"Veličina čovjeka je u njegovoj sposobnosti razmišljanja."
Blaise Pascal.

Ciljevi lekcije:

1) Obrazovni - upoznati studente s homogenim jednadžbama, razmotriti metode za njihovo rješavanje, pridonijeti formiranju vještina u rješavanju prethodno proučenih tipova trigonometrijskih jednadžbi.

2) Razvijanje - razviti kreativnu aktivnost učenika, njihovu kognitivnu aktivnost, logično razmišljanje, pamćenje, sposobnost rada u problematičnoj situaciji, postići sposobnost ispravnog, dosljednog, racionalnog izražavanja svojih misli, proširiti vidike učenika i podići razina njihove matematičke kulture.

3) Obrazovni - poticati želju za samousavršavanjem, napornim radom, oblikovati sposobnost ispravnog i preciznog izvođenja matematičkih bilješki, poticati aktivnost, promicati zanimanje za matematiku.

Vrsta lekcije:kombinirano.

Oprema:

1. Bušilice za šest učenika.
2. Karte za samostalan i samostalni rad učenika.
3. Stoje "Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi", "Numerička jedinica kruga".
4. Elektrificirani stolovi s trigonometrijom.
5. Prezentacija lekcije (Prilog 1).

Tijekom nastave

1. Organizacijska faza (2 minute)

Međusobni pozdrav; provjera spremnosti učenika za lekciju ( radno mjesto, izgled); organizacija pozornosti.

Učitelj informira učenike o temi lekcije, ciljevima (slajd 2) i objašnjava da će se tijekom lekcije koristiti materijali koji se nalaze na stolovima.

2. Pregled teorijskog materijala (15 minuta)

Zadaci bušenja(6 osoba) . Vrijeme rada s bušenim kartama - 10 min (Dodatak 2)

Nakon izvršavanja zadataka studenti će naučiti gdje se koriste trigonometrijski proračuni. Dobivaju se sljedeći odgovori: triangulacija (tehnika mjerenja udaljenosti do obližnjih zvijezda u astronomiji), akustika, ultrazvuk, tomografija, geodezija, kriptografija.

(slajd 5)

Frontalna anketa.

1. Koje se jednadžbe nazivaju trigonometrijske?
2. Koje vrste trigonometrijskih jednadžbi znate?
3. Koje se jednadžbe nazivaju najjednostavnijim trigonometrijskim jednadžbama?
4. Koje se jednadžbe nazivaju kvadratne trigonometrijske jednadžbe?
5. Formulirajte definiciju arkusina broja.
6. Formuliraj definiciju arkkozinusa broja a.
7. Formulirajte definiciju arktangensa broja a.
8. Formulirajte definiciju lučnog kotangensa broja a.

Igra "Pogodite šifriranu riječ"

Jednom je Blaise Pascal rekao da je matematika toliko ozbiljna znanost da ne treba propustiti priliku da je učinimo malo zabavnijom. Zato predlažem da se igramo. Riješivši primjere, odredite redoslijed brojeva po kojima je sastavljena šifrirana riječ. Na latinskom, ova riječ znači "sine". (slajd 3)

2) luk tg (-√3)

4) tg (arc cos (1/2))

5) tg (luk ctg √3)

Odgovor: "Savij se"

Igra odsutnog matematičara»

Zadaci za usmeni rad projiciraju se na platno:

Provjerite jesu li jednadžbe pravilno riješene. (točan odgovor pojavljuje se na slajdu nakon odgovora učenika). (slajd 4)

Provjera domaće zadaće.

Učitelj utvrđuje ispravnost i svijest o ispunjavanju domaćih zadataka od strane svih učenika; utvrđuje praznine u znanju; poboljšava znanja, vještine i sposobnosti učenika u području rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

1 jednadžba. Student komentira rješenje jednadžbe čiji se redovi pojavljuju na dijapozitivu redoslijedom komentara.) (slajd 6)

√3tg2x \u003d 1;

tg2x \u003d 1 / √3;

2x \u003d arktan 1 / √3 + πn, n ∈Z.

2x \u003d π / 6 + πn, n ∈Z.

x \u003d π / 12 + π / 2 n, n ∈Z.

2 jednadžba. Odluka snapisali na ploči studenti.

2 grijeh 2 x + 3 cosx \u003d 0.

3. Ažuriranje novog znanja (3 minute)

Učenici se na zahtjev nastavnika prisjećaju načina rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Oni biraju one jednadžbe koje već znaju riješiti, imenuju način rješavanja jednadžbe i rezultat . Odgovori se pojavljuju na slajdu. (slajd 7) .

Predstavljamo novu varijablu:

# 1. 2sin 2 x - 7sinx + 3 \u003d 0.

Neka je sinx \u003d t, tada:

2t 2 - 7t + 3 \u003d 0.

Faktorizacija:

№2. 3sinx cos4x - cos4x \u003d 0;

cos4x (3sinx - 1) \u003d 0;

cos4x \u003d 0 ili 3 sinx - 1 \u003d 0; ...

Broj 3. 2 sinx - 3 cosx \u003d 0,

Broj 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

Učitelj, nastavnik, profesor: Još ne možete riješiti posljednje dvije vrste jednadžbi. Oboje su iste vrste. Ne mogu se svesti na jednadžbu za sinx ili cosx funkcije. Se zovu homogene trigonometrijske jednadžbe. Ali samo prva - homogena jednadžba prvog stupnja, a drugi je homogena jednadžba drugog stupnja. Danas ćete se u lekciji upoznati s takvim jednadžbama i naučiti kako ih riješiti.

4. Objašnjenje novog materijala (25 minuta)

Učitelj daje učenicima definicije homogenih trigonometrijskih jednadžbi, uvodi načine njihovog rješavanja.

Definicija. Jednadžba oblika sinx + b cosx \u003d 0, gdje se naziva a ≠ 0, b ≠ 0 homogena trigonometrijska jednadžba prvog stupnja. (slajd 8)

Primjer takve jednadžbe je jednadžba # 3. Dopustite da zapišemo opći oblik jednadžba i analizirati je.

a sinx + b cosx \u003d 0.

Ako je cosx \u003d 0, tada je sinx \u003d 0.

- Može li se takva situacija ispostaviti?

- Ne. Dobili smo kontradikciju s osnovnim trigonometrijskim identitetom.

Dakle, cosx ≠ 0. Podijelimo pojmove s cosx:

a tgx + b \u003d 0

tgx \u003d –b / a- najjednostavnija trigonometrijska jednadžba.

Izlaz:Homogena trigonometrijske jednadžbe prvi stupanj rješavaju se dijeljenjem obje strane jednadžbe s cosx (sinx).

Na primjer:2 sinx - 3 cosx \u003d 0,

Jer cosx ≠ 0, tada

tgx \u003d 3/2 ;

x \u003d arktan (3/2) + πn, n ∈Z.

