Prva razina

Kvadratne jednadžbe. Opsežan vodič (2019)

U terminu " kvadratna jednadžba"Ključna riječ je" kvadrat ". To znači da jednadžba mora imati varijablu (isti x) na kvadrat, a x ne smije biti u trećem (ili većem) stupnju.

Rješenje mnogih jednadžbi svodi se na rješenje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da imamo kvadratnu jednadžbu, a ne neku drugu.

Primjer 1.

Riješimo se nazivnika i pomnožimo svaki član u jednadžbi sa

Prenesimo sve na lijeva strana i rasporediti članove prema opadajućem stupnju od x

Sada možemo s pouzdanjem reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2.

Pomnožimo lijevu i desnu stranu sa:

Ova jednadžba, iako je izvorno u njoj, nije kvadratna!

Primjer 3.

Pomnožimo sve sa:

Strašno? Četvrti i drugi stupanj ... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4.

Čini se da je tu, ali pogledajmo pobliže. Premjestimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se - a sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

Primjeri:

Odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. kvadrat.

Matematičari konvencionalno dijele sve kvadratne jednadžbe u sljedeći oblik:

• Cjelovite kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao ni slobodni član s nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među cjelovitim kvadratnim jednadžbama postoje dano- ovo su jednadžbe u kojima koeficijent (jednadžba iz primjera jedan nije samo potpuna, već je i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i ili slobodni član c jednaki nuli:

  Oni su nepotpuni jer im nedostaje neki element. Ali u jednadžbi uvijek mora postojati x na kvadrat !!! Inače to više neće biti kvadrat, već neka druga jednadžba.

Zašto ste došli na takvu podjelu? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Ova podjela je posljedica metoda rješenja. Razmotrimo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su mnogo lakše!

Nepotpune kvadratne jednadžbe su sljedećih vrsta:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je.
2. , u ovoj je jednadžbi slobodni član jednak.
3. , u ovoj jednadžbi koeficijent i presjek su jednaki.

1.i. Budući da znamo izvući Korijen, onda izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat će uvijek biti pozitivan broj, pa: ako, tada jednadžba nema rješenja.

A ako, tada dobivamo dva korijena. Ove formule nije potrebno zapamtiti. Glavna stvar je da morate znati i uvijek zapamtiti da manje ne može biti.

Pokušajmo riješiti nekoliko primjera.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje izvaditi korijen s lijeve i desne strane. Sjećate li se kako vaditi korijenje?

Odgovor:

Nikada ne zaboravite na negativne korijene !!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Au! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena!

Za takve jednadžbe koje nemaju korijene, matematičari su smislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja, jer nismo izvukli korijen.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Tako,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo bez primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika jednadžbe gdje

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi malo je teže (samo malo) od navedenih.

Zapamtiti, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminatora! Čak i nepotpune.

Ostatak metoda pomoći će vam da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo naučite rješenje pomoću diskriminatora.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način vrlo je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, tada jednadžba ima korijen. Posebna pažnja napravi korak. Diskriminator () nam pokazuje broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku smanjiti na. Dakle, jednadžba će imati cijeli korijen.
• Ako, tada nećemo moći izdvojiti korijen iz diskriminatora u koraku. To ukazuje da jednadžba nema korijene.

Vratimo se na naše jednadžbe i pogledajmo neke primjere.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskočiti.

Korak 2.

Pronašli smo diskriminatora:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

Korak 3.

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je stoga predstavljena u standardnom obliku Korak 1 preskočiti.

Korak 2.

Pronašli smo diskriminatora:

Dakle, jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je stoga predstavljena u standardnom obliku Korak 1 preskočiti.

Korak 2.

Pronašli smo diskriminatora:

Stoga nećemo moći izvući korijen iz diskriminante. Nema korijena jednadžbe.

Sada znamo ispravno zapisati takve odgovore.

Odgovor: Bez korijena

2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema.

