Ja Izrazi u kojima se zajedno sa slovima mogu koristiti brojevi, aritmetički znakovi i zagrade nazivaju se algebarskim izrazima.

Primjeri algebarskih izraza:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); 2 - 2ab;

Budući da se slovo u algebarskom izrazu može zamijeniti nekim različitim brojevima, slovo se naziva varijabla, a sam algebarski izraz naziva se izrazom s varijablom.

II. Ako se u algebarskom izrazu slova (varijable) zamijene svojim vrijednostima i izvrše naznačene radnje, tada se dobiveni broj naziva vrijednošću algebarskog izraza.

Primjeri. Pronađite vrijednost izraza:

1) a + 2b -c za a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5.

2) | x | + | y \u200b\u200b| - | z | pri x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6.

Odluka.

1) a + 2b -c za a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5. Zamijenimo njihove vrijednosti umjesto varijabli. Dobivamo:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | y \u200b\u200b| - | z | pri x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6. Zamijeni naznačene vrijednosti. Zapamtite da je modul negativan broj jednak je suprotnom broju, a modul pozitivan broj je jednak samom tom broju. Dobivamo:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Vrijednosti slova (varijable) za koje algebarski izraz ima smisla nazivaju se važećim vrijednostima slova (varijable).

Primjeri. Za koje vrijednosti varijable izraz nema smisla?

Odluka. Znamo da je nemoguće podijeliti s nulom, stoga svaki od ovih izraza neće imati smisla s vrijednošću slova (varijable) koja nazivnik razlomka pretvara u nulu!

U primjeru 1) ova je vrijednost a \u003d 0. Doista, ako je 0 zamijenjeno s a, tada će broj 6 trebati podijeliti s 0, ali to se ne može učiniti. Odgovor: izraz 1) nema smisla za a \u003d 0.

U primjeru 2) nazivnik x - 4 \u003d 0 pri x \u003d 4, dakle, ova vrijednost x \u003d 4 i ne može se uzeti. Odgovor: izraz 2) nema smisla za x \u003d 4.

U primjeru 3) nazivnik x + 2 \u003d 0 pri x \u003d -2. Odgovor: izraz 3) nema smisla za x \u003d -2.

U primjeru 4) nazivnik je 5 - | x | \u003d 0 za | x | \u003d 5. A budući da | 5 | \u003d 5 i | -5 | \u003d 5, tada ne možete uzeti x \u003d 5 i x \u003d -5. Odgovor: izraz 4) je besmislen kada je x \u003d -5 i kada je x \u003d 5.
IV. Za dva izraza se kaže da su identično jednaki ako su za bilo koje dopuštene vrijednosti varijabli odgovarajuće vrijednosti tih izraza jednake.

Primjer: 5 (a - b) i 5a - 5b jednako su jednaki, jer će jednakost 5 (a - b) \u003d 5a - 5b biti istinita za sve vrijednosti a i b. Jednakost 5 (a - b) \u003d 5a - 5b je identitet.

Identitet Vrijedi li jednakost za sve dopuštene vrijednosti u nju uključenih varijabli. Primjeri identiteta koje već znate su, na primjer, svojstva zbrajanja i množenja, svojstvo distribucije.

Zamjena jednog izraza drugim, njemu identično jednakim, naziva se identična transformacija ili jednostavno transformacija izraza. Identične transformacije izraza s varijablama izvode se na temelju svojstava djelovanja na brojeve.

Primjeri.

a) pretvoriti izraz u identično jednak pomoću distribucijskog svojstva množenja:

1) 10 * (1,2x + 2,3 g); 2) 1,5 * (-2b + 4c); 3) a (6m -2n + k).

Odluka... Prisjetite se svojstva raspodjele (zakona) množenja:

(a + b) c \u003d a c + b c (zakon raspodjele množenja s obzirom na zbrajanje: da biste zbroj dva broja pomnožili s trećim brojem, svaki član možete pomnožiti s tim brojem i dodati dobivene rezultate).
(a-b) c \u003d a c-b c (zakon raspodjele množenja s obzirom na oduzimanje: da biste razliku dva broja pomnožili s trećim brojem, možete pomnožiti s ovim brojem, koji se posebno smanjuje i oduzima, a drugi oduzima od prvog rezultata).

