Unakrsno množenje

Metoda zajedničkih djelitelja

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Da biste procijenili kako kolosalni dobitak daje najmanje uobičajena višestruka metoda, pokušajte izračunati iste primjere pomoću unakrsne metode.

Zajednički nazivnik razlomaka

Bez kalkulatora, naravno. Mislim da će nakon ovog komentara biti suvišni.

Vidi također:

Prvotno sam želio uključiti metode za lijevanje zajednički nazivnik u odlomku "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka". No bilo je toliko informacija, a njihova je važnost toliko velika (uostalom, zajednički nazivnici nisu samo za numeričke razlomke) da je bolje ovo pitanje proučiti odvojeno.

Dakle, recimo da imamo dvije frakcije sa različiti nazivnici... A mi želimo da nazivnici budu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka koje, podsjetimo, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože s istim nula brojem.

Dakle, ako su čimbenici pravilno odabrani, nazivnici razlomaka postat će jednaki - naziva se taj postupak. I pozivaju se potrebni brojevi, koji "izravnavaju" nazivnike.

Zašto uopće trebate razlomke dovesti u zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

1. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način za izvođenje ove operacije;
2. Usporedba razlomaka. Ponekad pretvaranje u zajednički nazivnik znatno olakšava ovaj zadatak;
3. Rješavanje problema za udjele i postotke. Postoci su zapravo uobičajeni izrazi koji sadrže razlomke.

Postoji mnogo načina za pronalaženje brojeva koji, pomnoženi sa, čine nazivnike razlomaka jednakim. Razmotrit ćemo samo tri od njih - kako bi se povećala složenost i, u određenom smislu, učinkovitost.

Unakrsno množenje

Najjednostavniji i pouzdan načinšto će zajamčeno poravnati nazivnike. Ići ćemo naprijed: množimo prvi razlomak nazivnikom drugog razlomka, a drugi - nazivnikom prvog. Kao rezultat, nazivnici obje frakcije postat će jednaki umnošku izvornih nazivnika. Pogledaj:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Uzmite u obzir nazivnike susjednih razlomaka kao dodatne čimbenike. Dobivamo:

Da, to je tako jednostavno. Ako tek počinjete učiti razlomke, bolje je raditi s ovom određenom metodom - na taj ćete se način osigurati od mnogih pogrešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedini nedostatak ove metode je što morate puno računati, jer se nazivnici množe "točno kroz", a rezultat može biti vrlo velik. To je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkih djelitelja

Ova tehnika pomaže uvelike smanjiti izračune, ali se, nažalost, rijetko koristi. Metoda je sljedeća:

1. Prije nego što nastavite (to jest, unakrsna metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen s drugim.
2. Broj dobiven kao rezultat takvog dijeljenja bit će dodatni faktor za razlomak s nižim nazivnikom.
3. U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ničim - to je ušteda. Istodobno se vjerojatnost pogreške naglo smanjuje.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Budući da je u oba slučaja jedan nazivnik ravnomjerno djeljiv s drugim, primjenjujemo metodu zajedničkih čimbenika. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak nikada nije pomnožen s ničim. Zapravo smo prepolovili količinu izračunavanja!

Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih brojati poprečno. Nakon smanjenja, odgovori će biti isti, ali bit će još puno posla.

To je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, ponavljam, može se primijeniti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što je dovoljno rijetko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kad frakcije dovedemo do zajedničkog nazivnika, u suštini pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Zatim na ovaj broj dovedemo nazivnike oba razlomka.

Takvih je brojeva puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak izravnom umnožaku nazivnika izvornih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi "križanog križa".

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je u redu, budući da je 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Ovaj je broj mnogo manji od proizvoda 8 · 12 \u003d 96.

Najmanji broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom naziva se njihov (LCM).

