Kako pretvoriti razlomke u zajednički nazivnik

Ako uobičajene razlomke isti nazivnici, onda kažu da su ovi razlomci se dovode do zajedničkog nazivnika.

Primjer 1

Na primjer, razlomci $ \\ frac (3) (18) $ i $ \\ frac (20) (18) $ imaju isti nazivnik. Kaže se da im je zajednički nazivnik 18 dolara. Razlomci $ \\ frac (1) (29) $, $ \\ frac (7) (29) $ i $ \\ frac (100) (29) $ također imaju isti nazivnik. Kaže se da im je zajednički nazivnik 29 dolara.

Ako razlomci imaju različite nazivnike, tada se mogu svesti na zajednički nazivnik. Da biste to učinili, morate njihove brojnike i nazivnike pomnožiti s određenim dodatnim čimbenicima.

Primjer 2

Kako svesti dva razlomka $ \\ frac (6) (11) $ i $ \\ frac (2) (7) $ na zajednički nazivnik.

Odluka.

Pomnožite razlomke $ \\ frac (6) (11) $ i $ \\ frac (2) (7) $ s dodatnim faktorima 7 $, odnosno 11 $, i smanjite ih na zajednički nazivnik $ 77 $:

$ \\ frac (6 \\ cdot 7) (11 \\ cdot 7) \u003d \\ frac (42) (77) $

$ \\ frac (2 \\ cdot 11) (7 \\ cdot 11) \u003d \\ frac (22) (77) $

Tako, svođenje razlomaka na zajednički nazivnik naziva se množenjem brojnika i nazivnika tih razlomaka dodatnim čimbenicima koji, kao rezultat, omogućuju dobivanje razlomaka s istim nazivnicima.

Zajednički nazivnik

Definicija 1

Pozva se bilo koji pozitivni zajednički višekratnik svih nazivnika nekog skupa razlomaka zajednički nazivnik.

Drugim riječima, zajednički nazivnik danih razlomaka je bilo koji prirodni broj, koji se mogu podijeliti po svim nazivnicima danih razlomaka.

Definicija podrazumijeva beskonačni skup zajedničkih nazivnika za zadani skup razlomaka.

Primjer 3

Pronađite zajedničke nazivnike razlomaka $ \\ frac (3) (7) $ i $ \\ frac (2) (13) $.

Odluka.

Ti razlomci imaju nazivnike 7, odnosno 13 američkih dolara. Pozitivni zajednički višekratnici od $ 2 $ i $ 5 $ su $ 91, 182, 273, 364 $ itd.

Bilo koji od ovih brojeva može se koristiti kao zajednički nazivnik razlomaka $ \\ frac (3) (7) $ i $ \\ frac (2) (13) $.

Primjer 4

Utvrdite mogu li se razlomci $ \\ frac (1) (2) $, $ \\ frac (16) (7) $ i $ \\ frac (11) (9) $ svesti na zajednički nazivnik $ 252 $.

Odluka.

Da biste odredili kako dovesti razlomak do zajedničkog nazivnika od 252 dolara, morate provjeriti je li broj 252 dolara uobičajeni višekratnik nazivnika 2, 7 i 9 dolara. Da bismo to učinili, podijelimo broj 252 $ sa svakim od nazivnika:

$ \\ frac (252) (2) \u003d 126, $ $ \\ frac (252) (7) \u003d 36 $, $ \\ frac (252) (9) \u003d 28 $.

Broj 252 dolara djeljiv je sa svim nazivnicima, t.j. uobičajeni je višekratnik od 2, 7 i 9 dolara. Stoga se zadani razlomci $ \\ frac (1) (2) $, $ \\ frac (16) (7) $ i $ \\ frac (11) (9) $ mogu svesti na zajednički nazivnik od 252 $.

Odgovor: možete.

Najmanje zajednički nazivnik

Definicija 2

Među svim zajedničkim nazivnicima danih razlomaka može se razlikovati najmanji prirodni broj, koji se naziva najniži zajednički nazivnik.

Jer LCM - najmanji pozitiv zajednički djelitelj danog skupa brojeva, tada je LCM nazivnika danih razlomaka najmanji zajednički nazivnik tih razlomaka.

Stoga, da biste pronašli najmanji zajednički nazivnik razlomaka, morate pronaći LCM nazivnika tih razlomaka.