1) 10 * (1,2x + 2,3y) \u003d 10 * 1,2x + 10 * 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 * (a -2b + 4c) \u003d 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) \u003d 6am -2an + ak.

b) transformirati izraz u identično jednak, koristeći svojstva pomicanja i kombinacije (zakone) zbrajanja:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Odluka. Primijenimo zakone (svojstva) sabiranja:

a + b \u003d b + a (prenosivo: zbroj se ne mijenja u odnosu na permutaciju pojmova).
(a + b) + c \u003d a + (b + c) (kombinacijski: da biste zbroju dvaju pojmova dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 \u003d (x + 2x) + (4,5 + 6,5) \u003d 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 \u003d 3a + (2,1 + 7,8) \u003d 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s \u003d (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) \u003d 3,1s -5,5.

u) pretvoriti izraz u identično jednak koristeći svojstva pomicanja i kombinacije (zakone) množenja:

7) 4 · x · (-2,5); 8) -3,5 · 2y · (-jedan); 9) 3a · (-3) · 2c.

Odluka. Primjenjujemo zakone (svojstva) množenja:

a b \u003d b a (prenosiv: proizvod se ne mijenja u odnosu na permutaciju čimbenika).
(a b) c \u003d a (b c) (kombinacijski: da biste umnožili umnožak dva broja s trećim brojem, možete pomnožiti prvi broj s umnoškom drugog i trećeg).

7) 4 · x · (-2,5) = -4 · 2,5 · x \u003d -10x.

8) -3,5 · 2y · (-1) \u003d 7g.

9) 3a · (-3) · 2s \u003d -18ac.

Ako je algebarski izraz dan u obliku razlomaka koji se može poništiti, tada se pomoću pravila o poništavanju razlomka može pojednostaviti, tj. zamijeniti jednostavnijim izrazom koji mu je identičan.

Primjeri. Pojednostavite pomoću smanjenja razlomka.

Odluka. Smanjiti razlomak znači podijeliti njegov brojnik i nazivnik s istim nula brojem (izrazom). Razlomak 10) smanjit će se za 3b; razlomak 11) može se smanjiti za i a razlomak 12) može se smanjiti za 7n... Dobivamo:

Algebarski izrazi koriste se za sastavljanje formula.

Formula je algebarski izraz napisan kao jednakost i izražava odnos između dvije ili više varijabli. Primjer: formula puta koju znate s \u003d v t (s - prijeđena udaljenost, v - brzina, t - vrijeme). Sjetite se koje još formule znate.

Stranica 1 od 1 1

Izraz je najširi matematički pojam. U biti, u ovoj se znanosti sve sastoji od njih i na njima se također provode sve operacije. Drugo je pitanje, ovisno o određenoj vrsti, u potpunosti razne metode i trikovi. Dakle, rad s trigonometrijom, razlomcima ili logaritmima je tri različite radnje... Izraz koji nema smisla može biti jedan od dva tipa: numerički ili algebarski. Ali što ovaj koncept znači, kako izgleda njegov primjer i druge točke bit će dalje raspravljeno.

Numerički izrazi

Ako se izraz sastoji od brojeva, zagrada, plus-minusa i drugih znakova aritmetičkih operacija, može se sigurno nazvati numeričkim. Što je sasvim logično: samo morate još jednom pogledati prvu imenovanu komponentu.

Numerički izraz može biti bilo što: glavno je da ne sadrži slova. A pod "bilo čime" u ovom se slučaju podrazumijeva sve: od jednostavnih, usamljenih, samih po sebi brojeva, do ogromnog popisa i znakova aritmetičkih operacija koji zahtijevaju naknadni izračun konačnog rezultata. Razlomak je također numerički izraz, ako ne sadrži nikakve a, b, c, d itd., jer je to onda sasvim druga vrsta, o čemu će biti riječi malo kasnije.

Uvjeti za izraz koji nema smisla

Kada zadatak započinje riječju "izračunati", može se govoriti o transformaciji. Stvar je u tome što ova akcija nije uvijek svrsishodna: nije toliko potrebna ako izraz koji nema smisla dođe do izražaja. Primjeri su beskrajno nevjerojatni: ponekad, da biste shvatili da nas je sustiglo, morate dugo i zamorno otvoriti zagrade i brojati-brojati-brojati ...

Glavno što treba zapamtiti jest da izraz, čiji se konačni rezultat svodi na radnju zabranjenu u matematici, nema smisla. Da budem potpuno iskren, tada sama transformacija postaje besmislena, ali da biste to saznali, prvo je morate izvršiti. Takav je paradoks!

