|
The metodološki materijal je za referencu i pokriva širok raspon tema. Članak daje pregled grafikona glavnih elementarnih funkcija i razmatra najvažnije pitanje - kako pravilno i brzo napraviti graf... Tijekom studiranja više matematike bez poznavanja grafova osnovnih elementarnih funkcija bit će teško, stoga je vrlo važno sjetiti se kako izgledaju grafovi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., Prisjetiti se nekih vrijednosti funkcija. Također ćemo razgovarati o nekim svojstvima glavnih funkcija. Ne pretendiram na cjelovitost i znanstvenu temeljitost materijala, naglasak će biti stavljen, prije svega, na praksu - one stvari s kojima čovjek se mora suočiti doslovno na svakom koraku, u bilo kojoj temi više matematike... Karte za lutke? Možete tako reći.
Po popularnoj potražnji čitatelja sadržaj koji se može kliknuti:
Uz to, postoji ultra kratki sažetak o toj temi
- savladajte 16 vrsta grafikona proučavajući ŠEST stranica!
Ozbiljno, šest, čak sam i ja bio iznenađen. Ovaj sažetak sadrži poboljšanu grafiku i dostupan je uz simboličnu naknadu, može se pogledati demo verzija. Prikladno je ispisati datoteku tako da su grafovi uvijek pri ruci. Hvala na podršci projektu!
I odmah započinjemo:
Kako pravilno ucrtati koordinatne osi?
U praksi testove studenti gotovo uvijek sastavljaju u zasebnim bilježnicama, poredanim u kavez. Zašto su vam potrebne karirane linije? Napokon, posao se, u principu, može obavljati na A4 listovima. A kavez je potreban samo za visokokvalitetan i precizan dizajn crteža.
Bilo koji crtanje grafa funkcije započinje koordinatnim osima.
Crteži su 2D i 3D.
Prvo razmotrimo dvodimenzionalni slučaj kartezijanski pravokutni koordinatni sustav:
1) Crtanje koordinatne osi... Os se naziva apscisa
a os je ordinata
... Uvijek ih pokušavamo nacrtati uredan i ne iskrivljen... Strijele također ne bi trebale nalikovati bradi Papa Carla.
2) Osi potpisujemo velikim slovima "X" i "Y". Ne zaboravite potpisati osi.
3) Postavite ljestvicu duž osi: izvući nulu i dvije jedinice... Prilikom izvođenja crteža najprikladnija i najčešća ljestvica je: 1 jedinica \u003d 2 ćelije (crtež slijeva) - ako je moguće, pridržavajte se toga. Međutim, s vremena na vrijeme dogodi se da crtež ne stane na list bilježnice - tada smanjujemo mjerilo: 1 jedinica \u003d 1 ćelija (crtež s desne strane). Rijetko, ali dogodi se da se mjerilo crteža mora još više smanjiti (ili povećati)
NE TREBA "škrabati iz mitraljeza" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Za koordinatna ravnina - ni spomenik Descartesu, a student - ni golubica. Stavljamo nula i dvije jedinice duž osi... Ponekad umjesto toga jedinice, prikladno je "označiti" druge vrijednosti, na primjer, "dva" na apscisi i "tri" na ordinati - a ovaj će sustav (0, 2 i 3) također jedinstveno postaviti koordinatnu mrežu.
Bolje je procijeniti procijenjene dimenzije crteža PRIJE nego što je crtež izgrađen.... Tako, na primjer, ako zadatak zahtijeva da nacrtate trokut s vrhovima ,,, onda je sasvim jasno da popularna ljestvica od 1 jedinice \u003d 2 stanice neće raditi. Zašto? Pogledajmo poantu - ovdje morate izmjeriti petnaest centimetara dolje i, očito, crtež neće stati (ili jedva da stane) na list bilježnice. Stoga odmah odabiremo manju ljestvicu 1 jedinica \u003d 1 ćelija.
Usput, oko centimetara i ćelija bilježnice. Je li istina da 30 tetrad stanica sadrži 15 centimetara? Izmjerite u bilježnicu za kamate 15 centimetara ravnalom. U SSSR-u je to možda bila istina ... Zanimljivo je primijetiti da ako izmjerite ove centimetre vodoravno i okomito, rezultati (u stanicama) bit će drugačiji! Strogo govoreći, moderne bilježnice nisu kockaste, već pravokutne. Možda će se ovo činiti besmislicom, ali crtanje, na primjer, kruga kompasom u takvim rasporedima vrlo je nezgodno. Da budem iskren, u takvim trenucima počinjete razmišljati o ispravnosti druga Staljina, koji je poslan u logore zbog hakiranja u proizvodnji, a da ne spominjemo domaću automobilsku industriju, pad aviona ili eksploziju elektrana.