Oznaka: najmanji zajednički višekratnik a i b označen je LCM (a; b). Na primjer, LCM (16; 24) \u003d 48; LCM (8; 12) \u003d 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupan iznos izračuna bit će minimalan. Pogledajte primjere:

Kako pronaći najmanji zajednički nazivnik

Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 · 3. Čimbenici 2 i 3 zajednički su (nemaju zajedničke čimbenike, osim 1), a faktor 117 je uobičajen. Prema tome, LCM (234; 351) \u003d 117 2 3 \u003d 702.

Slično tome, 15 \u003d 5,3; 20 \u003d 5 · 4. Čimbenici 3 i 4 relativno su prosti, a faktor 5 je uobičajen. Prema tome, LCM (15; 20) \u003d 5 3 4 \u003d 60.

Sada razlomke dovodimo u zajedničke nazivnike:

Imajte na umu koliko je korisno računanje izvornih nazivnika bilo korisno:

1. Pronašavši iste čimbenike, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višestrukog, što je, općenito govoreći, netrivijalni problem;
2. Iz dobivenog proširenja možete saznati koji čimbenici "nedostaju" za svaki od razlomaka. Na primjer, 234 3 \u003d 702, stoga je za prvi razlomak dodatni faktor 3.

Nemojte misliti da u stvarnim primjerima neće biti tako složenih razlomaka. Oni se stalno sastaju, a navedeni zadaci nisu ograničenje!

Jedini je problem kako pronaći upravo taj NOO. Ponekad se sve pronađe u nekoliko sekundi, doslovno "na oko", ali u cjelini ovo je složen računski zadatak koji zahtijeva zasebno razmatranje. Ovdje se nećemo dotaknuti ovoga.

Vidi također:

Zajednički nazivnik razlomaka

Prvotno sam htio uključiti metode zajedničkog nazivnika u odlomak Dodavanje i oduzimanje razlomaka. No bilo je toliko informacija, a njihova je važnost toliko velika (uostalom, zajednički nazivnici nisu samo za numeričke razlomke) da je bolje ovo pitanje proučiti odvojeno.

Dakle, recimo da imamo dva razlomka s različitim nazivnicima. A mi želimo da nazivnici budu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka koje, podsjetimo, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože s istim nula brojem.

Dakle, ako su čimbenici pravilno odabrani, nazivnici razlomaka postat će jednaki - naziva se taj postupak. I pozivaju se potrebni brojevi, koji "izravnavaju" nazivnike.

Zašto uopće trebate razlomke dovesti u zajednički nazivnik?

Zajednički nazivnik, pojam i definicija.

Evo samo nekoliko razloga:

1. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način za izvođenje ove operacije;
2. Usporedba razlomaka. Ponekad pretvaranje u zajednički nazivnik znatno olakšava ovaj zadatak;
3. Rješavanje problema za udjele i postotke. Postoci su zapravo uobičajeni izrazi koji sadrže razlomke.

Postoji mnogo načina za pronalaženje brojeva koji, pomnoženi sa, čine nazivnike razlomaka jednakim. Razmotrit ćemo samo tri od njih - kako bi se povećala složenost i, u određenom smislu, učinkovitost.

Unakrsno množenje

Najjednostavniji i najpouzdaniji način za koji se jamči poravnanje nazivnika. Ići ćemo naprijed: množimo prvi razlomak nazivnikom drugog razlomka, a drugi - nazivnikom prvog. Kao rezultat, nazivnici obje frakcije postat će jednaki umnošku izvornih nazivnika. Pogledaj:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Uzmite u obzir nazivnike susjednih razlomaka kao dodatne čimbenike. Dobivamo:

Da, to je tako jednostavno. Ako tek počinjete učiti razlomke, bolje je raditi s ovom određenom metodom - na taj ćete se način osigurati od mnogih pogrešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedini nedostatak ove metode je što morate puno računati, jer se nazivnici množe "točno kroz", a rezultat može biti vrlo velik. To je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkih djelitelja

Ova tehnika pomaže uvelike smanjiti izračune, ali se, nažalost, rijetko koristi. Metoda je sljedeća:

