Primjer invertne matrice. Definicija postojanja i jedinstvenosti obrnute matrice

1. definicija:  matrica se naziva degeneriranom ako je njena odrednica jednaka nuli. Definicija 2:  matrica se naziva degeneriranom ako njena odrednica nije jednaka nuli. Naziva se matrica "A" inverzna matricaako je uvjet A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (matrica identiteta) zadovoljen. Kvadratna matrica je invertibilna samo ako nije degenerirana. Shema proračuna obrnute matrice: 1) Izračunajte odrednicu matrice "A" ako ∆ A \u003d 0, tada inverzna matrica ne postoji. 2) Pronađite sve algebarske komplemente matrice "A". 3) Sastaviti matricu algebričnih komplemenata (Aij) 4) Prenesite matricu iz algebričnih komplementa (Aij) T 5) Pomnožite transponiranu matricu s brojem obratnim na odrednicu ove matrice. 6) izvršite provjeru: Na prvi pogled može se činiti da je teško, ali u stvari je vrlo jednostavno. Sve se odluke temelje na jednostavnoj aritmetičkoj grani, glavna stvar kada se odlučite ne miješati se sa znakovima "-" i "+", a ne izgubiti ih. A sada riješimo praktični zadatak s vama izračunavanjem obrnute matrice. Zadatak: pronađite obrnutu matricu "A" prikazanu na slici ispod: Sve rješavamo točno onako kako je naznačeno u planu za izračun inverzne matrice. 1. Prvo što treba učiniti je pronaći odrednicu matrice "A": Objašnjenje: Pojednostavili smo naš identifikator pomoću njegovih glavnih funkcija. Prvo smo u 2. i 3. reda dodali elemente prvog reda pomnožene s jednim brojem. Drugo, promijenili smo 2. i 3. stupac odrednice, a prema njezinim svojstvima promijenili smo znak ispred nje. Treće, izvadili smo zajednički faktor (-1) drugog retka i ponovo preokrenuli znak i on je postao pozitivan. Također smo 3 redaka pojednostavili na isti način kao na samom početku primjera. Dobili smo trokutastu odrednicu, u kojoj su elementi ispod dijagonale jednaki nuli, a po svojstvu 7 jednaki su proizvodu elemenata dijagonale. Kao rezultat toga, dobili smo ∆ A \u003d 26, dakle, inverzna matrica postoji. A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4 A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11 A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1 A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6 A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3 A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5 A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2 A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1 A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7 3. Sljedeći je korak sastavljanje matrice rezultirajućih dodataka: 5. Pomnožimo ovu matricu s brojem obratnim na odrednicu, to jest 1/26: 6. Pa, sada trebamo samo izvršiti provjeru: Tijekom provjere dobili smo jediničnu matricu, dakle, odluka je donesena apsolutno ispravno. 2 način izračunavanja obrnute matrice. 1. Elementarna transformacija matrica 2. Inverzijska matrica kroz elementarni pretvarač. Transformacija elementarne matrice uključuje: 1. Pomnoženje retka s brojem koji nije jednak nuli. 2. Dodavanje bilo kojem retku drugi redak pomnožen s brojem. 3. Zamjena redaka matrice. 4. Primjenjujući lanac elementarnih transformacija, dobivamo drugu matricu. -1 = ? 1. (A | E) ~ (E | A -1 ) 2. A -1 * A \u003d E Razmotrite to praktičnim primjerom sa stvarnim brojevima. Postavljanje:  Pronađite obrnutu matricu. rješenje: Provjerimo: Malo pojašnjenja o rješenju: Prvo smo preuredili 1. i 2. red matrice, a zatim smo prvi red pomnožili s (-1). Nakon toga smo prvi red pomnožili s (-2) i dodali u drugi red matrice. Zatim smo pomnožili 2 retka po 1/4. Posljednja faza transformacije je množenje drugog reda na 2 i zbrajanje prvog. Kao rezultat, imamo matricu identiteta na lijevoj strani, dakle, inverzna je matrica na desnoj strani. Nakon provjere, uvjerili smo se u ispravnost rješenja. Kao što vidite, izračunavanje obrnute matrice vrlo je jednostavno. Na kraju ovog predavanja, također bih želio posvetiti neko vrijeme svojstvima takve matrice. Pronalaženje obrnute matrice. U ovom ćemo se članku pozabaviti konceptom inverzne matrice, njezinim svojstvima i načinima pronalaska. Zaustavimo se detaljno na rješavanju primjera u kojima je potrebno konstruirati inverznu matricu za datu. Navigacija po stranici. Inverzivna matrica je definicija. Pronalaženje inverzne matrice pomoću matrice algebričnih komplemenata. Svojstva inverzne