostora "´

Proizlaziti:

Najveći zajednički djelitelj GCD -a ( a,b)=6

Najmanje zajednički višestruki LCM ( a,b)=468

Poziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka najveći zajednički faktor(Gcd) ove brojeve. Označeno s gcd (a, b), (a, b), gcd (a, b) ili hcf (a, b).

Najmanje zajednički višekratnik(LCM) od dva cijela broja a i b najmanji je prirodni broj koji je djeljiv sa a i b bez ostatka. LCM je označen (a, b) ili lcm (a, b).

Cijeli brojevi a i b se zovu međusobno jednostavni ako nemaju zajedničkih djelitelja osim +1 i −1.

Najveći zajednički djelitelj

S obzirom na dvije pozitivni brojevi a 1 i a 2 1). Potrebno je pronaći zajednički djelitelj ovih brojeva, t.j. pronaći takav broj λ koji dijeli brojeve a 1 i a 2 u isto vrijeme. Opišimo algoritam.

1) U ovom članku riječ broj će se shvatiti kao cijeli broj.

Neka bude a 1 ≥ a 2 i neka

gdje m 1 , a 3 neki cijeli brojevi, a 3 <a 2 (ostatak diobe a 1 uključeno a 2 bi trebalo biti manje a 2).

Pretvarajmo se da je tako λ dijeli a 1 i a 2, dakle λ dijeli m 1 a 2 i λ dijeli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Izjava 2 članka "Djeljivost brojeva. Znak djeljivosti"). Otuda slijedi da je svaki zajednički djelitelj a 1 i a 2 je zajednički djelitelj a 2 i a 3. Obratno vrijedi i ako λ zajednički djelitelj a 2 i a 3, dakle m 1 a 2 i a 1 =m 1 a 2 +a 3 se također dijele na λ ... Otuda zajednički djelitelj a 2 i a 3 je također zajednički djelitelj a 1 i a 2. Jer a 3 <a 2 ≤a 1, tada možemo reći da je rješenje problema pronalaska zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 sveden na jednostavniji problem pronalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 2 i a 3 .

Ako a 3 ≠ 0, tada možemo podijeliti a 2 uključeno a 3. Zatim

,

gdje m 1 i a 4 neki cijeli brojevi, ( a 4 ostatak a 2 uključeno a 3 (a 4 <a 3)). Sličnim zaključivanjem dolazimo do zaključka da su zajednički djelitelji brojeva a 3 i a 4 su isti kao zajednički djelitelji a 2 i a 3, a također i sa zajedničkim faktorima a 1 i a 2. Jer a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... brojevi se stalno smanjuju, a budući da postoji konačan broj cijelih brojeva između a 2 i 0, zatim u nekom koraku n, ostatak diobe a n na a n + 1 bit će jednako nuli ( a n + 2 = 0).

.

Svaki zajednički djelitelj λ brojevima a 1 i a 2 je i djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a 3 i a 4 , .... a n i a n + 1. I obrnuto je istina, zajednički djelitelji brojeva a n i a n + 1 su i djelitelji brojeva a n - 1 i a n, ...., a 2 i a 3 , a 1 i a 2. Ali zajednički djelitelj brojeva a n i a n + 1 je broj a n + 1, jer a n i a n + 1 su djeljivi sa a n + 1 (zapamtite to a n + 2 = 0). Stoga a n + 1 je i djelitelj brojeva a 1 i a 2 .

Imajte na umu da je broj a n + 1 najveći je djelitelj brojeva a n i a n + 1, budući da je najveći djelitelj a n + 1 je sam po sebi a n + 1. Ako a n + 1 se može predstaviti kao umnožak cijelih brojeva, tada su ti brojevi također zajednički djelitelji brojeva a 1 i a 2. Broj a n + 1 se zove najveći zajednički faktor brojevima a 1 i a 2 .

Brojevi a 1 i a 2 mogu biti i pozitivni i negativni brojevi. Ako je jedan od brojeva nula, tada će najveći zajednički djelitelj tih brojeva biti jednak apsolutnoj vrijednosti drugog broja. Najveći zajednički djelitelj nultih brojeva je nedefiniran.