1. Prije nego što nastavite (to jest, unakrsna metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen s drugim.
2. Broj dobiven kao rezultat takvog dijeljenja bit će dodatni faktor za razlomak s nižim nazivnikom.
3. U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ničim - to je ušteda. Istodobno se vjerojatnost pogreške naglo smanjuje.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Budući da je u oba slučaja jedan nazivnik ravnomjerno djeljiv s drugim, primjenjujemo metodu zajedničkih čimbenika. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak nikada nije pomnožen s ničim. Zapravo smo prepolovili količinu izračunavanja!

Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih brojati poprečno. Nakon smanjenja, odgovori će biti isti, ali bit će još puno posla.

To je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, ponavljam, može se primijeniti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što je dovoljno rijetko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kad frakcije dovedemo do zajedničkog nazivnika, u suštini pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Zatim na ovaj broj dovedemo nazivnike oba razlomka.

Takvih je brojeva puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak izravnom umnožaku nazivnika izvornih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi "križanog križa".

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je u redu, budući da je 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Ovaj je broj mnogo manji od proizvoda 8 · 12 \u003d 96.

Najmanji broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom naziva se njihov (LCM).

Oznaka: najmanji zajednički višekratnik a i b označen je LCM (a; b). Na primjer, LCM (16; 24) \u003d 48; LCM (8; 12) \u003d 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupan iznos izračuna bit će minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 · 3. Čimbenici 2 i 3 zajednički su (nemaju zajedničke čimbenike, osim 1), a faktor 117 je uobičajen. Prema tome, LCM (234; 351) \u003d 117 2 3 \u003d 702.

Slično tome, 15 \u003d 5,3; 20 \u003d 5 · 4. Čimbenici 3 i 4 relativno su prosti, a faktor 5 je uobičajen. Prema tome, LCM (15; 20) \u003d 5 3 4 \u003d 60.

Sada razlomke dovodimo u zajedničke nazivnike:

Imajte na umu koliko je korisno računanje izvornih nazivnika bilo korisno:

1. Pronašavši iste čimbenike, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višestrukog, što je, općenito govoreći, netrivijalni problem;
2. Iz dobivenog proširenja možete saznati koji čimbenici "nedostaju" za svaki od razlomaka. Na primjer, 234 3 \u003d 702, stoga je za prvi razlomak dodatni faktor 3.

Da biste procijenili kako ogromne dobitke daje najmanje uobičajena višestruka metoda, pokušajte izračunati iste primjere pomoću unakrsne metode. Bez kalkulatora, naravno. Mislim da će nakon ovog komentari biti suvišni.

Nemojte misliti da u stvarnim primjerima neće biti tako složenih razlomaka. Oni se stalno sastaju, a navedeni zadaci nisu ograničenje!

Jedini je problem kako pronaći upravo taj NOO. Ponekad se sve pronađe u nekoliko sekundi, doslovno "na oko", ali u cjelini ovo je složen računski zadatak koji zahtijeva zasebno razmatranje. Ovdje se nećemo dotaknuti ovoga.

Vidi također:

Zajednički nazivnik razlomaka

Prvotno sam htio uključiti metode zajedničkog nazivnika u odlomak Dodavanje i oduzimanje razlomaka. No bilo je toliko informacija, a njihova je važnost toliko velika (uostalom, zajednički nazivnici nisu samo za numeričke razlomke) da je bolje ovo pitanje proučiti odvojeno.

Dakle, recimo da imamo dva razlomka s različitim nazivnicima. A mi želimo da nazivnici budu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka koje, podsjetimo, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože s istim nula brojem.

Dakle, ako su čimbenici pravilno odabrani, nazivnici razlomaka postat će jednaki - naziva se taj postupak. I pozivaju se potrebni brojevi, koji "izravnavaju" nazivnike.

