U ovom članku ću vam pokazati algoritmi za rješavanje sedam vrsta racionalnih jednadžbi, koji se promjenom varijabli svode na kvadrat. U većini slučajeva transformacije koje dovode do zamjene vrlo su netrivijalne i prilično je teško sami o njima pogoditi.

Za svaku vrstu jednadžbe objasnit ću kako promijeniti varijablu u njoj, a zatim ću pokazati detaljno rješenje u odgovarajućem video tutorialu.

Imate priliku sami nastaviti s rješavanjem jednadžbi, a zatim provjeriti svoje rješenje u odnosu na video tutorial.

Pa, krenimo.

1 ... (x-1) (x-7) (x-4) (x + 2) \u003d 40

Imajte na umu da je umnožak četiri zagrade na lijevoj strani jednadžbe i broja na desnoj.

1. Skupimo zagrade s dva tako da zbroj slobodnih pojmova bude jednak.

2. Pomnožimo ih.

3. Uvodimo promjenu varijable.

U našoj jednadžbi prvu zagradu grupiramo s trećom, a drugu s četvrtom, budući da je (-1) + (- 4) \u003d (- 7) +2:

U ovom trenutku zamjena varijable postaje očita:

Dobivamo jednadžbu

Odgovor:

2 .

Jednadžba ovog tipa slična je prethodnoj s jednom razlikom: na desnoj strani jednadžbe umnožak je broja. I rješava se na potpuno drugačiji način:

1. Zagrade grupiramo po dva tako da je umnožak slobodnih pojmova jednak.

2. Pomnožite svaki par zagrada.

3. Iz svakog faktora vadimo x.

4. Podijelite obje strane jednadžbe sa.

5. Uvedite zamjenu varijabli.

U ovoj jednadžbi prvu zagradu grupiramo s četvrtom, a drugu s trećom, jer:

Imajte na umu da su u svakoj zagradi koeficijent at i slobodni izraz jednaki. Izvadite faktor iz svake zagrade:

Budući da x \u003d 0 nije korijen izvorne jednadžbe, dijelimo obje strane jednadžbe sa. Dobivamo:

Dobivamo jednadžbu:

Odgovor:

3 .

Imajte na umu da nazivnici oba razlomka sadrže kvadratni trinomis istim vodećim koeficijentom i slobodnim terminom. Izvadimo, kao u jednadžbi druge vrste, x izvan zagrade. Dobivamo:

Podijelite brojilac i nazivnik svakog razlomka s x:

Sada možemo uvesti zamjenu varijabli:

Dobivamo jednadžbu za varijablu t:

4 .

Imajte na umu da su koeficijenti jednadžbe simetrični u odnosu na središnju. Takva se jednadžba naziva povratna .

Da biste to riješili,

1. Podijelimo obje strane jednadžbe sa (To možemo, jer x \u003d 0 nije korijen jednadžbe.) Dobivamo:

2. Grupirajmo pojmove na ovaj način:

3. U svakoj skupini iz zagrade izvadimo zajednički faktor:

4. Uvedimo zamjenu:

5. Izrazimo kroz t izraz:

Odavde

Dobivamo jednadžbu za t:

Odgovor:

5. Homogene jednadžbe.

Jednadžbe koje imaju strukturu homogene mogu se pojaviti pri rješavanju eksponencijalnih, logaritamskih i trigonometrijske jednadžbetako da to trebate moći prepoznati.

Homogene jednadžbe imaju sljedeću strukturu:

U ovoj su jednakosti A, B i C brojevi, a isti izrazi označeni su kvadratom i kružnicom. Odnosno, na lijevoj strani homogene jednadžbe nalazi se zbroj monoma s istim stupnjem (u u ovom slučaju stupanj monoma je 2), a slobodnog izraza nema.

Da bismo riješili homogenu jednadžbu, dijelimo obje strane za

Pažnja! Kada dijelite desnu i lijevu stranu jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznato, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti nisu li korijeni izraza kojim dijelimo obje strane jednadžbe korijeni izvorne jednadžbe.