matrice. Pronalaženje obrnute matrice metodom Gauss-Jordan. Pronalaženje elemenata inverzne matrice rješavanjem odgovarajućih sustava linearnih algebričnih jednadžbi. Inverzivna matrica je definicija. Koncept inverzne matrice uvodi se samo za kvadratne matrice čija je odrednica ne-nuro, to jest za ne-degenerirane kvadratne matrice. Definicija. matricanaziva se inverzija matricečija je odrednica nula ako su jednakosti gdje E  Je li matrica identiteta reda n  na n. Pronalaženje inverzne matrice pomoću matrice algebričnih komplemenata. Kako pronaći obrnutu matricu za zadani? Prvo, trebaju nam koncepti transponirana matrica, manja matrica i algebrski komplement elementa matrice. Definicija. manjik-tom reda  matrica   reda m  na n  Je li odrednica matrice naloga k  na k, koji se dobiva iz elemenata matrice nalazi se u odabranom k  crte i k  stupovi. ( k  ne prelazi najmanji broj m  ili n). manji od (n-1) th  reda koji je sastavljen od elemenata svih redaka osim i-, i svi stupci osim j-thkvadratna matrica   reda n  na n  označavaju kao. Drugim riječima, minor je dobiven iz kvadratne matrice   reda n  na nprecrtavanje elemenata i-  žice i j-th  stupac. Na primjer, zapiši, minor drugo  red koji se dobiva iz matrice izbor elemenata njegovih drugog, trećeg reda i prvog, trećeg stupca , Pokažite i minor, koji je dobiven iz matrice   brisanjem drugog reda i trećeg stupca , Mi ilustriramo izgradnju ovih maloljetnika: i. Definicija. Algebraic komplement  element kvadratne matrice naziva se minor od (n-1) th  red, koji se dobiva iz matrice udarajući na nju elemente i-  žice i j-th  puta u stupcima. Algebrični dodatak nekog elementa je označen sa. Na ovaj način . Na primjer, za matricu   postoji algebrski dodatak nekog elementa. Drugo, korisna su nam dva svojstva determinante koja smo ispitali u odjeljku. izračunavanje matrice matrice: Na temelju tih svojstava odrednice, definicije operacije množenja matrice brojem  i koncept inverzne matrice , gdje je transponirana matrica čiji su elementi algebrski komplementi. matrica   stvarno je inverza matrice , budući da jednakosti vrijede , Pokažite Šminkajte algoritam obrnute matrice  koristeći jednakost . Analizirajmo algoritam za pronalaženje inverzne matrice na primjeru. Primjer. Dana matrica , Pronađite obrnutu matricu. Odluka. Izračunavamo odrednicu matrice tako da ga proširite na elemente trećeg stupca: Odrednica je nula, dakle matrica   reverzibilna. Pronađite matricu algebričnih komplemenata: stoga Donosimo matricu iz algebričnih komplemenata: Sada pronađite obrnutu matricu kao : Provjerite rezultat: jednakost   su zadovoljni, pa je inverzna matrica ispravno pronađena. Svojstva inverzne matrice. Koncept obrnute matrice, jednakost , definicije operacija na matricama i svojstva determinante matrice omogućuju nam opravdanje svojstva obrnute matrice: Pronalaženje elemenata inverzne matrice rješavanjem odgovarajućih sustava linearnih algebričnih jednadžbi. Razmotrimo drugi način pronalaska obrnute matrice za kvadratnu matricu reda n  na n. Ova metoda temelji se na rješenju. n  sustavi linearnih nehomogenih algebričnih jednadžbi sa n  nepoznata. Nepoznate varijable u tim sustavima jednadžbi su elementi obrnute matrice. Ideja je vrlo jednostavna. Označite inverznu matricu kao Xto jest , Budući da je, definicijom inverzne matrice, Izjednačavajući odgovarajuće elemente u stupcima, dobivamo n  sustavi linearnih jednadžbi Riješimo ih na bilo koji način i iz pronađenih vrijednosti sastavljamo inverznu matricu. Analizirajmo ovu metodu na primjeru. Primjer. Dana matrica , Pronađite obrnutu matricu. Odluka. Prihvatit će , Jednakost nam daje tri sustava linearnih nehomogenih algebričnih jednadžbi: Nećemo bojiti rješenje za ove sustave, ako je potrebno pogledajte odjeljak rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Iz prvog sustava jednadžbi imamo, iz drugog -, iz trećeg -. Stoga, željena inverzna matrica ima oblik , Preporučujemo vam da provjerite jesu li rezultati ispravni. Da sumiram. Ispitali smo koncept inverzne matrice, njezina svojstva i tri postupka za pronalaženje. Primjer otopine obrnute matrice Zadatak 1.  Riješite SLAE metodom obrnute matrice. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 \u003d 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 \u003d 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 4 Početak obrasca Kraj forme odluka, Matricu pišemo u obliku: Vektor B: BT \u003d (1,2,3,4) Glavna odrednica Minor za (1,1): \u003d 5 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) \u003d -3 Minor za (2.1): \u003d 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) \u003d 0 Minor za (3) , 1): \u003d 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) +4 (3 2-3 1) \u003d 3 Minor za (4.1): \u003d 3 (3 2-6 2) -5 (3 2-6 1) +7 (3 2-3 1) \u003d 3 Manja odrednica ∆ \u003d 2 (-3) -3 0 + 5 3-4 3 \u003d -3 Transponirana matrica  Algebarski komplement ∆ 1,1 \u003d 5 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +2 (7 3-6 4) \u003d -3 ∆ 1,2 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +1 (7 3-6 4) \u003d 0 ∆ 1,3 \u003d 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4 ) \u003d 3 ∆ 1,4 \u003d -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) \u003d -3 ∆ 2,1 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +2 (5 3-6 4) \u003d 9 ∆ 2,2 \u003d 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3- 6 4) \u003d 0 ∆ 2,3 \u003d -2 (3 1-2 3) -3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) \u003d -6 ∆ 2,4 \u003d 2 (3 2- 2 6) -3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) \u003d 3 ∆ 3.1 \u003d 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) +2 (5 4 -7 4) \u003d -4 ∆ 3.2 \u003d -2 (7 1-2 4) -3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) \u003d 1 ∆ 3.3 \u003d 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2-4) +1 (3 4-5 4) \u003d 1 ∆ 3.4 \u003d -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) \u003d 0 ∆ 4.1 \u003d -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -12 ∆ 4.2 \u003d 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) \u003d 9 ∆ 4.4 \u003d 2 (5 6-3 7) -3 (3 6-3 5) +3 (3 7-5 5) \u003d -3 obrnuta matrica Vektor rezultata X  X \u003d A -1 ∙ B   X T \u003d (2, -1, -0.33,1) x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -1 x 3 \u003d -0.33 x 4 \u003d 1 vidi također sLAE rješenja metodom obrnute matrice  on-line. Da biste to učinili, unesite svoje podatke i potražite rješenje s detaljnim komentarima. Zadatak 2, Napišite sustav jednadžbi u obliku matrice i riješite ga pomoću inverzne matrice. Provjerite primljeno rješenje. odluka:xML:xls Primjer 2, Napisati sustav jednadžbi u obliku matrice i riješiti pomoću inverzne matrice. odluka:xML:xls primjer, Daje se sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice. Zahtijeva: 1) pronaći rješenje pomoću cramerove formule; 2) napisati sustav u obliku matrice i riješiti ga pomoću matričnog izračuna. smjernice, Nakon rješavanja s Cramer-ovom metodom, pronađite rješenje "Obrnuta matrica za izvorne podatke". Dobit ćete odgovarajuće rješenje. Stoga se podaci neće morati ponovo ispunjavati. odluka, Neka A označava matricu koeficijenta za nepoznanice; X je matrica stupaca nepoznanica; B - matrica stupaca slobodnih članova: Vektor B: BT \u003d (4, -3, -3) S obzirom na ove oznake, ovaj sustav jednadžbi ima sljedeći oblik matrice: A * X \u003d B. Ako je A neprolazan (njegova odrednica nije jednaka nuli, tada ima inverznu matricu A -1 Pomnoživši obje strane jednadžbe s A -1, dobivamo: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Ta se jednakost naziva matrično snimanje rješenja sustava linearnih jednadžbi, Da bi se pronašlo rješenje sustava jednadžbi, potrebno je izračunati inverznu matricu A -1. Sustav će imati rješenje ako je odrednica matrice A jednaka nuli. Pronađite glavnu odrednicu. ∆ \u003d -1 (-2 (-1) -1 1) -3 (3 (-1) -1 0) +2 (3 1 - (- 2 0)) \u003d 14 Dakle, odrednica je 14 ≠ 0, pa nastavljamo odluka. Da biste to učinili, pronađite obrnutu matricu kroz algebarske komplemente. Pretpostavimo da imamo degeneriranu matricu A: Izračunavamo algebarske komplemente. ∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1 ∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3 ∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3 ∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5 ∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1 ∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1 ∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7 ∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T \u003d (- 1,1,2) x 1 \u003d -14 / 14 \u003d -1 x 2 \u003d 14/14 \u003d 1 x 3 \u003d 28/14 \u003d 2 inspekcija. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doktor:xML:xls Odgovor je: -1,1,2.