Definicija.Jednadžba oblika a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x \u003d 0, gdje se naziva a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 trigonometrijska jednadžba drugog stupnja. (slajd 8)

Primjer takve jednadžbe je jednadžba # 4. Zapišimo opći oblik jednadžbe i analizirajmo ga.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x \u003d 0.

Ako je cosx \u003d 0, tada je sinx \u003d 0.

Opet smo dobili kontradikciju s osnovnim trigonometrijskim identitetom.

Dakle, cosx ≠ 0. Podijelimo pojmom sa cos 2 x:

a tg 2 x + b tgx + c \u003d 0 jednadžba je koja se svodi na kvadratnu.

Zaključak: Ohomogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja rješavaju se dijeljenjem obje strane jednadžbe s cos 2 x (sin 2 x).

Na primjer:3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

Jer cos 2 x ≠ 0, tada

3tg 2 x - 4 tgx + 1 \u003d 0 (Pozovite učenika da ode do ploče i samostalno dovrši jednadžbu).

Zamjena: tgx \u003d y. 3y 2 - 4 y + 1 \u003d 0

D \u003d 16 - 12 \u003d 4

y 1 \u003d 1 ili y 2 \u003d 1/3

tgx \u003d 1 ili tgx \u003d 1/3

x \u003d arktan (1/3) + πn, n ∈Z.

x \u003d arctg1 + πn, n ∈Z.

x \u003d π / 4 + πn, n ∈Z.

5. Faza provjere razumijevanja novog materijala od strane učenika (1 min.)

Odaberite suvišnu jednadžbu:

sinx \u003d 2cosx; 2sinx + cosx \u003d 2;

√3sinx + cosx \u003d 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0;

4cosx + 5sinx \u003d 0; √3sinx - cosx \u003d 0.

(slajd 9)

6. Osiguranje novog materijala (24 min).

Studenti zajedno s ispitanicima na ploči rješavaju jednadžbe na novi materijal... Zadaci su zapisani na dijapozitivu u obliku tablice. Prilikom rješavanja jednadžbe otvara se odgovarajući dio slike na dijapozitivu. Kao rezultat ispunjenja 4 jednadžbe, pred učenicima se otvara portret matematičara koji je imao značajan utjecaj na razvoj trigonometrije. (studenti prepoznaju portret Françoisa Viete - velikog matematičara koji je dao velik doprinos trigonometriji, otkrio svojstvo korijena svedene kvadratne jednadžbe i bavio se kriptografijom) ... (slajd 10)

1) √3sinx + cosx \u003d 0,

Jer cosx ≠ 0, tada

√3tgx + 1 \u003d 0;

tgx \u003d –1 / √3;

x \u003d arctan (–1 / √3) + πn, n ∈Z.

h \u003d –π / 6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \u003d 0.

Jer cos 2 x ≠ 0, zatim tg 2 x - 10 tgx + 21 \u003d 0

Zamjena: tgx \u003d y.

y 2 - 10 y + 21 \u003d 0

y 1 \u003d 7 ili y 2 \u003d 3

tgx \u003d 7 ili tgx \u003d 3

x \u003d arctg7 + πn, n ∈Z

x \u003d arctg3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x \u003d 0.

Jer cos 2 2x ≠ 0, zatim 3tg 2 2x - 6tg2x +5 \u003d 0

Zamjena: tg2x \u003d y.

3y 2 - 6y + 5 \u003d 0

D \u003d 36 - 20 \u003d 16

y 1 \u003d 5 ili y 2 \u003d 1

tg2x \u003d 5 ili tg2x \u003d 1

2x \u003d arctg5 + πn, n ∈Z

x \u003d 1/2 arctg5 + π / 2 n, n ∈Z

2h \u003d arctg1 + πn, n ∈Z

h \u003d π / 8 + π / 2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin (π-x) cos (2π-x) \u003d 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx \u003d 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

Jer cos 2 x ≠ 0, zatim 5tg 2 x + 4 tgx –1 \u003d 0

Zamjena: tg x \u003d y.

5y 2 + 4y - 1 \u003d 0

D \u003d 16 + 20 \u003d 36

y 1 \u003d 1/5 ili y 2 \u003d –1

tg x \u003d 1/5 ili tg x \u003d –1

x \u003d arctg1 / 5 + πn, n ∈Z

h \u003d arktan (–1) + πn, n ∈Z

h \u003d –π / 4 + πn, n ∈Z

Dodatno (na kartici):

Riješite jednadžbu i, odabirući jednu od četiri predložene, pogodite ime matematičara koji je izveo redukcijske formule:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x \u003d 0.

Opcije odgovora:

h \u003d arctg2 + 2πn, n ∈Z h \u003d –π / 2 + πn, n ∈Z - P. Čebišev

h \u003d arktan 12,5 + 2πn, n ∈Z х \u003d –3π / 4 + πn, n ∈Z - Euklid

h \u003d arctan 5 + πn, n ∈Z h \u003d –π / 3 + πn, n ∈Z - Sofya Kovalevskaya

h \u003d arctg2,5 + πn, n ∈Z х \u003d –π / 4 + πn, n ∈Z - Leonard Euler

Točan odgovor: Leonard Euler.

7. Diferencirani samostalni rad (8 min.)

Veliki matematičar i filozof prije više od 2500 godina predložio je način za razvoj sposobnosti razmišljanja. "Razmišljanje započinje s iznenađenjem", rekao je. U ispravnost ovih riječi uvjerili smo se danas. Nakon završetka samostalnog rada na 2 mogućnosti, možete pokazati kako ste naučili gradivo i saznati ime ovog matematičara. Za samostalan rad poslužite se materijalom na svojim stolovima. Možete odabrati jednu od tri predložene jednadžbe. Ali upamtite da je rješavanje jednadžbe koja odgovara žuta boja, "3" možete dobiti samo rješavanjem jednadžbe koja odgovara zelenoj - "4", crvenoj - "5". (Dodatak 3)

Koju god razinu teškoće studenti izaberu, nakon ispravna odluka jednadžbe, prva verzija dobiva riječ "ARIST", druga - "HOTEL". Na slajdu ćete dobiti riječ: "ARIST-HOTEL". (slajd 11)

Leci s samostalnim radom podnose se na provjeru. (Dodatak 4)

8. Snimanje domaće zadaće (1 min)

D / z: §7.17. Stvorite i riješite 2 homogene jednadžbe prvog stupnja i 1 homogenu jednadžbu drugog stupnja (koristeći Vieta-in teorem za sastavljanje). (slajd 12)

9. Rezimiranje lekcije, dodjeljivanje ocjena (2 minute)

Učitelj još jednom skreće pažnju na one vrste jednadžbi i one teorijske činjenice koje su se prisjetile u lekciji, govore o potrebi njihovog učenja.