Krenimo prvim putem. Dobivamo jednadžbu:

Sada uvodimo zamjenu varijabli:

Pojednostavnimo izraz i dobijmo bi kvadratna jednadžba u odnosu na t:

Odgovor: ili

7 .

Ova jednadžba ima sljedeću strukturu:

Da biste ga riješili, morate odabrati puni kvadrat s lijeve strane jednadžbe.

Da biste odabrali cjeloviti kvadrat, trebate dodati ili oduzeti zadovoljavajuće djelo. Tada dobivamo kvadrat zbroja ili razlike. To je presudno za uspješnu zamjenu varijabli.

Počnimo s pronalaženjem udvostručenog proizvoda. To će biti ključ za zamjenu varijable. U našoj je jednadžbi dvostruki umnožak

Sada procijenimo što nam je prikladnije - kvadrat zbroja ili razlika. Prvo razmotrimo zbroj izraza:

Fino! ovaj je izraz točno jednak dvostrukom umnošku. Zatim, da biste dobili kvadrat zbroja u zagradama, trebate dodati i oduzeti udvostručeni umnožak:

Jednostavno rečeno, to su jednadžbe u kojima postoji barem jedna s varijablom u nazivniku.

Na primjer:

\\ (\\ frak (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

Primjer ne frakcijske racionalne jednadžbe:

\\ (\\ frak (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frak (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

Kako se rješavaju frakcijske racionalne jednadžbe?

Glavno čega se moramo sjetiti frakcijskih racionalnih jednadžbi je pisati u njih. I nakon pronalaska korijena, svakako ih provjerite na prihvatljivost. Inače, mogu se pojaviti strani korijeni, a cijela će se odluka smatrati netočnom.

Algoritam za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe:

Zapišite i "riješite" DHS.

Pomnožite svaki pojam u jednadžbi sa zajednički nazivnik a rezultirajuće razlomke smanjiti. Nazivnici će nestati.

Zapiši jednadžbu bez otvaranja zagrada.

Riješi rezultirajuću jednadžbu.

Pronađene korijene provjerite ODZ-om.

Zapišite kao odgovor korijene koji su prošli provjeru u koraku 7.

Ne pamtite algoritam, 3-5 riješenih jednadžbi - i pamtit će se sam po sebi.

Primjer ... Riješiti frakcijsku racionalnu jednadžbu \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

Odluka:

Odgovor: \(3\).

Primjer ... Pronađite korijene razlomke racionalne jednadžbe \\ (\u003d 0 \\)

Odluka:

Odgovor: \\ (\\ frac (1) (2) \\).

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

• formiranje koncepta frakcijskih racionalnih jednadžbi;
• razmotriti razne načine rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi;
• razmotriti algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet jednakosti razlomka na nulu;
• podučavati rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi algoritmom;
• provjera razine svladavanja teme provođenjem probnog rada.

Razvoj:

• razvoj sposobnosti ispravnog operiranja stečenim znanjem, logičnog razmišljanja;
• razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, usporedba i generalizacija;
• razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, ne zaustavljajte se tu;
• razvoj kritičkog mišljenja;
• razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovni:

• obrazovanje kognitivnog interesa za predmet;
• poticanje neovisnosti u rješavanju ciljevi učenja;
• njegovanje volje i ustrajnosti u postizanju krajnjih rezultata.

Tip lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Jednadžbe su napisane na ploči, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe? Koji nisu i zašto?

Jednadžbe u kojima su lijeva i desna strana frakcijski racionalni izrazi nazivaju se frakcijskim racionalnim jednadžbama. Što mislite da ćemo danas učiti na nastavi? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvaramo bilježnice i zapisujemo temu lekcije "Rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi".

