Obična diferencijalna jednadžba naziva se jednadžbom koja povezuje neovisnu varijablu, nepoznatu funkciju ove varijable i njene izvedenice (ili diferencijale) različitih redoslijeda.

Redoslijed diferencijalne jednadžbe je redoslijed najvišeg derivata koji je u njemu sadržan.

Uz uobičajene, proučavaju se i jednadžbe parcijalnih diferencijala. To su jednadžbe koje povezuju neovisne varijable, nepoznatu funkciju tih varijabli i njene djelomične izvedenice u odnosu na iste varijable. Ali mi ćemo samo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe i zato ćemo za kratkoću izostaviti riječ "običan".

Primjeri diferencijalnih jednadžbi:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Jednadžba (1) četvrtog je reda, jednadžba (2) trećeg je reda, jednadžbe (3) i (4) drugog su reda, a jednadžba (5) prvog reda.

Diferencijalna jednadžba n-ti poredak ne mora sadržavati eksplicitno funkciju, sve njezine izvedenice od prvog do nth reda i neovisne varijable. Ne smije sadržavati eksplicitno izvedenice nekih redoslijeda, funkciju, neovisnu varijablu.

Na primjer, u jednadžbi (1) očito ne postoje izvodi trećeg i drugog reda, kao ni funkcije; u jednadžbi (2) - izvod i funkcija drugog reda; u jednadžbi (4) - neovisna varijabla; u jednadžbi (5) - funkcije. Samo jednadžba (3) sadrži eksplicitno sve izvedenice, funkciju i neovisnu varijablu.

Rješavanjem diferencijalne jednadžbe poziva se bilo koja funkcija y \u003d f (x), kada se supstituira u jednadžbu, postaje identitet.

Proces pronalaženja rješenja za diferencijalnu jednadžbu naziva se integrirajući.

Primjer 1. Pronađite rješenje diferencijalne jednadžbe.

Odluka. Napišimo ovu jednadžbu u oblik. Rješenje je pronaći funkciju po njenom izvodu. Početna funkcija, kao što je poznato iz integralnog računa, je antiderivat za, t.j.

To je to rješenje zadane diferencijalne jednadžbe ... Promjena u njemu C, dobit ćemo razna rješenja. Otkrili smo da postoji beskonačno mnogo rješenja za diferencijalnu jednadžbu prvog reda.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n-th poredak je njegovo rješenje, izraženo eksplicitno s obzirom na nepoznatu funkciju i sadrži n neovisne proizvoljne konstante, t.j.

Rješenje diferencijalne jednadžbe u Primjeru 1 je generičko.

Određenim rješenjem diferencijalne jednadžbe naziva se njegovo rješenje u kojem se određene numeričke vrijednosti dodjeljuju proizvoljnim konstantama.

Primjer 2. Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe i određeno rješenje za .

Odluka. Obje strane jednadžbe integriramo onoliko puta koliko je redoslijed diferencijalne jednadžbe.

,

.

Kao rezultat, dobili smo opće rješenje -

ove diferencijalne jednadžbe trećeg reda.

Sada ćemo pronaći određeno rješenje pod navedenim uvjetima. Da biste to učinili, zamijenite njihove vrijednosti umjesto proizvoljnih koeficijenata i dobijte

.

Ako se uz diferencijalnu jednadžbu u obliku navede i početni uvjet, tada se takav problem naziva problem Cauchyja ... Vrijednosti i zamjenjuju se u općenitom rješenju jednadžbe i pronalazi se vrijednost proizvoljne konstante C, a zatim određeno rješenje jednadžbe za pronađenu vrijednost C... Ovo je rješenje problema Cauchyja.

Primjer 3. Riješite Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu iz primjera 1 pod uvjetom.

Odluka. Zamijenimo u opće rješenje vrijednosti iz početnog uvjeta g = 3, x \u003d 1. Dobivamo

Zapisujemo rješenje problema Cauchyja za zadanu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi, čak i najjednostavnijih, zahtijeva dobre vještine integriranja i uzimanja izvoda, uključujući složene funkcije. To se može vidjeti na sljedećem primjeru.

Primjer 4. Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Odluka. Jednadžba je napisana na takav način da možete odmah integrirati obje njene strane.

.

Primjenjujemo metodu integracije promjenjivom promjenom (supstitucijom). Neka onda.

Potrebno je uzeti dx i sada - pažnja - to činimo prema pravilima razlikovanja složene funkcije, budući da x i postoji složena funkcija ("jabuka" je izdvajanje kvadratnog korijena ili, što je ista stvar, potenciranje "jedne polovice", a "mljeveno meso" je sam izraz pod korijenom):

Pronađite integral:

Povratak na varijablu x, dobivamo:

.

Ovo je opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe prvog stupnja.

U rješavanju diferencijalnih jednadžbi neće biti potrebne samo vještine iz prethodnih odjeljaka više matematike, već i vještine iz osnovne, odnosno školske matematike. Kao što je već spomenuto, u diferencijalnoj jednadžbi bilo kojeg reda ne može postojati neovisna varijabla, odnosno varijabla x... Znanje o proporciji, koje se ne zaboravlja (usput, za koga kako) iz škole, pomoći će u rješavanju ovog problema. Ovo je sljedeći primjer.

Diferencijalne jednadžbe (DE). Te dvije riječi obično preplaše prosječnog laika. Mnogo učenika se diferencijalne jednadžbe čine kao nešto nečuveno i teško za naučiti. Uuuuuuu ... diferencijalne jednadžbe, kako mogu sve to preživjeti?!

Ovo mišljenje i ovaj stav u osnovi su pogrešni, jer zapravo RAZLIČITE JEDNAČENJE SU JEDNOSTAVNE I ČAK ZABAVNE... Što trebate znati i znati kako biste naučili rješavati diferencijalne jednadžbe? Da biste uspješno proučavali difuru, morate biti dobri u integriranju i razlikovanju. Što se bolje proučavaju teme Izvedenica funkcije jedne varijable i Neodređeni integral, lakše će biti razumjeti diferencijalne jednadžbe. Reći ću više, ako imate više ili manje pristojne vještine integracije, onda je tema praktično svladana! Što više integrala raznih vrsta možete riješiti, to bolje. Zašto? Jer morate puno integrirati. I razlikovati. Također visoko preporučeno naučiti pronaći izvod implicitne funkcije.

U 95% slučajeva u testovima se susreću 3 vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda: jednadžbe s odvojivim varijablama, koje ćemo razmotriti u ovoj lekciji; homogene jednadžbe i linearne nehomogene jednadžbe... Za početnike u difuziji, savjetujem vam da lekcije pročitate ovim redoslijedom. Postoje još rjeđe vrste diferencijalnih jednadžbi: ukupne diferencijalne jednadžbe, bernoullijeve jednadžbe i neki drugi. Najvažnije od posljednje dvije vrste su jednadžbe u ukupnim diferencijalima, budući da uz ovu DE razmatram novi materijal - djelomičnu integraciju.