Zašto uopće trebate razlomke dovesti u zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

1. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način za izvođenje ove operacije;
2. Usporedba razlomaka. Ponekad pretvaranje u zajednički nazivnik znatno olakšava ovaj zadatak;
3. Rješavanje problema za udjele i postotke. Postoci su zapravo uobičajeni izrazi koji sadrže razlomke.

Postoji mnogo načina za pronalaženje brojeva koji, pomnoženi sa, čine nazivnike razlomaka jednakim. Razmotrit ćemo samo tri od njih - kako bi se povećala složenost i, u određenom smislu, učinkovitost.

Unakrsno množenje

Najjednostavniji i najpouzdaniji način za koji se jamči poravnanje nazivnika. Ići ćemo naprijed: množimo prvi razlomak nazivnikom drugog razlomka, a drugi - nazivnikom prvog. Kao rezultat, nazivnici obje frakcije postat će jednaki umnošku izvornih nazivnika.

Pogledaj:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Uzmite u obzir nazivnike susjednih razlomaka kao dodatne čimbenike. Dobivamo:

Da, to je tako jednostavno. Ako tek počinjete učiti razlomke, bolje je raditi s ovom određenom metodom - na taj ćete se način osigurati od mnogih pogrešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedini nedostatak ove metode je što morate puno računati, jer se nazivnici množe "točno kroz", a rezultat može biti vrlo velik. To je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkih djelitelja

Ova tehnika pomaže uvelike smanjiti izračune, ali se, nažalost, rijetko koristi. Metoda je sljedeća:

1. Prije nego što nastavite (to jest, unakrsna metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen s drugim.
2. Broj dobiven kao rezultat takvog dijeljenja bit će dodatni faktor za razlomak s nižim nazivnikom.
3. U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ničim - to je ušteda. Istodobno se vjerojatnost pogreške naglo smanjuje.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Budući da je u oba slučaja jedan nazivnik ravnomjerno djeljiv s drugim, primjenjujemo metodu zajedničkih čimbenika. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak nikada nije pomnožen s ničim. Zapravo smo prepolovili količinu izračunavanja!

Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih brojati poprečno. Nakon smanjenja, odgovori će biti isti, ali bit će još puno posla.

To je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, ponavljam, može se primijeniti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što je dovoljno rijetko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kad frakcije dovedemo do zajedničkog nazivnika, u suštini pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Zatim na ovaj broj dovedemo nazivnike oba razlomka.

Takvih je brojeva puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak izravnom umnožaku nazivnika izvornih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi "križanog križa".

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je u redu, budući da je 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Ovaj je broj mnogo manji od proizvoda 8 · 12 \u003d 96.

Najmanji broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom naziva se njihov (LCM).

Oznaka: najmanji zajednički višekratnik a i b označen je LCM (a; b). Na primjer, LCM (16; 24) \u003d 48; LCM (8; 12) \u003d 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupan iznos izračuna bit će minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 · 3. Čimbenici 2 i 3 zajednički su (nemaju zajedničke čimbenike, osim 1), a faktor 117 je uobičajen. Prema tome, LCM (234; 351) \u003d 117 2 3 \u003d 702.

Slično tome, 15 \u003d 5,3; 20 \u003d 5 · 4. Čimbenici 3 i 4 relativno su prosti, a faktor 5 je uobičajen. Prema tome, LCM (15; 20) \u003d 5 3 4 \u003d 60.

Sada razlomke dovodimo u zajedničke nazivnike:

Imajte na umu koliko je korisno računanje izvornih nazivnika bilo korisno:

1. Pronašavši iste čimbenike, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višestrukog, što je, općenito govoreći, netrivijalni problem;
2. Iz dobivenog proširenja možete saznati koji čimbenici "nedostaju" za svaki od razlomaka. Na primjer, 234 3 \u003d 702, stoga je za prvi razlomak dodatni faktor 3.

Da biste procijenili kako ogromne dobitke daje najmanje uobičajena višestruka metoda, pokušajte izračunati iste primjere pomoću unakrsne metode. Bez kalkulatora, naravno. Mislim da će nakon ovog komentari biti suvišni.