Studenti odgovaraju na pitanja:

1. Kakve smo trigonometrijske jednadžbe upoznali?
2. Kako se rješavaju ove jednadžbe?

Učiteljica najviše bilježi uspješan rad na satu pojedinih učenika stavlja ocjene.

Nelinearne jednadžbe u dvije nepoznanice

Definicija 1. Neka A bude malo skup parova brojeva (x; g). Kažu da je na setu A numerička funkcija z na dvije varijable x i y, ako je određeno pravilo kojim je svaki par brojeva iz skupa A povezan s određenim brojem.

Često je specificiranje numeričke funkcije z u dvije varijable x i y označavaju Tako:

gdje f (x , g) - bilo koja funkcija koja nije funkcija

f (x , g) = sjekira + za + c ,

gdje su a, b, c dati brojevi.

Definicija 3. Rješavanjem jednadžbe (2) nazovite par brojeva ( x; g) za koju je formula (2) istinska jednakost.

Primjer 1. Riješi jednadžbu

Budući da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan, iz formule (4) proizlazi da nepoznanice x i y zadovoljavaju sustav jednadžbi

čije je rješenje par brojeva (6; 3).

Odgovor: (6; 3)

Primjer 2. Riješi jednadžbu

Stoga je rješenje jednadžbe (6) beskonačan broj parova brojeva ljubazan

(1 + g ; g) ,

gdje je y bilo koji broj.

linearno

Definicija 4. Rješavanjem sustava jednadžbi

nazovite par brojeva ( x; g), kada se supstituira u svaku jednadžbu ovog sustava, dobiva se točna jednakost.

Sustavi dviju jednadžbi, od kojih je jedna linearna, imaju oblik

g(x , g)

Primjer 4. Riješiti sustav jednadžbi

Odluka. Izrazimo nepoznati y iz prve jednadžbe sustava (7) kroz nepoznati x i rezultirajući izraz zamijenimo u drugu jednadžbu sustava:

Rješavanje jednadžbe

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Slijedom toga,

g 1 = 8 - x 1 = 9 ,
g 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Sustavi dviju jednadžbi, od kojih je jedna homogena

Sustavi dviju jednadžbi, od kojih je jedna homogena, imaju oblik

gdje su a, b, c dati brojevi i g(x , g) Je funkcija dvije varijable x i y.

Primjer 6. Riješiti sustav jednadžbi

Odluka. Riješi homogenu jednadžbu

3x 2 + 2xy - g 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10g 2 = 0 ,

smatrajući ga kvadratnom jednadžbom s obzirom na nepoznati x:

.

U slučaju kada x = - 5g , iz druge jednadžbe sustava (11) dobivamo jednadžbu

5g 2 = - 20 ,

koja nema korijena.

U slučaju kada

iz druge jednadžbe sustava (11) dobivamo jednadžbu

,

čiji su korijeni brojevi g 1 = 3 , g 2 = - 3 . Nalazeći odgovarajuću x vrijednost za svaku od ovih y vrijednosti, dobivamo dva rješenja sustava: (- 2; 3), (2; - 3).

Odgovor: (- 2; 3), (2; - 3)

Primjeri rješavanja sustava jednadžbi drugih vrsta

Primjer 8. Riješiti sustav jednadžbi (MIPT)

Odluka. Uvodimo nove nepoznanice u i v, koje se u terminima x i y izražavaju formulama:

Da bismo prepisali sustav (12) u smislu novih nepoznanica, najprije izražavamo nepoznanice x i y u u i v. Iz sustava (13) proizlazi da

Riješimo linearni sustav (14), isključujući varijablu x iz druge jednadžbe ovog sustava. U tu svrhu izvodimo sljedeće transformacije nad sustavom (14):

• ostaviti prvu jednadžbu sustava nepromijenjenom;
• oduzeti prvu jednadžbu od druge jednadžbe i zamijeniti drugu jednadžbu sustava dobivenom razlikom.

Kao rezultat, sustav (14) se pretvara u ekvivalentan sustav

iz kojega nalazimo

Koristeći formule (13) i (15), prepisujemo izvorni sustav (12) u obrazac

Za sustav (16) prva je jednadžba linearna, pa iz nje možemo izraziti nepoznato u kroz nepoznato v i taj izraz zamijeniti drugom jednadžbom sustava.

Danas ćemo se pozabaviti homogenim trigonometrijskim jednadžbama. Prvo, shvatimo terminologiju: što je homogena trigonometrijska jednadžba. Ima sljedeće karakteristike:

1. mora sadržavati nekoliko izraza;
2. svi pojmovi moraju imati isti stupanj;
3. sve funkcije uključene u homogeni trigonometrijski identitet moraju nužno imati isti argument.

Algoritam rješenja

Izdvojimo pojmove

A ako je s prvom točkom sve jasno, onda vrijedi detaljnije razgovarati o drugoj. Što znači isti stupanj pojmova? Pogledajmo prvi zadatak:

3cosx + 5sinx \u003d 0

3 \\ cos x + 5 \\ sin x \u003d 0

Prvi pojam u ovoj jednadžbi je 3cosx3 \\ cos x. Napominjemo da ovdje postoji samo jedna trigonometrijska funkcija - cosx\\ cos x - i nijedan drugi trigonometrijske funkcije ovdje nije prisutan, stoga je stupanj ovog pojma 1. Isto kao i drugi - 5sinx5 \\ sin x - ovdje je prisutan samo sinus, odnosno stupanj ovog pojma također je jednak jedinici. Dakle, pred nama je identitet koji se sastoji od dva elementa, od kojih svaki sadrži trigonometrijsku funkciju, a istovremeno samo jedan. Ovo je jednadžba prvog stupnja.

Prijelaz na drugi izraz:

4grijeh2 x + sin2x - 3 \u003d 0

4 ((\\ sin) ^ (2)) x + \\ sin 2x-3 \u003d 0

Prvi član ove konstrukcije je 4grijeh2 x4 ((\\ sin) ^ (2)) x.

Sada možemo napisati sljedeće rješenje:

grijeh2 x \u003d sinx⋅sinx

((\\ sin) ^ (2)) x \u003d \\ sin x \\ cdot \\ sin x

Drugim riječima, prvi pojam sadrži dvije trigonometrijske funkcije, odnosno stupanj mu je dva. Bavimo se drugim elementom - sin2x\\ grijeh 2x. Sjetimo se ove formule - formule dvostrukog kuta:

sin2x \u003d 2sinx⋅cosx

\\ sin 2x \u003d 2 \\ sin x \\ cdot \\ cos x

I opet, u rezultirajućoj formuli imamo dvije trigonometrijske funkcije - sinus i kosinus. Dakle, eksponencijalna vrijednost ovog pojma također je dvije.

