Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve opcije prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

• Obrazovni: proširiti razumijevanje učenika o propozicionoj algebri, upoznati ih s logičkim operacijama i tablicama istinitosti.
• Razvijanje:
razvijati sposobnost učenika za rad s pojmovima i simbolima matematičke logike; nastaviti formiranje logičkog mišljenja; razviti kognitivnu aktivnost; širenje vidika učenika.
• Obrazovni:
razviti sposobnost izražavanja svog mišljenja; usaditi vještine samostalnog rada.

TIP SATA: kombinirani sat - objašnjavanje novog gradiva uz naknadno učvršćivanje stečenog znanja.

TRAJANJE SATA: 40 minuta.

MATERIJALNA I TEHNIČKA BAZA:

• interaktivna ploča Pametna ploča.
• MS Windows aplikacija - PowerPoint 2007.
• Verzija e-lekcije koju pripremaju učitelji (PowerPoint 2007 prezentacija).
• Kartice sa zadacima koje je pripremio učitelj.

PLAN UČENJA:

ja Organiziranje vremena- 1 minuta.

II. Postavljanje cilja lekcije - 2 min.

III. Ažuriranje znanja - 9 min.

IV. Prezentacija novog materijala - 15 min.

V. Učvršćivanje proučenog gradiva - 8 min.

Vi. Refleksija "Nedovršene rečenice" - 3 min.

Vii. Zaključak. Domaća zadaća - 2 min.

TIJEKOM NASTAVE

I. Organizacijski trenutak.

Pozdrav, ocjene za odsutne s lekcije.

Slajd 1

Nastavljamo s proučavanjem odjeljka "Logički jezik"... Danas je naša lekcija posvećena temi "Logički iskazi". Započnimo rad s čekom domaća zadaća(čitaju se učeničke pjesme koje sadrže mnoge logičke veze (operacije) te se zaključuje da se proizvoljne informacije mogu jednoznačno tumačiti na temelju logičke algebre).

Stoga je svrha naše lekcije proučavati logičke operacije i otkriti da se proizvoljne informacije mogu jedinstveno tumačiti na temelju algebre logike. Ali prvo morate pregledati materijal naučen u prošloj lekciji.

III. Ažuriranje znanja (frontalna anketa).

Zadatak 1. Rad s karticama (kratko odgovoriti na postavljena pitanja).Nauka koja proučava zakonitosti i oblike mišljenja. (logika)

• Zdravo!
• Aksiom ne zahtijeva dokaz.
• Pada kiša.
• Kolika je temperatura vani?
• Rublja je valuta Rusije.
• Ne možete lako izvući ribu iz ribnjaka.
• Broj 2 nije djelitelj broja 9.
• Broj x nije veći od 2.

7. Utvrdite istinitost ili netočnost tvrdnje:

• Informatika se izučava u srednjoškolskom kolegiju.
• "E" je šesto slovo u abecedi.
• Kvadrat je romb.
• Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta.
• Zbroj kutova trokuta iznosi 1900.
• 12+14 > 30.
• Pingvini žive na sjevernom polu Zemlje.
• 23+12=5*7.

Dakle, što je izreka? (Deklarativna rečenica za koju se može reći da je istinita ili netočna.)

Što je jednostavna izjava? (Izjava se naziva jednostavnom (elementarnom) ako niti jedan njezin dio nije izjava.)

Što je složena izjava? (Složeni iskaz se sastoji od jednostavnih iskaza povezanih logičkim konektivima (operacijama).)

Zadatak 2. Konstruirajte složene izjave od jednostavnih izjava: "A = Petya čita knjigu", "B = Petya pije čaj". (na ekranu - slajd 2)

Nastavimo s radom.

Zadatak 3. U sljedećim izjavama istaknite jednostavne izjave označavajući svaku slovom:

1. Zimi djeca idu na klizanje ili skijanje. (slajd 3)
2. Nije istina da se Sunce kreće oko Zemlje. (slajd 4)
3. Broj 15 je djeljiv s 3 ako i samo ako je zbroj znamenki broja 15 djeljiv s 3. (slajd 5)
4. Ako je jučer bila nedjelja, onda Dima jučer nije bio u školi i hodao je cijeli dan. (slajd 6)

IV. Prezentacijanovi materijal.

U prethodnim zadacima korišteni su različiti logički veznici: "i", "ili", "ne", "ako: onda:", "ako i samo ako:". U algebri logika, logičke veze i odgovarajuće logičke operacije imaju posebne nazive. Razmotrite 3 osnovne logičke operacije - inverziju, konjunkciju i disjunkciju, pomoću kojih možete dobiti složene iskaze. (slajd 7)

Svaka logička operacija određena je tablicom koja se naziva tablica istinitosti. Tablica istinitosti logičkog izraza je tablica u kojoj su na lijevoj strani zapisane sve moguće kombinacije vrijednosti izvornih podataka, a na desnoj je vrijednost izraza za svaku kombinaciju.

Negacija je logička operacija koja svaku jednostavnu (elementarnu) izjavu povezuje s novom tvrdnjom čije je značenje suprotno izvornom. ( slajd 8)

Razmotrimo pravilo konstruiranja negacije za jednostavnu izjavu.

Pravilo: Prilikom konstruiranja negacije koristi se jednostavna tvrdnja ili glagolski obrt "nije točno to", ili se negacija gradi na predikatu, zatim se predikatu dodaje čestica "ne", dok je riječ "sve" zamijenjen s "neki" i obrnuto.

Zadatak 4. Konstruirajte inverziju (negaciju) na jednostavnu izjavu:

1. A = Imam računalo kod kuće. ( slajd 9)
2. A = Svi dječaci 11. razreda su odlični učenici.
3. Hoće li i biti, demanti je tvrdnje: "Svi dječaci 11. razreda nisu odlični učenici." ( slajd 10)

Tvrdnja "Svi dječaci u 11. razredu nisu odlični učenici" nije negacija izjave "Svi dječaci 11. razreda su odlični učenici". Tvrdnje "Svi dječaci u 11. razredu su odlični učenici" su lažni, a istinita tvrdnja treba biti negacija lažne tvrdnje. Ali izreka "Svi mladići u 11. razredu nisu odlični učenici" nije točna, jer među učenicima 11. razreda ima i odličnih i ne odličnih učenika.

Negacija se može grafički prikazati kao skup. ( slajd 11)

Razmotrimo sljedeću logičnu operaciju - konjunkciju. Izjava sastavljena od dva iskaza njihovim kombiniranjem s veznikom "i" naziva se konjunkcija ili logičko množenje (uz to se koriste veznici - a, ali, iako).

Konjunkcija- logička operacija koja povezuje svaka dva elementarna iskaza s novom tvrdnjom koja je istinita ako i samo ako su obje početne izjave istinite. ( slajd 12)

Konjunkcija se može grafički prikazati kao skup. ( slajd 13)

Razmotrimo sljedeću logičnu operaciju - disjunkciju. Izjava sastavljena od dva iskaza ujedinjena vezom "ili" naziva se disjunkcija ili logički dodatak.

Disjunkcija- logička operacija koja svaka dva elementarna iskaza pridružuje novom iskazu, koji je netočan ako i samo ako su obje početne izjave netočne. ( slajd 14)

Disjunkcija se može grafički prikazati kao skup. ( slajd 15)

Dakle, navedite tri osnovne operacije koje smo naučili. ( slajd 16)

Pokušajmo primijeniti nova znanja pri izvođenju probnog rada.

V. Učvršćivanje proučenog gradiva (rad kod ploče).

Zadatak 5. Spojite dijagram i njegovu oznaku. ( slajd 17)

Zadatak 6. Postoje dvije jednostavne izjave: A = "Broj 10 je paran", B = "Vuk je biljožder." Sastavite od njih sve moguće složene tvrdnje i utvrdite njihovu istinitost.

Odgovor: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7 (prikaz, stručni).

Zadatak 8. Dane su dvije jednostavne izjave: A = "Rublja je valuta Rusije", B = "Hrivna je valuta Sjedinjenih Država." Koje su izjave istine?

4)A v B

Odgovori: 1) 0; 2) 1; trideset; 4) 1.

Vi. Odraz "Nedovršene rečenice".

• Na lekciji mi je bilo zanimljivo jer:
• Najviše od svega u lekciji mi se svidjelo:
• Ono što je za mene bilo novo je:

Vii. Zaključak. Domaća zadaća.

Ocjenjuje se rad razreda u cjelini i pojedinih učenika koji su se istaknuli na satu.

Domaća zadaća:

1) Naučite osnovne definicije, poznajte notaciju.

2) Smislite jednostavne izjave. (Trebalo bi biti ukupno 5 setova od dvije izjave). Iz njih sastavite sve vrste složenih izjava, odredite njihovu istinitost.

Popis korištenih materijala:

1. Informatika i ICT. 10-11 razred. Razina profila. 1. dio: 10. razred: udžbenik za obrazovne ustanove / M.E. Fioshin, A.A. Resin - M .: Drfa, 2008
2. Matematičke osnove informatike. Studijski vodič / E.V. Andreeva, L.L. Bosova, I.N. Falina - M .: BINOM. Laboratorij znanja, 2007. (monografija).
3. Materijali nastavnika informatike Pospelove N.P., MOU srednja škola br. 22, Soči
4. Fragmenti izlaganja nastavnika informatike Polyakova K.Yu.

Izjava je složenija tvorba od imena. Prilikom rastavljanja iskaza na jednostavnije dijelove uvijek dobivamo određena imena. Recimo da izreka "Sunce je zvijezda" uključuje nazive "Sunce" i "Zvijezda" kao svoje dijelove.

Izricanje- gramatički ispravna rečenica, uzeta zajedno sa značenjem (sadržajem) izraženim njome i koja je istinita ili netočna.

Koncept iskaza jedan je od izvornih, ključni koncepti logika. Kao takav, ne dopušta precizna definicija, jednako primjenjiv u svojim različitim odjeljcima.

Tvrdnja se smatra istinitom ako njen opis odgovara stvarnoj situaciji, a lažnom ako joj ne odgovara. "Istina" i "laž" nazivaju se "istinitim vrijednostima izjava".

Iz pojedinačnih izjava različiti putevi možete graditi nove izjave.

Na primjer, od izjava “Puše vjetar” i “Pada kiša” možete sastaviti složenije izjave “Puše vjetar i pada kiša”, “Ili vjetar puše ili pada kiša”, “Ako pada kiša, onda puše vjetar” itd.

Izreka se zove jednostavan, osim ako kao svoje dijelove ne uključuje druge iskaze.

Izjava se zove ja izazivam ako se dobije pomoću logičkih veziva iz drugih jednostavnijih iskaza.

Uzmite u obzir najviše važne načine konstruiranje teške izjave.