Najpoznatiji, ali ne manje važan zabranjen matematičko djelovanje je dijeljenje s nulom.

Stoga je ovdje, na primjer, izraz koji nema smisla:

(17+11):(5+4-10+1).

Ako pomoću jednostavnih izračuna smanjite drugu zagradu na jednu znamenku, tada će biti nula.

Po istom principu, "počasna titula" daje se ovom izrazu:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebarski izrazi

Isti je numerički izraz ako mu dodate zabranjena slova. Tada postaje punopravni algebarski. Također može biti u svim veličinama i oblicima. Algebarski izraz širi je pojam koji uključuje prethodni. Ali imalo je smisla započeti razgovor ne s njim, već s numeričkim, kako bi bio jasniji i lakši za razumijevanje. Napokon, ima li algebarski izraz smisla nije vrlo komplicirano pitanje, ali ima više pojašnjenja.

Zašto je to?

Doslovni izraz ili izraz s varijablama sinonimi su. Prvi je pojam lako objasniti: uostalom, sadrži slova! Drugo također nije misterij stoljeća: umjesto slova možete ih zamijeniti različiti brojevi, uslijed čega će se vrijednost izraza promijeniti. Lako je pogoditi da su slova u ovom slučaju varijable. Analogno tome, brojevi su konstantni.

I tu se vraćamo glavnoj temi: besmisleno?

Primjeri algebarskih izraza koji nemaju smisla

Uvjet za besmislenost algebarskog izraza isti je kao i za numerički, uz samo jednu iznimku ili, točnije, dodatak. Prilikom pretvaranja i izračunavanja konačnog rezultata morate uzeti u obzir varijable, pa se postavlja pitanje ne "koji izraz nema smisla?", Već "pri kojoj vrijednosti varijable ovaj izraz neće imati smisla?" i "postoji li vrijednost za varijablu koja obesmišljava izraz?"

Na primjer, (18-3) :( a + 11-9).

Gornji izraz je besmislen kada je a -2.

Ali o (a + 3): (12-4-8) možemo sa sigurnošću reći da je ovo izraz koji nema smisla ni za jedan a.

Isto tako, sve što b uključite u (b - 11) :( 12 + 1) i dalje će imati smisla.

Tipični zadaci na temu "Izraz koji nema značenje"

7. razred, između ostalog, proučava ovu temu u matematici, a zadaci na njoj često se susreću i odmah nakon odgovarajuće lekcije, i kao "trik" pitanje na modulima i ispitima.

Zato vrijedi razmotriti tipične zadatke i metode za njihovo rješavanje.

Primjer 1.

Ima li izraz smisla:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Potrebno je izvršiti cijeli proračun u zagradama i izraz dovesti u oblik:

Krajnji rezultat sadrži stoga je izraz besmislen.

Primjer 2.

Koji izrazi nemaju smisla?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Izračunati krajnja vrijednost za svaki od izraza.

Odgovor: 1; 2.

Primjer 3.

Pronađite raspon valjanih vrijednosti za sljedeće izraze:

1) (11-4) / (b + 17);

2) 12 / (14-b + 11).

Raspon dopuštenih vrijednosti (ODZ) su svi oni brojevi, kada se umjesto njih zamijene varijabilni izraz imat će smisla.

Odnosno, zadatak zvuči poput: pronađi vrijednosti kod kojih neće biti podjele s nulom.

1) b je (-∞; -17) & (-17; + ∞) ili b\u003e -17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b ê (-∞; 25) & (25; + ∞), ili b\u003e 25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Primjer 4.

Za koje vrijednosti donji izraz nema smisla?

Druga zagrada je nula kada je igra -3.

Odgovor: y \u003d -3

Primjer 4.

Koji su izrazi besmisleni samo kada je x \u003d -14?

1) 14: (x - 14);

2) (3 + 8x) :( 14 + x);

3) (x / (14 + x)) :( 7/8)).

2 i 3, jer u prvom slučaju, ako zamijenite x \u003d -14, tada je druga zagrada jednaka -28, a ne nula, kako to zvuči u definiciji besmislenog izraza.

Primjer 5.