Sjetimo se prvo uobičajenih jednadžbi. Sadrže varijable i brojeve. Najjednostavniji primjer :. Što znači rješavati običnu jednadžbu? To znači pronaći puno brojevakoji zadovoljavaju ovu jednadžbu. Lako je vidjeti da dječja jednadžba ima jedan korijen :. Iz zabave, napravimo provjeru, zamijenimo pronađeni korijen u našu jednadžbu:

- dobiva se točna jednakost, što znači da je rješenje pravilno pronađeno.

Razlike su slične!

Diferencijalna jednadžba prva narudžba, sadrži:
1) neovisna varijabla;
2) ovisna varijabla (funkcija);
3) prva izvedenica funkcije :.

U nekim slučajevima u jednadžbi prvog reda može nedostajati "x" ili (i) "game" - važno tako da u DU bila prva izvedenica i nisu imali derivati \u200b\u200bviših redova - itd.

Što znači ?Rješavanje diferencijalne jednadžbe znači pronalaženje mnoge funkcije koji zadovoljavaju ovu jednadžbu. Taj se skup funkcija naziva opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Primjer 1

Riješiti diferencijalnu jednadžbu

Potpuno streljivo. Gdje započeti rješavanje bilo koje diferencijalne jednadžbe prvog reda?

Prije svega, derivat morate prepisati u nešto drugačijem obliku. Sjetite se glomaznog zapisa za izvedenicu :. Ova oznaka izvedenice mnogima od vas vjerojatno se činila smiješnom i nepotrebnom, ali upravo ona vlada difuzijom!

Dakle, u prvoj fazi prepisujemo izvedenicu u obliku koji nam treba:

U drugoj fazi je uvijek vidi je li to moguće podijeljene varijable? Što znači podijeliti varijable? Grubo govoreći, na lijevo moramo otići samo "igrači", i s desne strane organizirati samo "x"... Razdvajanje varijabli vrši se pomoću "školskih" manipulacija: zagrada, prijenos pojmova iz dijela u dio s promjenom predznaka, prijenos čimbenika iz dijela u dio prema pravilu proporcije itd.

Diferencijali i punopravni su multiplikatori i aktivni sudionici neprijateljstava. U primjeru koji se razmatra, varijable se lako razdvajaju prebacivanjem čimbenika prema pravilu proporcije:

Varijable su odvojene. Na lijevoj strani su samo "igre", na desnoj strani samo "X".

Sljedeća razina - integriranje diferencijalne jednadžbe... Jednostavno je, objesimo integrale s obje strane:

Naravno, moraju se uzeti integrali. U ovom su slučaju tabelarni:

Kao što se sjećamo, konstanta se dodjeljuje bilo kojem antiderivativu. Postoje dva integrala, ali dovoljno je jednom zapisati konstantu. Gotovo uvijek se pripisuje desnoj strani.

Strogo govoreći, nakon što se preuzmu integrali, diferencijalna se jednadžba smatra riješenom. Jedino što se naša „igra“ ne izražava kroz „x“, odnosno rješenje je predstavljeno implicitno oblik. Rješenje diferencijalne jednadžbe u implicitnom obliku naziva se opći integral diferencijalne jednadžbe... Odnosno, to je opći integral.

Sada moramo pokušati pronaći općenito rješenje, odnosno pokušati eksplicitno predstaviti funkciju.

Zapamtite prvu tehniku, ona je vrlo česta i često se koristi u vježbama. Kad se logaritam pojavi s desne strane nakon integracije, gotovo je uvijek poželjno zapisati i konstantu ispod logaritma.

Tj. umjesto togaunosi su obično napisani .

Ovdje je ista punopravna konstanta kao. Zašto je to potrebno? A kako bi bilo lakše izraziti „igru“. Koristimo školsko svojstvo logaritama: ... U ovom slučaju:

Sada se logaritmi i moduli mogu mirne savjesti ukloniti iz oba dijela:

Funkcija je predstavljena eksplicitno. Ovo je opće rješenje.

Puno funkcija je opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Davanjem konstante različitih vrijednosti možete dobiti beskonačno mnogo privatna rješenja diferencijalna jednadžba. Bilo koja od funkcija, itd. zadovoljit će diferencijalnu jednadžbu.

Općenito rješenje se ponekad naziva obitelj funkcija... U ovom je primjeru opće rješenje Je li obitelj linearnih funkcija, ili točnije, obitelj izravnih proporcija.

Mnoge diferencijalne jednadžbe prilično je jednostavno testirati. To se radi vrlo jednostavno, uzmemo pronađeno rješenje i pronađemo izvedenicu:

Naše rješenje i pronađeni derivat zamjenjujemo izvornom jednadžbom:

- dobiva se točna jednakost, što znači da je rješenje pravilno pronađeno. Drugim riječima, opće rješenje zadovoljava jednadžbu.

Nakon temeljitog prožvakanja prvog primjera, prikladno je odgovoriti na nekoliko naivnih pitanja o diferencijalnim jednadžbama.

1) U ovom smo primjeru uspjeli podijeliti varijable :. Može li se to uvijek učiniti? Ne uvijek. Još se češće varijable ne mogu podijeliti. Na primjer, u homogene jednadžbe prvog reda, prvo morate zamijeniti. U drugim vrstama jednadžbi, na primjer, u linearnoj nehomogenoj jednadžbi prvog reda, trebate koristiti razne tehnike i metode kako biste pronašli opće rješenje. Jednadžbe koje se mogu razdvojiti i koje razmatramo u prvoj lekciji su najjednostavniji tip diferencijalnih jednadžbi.

2) Je li uvijek moguće integrirati diferencijalnu jednadžbu? Ne uvijek. Vrlo je lako doći do "fensi" jednadžbe koja se ne može integrirati, uz to postoje i ne trivijalni integrali. Ali takvi DE mogu se riješiti približno pomoću posebnih metoda. Jamstvo D'Alemberta i Cauchyja. ... uf, lurkmore.ru samo sam puno čitao.

3) U ovom smo primjeru dobili rješenje u obliku općeg integrala ... Je li uvijek moguće pronaći opće rješenje iz općeg integrala, odnosno izraziti "igru" u eksplicitnom obliku? Ne uvijek. Na primjer: . Pa, kako mogu izraziti "igru"?! U takvim slučajevima odgovor bi trebao biti napisan kao opći integral. Osim toga, ponekad se može naći i opće rješenje, ali napisano je toliko glomazno i \u200b\u200bnespretno da je odgovor bolje ostaviti u obliku općeg integrala

Ne žurimo. Još jedno jednostavno daljinsko upravljanje i još jedno tipično rješenje.

Primjer 2

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koja zadovoljava početni uvjet

Prema stanju, morate pronaći privatno rješenje DE koji zadovoljava početni uvjet. To se pitanje također naziva problem Cauchyja.