Gornji algoritam se naziva Euklidov algoritam pronaći najveći zajednički djelitelj dva cijela broja.

Primjer pronalaska najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja

Pronađi najveći zajednički faktor dva broja 630 i 434.

• Korak 1. Podijelite broj 630 sa 434. Ostatak je 196.
• Korak 2. Podijelite broj 434 sa 196. Ostatak je 42.
• Korak 3. Podijelite broj 196 sa 42. Ostatak je 28.
• Korak 4. Podijelite broj 42 sa 28. Ostatak je 14.
• Korak 5. Podijelite broj 28 sa 14. Ostatak je 0.

U koraku 5, ostatak dijeljenja je 0. Stoga je najveći zajednički djelitelj 630 i 434 14. Imajte na umu da su 2 i 7 također djelitelji 630 i 434.

Međusobno prosti brojevi

Definicija 1. Neka je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 je jednako jedan. Tada se ti brojevi pozivaju međusobni brojevi koji nemaju zajednički djelitelj.

Teorema 1. Ako a 1 i a 2 međusobna broja i λ neki broj, zatim bilo koji zajednički djelitelj brojeva λa 1 i a 2 je također zajednički djelitelj brojeva λ i a 2 .

Dokaz. Razmotrimo Euklidov algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 (vidi gore).

.

Iz uvjeta teorema proizlazi da je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, pa prema tome a n i a n + 1 je 1. To jest, a n + 1 = 1.

Sve te jednakosti množimo sa λ , tada

.

Neka je zajednički djelitelj a 1 λ i a 2 je δ ... Zatim δ je faktor u a 1 λ , m 1 a 2 λ i u a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (vidi "Djeljivost brojeva", Izjava 2). Unaprijediti δ je faktor u a 2 λ i m 2 a 3 λ , pa je stoga faktor u a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Ovakvim zaključivanjem uvjereni smo da δ je faktor u a n - 1 λ i m n - 1 a n λ , pa, prema tome, u a n - 1 λ −m n - 1 a n λ =a n + 1 λ ... Jer a n + 1 = 1, tada δ je faktor u λ ... Otuda i broj δ je zajednički djelitelj brojeva λ i a 2 .

Razmotrimo posebne slučajeve teorema 1.

Posljedica 1. Neka bude a i c prosti brojevi su relativni b... Zatim njihov proizvod ac je prost broj u odnosu na b.

Stvarno. Iz teoreme 1 ac i b imaju iste zajedničke čimbenike kao c i b... Ali brojke c i b međusobno jednostavne, tj. imaju jedinstveni zajednički djelitelj 1. Zatim ac i b imaju i jedinstveni zajednički djelitelj 1. Dakle ac i b međusobno jednostavni.

Posljedica 2. Neka bude a i b coprime brojevi i neka b dijeli ak... Zatim b dijeli i k.

Stvarno. Iz uvjeta iskaza ak i b imaju zajednički djelitelj b... Na temelju teoreme 1, b mora biti zajednički djelitelj b i k... Stoga b dijeli k.

Zaključak 1 se može generalizirati.

Posljedica 3. 1. Neka su brojevi a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m prost u odnosu na broj b... Zatim a 1 a 2 , a 1 a 2 a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 a m, umnožak tih brojeva je prost u odnosu na broj b.

2. Neka imamo dva reda brojeva

tako da je svaki broj u prvom redu prost u odnosu na svaki broj u drugom retku. Zatim proizvod

Potrebno je pronaći takve brojeve koji su djeljivi sa svakim od ovih brojeva.

Ako je broj djeljiv sa a 1, tada ima oblik sa 1, gdje s bilo koji broj. Ako q najveći je zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, dakle

gdje s 1 je neki cijeli broj. Zatim

je najmanji zajednički višekratnici a 1 i a 2 .

a 1 i a 2 supriman, zatim najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2:

Pronađi najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Iz navedenog proizlazi da je bilo koji višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 mora biti višekratnik brojeva ε i a 3, i obrnuto. Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε i a 3 je ε 1. Nadalje, višestruki broj a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti višekratnik brojeva ε 1 i a 4. Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε 1 i a 4 je ε 2. Tako smo otkrili da su svi višekratnici brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m podudaraju se s višekratnicima određenog broja ε n, koji se naziva najmanji zajednički višekratnik danih brojeva.