Stvorite i zapišite izraz koji nema smisla.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebarski izrazi s dvije varijable

Unatoč činjenici da svi izrazi koji nemaju smisla imaju istu bit, postoje različite razine njihove složenosti. Dakle, možemo reći da su numerički primjeri jednostavni primjeri, jer su lakši od algebarskih. Poteškoće u rješenju također se dodaju brojem varijabli u potonjem. Ali čak ni oni ne bi trebali imati svoj izgled: glavno je upamtiti opći princip rješenja i primijeniti ga, bez obzira je li primjer sličan tipičnom problemu ili ima neke nepoznate dodatke.

Na primjer, može se postaviti pitanje kako riješiti takav zadatak.

Pronađite i napišite par brojeva koji nisu valjani za izraz:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y) / (12x 2 - y).

Opcije odgovora:

Ali u stvari izgleda samo zastrašujuće i glomazno, jer zapravo sadrži ono što je već odavno poznato: kvadrat i kocku brojeva, neke aritmetičke operacije poput dijeljenja, množenja, oduzimanja i zbrajanja. Inače, radi praktičnosti problem se može svesti na frakcijski oblik.

Brojilac rezultirajućeg razlomka nije sretan: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). To je činjenica. Ali postoji još jedan razlog za sreću: ne trebate ga ni dodirnuti da biste riješili zadatak! Prema prethodno opisanoj definiciji, ne možete podijeliti s nulom, a ono što će se točno podijeliti s njom potpuno je nevažno. Stoga ovaj izraz ostavljamo nepromijenjenim, a parove brojeva iz ovih opcija zamjenjujemo u nazivniku. Već treća točka savršeno odgovara, pretvarajući malu zagradu u nulu. Ali zadržati se na ovome loša je preporuka, jer se može dogoditi nešto drugo. Doista, peta točka također dobro odgovara i odgovara stanju.

Odgovor zapisujemo: 3 i 5.

Konačno

Kao što vidite, ova je tema vrlo zanimljiva i nije osobito teška. Neće biti teško to razumjeti. Ipak, nikad ne škodi razraditi nekoliko primjera!

Izraz je najširi matematički pojam. U biti, u ovoj se znanosti sve sastoji od njih i na njima se također provode sve operacije. Drugo je pitanje da se ovisno o određenom tipu koriste potpuno različite metode i tehnike. Dakle, rad s trigonometrijom, razlomcima ili logaritmima su tri različita koraka. Izraz koji nema smisla može biti jedan od dviju vrsta: numerički ili algebarski. Ali što ovaj koncept znači, kako izgleda njegov primjer i druge točke bit će dalje raspravljeno.

Numerički izrazi

Ako se izraz sastoji od brojeva, zagrada, plus-minusa i drugih znakova aritmetičkih operacija, može se sigurno nazvati numeričkim. Što je sasvim logično: samo morate još jednom pogledati prvu imenovanu komponentu.

Numerički izraz može biti bilo što: glavno je da ne sadrži slova. A pod "bilo čime" u ovom se slučaju podrazumijeva sve: od jednostavnih, usamljenih, samih po sebi brojeva, do ogromnog popisa i znakova aritmetičkih operacija koji zahtijevaju naknadni izračun konačnog rezultata. Razlomak je također numerički izraz ako ne sadrži nikakve a, b, c, d itd., Jer je tada riječ o sasvim drugoj vrsti, o čemu će biti riječi malo kasnije.

Uvjeti za izraz koji nema smisla

Kada zadatak započinje riječju "izračunati", može se govoriti o transformaciji. Stvar je u tome što ova akcija nije uvijek svrsishodna: nije toliko potrebna ako izraz koji nema smisla dođe do izražaja. Primjeri su beskrajno nevjerojatni: ponekad, da biste shvatili da nas je sustiglo, morate dugo i zamorno otvoriti zagrade i brojati-brojati-brojati ...

Glavno što treba zapamtiti jest da izraz, čiji se konačni rezultat svodi na radnju zabranjenu u matematici, nema smisla. Da budem potpuno iskren, tada sama transformacija postaje besmislena, ali da biste to saznali, prvo je morate izvršiti. Takav je paradoks!

Najpoznatija, ali ne manje važna zabranjena matematička radnja je dijeljenje s nulom.

Stoga je ovdje, na primjer, izraz koji nema smisla:

(17+11):(5+4-10+1).

Ako pomoću jednostavnih izračuna smanjite drugu zagradu na jednu znamenku, tada će biti nula.