Kad smo već kod kvalitete ili kratke preporuke za dopisnice. Danas je većina bilježnica u prodaji, da ne kažem loše riječi, puna homoseksualnosti. Iz razloga što se smoče, i to ne samo od gel olovaka, već i od kemijskih olovaka! Štede na papiru. Za registraciju kontrolni radovi Preporučujem korištenje bilježnica Arhangelskog PPM-a (18 listova, kavez) ili "Pyaterochka", iako je skuplje. Preporučljivo je odabrati gel olovku, čak je i najjeftinija kineska štapica za gel puno bolja od kemijske olovke koja ili razmazuje ili trga papir. Jedini "natjecateljski" kemijska olovka u mom sjećanju je "Erich Krause". Piše jasno, lijepo i stabilno - ili s punom jezgrom ili s gotovo praznom.
Dodatno: U članku je opisano gledanje pravokutnog koordinatnog sustava očima analitičke geometrije Linearna (ne) ovisnost vektora. Osnova vektora, detaljne informacije o koordinatne četvrtine možete pronaći u drugom odlomku lekcije Linearne nejednakosti.
3D kućište
Ovdje je gotovo isto.
1) Crtamo koordinatne osi. Standard: os aplicirati
- usmjerena prema gore, os - usmjerena udesno, os - ulijevo i dolje strogo pod kutom od 45 stupnjeva.
2) Potpisujemo osi.
3) Postavite ljestvicu duž osi. Ljestvica osi - polovica ljestvice na ostalim osi... Također imajte na umu da sam na crtežu s desne strane koristio nestandardni "serif" duž osi (ova je mogućnost već gore spomenuta)... S moje točke gledišta, ovo je preciznije, brže i estetski ugodnije - nije potrebno tražiti sredinu stanice pod mikroskopom i "oblikovati" jedinicu tik uz ishodište.
Kada radite 3D crtanje, opet - dajte prednost skali
1 jedinica \u003d 2 ćelije (crtež slijeva).
Čemu služe sva ta pravila? Pravila postoje da bi se kršila. Što ću sada učiniti. Činjenica je da ću naknadne crteže članka izraditi u Excelu, a koordinatne osi sa stajališta će izgledati netočno ispravan dizajn... Sve bih karte mogao crtati ručno, ali crtanje ih je zapravo užasno jer će ih Excel puno točnije crtati.
Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija
Linearna funkcija zadana je jednadžbom. Grafikon linearnih funkcija je ravno... Da bi se izgradila ravna linija, dovoljno je znati dvije točke.
Primjer 1
Nacrtajte funkciju. Pronađimo dvije točke. Povoljno je odabrati nulu kao jednu od točaka.
Ako tada
Uzmimo neku drugu točku, na primjer, 1.
Ako tada
Prilikom ispunjavanja zadataka, koordinate točaka obično se tabeliraju:
A same vrijednosti izračunavaju se usmeno ili na skici, kalkulatoru.
Pronađene su dvije točke, izvršimo crtanje:
Pri sastavljanju crteža uvijek potpisujemo grafikone.
Neće biti suvišno prisjetiti se posebnih slučajeva linearne funkcije:
Primijetite kako sam rasporedio potpise, potpisi ne smiju dopustiti odstupanja prilikom proučavanja crteža... U ovom je slučaju bilo krajnje nepoželjno staviti potpis blizu točke presijecanja crta ili u donjem desnom kutu između grafova.
1) Linearna funkcija oblika () naziva se izravna proporcionalnost. Na primjer, . Izravno proporcionalni graf uvijek prolazi kroz ishodište. Dakle, konstrukcija ravne crte je pojednostavljena - dovoljno je pronaći samo jednu točku.
2) Jednadžba oblika postavlja ravnu crtu paralelnu osi, posebno je jednadžba postavlja sama os. Graf funkcije gradi se odmah, bez pronalaska ikakvih točaka. Odnosno, zapis treba shvatiti na sljedeći način: "igra je uvijek jednaka –4, za bilo koju vrijednost x".