2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad s razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji nam je potreban za proučavanje nove teme. Molimo odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Što je jednadžba? ( Jednakost s varijablom ili varijablama.)
2. Kako se zove jednadžba # 1? ( Linearno.) Riješenje linearne jednadžbe. (Premjestite sve s nepoznatim u lijeva strana jednadžbe, svi brojevi udesno. Ponesite slične pojmove. Pronađite nepoznati faktor).
3. Kako se zove jednadžba # 3? ( Kvadrat.) Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi. ( Odabir cjelovitog kvadrata, formulama, koristeći Vieta-in teorem i njegove posljedice.)
4. Što je proporcija? ( Jednakost dviju relacija.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je udio točan, umnožak njegovih ekstremnih članaka jednak je umnošku srednjih članaka.)
5. Koja svojstva se koriste za rješavanje jednadžbi? ( 1. Ako u jednadžbi prenesemo pojam iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, tada ćemo dobiti jednadžbu ekvivalentnu danoj. 2. Ako se obje strane jednadžbe pomnože ili podijele istim nula brojem, tada se dobiva jednadžba koja je ekvivalentna zadanoj.)
6. Kada je razlomak nula? ( Razlomak je nula kad je brojnik nula, a nazivnik nije nula.)

3. Objašnjenje novog materijala.

Riješite jednadžbu broj 2 u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 10.

Koju frakcijsku racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti koristeći glavno svojstvo proporcije? (Br. 5).

(x-2) (x-4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Riješite jednadžbu broj 4 u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 1,5.

Koju razlomku racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednadžbe nazivnikom? (Br. 6).

x 2 -7x + 12 \u003d 0

D \u003d 1 ›0, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 4.

Odgovor: 3;4.

Pokušajte riješiti jednadžbu # 7 na jedan od načina.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto u jednom slučaju postoje tri korijena, a u druga dva? Koji su brojevi korijeni ove razlomljene racionalne jednadžbe?

Do sada se studenti nisu susreli s konceptom stranog korijena, zaista im je jako teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako nitko u razredu ne može jasno objasniti ovu situaciju, tada učitelj postavlja vodeća pitanja.

• Kako se jednadžbe 2 i 4 razlikuju od jednadžbi 5,6,7? ( U jednadžbama br. 2 i 4 u nazivniku broja, br. 5-7 su izrazi s varijablom.)
• Koji je korijen jednadžbe? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje istinska jednakost.)
• Kako znati je li broj korijen jednadžbe? ( Napravite provjeru.)

Tijekom izvođenja testa neki učenici primijete da se moraju podijeliti s nulom. Zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi koji bi eliminirali ovu pogrešku? Da, ova metoda temelji se na uvjetu jednakosti razlomka na nulu.

x 2 -3x-10 \u003d 0, D \u003d 49, x 1 \u003d 5, x 2 \u003d -2.

Ako je x \u003d 5, tada je x (x-5) \u003d 0, tada je 5 suvišni korijen.

Ako je x \u003d -2, tada je x (x-5) ≠ 0.

Odgovor: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve ulijevo.
2. Razlomke dovedite do zajedničkog nazivnika.
3. Napravite sustav: razlomak je nula kad je brojnik nula, a nazivnik nije nula.
4. Riješi jednadžbu.
5. Provjerite nejednakost da biste isključili strane korijene.
6. Snimite svoj odgovor.

Rasprava: kako formalizirati rješenje ako se koristi osnovno svojstvo proporcije i množenje obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom. (Dopuni rješenje: iz korijena izuzmi one koji čine zajednički nazivnik nulom).

4. Primarno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Studenti biraju kako će samostalno riješiti jednadžbu, ovisno o vrsti jednadžbe. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600 (b, c, i); Br. 601 (a, e, g). Učitelj kontrolira provedbu zadatka, odgovara na pitanja koja se postavljaju i pruža pomoć učenicima s lošim rezultatima. Samoprovjera: odgovori su napisani na ploči.

b) 2 - tuđi korijen. Odgovor: 3.

c) 2 - tuđi korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12,5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava o domaćoj zadaći.

1. Pročitajte odlomak 25 iz udžbenika, analizirajte primjere 1-3.
2. Naučiti algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi.
3. Riješiti u bilježnicama br. 600 (a, d, e); Br. 601 (g, h).
4. Pokušajte riješiti # 696 (a) (neobavezno).

6. Ispunjenje kontrolnog zadatka iz proučene teme.

Rad se obavlja na papirima.

Primjer posla:

A) Koje su jednadžbe frakcijsko racionalne?

B) Razlomak je nula kad je brojnik ______________________, a nazivnik _______________________.

P) Je li -3 korijen jednadžbe # 6?