Prelazimo na treći element - 3. Iz kolegija srednjoškolske matematike sjetimo se da se bilo koji broj može pomnožiti s 1, a mi zapisujemo:

˜ 3=3⋅1

A jedinica koja koristi osnovni trigonometrijski identitet može se zapisati u sljedećem obliku:

1=grijeh2 x⋅ cos2 x

1 \u003d ((\\ sin) ^ (2)) x \\ cdot ((\\ cos) ^ (2)) x

Stoga možemo prepisati 3 na sljedeći način:

3=3(grijeh2 x⋅ cos2 x)=3grijeh2 x + 3 cos2 x

3 \u003d 3 \\ lijevo (((\\ sin) ^ (2)) x \\ cdot ((\\ cos) ^ (2)) x \\ desno) \u003d 3 ((\\ sin) ^ (2)) x + 3 (( \\ cos) ^ (2)) x

Dakle, naš pojam 3 podijeljen je u dva elementa, od kojih je svaki homogen i ima drugi stupanj. Sinus u prvom članu javlja se dva puta, kosinus u drugom također dva puta. Dakle, 3 se također može predstaviti kao pojam s potencijalom dva.

Treći izraz je isti:

grijeh3 x + grijeh2 xcosx \u003d 2 cos3 x

Idemo pogledati. Prvi je pojam grijeh3 x((\\ sin) ^ (3)) x je trigonometrijska funkcija trećeg stupnja. Drugi element je grijeh2 xcosx((\\ sin) ^ (2)) x \\ cos x.

grijeh2 ((\\ sin) ^ (2)) je veza čija je vrijednost snage pomnožena sa cosx\\ cos x je prvi pojam. Ukupno treći pojam također ima vrijednost snage tri. Napokon, s desne strane postoji još jedna poveznica - 2cos3 x2 ((\\ cos) ^ (3)) x je element trećeg stupnja. Dakle, pred nama je homogena trigonometrijska jednadžba trećeg stupnja.

Zapisali smo tri identiteta različitih stupnjeva. Ponovno zabilježite drugi izraz. U izvornom zapisu jedan od članova ima argument 2x2x. Moramo se riješiti ovog argumenta pretvarajući ga prema sinusu dvostruke kutne formule, jer sve funkcije uključene u naš identitet moraju nužno imati isti argument. A to je uvjet za homogene trigonometrijske jednadžbe.

Koristimo formulu glavnog trigonometrijskog identiteta i zapisujemo konačno rješenje

Smislili smo uvjete, prijeđimo na rješenje. Bez obzira na eksponencijalni eksponent, rješenje jednačina ovog tipa izvodi se uvijek u dva koraka:

1) dokazati to

cosx ≠ 0

\\ cos x \\ ne 0. Za to je dovoljno podsjetiti se na formulu glavnog trigonometrijskog identiteta (grijeh2 x⋅ cos2 x \u003d 1)\\ lijevo (((\\ sin) ^ (2)) x \\ cdot ((\\ cos) ^ (2)) x \u003d 1 \\ desno) i zamijeni u ovu formulu cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0. Dobivamo sljedeći izraz:

grijeh2 x \u003d 1sinx \u003d ± 1

\\ započeti (poravnati) & ((\\ sin) ^ (2)) x \u003d 1 \\\\ & \\ sin x \u003d \\ pm 1 \\\\\\ kraj (poravnati)

Zamjenom dobivenih vrijednosti, tj. Umjesto cosx\\ cos x je nula, a umjesto sinx\\ sin x - 1 ili -1, u izvornom izrazu dobivamo nevaljanu numeričku jednakost. Ovo je obrazloženje koje

cosx ≠ 0

2) drugi korak logično slijedi iz prvog. Ukoliko

cosx ≠ 0

\\ cos x \\ ne 0, dijelimo obje strane konstrukcije sa cosnx((\\ cos) ^ (n)) x, gdje nn je eksponent snage same homogene trigonometrijske jednadžbe. Što nam daje:

\\ [\\ početak (niz) ((35) (l))

sinxcosx\u003d tgxcosxcosx=1

\\ početak (poravnanje) & \\ frac (\\ sin x) (\\ cos x) \u003d tgx \\\\ & \\ frac (\\ cos x) (\\ cos x) \u003d 1 \\\\\\ kraj (poravnanje) \\\\ () \\\\ \\ kraj (niz) \\]

Zbog toga se naša glomazna početna konstrukcija svodi na jednadžbu nn-snaga s obzirom na tangentu, čije je rješenje lako napisati pomoću zamjenske varijable. To je cijeli algoritam. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi.

Riješavamo stvarne probleme

Problem broj 1

3cosx + 5sinx \u003d 0

3 \\ cos x + 5 \\ sin x \u003d 0

Već smo otkrili da je ovo homogena trigonometrijska jednadžba s potencijalom jednakim jedinici. Stoga, prije svega, doznajmo to cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0. Pretpostavimo suprotno, to

cosx \u003d 0 → sinx \u003d ± 1

\\ cos x \u003d 0 \\ to \\ sin x \u003d \\ pm 1.

Zamjenom rezultirajuće vrijednosti u naš izraz dobivamo:

3⋅0+5⋅(± 1) \u003d 0± 5 \u003d 0

\\ početak (poravnanje) & 3 \\ cdot 0 + 5 \\ cdot \\ lijevo (\\ pm 1 \\ desno) \u003d 0 \\\\ & \\ pm 5 \u003d 0 \\\\\\ kraj (poravnanje)

Na temelju ovoga možemo to i reći cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0. Podijelimo našu jednadžbu sa cosx\\ cos x, jer cijeli naš izraz ima vrijednost snage jedan. Dobivamo:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3 + 5tgx \u003d 0tgx \u003d - 3 5

\\ početak (poravnanje) & 3 \\ lijevo (\\ frac (\\ cos x) (\\ cos x) \\ desno) +5 \\ lijevo (\\ frac (\\ sin x) (\\ cos x) \\ desno) \u003d 0 \\\\ & 3 + 5tgx \u003d 0 \\\\ & tgx \u003d - \\ frac (3) (5) \\\\\\ kraj (poravnanje)

Ovo nije tablična vrijednost, pa će odgovor uključivati arctgxarctgx:

x \u003d arctg (−3 5 ) + π n, n∈Z

x \u003d arctg \\ lijevo (- \\ frac (3) (5) \\ desno) + \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () n, n \\ u Z

Ukoliko arctgarctg arctg je neparna funkcija, možemo izvući "minus" iz argumenta i staviti ga ispred arctg. Dobivamo konačni odgovor:

x \u003d −arctg 3 5 + π n, n∈Z

x \u003d -arctg \\ frac (3) (5) + \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () n, n \\ u Z