Po istom principu, "počasna titula" daje se ovom izrazu:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebarski izrazi

Isti je numerički izraz ako mu dodate zabranjena slova. Tada postaje punopravni algebarski. Također može biti u svim veličinama i oblicima. Algebarski izraz širi je pojam koji uključuje prethodni. Ali imalo je smisla započeti razgovor ne s njim, već s numeričkim, kako bi bio jasniji i lakši za razumijevanje. Napokon, ima li algebarski izraz smisla nije vrlo komplicirano pitanje, ali ima više pojašnjenja.

Zašto je to?

Doslovni izraz ili izraz s varijablama sinonimi su. Prvi je pojam lako objasniti: uostalom, sadrži slova! Drugo također nije misterij stoljeća: umjesto slova možete zamijeniti različite brojeve, uslijed čega će se značenje izraza promijeniti. Lako je pogoditi da su slova u ovom slučaju varijable. Analogno tome, brojevi su konstantni.

I ovdje se vraćamo glavnoj temi: što je to izraz koji nema smisla?

Primjeri algebarskih izraza koji nemaju smisla

Uvjet za besmislenost algebarskog izraza isti je kao i za numerički, uz samo jednu iznimku ili, točnije, dodatak. Prilikom pretvaranja i izračunavanja konačnog rezultata morate uzeti u obzir varijable, pa se postavlja pitanje ne "koji izraz nema smisla?", Već "pri kojoj vrijednosti varijable ovaj izraz neće imati smisla?" i "postoji li vrijednost za varijablu koja obesmišljava izraz?"

Na primjer, (18-3) :( a + 11-9).

Gornji izraz je besmislen kada je a -2.

Ali o (a + 3): (12-4-8) možemo sa sigurnošću reći da je ovo izraz koji nema smisla ni za jedan a.

Isto tako, sve što b uključite u (b - 11) :( 12 + 1) i dalje će imati smisla.

Tipični zadaci na temu "Izraz koji nema značenje"

7. razred, između ostalog, proučava ovu temu u matematici, a zadaci na njoj često se susreću i odmah nakon odgovarajuće lekcije, i kao "trik" pitanje na modulima i ispitima.

Zato vrijedi razmotriti tipične zadatke i metode za njihovo rješavanje.

Primjer 1.

Ima li izraz smisla:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Potrebno je izvršiti cijeli proračun u zagradama i izraz dovesti u oblik:

Krajnji rezultat sadrži podjelu s nulom, tako da je izraz besmislen.

Primjer 2.

Koji izrazi nemaju smisla?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Izračunajte konačnu vrijednost za svaki od izraza.

Odgovor: 1; 2.

Primjer 3.

Pronađite raspon valjanih vrijednosti za sljedeće izraze:

1) (11-4) / (b + 17);

2) 12 / (14-b + 11).

Opseg valjanih vrijednosti (ADV) su svi oni brojevi, kada se izraz zamijeni umjesto varijabli, ima smisla.

Odnosno, zadatak zvuči poput: pronađi vrijednosti kod kojih neće biti podjele s nulom.

1) b je (-∞; -17) & (-17; + ∞) ili b\u003e -17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b ê (-∞; 25) & (25; + ∞), ili b\u003e 25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Primjer 4.

Za koje vrijednosti donji izraz nema smisla?

Druga zagrada je nula kada je igra -3.

Odgovor: y \u003d -3

Primjer 4.

Koji su izrazi besmisleni samo kada je x \u003d -14?

1) 14: (x - 14);

2) (3 + 8x) :( 14 + x);

3) (x / (14 + x)) :( 7/8)).

2 i 3, jer u prvom slučaju, ako zamijenite x \u003d -14, tada je druga zagrada jednaka -28, a ne nula, kako to zvuči u definiciji besmislenog izraza.

Primjer 5.

Stvorite i zapišite izraz koji nema smisla.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebarski izrazi s dvije varijable

Unatoč činjenici da svi izrazi koji nemaju smisla imaju istu bit, postoje različite razine njihove složenosti. Dakle, možemo reći da su numerički primjeri jednostavni primjeri, jer su lakši od algebarskih. Poteškoće u rješenju također se dodaju brojem varijabli u potonjem. No, ne bi ih trebali zbuniti svojim izgledom: glavno je upamtiti opći princip rješenja i primijeniti ga bez obzira je li primjer sličan tipičnom problemu ili ima neke nepoznate dodatke.

Na primjer, može se postaviti pitanje kako riješiti takav zadatak.

Pronađite i napišite par brojeva koji nisu valjani za izraz:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y) / (12x2 - y).

