Na prvi pogled, algebarske frakcije izgledaju vrlo teško, a nespremni student može misliti da je nemoguće učiniti bilo što s njima. Putovanje varijabli, brojeva pa čak i stupnjeva nameće strah. Ipak, kako bi se smanjila uobičajena (na primjer, 15/25) i algebarske frakcije, koriste se ista pravila.

Koraci

Smanjenje frakcija

Provjerite radnje s jednostavne frakcije, Operacije s konvencionalnim i algebarskim frakcijama su slične. Na primjer, uzimamo udarac 15/35. Pojednostaviti ovu frakciju, slijedi pronađite zajednički razdjelnika, Oba brojevi su podijeljeni s pet, tako da možemo istaknuti 5 u brojčaniku i nazivnicu:

Sada možeš smanjite opće multiplikate, to jest, izbrisati 5 u brojčaniku i nazivnicu. Kao rezultat toga, dobivamo pojednostavljenu frakciju 3/7 , U algebarski izrazi Zajednički multiplikatori ističu se na isti način kao iu običnom. U prethodnom primjeru uspjeli smo lako razlikovati od 15 - istog načela primjenjiva se na složenije izraze, kao što je 15x - 5. Naći ćemo opći čimbenik. U tom slučaju, bit će 5, budući da su oba člana (15x i -5) podijeljena s 5. Kao prije, mi ćemo istaknuti zajednički multiplikator i prenijeti ga lijevo.

15x - 5 \u003d 5 * (3x - 1)

Da biste provjerili je li sve dovoljno točno da umnožava 5 stajanje u zagradama u zagradama - kao rezultat toga, isti brojevi će biti u početku. Kompleksni članovi mogu se dodijeliti na isti način kao i jednostavni. Za algebarske frakcije, isti se načela primjenjuju kao i za obične. Ovo je najlakši način za smanjenje frakcije. Razmotrite sljedeću frakciju:

Imajte na umu da u numeritoru (odozgo), te u denominatoru (dnu) postoji član (X + 2), tako da se može smanjiti na isti način kao i ukupni multiplikator 5 u frakciji 15/35:

Kao rezultat toga, dobivamo pojednostavljeni izraz: (X-3) / (X + 10)

Smanjenje algebarskih frakcija

Pronađite zajednički multiplikator u numeritoru, tj. U gornjem dijelu frakcije. S smanjenjem algebarskih frakcija, prvo bi trebalo pojednostaviti oba dijela. Počnite s brojem i pokušajte ga razgraditi što više čimbenika. Razmotrite u ovom odjeljku sljedeća frakcija:

Počnimo s brojem: 9x - 3. Za 9x i -3, ukupni faktor je broj 3. Ja ću sažeti 3 po zagradama, kao što se radi s konvencionalnim brojevima: 3 * (3x-1). Kao rezultat ove transformacije, sljedeća frakcija će se ispasti:

Pronađite zajednički multiplikator u broju. Nastavit ćemo izvršiti gore navedeni primjer i pio denominator: 15x + 6. Kao i prije, naći ćemo ono što su i dijelovi podijeljeni. I u ovom slučaju, opći faktor je 3, tako da možete pisati: 3 * (5x +2). Ponovno napišemo frakciju u sljedećem obliku:

Smanjiti iste članove. U ovom koraku možete pojednostaviti frakciju. Smanjiti iste članove u numeritoru i nazivnicu. U našem primjeru, to je broj 3.

Odrediti da frakcija ima sISTOR POGLED, Frakcija je potpuno pojednostavljena u slučaju kada nema općih multiplikatora u numeritoru i nazivnicu. Imajte na umu da je nemoguće smanjiti one članove koji stoje unutar nosača - u gornjem primjeru, nije moguće izdvojiti X iz 3x i 5x, budući da su potpuni članovi (3x -1) i (5x + 2). Dakle, frakcija ne daje u daljnjem pojednostavljenju, a konačni odgovor je sljedeći:

Ponovite frakcije rezanja sami. Najbolji način asimilirati metodu je neovisna odluka Zadatke. Pod primjeri su dani točni odgovori.

Odgovor: (x \u003d 13)

Odgovor:(2x-1) / 5

Posebne tehnike

Izvaditi negativan znak izvan frakcije. Pretpostavimo, sljedeća frakcija se daje:

Imajte na umu da (X-4) i (4-X) "gotovo" identični, ali se ne mogu odmah smanjiti, kao što su "okrenuti". Međutim, (X - 4) može se napisati kao -1 * (4 - x), kao što se (4 + 2x) može prepisati kao 2 * (2 + x). To se naziva "promjena znakova".