Primjer 5

Dati su razlomci $ \\ frac (4) (15) $ i $ \\ frac (37) (18) $. Pronađite njihov najniži zajednički nazivnik.

Odluka.

Nazivnici tih razlomaka su 15 i 18 dolara. Pronađite najmanji zajednički nazivnik kao LCM brojeva 15 $ i 18 $. Za to koristimo razlaganje brojeva na glavni faktori:

15 dolara \u003d 3 \\ cdot 5 $, 18 dolara \u003d 2 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

$ LCM (15, 18) \u003d 2 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 5 \u003d 90 $.

Odgovor: 90 $.

Pravilo za svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik

Najčešće pri rješavanju problema iz algebre, geometrije, fizike itd. običaj je da se obični razlomci svode na najmanji zajednički nazivnik, a ne na bilo koji zajednički nazivnik.

Algoritam:

1. Pomoću LCM nazivnika danih razlomaka pronađite najmanji zajednički nazivnik.
2. 2. Izračunaj dodatni faktor za zadane razlomke. Da biste to učinili, pronađeni najmanji zajednički nazivnik mora se podijeliti s nazivnikom svakog razlomka. Rezultirajući broj bit će dodatni faktor ovog razlomka.
3. Pomnožite brojnik i nazivnik svakog razlomka s dodatnim pronađenim faktorom.

Primjer 6

Nađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka $ \\ frac (4) (16) $ i $ \\ frac (3) (22) $ i oba razlomka svedite na njega.

Odluka.

Upotrijebimo algoritam za svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik.

Izračunajte najmanji zajednički višekratnik od 16 $ i 22 $:

Podijelimo nazivnike na proste čimbenike: $ 16 \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 $, 22 $ \u003d 2 \\ cdot 11 $.

$ LCM (16, 22) \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 11 \u003d 176 $.

Izračunajmo dodatne čimbenike za svaki razlomak:

$ 176 \\ div 16 \u003d 11 $ - za razlomak $ \\ frac (4) (16) $;

$ 176 \\ div 22 \u003d 8 $ - za razlomak $ \\ frac (3) (22) $.

Pomnožite brojnike i nazivnike razlomka $ \\ frac (4) (16) $ i $ \\ frac (3) (22) $ s dodatnim faktorima 11 $ odnosno 8 $, Dobivamo:

$ \\ frac (4) (16) \u003d \\ frac (4 \\ cdot 11) (16 \\ cdot 11) \u003d \\ frac (44) (176) $

$ \\ frac (3) (22) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 8) (22 \\ cdot 8) \u003d \\ frac (24) (176) $

Oba se razlomka dovode do najnižeg zajedničkog nazivnika od 176 dolara.

Odgovor: $ \\ frac (4) (16) \u003d \\ frac (44) (176) $, $ \\ frac (3) (22) \u003d \\ frac (24) (176) $.

Ponekad, da biste pronašli najmanji zajednički nazivnik, trebate provesti niz dugotrajnih izračuna, što možda ne opravdava cilj rješavanja problema. U ovom slučaju možete koristiti najviše jednostavan način - frakcije svesti na zajednički nazivnik, koji je umnožak nazivnika tih razlomaka.

Da biste razlomke doveli na najmanji zajednički nazivnik, morate: 1) pronaći najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka, to će biti najmanji zajednički nazivnik. 2) pronaći dodatni faktor za svaki razlomak, za koji je novi nazivnik podijeljen nazivnikom svakog razlomka. 3) pomnoži brojnik i nazivnik svakog razlomka s njegovim dodatnim faktorom.

Primjeri. Smanjite sljedeće razlomke na najmanji zajednički nazivnik.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika: LCM (5; 4) \u003d 20, jer je 20 najmanji broj koji se može podijeliti s 5 i 4. Pronađi za 1. razlomak dodatni faktor 4 (20 : 5 \u003d 4). Za 2. razlomak dodatni je faktor 5 (20 : 4 \u003d 5). Množitelj i nazivnik 1. razlomka pomnožimo s 4, a brojnik i nazivnik 2. razlomka pomnožimo s 5. Te razlomke doveli smo do najnižeg zajedničkog nazivnika ( 20 ).

Najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka je 8, jer je 8 djeljivo sa 4 i samo po sebi. Za 1. razlomak neće biti dodatnog faktora (ili možemo reći da je jednak jedinici), za 2. razlomak dodatni je faktor 2 (8 : 4 \u003d 2). Množitelj i nazivnik 2. razlomka pomnožimo s 2. Te razlomke doveli smo do najmanjeg zajedničkog nazivnika ( 8 ).

Te frakcije nisu nesvodive.

Smanjite 1. razlomak za 4, a 2. razlomak za 2. ( vidi primjere smanjenja uobičajenih razlomaka: Mapa web stranice → 5.4.2. Primjeri smanjenja uobičajenih razlomaka). Pronađite LCM (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 \u003d 80. Dodatni faktor za prvu frakciju je 5 (80 : 16 \u003d 5). Dodatni faktor za drugu frakciju je 4 (80 : 20 \u003d 4). Množitelj i nazivnik 1. razlomka pomnožimo s 5, a brojnik i nazivnik 2. razlomka pomnožimo s 4. Te smo razlomke doveli do najnižeg zajedničkog nazivnika ( 80 ).

Pronađite najniži zajednički nazivnik NOZ (5 ; 6 i 15) \u003d LCM (5 ; 6 i 15) \u003d 30. Dodatni faktor 1. razlomku je 6 (30 : 5 \u003d 6), dodatni faktor 2. razlomku je 5 (30 : 6 \u003d 5), dodatni faktor 3. razlomku je 2 (30 : 15 \u003d 2). Množitelj i nazivnik 1. razlomka pomnožimo sa 6, brojnik i nazivnik 2. razlomka pomnožimo s 5, brojnik i nazivnik 3. razlomka pomnožimo s 2. Te smo razlomke doveli do najnižeg zajedničkog nazivnika ( 30 ).

Stranica 1 od 1 1

U ovoj ćemo lekciji razmotriti smanjivanje razlomaka na zajednički nazivnik i riješiti probleme na ovoj temi. Dajmo definiciju pojmu zajedničkog nazivnika i dodatnog čimbenika, podsjetimo međusobno primarni brojevi... Definirajmo pojam najmanjeg zajedničkog nazivnika (LCN) i riješimo brojne probleme kako bismo ga pronašli.

Tema: Zbrajanje i oduzimanje razlomaka sa različiti nazivnici

Lekcija: Pretvaranje razlomaka u zajednički nazivnik

Ponavljanje. Glavno svojstvo razlomka.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, tada ćete dobiti razlomak jednak njemu.

Na primjer, brojnik i nazivnik razlomka mogu se podijeliti s 2. Dobivamo razlomak. Ta se operacija naziva smanjenje frakcije. Obrnutu transformaciju možete izvesti i množenjem brojnika i nazivnika razlomka s 2. U ovom slučaju kažemo da smo razlomak smanjili na novi nazivnik. Broj 2 naziva se komplementarni faktor.

Izlaz.Razlomak se može svesti na bilo koji nazivnik, višestruki nazivnik određenog razlomka. Da bi se razlomak priveo novom nazivniku, njegov se brojnik i nazivnik pomnožavaju s dodatnim faktorom.

1. Razlomak dovedite do nazivnika 35.

35 je višekratnik 7, odnosno 35 je djeljivo sa 7 bez ostatka. To znači da je ta transformacija moguća. Pronađimo dodatni faktor. Da biste to učinili, podijelite 35 sa 7. Dobivamo 5. Pomnožite brojnik i nazivnik izvornog razlomka s 5.

2. Razlomak dovedite do nazivnika 18.

Pronađimo dodatni faktor. Da bismo to učinili, novi nazivnik dijelimo izvornim. Dobivamo 3. Pomnožite brojilac i nazivnik ovog razlomka s 3.

3. Razlomak dovedite do nazivnika 60.

Dijeljenjem 60 s 15 dobivamo dodatni množitelj. To je 4. Pomnožite brojilac i nazivnik sa 4.

4. Razlomak dovedite do nazivnika 24

U jednostavnim slučajevima redukcija na novi nazivnik vrši se u umu. Prihvaća se naznačiti samo dodatni množitelj izvan zagrade odmah desno i iznad izvornog razlomka.

Razlomak se može svesti na nazivnik 15, a razlomak na 15, a zajednički nazivnik ima i 15.

Zajednički nazivnik razlomaka može biti bilo koji zajednički višekratnik njihovih nazivnika. Radi jednostavnosti, razlomci rezultiraju najmanjim zajedničkim nazivnikom. Jednako je najmanjem zajedničkom višekratniku nazivnika ovih razlomaka.