D) Riješi jednadžbu # 7.

Kriteriji za ocjenu zadatka:

• "5" se stavlja ako je učenik pravilno izvršio više od 90% zadatka.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" se daje učeniku koji je ispunio manje od 50% zadatka.
• Ocjena 2 se ne stavlja u dnevnik, 3 je neobavezna.

7. Refleksija.

Na papiriće sa samoobrađivanjem stavite:

• 1 - ako vam je u lekciji bilo zanimljivo i razumljivo;
• 2 - zanimljivo, ali nije jasno;
• 3 - nije zanimljivo, ali razumljivo;
• 4 - nije zanimljivo, nije jasno.

8. Rezimiranje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali s razlomljenim racionalnim jednadžbama i naučili kako ih riješiti različiti putevi, testirali svoje znanje treningom samostalan rad... Rezultate samostalnog rada naučit ćete na sljedećoj lekciji, kod kuće ćete imati priliku učvrstiti stečeno znanje.

Koja je metoda rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi, po vašem mišljenju, lakša, dostupnija, racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi, čega biste se trebali sjetiti? U čemu je "lukavost" frakcijskih racionalnih jednadžbi?

Hvala svima, lekcija je gotova.

"Rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi"

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

formiranje koncepta frakcijskih racionalnih jednadžbi; razmotriti razne načine rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi; razmotriti algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet jednakosti razlomka na nulu; podučavati rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi algoritmom; provjera razine svladavanja teme provođenjem probnog rada.

Razvoj:

razvoj sposobnosti ispravnog operiranja stečenim znanjem, logičnog razmišljanja; razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, usporedba i generalizacija; razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, ne zaustavljajte se tu; razvoj kritičkog mišljenja; razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovni:

obrazovanje kognitivnog interesa za predmet; njegovanje neovisnosti u rješavanju obrazovnih problema; njegovanje volje i ustrajnosti u postizanju krajnjih rezultata.

Tip lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Jednadžbe su napisane na ploči, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe? Koji nisu i zašto?

Jednadžbe u kojima su lijeva i desna strana frakcijski racionalni izrazi nazivaju se frakcijskim racionalnim jednadžbama. Što mislite da ćemo danas učiti na nastavi? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvaramo bilježnice i zapisujemo temu lekcije "Rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi".

2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad s razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji nam je potreban za proučavanje nove teme. Molimo odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Što je jednadžba? ( Jednakost s varijablom ili varijablama.)

2. Kako se zove jednadžba # 1? ( Linearno.) Metoda za rješavanje linearnih jednadžbi. ( Premjestite sve s nepoznatim na lijevu stranu jednadžbe, a sve brojeve udesno. Ponesite slične pojmove. Pronađite nepoznati faktor).

3. Kako se zove jednadžba # 3? ( Kvadrat.) Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi. ( Odabir cjelovitog kvadrata, formulama, koristeći Vieta-in teorem i njegove posljedice.)

4. Što je proporcija? ( Jednakost dviju relacija.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je udio točan, umnožak njegovih ekstremnih članaka jednak je umnošku srednjih članaka.)

5. Koja svojstva se koriste za rješavanje jednadžbi? ( 1. Ako u jednadžbi prenesemo pojam iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, tada ćemo dobiti jednadžbu ekvivalentnu danoj. 2. Ako se obje strane jednadžbe pomnože ili podijele istim nula brojem, tada se dobiva jednadžba koja je ekvivalentna zadanoj.)

6. Kada je razlomak nula? ( Razlomak je nula kad je brojnik nula, a nazivnik nije nula.)

3. Objašnjenje novog materijala.

Riješite jednadžbu broj 2 u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 10.

Koju frakcijsku racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti koristeći glavno svojstvo proporcije? (Br. 5).

(x-2) (x-4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 \u003d x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x \u003d 6-8

Riješite jednadžbu broj 4 u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 1,5.

Koju razlomku racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednadžbe nazivnikom? (Br. 6).

D \u003d 1 ›0, x1 \u003d 3, x2 \u003d 4.

Odgovor: 3;4.