Ako se sjećate, postoji jedna vrsta jednadžbi koja se naziva reducirana (kada je koeficijent a jednak):

Takve jednadžbe vrlo je lako riješiti pomoću Vietinog teorema:

Zbir korijena dano kvadratna je jednadžba jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova je jednadžba prikladna za rješavanje pomoću Vietinog teorema, budući da ...

Zbroj korijena jednadžbe je, t.j. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je jednak:

Sastavimo i riješimo sustav:

• i. Iznos je jednak;
• i. Iznos je jednak;
• i. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Jednadžba se smanjuje, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNAČINE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je nepoznato, neki su brojevi i.

Broj se naziva najstariji ili prve kvote kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, a - besplatni član.

Zašto? Jer ako, jednadžba će odmah postati linearna, jer nestati.

Štoviše, i može biti jednako nuli. U ovom stolcu jednadžba se naziva nepotpunom. Ako su svi izrazi na mjestu, odnosno jednadžba je potpuna.

Rješenja različitih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Za početak ćemo analizirati metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi - jednostavnije su.

Mogu se razlikovati sljedeće vrste jednadžbi:

I., u ovoj jednadžbi koeficijent i presjek su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je.

III. , u ovoj je jednadžbi slobodni član jednak.

Pogledajmo sada rješenje za svaki od ovih podtipova.

Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada pomnožite dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, tada jednadžba nema rješenja;

ako, imamo dva korijena

Ove formule nije potrebno zapamtiti. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri:

Rješenja:

Odgovor:

Nikada ne zaboravite negativne korijene!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena.

Da bismo nakratko zabilježili da problem nema rješenja, koristimo praznu ikonu skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izvucite zajednički faktor iz zagrada:

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Uzmite u obzir lijevu stranu jednadžbe i pronađite korijene:

Odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminirajući

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Upamtite, svaka kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminatora! Čak i nepotpune.

Jeste li primijetili korijen diskriminatora u formuli korijena? No, diskriminator može biti negativan. Što uraditi? Potrebno je obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminator nam ukazuje na broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada jednadžba ima korijen:
• Ako, tada jednadžba ima isti korijen, ali zapravo jedan korijen:

  Takvi se korijeni nazivaju dvostrukim korijenima.

• Ako se tada korijen diskriminatora ne vadi. To ukazuje da jednadžba nema korijene.

Zašto je to moguće drugačiji iznos korijenje? Okrenimo se geometrijskom značenju kvadratne jednadžbe. Graf funkcija je parabola:

U posebnom slučaju, to je kvadratna jednadžba ,. A to znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke sjecišta s osi apscise (osi). Parabola ne smije uopće presijecati os, niti je presjecati u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili u dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako - onda prema dolje.

Primjeri:

Rješenja:

Odgovor:

Odgovor:.

Odgovor:

Dakle nema rješenja.

Odgovor:.

2. Vietin teorem

Vrlo je jednostavno koristiti Vietin teorem: samo trebate odabrati par brojeva čiji je umnožak jednak slobodnom terminu jednadžbe, a zbroj je drugi koeficijent, uzet sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo u reducirane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova je jednadžba prikladna za rješavanje pomoću Vietinog teorema, budući da ... Ostali koeficijenti :; ...

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je jednak:

Odaberimo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak i provjerimo je li njihov zbroj jednak:

• i. Iznos je jednak;
• i. Iznos je jednak;
• i. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i korijeni su naše jednadžbe.

Odgovor:; ...

Primjer 2:

Riješenje:

Odaberite takve parove brojeva koji daju proizvod, a zatim provjerimo je li njihov zbroj jednak:

i: zbroj je dan.

i: zbroj je dan. Da biste ga dobili, dovoljno je samo promijeniti znakove navodnih korijena: i, uostalom, djelo.

Odgovor:

Primjer 3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je umnožak korijena negativan broj... To je moguće samo ako je jedan korijen negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbroj korijena razlika njihovih modula.