Prvo pronalazimo opće rješenje. U jednadžbi nema varijable "x", ali to ne bi trebalo zbuniti, glavno je da sadrži prvu izvedenicu.

Derivat prepisujemo u traženi oblik:

Očito je da se varijable mogu podijeliti, dječaci lijevo, djevojčice desno:

Integriramo jednadžbu:

Dobiva se opći integral. Ovdje sam nacrtao konstantu s natpisom zvjezdicom, činjenica je da će se vrlo brzo pretvoriti u drugu konstantu.

Sada pokušavamo transformirati opći integral u opće rješenje (eksplicitno izrazite "igru"). Sjećamo se stare, dobre škole: ... U ovom slučaju:

Konstanta u indikatoru izgleda nekako ne-košer, pa se obično spušta s neba na zemlju. U detalje se događa ovako. Koristeći svojstvo power, funkciju prepisujemo na sljedeći način:

Ako je konstanta, onda je to i neka konstanta koju označavamo slovom:

Sjetite se "zanosa" konstante, ovo je druga tehnika koja se često koristi pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi.

Dakle, općenito rješenje je :. Takva je lijepa obitelj eksponencijalnih funkcija.

U završnoj fazi potrebno je pronaći određeno rješenje koje zadovoljava zadani početni uvjet. I to je lako.

Koji je zadatak? Trebate pokupiti takav vrijednost konstante koja zadovoljava navedeni početni uvjet.

Možete dizajnirati na različite načine, ali možda će biti najrazumljivije. U općenitom rješenju, umjesto "x", zamjenjujemo nulu, a umjesto "igre" dvije:



Tj.

Verzija standardnog dizajna:

Pronađenu konstantnu vrijednost zamjenjujemo u općenito rješenje:
- ovo je posebno rješenje koje nam treba.

Provjerimo. Provjera privatnog rješenja uključuje dvije faze.

Prvo je potrebno provjeriti zadovoljava li pronađeno određeno rješenje stvarno početni uvjet? Umjesto "x", zamijenite nulu i pogledajte što će se dogoditi:
- da, zaista, dobiva se dvojka, što znači da je početni uvjet ispunjen.

Druga faza je već poznata. Uzmemo rezultirajuće određeno rješenje i pronađemo izvedenicu:

Zamjena u izvornoj jednadžbi:

- dobiva se točna jednakost.

Zaključak: određeno rješenje je ispravno pronađeno.

Prijelaz na značajnije primjere.

Primjer 3

Riješiti diferencijalnu jednadžbu

Odluka: Derivat prepisujemo u potrebnom obliku:

Procjena može li se varijable podijeliti? Limenka. Drugi pojam prenosimo na desnu stranu s promjenom znaka:

A množitelje bacamo prema pravilu proporcije:

Varijable su odvojene, integriramo oba dijela:

Moram vas upozoriti, dolazi sudnji dan. Ako niste dobro učili neodređeni integrali, riješili su nekoliko primjera, onda se nema kamo - morat ćete ih sada svladati.

Integral lijeve strane lako je pronaći, s integralom kotangensa možemo se nositi standardnom tehnikom koju smo razmotrili u lekciji Integracija trigonometrijskih funkcija Prošle godine:

S desne strane dobili smo logaritam, prema mojoj prvoj tehničkoj preporuci, u ovom slučaju konstanta bi također trebala biti napisana ispod logaritma.

Pokušajmo sada pojednostaviti opći integral. Budući da imamo iste logaritme, sasvim ih je moguće (i potrebno) riješiti se. Spakiramo logaritme što je više moguće. Pakiranje se vrši pomoću tri svojstva:

Molimo prepišite ove tri formule u svoju radnu knjigu, vrlo se često koriste pri rješavanju difuznih promjena.

Zapisat ću rješenje vrlo detaljno:

Pakiranje je završeno, uklanjamo logaritme:

Možete li izraziti "igru"? Limenka. Obje strane moraju biti u kvadratu. Ali ovo ne trebaš raditi.

Treći tehnički savjet: Ako je za postizanje općeg rješenja potrebno podići u moć ili izvući korijenje, onda u većini slučajeva treba se suzdržati od tih radnji i odgovor ostaviti u obliku općeg integrala. Činjenica je da će opće rješenje izgledati pretenciozno i \u200b\u200bgrozno - s velikim korijenima, znakovima.

Stoga odgovor zapisujemo u obliku općeg integrala. Smatra se dobrom praksom predstavljanje općeg integrala u obliku, odnosno na desnoj strani, ako je moguće, ostavite samo konstantu. Nije potrebno to raditi, ali uvijek je korisno ugoditi profesoru ;-)

Odgovor: opći integral:

Bilješka: opći integral bilo koje jednadžbe može se napisati na više načina. Dakle, ako se vaš rezultat ne podudara s prethodno poznatim odgovorom, to ne znači da ste jednadžbu pogrešno riješili.

Općeniti integral također se provjerava prilično lako, glavno je da ga možete pronaći izvodi implicitne funkcije... Razlikovanje odgovora:

Množimo oba pojma sa:

I dijelimo na:

Izvorna diferencijalna jednadžba točno je dobivena, što znači da je opći integral pravilno pronađen.

Primjer 4

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet. Ček.

Ovo je primjer za "uradi sam" rješenje. Podsjećam da se problem Cauchyja sastoji od dvije faze:
1) Pronalaženje općeg rješenja.
2) Pronalaženje privatnog rješenja.

Provjera se također provodi u dvije faze (pogledajte također primjer Primjera 2), trebate:
1) Uvjerite se da pronađeno određeno rješenje stvarno zadovoljava početni uvjet.
2) Provjerite zadovoljava li određeno rješenje općenito diferencijalnu jednadžbu.

Cjelovito rješenje i odgovor na kraju vodiča.

Primjer 5

Pronađite određeno rješenje za diferencijalnu jednadžbu zadovoljavajući početni uvjet. Ček.

Odluka:Prvo pronalazimo opće rješenje.Ova jednadžba već sadrži gotove diferencijale i stoga je rješenje pojednostavljeno. Razdvajanje varijabli:

Integriramo jednadžbu:

Integral s lijeve strane je tablični, uzima se integral s desne strane metodom dovođenja funkcije pod diferencijalni znak:

Dobiva se opći integral, je li moguće uspješno izraziti opće rješenje? Limenka. Objesimo logaritme:

(Nadam se da svi razumiju transformaciju, takve bi stvari već trebale biti poznate)

Dakle, opće rješenje je:

Pronađimo određeno rješenje koje odgovara zadanom početnom stanju. U općenitom rješenju, umjesto "x" zamjenjujemo nulu, a umjesto "igre" logaritam dva:

Poznatiji dizajn:

Pronađenu vrijednost konstante zamjenjujemo općim rješenjem.

Odgovor: privatno rješenje:

Provjera: Prvo provjerimo je li ispunjen početni uvjet:
- sve je dobro.