Problem broj 2

4grijeh2 x + sin2x - 3 \u003d 0

4 ((\\ sin) ^ (2)) x + \\ sin 2x-3 \u003d 0

Kao što se sjećate, prije nego što ga počnete rješavati, morate napraviti neke transformacije. Vršimo transformacije:

4grijeh2 x + 2sinxcosx - 3 (grijeh2 x + cos2 x)=0 4grijeh2 x + 2sinxcosx - 3 grijeh2 x - 3 cos2 x \u003d 0grijeh2 x + 2sinxcosx - 3 cos2 x \u003d 0

\\ započeti (poravnati) & 4 ((\\ sin) ^ (2)) x + 2 \\ sin x \\ cos x-3 \\ lijevo (((\\ sin) ^ (2)) x + ((\\ cos) ^ ( 2)) x \\ desno) \u003d 0 \\\\ & 4 ((\\ sin) ^ (2)) x + 2 \\ sin x \\ cos x-3 ((\\ sin) ^ (2)) x-3 ((\\ cos) ^ (2)) x \u003d 0 \\\\ & ((\\ sin) ^ (2)) x + 2 \\ sin x \\ cos x-3 ((\\ cos) ^ (2)) x \u003d 0 \\\\\\ završi (poravnaj)

Dobili smo trodijelnu konstrukciju. U prvom mandatu vidimo grijeh2 ((\\ sin) ^ (2)), odnosno vrijednost njegove snage je dvije. U drugom mandatu vidimo sinx\\ sin x i cosx\\ cos x - opet postoje dvije funkcije, one se množe, pa je ukupna snaga opet dvije. U trećoj poveznici vidimo cos2 x((\\ cos) ^ (2)) x - isto što i prva vrijednost.

Dokažimo to cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 nije rješenje za ovu konstrukciju. Da biste to učinili, pretpostavite suprotno:

\\ [\\ početak (niz) ((35) (l))

\\ cos x \u003d 0 \\\\\\ sin x \u003d \\ pm 1 \\\\ 1 + 2 \\ cdot \\ lijevo (\\ pm 1 \\ desno) \\ cdot 0-3 \\ cdot 0 \u003d 0 \\\\ 1 + 0-0 \u003d 0 \\ \\ 1 \u003d 0 \\\\\\ kraj (niz) \\]

To smo dokazali cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 ne može biti rješenje. Prelazimo na drugi korak - cijeli svoj izraz dijelimo na cos2 x((\\ cos) ^ (2)) x. Zašto na kvadrat? Budući da je eksponent ove homogene jednadžbe dva:

grijeh2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x + 2tgx - 3 \u003d 0

\\ započeti (poravnati) & \\ frac (((\\ sin) ^ (2)) x) (((\\ cos) ^ (2)) x) +2 \\ frac (\\ sin x \\ cos x) (((\\ cos) ^ (2)) x) -3 \u003d 0 \\\\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx-3 \u003d 0 \\\\\\ kraj (poravnanje)

Je li moguće riješiti ovaj izraz pomoću diskriminanta? Naravno. Ali predlažem da se sjetimo teorema, obratni teorem Vieta, i dobili smo da se ovaj polinom može predstaviti u obliku dva jednostavna polinoma, i to:

(tgx + 3) (tgx - 1) \u003d 0tgx \u003d −3 → x \u003d −arctg3 + π n, n∈Ztgx \u003d 1 → x \u003d π 4 + π k, k∈Z

\\ započeti (poravnati) & \\ lijevo (tgx + 3 \\ desno) \\ lijevo (tgx-1 \\ desno) \u003d 0 \\\\ & tgx \u003d -3 \\ do x \u003d -arctg3 + \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () n, n \\ u Z \\\\ & tgx \u003d 1 \\ to x \u003d \\ frac (\\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) (4) + \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () k, k \\ u Z \\\\\\ kraj (poravnaj)

Mnogi se studenti pitaju vrijedi li za svaku skupinu rješenja identiteta napisati zasebne koeficijente ili se ne truditi i svugdje pisati isti. Osobno smatram da je bolje i pouzdanije koristiti različita slova, tako da u slučaju kada na ozbiljno tehničko sveučilište uđete s dodatnim testovima iz matematike, ocjenitelji ne pronađu grešku u odgovoru.

Problem broj 3

grijeh3 x + grijeh2 xcosx \u003d 2 cos3 x

((\\ \\ sin) ^ (3)) x + ((\\ sin) ^ (2)) x \\ cos x \u003d 2 ((\\ cos) ^ (3)) x

Već znamo da je ovo homogena trigonometrijska jednadžba trećeg stupnja, nisu potrebne posebne formule, a sve što se od nas traži je da prenesemo pojam 2cos3 x2 ((\\ cos) ^ (3)) x lijevo. Prepisujemo:

grijeh3 x + grijeh2 xcosx - 2 cos3 x \u003d 0

((\\ \\ sin) ^ (3)) x + ((\\ sin) ^ (2)) x \\ cos x-2 ((\\ cos) ^ (3)) x \u003d 0

Vidimo da svaki element sadrži tri trigonometrijske funkcije, tako da ova jednadžba ima vrijednost snage jednaku tri. Mi to rješavamo. Prije svega, to moramo dokazati cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 nije korijen:

\\ [\\ početak (niz) ((35) (l))

\\ cos x \u003d 0 \\\\\\ sin x \u003d \\ pm 1 \\\\\\ kraj (niz) \\]

Uključimo ove brojeve u našu izvornu konstrukciju:

(± 1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 \u003d 0± 1 \u003d 0

\\ započeti (poravnati) & ((\\ lijevo (\\ pm 1 \\ desno)) ^ (3)) + 1 \\ cdot 0-2 \\ cdot 0 \u003d 0 \\\\ & \\ pm 1 + 0-0 \u003d 0 \\\\ & \\ pm 1 \u003d 0 \\\\\\ kraj (poravnaj)

Slijedom toga, cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 nije rješenje. To smo dokazali cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0. Sada kada smo to dokazali, dijelimo svoju izvornu jednadžbu sa cos3 x((\\ cos) ^ (3)) x. Zašto kockasto? Jer upravo smo dokazali da je naša izvorna jednadžba treći stupanj:

grijeh3 xcos3 x+grijeh2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x + t g2 x - 2 \u003d 0

\\ započeti (poravnati) & \\ frac (((\\ sin) ^ (3)) x) (((\\ cos) ^ (3)) x) + \\ frac (((\\ sin) ^ (2)) x \\ cos x) (((\\ cos) ^ (3)) x) -2 \u003d 0 \\\\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x-2 \u003d 0 \\\\\\ kraj (poravnaj)

Uvedimo novu varijablu:

tgx \u003d t

Prepisujemo konstrukciju:

t3 +t2 −2=0

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 \u003d 0

Prije nas kubična jednadžba... Kako to riješiti? U početku, kad sam samo sastavljao ovaj video tutorial, planirao sam preliminarno razgovarati o faktoringu polinoma i drugim tehnikama. Ali u ovom je slučaju sve puno jednostavnije. Gledajte, naš smanjeni identitet, s izrazom s najvišim stupnjem, je 1. Uz to su svi koeficijenti cijeli brojevi. A to znači da se možemo poslužiti posljedicom iz Bezutova teorema, koji kaže da su svi korijeni djelitelji broja -2, odnosno slobodnog pojma.