Opcije odgovora:

Ali u stvari izgleda samo zastrašujuće i glomazno, jer zapravo sadrži ono što je već odavno poznato: kvadrat i kocku brojeva, neke aritmetičke operacije poput dijeljenja, množenja, oduzimanja i zbrajanja. Inače, radi praktičnosti problem se može svesti na frakcijski oblik.

Brojilac rezultirajućeg razlomka nije zadovoljan: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). To je činjenica. Ali postoji još jedan razlog za sreću: ne trebate ga ni dodirnuti da biste riješili zadatak! Prema prethodno opisanoj definiciji, ne možete podijeliti s nulom, a ono što će se točno dijeliti s njom potpuno je nevažno. Stoga ovaj izraz ostavljamo nepromijenjenim, a parove brojeva iz ovih opcija zamjenjujemo u nazivniku. Već treća točka savršeno odgovara, pretvarajući malu zagradu u nulu. Ali zadržati se na ovome loša je preporuka, jer se može dogoditi nešto drugo. Doista, peta točka također dobro odgovara i odgovara stanju.

Odgovor zapisujemo: 3 i 5.

Konačno

Kao što vidite, ova je tema vrlo zanimljiva i nije osobito teška. Neće biti teško to razumjeti. Ipak, nikad ne škodi razraditi nekoliko primjera!

Pri proučavanju teme, numerički, doslovni i varijabilni izrazi trebaju obratiti pažnju na koncept vrijednost izraza... U ovom ćemo članku odgovoriti na pitanje koja je vrijednost numeričkog izraza, a što se naziva vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijabli. Evo nekoliko primjera za pojašnjenje ovih definicija.

Navigacija po stranici.

Kolika je vrijednost numeričkog izraza?

Upoznavanje s brojčanim izrazima započinje gotovo od prvih sati matematike u školi. Koncept "vrijednosti numeričkog izraza" uveden je gotovo odmah. Označava se izrazima koji se sastoje od brojeva povezanih aritmetičkim znakovima (+, -, ·, :). Dajmo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Vrijednost numeričkog izraza - Ovo je broj koji se dobiva nakon izvođenja svih radnji u izvornom numeričkom izrazu.

Na primjer, uzmimo u obzir numerički izraz 1 + 2. Nakon završetka dobivamo broj 3, to je vrijednost numeričkog izraza 1 + 2.

Često se u frazi "vrijednost numeričkog izraza" izostavi riječ "numerički", a oni jednostavno kažu "vrijednost izraza", budući da je još uvijek jasno o kojem se značenju govori.

Gornja definicija značenja izraza odnosi se i na numeričke izraze složenijeg oblika koji se proučavaju u srednjoj školi. Ovdje treba napomenuti da možete naići na numeričke izraze čije vrijednosti nije moguće navesti. To je zbog činjenice da je u nekim izrazima nemoguće izvršiti snimljene radnje. Na primjer, stoga ne možemo odrediti vrijednost izraza 3: (2-2). Ovakvi se numerički izrazi nazivaju izrazi koji nemaju smisla.

Često u praksi nije toliko zanimljiv numerički izraz koliko njegova vrijednost. Odnosno, zadatak je odrediti značenje ovog izraza. U ovom slučaju obično kažu da trebate pronaći vrijednost izraza. U ovom se članku detaljno analizira postupak pronalaženja vrijednosti numeričkih izraza različitih vrsta te se razmatra mnoštvo primjera s detaljnim opisima rješenja.

Značenje doslovnog izraza i izraza s varijablama

Uz numeričke izraze, proučavaju se i doslovni izrazi, odnosno izrazi u čijem je bilježenju, zajedno s brojevima, jedno ili više slova. Slova u abecednom izrazu mogu predstavljati različite brojeve, a ako su slova zamijenjena tim brojevima, abecedni izraz postaje numerički.

Definicija.

Pozvani su brojevi koji zamjenjuju slova u doslovnom izrazu značenja ovih slova, i naziva se vrijednost dobivenog numeričkog izraza vrijednost doslovnog izraza s obzirom na vrijednosti slova.

Dakle, za doslovne izraze ne govori se samo o značenju doslovnog izraza, već o značenju doslovnog izraza s danim (zadanim, navedenim, itd.) Vrijednostima slova.