Sada provjerimo zadovoljava li pronađeno određeno rješenje općenito diferencijalnu jednadžbu. Pronađite izvedenicu:

Gledamo izvornu jednadžbu: - predstavljen je u diferencijalima. Postoje dva načina provjere. Moguće je izraziti diferencijal od pronađene izvedenice:

Zamijeni pronađeno određeno rješenje i rezultirajući diferencijal u izvornu jednadžbu :

Koristimo osnovni logaritamski identitet:

Dobiva se točna jednakost, što znači da je određeno rješenje točno pronađeno.

Drugi način provjere zrcalni je i poznatiji: iz jednadžbe izražavamo izvedenicu, za to dijelimo sve dijelove sa:

A u transformiranom DE zamjenjujemo dobiveno određeno rješenje i izvedeni derivat. Kao rezultat pojednostavljenja trebala bi se dobiti i točna jednakost.

Primjer 6

Riješi diferencijalnu jednadžbu. Odgovor je predstavljen u obliku općeg integrala.

Ovo je samostalni primjer, cjelovito rješenje i odgovor na kraju vodiča.

Koje poteškoće čekaju pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi s odvojivim varijablama?

1) Nije uvijek očito (posebno čajniku) da se varijable mogu dijeliti. Razmotrimo uvjetni primjer :. Ovdje trebate izvršiti faktoring iz zagrada: i odvojiti korijene :. Kako dalje, jasno je.

2) Poteškoće u samoj integraciji. Integrali često nisu najjednostavniji i ako postoje nedostaci u vještinama pronalaženja neodređeni integral, tada će mnoge difuzije biti teške. Osim toga, među sastavljačima zbirki i priručnika logika je popularna "budući da je diferencijalna jednadžba jednostavna, onda neka integrali budu složeniji".

3) Konverzije s konstantom. Kao što su svi primijetili, u diferencijalnim jednadžbama s konstantom možete učiniti gotovo sve. A takve transformacije početniku nisu uvijek jasne. Razmotrimo još jedan uvjetni primjer: ... U njemu je uputno pomnožiti sve pojmove s 2: ... Rezultirajuća konstanta je također neka vrsta konstante, koja se može označiti sa: ... Da, i budući da je logaritam s desne strane, preporučljivo je konstantu prepisati u obliku druge konstante: .

Nevolja je u tome što se oni često ne zamaraju indeksima i koriste isto slovo. Kao rezultat, zapis odluke ima sljedeći oblik:

Koji je ovo vrag? Ima i pogrešaka. Formalno, da. I neformalno - nema pogreške, podrazumijeva se da se prilikom pretvaranja konstante još uvijek dobije neka druga konstanta.

Ili takav primjer, pretpostavimo da se tijekom rješavanja jednadžbe dobije opći integral. Ovaj odgovor izgleda ružno, pa je poželjno promijeniti znakove svih čimbenika: ... Formalno, na evidenciji, ovdje opet postoji pogreška, trebala je biti zapisana. Ali neformalno se misli da je to ipak neka druga konstanta (utoliko više što može poprimiti bilo koju vrijednost), stoga promjena predznaka konstante nema nikakvog smisla i možete koristiti isto slovo.

Pokušat ću izbjeći aljkavi pristup, a konstantama ću i dalje dodijeliti različite indekse prilikom njihovog pretvaranja.

Primjer 7

Riješi diferencijalnu jednadžbu. Ček.

Odluka: Ova jednadžba omogućuje razdvajanje varijabli. Razdvajanje varijabli:

Mi integriramo:

Ovdje nije potrebno definirati konstantu kao logaritam, jer iz toga neće proizaći ništa dobro.

Odgovor: opći integral:

Provjera: Razlikovati odgovor (implicitna funkcija):

Riješimo se razlomka, za to množimo oba pojma sa:

Dobiva se izvorna diferencijalna jednadžba, što znači da je opći integral pravilno pronađen.

Primjer 8

Pronađite privatno rješenje daljinskog upravljača.
,

Ovo je primjer za "uradi sam" rješenje. Jedini komentar je da ovdje dobivate opći integral i, točnije, morate izmisliti da ne pronađete određeno rješenje, već djelomični integral... Cjelovito rješenje i odgovor na kraju vodiča.

Kao što je već napomenuto, u difuzijama s odvojivim varijablama često se pojavljuju ne baš jednostavni integrali. I evo nekoliko takvih primjera za neovisno rješenje. Preporučujem svima da riješe primjere 9-10, bez obzira na razinu obuke, ovo će ažurirati vještine pronalaženja integrala ili popuniti praznine u znanju.

Primjer 9

Riješiti diferencijalnu jednadžbu

Primjer 10

Riješiti diferencijalnu jednadžbu

Imajte na umu da postoji više načina za pisanje općeg integrala, a izgled vaših odgovora može se razlikovati od izgleda mojih odgovora. Kratki tijek rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Uspješna promocija!

Primjer 4:Odluka: Pronađimo opće rješenje. Razdvajanje varijabli:


Mi integriramo:



Dobiva se opći integral, pokušavamo ga pojednostaviti. Spakiramo logaritme i riješimo ih se:

I. Obične diferencijalne jednadžbe

1.1. Osnovni pojmovi i definicije

Diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje neovisnu varijablu x, potrebna funkcija g i njegovih derivata ili diferencijala.

Simbolička diferencijalna jednadžba napisana je kako slijedi:

F (x, y, y ") \u003d 0, F (x, y, y") \u003d 0, F (x, y, y ", y", .., y (n)) \u003d 0

Diferencijalna jednadžba naziva se običnom ako željena funkcija ovisi o jednoj neovisnoj varijabli.

Rješavanjem diferencijalne jednadžbe naziva se funkcijom koja ovu jednadžbu pretvara u identitet.

Redoslijed diferencijalne jednadžbe je redoslijed najvišeg izvoda koji ulazi u ovu jednadžbu

Primjeri.

1. Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu prvog reda

Rješenje ove jednadžbe je funkcija y \u003d 5 ln x. Doista, zamjena y " u jednadžbu dobivamo - identitet.

A to znači da je funkcija y \u003d 5 ln x– rješenje ove diferencijalne jednadžbe.

2. Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu drugog reda y "- 5y" + 6y \u003d 0... Funkcija je rješenje ove jednadžbe.

Doista,.

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu dobivamo :, - identitet.

A to znači da je funkcija rješenje ove diferencijalne jednadžbe.

Integracija diferencijalnih jednadžbi naziva se postupak pronalaženja rješenja za diferencijalne jednadžbe.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe naziva se funkcijom oblika , koji uključuje onoliko neovisnih proizvoljnih konstanti koliko je redoslijed jednadžbe.

Posebno rješenje diferencijalne jednadžbe naziva se rješenje dobiveno iz općeg rješenja za različite numeričke vrijednosti proizvoljnih konstanti. Vrijednosti proizvoljnih konstanti nalaze se kod određenih početnih vrijednosti argumenta i funkcije.