Pronalaženje obrnute matrice  - zadatak koji se često rješava dvije metode:

• metoda algebričnih dodavanja u kojoj se traži pronaći odrednice i prenijeti matrice;
• gaussova nepoznata metoda uklanjanja, u kojoj je potrebno izvesti elementarne transformacije matrice (dodavanje linija, množenje linija s istim brojem, itd.).

Za naj znatiželjnije postoje i druge metode, na primjer, metoda linearnih transformacija. U ovoj lekciji analizirat ćemo tri navedene metode i algoritmi za pronalaženje inverzne matrice ovim metodama.

Inverzna matrica naziva se takva matrica

. (1)

Inverzna matrica da se nađe za datu kvadratnu matricu naziva se takva matrica

matrični proizvod   s desne strane je matrica identiteta, tj.
. (1)

Jedinstvena matrica je dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki.

Teorem.  Za svaku nesingularnu (nedegeneriranu, nesingularnu) kvadratnu matricu možete pronaći obrnutu matricu i, osim toga, samo jednu. Za posebnu (degeneriranu, jedninu) kvadratnu matricu inverzna matrica ne postoji.

Zove se kvadratna matrica nesingularnom  (ili nesingularnom, nesingularnom) ako njegova odrednica nije jednaka nuli, i poseban  (ili jednina, jednina) ako je njegova odrednica jednaka nuli.

Inverzivna matrica može se naći samo za kvadratnu matricu. Naravno, inverzna matrica će također biti kvadratna i istog reda kao i ova. Matrica za koju se može naći inverzna matrica naziva se invertibilna matrica.

za inverzna matrica postoji relevantna obrnuta analogija. Za svaki broj ne-nula, postoji takav broj btaj proizvod   i b  jednak jednom: ab  \u003d 1. broj b  naziva se inverznim brojem b, Na primjer, za broj 7 je obrnuto 1/7, jer je 7 * 1/7 \u003d 1.

Pronalaženje inverzne matrice metodom algebričnih komplementa (matrica unije)

Za nesularnu kvadratnu matricu obrnuto je matrica

gdje je odrednica matrice , a je matrica spojena s matricom .

Savezan kvadratnom matricom naziva se matrica istog reda, čiji su elementi algebrični komplementi odgovarajućih elemenata determinante matrice prenesene u odnosu na matricu A. Dakle, ako

i

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice metodom algebarskog komplementa

1. Pronađite odrednicu određene matrice , Ako je odrednica jednaka nuli, inverzna matrica se zaustavlja, jer je matrica degenerirana, a inverzna za nju ne postoji.

2. Pronađite matricu koja je premještena u odnosu na .

3. Izračunajte elemente sindikalne matrice kao algebarske dodatke marini pronađenoj u koraku 2.

4. Primijenite formulu (2): pomnožite obrnutu odrednicu matrice , na sindikalnu matricu koja se nalazi u koraku 4.

5. Provjerite rezultat dobiven u koraku 4 množenjem ove matrice   na inverznu matricu. Ako je proizvod tih matrica jednak matrici identiteta, tada je inverzna matrica ispravno pronađena. U suprotnom, ponovo pokrenite postupak rješenja.

Primjer 1  Za matricu

pronađite obrnutu matricu.

Odluka. Za pronalaženje inverzne matrice potrebno je pronaći odrednicu matrice , Nalazimo po pravilu trokuta:

Stoga je matrica - nesingularno (ne-degenerirano, nesingularno) i za to postoji suprotno.