Postavlja se pitanje: koja je podjela na -2. Budući da je 2 prost broj, nema toliko mogućnosti. To mogu biti sljedeći brojevi: 1; 2; -jedan; -2. Negativni korijeni odmah otpadaju. Zašto? Budući da su obojica veća od 0 u modulu, dakle, t3 ((t) ^ (3)) bit će veći u modulu od t2 ((t) ^ (2)). A budući da je kocka neparna funkcija, stoga će broj u kocki biti negativan, a t2 ((t) ^ (2)) - pozitivan, i cijela ova konstrukcija, za t \u003d -1t \u003d -1 i t \u003d -2t \u003d -2, neće biti više od 0. Oduzmi od toga -2 i dobij broj koji je sigurno manji od 0. Ostaju samo 1 i 2. Zamijenimo svaki od ovih brojeva:

˜ t \u003d 1 → 1 + 1−2 \u003d 0 → 0 \u003d 0

\u003dt \u003d 1 \\ u \\ text () 1 + 1-2 \u003d 0 \\ u 0 \u003d 0

Dobili smo točnu numeričku jednakost. Slijedom toga, t \u003d 1t \u003d 1 je korijen.

t \u003d 2 → 8 + 4−2 \u003d 0 → 10 ≠ 0

t \u003d 2 \\ do 8 + 4-2 \u003d 0 \\ do 10 \\ ne 0

t \u003d 2t \u003d 2 nije korijen.

Prema posljedicama i svim istim Bezoutovim teoremima, bilo koji polinom čiji je korijen x0 ((x) _ (0)), predstavljaju u obliku:

Q (x) \u003d (x \u003d x0 ) P (x)

Q (x) \u003d (x \u003d ((x) _ (0))) P (x)

U našem slučaju, u ulozi xx je varijabla tt, i u ulozi x0 ((x) _ (0)) - korijen jednak 1. Dobivamo:

t3 +t2 −2 \u003d (t - 1) ⋅P (t)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 \u003d (t-1) \\ cdot P (t)

Kako pronaći polinom Str (t)P \\ lijevo (t \\ desno)? Očito je da trebate učiniti sljedeće:

P (t) \u003d t3 +t2 −2 t - 1

P (t) \u003d \\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1)

Zamjenjujemo:

t3 +t2 + 0⋅t - 2t - 1=t2 + 2t + 2

\\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \\ cdot t-2) (t-1) \u003d ((t) ^ (2)) + 2t + 2

Dakle, naš izvorni polinom podijeljen bez ostatka. Dakle, svoju izvornu jednakost možemo prepisati kao:

(t - 1) ( t2 + 2t + 2) \u003d 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) \u003d 0

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od čimbenika nula. Već smo razmotrili prvi faktor. Pogledajmo drugi:

t2 + 2t + 2 \u003d 0

((t) ^ (2)) + 2t + 2 \u003d 0

Iskusni studenti to su vjerojatno već shvatili ovaj dizajn nema korijena, ali izračunajmo diskriminant.

D \u003d 4−4⋅2 \u003d 4−8 \u003d −4

D \u003d 4-4 \\ cdot 2 \u003d 4-8 \u003d -4

Diskriminant je manji od 0, stoga izraz nema korijena. Ukupno se ogromna konstrukcija svela na uobičajenu jednakost:

\\ [\\ početak (niz) ((35) (l))

t \u003d \\ text () 1 \\\\ tgx \u003d \\ text () 1 \\\\ x \u003d \\ frac (\\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) (4) + \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ tekst () k, k \\ u Z \\\\\\ kraj (niz) \\]

Za kraj bih htio dodati nekoliko napomena o zadnjem zadatku:

1. hoće li uvjet uvijek biti zadovoljen cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0, i vrijedi li uopće provjeriti. Naravno, ne uvijek. U slučajevima kada cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 je rješenje za našu jednakost, trebali biste ga izvaditi iz zagrada i tada će u zagradama ostati punopravna homogena jednadžba.
2. kakva je podjela polinoma na polinom. Doista, većina škola to ne proučava, a kad učenici prvi put vide takvu strukturu, doživljavaju lagani šok. Ali, zapravo je jednostavno i lijepa dobrodošlica, što uvelike olakšava rješenje jednadžbi viši stupnjevi... Naravno, bit će mu posvećen zaseban video tutorial koji ću objaviti u bliskoj budućnosti.

Ključne točke

Homogene trigonometrijske jednadžbe omiljena su tema svih vrsta kontrolni radovi... Riješavaju se vrlo jednostavno - dovoljno je jednom vježbati. Da bi bilo jasno o čemu govorimo, predstavit ćemo novu definiciju.

Homogena trigonometrijska jednadžba je ona u kojoj se svaki nula pojam sastoji od istog broja trigonometrijskih čimbenika. To mogu biti sinusi, kosinusi ili njihove kombinacije - metoda rješenja je uvijek ista.

Stupanj homogene trigonometrijske jednadžbe je broj trigonometrijskih čimbenika uključenih u nula.

sinx + 15 cos x \u003d 0

\\ sin x + 15 \\ text (cos) x \u003d 0 - identitet 1. stupnja;

2 sin2x + 5sinxcosx - 8cos2x \u003d 0

2 \\ text (sin) 2x + 5 \\ sin xcosx-8 \\ cos 2x \u003d 0 - 2. stupanj;

sin3x + 2sinxcos2x \u003d 0

\\ sin 3x + 2 \\ sin x \\ cos 2x \u003d 0 - 3. stupanj;

sinx + cosx \u003d 1

\\ sin x + \\ cos x \u003d 1 - i ova jednadžba nije homogena, budući da je s desne strane jedan - nula pojam, u kojem ne postoje trigonometrijski čimbenici;

sin2x + 2sinx - 3 \u003d 0

\\ sin 2x + 2 \\ sin x-3 \u003d 0 također je nehomogena jednadžba. Element sin2x\\ sin 2x - drugi stupanj (budući da možete predstavljati

sin2x \u003d 2sinxcosx

\\ sin 2x \u003d 2 \\ sin x \\ cos x), 2sinx2 \\ sin x je prvi, a pojam 3 je općenito nula, jer u njemu nema sinusa ni kosinusa.