Nazvan je graf određenog rješenja diferencijalne jednadžbe integralna krivulja.

Primjeri

1. Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda

xdx + ydy \u003d 0, ako a g\u003d 4 at x = 3.

Odluka. Dobivamo integriranje obje strane jednadžbe

Komentar. Proizvoljna konstanta C, dobivena kao rezultat integracije, može se predstaviti u bilo kojem obliku prikladnom za daljnje transformacije. U ovom je slučaju, uzimajući u obzir kanonsku jednadžbu kružnice, prikladno prikazati proizvoljnu konstantu C u obliku.

- opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Posebno rješenje jednadžbe koja zadovoljava početne uvjete g \u003d 4 at x \u003d 3 nalazi se iz opće zamjene početnih uvjeta u opće rješenje: 3 2 + 4 2 \u003d C 2; C \u003d 5.

Zamjenom C \u003d 5 u opće rješenje dobivamo x 2 + y 2 = 5 2 .

Ovo je posebno rješenje diferencijalne jednadžbe dobiveno iz općeg rješenja za zadane početne uvjete.

2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe

Rješenje ove jednadžbe je bilo koja funkcija oblika, gdje je C proizvoljna konstanta. Doista, zamjenjujući u jednadžbe, dobivamo:,.

Slijedom toga, ova diferencijalna jednadžba ima beskonačan skup rješenja, jer za različite vrijednosti konstante C jednakost određuje različita rješenja jednadžbe.

Na primjer, izravnom zamjenom može se osigurati da funkcije su rješenja jednadžbe.

Problem u kojem je potrebno pronaći određeno rješenje jednadžbe y "\u003d f (x, y) zadovoljavajući početni uvjet y (x 0) \u003d y 0naziva se Cauchyjev problem.

Rješenje jednadžbe y "\u003d f (x, y)zadovoljavajući početni uvjet, y (x 0) \u003d y 0, naziva se rješenjem problema Cauchyja.

Rješenje problema Cauchy ima jednostavno geometrijsko značenje. Doista, prema tim definicijama, riješiti problem Cauchyja y "\u003d f (x, y) s obzirom na to y (x 0) \u003d y 0, znači pronaći integralnu krivulju jednadžbe y "\u003d f (x, y) koja prolazi kroz zadanu točku M 0 (x 0,y 0).

II. Diferencijalne jednadžbe prvog reda

2.1. Osnovni koncepti

Diferencijalna jednadžba prvog reda jednadžba je oblika F (x, y, y ") \u003d 0.

Diferencijalna jednadžba prvog reda uključuje prvu izvedenicu i ne uključuje izvedenice višeg reda.

Jednadžba y "\u003d f (x, y) naziva se jednadžbom prvog reda razriješenom s obzirom na izvedenicu.

Općenito rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda funkcija je oblika koji sadrži jednu proizvoljnu konstantu.

Primjer.Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu prvog reda.

Rješenje ove jednadžbe je funkcija.

Doista, zamjenjujući u ovoj jednadžbi njezinu vrijednost, dobivamo

tj 3x \u003d 3x

Stoga je funkcija općenito rješenje jednadžbe za bilo koju konstantu C.

Pronađite određeno rješenje ove jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet y (1) \u003d 1 Zamjena početnih uvjeta x \u003d 1, y \u003d 1 u opće rješenje jednadžbe, dobivamo odakle C \u003d 0.

Dakle, dobivamo određeno rješenje iz općeg zamjenom dobivene vrijednosti u ovu jednadžbu C \u003d 0 - privatno rješenje.

2.2. Razdvojne diferencijalne jednadžbe

Diferencijalna jednadžba s odvojivim varijablama jednadžba je oblika: y "\u003d f (x) g (y) ili putem diferencijala, gdje f (x) i g (g)- određene funkcije.

Za one g, za koju, jednadžba y "\u003d f (x) g (y) jednaka je jednadžbi, u kojem varijabla g je prisutan samo na lijevoj strani, a varijabla x samo na desnoj strani. Kažu, „u jednadžbi y "\u003d f (x) g (y podijelimo varijable. "

Jednadžba oblika naziva se jednadžbom s odvojenim varijablama.

Integriranje obje strane jednadžbe po x, shvaćamo G (y) \u003d F (x) + CJe li opće rješenje jednadžbe, gdje G (y) i Ž (x) - neki antiderivativi funkcija i f (x), C proizvoljna konstanta.

Algoritam rješavanja diferencijalne jednadžbe prvog reda s odvojivim varijablama

Primjer 1

Riješi jednadžbu y "\u003d xy

Odluka. Izvedena funkcija y " zamijeniti s

podijeliti varijable

integrirati obje strane jednakosti:

Primjer 2

2gg "\u003d 1 - 3x 2, ako a y 0 \u003d 3 na x 0 \u003d 1

Ovo je odvojena varijabilna jednadžba. Predstavimo to u diferencijalima. Da bismo to učinili, ovu jednadžbu prepisujemo u oblik Odavde

Utvrđujemo obje strane posljednje jednakosti

Zamjena početnih vrijednosti x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3pronaći IZ 9=1-1+C, tj. C \u003d 9.

Stoga će željeni parcijalni integral biti ili

Primjer 3

Izjednačite krivulju kroz točku M (2; -3) i ima tangentu s nagibom

Odluka. Prema stanju

Ovo je odvojiva jednadžba. Podjelom varijabli dobivamo:

Integriranjem obje strane jednadžbe dobivamo:

Koristeći početne uvjete, x \u003d 2 i y \u003d - 3 pronaći C:

Stoga tražena jednadžba ima oblik

2.3. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda jednadžba je oblika y "\u003d f (x) y + g (x)

gdje f (x) i g (x) - neke unaprijed postavljene funkcije.

Ako je a g (x) \u003d 0tada se linearna diferencijalna jednadžba naziva homogenom i ima oblik: y "\u003d f (x) y

Ako je onda jednadžba y "\u003d f (x) y + g (x) naziva heterogenim.

Opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe y "\u003d f (x) y dana je formulom: gdje IZ Je li proizvoljna konstanta.

Konkretno, ako C \u003d 0,onda je rješenje y \u003d 0 Ako linearna homogena jednadžba ima oblik y "\u003d ky Gdje k - neka konstanta, tada njezino opće rješenje ima oblik :.

Opće rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe y "\u003d f (x) y + g (x) dana je formulom ,

oni. jednak je zbroju općeg rješenja odgovarajuće linearne homogene jednadžbe i određenog rješenja ove jednadžbe.

Za linearnu nehomogenu jednadžbu oblika y "\u003d kx + b,

gdje k i b- neki će brojevi i konstantna funkcija biti posebno rješenje. Stoga je opće rješenje.

Primjer... Riješi jednadžbu y "+ 2y +3 \u003d 0

Odluka. Jednadžbu predstavljamo u obliku y "\u003d -2y - 3 Gdje k \u003d -2, b \u003d -3 Opće rješenje daje formula.