U posebnom slučaju kada su brojevi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m su međusobno povezani, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2, kao što je gore prikazano, ima oblik (3). Nadalje, od a 3 prost u odnosu na brojeve a 1 , a 2, dakle a 3 prost u broju a 1 · a 2 (posljedica 1). Najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 ,a 2 ,a 3 je broj a 1 · a 2 a 3. Tvrdeći na sličan način, dolazimo do sljedećih tvrdnji.

Izjava 1. Najmanji zajednički višekratnik zamjenskih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m jednak je njihovom proizvodu a 1 · a 2 a 3 a m.

Izjava 2. Bilo koji broj koji je djeljiv sa svakim od zamjenskih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je također djeljiv po njihovom produktu a 1 · a 2 a 3 a m.

Kako pronaći LCM (najmanji zajednički višekratnik)

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva najmanji je od svih cijelih brojeva koji je ravnomjerno djeljiv s oba dana broja.

Metoda 1... LCM možete pronaći za svaki od danih brojeva ispisujući rastućim redoslijedom sve brojeve dobivene množenjem s 1, 2, 3, 4 itd.

Primjer za brojeve 6 i 9.
Pomnožimo broj 6, uzastopno, s 1, 2, 3, 4, 5.
Dobivamo: 6, 12, 18 , 24, 30
Pomnožimo broj 9, uzastopno, s 1, 2, 3, 4, 5.
Dobivamo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kao što vidite, LCM za brojeve 6 i 9 bit će 18.

Ova je metoda prikladna kada su oba broja mala i lako se množe nizom cijelih brojeva. Međutim, postoje slučajevi kada morate pronaći LCM za dvoznamenkaste ili troznamenkaste brojeve, kao i kada su izvorni brojevi tri ili čak više.

Metoda 2... LCM možete pronaći proširivanjem izvornih brojeva u proste faktore.
Nakon proširenja potrebno je precrtati iste brojeve iz rezultirajućeg niza prostih faktora. Preostali brojevi prvog broja bit će faktor za drugi, a preostali brojevi drugog bit će faktor za prvi.

Primjer za brojeve 75 i 60.
Najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60 može se pronaći bez ispisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, razlažemo 75 i 60 na osnovne faktore:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kao što vidite, čimbenici 3 i 5 nalaze se u oba reda. Mentalno ih "prekrižimo".
Zapišimo preostale čimbenike uključene u razlaganje svakog od ovih brojeva. Pri proširivanju broja 75 ostaje nam broj 5, a pri proširenju broja 60 imamo 2 * 2
Dakle, da bismo odredili LCM za brojeve 75 i 60, moramo pomnožiti preostale brojeve iz razlaganja 75 (ovo je 5) sa 60, a preostale brojeve iz razlaganja broja 60 (ovo je 2 * 2 ) pomnožiti sa 75. Odnosno, radi lakšeg razumijevanja, kažemo da množimo "poprečno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ovako smo pronašli LCM za brojeve 60 i 75. Ovo je broj 300.

Primjer... Odredite LCM za brojeve 12, 16, 24
U tom će slučaju naše djelovanje biti nešto složenije. No, prvo, kao i uvijek, sve brojeve razlažemo na proste faktore
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Da bismo ispravno odredili LCM, odabiremo najmanji od svih brojeva (ovo je broj 12) i uzastopno prolazimo kroz njegove faktore, precrtavajući ih ako barem jedan od drugih nizova brojeva sadrži isti, još uvijek precrtani faktor.