Nemojte misliti da u stvarnim primjerima neće biti tako složenih razlomaka. Oni se stalno sastaju, a navedeni zadaci nisu ograničenje!

Jedini je problem kako pronaći upravo taj NOO. Ponekad se sve pronađe u nekoliko sekundi, doslovno "na oko", ali u cjelini ovo je složen računski zadatak koji zahtijeva zasebno razmatranje. Ovdje se nećemo dotaknuti ovoga.

Vidi također:

Zajednički nazivnik razlomaka

Prvotno sam htio uključiti metode zajedničkog nazivnika u odlomak Dodavanje i oduzimanje razlomaka. No bilo je toliko informacija, a njihova je važnost toliko velika (uostalom, zajednički nazivnici nisu samo za numeričke razlomke) da je bolje ovo pitanje proučiti odvojeno.

Dakle, recimo da imamo dva razlomka s različitim nazivnicima. A mi želimo da nazivnici budu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka koje, podsjetimo, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože s istim nula brojem.

Dakle, ako su čimbenici pravilno odabrani, nazivnici razlomaka postat će jednaki - naziva se taj postupak. I pozivaju se potrebni brojevi, koji "izravnavaju" nazivnike.

Zašto uopće trebate razlomke dovesti u zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

1. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način za izvođenje ove operacije;
2. Usporedba razlomaka. Ponekad pretvaranje u zajednički nazivnik znatno olakšava ovaj zadatak;
3. Rješavanje problema za udjele i postotke. Postoci su zapravo uobičajeni izrazi koji sadrže razlomke.

Postoji mnogo načina za pronalaženje brojeva koji, pomnoženi sa, čine nazivnike razlomaka jednakim. Razmotrit ćemo samo tri od njih - kako bi se povećala složenost i, u određenom smislu, učinkovitost.

Unakrsno množenje

Najjednostavniji i najpouzdaniji način za koji se jamči poravnanje nazivnika. Ići ćemo naprijed: množimo prvi razlomak nazivnikom drugog razlomka, a drugi - nazivnikom prvog. Kao rezultat, nazivnici obje frakcije postat će jednaki umnošku izvornih nazivnika. Pogledaj:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Uzmite u obzir nazivnike susjednih razlomaka kao dodatne čimbenike. Dobivamo:

Da, to je tako jednostavno. Ako tek počinjete učiti razlomke, bolje je raditi s ovom određenom metodom - na taj ćete se način osigurati od mnogih pogrešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedini nedostatak ove metode je što morate puno računati, jer se nazivnici množe "točno kroz", a rezultat može biti vrlo velik.

Zajednički nazivnik razlomaka

To je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkih djelitelja

Ova tehnika pomaže uvelike smanjiti izračune, ali se, nažalost, rijetko koristi. Metoda je sljedeća:

1. Prije nego što nastavite (to jest, unakrsna metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen s drugim.
2. Broj dobiven kao rezultat takvog dijeljenja bit će dodatni faktor za razlomak s nižim nazivnikom.
3. U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ničim - to je ušteda. Istodobno se vjerojatnost pogreške naglo smanjuje.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Budući da je u oba slučaja jedan nazivnik ravnomjerno djeljiv s drugim, primjenjujemo metodu zajedničkih čimbenika. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak nikada nije pomnožen s ničim. Zapravo smo prepolovili količinu izračunavanja!

Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih brojati poprečno. Nakon smanjenja, odgovori će biti isti, ali bit će još puno posla.

To je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, ponavljam, može se primijeniti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što je dovoljno rijetko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kad frakcije dovedemo do zajedničkog nazivnika, u suštini pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Zatim na ovaj broj dovedemo nazivnike oba razlomka.

Takvih je brojeva puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak izravnom umnožaku nazivnika izvornih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi "križanog križa".