Prema tome, gdje je C proizvoljna konstanta.

2.4. Rješenje linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda Bernoullijevom metodom

Pronalaženje općeg rješenja linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda y "\u003d f (x) y + g (x) se svodi na rješavanje dviju diferencijalnih jednadžbi s odvojenim varijablama pomoću supstitucije y \u003d uvgdje u i v - nepoznate funkcije iz x... Ova metoda rješenja naziva se Bernoullijeva metoda.

Algoritam za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. Uvesti zamjenu y \u003d uv.

2. Diferencirajte ovu jednakost y "\u003d u" v + uv "

3. Zamjena g i y " u ovu jednadžbu: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)ili u "v + uv" + f (x) uv \u003d g (x).

4. Grupirajte pojmove jednadžbe tako da u staviti iz zagrada:

5. Iz zagrade, izjednačujući je s nulom, pronađite funkciju

Ovo je odvojiva jednadžba:

Podijelimo varijable i dobijmo:

Odakle . .

6. Zamijenite dobivenu vrijednost vu jednadžbu (iz točke 4.):

i pronađite funkciju Ovo je odvojiva jednadžba:

7. Opće rješenje zapišite u obrazac: , tj. ...

Primjer 1

Pronađite određeno rješenje jednadžbe y "\u003d -2y +3 \u003d 0 ako a y \u003d 1 na x \u003d 0

Odluka. Riješimo to pomoću zamjene y \u003d uv,.y "\u003d u" v + uv "

Zamjena gi y " u ovu jednadžbu, dobivamo

Grupirajući drugi i treći član na lijevoj strani jednadžbe, izvadimo zajednički faktor u iz zagrada

Izraz u zagradama izjednačen je s nulom i, riješivši rezultirajuću jednadžbu, nalazimo funkciju v \u003d v (x)

Primio jednadžbu s odvojenim varijablama. Integriramo obje strane ove jednadžbe: Pronađite funkciju v:

Zamijenite rezultirajuću vrijednost v u jednadžbu Dobivamo:

Ovo je jednadžba s odvojenim varijablama. Integriramo obje strane jednadžbe: Pronađite funkciju u \u003d u (x, c) Pronađimo opće rješenje: Pronađimo određeno rješenje jednadžbe koje zadovoljava početne uvjete y \u003d 1 na x \u003d 0:

III. Diferencijalne jednadžbe višeg reda

3.1. Osnovni pojmovi i definicije

Diferencijalna jednadžba drugog reda je jednadžba koja sadrži derivate koji nisu veći od drugog reda. U općenitom slučaju diferencijalna jednadžba drugog reda zapisuje se u obliku: F (x, y, y ", y") \u003d 0

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda funkcija je oblika koji uključuje dvije proizvoljne konstante C 1 i C 2.

Djelomično rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda je rješenje dobiveno iz opće za neke vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 i C 2.

3.2. Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantni koeficijenti.

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima naziva se jednadžbom oblika y "+ py" + qy \u003d 0gdje stri q- konstantne vrijednosti.

Algoritam za rješavanje homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda s konstantnim koeficijentima

1. Diferencijalnu jednadžbu zapišite u obliku: y "+ py" + qy \u003d 0.

2. Sastavite njegovu karakterističnu jednadžbu, koja označava y " preko r 2, y " preko r, gu 1: r 2 + pr + q \u003d 0

Sadržaj članka

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE.Mnogi fizikalni zakoni, koji se pokoravaju određenim pojavama, napisani su u obliku matematičke jednadžbe koja izražava određeni odnos između nekih veličina. Često govorimo o odnosu između vrijednosti koje se vremenom mijenjaju, na primjer, ekonomičnost motora, mjerena udaljenostom koju automobil može prijeći na jednoj litri goriva, ovisi o brzini automobila. Odgovarajuća jednadžba sadrži jednu ili više funkcija i njihove izvode i naziva se diferencijalna jednadžba. (Brzina promjene udaljenosti tijekom vremena određuje se brzinom; stoga je brzina izvedenica udaljenosti; slično je ubrzanje izvedenica brzine, jer ubrzanje postavlja brzinu promjene brzine tijekom vremena.) Diferencijalne jednadžbe su velike Značaj za matematiku, a posebno za njezinu primjenu, objašnjavaju se činjenicom da se proučavanje mnogih fizičkih i tehničkih problema svodi na rješenje takvih jednadžbi. Diferencijalne jednadžbe igraju bitnu ulogu i u drugim znanostima, poput biologije, ekonomije i elektrotehnike; zapravo nastaju svugdje gdje postoji potreba za kvantitativnim (numeričkim) opisom pojava (čim se okolni svijet vremenom promijeni, a uvjeti promijene s jednog mjesta na drugo).

Primjeri.

Sljedeći primjeri pružaju bolje razumijevanje načina formuliranja različitih problema u jeziku diferencijalnih jednadžbi.

1) Zakon propadanja nekih radioaktivnih tvari je da je brzina raspadanja proporcionalna raspoloživoj količini ove tvari. Ako je a x - količina tvari u određenom trenutku t, tada se ovaj zakon može napisati na sljedeći način:

gdje dx/dt Je li stopa propadanja, i k - neka pozitivna konstanta koja karakterizira datu tvar. (Znak minus s desne strane to ukazuje x s vremenom opada; znak plus, koji se uvijek podrazumijeva kad nijedan znak nije izričito naznačen, to bi značio x s vremenom se povećava.)

2) Spremnik u početku sadrži 10 kg soli otopljene u 100 m 3 vode. Ako se čista voda ulije u posudu brzinom od 1 m 3 u minuti i jednolično se pomiješa s otopinom, a rezultirajuća otopina istječe iz posude istom brzinom, koliko će soli biti u posudi u bilo kojem sljedećem vrijeme? Ako je a x - količina soli (u kg) u posudi u tom trenutku t, tada u bilo kojem trenutku t 1 m 3 otopine u spremniku sadrži x/ 100 kg soli; stoga se količina soli brzinom smanjuje x/ 100 kg / min, ili

3) Neka tjelesna masa movješena s kraja opruge, sila obnavljanja djeluje proporcionalno količini napetosti u opruzi. Neka bude x - iznos odstupanja tijela od ravnotežnog položaja. Zatim, prema Newtonovom drugom zakonu, koji kaže da ubrzanje (drugi izvod iz x u vremenu, označeno d 2 x/dt 2) proporcionalno snazi:

Desna strana ima znak minus, jer sila obnavljanja smanjuje napetost opruge.

4) Zakon hlađenja tijela kaže da se količina topline u tijelu smanjuje proporcionalno razlici u temperaturi između tijela i okoline. Ako se šalica kave zagrijane na temperaturu od 90 ° C nalazi u sobi s temperaturom od 20 ° C, tada

gdje T - temperatura kave na vrijeme t.

