Pri proučavanju teme, numerički, doslovni i varijabilni izrazi trebaju obratiti pažnju na koncept vrijednost izraza... U ovom ćemo članku odgovoriti na pitanje koja je vrijednost numeričkog izraza, a što se naziva vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijabli. Evo nekoliko primjera za pojašnjenje ovih definicija.

Navigacija po stranici.

Kolika je vrijednost numeričkog izraza?

Upoznavanje s brojčanim izrazima započinje gotovo od prvih sati matematike u školi. Gotovo odmah uvodi se pojam "vrijednost numeričkog izraza". Odnosi se na izraze sastavljene od brojeva povezanih aritmetičkim znakovima (+, -, ·, :). Dajmo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Vrijednost numeričkog izraza Je li broj koji se dobije nakon izvođenja svih radnji u originalu numerički izraz.

Na primjer, uzmimo u obzir numerički izraz 1 + 2. Nakon završetka dobivamo broj 3, to je vrijednost numeričkog izraza 1 + 2.

Često se u frazi "vrijednost numeričkog izraza" izostavi riječ "numerički", a oni jednostavno kažu "značenje izraza", budući da je još uvijek jasno o kojem je značenju riječ.

Gornja definicija značenja izraza primjenjuje se na numeričke izraze više od složene vrste, koji se izučavaju u srednjoj školi. Ovdje treba napomenuti da možete naići na numeričke izraze, čije se vrijednosti ne mogu navesti. To je zbog činjenice da je u nekim izrazima nemoguće izvršiti snimljene radnje. Na primjer, stoga ne možemo odrediti vrijednost izraza 3: (2-2). Takvi se numerički izrazi nazivaju izrazi koji nemaju smisla.

Često u praksi nije toliko zanimljiv numerički izraz koliko njegova vrijednost. Odnosno, zadatak je odrediti značenje ovog izraza. U ovom slučaju obično kažu da trebate pronaći vrijednost izraza. U ovom je članku detaljno opisan postupak pronalaženja vrijednosti numeričkih izraza. raznih vrsta, i razmotrio puno primjera s detaljni opisi rješenja.

Značenje doslovnog izraza i izraza s varijablama

Uz numeričke izraze, proučavaju se i doslovni izrazi, odnosno izrazi u čijem je bilježenju, zajedno s brojevima, prisutno jedno ili više slova. Slova u abecednom izrazu mogu predstavljati različite brojeve, a ako su slova zamijenjena tim brojevima, abecedni izraz postaje numerički.

Definicija.

Pozvani su brojevi koji zamjenjuju slova u doslovnom izrazu značenja ovih slova, i naziva se vrijednost dobivenog numeričkog izraza vrijednost doslovnog izraza s obzirom na vrijednosti slova.

Dakle, za doslovne izraze ne govori se samo o značenju doslovnog izraza, već o značenju doslovnog izraza s danim (zadanim, navedenim, itd.) Značenjima slova.

Dajmo primjer. Uzmite doslovni izraz 2 a + b. Neka su vrijednosti slova a i b date, na primjer, a \u003d 1 i b \u003d 6. Zamjenjujući slova u izvornom izrazu njihovim vrijednostima, dobivamo numerički izraz oblika 2 1 + 6, njegova vrijednost je 8. Dakle, broj 8 je vrijednost doslovnog izraza 2 a + b za zadane vrijednosti slova a \u003d 1 i b \u003d 6. Da su dana druga značenja slova, tada bismo dobili značenje doslovnog izraza za ta značenja slova. Na primjer, za a \u003d 5 i b \u003d 1 imamo vrijednost 2 5 + 1 \u003d 11.

U srednjoj školi, prilikom proučavanja algebre, dopušteno je uzimati slova u doslovnim izrazima različita značenja, takva se slova nazivaju varijablama, a doslovni izrazi nazivaju se izrazima s varijablama. Za ove izraze uveden je koncept vrijednosti izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijabli. Shvatimo što je to.

Definicija.

Vrijednost izraza s varijablama na odabranim vrijednostima varijabli je vrijednost numeričkog izraza koja se dobiva nakon zamjene odabranih vrijednosti varijabli u izvornom izrazu.