Sada možete smanjiti iste članove (4-x):

Dakle, dobivamo konačni odgovor: -3/5 , Naučite prepoznati razliku u kvadratima. Razlika u kvadratima je kada se kvadrat jednog broja oduzme od kvadrata drugog broja, kao u ekspresiju (2 - B2). Razlika u punim kvadratima uvijek se može razgraditi u dva dijela - iznos i razliku odgovarajuće kvadratni korijen, Tada će izraz uzeti sljedeći oblik:

2 - b2 \u003d (A + B) (A-B)

Ova tehnika je vrlo korisna prilikom traženja općih članova u algebarskim frakcijama.

• Provjerite jeste li postavili ispravan izraz na višestruke. Da biste to učinili, višestruki multiplikatori - kao rezultat, treba dobiti isti izraz.
• Da biste u potpunosti pojednostavili frakciju, uvijek rasporedite najveće množitelje.

U ovom članku detaljno ćemo analizirati kako se održava smanjenje frakcija, Prvo ćemo raspravljati o tome što se frakcija naziva smanjenje. Nakon toga razgovarajmo o dovođenju smanjene frakcije na nerazumnog oblika. Nadalje, dobit ćemo pravilo smanjenja frakcija i, konačno, razmotriti primjere primjene ovog pravila.

Navigacijsku stranicu.

Što znači skratiti dio frakcije?

Znamo da su obične frakcije podijeljene u smanjene i neizgrađene frakcije. Prema imenima, moguće je pogoditi da se smanjena frakcija može smanjiti i ne-urotak - to je nemoguće.

Što znači skratiti dio frakcije? Smanjiti frakciju - To znači razdvajanje njenog brojača i nazivnika na njihovom pozitivnom i različitom od jednog. Jasno je da se kao rezultat smanjenja frakcije dobiva nova frakcija s manjim brojem i nazivom, i, na temelju osnovnih svojstava frakcije, dobivena frakcija je jednaka izvoru.

Na primjer, smanjit ćemo uobičajenu frakciju 8/24, razdvajajući njegov brojnik i nazivnik na 2. Drugim riječima, mi ćemo smanjiti frakciju 8/24 do 2. Od 8: 2 \u003d 4 i 24: 2 \u003d 12, kao rezultat takvog redukcije, ispada frakciju 4/12, koja je jednaka početnoj frakciji 8/24 (vidi jednake i nejednake frakcije). Na kraju imamo.

Donoseći obične frakcije neaktivnosti

Obično je krajnji cilj smanjenja frakcije da se dobije frakcija koja se ne može interpretirati, koja je jednaka početnoj smanjenoj frakciji. Taj se cilj može postići ako se smanjuje za početno smanjenje frakcije na njegov broj i nazivnika. Kao rezultat takvog smanjenja uvijek se dobiva nestabilna frakcija. Doista, frakcija ne istrošen, jer je to poznato i -. Evo, recimo da je najveći zajednički djelitelj brojčanika i nazivnika frakcije najveći brojkoji se može smanjiti za ovu frakciju.

Tako, dovođenje uobičajenih frakcija nerazumnom obliku Podijelite brojnik i nazivnik početne smanjene frakcije na njihovom čvoru.

Analizirat ćemo primjer, za koji ćemo se vratiti u frakciju 8/24 i smanjiti je na najveći zajednički djelitelj brojeva 8 i 24, što je 8. Od 8: 8 \u003d 1 i 24: 8 \u003d 3, onda stižemo u frakciju koja se ne može interpretirati 1/3. Dakle,.

Imajte na umu da je pod izrazom "izrezana frakcija" često podrazumijeva vođenje početne frakcije upravo na nerazumnog oblika. Drugim riječima, rezanje frakcije se vrlo često naziva podjelom brojčanika i nazivnika na njihovom najvećem zajedničkom djeliću (a ne na bilo kojem od njihovog zajedničkog djelista).

Kako smanjiti frakciju? Primjeri smanjenja pravila i frakcije

Ostaje samo da rastavljate nedostatak frakcija, što objašnjava kako smanjiti ovu frakciju.

Pravilo smanjenja frakcija Sastoji se od dva koraka:

• prvo, postoji čvor numeričkog i nazivnika frakcije;
• drugo, provodi se podjela numeriranja i nazivnika frakcije na njihovim čvorovima, koji daje nerazumljivu frakciju jednaku početnom.