3) Jednadžba oblika postavlja ravnu crtu paralelnu osi, posebno je jednadžba postavlja sama os. Grafikon funkcije također se gradi odmah. Oznaku treba shvatiti na sljedeći način: "x je uvijek, za bilo koju vrijednost y, jednak 1".
Neki će se pitati, pa, zašto se sjećati 6. razreda?! Tako je, možda je tako, samo tijekom godina prakse, upoznao sam desetak učenika koje je zbunio zadatak da naprave graf poput ili.
Crtanje ravne crte najčešća je radnja u crtanju.
Ravna crta detaljno se raspravlja tijekom analitičke geometrije, a oni koji to žele mogu se pozvati na članak Jednadžba ravne crte na ravnini.
Kvadratni, kubični graf funkcije, polinomni graf
Parabola. Raspored kvadratna funkcija  () je parabola. Razmotrimo poznati slučaj:
Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.
Dakle, rješenje naše jednadžbe: - upravo se u ovom trenutku nalazi vrh parabole. Zašto je to tako, možete naučiti iz teorijskog članka o izvedenici i lekcije o ekstremima funkcije. U međuvremenu izračunavamo odgovarajuću vrijednost "igre":
Dakle, vrh je u točki
Sada pronalazimo druge točke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija  – nije čak, ali, ipak, simetrija parabole nije otkazana.
U kojem redoslijedu pronaći ostatak bodova, mislim da će biti jasno iz finalne tablice:
Ovaj se algoritam konstrukcije slikovito može nazvati "shuttle" ili princip "naprijed i natrag" kod Anfise Chekhove.
Izvršimo crtež:
Još jedan koristan znak pada mi na pamet iz ispitivanih grafova:
Za kvadratnu funkciju  () vrijedi sljedeće:
Ako su onda grane parabole usmjerene prema gore.
Ako su tada grane parabole usmjerene prema dolje.
Dubinsko poznavanje krivulje može se dobiti u lekciji o hiperboli i paraboli.
Kubnu parabolu daje funkcija. Evo crteža poznatog iz škole:
Navešćemo glavna svojstva funkcije
Graf funkcije
Predstavlja jednu od grana parabole. Izvršimo crtež:
Glavna svojstva funkcije:
U ovom slučaju, os je vertikalna asimptota
za graf hiperbole na.
SJAJNA će pogreška biti ako prilikom crtanja crteža zanemarite dopuštanje presijecanja grafa s asimptotom.
Također nam jednostrane granice govore da je hiperbola nije ograničeno odozgo i nije ograničeno odozdo.
Ispitajmo funkciju u beskonačnosti: to jest, ako se počnemo kretati duž osi ulijevo (ili udesno) u beskonačnost, tada će "igre" biti beskrajno blizu približiti nuli i, sukladno tome, grane hiperbole beskrajno blizu približiti osi.
Dakle, os je vodoravna asimptota
za graf funkcije, ako "x" teži ka plus ili minus beskonačnosti.
Funkcija je neparan, i, prema tome, hiperbola je simetrična u odnosu na ishodište. Ova je činjenica očita iz crteža, a osim toga, lako se analitički provjerava:  .
Grafikon funkcije oblika () predstavlja dvije grane hiperbole.
Ako je, tada se hiperbola nalazi u prvoj i trećoj koordinatnoj četvrtini (vidi gornju sliku).
Ako je, tada se hiperbola nalazi u drugoj i četvrtoj koordinatnoj četvrtini.
Navedenu pravilnost mjesta prebivališta hiperbole lako je analizirati s gledišta geometrijskih transformacija grafova.
Primjer 3
Konstruirajte desnu granu hiperbole
Koristimo metodu izrade po točkama, dok je korisno odabrati vrijednosti tako da se ona u potpunosti podijeli:
Izvršimo crtež:
Neće biti teško konstruirati lijevu granu hiperbole, ovdje će neparna funkcija samo pomoći. Grubo govoreći, u tablici gradnje po točkama mentalno dodajte minus svakom broju, stavite odgovarajuće bodove i nacrtajte drugu granu.
Detaljni geometrijski podaci o razmatranoj liniji mogu se naći u članku Hiperbola i Parabola.