Pokušajte riješiti jednadžbu # 7 na jedan od načina.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto u jednom slučaju postoje tri korijena, a u druga dva? Koji su brojevi korijeni ove razlomljene racionalne jednadžbe?

Do sada se studenti nisu susreli s konceptom stranog korijena, zaista im je jako teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako nitko u razredu ne može jasno objasniti ovu situaciju, tada učitelj postavlja vodeća pitanja.

Kako se jednadžbe 2 i 4 razlikuju od jednadžbi 5,6,7? ( U jednadžbama br. 2 i 4 u nazivniku broja, br. 5-7 su izrazi s varijablom.) Koji je korijen jednadžbe? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje istinska jednakost.) Kako saznati je li broj korijen jednadžbe? ( Napravite provjeru.)

Tijekom izvođenja testa neki učenici primijete da se moraju podijeliti s nulom. Zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi koji bi eliminirali ovu pogrešku? Da, ova metoda temelji se na uvjetu jednakosti razlomka na nulu.

x2-3x-10 \u003d 0, D \u003d 49, x1 \u003d 5, x2 \u003d -2.

Ako je x \u003d 5, tada je x (x-5) \u003d 0, tada je 5 suvišni korijen.

Ako je x \u003d -2, tada je x (x-5) ≠ 0.

Odgovor: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve ulijevo.

2. Razlomke dovedite do zajedničkog nazivnika.

3. Napravite sustav: razlomak je nula kad je brojnik nula, a nazivnik nije nula.

4. Riješi jednadžbu.

5. Provjerite nejednakost kako biste isključili strane korijene.

6. Zapišite svoj odgovor.

Rasprava: kako formalizirati rješenje ako se koristi osnovno svojstvo proporcije i množenje obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom. (Dopuni rješenje: iz korijena izuzmi one koji čine zajednički nazivnik nulom).

4. Primarno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Studenti biraju kako će samostalno riješiti jednadžbu, ovisno o vrsti jednadžbe. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", 2007: № 000 (b, c, i); Br. 000 (a, e, g). Učitelj kontrolira provedbu zadatka, odgovara na pitanja koja se postavljaju i pruža pomoć učenicima s lošim rezultatima. Samoprovjera: odgovori su napisani na ploči.

b) 2 - tuđi korijen. Odgovor: 3.

c) 2 - tuđi korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12,5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava o domaćoj zadaći.

2. Naučiti algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi.

3. Riješiti u bilježnicama br. 000 (a, d, e); Br. 000 (g, h).

4. Pokušajte riješiti br. 000 (a) (nije obavezno).

6. Ispunjenje kontrolnog zadatka iz proučene teme.

Rad se obavlja na papirima.

Primjer posla:

A) Koje su jednadžbe frakcijsko racionalne?

B) Razlomak je nula kad je brojnik ______________________, a nazivnik _______________________.

P) Je li -3 korijen jednadžbe # 6?

D) Riješi jednadžbu # 7.

Kriteriji za ocjenu zadatka:

"5" se stavlja ako je učenik pravilno izvršio više od 90% zadatka. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" daje student koji je ispunio manje od 50% zadatka. Ocjena 2 se ne stavlja u dnevnik, 3 je neobavezna.

7. Refleksija.

Na papiriće sa samoobrađivanjem stavite:

1 - ako vam je u lekciji bilo zanimljivo i razumljivo; 2 - zanimljivo, ali nije jasno; 3 - nije zanimljivo, ali razumljivo; 4 - nije zanimljivo, nije jasno.

8. Rezimiranje lekcije.

Dakle, danas smo se na lekciji upoznali s razlomljenim racionalnim jednadžbama, naučili kako te jednadžbe rješavati na razne načine, provjerili svoje znanje uz pomoć obrazovnog samostalnog rada. Rezultate samostalnog rada naučit ćete na sljedećoj lekciji, kod kuće ćete imati priliku učvrstiti stečeno znanje.

Koja je metoda rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi, po vašem mišljenju, lakša, dostupnija, racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi, čega biste se trebali sjetiti? U čemu je "lukavost" frakcijskih racionalnih jednadžbi?

Hvala svima, lekcija je gotova.