Pronađite matricu koja je povezana s tom matricom .

Nađite matricu koja je premještena u odnosu na matricu :

Elemente matrice unije izračunavamo kao algebarske komplemente matrice transponirane u odnosu na matricu :

Stoga se matrica konjugira na matricu ima oblik

Napomena.  Redoslijed izračuna elemenata i transponiranja matrice može biti različit. Najprije možete izračunati algebrski dodatak matrice , a zatim transponirati matricu algebričnih komplemenata. Kao rezultat, treba dobiti iste elemente matrice sindikata.

Pomoću formule (2), nalazimo matricu obratnu matrici :

Pronalaženje obrnute matrice uklanjanjem nepoznatih Gaussa

Prvi korak za pronalaženje obrnute matrice Gaussovom nepoznatom metodom uklanjanja je dodjeljivanje matriksu jedinica matrice istog reda, odvajajući ih okomitom trakom. Dobijamo dvostruku matricu. Pomnožimo obje strane ove matrice s tada ćemo dobiti

,

Algoritam za pronalaženje obrnute matrice Gaussovim nepoznatim uklanjanjem

1. Na matricu   dodijeliti jediničnu matricu istog reda.

2. Pretvorite rezultirajuću dvostruku matricu tako da se u njenom lijevom dijelu ispostavi matrica identiteta, a zatim će se u desnom dijelu umjesto matrice identiteta automatski dobiti inverzna matrica. matrica   na lijevoj strani pretvara se u jediničnu matricu elementarnim matricnim transformacijama.

2. Ako tijekom transformacije matrice   u matrici identiteta u bilo kojem retku ili bilo kojem stupcu bit će samo nule, tada je odrednica matrice jednaka nuli, a samim tim i matrica   bit će degenerirano i nema obrnutu matricu. U tom slučaju prestaje daljnje pronalaženje inverzne matrice.

Primjer 2  Za matricu

pronađite obrnutu matricu.

i transformirat ćemo je tako da na lijevoj strani dobijemo matricu identiteta. Započinjemo pretvorbu.

Pomnožimo prvi red lijeve i desne matrice s (-3) i dodamo ga drugom redu, a zatim prvi red pomnožimo s (-4) i dodamo ga trećem redu, a zatim dobivamo

.

Da izbjegnemo frakcijske brojeve u sljedećim transformacijama, prvo stvaramo jedinicu u drugom redu na lijevoj strani dvostruke matrice. Da bismo to učinili, drugi red pomnožimo s 2 i oduzmemo treći red od njega, a zatim dobivamo

.

Prvom retku dodajte drugi, a drugi pomnožite s (-9) i dodajte ga trećem retku. Tada stižemo

.

Treći redak podijelite s 8, zatim

.

Pomnožite treći redak sa 2 i dodajte ga drugom retku. Ispada:

.

Mijenjamo drugu i treću liniju, a onda konačno dobivamo:

.

Vidimo da na lijevoj strani imamo matricu identiteta, stoga na desnoj strani imamo obrnutu matricu. Na ovaj način:

.

Možete provjeriti ispravnost izračuna, izvornu matricu množimo pomoću pronađene obrnute matrice:

Rezultat bi trebao biti obrnuta matrica.

Primjer 3  Za matricu

pronađite obrnutu matricu.

Odluka. Izrađujemo dvostruku matricu

i mi ćemo ga transformirati.

Prvu liniju množimo s 3, a drugu s 2, a od drugog oduzimamo, a zatim množimo prvu liniju sa 5, a treću s 2 i oduzimamo od treće linije, tada dobivamo

.

Pomnožimo prvi redak sa 2 i dodamo ga drugom, a zatim oduzmemo drugi od trećeg retka, te dobivamo

.

Vidimo da su u trećem redu na lijevoj strani svi elementi ispostavili nulu. Stoga je matrica degenerirana i nema obrnute matrice. Daljnje pronalaženje obrnutog marinskog stajališta.

    Matrična algebra - inverzna matrica

Inverzna matrica

Inverzna matrica  zove se matrica koja, kada se množi i s desne i s lijeve strane pomoću ove matrice, daje matricu identiteta.
  Označite matricu obrnute matrice   kroz, a prema definiciji koju dobivamo:

gdje E  Je li matrica identiteta.
Kvadratna matrica  to se zove nesingularnom (nesingularnom) ako njegova odrednica nije jednaka nuli. Inače se zove poseban (jednina) ili jednina.