Graf eksponencijalne funkcije
U ovom ću odjeljku odmah razmotriti eksponencijalnu funkciju, jer se u problemima više matematike u 95% slučajeva susreće eksponencijalna.
Podsjećam vas da je ovo - iracionalan broj: to će biti potrebno prilikom izrade grafa, koji ću, zapravo, graditi bez ceremonije. Tri boda su vjerojatno dovoljna:
Ostavimo zasad graf funkcije na miru, o tome kasnije.
Glavna svojstva funkcije:
U principu, grafikoni funkcija izgledaju isto, itd.
Moram reći da je drugi slučaj rjeđi u praksi, ali se događa, pa sam smatrao da ga je potrebno uključiti u ovaj članak.
Graf logaritamske funkcije
Razmotrimo funkciju s prirodnim logaritmom.
Izvršimo crtanje po točkama:
Ako ste zaboravili što je logaritam, pogledajte svoje školske udžbenike.
Glavna svojstva funkcije:
Domena: 
Raspon vrijednosti :.
Funkcija nije ograničena odozgo:  , doduše polako, ali grana logaritma ide prema beskonačnosti.
Ispitajmo ponašanje funkcije blizu nule s desne strane:  ... Dakle, os je vertikalna asimptota
za graf funkcije s "x" koja teži nuli s desne strane.
Nužno je znati i zapamtiti tipičnu vrijednost logaritma: .
U principu, grafikon osnovnog logaritma izgleda jednako: ,, (decimalni logaritam baze 10) itd. Štoviše, što je baza veća, graf će biti ravniji.
Nećemo razmatrati slučaj, iz nekog se razloga ne sjećam kad sam zadnji put napravio graf s takvom osnovom. A čini se da je logaritam vrlo rijedak gost u problemima više matematike.
Za kraj paragrafa reći ću još jednu činjenicu: Eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcijaJesu li dvije međusobno inverzne funkcije... Ako pažljivo pogledate graf logaritma, možete vidjeti da je ovo isti eksponent, samo se nalazi malo drugačije.
Grafikoni trigonometrijske funkcije
Kako započinju trigonometrijske muke u školi? Ispravno. Iz sinusa
Zacrtajmo funkciju
Ova linija se zove sinusoidni.
Podsjećam vas da je "pi" iracionalan broj :, a u trigonometriji zasljepljuje u očima.
Glavna svojstva funkcije:
Ova funkcija je periodična s točkom. Što to znači? Pogledajmo segment. S lijeve i desne strane istog dijela grafa ponavlja se beskrajno.
Domena:, odnosno za bilo koju vrijednost "x" postoji sinusna vrijednost.
Raspon vrijednosti :. Funkcija je ograničena:, odnosno svi "igrači" sjede strogo u segmentu.
To se ne događa: ili, točnije, događa se, ali ove jednadžbe nemaju rješenje. |
Parabola. Grafik kvadratne funkcije () je parabola. Razmotrimo kanonski slučaj:
Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.
Opseg je bilo koji stvarni broj (bilo koja vrijednost "x"). Što to znači? Koju god točku na osi izabrali - za svaki "x" postoji točka parabole. Matematički je napisano ovako :. Domena definicije bilo koje funkcije označena je ili je standardna. Slovo označava skup stvarnih brojeva ili, jednostavnije, "bilo koji x" (kada je rad sastavljen u bilježnici, oni ne pišu kovrčavo slovo, već podebljano slovo R).
Raspon vrijednosti skup je svih vrijednosti koje varijabla "igra" može uzeti. U ovom slučaju: - skup svih pozitivne vrijednostiuključujući nulu. Raspon vrijednosti obično se označava sa ili.
Funkcija je čak. Ako je funkcija parna, tada je njezin graf simetričan oko osi. Ovo je vrlo korisno svojstvo, što uvelike pojednostavljuje crtanje, kao što ćemo uskoro vidjeti. Analitički, paritet funkcije izražava se uvjetom. Kako provjeriti bilo koju funkciju na paritet? Umjesto toga treba zamijeniti jednadžbu. U slučaju parabole, provjera izgleda ovako: pa je funkcija ujednačena.
Funkcija nije ograničeno odozgo... Analitički je svojstvo zapisano na sljedeći način :. Usput, evo primjera geometrijskog značenja granice funkcije za vas: ako idemo duž osi (lijevo ili desno) do beskonačnosti, tada će grane parabole (vrijednost "igre") penjati se do "plus beskonačnosti" unedogled.