5) Ministar vanjskih poslova države Blefuscu tvrdi da program naoružanja koji je usvojila Liliputija prisiljava njegovu zemlju da što više poveća vojnu potrošnju. Slične izjave daje i ministar vanjskih poslova Liliputije. Rezultirajuća situacija (u najjednostavnijoj interpretaciji) može se točno opisati pomoću dvije diferencijalne jednadžbe. Neka bude x i g - troškovi naoružavanja Liliputije i Blefuscua. Pod pretpostavkom da Liliputija povećava svoju potrošnju na naoružanje proporcionalnom stopi kojom se povećava potrošnja naoružanja Blefusk, i obrnuto, dobivamo:

gdje su članovi - sjekira i - po opisati vojne izdatke svake zemlje, k i l - pozitivne konstante. (Ovaj je problem na ovaj način prvi put formulirao 1939. L. Richardson.)

Nakon što je problem napisan jezikom diferencijalnih jednadžbi, treba ih pokušati riješiti, t.j. pronaći veličine čije su stope promjene uključene u jednadžbe. Ponekad se rješenja nalaze u obliku eksplicitnih formula, ali češće se mogu predstaviti samo u približnom obliku ili se o njima mogu dobiti kvalitativne informacije. Često je teško utvrditi postoji li rješenje uopće, a kamoli ga pronaći. Važan odjeljak teorije diferencijalnih jednadžbi čine takozvani "teoremi postojanja", u kojima se dokazuje postojanje rješenja za ovaj ili onaj tip diferencijalnih jednadžbi.

Izvorna matematička formulacija fizikalnog problema obično sadrži pojednostavljujuće pretpostavke; kriterij njihove razumnosti može biti stupanj dosljednosti matematičkog rješenja s dostupnim opažanjima.

Rješenja diferencijalnih jednadžbi.

Na primjer, diferencijalna jednadžba dy/dx = x/g, nije broj koji zadovoljava, već funkcija, u ovom konkretnom slučaju takva da njezin graf u bilo kojoj točki, na primjer, u točki s koordinatama (2,3), ima tangentu s nagibom jednakim omjeru koordinate (u našem primjeru 2/3). To je lako vidjeti ako izgradite velik broj točaka i od svake odvojite kratki segment s odgovarajućim nagibom. Rješenje će biti funkcija čiji graf dodiruje svaku od svojih točaka u odgovarajući segment. Ako ima dovoljno točaka i segmenata, tada možemo okvirno ocrtati tijek krivulja rješenja (tri takve krivulje prikazane su na slici 1). Kroz svaku točku prolazi točno jedna krivulja rješenja g № 0. Svako pojedinačno rješenje naziva se određenim rješenjem diferencijalne jednadžbe; ako je moguće pronaći formulu koja sadrži sva određena rješenja (uz moguću iznimku nekoliko posebnih), tada kažu da je dobiveno opće rješenje. Posebno rješenje je jedna funkcija, dok je općenito cijela njihova obitelj. Riješiti diferencijalnu jednadžbu znači pronaći njezino određeno ili opće rješenje. U našem primjeru opće rješenje ima oblik g 2 – x 2 = cgdje c - bilo koji broj; određeno rješenje koje prolazi kroz točku (1,1) ima oblik g = x a dobiva se kada c \u003d 0; određeno rješenje koje prolazi kroz točku (2.1) ima oblik g 2 – x 2 \u003d 3. Uvjet koji zahtijeva da krivulja rješenja prolazi, na primjer, kroz točku (2,1), naziva se početnim uvjetom (jer postavlja početnu točku na krivulji rješenja).

Može se pokazati da u primjeru (1) opće rješenje ima oblik x = ce –kt gdje c Je li konstanta koja se može odrediti, na primjer, označavanjem količine tvari na t \u003d 0. Jednadžba iz primjera (2) poseban je slučaj jednadžbe iz primjera (1), koja odgovara k \u003d 1/100. Početno stanje x \u003d 10 at t \u003d 0 daje određeno rješenje x = 10e –t/jedna stotina . Jednadžba iz primjera (4) ima opće rješenje T = 70 + ce –kt i privatno rješenje 70 + 130 - kt ; kako bi se utvrdila vrijednost k, potrebni su dodatni podaci.

Diferencijalna jednadžba dy/dx = x/g naziva se jednadžbom prvog reda, budući da sadrži prvu izvedenicu (redoslijed najvišeg izvoda koji je u nju uvršten je red diferencijalne jednadžbe). Za većinu (iako ne sve) diferencijalnih jednadžbi prve vrste koje se pojave u praksi, kroz svaku točku prolazi samo jedna krivulja rješenja.

Postoji nekoliko važnih vrsta diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje se mogu riješiti u obliku formula koje sadrže samo elementarne funkcije - stupnjeve, eksponencijale, logaritme, sinuse i kosinuse itd. Te jednadžbe uključuju sljedeće.

Odvojive jednadžbe.

Jednadžbe oblika dy/dx = f(x)/g(g) može se riješiti pisanjem u diferencijale g(g)dy = f(x)dx i integrirajući oba dijela. U najgorem slučaju rješenje se može predstaviti kao integrali poznatih funkcija. Na primjer, u slučaju jednadžbe dy/dx = x/g imamo f(x) = x, g(g) = g... Zapisujući to kao ydy = xdx i integrirajući, dobivamo g 2 = x 2 + c... Jednadžbe s odvojivim varijablama uključuju jednadžbe iz primjera (1), (2), (4) (mogu se riješiti kako je gore opisano).

Jednadžbe u ukupnim diferencijalima.

Ako diferencijalna jednadžba ima oblik dy/dx = M(x,g)/N(x,g), gdje M i N - dvije zadane funkcije, tada se može predstaviti kao M(x,g)dx – N(x,g)dy \u003d 0. Ako je lijeva strana diferencijal neke funkcije F(x,g), tada se diferencijalna jednadžba može zapisati u obliku dF(x,g) \u003d 0, što je ekvivalentno jednadžbi F(x,g) \u003d const. Dakle, krivulje rješenja jednadžbe su "linije konstantnih razina" funkcije ili geometrijska mjesta točaka koje zadovoljavaju jednadžbe F(x,g) = c... Jednadžba ydy = xdx (Slika 1.) - s odvojivim varijablama, a također je i u ukupnim diferencijalima: da bismo se uvjerili u potonje, to zapisujemo u oblik ydy – xdx \u003d 0, tj. d(g 2 – x 2) \u003d 0. Funkcija F(x,g) u ovom slučaju je jednako (1/2) ( g 2 – x 2); neke od njegovih linija konstantne razine prikazane su na sl. jedan.

Linearne jednadžbe.

Linearne jednadžbe jednadžbe su "prvog stupnja" - nepoznata funkcija i njezini derivati \u200b\u200bulaze u takve jednadžbe samo do prvog stupnja. Dakle, linearna diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik dy/dx + str(x) = q(x), gdje str(x) i q(x) Jesu li funkcije koje ovise samo o x... Njegovo rješenje uvijek se može napisati pomoću integrala poznatih funkcija. Mnoge druge vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda rješavaju se posebnim tehnikama.