Negativna izjava sastoji se od početne izjave i negacije, obično izražene riječima "ne", "nije istina da". Negativna izjava je stoga složena izjava: ona kao svoj dio uključuje izjavu različitu od nje. Na primjer, negacija tvrdnje "10 je paran broj" je tvrdnja "10 nije paran broj" (ili: "Nije istina da je 10 paran broj").

Označimo iskaze slovima A, B, C, ... Puno značenje pojma poricanja iskaza daje uvjet: ako je izjava A istinita, njena negacija je netočna, a ako je A lažna, njegova je negacija istinita. Na primjer, budući da je izjava "1 pozitivan cijeli broj" istinita, njena negacija "1 nije cijeli broj pozitivan broj"Je lažan, a budući da je "1 prost broj" lažan, njegova negacija "1 nije prost broj" je istinita.

Kombinacija dviju iskaza pomoću riječi "i" daje složenu izjavu tzv konjunkcija... Izjave sastavljene na ovaj način nazivaju se "pojmovi veznika".

Na primjer, ako se na ovaj način spoje izjave “Danas je vruće” i “Jučer je bilo hladno”, veznik “Danas je vruće, a jučer je bilo hladno”.

Veznik je istinit samo ako su obje tvrdnje uključene u njega istinite; ako je barem jedan od njegovih članova lažan, onda je cijela konjunkcija lažna.

U običnom jeziku dva su iskaza povezana veznikom "i" kada su međusobno povezani sadržajem, odnosno značenjem. Priroda ove veze nije sasvim jasna, ali je jasno da veznik “Nosio je kaput, a ja sam išao na sveučilište” ne bismo smatrali izrazom koji ima značenje i može biti istinit ili lažan. Iako su izjave “2 je prost broj” i “Moskva je Veliki grad"Jesu li istiniti, nismo skloni smatrati njihovu konjunkciju" 2 je prost broj, a Moskva je veliki grad "također istinitim, budući da njezini sastavni iskazi nisu povezani u značenju. Pojednostavljujući značenje veznika i drugih logičkih veznika i odbacujući neodređeni koncept "povezivanja iskaza po značenju", logika čini značenje ovih veznika širim i jasnijim.

Kombinacija dviju tvrdnji koje koriste riječ "ili" daje disjunkcija ove izjave. Izjave koje čine disjunkciju nazivaju se "članovi disjunkcije" .

Riječ "ili" u svakodnevnom jeziku ima dva različita značenja. Ponekad znači "jedno ili drugo, ili oboje", a ponekad "jedno ili drugo, ali ne oboje". Na primjer, govoreći „Ovu sezonu želim ići Pikova dama"Ili" Aida "" dopušta mogućnost dva posjeta operi. Izjava "Studira na Sveučilištu u Moskvi ili Jaroslavlju" implicira da spomenuta osoba studira samo na jednom od tih sveučilišta.

Prvo značenje "ili" se zove neisključivo. Uzeto u ovom smislu, disjunkcija dviju tvrdnji znači da je barem jedna od ovih tvrdnji istinita, bez obzira na to jesu li obje istinite ili ne. Snimljeno u drugom, isključujući, ili u strogom smislu, disjunkcija dvaju iskaza tvrdi da je jedna od tvrdnji istinita, a druga lažna.

Neisključiva disjunkcija je istinita kada je barem jedna od tvrdnji uključenih u nju istinita, a netočna samo kada su oba njezina pojma netočna.

Ekskluzivna disjunkcija je istinita kada je samo jedan njezin izraz istinit, a lažna je kada su oba njezina člana istinita ili su oba lažna.

U logici i matematici riječ "ili" se gotovo uvijek koristi u neisključivom smislu.

Uvjetna izjava - složena izjava, obično formulirana uz pomoć poveznice "ako ..., onda ..." i kojom se utvrđuje da je jedan događaj, stanje itd. u jednom ili onom smislu osnova ili uvjet za drugi.

Na primjer: "Ako ima vatre, onda ima i dima", "Ako je broj djeljiv s 9, djeljiv je s 3" itd.

Uvjetna izjava sastoji se od dva jednostavnija iskaza. Poziva se onaj kojemu je prefiks riječ "ako". osnova, ili prethodnica(prethodno), naziva se izjava koja dolazi iza riječi "to". posljedica, ili posljedično(naknadno).

Tvrdnjom uvjetne tvrdnje prije svega mislimo na to da ne može biti tako da se dogodilo ono što je rečeno u njenom temelju, a izostalo je ono što je rečeno u korollaru. Drugim riječima, ne može se dogoditi da je antecedent istinit, a konsekvent lažan.

U terminima uvjetne tvrdnje obično se definiraju pojmovi dovoljnog i nužnog uvjeta: antecedent (razlog) je dovoljan uvjet za posljedicu (posljedicu), a posljedica je potrebno stanje za prethodnicu. Na primjer, istinitost uvjetne tvrdnje „Ako je izbor racionalan, tada se bira najbolja dostupna alternativa“ znači da je racionalnost dovoljan razlog za odabir najbolje dostupne prilike i da je izbor takve mogućnosti nužan uvjet za svoju racionalnost.

Tipična funkcija uvjetne izjave je opravdanje jedne izjave referencom na drugu izjavu. Na primjer, činjenica da je srebro električno vodljivo može se opravdati pozivanjem na činjenicu da je metal: "Ako je srebro metal, ono je električno vodljivo."

Povezanost između opravdavajućeg i opravdanog (osnova i posljedica) izraženog uvjetnom tvrdnjom teško je okarakterizirati u opći pogled, a tek ponekad je njegova priroda relativno jasna. Ta veza može biti, prvo, veza logičke posljedice koja se odvija između premisa i zaključka ispravnog zaključivanja ("Ako su sva živa višestanična bića smrtna, a meduza je takvo stvorenje, onda je smrtna"); drugo, po zakonu prirode ("Ako je tijelo podvrgnuto trenju, ono će se početi zagrijavati"); treće, uzročnom vezom („Ako je mjesec u čvoru svoje orbite na mladom mjesecu, pomrčina Sunca"); četvrto, društveni obrazac, pravilo, tradicija ("Ako se društvo promijeni, mijenja se i osoba", "Ako je savjet razuman, mora se slijediti") itd.

S vezom izraženom uvjetnom tvrdnjom obično se kombinira uvjerenje da posljedica s određenom nužnošću "slijedi" iz temelja i da postoji neki opći zakon, koji smo uspjeli formulirati, mogli bismo logično izvesti posljedicu iz temelja. .

Na primjer, uvjetna tvrdnja “Ako je bizmut metal, on je plastičan”, takoreći pretpostavlja opći zakon “Svi metali su plastični”, što čini posljedicu dane tvrdnje logičnom posljedicom njezina prethodnika.

I u običnom jeziku i u jeziku znanosti, uvjetni iskaz, osim funkcije opravdanja, može obavljati i niz drugih zadataka: formulirati uvjet koji nije povezan ni s jednim impliciranim općim zakonom ili pravilom („Ako želim , prerezat ću svoj ogrtač”); popraviti neki slijed ("Ako je prošlo ljeto bilo suho, onda je ove godine bilo kišno"); izraziti nevjericu u osebujnom obliku ("Ako riješite ovaj problem, dokazat ću veliki Fermatov teorem"); opozicija ("Ako u vrtu raste bazga, onda u Kijevu živi stric") itd. Mnogobrojnost i heterogenost funkcija uvjetnog iskaza značajno komplicira njegovu analizu.

Upotreba uvjetnog iskaza povezana je s određenim psihološkim čimbenicima. Takvu tvrdnju obično formuliramo samo ako ne znamo sa sigurnošću jesu li njezin prethodnik i posljedica istiniti ili ne. Inače se njezina uporaba čini neprirodnom ("Ako je vata metalna, ona je električno vodljiva").

Uvjetna izjava nalazi vrlo široka primjena u svim područjima rasuđivanja. U logici se, u pravilu, predstavlja pomoću implikativna izjava, ili implikacije... Istodobno, logika pojašnjava, sistematizira i pojednostavljuje korištenje "ako ... onda ...", oslobađa ga od utjecaja psiholoških čimbenika.

Logika se posebno odvlači od činjenice da se veza razuma i učinka, karakteristična za uvjetnu izjavu, ovisno o kontekstu, može izraziti uz pomoć ne samo "ako ... onda ...", već također drugo jezična sredstva.

Na primjer, "Budući da je voda tekuća, ravnomjerno prenosi tlak u svim smjerovima", "Iako plastelin nije metal, on je plastika", "Da je drvo metal, bilo bi električno vodljivo" itd. Ove i slične izjave predstavljeni su u jeziku logike putem implikacije, iako upotreba "ako ... onda ..." u njima ne bi bila sasvim prirodna.

Potvrđujući implikaciju, tvrdimo da se ne može dogoditi da se njezin temelj dogodi, a učinak izostane. Drugim riječima, implikacija je lažna samo ako je njezina osnova istinita, a učinak lažan.

Ova definicija pretpostavlja, kao i prethodne definicije veziva, da je svaki iskaz ili istinit ili netočan i da istinitost složene tvrdnje ovisi samo o istinitostima njezinih sastavnih iskaza i načinu na koji su povezani.

Implikacija je istinita kada su i njezina osnova i njezin učinak istiniti ili lažni; istinit je ako je njegov temelj lažan i učinak istinit. Samo u četvrtom slučaju, kada je temelj istinit, a učinak lažan, implikacija je lažna.

Implikacija ne implicira da su izjave A i B nekako sadržajno povezane jedna s drugom. Ako je B istinit, tvrdnja “ako je A, onda je B” istinita je bez obzira na to je li A istinita ili lažna, a značenjski je povezana s B ili ne.

Na primjer, tvrdnje se smatraju istinitim: "Ako na Suncu postoji život, onda je dva puta dva jednako četiri", "Ako je Volga jezero, onda je Tokio veliko selo", itd. Uvjetna izjava je također istinita kada A je lažno, a u isto vrijeme opet, nije bitno je li B istinit ili ne, te je li sadržajno povezan s A ili ne. Sljedeće su tvrdnje istinite: "Ako je Sunce kocka, onda je Zemlja trokut", "Ako je dva puta dva jednako pet, onda je Tokio mali grad" itd.

U uobičajenom rasuđivanju, malo je vjerojatno da će se sve ove izjave smatrati smislenim, a još manje istinitima.

Iako je implikacija korisna u mnoge svrhe, nije u potpunosti u skladu s konvencionalnim razumijevanjem uvjetne komunikacije. Implikacija pokriva mnoga bitna obilježja logičkog ponašanja uvjetnog iskaza, ali u isto vrijeme nije njegov dovoljno adekvatan opis.

U posljednjih pola stoljeća bili su energični pokušaji reforme teorije implikacije. U ovom slučaju nije se radilo o odbacivanju opisanog koncepta implikacije, već o uvođenju uz njega drugog koncepta koji uzima u obzir ne samo istinitost iskaza, već i njihovu sadržajnu povezanost.

Usko povezano s implikacijom ekvivalencija ponekad naziva "dvostruka implikacija".