T. Kosyakova,
škola br. 80, Krasnodar

Rješavanje kvadratnih i frakcijskih racionalnih jednadžbi koje sadrže parametre

Lekcija 4

Tema lekcije:

Svrha lekcije:oblikovati sposobnost rješavanja frakcijsko-racionalnih jednadžbi koje sadrže parametre.

Vrsta lekcije: uvođenje novog materijala.

1. (Usmeno) Riješi jednadžbe:

Primjer 1... Riješi jednadžbu

Odluka.

Pronađite nevaljane vrijednosti a:

Odgovor. Ako je a ako a a = – 19 , tada nema korijena.

Primjer 2... Riješi jednadžbu

Odluka.

Pronađite nevaljane vrijednosti parametara a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odgovor. Ako je a a = 5 a № 5 zatim x \u003d 10– a .

Primjer 3... Na kojim vrijednostima parametra b jednadžba Ima:

a) dva korijena; b) jedan korijen?

Odluka.

1) Pronađite nevaljane vrijednosti parametara b :

x \u003d b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b \u003d 0 ili b = 2;
x \u003d 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b \u003d 2 ili b = – 2.

2) Riješi jednadžbu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D \u003d 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D \u003d 4 b 2 .

i)

Izuzimanje nevažećih vrijednosti parametara b , dobivamo da jednadžba ima dva korijena ako b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ali ovo je nevaljana vrijednost parametra b ; ako a b 2 –1=0 , tj. b=1 ili.

Odgovor: a) ako b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , zatim dva korijena; b) ako b=1 ili b \u003d –1 , tada jedini korijen.

Samostalan rad

opcija 1

Riješi jednadžbe:

2. opcija

Riješi jednadžbe:

Odgovori

U 1... što ako a=3 , tada nema korijena; ako a b) ako ako a № 2 , tada nema korijena.

U 2. Ako je a a=2 , tada nema korijena; ako a a=0 , tada nema korijena; ako a
b) ako a=– 1 , tada jednadžba gubi smisao; ako nema korijena;
ako a

Domaći zadatak.

Riješi jednadžbe:

Odgovori: a) Ako a № –2 zatim x \u003d a ; ako a a=–2 , tada nema rješenja; b) ako a № –2 zatim x \u003d 2 ; ako a a=–2 , tada nema rješenja; c) ako a=–2 zatim x - bilo koji broj osim 3 ; ako a a № –2 zatim x \u003d 2 ; d) ako a=–8 , tada nema korijena; ako a a=2 , tada nema korijena; ako a

Lekcija 5

Tema lekcije: "Rješenje frakcijskih racionalnih jednadžbi koje sadrže parametre."

Ciljevi lekcije:

osposobljavanje za rješavanje jednadžbi s nestandardnim uvjetom;
svjesna asimilacija algebarskih pojmova i veza među njima od strane učenika.

Vrsta lekcije: sistematizacija i uopćavanje.

Provjera domaće zadaće.

Primjer 1... Riješi jednadžbu

a) u odnosu na x; b) u odnosu na y.

Odluka.

a) Pronađite nevaljane vrijednosti g: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 –2y,

y \u003d 0 - nevaljana vrijednost parametra g.

Ako je a g№ 0 zatim x \u003d y - 2 ; ako a y \u003d 0 , tada jednadžba postaje besmislena.

b) Pronađite nevaljane vrijednosti parametara x: y \u003d x, 2x - x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - nevaljana vrijednost parametra x; y (2 + x - y) \u003d 0, y \u003d 0 ili y \u003d 2 + x;

y \u003d 0 ne zadovoljava uvjet y (y - x)№ 0 .

Odgovor: a) ako y \u003d 0 , tada jednadžba gubi smisao; ako a g№ 0 zatim x \u003d y - 2 ; b) ako x \u003d 0 x№ 0 zatim y \u003d 2 + x .

Primjer 2... Za koje su cjelobrojne vrijednosti parametra a korijeni jednadžbe pripadaju intervalu

D \u003d (3 a + 2) 2 – 4a(a + 1) 2 \u003d 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D \u003d ( a + 2) 2 .

Ako je a a № 0 ili a № – 1 zatim

Odgovor: 5 .