Objasnimo gornju definiciju na primjeru. Razmotrimo izraz s varijablama x i y oblika 3 x y + y. Uzmimo x \u003d 2 i y \u003d 4, zamijenimo ove vrijednosti varijabli u izvornom izrazu, dobivamo numerički izraz 3 · 2 · 4 + 4. Izračunajmo vrijednost ovog izraza: 3 · 2 · 4 + 4 \u003d 24 + 4 \u003d 28. Pronađena vrijednost 28 vrijednost je izvornog izraza s varijablama 3 x y + y za odabrane vrijednosti varijabli x \u003d 2 i y \u003d 4.

Ako odaberete druge vrijednosti varijabli, na primjer, x \u003d 5 i y \u003d 0, tada će ove odabrane vrijednosti varijabli odgovarati vrijednosti izraza s varijablama, jednakom 3 · 5 · 0 + 0 \u003d 0.

Može se primijetiti da se ponekad za različite odabrane vrijednosti varijabli mogu dobiti jednake vrijednosti izraza. Na primjer, za x \u003d 9 i y \u003d 1, vrijednost izraza 3 x y + y je 28 (budući da je 3 9 1 + 1 \u003d 27 + 1 \u003d 28), a iznad smo pokazali da je ista vrijednost izraz s varijablama ima pri x \u003d 2 i y \u003d 4.

Vrijednosti varijabli mogu se odabrati između odgovarajućih rasponi valjanih vrijednosti... Inače, zamjena vrijednosti ovih varijabli u izvorni izraz rezultirat će numeričkim izrazom koji nema smisla. Na primjer, ako odaberete x \u003d 0 i tu vrijednost zamijenite izrazom 1 / x, tada ćete dobiti numerički izraz 1/0, što nema smisla, jer podjela s nulom nije definirana.

Ostaje samo dodati da postoje izrazi s varijablama čije vrijednosti ne ovise o vrijednostima varijabli koje su u njih uključene. Na primjer, vrijednost izraza s varijablom x oblika 2 + x - x ne ovisi o vrijednosti ove varijable, jednaka je 2 za bilo koju odabranu vrijednost varijable x iz raspona njezinih dopuštenih vrijednosti , koji je u ovom slučaju skup svih realnih brojeva.

Popis referenci.

• Matematika: udžbenik. za 5 cl. opće obrazovanje. institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, Izbrisano. - M.: Mnemosina, 2007. - 280 str.: Ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: studija. za 7 cl. opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M .: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : bolesno. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: studija. za 8 cl. opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolesno. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Numerički i algebarski izrazi. Pretvaranje izraza.

Što je izraz iz matematike? Zašto su vam potrebne pretvorbe izraza?

Pitanje je, kako kažu, zanimljivo ... Činjenica je da su ti pojmovi osnova cijele matematike. Sva se matematika sastoji od izraza i njihovih transformacija. Nije baš jasno? Dopustite mi da objasnim.

Recimo da imate zli primjer pred sobom. Vrlo velika i vrlo složena. Recimo da ste jaki u matematici i ne bojite se ničega! Možete li odmah dati odgovor?

Morat ćete riješiti ovaj primjer. Slijedom, korak po korak, ovaj primjer pojednostaviti... Prema određenim pravilima, naravno. Oni. napraviti pretvorba izraza... Koliko ste uspješni u tim transformacijama, toliko ste snažni u matematici. Ako ne znate kako napraviti ispravne transformacije, u matematici to ne možete učiniti ništa...

Da biste izbjegli tako neugodnu budućnost (ili sadašnjost ...), ne škodi razumijevanju ove teme.)

Prvo, saznajmo što je izraz u matematici... Što numerički izraz i što je algebarski izraz.

Što je izraz iz matematike?

Izraz iz matematike je vrlo širok pojam. Gotovo sve čime se bavimo u matematici je zbirka matematičkih izraza. Bilo koji primjer, formula, razlomak, jednadžba i tako dalje - sve se sastoji od matematički izrazi.