Ekvivalencija- složena izjava "A ako i samo ako B", formirana od izjava A i B i razložena na dvije implikacije: "ako A, onda B" i "ako B, onda A". Na primjer: "Trokut je jednakostraničan ako i samo ako je konforman." Pojam "ekvivalencija" također označava vezu "... ako i samo ako ...", uz pomoć koje se od dva iskaza formira zadani složeni iskaz. Umjesto "ako i samo ako" u tu svrhu može se koristiti "ako i samo ako", "ako i samo ako" itd.

Ako su logički veznici definirani u terminima istine i neistine, ekvivalencija je istinita ako i samo ako oba njezina iskaza imaju istu vrijednost istinitosti, to jest, kada su obje istinite i obje su netočne. Prema tome, ekvivalentnost je netočna kada je jedna od tvrdnji uključenih u nju istinita, a druga netočna.

Prilikom razmatranja metoda formiranja složenih iskaza od jednostavnih, unutarnja struktura jednostavnih iskaza nije uzeta u obzir. Uzeta su kao nerazgradive čestice sa samo jednim svojstvom: da su istinite ili lažne. Jednostavne izreke

nije slučajno da se ponekad nazivaju atomskim: od njih se, kao od elementarnih cigli, uz pomoć logičkih veziva "i", "ili" itd. grade razni složeni ("molekularni") iskazi.

Sada bismo se trebali zadržati na pitanju unutarnja struktura, ili unutarnju strukturu samih jednostavnih iskaza: od kojih su specifičnih dijelova sastavljeni i kako su ti dijelovi međusobno povezani.

Odmah treba naglasiti da se jednostavne izjave mogu rastaviti na sastavne dijelove na različite načine. Rezultat dekompozicije ovisi o svrsi za koju se provodi, odnosno o konceptu logičkog zaključivanja (logičke posljedice), u okviru kojeg se takvi iskazi analiziraju.

Poseban interes za kategoričke iskaze prvenstveno je posljedica činjenice da je razvoj logike kao znanosti započeo proučavanjem njihovih logičkih veza. Osim toga, iskazi ovog tipa se široko koriste u našem zaključivanju. Obično se naziva teorija logičkih veza kategoričkih iskaza silogistika.

Na primjer, u izreci "Svi dinosauri su izumrli" dinosaurima se pripisuje atribut "biti izumrli". U presudi "Neki su dinosauri letjeli" pripisuje se sposobnost letenja određene vrste dinosaurima. Presuda “Svi kometi nisu asteroidi” poriče prisutnost znaka “biti asteroid” u svakom od kometa. Izjava "Neke životinje nisu biljojedi" poriče da su neke životinje biljojedi.

Ako zanemarimo kvantitativne karakteristike sadržane u kategoričnoj izjavi i izražene riječima “svi” i “neki”, tada dobivamo dvije verzije takvih izjava: pozitivnu i negativnu. Njihova struktura:

"S je P" i "S nije P",

gdje slovo S predstavlja naziv predmeta o kojem u pitanju u izjavi, a slovo P je naziv značajke svojstvene ili ne svojstvene ovom subjektu.

Naziv subjekta na koji se poziva kategorička izjava predmet, a naziv njegove značajke je predikat... Subjekt i predikat su imenovani Pojmovi kategoričke izjave i međusobno su povezani snopovima "jest" ili "nije" ("jest" ili "nije" itd.). Na primjer, u izjavi "Sunce je zvijezda" pojmovi su nazivi "Sunce" i "zvijezda" (prvi od njih je subjekt iskaza, drugi je njegov predikat), a riječ "je" je snop.

Jednostavni iskazi tipa "S je (nije) P" nazivaju se atributivni: u njima se vrši atribucija (dodjela) nekog svojstva objektu.

Atributivnim izjavama suprotstavljaju se iskazi o odnosima u kojima se uspostavljaju odnosi između dva ili više objekata: "Tri manje od pet", "Kijev je više od Odese", "Proljeće je bolje od jeseni", "Pariz je između Moskve i New Yorka “, itd. Izjave o odnosima igraju bitnu ulogu u znanosti, posebice u matematici. One se ne svode na kategoričke iskaze, budući da se odnosi između više objekata (kao što su "jednako", "voli", "toplije", "je između" itd.) ne svode na svojstva pojedinačnih objekata. Jedan od značajnih nedostataka tradicionalne logike bio je to što je smatrala da se sudovi o odnosima mogu svesti na sudove o svojstvima.

Kategorički iskaz ne samo da uspostavlja vezu između objekta i obilježja, već daje i određenu kvantitativnu karakteristiku subjekta iskaza. U izjavama poput “Sve S je (nije) P” riječ “sve” znači “svaki od objekata odgovarajuće klase”. U izjavama poput “Neki S su (nisu) P” riječ “neki” koristi se u neisključivom smislu i znači “neki, a možda i svi”. U isključivom smislu, riječ "neki" znači "samo neki" ili "neki, ali ne svi". Razlika između dva značenja ove riječi može se pokazati na primjeru izreke "Neke zvijezde su zvijezde". U neekskluzivnom smislu, to znači "Neke, a moguće i sve, zvijezde su zvijezde", i očito je istinito. U ekskluzivnom smislu, ova izjava znači "Samo nekoliko zvijezda su zvijezde" i očito je lažna.

U kategoričnim iskazima potvrđuje se ili negira pripadnost pojedinih znakova predmetima koji se razmatraju i ukazuje se radi li se o svim tim objektima ili nekima od njih.

Stoga su moguće četiri vrste kategoričkih izjava:

Sve S je P - općenito potvrdna izjava,

Neki S su P - posebna afirmativna izjava,

Sve S nije P - općenito negativna izjava,

Neki S nisu P – djelomična negativna izjava.

Kategorički iskazi mogu se promatrati kao rezultat zamjene nekih imena u sljedećim izrazima s razmacima (elipsama): „Sve… je…“, „Neki… je…“, „Sve… nije…“ i „Neki… nije …”. Svaki od ovih izraza je logička konstanta (logička operacija) koja vam omogućuje da dobijete izjavu iz dva imena. Na primjer, zamjenom naziva "leteće" i "ptice" umjesto točaka, dobivamo sljedeće izjave: "Sve leteće su ptice", "Neke leteće ptice su",

Zaključci

"Sve koje lete nisu ptice" i "Neke koje lete nisu ptice." Prva i treća tvrdnja su netočne, a druga i četvrta istinite.

Zaključci

“Osoba koja može logično razmišljati može po jednoj kapi vode izvući zaključak o postojanju Atlantskog oceana ili slapova Niagare, čak i ako nije vidjela ni jedno ni drugo i nikada nije čula za njih... Po noktima osobe, po rukama, cipelama, pregibu hlača na koljenima, uz zadebljanje kože na velikom i kažiprst, po izrazu lica i manžetama košulje - po takvim sitnicama lako je pogoditi njegovu profesiju. I nema sumnje da će sve to, zajedno, potaknuti kompetentnog promatrača na ispravne zaključke."

Ovo je citat iz glavnog članka najpoznatijeg svjetskog detektivskog konzultanta Sherlocka Holmesa. Na temelju najsitnijih detalja gradio je logički besprijekorne lance rasuđivanja i rješavao zamršene zločine, često iz udobnosti svog stana u Baker Streetu. Holmes je koristio deduktivnu metodu koju je sam stvorio, a koja je, kako je vjerovao njegov prijatelj dr. Watson, dovela rješavanje zločina na rub egzaktne znanosti.

Naravno, Holmes je donekle preuveličao važnost dedukcije u forenzičkoj znanosti, ali njegovo razmišljanje o deduktivnoj metodi učinilo je trik. "Odbitak" od posebnog i samo rijetkima poznatog pojma postao je uobičajen, pa čak i moderan koncept. Popularizacija umijeća ispravnog zaključivanja, a prije svega deduktivnog rasuđivanja, nije ništa manja Holmesova zasluga od svih zločina koje je razotkrio. Uspio je "logici dati čar sna, probijajući se kroz kristalni labirint mogućih dedukcija do jednog blistavog zaključka" (V. Nabokov).

Odbitak je poseban slučaj zaključci.

U širem smislu zaključak - logička operacija, uslijed koje se iz jednog ili više prihvaćenih iskaza (premisa) dobiva nova izjava - zaključak (zaključak, posljedica).

Ovisno o tome postoji li veza između premisa i zaključka logična posljedica, postoje dvije vrste zaključaka.

U srcu deduktivno zaključivanje postoji logički zakon, na temelju kojeg zaključak s logičkom nužnošću proizlazi iz prihvaćenih premisa.

Prepoznatljiva značajka takav zaključak je da uvijek vodi od istinitih premisa do istinitog zaključka.

V induktivno zaključivanje veza između premisa i zaključaka ne temelji se na zakonu logike, već na nekim činjeničnim ili psihološkim temeljima koji nemaju čisto formalni karakter.

U takvom zaključku zaključak ne proizlazi logički iz premisa i može sadržavati podatke kojih u njima nema. Pouzdanost premisa ne znači, dakle, pouzdanost iskaza koji se iz njih izvodi induktivno. Indukcija daje samo vjerojatno, ili uvjerljivo, zaključci koji zahtijevaju daljnju provjeru.

Na primjer, deduktivni zaključci uključuju:

Ako pada kiša, zemlja je mokra. Pada kiša.

Tlo je mokro.

Ako je helij metal, on je električno vodljiv. Helij nije električno vodljiv.

Helij nije metal.

Linija koja razdvaja premise od zaključka zamjenjuje, kao i obično, riječ "dakle".

Primjeri indukcije su sljedeća razmišljanja:

Argentina je republika; Brazil je republika; Venezuela je republika; Ekvador je republika.

Argentina, Brazil, Venezuela, Ekvador su latinoameričke države.

Sve latinoameričke države su republike .

Italija je republika, Portugal je republika, Finska je republika, Francuska je republika.

Italija, Portugal, Finska, Francuska - zapadnoeuropske zemlje.

Sve zapadnoeuropske zemlje su republike.

Indukcija ne daje potpuno jamstvo dobivanja nove istine od postojećih. Maksimum o kojem se može govoriti je određeni stupanj vjerojatnosti da se tvrdnja zaključi. Dakle, premise i prvog i drugog induktivnog zaključivanja su istinite, ali zaključak prvog od njih je istinit, a drugi je lažan. Doista, sve latinoameričke države su republike; ali među zapadnoeuropskim zemljama ne postoje samo republike, nego i monarhije, na primjer Engleska, Belgija i Španjolska.

Zaključci

Posebno su karakteristične dedukcije logički prijelazi iz općeg znanja u posebno znanje, kao što su:

Svi metali su duktilni. Bakar je metal.

Bakar je duktilan.