Kada ispitivanje granica funkcija poželjno je razumjeti geometrijsko značenje granice.
Nije slučajno što sam tako detaljno opisao svojstva funkcije, sve gore navedene stvari korisno je znati i zapamtiti pri crtanju grafikona funkcija, kao i pri proučavanju grafikona funkcija.
Primjer 2
Funkcija parcele 
.
U ovom ćemo primjeru pokriti važno tehničko pitanje: Kako brzo izgraditi parabolu? U praktičnim vježbama potreba za crtanjem parabole javlja se vrlo često, posebno pri izračunavanju područje lika pomoću određeni integral
... Stoga je poželjno naučiti kako brzo izvesti crtež, uz minimalan gubitak vremena. Predlažem sljedeći algoritam konstrukcije.
Prvo, nalazimo vrh parabole. Da bismo to učinili, uzmemo prvu izvedenicu i izjednačimo je s nulom:
Ako su izvedenice loše, trebali biste pročitati lekciju Kako mogu pronaći izvedenicu?
Dakle, rješenje naše jednadžbe: - upravo se u ovom trenutku nalazi vrh parabole. Izračunavamo odgovarajuću vrijednost "igra":
Dakle, vrh je u točki
Sada pronalazimo druge točke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija – nije čak, ali, ipak, simetrija parabole nije otkazana.
U kojem redoslijedu pronaći ostatak bodova, mislim da će biti jasno iz finalne tablice:
Ovaj se algoritam konstrukcije slikovito može nazvati "shuttle". Možda ne razumiju svi bit shuttlea, onda vas, za usporedbu, podsjećam na poznatu TV emisiju "tudy-syudy s Anfisom Čehovom".
Izvršimo crtež:
Još jedan koristan znak pada mi na pamet iz ispitivanih grafova:
Za kvadratnu funkciju () vrijedi sljedeće:
Ako su onda grane parabole usmjerene prema gore.
Ako su tada grane parabole usmjerene prema dolje.
Kubična parabola
Kubnu parabolu daje funkcija. Evo crteža poznatog iz škole:
Navešćemo glavna svojstva funkcije
Opseg je bilo koji stvarni broj :.
Raspon je bilo koji stvarni broj :.
Funkcija je neparan. Ako je funkcija neparna, tada je njezin graf simetričan u odnosu na ishodište. Analitički, neobičnost funkcije izražava se uvjetom 
... Provjerimo kubnu funkciju, za to umjesto "x" zamjenjujemo "minus x":
, pa je funkcija neparna.
Funkcija nije ograničeno... Na jeziku ograničenja funkcije to se može napisati ovako :,
Također je učinkovitije konstruirati kubnu parabolu pomoću algoritma shuttlea Anfise Chekhove:
Sigurno ste primijetili gdje se također očituje neparna funkcija. Kad bismo to pronašli 
, tada pri izračunavanju više nije potrebno ništa brojati, to automatski zapisujemo. Ova značajka vrijedi za bilo koju neparnu funkciju.
Sada razgovarajmo malo o polinomnim grafovima.
Grafikon bilo kojeg polinoma trećeg stupnja 
() u osnovi ima sljedeći oblik:
U ovom primjeru, koeficijent na najvišem stupnju, pa je graf obrnut. Grafovi polinoma 5., 7., 9. i ostalih neparnih stupnjeva imaju u osnovi isti oblik. Što je veći stupanj, to je više srednjih "zavoja".
Polinomi 4., 6. i drugih parnih stupnjeva u osnovi imaju graf sljedećeg:
Ovo je znanje korisno pri ispitivanju grafova funkcija.
Graf funkcije
Izvršimo crtež:
Glavna svojstva funkcije:
Domena:.
Raspon vrijednosti :.
Odnosno, grafikon funkcije je u potpunosti u prvoj koordinatnoj četvrtini.
Funkcija nije ograničeno odozgo... Ili pomoću ograničenja: 
Pri konstruiranju najjednostavnijih grafova s \u200b\u200bkorijenima također je prikladna metoda crtanja po točkama, dok je korisno odabrati takve "x" vrijednosti tako da se korijen u potpunosti izvadi:
Zapravo bih želio analizirati više primjera s korijenima, na primjer, ali oni su puno rjeđi. Usredotočujem se na češće slučajeve i, kao što pokazuje praksa, čini se da se nešto mora graditi puno češće. Ako treba saznati kako izgledaju grafovi s drugim korijenima, onda preporučam da se pogleda školski udžbenik ili matematički priručnik.