Razumjet ćemo primjer smanjenja fraclija Prema glasu pravila.

Primjer.

Smanjiti frakciju 182/195.

Odluka.

Provodimo oba koraka propisana pravilima rezanja frakcije.

Prvo pronalazimo kimanje (182, 195). To je najpogodnije za korištenje euklidni algoritam (vidi): 195 \u003d 182 · 1 + 13, 182 \u003d 13 · 14, to jest, čvor (182, 195) \u003d 13.

Sada podijelimo brojnik i nazivnik frakcije 182/195 za 13, dok dobivamo nerazumljenu frakciju 14/15, koja je jednaka početnoj frakciji. Na ovom rezanju frakcije je dovršeno.

Ukratko se rješenje može napisati ovako :.

Odgovor:

Na to s smanjenjem frakcija, moguće je završiti. Ali za cjelovitost slike, razmotrite još dva načina za smanjenje frakcija, koje se obično primjenjuju u lako slučajevima.

Ponekad je brojka i nazivnik frakcije rezanja jednostavan. Smanjite frakciju u ovom slučaju je vrlo jednostavna: trebate samo ukloniti sve uobičajene multiplikate od broja i nazivnika.

Važno je napomenuti da ova metoda izravno slijedi iz pravila smanjenja frakcija, budući da je proizvod svih uobičajenih jednostavnih multiplikatora numeriranja i nazivnika jednak njihovom najvećem općem divisoru.

Analizirat ćemo rješenje primjera.

Primjer.

Smanjite frakciju 360/2 940.

Odluka.

Proširite bradavicu i nazivnicu za jednostavne multiplikate: 360 \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 5 i 2 940 \u003d 2 · 2 · 3 · 7 · 7 · 7. Na ovaj način, .

Sada se riješimo općih multiplikatora u brojčaniku i nazivnicu, za praktičnost, oni jednostavno viču: .

Konačno, pokazujem preostale multiplikate: i smanjenje frakcije je dovršeno.

Ovdje je kratak zapis odluke: .

Odgovor:

Razmotrite drugi način da se smanji frakcija, koja se sastoji od dosljednog smanjenja. Ovdje na svakom koraku postoji smanjenje frakcije na nekom zajedničkom djeliću brojčanika i nazivnika, koji je ili očigledan ili lako određen

Bez znanja o tome kako smanjiti frakciju, i prisutnost stalne vještine u rješavanju slični primjeri Vrlo je teško proučavati algebru u školi. Što dalje, to je veće osnovno znanje o smanjenju obične frakcije nadmoćni nove informacije, Prvo se pojavljuju stupnjevi, zatim multiplikatori koji kasnije postaju polinomi.

Kako ne biti zbunjen? Temeljito se temeljito konsolidira vještine u prethodnim temama i postupno se pripremaju za znanje o tome kako smanjiti dio komplicirane godine iz godine.

Osnovno znanje

Bez njih, neće biti moguće nositi se s zadacima bilo koje razine. Da biste razumjeli, morate razumjeti dva jednostavne točke, Prvo: mogu se rezati samo množitelji. Ova nijanca je vrlo važna kada se polinomi pojavljuju u brojčaniku ili nazivnicu. Tada morate jasno razlikovati, gdje postoji množitelj i gdje je stajanje termin.

Druga točka sugerira da se svaki broj može zastupati kao multiplikatori. Štoviše, rezultat smanjenja je takva frakcija, od kojih je broj i nazivnik koji je više moguće smanjiti.

Pravila za smanjenje uobičajenih frakcija

Za početak, vrijedi provjeriti je li brojnik podijeljen na imenovanje ili obrnuto. Onda je za taj broj koji trebate smanjiti. Ovo je najlakša opcija.

Druga je analiza vanjski pogled brojevi. Ako su oboje neprijavljeni na jedan ili više noževa, onda se mogu smanjiti za 10, 100 ili tisuće. Ovdje možete vidjeti jesu li brojevi čak i. Ako je tako, možete sigurno izrezati na dva.

Treće pravilo o tome kako smanjiti frakciju, raspadanje jednostavnih multiplikatora numeratora i nazivnika postaje. U ovom trenutku morate aktivno koristiti sve znanje o znakovima djeliljastva brojeva. Nakon takve razgradnje ostaje samo da biste pronašli sve ponavljanje, pomnožite ih i smanjili rezultirajući broj.

Kako biti ako je frakcija algebarski izraz?