3 + 2 je matematički izraz. s 2 - d 2 je također matematički izraz. I velik razlomak, pa čak i jedan broj - sve su to matematički izrazi. Jednadžba je, na primjer, sljedeća:

5x + 2 \u003d 12

sastoji se od dva matematička izraza povezana znakom jednakosti. Jedan izraz nalazi se na lijevoj, drugi na desnoj strani.

U opći pogled pojam " matematički izraz"Koristi se, najčešće, kako ne bi mukao. Pitat će vas, što je na primjer obični razlomak? I kako odgovoriti?!

Prvi odgovor je: "Ovo je ... hmmm ... takvo što ... u kojem ... Mogu li bolje napisati razlomak? Koji želiš? "

Drugi odgovor je: " Uobičajena frakcija - ovo (veselo i radosno!) matematički izraz , koji se sastoji od brojnika i nazivnika! "

Druga opcija će nekako biti impresivnija, zar ne?)

U tu svrhu izraz " matematički izraz "vrlo dobro. I ispravno i solidno. Ali za praktična aplikacija morate biti dobro upućeni u određene vrste izraza u matematici .

Druga je stvar specifična vrsta. to sasvim druga stvar! Svaka vrsta matematičkog izraza ima svoj skup pravila i tehnika koje se moraju koristiti pri rješavanju. Za rad s razlomcima - jedan set. Za trigonometrijske izraze - drugi. Za rad s logaritmima - treći. Itd. Negdje se ta pravila podudaraju, negdje se naglo razlikuju. Ali nemojte se zastrašiti ovim strašnim riječima. Svladati ćemo logaritme, trigonometriju i druge tajanstvene stvari u odgovarajućim odjeljcima.

Ovdje ćemo svladati (ili - ponovit ćemo, kao i svi ...) dvije osnovne vrste matematičkih izraza. Numerički izrazi i algebarski izrazi.

Numerički izrazi.

Što numerički izraz? Ovo je vrlo jednostavan koncept. Samo ime sugerira da je ovo izraz s brojevima. To je tako. Matematički izraz sastavljen od brojeva, zagrada i aritmetičkih znakova naziva se numeričkim izrazom.

7-3 je numerički izraz.

(8 + 3,2) 5,4 je također numerički izraz.

I ovo čudovište:

također numerički izraz, da ...

Obični broj, razlomak, bilo koji primjer za izračun bez x i druga slova - sve su to numerički izrazi.

Glavna značajka brojčani izrazi - u njemu nema slova... Nijedna. Samo brojevi i matematičke ikone (ako je potrebno). Jednostavno je, zar ne?

A što možete učiniti s numeričkim izrazima? Numerički izrazi obično se mogu čitati. Da biste to učinili, događa se da morate otvoriti zagrade, promijeniti znakove, skratiti, promijeniti mjesta pojmova - tj. napraviti pretvorbe izraza... Ali o tome više u nastavku.

Ovdje ćemo se pozabaviti tako smiješnim slučajem kada je to numerički izraz ništa za raditi.Pa baš ništa! Ova ugodna operacija - ništa za raditi) - izvršava se prilikom izraza nema smisla.

Kada je numerički izraz besmislen?

Jasno je ako pred sobom vidimo neku vrstu nepromišljenosti

tada nećemo ništa poduzeti. Budući da nije jasno što učiniti s ovim. Kakve gluposti. Osim ako ne izbrojite broj znakova plus ...

Ali postoje izvana sasvim pristojni izrazi. Na primjer ovo:

(2 + 3): (16 - 2 8)

Međutim, i ovaj izraz je nema smisla! Iz jednostavnog razloga što u drugim zagradama - ako računate - ispada nula. I ne možete podijeliti s nulom! Ovo je zabranjena operacija u matematici. Stoga s ovim izrazom ne trebate ništa raditi. Za bilo koji zadatak s takvim izrazom odgovor će uvijek biti isti: "Izraz nema smisla!"

Da bih dao takav odgovor, naravno, morao sam izračunati što će biti u zagradama. A ponekad u zagradi takva pogrešna rečenica ... Pa, tu ništa ne možete učiniti.