Opća shema rješenja

Shema rješenja je uvijek ista:

Pretvarajmo se to cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0. Zatim sinx \u003d ± 1\\ sin x \u003d \\ pm 1 - to proizlazi iz glavnog identiteta. Zamjena sinx\\ sin x i cosx\\ cos x na izvorni izraz, a ako je rezultat besmislica (na primjer, izraz 5=0 5 \u003d 0), idite na drugu točku;

Sve dijelimo po snazi \u200b\u200bkosinusa: cosx, cos2x, cos3x ... - ovisi o vrijednosti snage jednadžbe. Dobivamo uobičajenu jednakost s tangentama, koja se uspješno rješava nakon zamjene tgx \u003d t.

tgx \u003d tNađeni korijeni bit će odgovor na izvorni izraz.

U ovom ćemo članku razmotriti način rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi.

Homogene trigonometrijske jednadžbe imaju istu strukturu kao i homogene jednadžbe bilo koje druge vrste. Podsjetit ću vas na način rješavanja homogenih jednadžbi drugog stupnja:

Razmotrimo homogene jednadžbe oblika

Karakteristike homogenih jednadžbi:

a) svi monomi imaju isti stupanj,

b) slobodni pojam je nula,

c) jednadžba sadrži stupnjeve s dvije različite baze.

Homogene jednadžbe rješavaju se pomoću sličnog algoritma.

Da biste riješili jednadžbu ove vrste, podijelite obje strane jednadžbe sa (može se podijeliti sa ili)

Pažnja! Kada dijelite desnu i lijevu stranu jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznato, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti nisu li korijeni izraza kojim dijelimo obje strane jednadžbe korijeni izvorne jednadžbe.

Ako jest, tada zapisujemo taj korijen da ga kasnije ne zaboravimo, a zatim dijelimo ovim izrazom.

Općenito, prije svega, prilikom rješavanja bilo koje jednadžbe na desnoj strani koje ima nulu, morate pokušati proširiti lijeva strana multiplikacijske jednadžbe pristupačan način... A zatim izjednačite svaki faktor s nulom. U ovom slučaju definitivno nećemo izgubiti svoje korijene.

Dakle, pažljivo podijelite lijevu stranu jednadžbe na pojam po pojam. Dobivamo:

Smanji brojnik i nazivnik drugog i trećeg razlomka:

Uvedimo zamjenu:

Dobivamo kvadratna jednadžba:

Riješimo kvadratnu jednadžbu, pronađemo vrijednosti, a zatim se vratimo na izvornu nepoznanicu.

Prilikom rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi imajte na umu nekoliko važnih stvari:

1. Presjek se može pretvoriti u kvadrat sinusa i kosinusa pomoću osnovnog trigonometrijskog identiteta:

2. Sinus i kosinus dvostrukog argumenta monomi su drugog stupnja - sinus dvostrukog argumenta može se lako pretvoriti u umnožak sinusa i kosinusa, a kosinus dvostrukog argumenta - u kvadrat a sinus ili kosinus:

Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi.

jedan . Riješimo jednadžbu:

to klasični primjer homogena trigonometrijska jednadžba prvog stupnja: stupanj svakog monoma jednak je jedinici, slobodni pojam je nula.

Prije dijeljenja obje strane jednadžbe sa, morate provjeriti jesu li korijeni jednadžbe korijeni izvorne jednadžbe. Označite: ako, onda title \u003d "(! LANG: sin (x) 0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Podijelite obje strane jednadžbe sa.

Dobivamo:

gdje

gdje

Odgovor: gdje

2. Riješimo jednadžbu:

Ovo je primjer homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja. Sjetimo se da je preporučljivo to učiniti ako izračunamo lijevu stranu jednadžbe. U ovoj jednadžbi možemo izvaditi zagrade. Učinimo to:

Rješenje prve jednadžbe :, gdje

Druga jednadžba je homogena trigonometrijska jednadžba prvog stupnja. Da bismo je riješili, obje strane jednadžbe dijelimo sa. Dobivamo:

Odgovor: gdje,

3. Riješimo jednadžbu:

Da biste ovu jednadžbu učinili "homogenom", pretvorite je u proizvod i broj 3 predstavite kao zbroj kvadrata sinusa i kosinusa:

Pomaknite sve pojmove ulijevo, proširite zagrade i navedite slične pojmove. Dobivamo:

Faktorizirajte lijevu stranu i svaki faktor postavite na nulu:

Odgovor: gdje,

četiri. Riješimo jednadžbu:

Vidimo što možemo izvaditi iz zagrada. Učinimo to:

Izjednačimo svaki faktor s nulom:

Rješenje prve jednadžbe:

Druga jednadžba stanovništva klasična je homogena jednadžba drugog stupnja. Korijeni jednadžbe nisu korijeni izvorne jednadžbe, pa dijelimo obje strane jednadžbe sa:

Rješenje prve jednadžbe:

Rješenje druge jednadžbe.

Tema lekcije: "Homogene trigonometrijske jednadžbe"

(10. razred)

Svrha: upoznati koncept homogenih trigonometrijskih jednadžbi I i II stupnja; formulirati i razraditi algoritam za rješavanje homogenih trigonometrijskih jednadžbi I i II stupnja; naučiti učenike rješavati homogene trigonometrijske jednadžbe I i II stupnja; razviti sposobnost prepoznavanja obrazaca, generaliziranja; potaknuti zanimanje za tu temu, razviti osjećaj solidarnosti i zdrave konkurencije.

Vrsta lekcije: lekcija u formiranju novih znanja.

Oblik izvođenja: rad u skupinama.

Oprema: računalo, multimedijska instalacija

Tijekom nastave

Organiziranje vremena

Pozdrav studentima, mobilizacija pažnje.

Na lekciji sustav ocjenjivanja za ocjenjivanje znanja (učitelj objašnjava sustav ocjenjivanja znanja, ispunjavajući ocjenjivački list neovisnog stručnjaka kojeg je učitelj odabrao među učenicima). Lekciju prati prezentacija. .

Ažuriranje osnovnih znanja.

Domaću zadaću pregledava i ocjenjuje neovisni stručnjak i savjetnici prije predavanja i ispunjavanja bodovnog lista.

Učitelj sažima domaću zadaću.

Učitelj, nastavnik, profesor: Nastavljamo s proučavanjem teme "Trigonometrijske jednadžbe". Danas ćemo vas u lekciji upoznati s drugom vrstom trigonometrijskih jednadžbi i metodama za njihovo rješavanje, pa ćemo stoga ponoviti naučeno. Prilikom rješavanja svih vrsta trigonometrijskih jednadžbi, oni se svode na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Provjerava se pojedinačna domaća zadaća izvedena u skupinama. Obrana prezentacije "Rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi"

(Rad grupe ocjenjuje neovisni stručnjak)

Motivacija za učenje.