U svim slučajevima kada se zahtijeva razmatranje određene pojave na temelju već poznatog opće pravilo a da bismo izvukli nužni zaključak u odnosu na te pojave, razmišljamo u obliku dedukcije. Rezonovanje koje vodi od znanja o dijelu predmeta (privatno znanje) do znanja o svim objektima određene klase ( opće znanje), tipične su indukcije. Uvijek postoji mogućnost da će generalizacija biti ishitrena i neutemeljena ("Napoleon je zapovjednik; Suvorov je zapovjednik; dakle, svaka osoba je zapovjednik").

Pritom se dedukcija ne može poistovjetiti s prijelazom s općeg na posebno, a indukcija s prijelazom s posebnog na opće.

U diskursu “Shakespeare je napisao sonete; stoga nije točno da Shakespeare nije napisao sonete „postoji dedukcija, ali nema prijelaza s općeg na posebno. Obrazloženje "Ako je aluminij plastičan ili je glina plastična, onda je aluminij plastičan" je, kako se obično misli, induktivno, ali nema prijelaza s posebnog na općenito.

Dedukcija je izvođenje zaključaka koji su pouzdani koliko i prihvaćene premise, indukcija je izvođenje vjerojatnih (uvjerljivih) zaključaka. Induktivni zaključci uključuju i prijelaze s posebnog na opće i analogiju, metode za uspostavljanje uzročno-posljedičnih veza, potvrđivanje posljedica, svrhovito opravdanje itd.

Poseban interes za deduktivno zaključivanje je razumljiv. Oni omogućuju dobivanje novih istina iz postojećeg znanja, i štoviše, uz pomoć čistog zaključivanja, bez pribjegavanja iskustvu, intuiciji, zdravom razumu itd. - vjerojatnost istinitog zaključka. Polazeći od istinitih premisa i deduktivnog zaključivanja, sigurno ćemo u svim slučajevima dobiti pouzdano znanje.

Ističući važnost dedukcije u procesu razvoja i potkrijepljivanja znanja, ne treba je, međutim, odvojiti od indukcije i podcijeniti potonju. Gotovo sve općim odredbama, uključujući znanstvene zakone, rezultati su induktivne generalizacije. U tom smislu, indukcija je temelj našeg znanja. Sam po sebi ne jamči njegovu istinitost i valjanost, ali stvara pretpostavke, povezuje ih s iskustvom i time im daje određenu uvjerljivost, manje-više visoki stupanj vjerojatnosti. Iskustvo je izvor i temelj ljudskog znanja. Indukcija je, polazeći od onoga što se doživljava iskustvom, nužno sredstvo njegove generalizacije i sistematizacije.

LOGIČKI ZAKONI

Poglavlje

Koncept logičkog zakona

Logički zakoni čine osnovu ljudskog mišljenja. Oni određuju kada drugi iskazi logično proizlaze iz nekih iskaza i predstavljaju onaj nevidljivi željezni okvir na kojem se drži dosljedno razmišljanje i bez kojeg se ono pretvara u kaotičan, nekoherentan govor. Bez logičkog zakona nemoguće je razumjeti što je logička posljedica, a time i što je dokaz.

Ispravno, ili, kako se obično kaže, logično, razmišljanje je razmišljanje prema zakonima logike, prema onim apstraktnim shemama koje su oni fiksirali. Stoga je važnost ovih zakona jasna.

Homogeni logički zakoni kombiniraju se u logičke sustave, koji se također obično nazivaju "logika". Svaki od njih daje opis logičke strukture određenog fragmenta, ili tipa, našeg razmišljanja.

Na primjer, zakoni koji opisuju logičke veze iskaza koji ne ovise o unutarnjoj strukturi potonjih kombinirani su u sustav koji se naziva "logika iskaza". Logički zakoni koji određuju veze kategoričkih iskaza čine logički sustav koji se naziva "logika kategoričkih iskaza" ili "silogistika" itd.

Logički zakoni su objektivni i ne ovise o volji i svijesti osobe. One nisu rezultat dogovora među ljudima, neke posebno razvijene ili spontane konvencije. Oni nisu proizvod nekakvog "svjetskog duha", kako je svojedobno vjerovao Platon. Moć zakona logike nad čovjekom, njihova snaga, koja je obvezna za ispravno mišljenje, proizlazi iz činjenice da oni predstavljaju odraz u ljudskom promišljanju stvarnog svijeta i stoljetnog iskustva njegovog spoznavanja i preobrazbe od strane osoba.

Kao i svi drugi znanstveni zakoni, logički zakoni su univerzalni i nužni. Oni djeluju uvijek i posvuda, protežući se jednako na sve ljude i na bilo koje doba. Predstavnici

Koncept logičkog zakona

različite nacije i različite kulture, muškarci i žene, stari Egipćani i moderni Polinežani s gledišta logike svog razmišljanja ne razlikuju se jedni od drugih.

Nužnost svojstvena logičkim zakonima u nekom je smislu još hitnija i nepromjenjiva od prirodne, ili fizičke, nužnosti. Nemoguće je ni zamisliti da je logički nužno bilo drugačije. Ako je nešto u suprotnosti sa zakonima prirode i fizički je nemoguće, onda nijedan inženjer, uza svu svoju darovitost, to neće moći realizirati. Ali ako nešto proturječi zakonima logike i logički je nemoguće, onda ne samo inženjer - čak ni svemoćno biće, kad bi se iznenada pojavilo, ne bi to moglo oživjeti.

Kao što je ranije spomenuto, u ispravnom zaključivanju zaključak slijedi iz premisa s logičkom nužnošću, i opća shema takvo razmišljanje predstavlja logički zakon.

Broj shema ispravnog zaključivanja (logičkih zakona) je beskonačan. Mnoge od ovih shema poznate su nam iz prakse zaključivanja. Primjenjujemo ih intuitivno, ne shvaćajući da se u svakom zaključivanju koje ispravno izvedemo koristi jedan ili drugi logički zakon.

Prije uvođenja opći koncept logičkog zakona, dat ćemo nekoliko primjera shema zaključivanja koje su logički zakoni. Umjesto varijabli A, B, C, ..., koje se obično koriste za označavanje iskaza, koristit ćemo, kao što se radilo u antici, riječi "prvi" i "drugi", zamjenjujući varijable.

“Ako postoji prvo, postoji i drugo; tu je prvi; dakle, postoji drugi." Ova shema rasuđivanja dopušta od iskaza uvjetne tvrdnje ("Ako postoji prva, postoji i druga") i izjave njezine osnove ("Postoji prva") do izjave o posljedici ("Postoji je drugi"). Prema ovoj shemi, posebno, razmišljanje se nastavlja: „Ako se led zagrije, on se topi; led se zagrijava; stoga se topi."

Još jedna shema ispravnog razmišljanja: “Ili se zbiva prvo, ili drugo; tu je prvi; tako da nema druge." Kroz ovu shemu, od dvije međusobno isključive alternative i utvrđivanja koja se od njih odvija, prelazi se na negaciju druge alternative. Na primjer: “Ili je Dostojevski rođen u Moskvi, ili je rođen u Sankt Peterburgu. Dostojevski je rođen u Moskvi. To znači da nije istina da je rođen u Sankt Peterburgu." U američkom vesternu The Good, the Bad and the Ugly, jedan negativac kaže drugome: “Zapamtite, svijet je podijeljen na dva dijela: one koji drže revolver i one koji kopaju. Sada imam revolver, pa uzmi lopatu." Ovo razmišljanje također se temelji na naznačenoj shemi.

I posljednji preliminarni primjer logičnog zakona, ili opće sheme ispravnog razmišljanja: “Dogodi se prvo ili drugo. Ali prvog nema. To znači da se drugi događa." Zamijenimo izraz "prvi" tvrdnjom "Dan je", a umjesto "drugog" - tvrdnjom "Sada je noć". Iz apstraktne sheme dobivamo obrazloženje: „Dan je ili sada noć. Ali nije istina da je dan.

Dakle, sada je noć.”

Ovo su neke jednostavne sheme ispravno zaključivanje, ilustrirajući koncept logičkog zakona. Stotine i stotine takvih shema nam sjede u glavi, iako to ne shvaćamo. Na temelju njih logično, odnosno ispravno razmišljamo.

Zakon logike (logički zakon)- izraz koji uključuje samo logičke konstante i varijable umjesto bitnih dijelova i istinit je u bilo kojem području rasuđivanja.

Uzmimo kao primjer izraz koji se sastoji samo od varijabli i logičkih konstanti, izraz: „Ako A, onda B; onda, ako ne A, onda ne B." Logičke konstante ovdje su propozicijski spojevi "ako, onda" i "ne". Varijable A i B predstavljaju neke vrste iskaza. Recimo da je A izjava “Postoji razlog”, a B izjava “Postoji posljedica”. S ovim specifičnim sadržajem dobivamo obrazloženje: „Ako postoji uzrok, postoji i posljedica; to znači da ako nema učinka, onda nema ni razloga." Pretpostavimo, nadalje, da je umjesto A, tvrdnja “Broj je djeljiv sa šest” zamijenjena, a umjesto B, izjava “Broj je djeljiv sa tri”. S ovim specifičnim sadržajem, na temelju razmatrane sheme, dobivamo obrazloženje: „Ako je broj djeljiv sa šest, djeljiv je s tri. Dakle, ako broj nije djeljiv sa tri, nije djeljiv sa šest." Bez obzira na druge tvrdnje koje se zamjenjuju za varijable A i B, ako su te tvrdnje istinite, onda će zaključak izvučen iz njih biti istinit.

U logici se obično stavlja rezerva da područje objekata o kojima se vodi rasuđivanje i o kojima govore tvrdnje zamijenjene u logički zakon ne može biti prazno: mora sadržavati barem jedan objekt. Inače, rasuđivanje prema shemi koja je zakon logike može dovesti od istinitih premisa do lažnog zaključka.

Na primjer, iz istinitih premisa “Svi slonovi su životinje” i “Svi slonovi imaju surlu”, prema zakonu logike, slijedi pravi zaključak “Neke životinje imaju surlu”. Ali ako je područje dotičnih objekata prazno, slijeđenje zakona logike ne jamči istinit zaključak s istinitim premisama. Raspravljat ćemo po istoj shemi, ali o zlatnim planinama. Izgradimo zaključak: „Sve zlatne planine su planine; sve zlatne planine su zlatne; stoga su neke planine zlatne." Obje premise ovog zaključka su istinite. Ali njegov zaključak "Neke planine su zlatne" očito je pogrešan: ne postoji niti jedna zlatna planina.

Koncept logičkog zakona

Dakle, za razmišljanje temeljeno na zakonu logike karakteristične su dvije značajke:

Takvo razmišljanje uvijek vodi od istinitih premisa do istinitih zaključaka;

Korolar slijedi iz premisa s logičkom nužnošću.

Zove se i logički zakon logička tautologija.

Logička tautologija- izraz koji ostaje istinit, bez obzira o kojim se objektima radi, ili "uvijek istinit" izraz.