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je u redu, budući da je 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Ovaj je broj mnogo manji od proizvoda 8 · 12 \u003d 96.

Najmanji broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom naziva se njihov (LCM).

Oznaka: najmanji zajednički višekratnik a i b označen je LCM (a; b). Na primjer, LCM (16; 24) \u003d 48; LCM (8; 12) \u003d 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupan iznos izračuna bit će minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 · 3. Čimbenici 2 i 3 zajednički su (nemaju zajedničke čimbenike, osim 1), a faktor 117 je uobičajen. Prema tome, LCM (234; 351) \u003d 117 2 3 \u003d 702.

Slično tome, 15 \u003d 5,3; 20 \u003d 5 · 4. Čimbenici 3 i 4 relativno su prosti, a faktor 5 je uobičajen. Prema tome, LCM (15; 20) \u003d 5 3 4 \u003d 60.

Sada razlomke dovodimo u zajedničke nazivnike:

Imajte na umu koliko je korisno računanje izvornih nazivnika bilo korisno:

1. Pronašavši iste čimbenike, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višestrukog, što je, općenito govoreći, netrivijalni problem;
2. Iz dobivenog proširenja možete saznati koji čimbenici "nedostaju" za svaki od razlomaka. Na primjer, 234 3 \u003d 702, stoga je za prvi razlomak dodatni faktor 3.

Da biste procijenili kako ogromne dobitke daje najmanje uobičajena višestruka metoda, pokušajte izračunati iste primjere pomoću unakrsne metode. Bez kalkulatora, naravno. Mislim da će nakon ovog komentari biti suvišni.

Nemojte misliti da u stvarnim primjerima neće biti tako složenih razlomaka. Oni se stalno sastaju, a navedeni zadaci nisu ograničenje!

Jedini je problem kako pronaći upravo taj NOO. Ponekad se sve pronađe u nekoliko sekundi, doslovno "na oko", ali u cjelini ovo je složen računski zadatak koji zahtijeva zasebno razmatranje. Ovdje se nećemo dotaknuti ovoga.

Da biste riješili primjere razlomcima, morate znati pronaći najmanji zajednički nazivnik. Ispod je detaljna uputa.

Kako pronaći najniži zajednički nazivnik - koncept

Najmanje zajednički nazivnik (LCN) jednostavnim riječima Je li najmanji broj koji je djeljiv nazivnicima svih razlomaka ovaj primjer... Drugim riječima, naziva se Najmanje uobičajeno višestruko (LCM). NOZ se koristi samo ako su nazivnici razlomaka različiti.

Kako pronaći najmanji zajednički nazivnik - primjeri

Razmotrimo primjere pronalaska NOZ.

Izračunaj 3/5 + 2/15.

Rješenje (tijek rada):

• Gledamo nazivnike razlomaka, pazimo da se razlikuju i da izrazi budu što je moguće manji.
• Pronaći najmanji broj, koji je djeljiv s 5 i 15. Ovaj će broj biti 15. Dakle, 3/5 + 2/15 \u003d? / 15.
• Izmjenjivač je sređen. Što će biti u brojniku? Dodatni množitelj pomoći će nam da to shvatimo. Dodatni je čimbenik broj dobiven dijeljenjem NOZ nazivnikom određenog razlomka. Za 3/5, dodatni faktor je 3, budući da je 15/5 \u003d 3. Za drugi razlomak, dodatni faktor je 1, budući da je 15/15 \u003d 1.
• Otkrivši dodatni faktor, množimo ga brojilom razlomaka i zbrajamo dobivene vrijednosti. 3/5 + 2/15 \u003d (3 * 3 + 2 * 1) / 15 \u003d (9 + 2) / 15 \u003d 11/15.

Odgovor: 3/5 + 2/15 \u003d 11/15.

Ako se u primjeru ne dodaju ili oduzmu ne 2, već 3 ili više razlomaka, tada se NOZ mora tražiti za onoliko razlomaka koliko je dato.