Grafikon hiperbole
Opet se prisjećamo trivijalne "školske" hiperbole.
Izvršimo crtež:
Glavna svojstva funkcije:
Domena:.
Raspon vrijednosti :.
Unos znači: "bilo koji stvarni broj, osim nule"
U određenom trenutku funkcija trpi beskonačni prekid. Ili pomoću jednostranoograničenja:,. Razgovarajmo malo o jednostranim granicama. Unos znači da mi beskrajno blizu približavajući se nuli na osi lijevo... Kako se graf ponaša u ovom slučaju? Spušta se na minus beskonačnost, beskrajno blizu približavajući se osi. Ta je činjenica evidentirana ograničenjem. Slično tome, oznaka znači da mi beskrajno blizu približavajući se nuli na osi desno... U ovom slučaju, grana hiperbole raste za plus beskonačnost, beskrajno blizu približavajući se osi. Ili ukratko :.
ljubazan
gdje Drugim riječima, kubnu funkciju daje polinom trećeg stupnja.
Analitička svojstva
Primjena
Kubična parabola ponekad se koristi za izračunavanje prijelazne krivulje u transportu, jer je njezino izračunavanje puno lakše od crtanja klotoida.
vidi također
Napišite recenziju o "Kubičnoj funkciji"
Bilješke
Književnost
- L. S. Pontryagin, // "Kvant", 1984., br. 3.
- IN Bronstein, KA Semendyaev, "Priručnik za matematiku", izdavačka kuća "Science", M. 1967, str. 84
Izvadak koji karakterizira kubnu funkciju
- Pa, što god bilo ...
U to je vrijeme Petya, na kojeg nitko nije obraćao pažnju, prišao ocu i sav crven, slomljen, čas grubim, čas tankim glasom, rekao je:
- Pa, papa, odlučno ću reći - a i mama, kako želiš - odlučno ću reći da ćeš me pustiti vojna službajer ne mogu ... to je sve ...
Grofica je prestravljeno podigla pogled prema nebu, digla ruke i bijesno se okrenula prema mužu.
- Pa pristao sam! - rekla je.
Ali grof se odmah oporavio od uzbuđenja.
"Pa, dobro", rekao je. - Evo još ratnika! Ostavite gluposti: morate učiti.
- To nisu gluposti, tata. Obolensky Fedya mlađi je od mene i također hoda, a što je najvažnije, još uvijek ne mogu naučiti ništa sada ... - Petya se zaustavio, zacrvenio se do znoja i rekao isto: - kad je otadžbina u opasnosti.
- Puna, puna, glupost ...
- Ali i sami ste rekli da ćemo sve žrtvovati.
"Petya, kažem ti, šuti", viknuo je grof, osvrćući se na svoju suprugu, koja je, problijedivši, pogledom uprla pogled u svog mlađeg sina.
- A ja vam kažem. Tako će Pyotr Kirillovich reći ...
- Kažem vam - gluposti, mlijeko još nije presušilo, ali želi ići u vojnu službu! Pa, pa, kažem vam, - i grof je, uzevši sa sobom papire, vjerojatno da bi ih ponovno pročitao u svojoj radnoj sobi prije odmora, napustio sobu.
- Pyotr Kirillovich, pa, idemo malo popiti ...
Pierre je bio zbunjen i neodlučan. Natašine neobično svijetle i živahne oči, neprestano, više nego nežno obraćajući mu se, dovele su ga u ovo stanje.
- Ne, mislim da ću ići kući ...
- Kako kući, ali htjeli ste večer s nama ... A onda su to rijetko počele biti. A ovaj moj ... - rekao je grof dobrodušno, pokazujući na Natašu, - samo je s vama bila vesela ...
- Da, zaboravio sam ... Svakako moram kući ... Posao ... - brzopleto će Pierre.
"Pa, zbogom", rekao je grof, napuštajući sobu.
- Zašto odlaziš? Zašto si uzrujan? Zašto? .. - pitao je Pierre Natasha, prkosno ga gledajući u oči.
"Zato što te volim! - želio je reći, ali nije rekao, zacrvenio se do suza i spustio oči.