Sljedeća teorema vrijedi: svaka nesingularna matrica ima inverznu matricu.

Naziva se operacija pronalaženja inverzne matrice apel  matrica. Razmotrimo algoritam inverzije matrice. Neka se daje nesingularna matrica nred:

gdje je Δ \u003d det ≠ 0.

Algebrični element komplementamatrica n  red   odrednica matrice uzete s određenim znakom naziva se ( n  –1) red dobiven precrtavanjem jath red i jstupac matrice :

Sastavite tzv vezani  matrica:

gdje su algebrski komplementi odgovarajućih elemenata matrice .
  Napominjemo da algebrični komplementi elemenata redaka matrice   postavljaju se u odgovarajuće stupce matrice à , odnosno matrica se istovremeno transponira.
  Podjela svih elemenata matrice à   na Δ je vrijednost determinante matrice , dobivamo obrnutu matricu kao rezultat:

Primjećujemo nekoliko posebnih svojstava inverzne matrice:
  1) za datu matricu   njegova obrnuta matrica   je jedini;
  2) ako postoji obrnuta matrica, tada desno natrag  i lijevo naličje  matrice se podudaraju s njim;
  3) posebna (degenerirana) kvadratna matrica nema obrnutu matricu.

Glavna svojstva inverzne matrice:
  1) odrednica inverzne matrice i determinanta izvorne matrice su obrnute;
  2) inverzna matrica proizvoda kvadratnih matrica jednaka je proizvodu inverznih matrica faktora uzetih u obrnutom redoslijedu:

3) transponirana inverzna matrica jednaka je obrnutoj matrici iz date transponirane matrice:

PRI meni R. Izračunajte obrnutost date matrice.

Slično je i s obratom mnogih svojstava.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ Kako pronaći obrnutu matricu - bezbotvy

Obrnuta matrica (2 načina za pronalaženje)

✪ Obrnuta matrica # 1

✪ 2015-01-28. 3x3 obrnuta matrica

✪ 2015-01-27. 2x2 inverzna matrica

titlovi

Svojstva obrnute matrice

•    det A - 1 \u003d 1 det A (\\ displaystyle \\ det A ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det A)))gdje    det (\\ displaystyle \\ \\ det)  označava odrednicu.
•    (A B) - 1 \u003d B - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (AB) ^ (- 1) \u003d B ^ (- 1) A ^ (- 1))  za dvije kvadratne invertibilne matrice    A (\\ prikazni stil A)  i    B (\\ prikazni stil B).
•    (A T) - 1 \u003d (A - 1) T (\\ prikazni stil \\ (A ^ (T)) ^ (- 1) \u003d (A ^ (- 1)) ^ (T))gdje    (...) T (\\ prikazni stil (...) ^ (T))  označava premještenu matricu.
•    (k A) - 1 \u003d k - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (kA) ^ (- 1) \u003d k ^ (- 1) A ^ (- 1))  za bilo koji koeficijent    k ≠ 0 (\\ displaystyle k \\ ne \u003d 0).
•    E - 1 \u003d E (\\ prikazni stil \\ E ^ (- 1) \u003d E).
• Ako je potrebno riješiti sustav linearnih jednadžbi, (b je non-zero vektor) gdje    x (\\ displaystyle x)  je željeni vektor i ako    A - 1 (\\ prikazni stil A ^ (- 1))  postoji tada    x \u003d A - 1 b (\\ displaystyle x \u003d A ^ (- 1) b), Inače je ili dimenzija prostora rješenja veća od nule ili uopće ne postoje.

Načini pronalaska obrnute matrice

Ako je matrica invertibilna, tada možete upotrijebiti jednu od sljedećih metoda za pronalaženje obrnute matrice:

Točne (izravne) metode

Gauss-Jordan metoda

Uzmimo dvije matrice:   i samci E, Dajemo matricu   Gaussova-Jordan metoda koja primjenjuje transformacije red po red na matricu identiteta (konverzije se također mogu primijeniti na stupce, ali ne i na presretanje). Nakon primjene svake operacije na prvu matricu, istu operaciju primijenite na drugu. Kad se redukcija prve matrice na jedan oblik završi, druga će matrica biti jednaka A -1.