Izračunajte: 1/2 - 5/12 + 3/6

Rješenje (redoslijed radnji):

• Pronađite najniži zajednički nazivnik. Minimalno djeljivo sa 2, 12 i 6 je 12.
• Dobivamo: 1/2 - 5/12 + 3/6 \u003d? / 12.
• Tražimo dodatne čimbenike. Za 1/2 - 6; za 5/12 - 1; za 3/6 - 2.
• Množimo brojilom i dodjeljujemo odgovarajuće znakove: 1/2 - 5/12 + 3/6 \u003d (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 \u003d 7/12.

Odgovor: 1/2 - 5/12 + 3/6 \u003d 7/12.

Kako pronaći LCM (najmanje zajednički višekratnik)

Najmanji zajednički višekratnik dviju cijelih brojeva najmanji je od svih cijelih brojeva, koji se ravnomjerno dijeli s oba dana.

Metoda 1... Možete pronaći LCM, zauzvrat, za svaki od danih brojeva, upisujući uzlazno redoslijed sve brojeve koji se dobivaju množenjem s 1, 2, 3, 4 i tako dalje.

Primjer za brojeve 6 i 9.
Broj 6 pomnožimo uzastopno s 1, 2, 3, 4, 5.
Dobivamo: 6, 12, 18 , 24, 30
Broj 9 pomnožimo uzastopno s 1, 2, 3, 4, 5.
Dobivamo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kao što vidite, LCM za brojeve 6 i 9 bit će 18.

Ova je metoda prikladna kada su oba broja mala i lako ih je pomnožiti nizom cijelih brojeva. Međutim, postoje slučajevi kada trebate pronaći LCM za dvoznamenkaste ili troznamenkaste brojeve, kao i kada su izvorni brojevi tri ili čak više.

Metoda 2... LCM možete pronaći proširivanjem izvornih brojeva u glavni faktori.
Nakon proširenja potrebno je precrtati iste brojeve iz rezultirajućeg niza prostih faktora. Preostali brojevi prvog broja bit će čimbenik drugog, a preostali brojevi drugog broja faktor prvog.

Primjerza broj 75 i 60.
Najmanje uobičajeni višekratnik 75 i 60 može se naći bez zapisivanja višekratnika ovih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, proširujemo 75 i 60 na osnovne čimbenike:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kao što vidite, faktori 3 i 5 nalaze se u oba retka. Mentalno ih "prekrižimo".
Zapišimo preostale čimbenike uključene u razgradnju svakog od ovih brojeva. Pri širenju broja 75 ostaje nam broj 5, a pri razlaganju broja 60 imamo 2 * 2
Dakle, da bismo odredili LCM za brojeve 75 i 60, moramo pomnožiti preostale brojeve od razgradnje 75 (ovo je 5) sa 60, a brojeve koji preostaju od razgradnje broja 60 (ovo je 2 * 2) pomnožimo sa 75. To jest, radi lakšeg razumijevanja, kažemo da množimo "poprečno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo pronašli LCM za brojeve 60 i 75. Ovo je broj 300.

Primjer... Odredite LCM za brojeve 12, 16, 24
U ovom će slučaju naše radnje biti nešto složenije. Ali, prvo, kao i uvijek, sve brojeve dijelimo na proste faktore
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Da bismo ispravno odredili LCM, odabiremo najmanji od svih brojeva (ovo je broj 12) i uzastopno prolazimo kroz njegove čimbenike, precrtavajući ih ako barem jedan od ostalih nizova brojeva ima isti, a još ne prekriženi faktor.