U matematici nema toliko zabranjenih operacija. U ovoj je temi samo jedan. Podjela s nulom. Dodatne zabrane koje proizlaze iz korijena i logaritama razmatraju se u povezanim temama.

Dakle, ideja o tome što jest numerički izraz - dobio. Koncept numerički izraz nema smisla - shvatio. Idemo dalje.

Algebarski izrazi.

Ako se slova pojave u numeričkom izrazu, taj izraz postaje ... Izraz postaje ... Da! Postaje algebarski izraz... Na primjer:

5a 2; 3x-2g; 3 (z-2); 3,4 m / n; x 2 + 4x-4; (a + b) 2; ...

Takvi se izrazi također nazivaju slovni izrazi. Ili izrazi s varijablama. Oni su praktički ista stvar. Izraz 5a + c, na primjer - i doslovni, i algebarski, i izraz s varijablama.

Koncept algebarski izraz - širi od numeričkog. To uključuje i svi numerički izrazi. Oni. numerički izraz je također algebarski izraz, samo bez slova. Svaka haringa je riba, ali nije svaka riba haringa ...)

Zašto abecedni - razumljivo. Pa, budući da postoje slova ... Fraza varijabilni izraz također ne baš zagonetno. Ako razumijete da su brojevi skriveni ispod slova. Bilo koji brojevi mogu se sakriti ispod slova ... I 5, i -18, i svejedno. Odnosno, pismo može biti zamijeniti na različiti brojevi... Stoga su slova pozvana varijable.

U izrazu y + 5npr. na - varijabilna... Ili jednostavno kažu " varijabla ", bez riječi "veličina". Za razliku od pet, što je konstantna vrijednost. Ili jednostavno - konstantno.

Termin algebarski izraz znači da za rad s ovim izrazom morate koristiti zakone i propise algebre... Ako je a aritmetika onda radi s određenim brojevima algebra - sa svim brojevima odjednom. Jednostavan primjer za pojašnjenje.

U aritmetiku to možemo zapisati

Ali ako takvu jednakost napišemo kroz algebarske izraze:

a + b \u003d b + a

odlučit ćemo odmah svi pitanja. Za svi brojevi moždani udar. Za beskrajan broj stvari. Jer ispod slova i i b podrazumijeva svi brojevi. I ne samo brojevi, već čak i drugi matematički izrazi. Tako funkcionira algebra.

Kada algebarski izraz nema smisla?

Sve je jasno kod numeričkog izraza. Tamo ne možete podijeliti s nulom. A slovima, kako možete saznati na što se dijelimo?!

Uzmimo za primjer sljedeći izraz s varijablama:

2: (i - 5)

Ima li smisla? Tko zna? i - bilo koji broj ...

Bilo što ... Ali postoji jedno značenje igdje ovaj izraz točno nema smisla! A koji je ovo broj? Da! 5 je! Ako je varijabla i zamijenite (recimo - "zamijeni") brojem 5, u zagradama će ispasti nula. Na koje se ne može podijeliti. Tako ispada da je naš izraz nema smisla, ako a a \u003d 5... Ali s drugim značenjima i ima li smisla? Mogu li zamijeniti druge brojeve?

Naravno. Samo što u takvim slučajevima kažu da je taj izraz

2: (i - 5)

ima smisla za bilo koju vrijednost i, osim a \u003d 5 .

Čitav niz brojeva koji limenka zamjena u danom izrazu naziva se raspon valjanih vrijednosti ovaj izraz.

Kao što vidite, nema ništa škakljivo. Gledamo izraz s varijablama, ali shvatimo: na koju vrijednost varijable ispada zabranjena operacija (dijeljenje s nulom)?

A onda svakako pogledajte pitanje zadatka. Što pitaju?

nema smisla, naše zabranjeno značenje bit će odgovor.

Ako pitate koja je vrijednost varijable izraz ima značenje (osjetite razliku!), odgovor je svi ostali brojeviosim zabranjenog.