Kada se koristi Gaussova metoda, prva se matrica množi s lijeve strane s jednom od osnovnih matrica    Λ i (\\ displaystyle \\ Lambda _ (i))  (transkripcija ili dijagonalna matrica s jedinicama na glavnoj dijagonali, osim jednog položaja):

   Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A \u003d Λ A \u003d E ⇒ Λ \u003d A - 1 (\\ displaystyle \\ Lambda _ (1) \\ cdot \\ dots \\ cdot \\ Lambda _ (n) \\ cdot A \u003d \\ Lambda A \u003d E \\ Rightarrow \\ Lambda \u003d A ^ (- 1)).    Λ m \u003d [1 ... 0 - a 1 m / amm 0 ... 0 ... 0 ... 1 - am - 1 m / amm 0 ... 0 0 ... 0 1 / amm 0 ... 0 0 ... 0 - am + 1 m / amm 1 ... 0 ... 0 ... 0 - anm / amm 0 ... 1] (\\ displaystyle \\ Lambda _ (m) \u003d (\\ početak (bmatrix) 1 & \\ dots & 0 & -a_ (1m) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 0 \\\\ m + 1m) / a_ (mm) & 1 & \\ dots & 0 \\\\ &&& \\ točkice &&& \\\\ 0 & \\ točkice & 0 & -a_ (nm) / a_ (mm) & 0 & \\ točkice & 1 \\ kraj (bmatrix))).

Druga matrica nakon primjene svih operacija postat će jednaka Λ (\\ displaystyle \\ Lambda), tj. bit će željeni. Složenost algoritma je    O (n 3) (\\ prikazni stil O (n ^ (3))).

Korištenje matrice algebričnih komplemenata

Matrica obrnuta matrici    A (\\ prikazni stil A)može se predstaviti kao

A - 1 \u003d adj (A) det (A) (\\ displaystyle (A) ^ (- 1) \u003d (((\\ mbox (adj)) (A)) \\ over (\\ det (A))))

gdje    adj (A) (\\ displaystyle (\\ mbox (adj)) (A))  - priložena matrica;

Složenost algoritma ovisi o složenosti algoritma za izračunavanje determinante O det i jednaka je O (n²) · O det.

Pomoću LU / LUP raspadanja

Jednadžba matrice    A X \u003d I n (\\ prikazni stil AX \u003d I_ (n))  za inverznu matricu    X (\\ displaystyle X)  može se smatrati kombinacijom    n (\\ prikazni stil n)  sustavi oblika    A x \u003d b (\\ prikazni stil Ax \u003d b), Označavamo    i (\\ displaystyle i)stupac matrice    X (\\ displaystyle X)  preko    X i (\\ displaystyle X_ (i)); tada    A X i \u003d e i (\\ displaystyle AX_ (i) \u003d e_ (i)),    i \u003d 1, ..., n (\\ displaystyle i \u003d 1, \\ ldots, n)  jer    i (\\ displaystyle i)stupac matrice    I n (\\ prikazni stil I_ (n))  je jedinični vektor    e i (\\ displaystyle e_ (i)), drugim riječima, pronalaženje inverzne matrice svodi se na rješavanje n jednadžbi s jednom matricom i različitim desnim stranama. Nakon izvođenja raspadanja LUP-a (vrijeme O (n³)), potrebno je vrijeme O (n²) za rješavanje svake od n jednadžbi, tako da i ovom dijelu rada treba vremena O (n³).

Ako je matrica A negenerirana, tada za nju možemo izračunati LUP raspad    P A \u003d L U (\\ prikazni stil PA \u003d LU), pustiti    P A \u003d B (\\ prikazni stil PA \u003d B),    B - 1 \u003d D (\\ prikazni stil B ^ (- 1) \u003d D), Tada iz svojstava inverzne matrice možemo napisati:    D \u003d U - 1 L - 1 (\\ prikazni stil D \u003d U ^ (- 1) L ^ (- 1)), Ako ovu jednakost množimo s U i L, tada možemo dobiti dvije jednakosti oblika    U D \u003d L - 1 (\\ prikazni stil UD \u003d L ^ (- 1))  i    D L \u003d U - 1 (\\ displaystyle DL \u003d U ^ (- 1)), Prva od tih jednakosti je sustav n² linearnih jednadžbi za    n (n + 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n + 1)) (2)))  od kojih su poznate desne strane (iz svojstava trokutastih matrica). Drugi također predstavlja sustav n² linearnih jednadžbi za    n (n - 1) 2 (\\ prikaz stil (\\ frac (n (n-1)) (2)))  od kojih su poznate desne strane (također iz svojstava trokutastih matrica). Zajedno predstavljaju sustav n² jednakosti. Pomoću ovih jednakosti možemo rekurzivno odrediti sve n² elemente matrice D. Tada iz jednakosti (PA) −1 \u003d A −1 P −1 \u003d B −1 \u003d D. dobivamo jednakost    A - 1 \u003d D P (\\ prikazni stil A ^ (- 1) \u003d DP).