Odaberimo takve parove brojeva koji daju proizvod, a čija je razlika jednaka:

i: njihova razlika je jednaka - ne odgovara;

i: - ne odgovara;

i: - ne odgovara;

i: - odgovara. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Budući da njihov zbroj mora biti jednak, korijen mora biti negativan po apsolutnoj vrijednosti :. Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer # 4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba se smanjuje, što znači:

Slobodni izraz je negativan, što znači da je umnožak korijena negativan. A to je moguće samo ako je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberimo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijenje i prikladno je za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer 5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba se smanjuje, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da je barem jedan korijen negativan. No budući da je njihov proizvod pozitivan, tada su oba korijena sa znakom minus.

Odaberimo takve parove brojeva čiji je proizvod jednak:

Očito su brojevi i korijeni.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da računamo ovog gadnog diskriminatora. Pokušajte koristiti Vietin teorem što je češće moguće.

No Vietin teorem potreban je kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Da biste ga koristili profitabilno, morate dovesti radnje do automatizma. Za to se odlučite za još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietin teorem:

Rješenja za zadatke za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir započinjemo komadom:

Nije prikladno, budući da je iznos;

: iznos je ono što vam treba.

Odgovor:; ...

Zadatak 2.

I opet, naš omiljeni Vieta teorem: zbroj bi trebao uspjeti, ali proizvod je jednak.

Ali budući da ne bi trebalo biti, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor:; ...

Zadatak 3.

Hmm ... Gdje je to?

Sve uvjete potrebno je prenijeti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je proizvodu.

Zato stanite! Jednadžba nije dana. No, Vietin teorem primjenjiv je samo u gornjim jednadžbama. Dakle, prvo morate donijeti jednadžbu. Ako to ne možete pokrenuti, odustanite od ovog pothvata i riješite ga na drugi način (na primjer, putem diskriminatora). Dopustite mi da vas podsjetim da donijeti kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednakim:

Fino. Tada je zbroj korijena jednak, a umnožak.

Ovdje je lako pokupiti: uostalom - prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor:; ...

Zadatak 4.

Besplatni termin je negativan. Što je tu posebno? I činjenica da će korijenje biti različitih znakova. I sada, prilikom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku njihovih modula: ta je razlika jednaka, ali umnožak.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je s minusom. Vietin teorem govori nam da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, od.

Odgovor:; ...

Zadatak 5.

Što je prvo što trebate učiniti? Tako je, dajte jednadžbu:

Opet: odabiremo čimbenike broja, a njihova razlika trebala bi biti:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je s minusom. Koji? Njihov zbroj trebao bi biti jednak, što znači da će s minusom biti veći korijen.

Odgovor:; ...

Sažeti:

1. Vietin teorem koristi se samo u danim kvadratnim jednadžbama.
2. Koristeći Vietin teorem, korijene možete pronaći odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije dana ili nema niti jednog prikladnog para slobodnih množitelja termina, onda nema cijelih korijena i morate je riješiti na drugi način (na primjer, putem diskriminatora).

3. Način odabira potpunog kvadrata

Ako su svi pojmovi koji sadrže nepoznato predstavljeni u obliku pojmova iz skraćenih formula množenja - kvadrat zbroja ili razlike - tada se, nakon promjene varijabli, jednadžba može prikazati kao nepotpuna kvadratna jednadžba tipa.

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu :.

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu :.

Riješenje:

Odgovor:

V. opći pogled transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne liči na ništa? Ovo je diskriminator! Tako je, dobili smo diskriminacijsku formulu.

KVADRATNE JEDNAČINE. KRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je nepoznato, jesu koeficijenti kvadratne jednadžbe, je slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijent, to jest :.

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent jednadžba ima oblik :,
• ako je slobodni član, jednadžba ima oblik :,
• ako i, jednadžba ima oblik :.

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izrazimo nepoznato :,

2) Provjerite znak izraza:

• ako jednadžba nema rješenja,
• ako, tada jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izvucite zajednički faktor iz zagrada :,

2) Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Stoga jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen :.