Ovdje se pojavljuju prve poteškoće. Zato što je ovdje da se pojave pojmovi, koji mogu biti identični množiteljima. Oni doista žele izrezati, a to je nemoguće. Prije rezanja algebarska frakcijaMora se transformirati tako da ima množitelja.

To će zahtijevati nekoliko radnji. Možda je potrebno proći sve, ili možda prvi će dati odgovarajuću opciju.

Provjerite postoji li brojnik i nazivnik ne razlikuju ili izraz u njima za znak. U tom slučaju, samo trebate napraviti minus jedinicu za zagrade. Tako se dobivaju isti multiplikatori koji se mogu smanjiti.

Moguće je izgledati ako se opći množitelj može izvaditi iz polinom. Moguće je da će to biti nosač, koji se također može smanjiti, ili će biti unrochene.

Pokušajte izvršiti grupiranje jednog krila tako da će se tada opća tvornica ući u njih. Nakon toga, možda će se pojaviti množitelji, koji se mogu smanjiti, ili ponovno ponoviti podnošenje zajedničkih elemenata za zagrade.

Pokušajte uzeti u obzir u zapisu formule skraćenog množenja. Uz njihovu pomoć, lako je pretvoriti polinom na množitelje.

Slijed djelovanja s frakcijama s stupnjevima

Kako bi se lako razumjelo pitanje kako smanjiti frakciju s stupnjevima, potrebno je čvrsto zapamtiti glavne akcije s njima. Prvi od njih je povezan s množenjem stupnjeva. U tom slučaju, ako su baze iste, pokazatelji moraju biti presavijeni.

Drugo - podjela. Opet, oni koji imaju iste baze, pokazatelji će morati oduzeti. Štoviše, potrebno je odbiti od broja koji stoji u Delicam, a ne obrnuto.

Treći je kraj stupnja. U takvoj situaciji pokazatelji su promjenjivi.

Za uspješno smanjenje, mogućnost davanja stupnjeva istim temeljima također će trebati. To jest, vidi da su četiri na dva na trgu. Ili 27 kocka tri. Zbog rezanja 9 na trgu i 3 na Kubi je teško. Ali ako pretvorite prvi izraz kao (3 2) 2, onda će kratica biti uspješna.

Rad s frakcijama, mnogi učenici priznaju iste pogreške. I sve zato što zaboravljaju osnovna pravila aritmetički, Danas ćemo ponoviti ova pravila određene zadatkeDajem na razredu.

Ovdje je zadatak koji nudim svima koji se pripremaju za ispit u matematici:

Zadatak. Morska svinja jede 150 grama hrane dnevno. Ali odrasla je i počela jesti 20% više. Koliko grama hrane sada jede svinju?

Ne ispravno rješenje, To je zadatak interesa koji se svodi na jednadžbu:

Mnogi (vrlo mnogi) smanjuju broj 100 u brojčaniku i denomoter Fraci:

Ta je pogreška dopuštena od strane mog studenta pravo na dan pisanja ovog članka. Reds označeni brojevi koji su smanjeni.

Nepotrebno je reći da je odgovor ispao pogrešan. Sudac za sebe: svinja je pojeo 150 grama, a to je postalo 3150 grama. Povećanje nije 20%, ali 21 puta, tj. za 2000%.

Da biste spriječili takve nesporazume, sjetite se glavnog pravila:

Mogu se rezati samo množitelji. Otkazivanje se ne može rezati!

Dakle, ispravna odluka prethodnog zadatka izgleda ovako:

Reds označene brojeve koji se smanjuju u brojčaniku i nazivnicu. Kao što možete vidjeti, brojku je proizvod, apominator - običan broj, Stoga je smanjenje potpuno legalno.

Radite s proporcijama

Još problemsko mjesto — proporcije, Pogotovo kada varijabla stoji na obje strane. Na primjer:

Zadatak. Riješite jednadžbu:

Neispravno rješenje - neke će doslovno ruke biti izrezane kako bi izrezali sve na M:

Smanjene varijable prikazane su crvenom bojom. Ispada izraz 1/4 \u003d 1/5 - kompletne gluposti, ovi brojevi nikada nisu jednaki.

I sada - ispravna odluka. U biti ovo običan linearna jednadžba , Riješeno je bilo prijenosom svih elemenata u jednom smjeru, ili na glavnom svojstvu omjera:

Mnogi čitatelji će se vratiti: "Gdje je pogreška u prvom rješenju?" Pa, shvatimo. Podsjetiti se pravilo rada s jednadžbama:

Svaka jednadžba se može podijeliti i pomnožiti s bilo kojim brojem ne-nula.