Na primjer, svi rezultati supstitucija u logički zakon dvostruke negacije "Ako je A, onda nije točno da nije A" istinite su izjave: "Ako je čađa crna, onda nije točno da nije crna." ne drhti od straha "i tako dalje.

Kao što je već spomenuto, pojam logičkog zakona izravno je povezan s pojmom logičke posljedice: zaključak logički proizlazi iz prihvaćenih premisa, ako je s njima povezan logičkim zakonom. Na primjer, iz premisa “Ako A, onda B” i “Ako B, onda C” logično slijedi zaključak “Ako A, onda C”, budući da izraz “Ako A, onda B, a ako B, onda C, onda ako je A, onda je C" logički zakon, naime zakon tranzitivnosti(tranzitivnost). Primjerice, iz premisa "Ako je osoba otac, onda je roditelj" i "Ako je osoba roditelj, onda je otac ili majka", prema ovom zakonu slijedi posljedica "Ako je osoba roditelj je otac, onda je otac ili majka."

Logično praćenje- odnos između premisa i zaključka zaključivanja, čija je opća shema logički zakon.

Budući da se veza logičke posljedice temelji na logičkom zakonu, karakteriziraju je dvije značajke:

Logično praćenje vodi od istinitih premisa samo do istinitog zaključka;

Iz njih s logičnom nužnošću proizlazi zaključak koji slijedi iz premisa.

Ne određuju svi logički zakoni izravno pojam logičke posljedice. Postoje zakoni koji opisuju druge logičke veze: "i", "ili", "nije istina da" itd., a samo su posredno povezani s odnosom logičke posljedice. To je, posebno, zakon kontradikcije koji se razmatra u nastavku: „Nije istina da proizvoljno uzeta izjava i

Pametne misli dolaze samo kada su gluposti već učinjene.

Samo oni koji prave apsurdne pokušaje mogu postići nemoguće. Albert Einstein

Dobri prijatelji, dobre knjige i uspavana savjest idealan su život. Mark Twain

Ne možete se vratiti u prošlost i promijeniti svoj početak, ali možete početi sada i promijeniti svoj cilj.

Nakon detaljnijeg razmatranja, općenito mi postaje jasno da one promjene koje se čine da dolaze s vremenom u biti nisu nikakve promjene: mijenja se samo moj pogled na stvari. (Franz Kafka)

I premda postoji veliko iskušenje da idete na dva puta odjednom, ne možete igrati s istim špilom karata i s đavlom i s Bogom ...

Cijenite one s kojima možete biti svoji.
Bez maski, propusta i ambicija.
I pazi na njih, sudbina ti ih šalje.
Doista, u vašem životu postoji samo nekoliko njih.

Za potvrdan odgovor dovoljna je samo jedna riječ – „da“. Sve druge riječi su dizajnirane da kažu ne. Don Aminado

Pitajte osobu: "Što je sreća?" a vi ćete saznati što mu najviše nedostaje.

Ako želite razumjeti život, onda prestanite vjerovati u ono što govore i pišu, nego promatrajte i osjećajte. Anton Čehov

Ne postoji ništa na svijetu razornije, nepodnošljivije od nedjelovanja i čekanja.

Ostvarite svoje snove, radite na idejama. Oni koji su vam se prije smijali počet će zavidjeti.

Rekordi postoje da bi se oborili.

Ne trebate gubiti vrijeme, ali uložite u njega.

Povijest čovječanstva je povijest prilično malog broja ljudi koji su vjerovali u sebe.

Doveli ste se do ruba? Ne vidite više razloga za život? Dakle, već ste blizu... Blizu odluke da dođete do dna, da se odgurnete od njega i zauvijek odlučite biti sretni.. Zato se ne plašite dna - iskoristite ga...

Ako ste pošteni i iskreni, ljudi će vas prevariti; u svakom slučaju budi iskren i iskren.

Čovjek rijetko u čemu uspijeva ako mu zanimanje ne pričinjava radost. Dale Carnegie

Ostane li barem jedna cvjetna grana u tvojoj duši, na njoj će uvijek sjediti ptica raspjevaca.(Istočna mudrost)

Jedan od zakona života kaže da čim se jedna vrata zatvore, druga se otvore. Ali cijela je nevolja u tome što gledamo zaključana vrata i ne obraćamo pažnju na otvorena. André Gide

Nemojte osuđivati ​​osobu dok s njom osobno ne razgovarate, jer sve što čujete je priča iz druge ruke. Michael Jackson.

Prvo te ignoriraju, onda ti se smiju, pa se svađaju s tobom, pa ti pobjeđuješ. Mahatma Gandhi

Ljudski se život dijeli na dvije polovice: tijekom prve polovine teže naprijed prema drugoj, a tijekom druge, natrag prema prvoj.

Ako sami ne radite ništa, kako vam se može pomoći? Možete voziti samo automobil u pokretu

Sve će biti. Tek kada se odlučite za to.

Na ovom svijetu možeš tražiti sve osim ljubavi i smrti... Oni će te sami pronaći kad za to dođe vrijeme.

Unutarnje zadovoljstvo, usprkos okolnom svijetu patnje, vrlo je vrijedno bogatstvo. Sridhar Maharaj

Počnite sada živjeti životom koji biste željeli vidjeti na kraju. Marko Aurelije

Svaki dan moramo živjeti kao u posljednjem trenutku. Nemamo probu – imamo život. Ne počinjemo ga u ponedjeljak – živimo danas.

Svaki trenutak života je još jedna prilika.

Godinu dana kasnije svijet ćete gledati drugim očima, a i ovo drvo koje raste u blizini vaše kuće činit će vam se drugačijim.

Ne morate tražiti sreću – morate biti. Osho

Gotovo svaka uspješna priča koju poznajem započela je osobom koja je ležala na leđima, poražena neuspjehom. Jim Rohn

Svako dugo putovanje počinje jednim, od prvog koraka.

Nitko nije bolji od tebe. Nitko nije pametniji od tebe. Samo su počeli ranije. Brian Tracy

Onaj koji trči pada. Ne pada onaj koji puzi. Plinije Stariji

Dovoljno je samo shvatiti da živite u budućnosti i odmah ćete se tamo naći.

Ja biram živjeti, a ne postojati. James Alan Hetfield

Kada cijenite ono što imate, a ne živite u potrazi za idealima, tada ćete uistinu postati sretni..

Samo oni koji su gori od nas misle loše o nama, a oni koji su bolji od nas, jednostavno nemaju vremena za nas. Omar Khayyam

Ponekad nas jedan poziv odvoji od sreće ... Jedan razgovor ... Jedna ispovijed ...

Priznajući svoju slabost, osoba postaje jaka. Onre Balzac

Onaj koji ponizi svoj duh jači je od onoga koji osvaja gradove.

Kada se ukaže prilika, morate je zgrabiti. A kada ste shvatili, postigli uspjeh, uživajte. Osjetite radost. I neka svi oko tebe sišu crijevo jer su bili koze kad ti nisu dali ni kune. A onda – odlazi. Lijep. I ostaviti sve u šoku.

Nikad se nemojte obeshrabriti. A ako ste već pali u očaj, onda nastavite raditi u očaju.

Odlučujući iskorak rezultat je dobrog udarca s leđa!

U Rusiji morate biti ili slavni ili bogati da biste prema vama postupali onako kako se postupa prema bilo kome u Europi. Konstantin Raikin

Sve ovisi samo o vašem stavu. (Chuck Norris)

Nikakvo rasuđivanje nije u stanju pokazati osobi put da ne želi vidjeti Romaina Rollanda

Ono u što vjerujete postaje vaš svijet. Richard Matheson

Dobro je tamo gdje nismo. Nismo više u prošlosti i stoga se čini lijepim. Anton Čehov

Bogati postaju bogatiji jer se nauče nositi s financijskim poteškoćama. Oni ih vide kao priliku za učenje, rast, razvoj i bogatstvo.

Svatko ima svoj pakao – ne mora biti vatra i katran! Naš pakao je izgubljen život! Gdje snovi mogu doći

Nije važno koliko radite, glavni je rezultat.

Samo mama ima najnježnije ruke, najnježniji osmijeh i srce koje voli...

Pobjednici u životu uvijek razmišljaju u duhu: mogu, želim, jesam. Gubitnici, s druge strane, svoje raspršene misli usmjeravaju na ono što bi mogli, mogli ili ne mogu učiniti. Drugim riječima, pobjednici uvijek preuzimaju odgovornost na sebe, a gubitnici za svoje neuspjehe krive okolnosti ili druge ljude. Denise Waitley.

Život - polako se penješ na planinu, brzo silaziš. Guy de Maupassant

Ljudi se toliko boje napraviti korak prema novom životu da su spremni zatvoriti oči pred svime što im ne odgovara. Ali još je gore: probuditi se jednog dana i shvatiti da sve nije u redu, ne to, ne ono sljedeće... Bernard Shaw

Prijateljstvo i povjerenje se ne kupuju niti prodaju.

Uvijek, u svakoj minuti svog života, čak i kada ste apsolutno sretni, imajte jedan stav prema ljudima oko sebe: - U svakom slučaju, radit ću što želim, sa tobom ili bez tebe.

Na svijetu samo netko može birati između usamljenosti i vulgarnosti. Arthur Schopenhauer

Treba samo drugačije gledati na stvari i život će teći u drugom smjeru.

Željezo je tako govorilo magnetu: najviše te mrzim jer privlačiš, nemajući dovoljno snage da vučem sa sobom! Friedrich Nietzsche

Znajte živjeti kada život postane nepodnošljiv. N. Ostrovsky

Slika koju vidite u svom umu na kraju će postati vaš život.

"Prvu polovicu života pitate se za što ste sposobni, ali drugu - i kome to treba?"

Nikad nije kasno postaviti novi cilj ili pronaći novi san.

Kontrolirajte svoju sudbinu ili će netko drugi.

vidjeti ljepotu u ružnom,
vidjeti poplave rijeka u potocima...
koji zna biti sretan u svakodnevnom životu,
on stvarno sretan čovjek! E. Asadov

Mudrac je upitan:

Koliko vrsta prijateljstva postoji?

Četiri, odgovorio je.
Prijatelji su poput hrane – potrebni su vam svaki dan.
Postoje prijatelji, kao i medicina, tražiš ih kad ti je loše.
Ima prijatelja, kao bolest, sami te traže.
Ali postoje prijatelji poput zraka - oni se ne vide, ali su uvijek s tobom.

Postat ću osoba kakva želim postati ako vjerujem da ću to postati. Gandhi

Otvorite svoje srce i slušajte o čemu ono sanja. Slijedite svoj san, jer samo kroz nekoga tko se ne srami sebe pokazat će se slava Gospodnja. Paulo Coelho

Ne treba se bojati biti opovrgnut; treba se bojati nečeg drugog – da bude neshvaćen. Immanuel Kant

Budite realni – zahtijevajte nemoguće! Che Guevara

Ne odgađajte svoje planove ako vani pada kiša.
Ne odustajte od svojih snova ako ljudi ne vjeruju u vas.
Idite protiv prirode, ljudi. Vi ste osoba. ti si jak.
I zapamtite – nema nedostižnih ciljeva – postoji visok koeficijent lijenosti, nedostatak domišljatosti i zaliha isprika.