Primjer 3... Pronađi relativno x cjelovita rješenja jednadžbe

Odgovor. Ako je a y \u003d 0 , tada je jednadžba besmislena; ako a y \u003d –1 zatim x - bilo koji cijeli broj osim nule; ako a y№ 0, y№ - 1, tada nema rješenja.

Primjer 4. Riješi jednadžbu s parametrima a i b .

Ako je a a№ - b zatim

Odgovor. Ako je a a \u003d0 ili b \u003d0 , tada jednadžba gubi smisao; ako a a№ 0, b№ 0, a \u003d –b zatim x - bilo koji broj koji nije nula; ako a a№ 0, b№ 0, a№ –B, zatim x \u003d –a, x \u003d –b .

Primjer 5... Dokazati da je za bilo koji nula parametar n jednadžba ima jedan korijen jednak - n .

Odluka.

tj. x \u003d –n , kako je potrebno za dokazivanje.

Domaći zadatak.

1. Pronađite cjelokupna rješenja jednadžbe

2. Na kojim vrijednostima parametra c jednadžba Ima:
a) dva korijena; b) jedan korijen?

3. Pronađite sve cjelobrojne korijene jednadžbe ako a aOKO N .

4. Riješi jednadžbu 3xy - 5x + 5y \u003d 7:a) glede g ; b) relativno x .

1. Jednadžbu zadovoljavaju bilo koje cjelobrojne jednake vrijednosti x i y, osim nule.
2.a) Za
b) na ili
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ako tada nema korijena; ako a
b) ako nema korijena; ako a

Test

opcija 1

1. Odredite vrstu jednadžbe 7c (c + 3) x 2 + (c - 2) x - 8 \u003d 0 na: a) c \u003d –3 ; b) c \u003d 2; u) c \u003d 4 .

2. Riješi jednadžbe: a) x 2 –bx \u003d 0; b) cx 2 –6x + 1 \u003d 0 ; u)

3. Riješi jednadžbu 3x - xy - 2y \u003d 1:

a) glede x ;
b) relativno g .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, znajući da parametar n uzima samo cjelobrojne vrijednosti.

5. Za koje vrijednosti b jednači jednadžba ima:

a) dva korijena;
b) jedan korijen?

2. opcija

1. Odredite vrstu jednadžbe 5c (c + 4) x 2 + (c - 7) x + 7 \u003d 0 na: a) c \u003d –4; b) c \u003d 7; u) c \u003d 1 .

2. Riješi jednadžbe: a) y 2 + cy \u003d 0; b) ny 2 –8y + 2 \u003d 0; u)

3. Riješi jednadžbu 6x - xy + 2y \u003d 5:

a) glede x ;
b) relativno g .

4. Pronađite cijele korijene jednadžbe nx 2 –22x + 2n \u003d 0, znajući da parametar n uzima samo cjelobrojne vrijednosti.

5. Za koje vrijednosti parametra a jednadžba ima:

a) dva korijena;
b) jedan korijen?

Odgovori

U 1. 1. a) Linearna jednadžba;
b) nepotpuna kvadratna jednadžba; c) kvadratna jednadžba.
2.a) Ako b \u003d 0 zatim x \u003d 0 ; ako a b # 0 zatim x \u003d 0, x \u003d b;
b) ako a cO (9; + Ґ) , tada nema korijena;
c) ako a=–4 , tada jednadžba gubi smisao; ako a a№ –4 zatim x \u003d - a .
3.a) Ako y \u003d 3 , tada nema korijena; ako a);
b) a=–3, a=1.

Dodatni zadaci

Riješi jednadžbe:

Književnost

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrima od samog početka. - Tutor, br. 2/1991, str. 3-13 (prikaz, stručni).
2. Gronshtein PI, Polonskiy VB, Yakir MS. Potrebni uvjeti u problemima s parametrima. - Kvant, broj 11/1991, str. 44-49 (prikaz, stručni).
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Rješavanje problemakoji sadrže parametre. Dio 2. - M., Perspektiva, 1990, str. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Petsto četrnaest zadataka s parametrima. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetskiy G.A. Zadaci s parametrima. - M., Obrazovanje, 1986.