Dajmo primjer. Uzmite doslovni izraz 2 a + b. Neka su vrijednosti slova a i b date, na primjer, a \u003d 1 i b \u003d 6. Zamjenjujući slova u izvornom izrazu njihovim vrijednostima, dobivamo numerički izraz oblika 2 1 + 6, njegova vrijednost je 8. Dakle, broj 8 je vrijednost doslovnog izraza 2 a + b za zadane vrijednosti slova a \u003d 1 i b \u003d 6. Da su dana druga značenja slova, tada bismo dobili značenje slovnog izraza za ta značenja slova. Na primjer, za a \u003d 5 i b \u003d 1 imamo vrijednost 2 5 + 1 \u003d 11.

U srednjoj školi, prilikom proučavanja algebre, slova u slovnim izrazima smiju poprimati različita značenja, takva slova nazivaju se varijablama, a slovni izrazi nazivaju se izrazima s varijablama. Za ove izraze uveden je koncept vrijednosti izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijabli. Shvatimo što je to.

Definicija.

Vrijednost izraza s varijablama s odabranim vrijednostima varijabli je vrijednost numeričkog izraza koja se dobiva nakon zamjene odabranih vrijednosti varijabli u izvornom izrazu.

Objasnimo ovu definiciju na primjeru. Razmotrimo izraz s varijablama x i y oblika 3 x y + y. Uzmimo x \u003d 2 i y \u003d 4, zamijenimo ove vrijednosti varijabli u izvorni izraz, dobivamo numerički izraz 3 · 2 · 4 + 4. Izračunajmo vrijednost ovog izraza: 3 · 2 · 4 + 4 \u003d 24 + 4 \u003d 28. Pronađena vrijednost 28 vrijednost je izvornog izraza s varijablama 3 x y + y za odabrane vrijednosti varijabli x \u003d 2 i y \u003d 4.

Ako odaberete druge vrijednosti varijabli, na primjer, x \u003d 5 i y \u003d 0, tada će ove odabrane vrijednosti varijabli odgovarati vrijednosti izraza s varijablama jednakim 3 · 5 · 0 + 0 \u003d 0.

Može se primijetiti da se ponekad za različite odabrane vrijednosti varijabli mogu dobiti jednake vrijednosti izraza. Na primjer, za x \u003d 9 i y \u003d 1, vrijednost izraza 3 x y + y je 28 (budući da je 3 9 1 + 1 \u003d 27 + 1 \u003d 28), a iznad smo pokazali da je ista vrijednost izraz s varijablama ima za x \u003d 2 i y \u003d 4.

Vrijednosti varijabli mogu se odabrati iz odgovarajuće rasponi valjanih vrijednosti... Inače, zamjena vrijednosti ovih varijabli u izvorni izraz rezultirat će numeričkim izrazom koji nema smisla. Na primjer, ako odaberete x \u003d 0 i tu vrijednost zamijenite izrazom 1 / x, dobit ćete numerički izraz 1/0, što nema smisla, jer je dijeljenje s nulom nedefinirano.

Ostaje samo dodati da postoje izrazi s varijablama čije vrijednosti ne ovise o vrijednostima varijabli koje su u njih uključene. Na primjer, vrijednost izraza s varijablom x oblika 2 + x - x ne ovisi o vrijednosti ove varijable, jednaka je 2 za bilo koju odabranu vrijednost varijable x iz raspona njezinih dopuštenih vrijednosti , koji je u ovom slučaju skup svih realnih brojeva.

Popis referenci.

• Matematika: udžbenik. za 5 cl. opće obrazovanje. institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, Izbrisano. - M.: Mnemosina, 2007. - 280 str.: Ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: studija. za 7 cl. opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M .: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : bolesno. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: studija. za 8 cl. opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolesno. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Numerički izraz Je li bilo koji zapis brojeva, aritmetičkih znakova i zagrada. Numerički izraz može se sastojati od samo jednog broja. Podsjetimo da su glavne računske operacije "zbrajanje", "oduzimanje", "množenje" i "dijeljenje". Te radnje odgovaraju znakovima "+", "-", "∙", ":".

Naravno, da bismo dobili numerički izraz, zapisi brojeva i aritmetičkih znakova moraju biti značajni. Tako se, na primjer, takav zapis 5: + ∙ ne može nazvati numeričkim izrazom, budući da se radi o slučajnom skupu znakova koji nema smisla. Naprotiv, 5 + 8 ∙ 9 je već stvarni numerički izraz.

Vrijednost numeričkog izraza.