Primjer. Smanji na najmanji zajednički nazivnik razlomka i.

Prvo pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka. Ovaj je broj 12. Pronađimo dodatni faktor za prvi i za drugi razlomak. Da bismo to učinili, 12 dijelimo sa 4 i 6. Tri su dodatni faktor za prvi razlomak, a dva za drugi. Smanjimo razlomke na nazivnik 12.

Razlomke smo doveli u zajednički nazivnik, odnosno pronašli smo razlomke njima jednake, koji imaju isti nazivnik.

Pravilo. Trebate razlomke dovesti na najmanji zajednički nazivnik

Prvo, pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka, to će biti njihov najmanji zajednički nazivnik;

Drugo, podijelite najmanji zajednički nazivnik nazivnicima tih razlomaka, odnosno pronađite dodatni faktor za svaki razlomak.

Treće, pomnožite brojnik i nazivnik svakog razlomka s njegovim dodatnim faktorom.

a) Smanji razlomak i na zajednički nazivnik.

Najniži zajednički nazivnik je 12. Dodatni faktor za prvi razlomak je 4, a za drugi 3. Razlomke dovedite u nazivnik 24.

b) Smanji razlomak i na zajednički nazivnik.

Najniži zajednički nazivnik je 45. Podjelom 45 s 9 sa 15 dobije se 5, odnosno 3. Razlomke dovedite u nazivnik 45.

c) Smanji razlomak i na zajednički nazivnik.

Zajednički nazivnik je 24. Dodatni čimbenici su 2, odnosno 3.

Ponekad je teško usmeno pronaći najmanji zajednički višekratnik za nazivnike danih razlomaka. Tada se zajednički nazivnik i dodatni čimbenici pronalaze pomoću faktorizacije premijera.

Donesite razlomak i na zajednički nazivnik.

Proširimo brojeve 60 i 168 u proste faktore. Napišimo razgradnju 60 i zbrojimo faktore 2 i 7 koji nedostaju iz druge razgradnje. Pomnožite 60 s 14 da biste dobili zajednički nazivnik 840. Komplementarni faktor za prvi razlomak je 14. Dopunski faktor za drugi razlomak je 5. Dovedite razlomke u zajednički nazivnik 840.

Popis referenci

1. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i druga matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012 (monografija).

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006 (monografija).

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - Prosvjetiteljstvo, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematika 5-6 razred. - ZSH MEPhI, 2011 (monografija).

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011 (monografija).

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. i dr. Matematika: Udžbenik-sugovornik za 5-6 razred srednje škole. Biblioteka učitelja matematike. - Prosvjetiteljstvo, 1989.

Možete preuzeti knjige navedene u odredbi 1.2. ove lekcije.

Domaća zadaća

Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i dr. Matematika 6. - Moskva: Mnemosina, 2012. (vidi poveznicu 1.2)

Domaća zadaća: # 297, # 298, # 300.

Ostali zadaci: # 270, # 290

U ovoj ćemo lekciji razmotriti smanjivanje razlomaka na zajednički nazivnik i riješiti probleme na ovoj temi. Dajmo definiciju koncepta zajedničkog nazivnika i dodatnog čimbenika, sjetimo se koprimejnih brojeva. Definirajmo pojam najmanjeg zajedničkog nazivnika (LCN) i riješimo brojne probleme kako bismo ga pronašli.

Tema: Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Lekcija: Pretvaranje razlomaka u zajednički nazivnik

Ponavljanje. Glavno svojstvo razlomka.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, tada ćete dobiti razlomak jednak njemu.

Na primjer, brojnik i nazivnik razlomka mogu se podijeliti s 2. Dobivamo razlomak. Ta se operacija naziva smanjenje frakcije. Obrnutu transformaciju možete izvesti i množenjem brojnika i nazivnika razlomka s 2. U ovom slučaju kažemo da smo razlomak smanjili na novi nazivnik. Broj 2 naziva se komplementarni faktor.

Izlaz.Razlomak se može svesti na bilo koji nazivnik, višestruki nazivnik određenog razlomka. Da bi se razlomak priveo novom nazivniku, njegov se brojnik i nazivnik pomnožavaju s dodatnim faktorom.