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Diskriminirajuće rješenje

1) Dovedimo jednadžbu u standardni oblik :,

2) Diskriminator izračunavamo po formuli :, koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, tada jednadžba ima korijene koji se nalaze po formuli:
• ako, tada jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba nema korijene.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika, gdje) je jednak, a umnožak korijena jednak, t.j. , a.

2.3. Cjelovito kvadratno rješenje

2.5 Vietina formula za polinome (jednadžbe) viših stupnjeva

Formule koje je Vijet izveo za kvadratne jednadžbe vrijede i za polinome viših stupnjeva.

Neka je polinom

P (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n

Ima n različitih korijena x 1, x 2…, x n.

U ovom slučaju, ima faktorizaciju oblika:

a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n = a 0 (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n)

Dijelimo obje strane ove jednakosti s 0 ≠ 0 i u prvom dijelu proširujemo zagrade. Dobivamo jednakost:

xn + () xn -1 +… + () = xn -(x 1 + x 2 +… + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + xn -1 xn) xn - 2 +… + (- 1) nx 1 x 2… xn

Ali dva polinoma su identično jednaka ako i samo ako su koeficijenti na istim stupnjevima jednaki. Otuda slijedi da je jednakost

x 1 + x 2 +… + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + x n -1 x n =

x 1 x 2 ... x n = (-1) n

Na primjer, za polinome trećeg stupnja

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Imamo identitete

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Što se tiče kvadratnih jednadžbi, ova se formula naziva Vietinim formulama. Lijeve strane ovih formula simetrični su polinomi iz korijena x 1, x 2 ..., x n ove jednadžbe, a desne strane izražene su koeficijentom polinoma.

2.6 Jednadžbe svedene na kvadrat (bikvadratne)

Jednadžbe četvrtog stupnja svode se na kvadratne jednadžbe:

sjekira 4 + bx 2 + c = 0,

naziva se bikvadratno, i, i ≠ 0.

U ovu jednadžbu dovoljno je staviti x 2 = y, dakle,

ay² + za + c = 0

pronaći korijene dobivene kvadratne jednadžbe

y 1,2 =

Da biste pronašli korijene x 1, x 2, x 3, x 4 odjednom, zamijenite y s x i dobijte

x² =

x 1,2,3,4 = .

Ako jednadžba četvrtog stupnja ima x 1, tada ima i korijen x 2 = -x 1,

Ako ima x 3, tada je x 4 = - x 3. Zbroj korijena takve jednadžbe jednak je nuli.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Zamijenite jednadžbu u formulu za korijene bikvadratnih jednadžbi:

x 1,2,3,4 = ,

znajući da je x 1 = -x 2, i x 3 = -x 4, tada:

x 3,4 =

Odgovor: x 1,2 = ± 2; x 1,2 =

2.7 Istraživanje bikvadratnih jednadžbi

Uzmi bikvadratnu jednadžbu

sjekira 4 + bx 2 + c = 0,

gdje su a, b, c realni brojevi, a a> 0. Uvodeći pomoćnu nepoznatu y = x², istražujemo korijene ove jednadžbe i rezultate unosimo u tablicu (vidi Dodatak # 1)

2.8 Cardano formula

Koristimo li modernu simboliku, zaključak Cardanove formule može izgledati ovako:

x =

Ova formula određuje korijene opće jednadžbe trećeg stupnja:

sjekira 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Ova je formula vrlo glomazna i složena (sadrži nekoliko složenih radikala). Ne vrijedi uvijek, jer jako teško napuniti.

F ¢ (xo) = 0,> 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Navedite ili odaberite od 2-3 teksta najzanimljivija mjesta. Stoga smo razmotrili opće odredbe za stvaranje i izvođenje izbornih predmeta, koje će se uzeti u obzir pri izradi izbornog predmeta iz algebre za 9. razred "Kvadratne jednadžbe i nejednakosti s parametrom". Poglavlje II. Metodologija izvođenja izbornog predmeta "Kvadratne jednadžbe i nejednakosti s parametrom" 1.1. Općenito...