Ili vi stvarate svijet, ili svijet stvara vas. Jack Nicholson

Volim kad se ljudi samo tako smiju. Na primjer, idete u autobus i vidite osobu koja gleda kroz prozor ili šalje poruku i smiješi se. Tako je dobro u mojoj duši. I sama se želim nasmiješiti.

Izjava je složenija tvorba od imena. Prilikom rastavljanja iskaza na jednostavnije dijelove uvijek dobivamo određena imena. Recimo da izreka "Sunce je zvijezda" uključuje nazive "Sunce" i "Zvijezda" kao svoje dijelove.

rekavši - gramatički ispravna rečenica, uzeta zajedno sa značenjem (sadržajem) izraženim njome i koja je istinita ili netočna.

Pojam iskaza jedan je od početnih, ključnih pojmova moderne logike. Kao takav, ne dopušta preciznu definiciju koja je jednako primjenjiva u svojim različitim odjeljcima.

Tvrdnja se smatra istinitom ako njen opis odgovara stvarnoj situaciji, a lažnom ako joj ne odgovara. "Istina" i "laž" nazivaju se "istinitim vrijednostima izjava".

Od pojedinačnih izjava možete graditi nove izjave na različite načine. Na primjer, od izjava “Puše vjetar” i “Pada kiša” možete sastaviti složenije izjave “Puše vjetar i pada kiša”, “Ili vjetar puše ili pada kiša”, “Ako pada kiša, onda puše vjetar” itd.

Izreka se zove jednostavan, ako ne uključuje druge izjave kao svoje dijelove.

Izreka se zove komplicirano, ako se dobije pomoću logičkih veziva iz drugih jednostavnijih iskaza.

Razmotrimo najvažnije načine za izgradnju složenih izjava.

Negativna izjava sastoji se od početne izjave i negacije, obično izražene riječima "ne", "nije istina da". Negativna izjava je stoga složena izjava: ona kao svoj dio uključuje izjavu različitu od nje. Na primjer, negacija tvrdnje "10 je paran broj" je tvrdnja "10 nije paran broj" (ili: "Nije istina da je 10 paran broj").

Označimo tvrdnje slovima A, B, C,... Puno značenje pojma nijekanja iskaza daje uvjet: ako iskaz A je istinit, njegova negacija je lažna, a ako A lažno, njegovo poricanje je istinito. Na primjer, budući da je izjava "1 pozitivan cijeli broj" istinita, njena negacija "1 nije pozitivan cijeli broj" je netočna, a budući da je "1 prost broj" netočna, njegova negacija "1 nije prost broj" ” je istina.

Kombinacija dviju iskaza pomoću riječi "i" daje složenu izjavu tzv konjunkcija. Izjave sastavljene na ovaj način nazivaju se "pojmovi veznika".

Na primjer, ako se na ovaj način spoje izjave “Danas je vruće” i “Jučer je bilo hladno”, veznik “Danas je vruće, a jučer je bilo hladno”.

Veznik je istinit samo ako su obje tvrdnje uključene u njega istinite; ako je barem jedan od njegovih članova lažan, onda je cijela konjunkcija lažna.

U običnom jeziku dva su iskaza povezana veznikom "i" kada su međusobno povezani sadržajem ili značenjem. Priroda ove veze nije sasvim jasna, ali je jasno da veznik “Nosio je kaput, a ja sam išao na sveučilište” ne bismo smatrali izrazom koji ima značenje i može biti istinit ili lažan. Iako su tvrdnje "2 je prost broj" i "Moskva je veliki grad" istinite, nismo skloni smatrati istinitim ni njihovu konjukciju "2 je prost broj i Moskva je veliki grad", budući da su izjave koji ih čine nisu povezani u značenju. Pojednostavljujući značenje veznika i drugih logičkih veznika i odbijajući zbog toga od nejasnog koncepta "povezanosti iskaza po značenju", logika čini značenje ovih veznika širim i određenijim.

Kombinacija dviju tvrdnji koje koriste riječ "ili" daje disjunkcija ove izjave. Izjave koje tvore disjunkciju nazivaju se "članovima disjunkcije".

Riječ "ili" u svakodnevnom jeziku ima dva različita značenja. Ponekad znači "jedno ili drugo, ili oboje", a ponekad "jedno ili drugo, ali ne oboje". Na primjer, izjava “Ove sezone želim ići u Pikovu damu ili Aidu dopušta mogućnost dva posjeta honri. U izjavi “Studira na Sveučilištu u Moskvi ili Jaroslavlju” implicira se da spomenuta osoba studira samo na jednom od tih sveučilišta.

Prvo značenje "ili" se zove neisključivo. Uzeto u ovom smislu, disjunkcija dviju tvrdnji znači da je barem jedna od ovih tvrdnji istinita, bez obzira na to jesu li obje istinite ili ne. Snimljeno u drugom, isključujući ili u strogom smislu, disjunkcija dvaju iskaza tvrdi da je jedna od tvrdnji istinita, a druga lažna.

Neisključiva disjunkcija je istinita kada je barem jedna od tvrdnji uključenih u nju istinita, a netočna samo kada su oba njezina pojma netočna.

Ekskluzivna disjunkcija je istinita kada je samo jedan njezin izraz istinit, a lažna je kada su oba njezina člana istinita ili su oba lažna.

U logici i matematici riječ "ili" se gotovo uvijek koristi *** u neisključivom značenju.

Uvjetna izjava - složena izjava, obično formulirana uz pomoć poveznice "ako ..., onda ..." i utvrđivanje tog jednog događaja, stanja itd. je, u jednom ili onom smislu, osnova ili uvjet za drugo.

Na primjer: “Ako ima vatre, onda ima i dima”, “Ako je broj djeljiv s 9, djeljiv je s 3” itd.

Uvjetna izjava sastoji se od dva jednostavnija iskaza. Poziva se onaj kojemu je prefiks riječ "ako". osnova, ili prethodnica(prethodno), naziva se izjava koja dolazi iza riječi "to". posljedica, ili posljedično(naknadno).

Tvrdnjom uvjetne tvrdnje prije svega mislimo na to da ne može biti tako da se dogodilo ono što je rečeno u njenom temelju, a izostalo je ono što je rečeno u korollaru. Drugim riječima, ne može se dogoditi da je antecedent istinit, a konsekvent lažan.

U terminima uvjetnog iskaza obično se definiraju pojmovi dovoljnog i nužnog uvjeta: antecedent (razlog) je dovoljan uvjet za posljedicu (posljedicu), a konsekvent je nužan uvjet za antecedent. Na primjer, istinitost uvjetne tvrdnje „Ako je izbor racionalan, tada se bira najbolja dostupna alternativa“ znači da je racionalnost dovoljan razlog za odabir najbolje dostupne prilike i da je izbor takve mogućnosti nužan uvjet za svoju racionalnost.

Tipična funkcija uvjetne izjave je opravdanje jedne izjave referencom na drugu izjavu. Na primjer, činjenica da je srebro električno vodljivo može se opravdati pozivanjem na činjenicu da je metal: "Ako je srebro metal, ono je električno vodljivo."

Povezanost između potkrijepljenog i potkrijepljenog (osnova i posljedica) izraženog uvjetnom tvrdnjom teško je općenito okarakterizirati, a samo je ponekad priroda toga relativno jasna. Ta veza može biti, prvo, veza logičke posljedice koja se odvija između premisa i zaključka ispravnog zaključivanja ("Ako su sva živa višestanična bića smrtna, a meduza je takvo stvorenje, onda je smrtna"); drugo, po zakonu prirode ("Ako je tijelo podvrgnuto trenju, ono će se početi zagrijavati"); treće, kauzalnošću (“Ako je Mjesec u čvoru svoje putanje na mladom mjesecu, dolazi do pomrčine Sunca”); četvrto, društveni obrazac, pravilo, tradicija itd. (“Ako se društvo promijeni, mijenja se i osoba”, “Ako je savjet razuman, mora se slijediti”).

S vezom izraženom uvjetnom tvrdnjom obično se kombinira uvjerenje da posljedica s određenom nužnošću "slijedi" iz temelja i da postoji neki opći zakon, koji smo uspjeli formulirati, mogli bismo logično izvesti posljedicu iz temelja. .

Na primjer, uvjetna izjava “Ako je bizmut metal, to je plastičan”, takoreći pretpostavlja opći zakon “Nijedan od metala nije plastičan”, što konsekvent ove tvrdnje čini logičnom posljedicom njezina prethodnika.

I u običnom jeziku i u jeziku znanosti, uvjetni iskaz, osim funkcije opravdanja, može obavljati i niz drugih zadataka: formulirati uvjet koji nije povezan ni s kakvim impliciranim općim zakonom ili pravilom („Ako Hoću, ja ću svoj ogrtač izrezati”); popraviti bilo koji slijed ("Ako je prošlo ljeto bilo suho, onda je ove godine bilo kišno"); izraziti nevjericu u osebujnom obliku ("Ako riješite ovaj problem, dokazat ću veliki Fermatov teorem"); opozicija ("Ako u vrtu raste bazga, onda u Kijevu živi stric") itd. Višestrukost i heterogenost funkcija uvjetnog iskaza značajno otežava njegovu analizu.

Upotreba uvjetnog iskaza povezana je s određenim psihološkim čimbenicima. Stoga takvu tvrdnju obično formuliramo samo ako ne znamo sa sigurnošću jesu li njezin prethodnik i posljedica istiniti ili ne. Inače se njezina uporaba čini neprirodnom ("Ako je vata metalna, nije električna žica").

Uvjetna izjava nalazi vrlo široku primjenu u svim područjima zaključivanja. U logici se, u pravilu, predstavlja pomoću implikativna izjava, ili implikacije. Istodobno, logika pojašnjava, sistematizira i pojednostavljuje korištenje "ako ... onda ...", oslobađa ga od utjecaja psiholoških čimbenika.

Logika se posebno odvlači od činjenice da se veza osnove i učinka, koja je karakteristična za uvjetnu izjavu, ovisno o kontekstu, može izraziti pomoću ns samo "ako ..., onda ..." , ali i drugim jezičnim sredstvima. Na primjer, "Budući da je voda tekuća, ravnomjerno prenosi pritisak u svim smjerovima", "Iako plastelin nije metal, on je plastičan", "Da je drvo metal, bilo bi električno vodljivo" itd. Ove i slične tvrdnje prikazane su jezikom logike putem implikacije, iako uporaba "ako ... onda ..." u njima ne bi bila sasvim prirodna.