- Jer mi je bolje da te rjeđe posjećujem ... Jer ... ne, samo moram nešto obaviti.
- Iz čega? ne, reci mi ”, odlučno je započela Natasha i odjednom je zašutjela. Oboje su se pogledali u strahu i stidu. Pokušao se naceriti, ali nije mogao: njegov je osmijeh izrazio patnju, a on joj je šutke poljubio ruku i otišao.
Pierre je odlučio da više neće posjećivati \u200b\u200bRostove sa sobom. Petya je, nakon što je dobio odlučno odbijanje, otišao u svoju sobu i tamo, zatvarajući se od svih, gorko zaplakao. Činili su sve kao da ništa nisu primijetili kad je došao na čaj, šutljiv i tmuran, suzama umrljanih očiju.
Car je stigao sutradan. Nekoliko domaćinstava Rostova zatražilo je da odu i vide cara. Tog se jutra Petya dugo odijevao, češljao se i slagao ovratnike poput velikih. Namrštio se ispred zrcala, gestikulirao, slegnuo ramenima i na kraju, ne govoreći nikome, navukao kapu i izašao iz kuće sa stražnjeg trijema, trudeći se da ga ne primijete. Petya je odlučio otići ravno do mjesta na kojem je bio suveren i izravno objasniti nekom komorniku (Petji se činilo da je suveren uvijek okružen komornicima) da on, grof Rostov, unatoč mladosti, želi služiti otadžbini, da mladost ne može biti prepreka za predanost i da je spreman ... Petya je, dok se spremao, pripremio mnogo divnih riječi koje će reći komorniku.
Parabola. Grafik kvadratne funkcije () je parabola. Razmotrimo kanonski slučaj:
Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.
Opseg je bilo koji stvarni broj (bilo koja vrijednost "x"). Što to znači? Koju god točku na osi izabrali - za svaki "x" postoji točka parabole. Matematički je napisano ovako :. Domena definicije bilo koje funkcije označena je ili je standardna. Slovo označava skup stvarnih brojeva ili, jednostavnije, "bilo koji x" (kada je rad sastavljen u bilježnici, oni ne pišu kovrčavo slovo, već podebljano slovo R).
Raspon vrijednosti skup je svih vrijednosti koje varijabla "igra" može uzeti. U ovom slučaju: - skup svih pozitivnih vrijednosti, uključujući nulu. Raspon vrijednosti obično se označava sa ili.
Funkcija je čak. Ako je funkcija parna, tada je njezin graf simetričan oko osi. Ovo je vrlo korisna značajka, koja uvelike pojednostavljuje crtanje, kao što ćemo uskoro vidjeti. Analitički, paritet funkcije izražava se uvjetom. Kako provjeriti bilo koju funkciju na paritet? Umjesto toga treba zamijeniti jednadžbu. U slučaju parabole, provjera izgleda ovako: pa je funkcija ujednačena.
Funkcija nije ograničeno odozgo... Analitički je svojstvo zapisano na sljedeći način :. Usput, evo primjera geometrijskog značenja granice funkcije za vas: ako idemo duž osi (lijevo ili desno) do beskonačnosti, tada će grane parabole (vrijednost "igre") penjati se do "plus beskonačnosti" unedogled.
Kada ispitivanje granica funkcija poželjno je razumjeti geometrijsko značenje granice.
Nije slučajno što sam tako detaljno opisao svojstva funkcije, sve gore navedene stvari korisno je znati i zapamtiti pri crtanju grafikona funkcija, kao i pri proučavanju grafikona funkcija.
Primjer 2
Funkcija parcele 
.
U ovom ćemo primjeru pokriti važno tehničko pitanje: Kako brzo izgraditi parabolu? U praktičnim vježbama potreba za crtanjem parabole javlja se vrlo često, posebno kada se izračunava površina lika pomoću određenog integrala. Stoga je poželjno naučiti kako brzo izvesti crtež, uz minimalan gubitak vremena. Predlažem sljedeći algoritam konstrukcije.
Prvo, nalazimo vrh parabole. Da bismo to učinili, uzmemo prvu izvedenicu i izjednačimo je s nulom:
Ako su izvedenice loše, trebali biste pročitati lekciju Kako mogu pronaći izvedenicu?