Rješenja iz numeričkih metoda izračuna. Za određivanje korijena jednadžbe nije potrebno poznavanje teorija Abelovih, Galoisovih, Lieovih itd. Skupina, niti je potrebna posebna matematička terminologija: prstenovi, polja, ideali, izomorfizmi itd. Za rješavanje algebarske jednadžbe n -tog stupnja potrebna vam je samo sposobnost rješavanja kvadratnih jednadžbi i izdvajanje korijena iz kompleksnog broja. Korijeni se mogu prepoznati iz ...

S mjernim jedinicama fizičkih veličina u sustavu MathCAD? 11. Detaljno opišite tekst, grafiku i matematičke blokove. Predavanje broj 2. Problemi linearne algebre i rješavanje diferencijalnih jednadžbi u okruženju MathCAD U problemima linearne algebre gotovo je uvijek potrebno izvesti različite operacije s matricama. Operacijska ploča matrice nalazi se na ploči Matematika. ...

Formulacija i dokaz Vietinog teorema za kvadratne jednadžbe. Vietin obrnuti teorem. Vietin teorem za kubične jednadžbe i jednadžbe proizvoljnog reda.

Kvadratne jednadžbe

Vietin teorem

Dopustiti i označiti korijene reducirane kvadratne jednadžbe
(1) .
Tada je zbroj korijena jednak koeficijentu at, uzet sa suprotnim predznakom. Proizvod korijena jednak je slobodnom terminu:
;
.

Bilješka o više korijena

Ako je diskriminator jednadžbe (1) jednak nuli, tada ova jednadžba ima jedan korijen. No, kako bi se izbjegle nezgrapne formulacije, općenito je prihvaćeno da u ovom slučaju jednadžba (1) ima dva višestruka ili jednaka korijena:
.

Dokaz jedan

Pronađimo korijene jednadžbe (1). Da biste to učinili, primijenite formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
;
;
.

Nalazimo zbir korijena:
.

Da biste pronašli djelo, primijenite formulu:
.
Zatim

.

Teorem je dokazan.

Dokaz dva

Ako su brojevi i korijeni kvadratne jednadžbe (1), tada
.
Otvaramo zagrade.

.
Dakle, jednadžba (1) će imati oblik:
.
U usporedbi s (1) nalazimo:
;
.

Teorem je dokazan.

Vietin obrnuti teorem

Neka postoje proizvoljni brojevi. Tada su i korijeni kvadratne jednadžbe
,
gdje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietinog obrnutog teorema

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu
(1) .
Moramo dokazati da ako i, tada su u korijeni jednadžbe (1).

Zamjena (2) i (3) u (1):
.
Pojmove grupiramo na lijevoj strani jednadžbe:
;
;
(4) .

Zamjena u (4):
;
.

Zamjena u (4):
;
.
Jednadžba je ispunjena. Odnosno, broj je korijen jednadžbe (1).

Teorem je dokazan.

Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu

Sada razmotrimo potpunu kvadratnu jednadžbu
(5) ,
gdje i postoje neki brojevi. Štoviše.

Podijelimo jednadžbu (5) na:
.
To jest, dobili smo reduciranu jednadžbu
,
gdje ; ...

Tada Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu ima sljedeći oblik.

Dopustiti i označiti korijene potpune kvadratne jednadžbe
.
Tada se zbroj i umnožak korijena određuju po formulama:
;
.

Vietin teorem za kubnu jednadžbu

Na sličan način možemo uspostaviti veze između korijena kubične jednadžbe. Razmotrimo kubnu jednadžbu
(6) ,
gdje ,,, su neki brojevi. Štoviše.
Podijelimo ovu jednadžbu na:
(7) ,
gdje , , .
Neka su ,, korijeni jednadžbe (7) (i jednadžbe (6)). Zatim

.