Utvrđujući implikaciju, tvrdimo da se ne može dogoditi da se njezin temelj dogodi, a učinak izostane. Drugim riječima, implikacija je lažna samo ako je razlog istinit, a učinak lažan.

Ova definicija pretpostavlja, kao i prethodne definicije veziva, da je svaki iskaz ili istinit ili netočan i da istinitost složenog iskaza ovisi samo o istinitostima njegovih sastavnih iskaza i o načinu na koji su povezani.

Implikacija je istinita kada su i njezina osnova i njezin učinak istiniti ili lažni; istinit je ako je njegov temelj lažan i učinak istinit. Samo u četvrtom slučaju, kada je temelj istinit, a učinak lažan, implikacija je lažna.

Implikacija ne podrazumijeva da su izjave A i V nekako sadržajno povezani jedno s drugim. Ako je istina V govoreći „ako A, zatim V" istina je bez obzira na to da li A istinito ili netočno i ono je u značenju povezano s V ili ne.

Na primjer, tvrdnje se smatraju istinitim: "Ako postoji život na Suncu, onda je dva puta dva jednako četiri", "Ako je Volga jezero, onda je Tokio veliko selo" itd. Točan je i uvjetni iskaz kada A lažno, a opet ravnodušno, istinito V ili ne, a sadržajno je povezana s A ili ne. Točne su sljedeće tvrdnje: "Ako je Sunce kocka, onda je Zemlja trokut", "Ako je dva puta dva jednako pet, onda je Tokio mali grad" itd.

U uobičajenom rasuđivanju, malo je vjerojatno da će se sve ove izjave smatrati smislenim, a još manje istinitima.

Iako je implikacija korisna u mnoge svrhe, nije u potpunosti u skladu s konvencionalnim razumijevanjem uvjetne komunikacije. Implikacija pokriva mnoga bitna obilježja logičkog ponašanja uvjetnog iskaza, ali u isto vrijeme nije njegov dovoljno adekvatan opis.

U posljednjih pola stoljeća bili su energični pokušaji reforme teorije implikacije. U ovom slučaju nije se radilo o odbacivanju opisanog koncepta implikacije, već o uvođenju uz njega drugog koncepta koji uzima u obzir ne samo istinitost iskaza, već i njihovu sadržajnu povezanost.

Usko povezano s implikacijom ekvivalencija, ponekad naziva "dvostruka implikacija".

Ekvivalencija je složena izjava "A ako i samo ako je B", formirana od izjava Laži B i razložena na dvije implikacije: "ako A, onda B ", i" ako je B, onda A". Na primjer: "Trokut je jednakostraničan ako i samo ako je konforman." Pojam "ekvivalencija" također označava vezu "... ako i samo ako ...", uz pomoć koje se od dva iskaza formira zadani složeni iskaz. Umjesto "ako i samo ako" u tu svrhu može se koristiti "ako i samo ako", "ako i samo ako" itd.

Ako su logički veznici definirani u terminima istine i neistine, ekvivalencija je istinita ako i samo ako oba njezina iskaza imaju istu vrijednost istinitosti, t.j. kada su oba istinita ili su oba lažna. Prema tome, ekvivalentnost je netočna kada je jedna od tvrdnji uključenih u nju istinita, a druga netočna.

Propozicijska logika , također nazvana propozicijska logika, grana je matematike i logike koja proučava logičke oblike složenih iskaza izgrađenih od jednostavnih ili elementarnih iskaza pomoću logičkih operacija.

Logika iskaza odvlači se od sadržaja iskaza i proučava njihovu istinitost, odnosno je li izjava istinita ili lažna.

Slika iznad je ilustracija fenomena poznatog kao Lažljivčev paradoks. Istodobno, prema mišljenju autora projekta, ovakvi paradoksi mogući su samo u sredinama koje nisu oslobođene političkih problema, gdje se netko može a priori žigosati kao lažov. U prirodnom slojevitom svijetu na predmet "istine" ili "neistine" ocjenjuje se samo za pojedinačne izjave ... I dalje u ovoj lekciji bit će vam predstavljeno prilika da se o ovoj temi procijeni mnogo izjava (a zatim pogledajte točne odgovore). Uključujući složene izjave, u kojima su jednostavnije povezane znakovima logičkih operacija. Ali prvo razmotrimo ove operacije na samim izjavama.

Propozicijska logika se koristi u informatici i programiranju u obliku deklariranja logičkih varijabli i dodjele im logičkih vrijednosti "netočno" ili "true", o čemu ovisi tijek daljnjeg izvršavanja programa. U malim programima u kojima je uključena samo jedna booleova varijabla, ovoj booleovoj varijabli često se daje ime kao što je "zastava" i pretpostavlja se da je "podignuta zastava" kada je vrijednost ove varijable "true" i "zastava je isključena" kada je vrijednost ove varijable je lažna. U velikim programima, u kojima postoji nekoliko ili čak mnogo logičkih varijabli, profesionalci moraju smisliti nazive booleovih varijabli koje imaju oblik iskaza i semantičko opterećenješto ih razlikuje od ostalih booleovih varijabli i razumljivo drugim stručnjacima koji će čitati tekst ovog programa.

Tako se može deklarirati booleova varijabla s imenom "UserRegistered" (ili njezin analog na engleskom jeziku), koja ima oblik iskaza, kojoj se može dodijeliti booleova vrijednost "true" ako su ispunjeni uvjeti da podaci za registraciju je poslao korisnik i te podatke program prepoznaje kao prikladne. U daljnjim izračunima, vrijednosti varijabli mogu se mijenjati ovisno o tome koju booleovu vrijednost ("true" ili "false") ima varijabla "UserRegistered". U drugim slučajevima, varijabli, na primjer, s nazivom "Up to a DayX Preostalo je više od tri dana", može se dodijeliti vrijednost "True" do određenog bloka izračuna, a tijekom daljnjeg izvršavanja programu se ova vrijednost može spremiti ili promijeniti u "false" a tijek daljnjeg izvršavanja ovisi o vrijednosti ove varijable.programi.

Ako program koristi nekoliko logičkih varijabli, čija su imena u obliku izraza, a od njih se grade složeniji izrazi, onda je mnogo lakše razviti program ako prije razvoja zapišemo sve operacije iz izraza u oblik formula koje se koristi u logici iskaza nego što radimo tijekom ove lekcije i učinimo to.

Logičke operacije nad iskazima

Za matematičke iskaze uvijek možete birati između dvije različite alternative "točno" i "netočno", a za izjave date "verbalnim" jezikom pojmovi "istina" i "netočnost" su nešto nejasniji. Međutim, na primjer, glagolski oblici kao što su "Idi kući" i "Pada li kiša?" nisu izgovori. Stoga je jasno da iskazi su takvi verbalni oblici u kojima se nešto navodi ... Upitne ili usklične rečenice, apeli, kao i želje ili zahtjevi nisu iskazi. Ne mogu se vrednovati značenjima "istinito" i "netočno".

Izjave se, s druge strane, mogu promatrati kao veličina koja može poprimiti dva značenja: "točno" i "netočno".

Na primjer, daju se sljedeće presude: "pas je životinja", "Pariz je glavni grad Italije", "3

Prva od ovih izjava može se ocijeniti simbolom "točno", druga - "netočno", treća - "točno" i četvrta - "netočno". Ova interpretacija propozicija je predmet propozicijske algebre. Izjave ćemo označiti velikim brojem latiničnim slovima A, B, ..., i njihove vrijednosti, odnosno istinite i lažne I i L... U običnom govoru koriste se veze između izjava "i", "ili" i drugih.

Ove veze omogućuju, povezujući različite izjave međusobno, da formiraju nove izjave - teške izjave ... Na primjer, hrpa "i". Neka se daju izjave: " π više od 3 "i govoreći" π manje od 4 ". Možete organizirati novu - složenu izjavu" π više od 3 i π manje od 4 ". Izgovarajući" ako π iracionalno, dakle π ² je također iracionalan "dobije se povezivanjem dvaju iskaza s vezom" ako-onda. "Konačno, iz bilo koje izjave možemo dobiti novu - složenu izjavu - poricanjem izvorne izjave.

Razmatranje iskaza kao veličina koje uzimaju vrijednosti I i L, definirat ćemo dalje logičke operacije nad izjavama koji vam omogućuju da iz ovih izjava dobijete nove – složene izjave.

Neka su data dva proizvoljna iskaza A i B.

1 ... Prva logička operacija nad tim iskazima - konjunkcija - je formiranje novog iskaza, koji ćemo označiti A ∧ B a što je istina ako i samo ako A i B su istinite. U običnom govoru ova operacija odgovara povezivanju iskaza vezom "i".

Tablica istine za konjunkciju:

2 ... Druga logička operacija nad izjavama A i B- disjunkcija, izražena kao A ∨ B, definiran je na sljedeći način: istinit je ako i samo ako je barem jedan od izvornih iskaza istinit. U običnom govoru ova operacija odgovara kombinaciji iskaza s vezom "ili". Međutim, ovdje nemamo razdvajanje "ili", što se shvaća u smislu "ili-ili" kada A i B oboje ne može biti istinito. U definiciji logike iskaza A ∨ B istina ako je samo jedna od tvrdnji točna, i ako su obje tvrdnje istinite A i B.

Tablica istine za disjunkciju:

3 ... Treća logička operacija nad izjavama A i B izraženo kao A → B; tako dobivena izjava je lažna ako i samo ako A istina, i B lažno. A pozvao parcela , B - posljedica i izjava A → B - slijedeći , također se naziva implikacija. U običnom govoru ova operacija odgovara vezniku "ako - onda": "ako A, onda B Ali u definiciji logike iskaza, ova izjava je uvijek istinita, bez obzira na to je li izjava istinita ili lažna. B... Ova se okolnost može ukratko formulirati na sljedeći način: "sve proizlazi iz lažnog". Zauzvrat, ako A istina, i B lažna, onda cijela izjava A → B lažno. Bit će istina ako i samo ako i A, i B su istinite. Ukratko, može se formulirati na sljedeći način: "lažno ne može slijediti iz istinitog".

Tablica istine za sljedeće (implikacija):

4 ... Četvrta logička operacija nad iskazima, točnije nad jednom tvrdnjom, naziva se negacija iskaza A a označava se sa ~ A(također možete pronaći upotrebu ne simbola ~, već simbola ¬, kao i gornje oznake iznad A). ~ A postoji izreka koja je lažna kada A istinito i istinito kada A lažno.

Tablica istine za negaciju:

5 ... I, konačno, peta logička operacija nad iskazima naziva se ekvivalencija i označava se A ↔ B... Rezultirajuća izjava A ↔ B je istinita izjava ako i samo ako A i B oba su istinita ili su oba lažna.

Tablica istine za ekvivalentnost:

Većina programskih jezika ima posebne znakove za označavanje logičkih vrijednosti iskaza, oni su napisani u gotovo svim jezicima kao istiniti i lažni.