Dakle, rješenje naše jednadžbe: - upravo se u ovom trenutku nalazi vrh parabole. Izračunavamo odgovarajuću vrijednost "igra":
Dakle, vrh je u točki
Sada pronalazimo druge točke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija – nije čak, ali, ipak, simetrija parabole nije otkazana.
U kojem redoslijedu pronaći ostatak bodova, mislim da će biti jasno iz finalne tablice:
Ovaj se algoritam konstrukcije slikovito može nazvati "shuttle". Možda ne razumiju svi bit shuttlea, onda vas, za usporedbu, podsjećam na poznatu TV emisiju "tudy-syudy s Anfisom Čehovom".
Izvršimo crtež:
Još jedan koristan znak pada mi na pamet iz ispitivanih grafova:
Za kvadratnu funkciju () vrijedi sljedeće:
Ako su onda grane parabole usmjerene prema gore.
Ako su tada grane parabole usmjerene prema dolje.
Kubična parabola
Kubnu parabolu daje funkcija. Evo crteža poznatog iz škole:
Navešćemo glavna svojstva funkcije
Opseg je bilo koji stvarni broj :.
Raspon je bilo koji stvarni broj :.
Funkcija je neparan. Ako je funkcija neparna, tada je njezin graf simetričan u odnosu na ishodište. Analitički, neobičnost funkcije izražava se uvjetom 
... Provjerimo kubnu funkciju, za to umjesto "x" zamjenjujemo "minus x":
, pa je funkcija neparna.
Funkcija nije ograničeno... Na jeziku ograničenja funkcije to se može napisati ovako :,
Također je učinkovitije konstruirati kubnu parabolu pomoću algoritma shuttlea Anfise Chekhove:
Sigurno ste primijetili gdje se također očituje neparna funkcija. Kad bismo to pronašli 
, tada pri izračunavanju više nije potrebno ništa brojati, to automatski zapisujemo. Ova značajka vrijedi za bilo koju neparnu funkciju.
Sada razgovarajmo malo o polinomnim grafovima.
Grafikon bilo kojeg polinoma trećeg stupnja 
() u osnovi ima sljedeći oblik:
U ovom primjeru, koeficijent na najvišem stupnju, pa je graf obrnut. Grafovi polinoma 5., 7., 9. i ostalih neparnih stupnjeva imaju u osnovi isti oblik. Što je veći stupanj, to je više srednjih "zavoja".
Polinomi 4., 6. i drugih parnih stupnjeva u osnovi imaju graf sljedećeg:
Ovo je znanje korisno pri ispitivanju grafova funkcija.
Graf funkcije
Izvršimo crtež:
Glavna svojstva funkcije:
Domena:.
Raspon vrijednosti :.
Odnosno, grafikon funkcije je u potpunosti u prvoj koordinatnoj četvrtini.
Funkcija nije ograničeno odozgo... Ili pomoću ograničenja: 
Pri konstruiranju najjednostavnijih grafova s \u200b\u200bkorijenima također je prikladna metoda crtanja po točkama, dok je korisno odabrati takve "x" vrijednosti tako da se korijen u potpunosti izvadi:
Funkcija y \u003d x ^ 2 naziva se kvadratna funkcija. Grafik kvadratne funkcije je parabola. Opći oblik parabola je prikazana na donjoj slici.
Kvadratna funkcija
Slika 1. Opći prikaz parabole
Kao što možete vidjeti iz grafikona, on je simetričan oko osi Oy. Os Oy naziva se os simetrije parabole. To znači da ako povučete ravnu crtu paralelnu osi Ox iznad ove osi. Tada će prijeći parabolu u dvije točke. Udaljenost od ovih točaka do osi Oy bit će jednaka.
Os simetrije dijeli grafikon parabole na dva dijela. Ti se dijelovi nazivaju granama parabole. A točka parabole koja leži na osi simetrije naziva se vrh parabole. Odnosno, os simetrije prolazi kroz vrh parabole. Koordinate ove točke (0; 0).
Osnovna svojstva kvadratne funkcije
1. Za x \u003d 0, y \u003d 0 i y\u003e 0 za x0
2. Minimalna vrijednost kvadratna funkcija doseže u svom vrhu. Ymin pri x \u003d 0; Također treba napomenuti da maksimalna vrijednost funkcija ne postoji.
3. Funkcija se smanjuje u intervalu (-∞; 0] i povećava u intervalu)