Uspoređujući s jednadžbom (7) nalazimo:
;
;
.

Vietin teorem za jednadžbu n -tog stupnja

Na isti način možete pronaći veze između korijena ,, ... ,, za jednadžbu n -tog stupnja
.

Vietin teorem za jednadžbu n -tog stupnja ima sljedeći oblik:
;
;
;

.

Da bismo dobili ove formule, jednačinu zapisujemo u sljedećem obliku:
.
Zatim izjednačujemo koeficijente pri ,,, ..., i uspoređujemo slobodni član.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente tehničkih ustanova, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov i sur., Algebra: udžbenik za obrazovne ustanove 8. razreda, Moskva, Obrazovanje, 2006.

U matematici postoje posebne tehnike pomoću kojih se mnoge kvadratne jednadžbe rješavaju vrlo brzo i bez ikakvih diskriminacija. Štoviše, uz odgovarajuću obuku, mnogi počinju usmeno rješavati kvadratne jednadžbe, doslovno "na prvi pogled".

Nažalost, u suvremenom tečaju školske matematike takve se tehnologije gotovo ne proučavaju. Ali morate znati! A danas ćemo razmotriti jednu od takvih tehnika - Vietin teorem. Prvo, uvedimo novu definiciju.

Kvadratna jednadžba oblika x 2 + bx + c = 0 naziva se reducirana. Napominjemo da je koeficijent za x 2 1. Ne postoje druga ograničenja za koeficijente.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 je reducirana kvadratna jednadžba;
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - također dano;
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - ali to nije prikazano jer je koeficijent pri x 2 2.

Naravno, bilo koja kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0 može se reducirati - dovoljno je podijeliti sve koeficijente s brojem a. To uvijek možemo učiniti, budući da iz definicije kvadratne jednadžbe proizlazi da je a ≠ 0.

Istina, ove transformacije neće uvijek biti korisne za pronalaženje korijena. Nešto kasnije pobrinut ćemo se da se to učini tek kad su svi koeficijenti u konačnoj jednadžbi na kvadrat cijeli broj. Za sada razmotrimo najjednostavnije primjere:

Zadatak. Pretvorite kvadratnu jednadžbu u reduciranu:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0.

Podijelite svaku jednadžbu s koeficijentom varijable x 2. Dobivamo:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - podijeljeno sve sa 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 = 0 - podijeljeno s −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - podijeljeno s 1,5, svi koeficijenti su postali cijeli broj;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 = 0 - podijeljeno s 2. U tom slučaju nastali su razlomljeni koeficijenti.

Kao što vidite, date kvadratne jednadžbe mogu imati cjelobrojne koeficijente čak i u slučaju kada je izvorna jednadžba sadržavala razlome.

Sada formuliramo glavni teorem, za koji je zapravo uveden koncept reducirane kvadratne jednadžbe:

Vietin teorem. Razmotrimo reduciranu kvadratnu jednadžbu oblika x 2 + bx + c = 0. Pretpostavimo da ova jednadžba ima stvarne korijene x 1 i x 2. U ovom slučaju vrijede sljedeće tvrdnje:

1. x 1 + x 2 = −b. Drugim riječima, zbroj korijena date kvadratne jednadžbe jednak je koeficijentu varijable x, uzetom sa suprotnim predznakom;
2. x 1 x 2 = c. Umnožak korijena kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom koeficijentu.

Primjeri. Radi jednostavnosti, razmotrit ćemo samo reducirane kvadratne jednadžbe koje ne zahtijevaju dodatne transformacije:

1. x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korijeni: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; korijeni: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korijeni: x 1 = −1; x 2 = −4.

Vietin teorem daje nam dodatne informacije o korijenima kvadratne jednadžbe. Na prvi pogled ovo može izgledati teško, ali čak i uz minimalni trening naučit ćete "vidjeti" korijene i doslovno ih pogoditi u nekoliko sekundi.

Zadatak. Riješite kvadratnu jednadžbu:

1. x 2 - 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0.