Recimo odmah da ako izvršimo radnje naznačene numeričkim izrazom, tada ćemo kao rezultat dobiti broj. Ovaj se broj zove vrijednost numeričkog izraza.

Pokušajmo izračunati što dobivamo kao rezultat izvođenja radnji iz našeg primjera. Prema redoslijedu u kojem se izvode aritmetičke operacije, prvo izvodimo operaciju množenja. Pomnožite 8 s 9. Dobijte 72. Sada dodajte 72 i 5. Dobijte 77.
Dakle 77 - vrijednost brojčani izraz 5 + 8 ∙ 9.

Numerička jednakost.

Možete to napisati na ovaj način: 5 + 8 ∙ 9 \u003d 77. Ovdje smo prvo upotrijebili znak "\u003d" ("Jednako"). Takav zapis, u kojem su dva numerička izraza odvojena znakom "\u003d", naziva se brojčana jednakost... Štoviše, ako se vrijednosti lijeve i desne strane jednakosti podudaraju, tada se naziva jednakost vjerni... 5 + 8 ∙ 9 \u003d 77 - istinska jednakost.
Ako napišemo 5 + 8 ∙ 9 \u003d 100, tada će već biti lažna jednakost, budući da se vrijednosti lijeve i desne strane ove jednakosti više ne podudaraju.

Valja napomenuti da se u numeričkom izrazu možemo poslužiti i zagradama. Zagrade utječu na redoslijed izvođenja radnji. Tako, na primjer, izmijenimo naš primjer dodavanjem zagrada: (5 + 8) ∙ 9. Sada prvo trebate zbrojiti 5 i 8. Dobivamo 13. I onda pomnožimo 13 s 9. Tako dobivamo 117. 5 + 8) ∙ 9 \u003d 117.
117 – vrijednost numerički izraz (5 + 8) ∙ 9.

Da biste ispravno pročitali izraz, morate odrediti koja se radnja izvršava posljednja da biste izračunali vrijednost datog numeričkog izraza. Dakle, ako je zadnja radnja oduzimanje, tada se izraz naziva "razlika". Sukladno tome, ako je posljednja radnja zbroj - "zbroj", dijeljenje - "kvocijent", množenje - "proizvod", potenciranje - "stupanj".

Primjerice, numerički izraz (1 + 5) (10-3) glasi ovako: "umnožak zbroja brojeva 1 i 5 na razliku između brojeva 10 i 3".

Primjeri numeričkih izraza.

Evo primjera složenijeg numeričkog izraza:

\\ [\\ lijevo (\\ frac (1) (4) +3,75 \\ desno): \\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \\ centerdot 0,5) \\]

U zagradi imamo izraz $ \\ frac (1) (4) + 3,75 $. Pretvorite decimalni 3.75 u razlomak.

3,75 USD \u003d 3 \\ frac (75) (100) \u003d 3 \\ frac (3) (4) $

Tako, $ \\ frac (1) (4) + 3,75 \u003d \\ frac (1) (4) +3 \\ frac (3) (4) \u003d 4 $

Nadalje, u brojiocu razlomka \\ [\\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \\ centerdot 0,5) \\] imamo izraz 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Da bismo pojednostavili ovaj izraz, primjenjujemo zakon raseljavanja zbrajanja koji kaže: "Zbroj se ne mijenja od promjene mjesta pojmova." Odnosno, 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47 \u003d 1,25 + 4,75 + 3,47-1,47 \u003d 6 + 2 \u003d 8.

U nazivniku razlomka izraz 4 $ \\ centerdot 0,5 \u003d 4 \\ centerdot \\ frac (1) (2) \u003d 4: 2 \u003d 2 $

Dobivamo $ \\ lijevo (\\ frac (1) (4) +3,75 \\ desno): \\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \\ centerdot 0,5) \u003d 4: \\ frac (8) (2) \u003d 4: 4 \u003d 1 $

Kada su numerički izrazi besmisleni?

Uzmimo još jedan primjer. U nazivniku razlomka $ \\ frac (5 + 5) (3 \\ centardot 3-9) $ vrijednost izraza $ 3 \\ centerdot 3-9 $ je 0. A, kao što znamo, dijeljenje s nulom je nemoguće. Stoga razlomak $ \\ frac (5 + 5) (3 \\ centerdot 3-9) $ nema vrijednost. Za numeričke izraze koji nemaju značenje kaže se da su „besmisleni“.

Ako pored brojki koristimo slova u numeričkom izrazu, tada ćemo već dobiti