Učitelj, nastavnik, profesor: moramo poraditi na rješavanju križaljke. Riješivši ga, naučit ćemo naziv nove vrste jednadžbi koje ćemo naučiti rješavati danas u lekciji.

Pitanja se projiciraju na ploču. Studenti pretpostavljaju, neovisni ispitivač unosi bodove na ocjenjivački listić za učenike koji odgovaraju.

Riješivši križaljku, momci će pročitati riječ "homogen".

Asimilacija novih znanja.

Učitelj, nastavnik, profesor: Tema lekcije je "Homogene trigonometrijske jednadžbe".

Zapišimo temu lekcije u bilježnicu. Homogene trigonometrijske jednadžbe su prvog i drugog stupnja.

Zapišimo definiciju homogene jednadžbe prvog stupnja. Koristeći primjer, pokazujem rješenje ovakve jednadžbe, vi sastavljate algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja.

Jednadžba oblika isinx + bcosx \u003d 0 naziva se homogena trigonometrijska jednadžba prvog stupnja.

Razmotrimo rješenje jednadžbe kada su koeficijenti i i u različito od 0.

Primjer: sinx + cosx \u003d 0

R podijelivši obje strane pojma jednadžbe s cosx, dobivamo

Pažnja! Podijeliti s 0 moguće je samo ako se ovaj izraz nigdje ne pretvara u 0. Analizirajmo. Ako je kosinus 0, tada će sinus biti jednak 0, s obzirom da se koeficijenti razlikuju od 0, ali znamo da sinus i kosinus nestaju u različitim točkama. Stoga se ova operacija može izvesti pri rješavanju ove vrste jednadžbe.

Algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja: dijeljenje obje strane jednadžbe s cosx, cosx 0

Jednadžba oblika i grijeh mx +b cos mx \u003d 0naziva se i homogenom trigonometrijskom jednadžbom prvog stupnja i također rješava podjelu obje strane jednadžbe kosinusom mh.

Jednadžba oblika a grijeh 2 x +b sinx cosx +c cos2x \u003d 0naziva homogenom trigonometrijskom jednadžbom drugog stupnja.

Primjer : grijeh 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x \u003d 0

Koeficijent a razlikuje se od 0 i stoga, kao i prethodna jednadžba, cosx nije jednak 0, pa stoga možete koristiti metodu dijeljenja obje strane jednadžbe s cos 2 x.

Dobivamo tg 2 x + 2tgx - 3 \u003d 0

Rješavamo uvođenjem nove varijable neka je tgx \u003d a, a zatim dobivamo jednadžbu

a 2 + 2a - 3 \u003d 0

D \u003d 4 - 4 (–3) \u003d 16

a 1 \u003d 1 a 2 \u003d –3

Povratak na zamjenu

Odgovor:

Ako je koeficijent a \u003d 0, tada će jednadžba dobiti oblik 2sinx cosx - 3cos2x \u003d 0 rješavamo iznošenjem zajedničkog faktora cosx izvan zagrada. Ako je koeficijent c \u003d 0, tada će jednadžba dobiti oblik sin2x + 2sinx cosx \u003d 0 rješavamo stavljanjem zajedničkog faktora sinx izvan zagrada. Algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja:

Pogledajte ima li jednadžba asin2 x.

Ako je pojam asin2 x sadržan u jednadžbi (tj. A 0), tada se jednadžba rješava dijeljenjem obje strane jednadžbe s cos2x i uvođenjem nove varijable.

Ako pojam asin2 x nije sadržan u jednadžbi (tj. A \u003d 0), tada se jednadžba rješava metodom faktorizacije: cosx je izvađen iz zagrada. Na isti se način rješavaju homogene jednadžbe oblika a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx \u003d 0

Algoritam za rješavanje homogenih trigonometrijskih jednadžbi zapisan je u udžbeniku na stranici 102.

Tjelesna i zdravstvena kultura

Formiranje vještina za rješavanje homogenih trigonometrijskih jednadžbi

Otvaranje knjiga problema sa stranicom 53

1. i 2. skupina odlučuju pod brojem 361-v

3. i 4. skupina odlučuju pod brojem 363-v

Prikazuju rješenje na ploči, objašnjavaju, dopunjuju. Neovisni stručnjak ocjenjuje.

Rješenje primjera iz problematike br. 361-v
sinx - 3cosx \u003d 0
podijelimo obje strane jednadžbe s cosx 0, dobivamo

Broj 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x \u003d 0
podijelimo obje strane jednadžbe s cos2x, dobivamo tg2x + tgx - 2 \u003d 0

rješavamo uvođenjem nove varijable
neka je tgx \u003d a, tada dobivamo jednadžbu
a2 + a - 2 \u003d 0
D \u003d 9
a1 \u003d 1 a2 \u003d –2
natrag na zamjenu

Samostalan rad.

Riješi jednadžbe.

2 cosx - 2 \u003d 0

2cos2x - 3cosx +1 \u003d 0

3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x \u003d 0

Na kraju samostalnog rada mijenjaju se rad i međusobna provjera. Točni odgovori projiciraju se na ploču.

Tada iznajmljuju neovisni stručnjak.

Rješenje za samostalni rad

Rezimiranje lekcije.

Kakve smo trigonometrijske jednadžbe upoznali na lekciji?

Algoritam za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi prvog i drugog stupnja.

Domaći zadatak: § Pročitajte 20.3. Br. 361 (d), 363 (b), dodatna poteškoća br. 380 (a).

Križaljka.

Ako unesete ispravne riječi, dobit ćete naziv jedne od vrsta trigonometrijskih jednadžbi.

Vrijednost varijable koja čini jednadžbu istinitom? (Korijen)

Jedinica kuta? (Radijan)

Numerički faktor u proizvodu? (Koeficijent)

Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije? (Trigonometrija)

Koji je matematički model potreban za uvođenje trigonometrijskih funkcija? (Krug)

Koja je od trigonometrijskih funkcija parna? (Kosinus)

Kako se naziva ispravna jednakost? (Identitet)

Jednakost s varijablom? (Jednadžba)

Jednadžbe s istim korijenima? (Ekvivalent)

Skup korijena jednadžbe ? (Odluka)

Evaluacijski rad

№
n \\ n

Prezime, ime učitelja

Domaća zadaća

Prezentacija

Kognitivna aktivnost
studija

Rješavanje jednadžbi

Ja
posao

Domaća zadaća - 12 bodova (kod kuće su postavljene 3 jednadžbe 4 x 3 \u003d 12)

Prezentacija - 1 bod

Aktivnost učenika - 1 odgovor - 1 bod (najviše 4 boda)

Rješavanje jednadžbi 1 bod

Samostalni rad - 4 boda

Procjena za grupu:

"5" - 22 boda ili više
"4" - 18 - 21 bod
"3" - 12 - 17 bodova