Pokušajmo ispisati koeficijente prema Vietinom teoremu i "pogoditi" korijene:

1. x 2 - 9x + 14 = 0 je reducirana kvadratna jednadžba.
   Prema Vietinom teoremu imamo: x 1 + x 2 = - ( - 9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Lako je vidjeti da su korijeni brojevi 2 i 7;
2. x 2 - 12x + 27 = 0 - također zadano.
   Prema Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = - ( - 12) = 12; x 1 x 2 = 27. Odatle korijeni: 3 i 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - ova se jednadžba ne umanjuje. No sada ćemo to ispraviti dijeljenjem obje strane jednadžbe s koeficijentom a = 3. Dobivamo: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Riješi Vietinim teoremom: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korijena: −10 i −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0 - opet koeficijent pri x 2 nije jednak 1, tj. jednadžba nije dana. Podijelite sve brojem a = −7. Dobivamo: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Prema Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = - ( - 11) = 11; x 1 x 2 = 30; iz ovih jednadžbi lako je pogoditi korijene: 5 i 6.

Iz gornjeg zaključivanja može se vidjeti kako Vietin teorem pojednostavljuje rješenje kvadratnih jednadžbi. Bez kompliciranih izračuna, bez aritmetičkih korijena i razlomaka. A diskriminator nam nije ni trebao (vidi lekciju "Rješavanje kvadratnih jednadžbi").

Naravno, u svim svojim razmišljanjima polazili smo od dvije važne pretpostavke koje se, općenito govoreći, ne ispunjavaju uvijek u stvarnim problemima:

1. Kvadratna jednadžba je reducirana, t.j. koeficijent pri x 2 je 1;
2. Jednadžba ima dva različita korijena. Sa stajališta algebre, u ovom slučaju diskriminatora D> 0 - zapravo, u početku pretpostavljamo da je ta nejednakost točna.

Međutim, u tipičnim matematičkim problemima ti su uvjeti ispunjeni. Ako izračuni rezultiraju "lošom" kvadratnom jednadžbom (koeficijent pri x 2 različit je od 1), to je lako popraviti - pogledajte primjere na samom početku lekcije. Općenito šutim o korijenima: koji je to problem na koji nema odgovora? Naravno, bit će korijena.

Tako, opća shema Rješenje kvadratnih jednadžbi prema Vietinom teoremu je sljedeće:

1. Smanjite kvadratnu jednadžbu na reduciranu, ako to već nije učinjeno u iskazu problema;
2. Ako se pokazalo da su koeficijenti u danoj kvadratnoj jednadžbi razlomljeni, rješavamo putem diskriminante. Možete se čak vratiti na izvornu jednadžbu kako biste radili s "prikladnijim" brojevima;
3. U slučaju cjelobrojnih koeficijenata, jednadžbu rješavamo prema Vietinom teoremu;
4. Ako u roku od nekoliko sekundi nije bilo moguće pogoditi korijene, udarit ćemo u Vietin teorem i riješiti problem pomoću diskriminanta.

Zadatak. Riješite jednadžbu: 5x 2 - 35x + 50 = 0.

Dakle, pred nama je jednadžba koja se ne smanjuje, jer koeficijent a = 5. Podijelimo sve sa 5, dobivamo: x 2 - 7x + 10 = 0.

Svi koeficijenti kvadratne jednadžbe su cijeli brojevi - pokušajmo to riješiti Vietinim teoremom. Imamo: x 1 + x 2 = - ( - 7) = 7; x 1 · x 2 = 10. U tom se slučaju korijeni lako nagađaju - to su 2 i 5. Nije potrebno brojati kroz diskriminator.

Zadatak. Riješite jednadžbu: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

Pogledajte: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - ova se jednadžba ne smanjuje, obje strane dijelimo koeficijentom a = −5. Dobivamo: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - jednadžba s razlomljenim koeficijentima.

Bolje je vratiti se na izvornu jednadžbu i računati kroz diskriminaciju: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 - 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 = 0,4.