Korak 1 . Vidimo da se 2 * 2 pojavljuje u svim redovima brojeva. Precrtaj ih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. U prostim faktorima broja 12 ostaje samo broj 3. Ali prisutan je u prostim faktorima broja 24. Precrtajte broj 3 iz oba reda, dok se za broj 16 ne pretpostavlja ništa.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kao što vidite, prilikom proširenja broja 12 "precrtali" smo sve brojeve. To znači da je nalaz NOO ​​-a dovršen. Ostaje samo izračunati njegovu vrijednost.
Za broj 12 uzimamo preostale faktore broja 16 (najbliži u rastućem redoslijedu)
12 * 2 * 2 = 48
Ovo je NOO

Kao što vidite, u ovom je slučaju pronalaženje LCM -a bilo nešto teže, ali kada ga trebate pronaći za tri ili više brojeva, ova metoda omogućuje vam da to učinite brže. Međutim, obje metode pronalaženja LCM -a su točne.

No, mnogi prirodni brojevi ravnomjerno su djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 je podijeljen s 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Brojevi kojima je broj ravnomjerno djeljiv (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji... Djelitelj prirodnih brojeva a je prirodni broj koji dijeli dati broj a bez ostatka. Prirodan broj koji ima više od dva djelitelja naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke faktore. To su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj dva dana a i b- ovo je broj s kojim su oba navedena broja djeljiva bez ostatka a i b.

Zajednički višekratnik više brojeva je broj koji je djeljiv sa svakim od ovih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. No 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim j ukupnim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju 90. Taj se broj naziva najmanjizajednički višekratnik (LCM).

LCM je uvijek prirodan broj, koji mora biti veći od najvećeg od brojeva za koje je određen.

Najmanje zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

Mogućnost zamjene:

Asocijativnost:

Konkretno, ako i jesu međusobni brojevi, tada:

Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja m i n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m i n... Štoviše, skup zajedničkih višekratnika m, n podudara se sa skupom višekratnika za LCM ( m, n).

Asimptotike za mogu se izraziti pomoću nekih teoretski funkcija.

Tako, Čebiševljeva funkcija... I:

To proizlazi iz definicije i svojstava Landau funkcije g (n).

Ono što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

LCM ( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegov odnos s LCM -om:

2. Neka je poznata kanonička dekompozicija oba broja na proste faktore:

gdje p 1, ..., p k- razni prosti brojevi, i d 1, ..., d k i e 1, ..., e k- nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nule ako odgovarajući razmak nema u razlaganju).

Zatim LCM ( a,b) izračunava se po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve osnovne faktore uključene u barem jedno od proširenja broja a, b, uzima se najveći od dva eksponenta ovog faktora.

Primjer:

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika više brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračuna LCM -a dva broja:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- raščlaniti brojeve na proste faktore;

- najveće proširenje prenesite u čimbenike željenog proizvoda (umnožak čimbenika najvećeg broja zadanih), a zatim dodajte čimbenike iz proširenja ostalih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se nalaze u to manje puta;

- rezultirajući umnožak prostih faktora bit će LCM danih brojeva.

Bilo koja dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu međusobno višekratnici ili nemaju iste čimbenike u proširenju, tada je njihov LCM jednak umnošku tih brojeva.

Osnovni faktori broja 28 (2, 2, 7) nadopunjeni su faktorom 3 (broj 21), dobiveni proizvod (84) bit će najmanji broj djeljiv s 21 i 28.

Osnovni čimbenici najvećeg broja 30 nadopunjeni su s brojem 5 broja 25, rezultirajući umnožak 150 veći je od najvećeg broja 30 i podijeljen je sa svim danim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući proizvod (150, 250, 300 ...), koji je višekratnik svih navedenih brojeva.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti, pa je njihov LCM jednak umnošku zadanih brojeva.

Pravilo... Da biste izračunali LCM prostih brojeva, morate sve te brojeve pomnožiti među sobom.

Druga mogućnost:

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) nekoliko brojeva, trebate:

1) predstavljaju svaki broj kao umnožak njegovih prostih faktora, na primjer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite moći svih osnovnih faktora:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapisati sve proste djelitelje (faktore) svakog od ovih brojeva;

4) izabrati najveći stupanj svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) pomnožite ove stupnjeve.

Primjer... Pronađite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Riješenje... 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Ispisujemo najveće moći od svih prostih faktora i množimo ih:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.