U slučaju upotrebe LU dekompozicije, stupci matrice D nisu preuređeni, ali rješenje se može razilaziti čak i ako matrica A nije degenerirana.

Složenost algoritma je O (n³).

Iterativne metode

Schultzove metode

   (Ψ k \u003d E - AU k, U k + 1 \u003d U k ∑ i \u003d 0 n Ψ ki (\\ displaystyle (\\ početak (slučajevi) \\ Psi _ (k) \u003d E-AU_ (k), \\\\ U_ ( k + 1) \u003d U_ (k) \\ zbroj _ (i \u003d 0) ^ (n) \\ Psi _ (k) ^ (i) \\ kraj (slučajevi)))

Procjena pogreške

Odabir početne aproksimacije

Problem odabira početne aproksimacije u procesima iterativne inverzije matrice koji se ovdje razmatra ne dopušta nam da ih tretiramo kao neovisne univerzalne metode koje se nadmeću s metodama izravne inverzije temeljene, na primjer, na LU raspadu matrica. Postoje neki prijedlozi za odabir    U 0 (\\ prikazni stil U_ (0))osiguravanje uvjeta ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1}   (spektralni polumjer matrice je manji od jedinstva), što je potrebno i dovoljno za konvergenciju postupka. Međutim, u ovom slučaju, najprije se mora znati odozgo procjena spektra invertibilne matrice A ili    A A T (\\ prikazni stil AA ^ (T))  (naime, ako je A simetrična pozitivna određena matrica i    ρ (A) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (A) \\ leq \\ beta)onda možete uzeti    U 0 \u003d α E (\\ prikazni stil U_ (0) \u003d (\\ alfa) E)gdje; ako je A proizvoljna nederodirana matrica i    ρ (A A T) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq \\ beta)onda vjerujte    U 0 \u003d α A T (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alfa) A ^ (T))gdje također    α ∈ (0, 2 β) (\\ displaystyle \\ alfa \\ in \\ lijevo (0, (\\ frac (2) (\\ beta)) \\ desno)); Sigurno možete pojednostaviti situaciju i, koristeći prednost činjenici da    ρ (A A T) ≤ k A A T k (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq (\\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\\ mathcal (k)))staviti    U 0 \u003d A T ‖ A A T ‖ (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ frac (A ^ (T)) (\\ | AA ^ (T) \\ |)))). Drugo, s takvom definicijom početne matrice, to ne jamči    ‖ Ψ 0 ‖ (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |)  bit će mali (možda čak    ‖ Ψ 0 ‖\u003e 1 (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |\u003e 1)), a visok stupanj konvergencije nije odmah vidljiv.

primjeri

2x2 matrica

   A - 1 \u003d [a b c d] - 1 \u003d 1 det (A) [d - b - c a] \u003d 1 a d - b c [d - b - c a]. (\\ displaystyle \\ mathbf (A) ^ (- 1) \u003d (\\ početak (bmatrix) a & b \\\\ c & d \\\\\\ kraj (bmatrix)) ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det (\\ mathbf (A)))) (\\ početak (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\! - b \\\\ - c & \\, a \\\\\\ kraj (bmatrix)) \u003d (\\ frac (1) (ad- bc)) (\\ početak (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\! - b \\\\ - c & \\, kraj \\\\\\ (bmatrix)).)

Inverzija matrice 2x2 moguća je samo pod uvjetom da    a d - b c \u003d det A ≠ 0 (\\ displaystyle ad-bc \u003d \\ det A \\ neq 0).

 

---

glasi:
Izrada namještaja kod kuće, kako to učiniti sami Učinite sami obnavljanje stolica kod kuće Napravite drveni kuhinjski stol Izradite sami splavi Vrste rafter sustava - kako se oni međusobno razlikuju Podovi koji se mogu sami prilagoditi Podesivi plastični podovi na trupcima