Je li se čip pojavio? Može se podijeliti samo na brojeve ne-nula, Konkretno, može se podijeliti na promjenjivu m, samo ako m! \u003d 0. i što učiniti, ako je još m \u003d 0? Zamjena i provjera:

Potrebna je prava numerička jednakost, tj. M \u003d 0 - korijen jednadžbe. Za preostale m! \u003d 0 dobivamo izraz obrasca 1/4 \u003d 1/5, koji je, naravno, netočan. Dakle, nema korijena osim nule.

Zaključci: skupljajte sve zajedno

Tako za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe Zapamtite tri pravila:

1. Mogu se rezati samo množitelji. Komponente su nemoguće. Stoga, naučite položiti brojčanika i nazivnika za množenje;
2. Glavno svojstvo omjera: proizvod ekstremnih elemenata jednak je proizvodu prosjeka;
3. Jednadžbe se mogu pomnožiti i podijeliti samo na brojeve k, različite od nule. Slučaj K \u003d 0 mora se provjeriti zasebno.

Sjetite se ova pravila i ne dopustite pogreške.

Podjela i brojčanika i nazivnika frakcije na njihovom generalni divisorInače se zove smanjenje fraclija.

Da biste smanjili običnu frakciju, morate podijeliti svoj bradavica i nazivnik na isti prirodni broj.

Taj je broj najviši zajednički djelitelj i nazivnik ove frakcije.

Sljedeće su moguće obrasci pisane odluke Primjeri smanjenja uobičajenih frakcija.

Učenik ima pravo odabrati bilo koji oblik snimanja.

Primjeri. Pojednostavite frakcije.

Smanjit ćemo frakciju od 3 (podijeliti brojnik na 3;

podijelimo imenonika na 3).

Smanjite frakciju za 7.

Izvodimo određene radnje u numeritoru i oznaku frakcije.

Dobivena frakcija se smanjuje za 5.

Umetnite ovu frakciju 4) na 5 · 7³. - najveći zajednički razdjelnika (čvor) brojčanika i nazivnika, koji se sastoji od zajedničkih multiplikatora numerizatora i nazivnika, koji se uzimaju na stupnjeve s najmanjim indikatorom.

Propoturirajte brojčanika i nazivnika ove frakcije na jednostavnim multiplikatorima.

Dobivamo: 756 \u003d 2² · 3³ · 7 7 i 1176 \u003d 2³ · 3 · 7².

Definiramo čvor (najveći zajednički djelitelj) brojčanika i nazivnika 5) .

To je proizvod zajedničkih multiplikatora s najmanjim pokazateljima.

Čvor (756; 1176) \u003d 2² · 3 · 7.

Podijelimo brojnik i nazivnik ove frakcije na svojim čvorovima, tj. Na 2² · 3 · 7dobivamo nestabilnu frakciju 9/14 .

I bilo je moguće zabilježiti razgradnju brojčanika i nazivnika u obliku proizvoda jednostavnih multiplikatora, bez primjene koncepta diplome, a zatim smanjenje udjela, prelazeći iste multiplikate u numeritoru i nazivnicu. Kada iste multiplikate ne ostane - zamjenjujući preostale čimbenike odvojeno u brojčaniku i odvojeno u nazivniku i napišite dobivenu frakciju 9/14 .

I konačno, bilo je moguće smanjiti ovu frakciju 5) Postupno, primjenjujući znakove podjele brojeva i brojčanika i denamoteru frakcije. Raspravljamo ovako: brojeve 756 i 1176 završava čak i znamenku, to znači da su obje podijeljene 2 , Redfish je frakcija 2 , Broj i nazivnik novog frakcije - brojeve 378 i 588 Također podijeljeno 2 , Redfish je frakcija 2 , Primijetimo da je broj 294 - Čak i i 189 - Neparan, a smanjenje na 2 više nije moguće. Provjerite znak nedjelje brojeva 189 i 294 na 3 .

(1 + 8 + 9) \u003d 18 je podijeljen u 3 i (2 + 9 + 4) \u003d 15 podijeljeno s 3, dakle, sami brojevi 189 i 294 su podijeljeni 3 , Redfish je frakcija 3 , Unaprijediti, 63 podijeljeno s 3, i 98 - Ne. Zakleli smo se drugim jednostavnim čimbenicima. Oba su broja podijeljena 7 , Redfish je frakcija 7 i dobiti nerazumnu frakciju 9/14 .