Sumirajmo gore navedeno. Propozicijska logika proučava veze, koje su potpuno određene načinom na koji se neki iskazi konstruiraju od drugih, koji se nazivaju elementarnim. U ovom slučaju, elementarni iskazi se smatraju cjelinama, a ne raščlanjivi na dijelove.

U tablici ispod sistematizirajmo nazive, oznake i značenje logičkih operacija nad iskazima (uskoro će nam ponovno trebati za rješavanje primjera).

Za logičke operacije, ispravne su zakoni logičke algebre koji se može koristiti za pojednostavljenje Booleovih izraza. Treba napomenuti da su u logici iskaza odvučeni od semantičkog sadržaja iskaza i ograničeni su na njegovo razmatranje s pozicije da je istinit ili lažan.

Primjer 1.

1) (2 = 2) I (7 = 7);

2) Ne (15;

3) ("bor" = "hrast") ILI ("trešnja" = "javor");

4) Ne ("bor" = "hrast");

5) (Ne (15 20);

6) ("Oči su dane da vide") I ("Pod trećim katom je drugi kat");

7) (6/2 = 3) ILI (7 * 5 = 20).

1) Vrijednost iskaza u prvim zagradama je "true", vrijednost izraza u drugim zagradama je također istinita. Obje izjave su povezane logičkom operacijom "AND" (vidi pravila za ovu operaciju gore), stoga je logičko značenje cijele ove izjave "true".

2) Značenje iskaza u zagradama je "netočno". Ovoj izjavi prethodi logička operacija negacije, stoga je logičko značenje cijele dane izjave "istina".

3) Značenje iskaza u prvim zagradama je "netočno", značenje izjave u drugim zagradama je također "netočno". Izjave su povezane logičkom operacijom "ILI" i niti jedan od izraza nema vrijednost "true". Stoga je logično značenje cijele ove izjave "lažno".

4) Značenje iskaza u zagradama je "netočno". Ovoj izjavi prethodi logička operacija negacije. Stoga je logično značenje cijele ove izjave "istina".

5) U prvim se zagradama negira izjava u unutarnjim zagradama. Ova izjava u unutarnjim zagradama ima značenje "lažno", stoga će njena negacija imati logično značenje "istina". Izjava u drugoj zagradi ima značenje "netočno". Ove dvije izjave su povezane logičkom operacijom "AND", odnosno dobiva se "true AND false". Stoga je logično značenje cijele dane tvrdnje “netočno”.

6) Značenje iskaza u prvim zagradama je "točno", značenje iskaza u drugim zagradama također je "točno". Ove dvije tvrdnje povezuje logička operacija "I", odnosno dobiva se "istina I istina". Posljedično, logično značenje cijele dane izjave je "istina".

7) Značenje izjave u prvim zagradama je "točno". Značenje izjave u drugoj zagradi je "netočno". Ove dvije izjave povezuju se logičkom operacijom "ILI", odnosno dobiva se "točno ILI netočno". Posljedično, logično značenje cijele dane izjave je "istina".

Primjer 2. Zapišite sljedeće složene izjave koristeći logičke operacije:

1) "Korisnik nije registriran";

2) "Danas je nedjelja i neki zaposlenici su na poslu";

3) "Korisnik je registriran ako i samo ako se utvrdi da su podaci koje je korisnik poslao ispravni."

1) str- pojedinačna izjava "Korisnik je registriran", logička operacija:;

2) str- jednu izjavu "Danas je nedjelja", q- "Neki zaposlenici su na poslu", logična operacija:;

3) str- jednu izjavu "Korisnik je registriran", q- "Podaci koje šalje korisnik su provjereni", logična operacija:.

Riješite sami primjere o logici iskaza, a zatim pogledajte rješenja

Primjer 3. Izračunajte logičke vrijednosti sljedećih izjava:

1) ("U minuti ima 70 sekundi") ILI ("Pokreni sat pokazuje vrijeme");

2) (28> 7) I (300/5 = 60);

3) ("Televizija - električni aparat") I (" Staklo - drvo ");

4) Ne ((300> 100) ILI ("Žed se može utažiti vodom"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Primjer 4. Koristeći logičke operacije, zapišite sljedeće složene iskaze i izračunajte njihove logičke vrijednosti:

1) "Ako sat ne pokazuje točno vrijeme, možda nećete doći na nastavu u pogrešno vrijeme";

2) "U ogledalu možete vidjeti svoj odraz i Pariz je glavni grad Sjedinjenih Država";

Primjer 5. Odrediti Boolean izraz

(str → q) ↔ (r → s) ,

str = "278 > 5" ,

q= "Jabuka = ​​Naranča",

str = "0 = 9" ,

s= "Šešir pokriva glavu".

Propozicijske logičke formule

Pojam logičkog oblika složenog iskaza razjašnjava se pomoću pojma propozicionalne logičke formule .

U primjerima 1 i 2 naučili smo pisati složene iskaze pomoću logičkih operacija. U stvari, one se nazivaju formulama propozicijske logike.

Za označavanje iskaza, kao u gornjem primjeru, nastavit ćemo koristiti slova

str, q, r, ..., str 1 , q 1 , r 1 , ...

Ova slova će igrati ulogu varijabli koje uzimaju istinite vrijednosti "true" i "false" kao vrijednosti. Ove varijable se također nazivaju propozicionalne varijable. Nazvat ćemo ih dalje elementarne formule ili atoma .

Za konstruiranje formula za logiku iskaza, osim gornjih slova, koriste se znakovi logičkih operacija

~, ∧, ∨, →, ↔,

kao i simboli koji pružaju mogućnost nedvosmislenog čitanja formula – lijeve i desne zagrade.

Koncept propozicionalne logičke formule definiramo kako slijedi:

1) elementarne formule (atomi) su formule propozicijske logike;

2) ako A i B- formule logike iskaza, zatim ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) su također formule logike iskaza;

3) samo su oni izrazi formule logike tvrdnji za koje to proizlazi iz 1) i 2).

Definicija propozicionalne logičke formule sadrži nabrajanje pravila za formiranje ovih formula. Prema definiciji, bilo koja formula logike iskaza je ili atom, ili je nastala od atoma kao rezultat dosljedne primjene pravila 2).

Primjer 6. Neka bude str- jedna izjava (atom) "Svi racionalni brojevi su realni", q- "Neki realni brojevi su racionalni brojevi", r- "neki racionalni brojevi su stvarni". Pretvorite sljedeće formule logike iskaza u oblik verbalnih izjava:

6) .

1) "nema realnih brojeva koji su racionalni";

2) "ako nisu svi racionalni brojevi realni, onda ne postoje racionalni brojevi koji su realni";

3) "ako su svi racionalni brojevi realni, onda su neki realni brojevi racionalni brojevi, a neki racionalni brojevi";

4) "svi realni brojevi su racionalni brojevi i neki realni brojevi su racionalni brojevi, a neki racionalni brojevi su realni brojevi";

5) "svi racionalni brojevi su stvarni ako i samo ako nije slučaj da nisu svi racionalni brojevi realni";

6) "nema mjesta biti, da nema mjesta biti, da nisu svi racionalni brojevi realni i nema realnih brojeva koji su racionalni ili nema racionalnih brojeva koji su realni."

Primjer 7. Napravite tablicu istinitosti za propozicionu logičku formulu , što se u tablici može označiti f .

Riješenje. Počinjemo sastavljati tablicu istinitosti bilježeći vrijednosti ("true" ili "false") za pojedinačne izjave (atome) str , q i r... Sve moguće vrijednosti bilježe se u osam redaka tablice. Nadalje, određivanjem vrijednosti operacije implikacije i pomicanjem udesno u tablici, zapamtite da je vrijednost jednaka "false" kada "false" slijedi iz "istine".

Imajte na umu da nijedan atom nema oblik ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Složene formule imaju ovaj oblik.

Broj zagrada u propozicionalnim logičkim formulama može se smanjiti pod pretpostavkom da

1) u složena formula izostavit ćemo vanjski par zagrada;

2) poredajmo znakove logičkih operacija "po stažu":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Na ovom popisu ↔ ima najveći opseg, a ~ najmanji. Pod opsegom znaka operacije podrazumijevaju se oni dijelovi propozicionalne logičke formule na koje se primjenjuje (na koje djeluje) razmatrana pojava ovog znaka. Dakle, moguće je izostaviti u bilo kojoj formuli one parove zagrada koji se mogu vratiti, uzimajući u obzir "redoslijed prvenstva". A kada se vraćaju zagrade, prvo se postavljaju sve zagrade vezane za sve pojavljivanja znaka ~ (u ovom slučaju se krećemo s lijeva na desno), zatim na sva pojavljivanja znaka ∧ i tako dalje.

Primjer 8. Popravite zagrade u propozicionoj logičkoj formuli B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Riješenje. Zagrade se vraćaju korak po korak na sljedeći način:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Ne može se svaka propozicionalna logička formula napisati bez zagrada. Na primjer, u formulama A → (B → C) i ~ ( A → B) daljnje uklanjanje zagrada nije moguće.

Tautologije i kontradikcije

Logičke tautologije (ili jednostavno tautologije) takve su formule logike iskaza da ako se slova proizvoljno zamjenjuju propozicijama (točnim ili netočnim), tada će rezultat uvijek biti istinit prijedlog.

Budući da istinitost ili netočnost složenih iskaza ovisi samo o značenjima, a ne o sadržaju iskaza, od kojih svaki odgovara određenom slovu, provjeru je li dati iskaz tautologija može se zamijeniti na sljedeći način. U izrazu koji se proučava, vrijednosti 1 i 0 (odnosno "točno" i "netočno") zamjenjuju se umjesto slova na sve moguće načine, a logičke vrijednosti izraza izračunavaju se pomoću logičkih operacija. Ako su sve ove vrijednosti jednake 1, tada je izraz koji se proučava tautologija, a ako barem jedna zamjena daje 0, onda to nije tautologija.

Dakle, formula propozicijske logike, koja poprima vrijednost "true" za bilo koju distribuciju vrijednosti atoma uključenih u ovu formulu, naziva se identično pravoj formuli ili tautologija .

Suprotno značenje ima logičku kontradikciju. Ako su sve vrijednosti iskaza jednake 0, tada je izraz logička kontradikcija.

Dakle, formula propozicijske logike, koja poprima vrijednost "lažno" za bilo koju distribuciju vrijednosti atoma uključenih u ovu formulu, naziva se identično pogrešna formula ili kontradikcija .

Osim tautologija i logičkih proturječnosti, postoje formule logike iskaza koje nisu ni tautologije ni proturječnosti.

Primjer 9. Napravite tablicu istinitosti za propozicijsku logičku formulu i odredite je li to tautologija, kontradikcija ili nijedno.

Riješenje. Sastavljamo tablicu istine:

U vrijednostima implikacije ne nalazimo red u kojem iz "istine" slijedi "netočno". Sva značenja izvorne izjave jednaka su "istini". Prema tome, ova formula propozicijske logike je tautologija.