Jednadžbe višeg reda.

Mnoge diferencijalne jednadžbe s kojima se fizičari suočavaju jednadžbe su drugog reda (tj. Jednadžbe koje sadrže druge derivate) Takva je, na primjer, jednadžba jednostavnog harmonijskog gibanja iz primjera (3), doktor medicine 2 x/dt 2 = –kx... Općenito govoreći, moglo bi se očekivati \u200b\u200bda jednadžba drugog reda ima određena rješenja koja zadovoljavaju dva uvjeta; na primjer, možete zahtijevati da krivulja rješenja prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru. U slučajevima kada diferencijalna jednadžba sadrži određeni parametar (broj čija vrijednost ovisi o okolnostima), rješenja potrebnog tipa postoje samo za određene vrijednosti ovog parametra. Na primjer, uzmite u obzir jednadžbu doktor medicine 2 x/dt 2 = –kx i to zahtijevaju g(0) = g(1) \u003d 0. Funkcija g ê 0 je sigurno rješenje, ali ako je cijeli broj višestruk od str, tj. k = m 2 n 2 str2, gdje n - cijeli broj, ali u stvarnosti samo u ovom slučaju postoje i druga rješenja, i to: g \u003d grijeh npx... Vrijednosti parametra kod kojih jednadžba ima posebna rješenja nazivaju se karakteristične ili vlastite vrijednosti; igraju važnu ulogu u mnogim zadacima.

Jednadžba jednostavnog harmonijskog gibanja služi kao primjer važne klase jednadžbi, naime linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima. Općenitiji primjer (također drugog reda) je jednadžba

gdje a i b - zadane konstante, f(x) Je li zadana funkcija. Takve se jednadžbe mogu riješiti na razne načine, na primjer, korištenjem integralne Laplaceove transformacije. Isto se može reći i za linearne jednadžbe viših redova s \u200b\u200bkonstantnim koeficijentima. Linearne jednadžbe s promjenjivim koeficijentima također igraju važnu ulogu.

Nelinearne diferencijalne jednadžbe.

Jednadžbe koje sadrže nepoznate funkcije i njihove izvedenice u stupnju višem od prvog ili na neki složeniji način nazivaju se nelinearnim. Posljednjih godina privlače sve više pažnje. Poanta je u tome što su fizičke jednadžbe obično linearne samo u prvoj aproksimaciji; daljnja i preciznija istraživanja u pravilu zahtijevaju upotrebu nelinearnih jednadžbi. Štoviše, mnogi su zadaci nelinearne prirode. Budući da su rješenja nelinearnih jednadžbi često vrlo složena i teško ih je predstaviti jednostavnim formulama, značajan dio moderne teorije posvećen je kvalitativnoj analizi njihovog ponašanja, tj. razvoj metoda koje omogućuju, bez rješavanja jednadžbe, da se kaže nešto značajno o prirodi rješenja u cjelini: na primjer, da su sva ograničena ili imaju periodičnu prirodu ili na određeni način ovise o koeficijentima .

Približna rješenja diferencijalnih jednadžbi mogu se pronaći numerički, ali za to treba puno vremena. Pojavom brzih računala ovo se vrijeme znatno smanjilo, što je otvorilo nove mogućnosti za numeričko rješavanje mnogih problema koji prethodno nisu ustupili takvom rješenju.

Teoremi o postojanju.

Teorem o postojanju je teorem koji kaže da pod određenim uvjetima zadana diferencijalna jednadžba ima rješenje. Postoje diferencijalne jednadžbe koje nemaju rješenja ili imaju više od očekivanog. Svrha teorema o postojanju je uvjeriti nas da određena jednadžba ima rješenje, a najčešće osigurati da ima točno jedno rješenje potrebnog tipa. Na primjer, jednadžba s kojom smo se već susreli dy/dx = –2g ima točno jedno rješenje koje prolazi kroz svaku točku ravnine ( x,g), a budući da smo već pronašli jedno takvo rješenje, u potpunosti smo riješili ovu jednadžbu. S druge strane, jednadžba ( dy/dx) 2 = 1 – g 2 ima mnogo rješenja. Među njima su izravni g = 1, g \u003d –1 i krivulje g \u003d grijeh ( x + c). Rješenje se može sastojati od nekoliko segmenata tih ravnih crta i krivina koje u točkama tangencije prelaze jedna u drugu (slika 2).

Jednadžbe parcijalnih diferencijala.

Obična diferencijalna jednadžba je neka izjava o izvedenici nepoznate funkcije jedne varijable. Jednadžba parcijalnih diferencijala sadrži funkciju dviju ili više varijabli i izvode te funkcije s obzirom na najmanje dvije različite varijable.

U fizici su primjeri takvih jednadžbi Laplaceova jednadžba

X, g) unutar kruga ako su vrijednosti u specificirani su u svakoj točki graničnog kruga. Budući da su problemi s više varijabli u fizici pravilo, a ne iznimka, lako je zamisliti koliko je opsežan predmet PDE teorije.

Ovaj mrežni kalkulator omogućuje vam mrežno rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Dovoljno je unijeti svoju jednadžbu u odgovarajuće polje, označujući apostrofom "izvedenicu funkcije" i kliknuti na gumb "riješi jednadžbu". A sustav implementiran na temelju popularne web stranice WolframAlpha dat će detaljan rješenje diferencijalne jednadžbe apsolutno besplatno. Također možete postaviti problem Cauchyja kako biste iz cijelog skupa mogućih rješenja odabrali količnik koji odgovara zadanim početnim uvjetima. Problem Cauchyja unosi se u posebno polje.

Diferencijalna jednadžba

Zadana funkcija u jednadžbi je g je funkcija varijable x... Međutim, možete postaviti vlastitu oznaku varijable, ako u jednadžbu napišete, na primjer, y (t), kalkulator će to automatski prepoznati g postoji funkcija varijable t... Pomoću kalkulatora možete riješiti diferencijalne jednadžbe bilo koje složenosti i tipa: homogeni i nehomogeni, linearni ili nelinearni, prvog reda ili drugog i višeg reda, jednadžbe s odvojivim ili nerazdvojnim varijablama itd. Diferencijalno rješenje jednadžba je dana u analitičkom obliku, ima detaljan opis. Diferencijalne jednadžbe vrlo su česte u fizici i matematici. Bez njihovog izračunavanja nemoguće je riješiti mnoge probleme (posebno u matematičkoj fizici).

Jedna od faza rješavanja diferencijalnih jednadžbi je integracija funkcija. Postoje standardne metode za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Potrebno je jednadžbe dovesti u oblik s odvojivim varijablama y i x i zasebno integrirati razdvojene funkcije. Da biste to učinili, ponekad se mora izvršiti određena zamjena.