1. Razlomak dovedite do nazivnika 35.

35 je višekratnik 7, odnosno 35 je djeljivo sa 7 bez ostatka. To znači da je ta transformacija moguća. Pronađimo dodatni faktor. Da biste to učinili, podijelite 35 sa 7. Dobivamo 5. Pomnožite brojnik i nazivnik izvornog razlomka s 5.

2. Razlomak dovedite do nazivnika 18.

Pronađimo dodatni faktor. Da bismo to učinili, novi nazivnik dijelimo izvornim. Dobivamo 3. Pomnožite brojilac i nazivnik ovog razlomka s 3.

3. Razlomak dovedite do nazivnika 60.

Dijeljenjem 60 s 15 dobivamo dodatni množitelj. To je 4. Pomnožite brojilac i nazivnik sa 4.

4. Razlomak dovedite do nazivnika 24

U jednostavnim slučajevima redukcija na novi nazivnik vrši se u umu. Prihvaća se naznačiti samo dodatni množitelj izvan zagrade odmah desno i iznad izvornog razlomka.

Razlomak se može svesti na nazivnik 15, a razlomak na 15, a zajednički nazivnik ima i 15.

Zajednički nazivnik razlomaka može biti bilo koji zajednički višekratnik njihovih nazivnika. Radi jednostavnosti, razlomci rezultiraju najmanjim zajedničkim nazivnikom. Jednako je najmanjem zajedničkom višekratniku nazivnika ovih razlomaka.

Primjer. Smanji na najmanji zajednički nazivnik razlomka i.

Prvo pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka. Ovaj je broj 12. Pronađimo dodatni faktor za prvi i za drugi razlomak. Da bismo to učinili, 12 dijelimo sa 4 i 6. Tri su dodatni faktor za prvi razlomak, a dva za drugi. Smanjimo razlomke na nazivnik 12.

Razlomke smo doveli u zajednički nazivnik, odnosno pronašli smo razlomke njima jednake, koji imaju isti nazivnik.

Pravilo. Trebate razlomke dovesti na najmanji zajednički nazivnik

Prvo, pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka, to će biti njihov najmanji zajednički nazivnik;

Drugo, podijelite najmanji zajednički nazivnik nazivnicima tih razlomaka, odnosno pronađite dodatni faktor za svaki razlomak.

Treće, pomnožite brojnik i nazivnik svakog razlomka s njegovim dodatnim faktorom.

a) Smanji razlomak i na zajednički nazivnik.

Najniži zajednički nazivnik je 12. Dodatni faktor za prvi razlomak je 4, a za drugi 3. Razlomke dovedite u nazivnik 24.

b) Smanji razlomak i na zajednički nazivnik.

Najniži zajednički nazivnik je 45. Podjelom 45 s 9 sa 15 dobije se 5, odnosno 3. Razlomke dovedite u nazivnik 45.

c) Smanji razlomak i na zajednički nazivnik.

Zajednički nazivnik je 24. Dodatni čimbenici su 2, odnosno 3.

Ponekad je teško usmeno pronaći najmanji zajednički višekratnik za nazivnike danih razlomaka. Tada se zajednički nazivnik i dodatni čimbenici pronalaze pomoću faktorizacije premijera.

Donesite razlomak i na zajednički nazivnik.

Proširimo brojeve 60 i 168 u proste faktore. Napišimo razgradnju 60 i zbrojimo faktore 2 i 7 koji nedostaju iz druge razgradnje. Pomnožite 60 s 14 da biste dobili zajednički nazivnik 840. Komplementarni faktor za prvi razlomak je 14. Dopunski faktor za drugi razlomak je 5. Dovedite razlomke u zajednički nazivnik 840.

Popis referenci

1. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i druga matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012 (monografija).

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006 (monografija).

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - Prosvjetiteljstvo, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematika 5-6 razred. - ZSH MEPhI, 2011 (monografija).

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011 (monografija).

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. i dr. Matematika: Udžbenik-sugovornik za 5-6 razred srednje škole. Biblioteka učitelja matematike. - Prosvjetiteljstvo, 1989.

Možete preuzeti knjige navedene u odredbi 1.2. ove lekcije.

Domaća zadaća

Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i dr. Matematika 6. - Moskva: Mnemosina, 2012. (vidi poveznicu 1.2)

Domaća zadaća: # 297, # 298, # 300.

Ostali zadaci: # 270, # 290