Zadatak. Riješite jednadžbu: 2x 2 + 10x - 600 = 0.

Prvo podijelimo sve koeficijentom a = 2. Dobivamo jednadžbu x 2 + 5x - 300 = 0.

Ovu reduciranu jednadžbu, prema Vietinom teoremu, imamo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Teško je u ovom slučaju pogoditi korijene kvadratne jednadžbe - osobno sam ozbiljno "zapeo" kad sam rješavao ovaj problem.

Morat ćemo tražiti korijene kroz diskriminator: D = 5 2 - 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2. Ako se ne sjećate korijena diskriminatora, samo ću primijetiti da je 1225: 25 = 49. Stoga je 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2.

Sada kada je korijen diskriminatora poznat, neće biti teško riješiti jednadžbu. Dobivamo: x 1 = 15; x 2 = −20.

Vietin teorem (točnije, inverzni teorem prema Vietinom teoremu) omogućuje vam smanjenje vremena za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Trebate samo znati kako ga koristiti. Kako naučiti rješavati kvadratne jednadžbe pomoću Vietinog teorema? Ovo nije teško, ako malo razmislite.

Sada ćemo govoriti samo o rješenju reducirane kvadratne jednadžbe prema Vietinom teoremu.Reducirana kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj je a, odnosno koeficijent ispred x², jednak jedan. Također je moguće riješiti nereducirane kvadratne jednadžbe koristeći Vietin teorem, ali već barem jedan od korijena nije cijeli broj. Teže ih je pogoditi.

Obratni teorem prema Vietinom teoremu kaže: ako su brojevi x1 i x2 takvi da

tada su x1 i x2 korijeni kvadratne jednadžbe

Pri rješavanju kvadratne jednadžbe prema Vietinom teoremu moguće su samo 4 opcije. Sjećate li se linije zaključivanja, vrlo brzo možete naučiti pronaći cijele korijene.

I. Ako je q pozitivan broj,

to znači da su korijeni x1 i x2 brojevi istog znaka (budući da je samo pri množenju brojeva s istim predznakom pozitivan broj).

I.a. Ako je -p pozitivan broj, (odnosno str<0), то оба корня x1 и x2 — pozitivni brojevi(budući da su dodali brojeve istog znaka i dobili pozitivan broj).

I.b. Ako je -p negativan, (respektivno, p> 0), tada su oba korijena negativni brojevi (zbrajanjem brojeva istog znaka dobili smo negativan broj).

II. Ako je q negativan,

to znači da korijeni x1 i x2 imaju različite predznake (pri množenju brojeva negativan broj dobiva se samo ako su predznaci faktora različiti). U ovom slučaju x1 + x2 više nije zbroj, već razlika (uostalom, pri zbrajanju brojeva s različiti znakovi oduzimamo manje od većeg). Stoga x1 + x2 pokazuje koliko se jedan korijen razlikuje od x1 i x2, odnosno koliko je jedan korijen veći od drugog (po modulu).

II.a. Ako je -p pozitivan broj, (tj. str<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Ako je -p negativan, (p> 0), tada je najveći (modulo) korijen negativan broj.

Uzmimo u obzir rješenje kvadratnih jednadžbi prema Vietinom teoremu.

Riješite reduciranu kvadratnu jednadžbu prema Vietinom teoremu:

Ovdje je q = 12> 0, pa su korijeni x1 i x2 brojevi istog znaka. Njihov zbroj je -p = 7> 0, pa su oba korijena pozitivni brojevi. Odabiremo cijele brojeve čiji je umnožak 12. To su 1 i 12, 2 i 6, 3 i 4. Zbroj je 7 za par 3 i 4. Dakle, 3 i 4 su korijeni jednadžbe.

V. ovaj primjer q = 16> 0, što znači da su korijeni x1 i x2 brojevi istog znaka. Njihov zbroj je -p = -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Ovdje je q = -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, tada je veći broj pozitivan. Dakle, korijeni su 5 i -3.

q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.