Zašto nam treba značenje izraza? Eno ga, nema ga ... Kakva je razlika ?! Činjenica je da ovaj koncept postaje vrlo važan u srednjoj školi. Izuzetno važno! To je osnova za čvrste koncepte kao što je raspon vrijednosti ili raspon funkcije. Bez toga uopće nećete moći riješiti ozbiljne jednadžbe ili nejednakosti. Kao ovo.

Pretvaranje izraza. Identične transformacije.

Upoznali smo se s numeričkim i algebarskim izrazima. Shvatili smo što znači izraz "izraz nema smisla". Sada moramo shvatiti što je pretvorba izraza. Odgovor je nečuveno jednostavan.) Ovo je bilo koja radnja s izrazom. I to je sve. Ove ste transformacije učinili od prve klase.

Uzmimo cool izraz broja 3 + 5. Kako se može pretvoriti? Vrlo je jednostavno! Izračunati:

Ovaj izračun bit će transformacija izraza. Isti izraz možete napisati drugačije:

Ovdje uopće nismo ništa brojali. Samo sam zapisao izraz u drugom obliku. Ovo će ujedno biti i transformacija izraza. Možete to napisati ovako:

I to je također pretvorba izraza. Takvih transformacija možete učiniti koliko god želite.

Bilo koji djelovanje na izražavanje, bilo koji pisanje u drugom obliku naziva se pretvorba izraza. I to je sve. Sve je vrlo jednostavno. Ali ovdje je jedna stvar vrlo važno pravilo. Toliko važno da ga se može sigurno nazvati glavno pravilo sva matematika. Kršeći ovo pravilo neizbježno dovodi do pogrešaka. Krenimo u to?)

Pretpostavimo da smo svoj izraz transformirali nasumično, ovako:

Konverzija? Naravno. Izraz smo napisali u drugom obliku, što tu nije u redu?

To nije slučaj.) Poanta je u tome što transformacije "u svakom slučaju" matematika uopće nije zainteresirana.) Sva se matematika gradi na transformacijama u kojima se mijenjaju izgled, ali suština izraza se ne mijenja. Tri plus pet može se napisati u bilo kojem obliku, ali to mora biti osam.

Konverzije, besmisleni izrazi se zovu identičan.

Točno identične transformacije i dopustite nam, korak po korak, da složeni primjer pretvorimo u jednostavan izraz zadržavajući ga bit primjera. Ako u lancu transformacija pogriješimo, napravimo NIJE identičnu transformaciju, tada ćemo već odlučiti drugo primjer. S drugim odgovorima koji nisu relevantni za točne.)

To je glavno pravilo za rješavanje bilo kakvih zadataka: poštivanje identiteta transformacija.

Dao sam primjer s numeričkim izrazom 3 + 5 radi preglednosti. U algebarskim izrazima identične su transformacije dane formulama i pravilima. Recimo da postoji formula u algebri:

a (b + c) \u003d ab + ac

To znači da u bilo kojem primjeru možemo umjesto izraza a (b + c) slobodno napiši izraz ab + ac... I obrnuto. to identična transformacija. Matematika nam daje mogućnost izbora između ova dva izraza. I koji napisati - iz konkretan primjer ovisi.

Još jedan primjer. Jedna od najvažnijih i nužnih transformacija je osnovno svojstvo razlomka. Više detalja možete pronaći na poveznici, ali ovdje ću samo podsjetiti na pravilo: ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože (podijele) istim brojem ili izrazom koji nije jednak nuli, razlomak se neće promijeniti. Evo primjera identičnih transformacija za ovo svojstvo:

Kao što ste vjerojatno pretpostavili, ovaj se lanac može nastaviti unedogled ...) Vrlo važno svojstvo. To vam omogućuje pretvaranje svih vrsta čudovišta u primjere u bijele i pahuljaste.)

Postoji mnogo formula koje definiraju identične transformacije. Ali najvažniji su sasvim razumni iznos. Jedna od osnovnih transformacija je faktorizacija. Koristi se u svim matematikama, od osnovne do napredne. Krenimo od njega. U sljedećoj lekciji.)

Ako vam se sviđa ova stranica ...

Inače, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Ispitivanje trenutnom provjerom valjanosti. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.