Korak 1 . Vidimo da se 2 * 2 javlja u svim redovima brojeva. Mi ih precrtamo.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. U glavnim faktorima broja 12 ostaje samo broj 3. Ali on je prisutan u glavnim faktorima broja 24. Iz oba reda prekrižite broj 3, dok se za broj 16 ne podrazumijeva nikakva radnja.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kao što vidite, prilikom proširenja broja 12 "prekrižili" smo sve brojeve. To znači da je nalaz NOO-a dovršen. Ostaje samo izračunati njegovu vrijednost.
Za broj 12 uzimamo preostale faktore broja 16 (najbliži u rastućem redoslijedu)
12 * 2 * 2 = 48
Ovo je NOO

Kao što vidite, u ovom je slučaju pronalazak LCM-a bilo nešto teže, ali kad ga trebate pronaći za tri ili više brojeva, ova metoda omogućuje vam brže postizanje. Međutim, obje su metode pronalaska LCM točne.

Materijal u ovom članku objašnjava, kako pronaći najmanji zajednički nazivnik i kako razlomke dovesti u zajednički nazivnik... Prvo se daju definicije zajedničkog nazivnika razlomaka i najmanjeg zajedničkog nazivnika, a također je prikazano i kako pronaći zajednički nazivnik razlomaka. Slijedi pravilo za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik i razmatraju se primjeri primjene ovog pravila. U zaključku se analiziraju primjeri dovođenja tri ili više razlomaka u zajednički nazivnik.

Navigacija po stranici.

Što se naziva smanjivanje razlomka zajedničkim nazivnikom?

Sada možemo reći što je svođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik razlomaka Je li množenje brojnika i nazivnika ovih razlomaka s takvim dodatnim čimbenicima da su rezultat razlomci s istim nazivnicima.

Zajednički nazivnik, definicija, primjeri

Sada je vrijeme da definiramo zajednički nazivnik razlomaka.

Drugim riječima, zajednički nazivnik skupa običnih razlomaka je bilo koji prirodni broj koji je djeljiv sa svim nazivnicima tih razlomaka.

Iz gornje definicije proizlazi da zadani skup razlomaka ima beskonačno mnogo zajedničkih nazivnika, budući da postoji beskonačno mnogo zajedničkih višekratnika svih nazivnika izvornog skupa razlomaka.

Pronalaženje zajedničkog nazivnika razlomaka omogućuje vam pronalaženje zajedničkih nazivnika danih razlomaka Neka, na primjer, dobiju razlomke 1/4 i 5/6, njihovi nazivnici su 4, odnosno 6. Pozitivni zajednički višekratnici 4 i 6 su 12, 24, 36, 48, ... Bilo koji od ovih brojeva zajednički je nazivnik 1/4 i 5/6.

Da biste učvrstili materijal, razmotrite rješenje sljedećeg primjera.

Primjer.

Mogu li se razlomci 2/3, 23/6 i 7/12 svesti na zajednički nazivnik 150?

Odluka.

Da bismo odgovorili na postavljeno pitanje, moramo otkriti je li broj 150 zajednički višekratnik nazivnika 3, 6 i 12. Da biste to učinili, provjerite je li 150 jednako podijeljeno sa svakim od ovih brojeva (ako je potrebno, pogledajte pravila i primjere za dijeljenje prirodnih brojeva, kao i pravila i primjere za dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom): 150: 3 \u003d 50, 150 : 6 \u003d 25, 150: 12 \u003d 12 (ostatak 6).

Tako, 150 nije ravnomjerno djeljivo s 12, tako da 150 nije uobičajeni višekratnik 3, 6 i 12. Stoga broj 150 ne može biti zajednički nazivnik izvornih razlomaka.

Odgovor:

Ne možete.

Najniži zajednički nazivnik, kako ga pronaći?

U skupu brojeva koji su zajednički nazivnici ovih razlomaka nalazi se najmanji prirodni broj, koji se naziva najmanji zajednički nazivnik. Oblikujmo definiciju najmanjeg zajedničkog nazivnika ovih razlomaka.

Definicija.

Najmanje zajednički nazivnik Je li najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka.

Ostaje shvatiti kako pronaći najmanju zajednički djelitelj.

Budući da je najmanje pozitivan zajednički nazivnik određenog skupa brojeva, LCM nazivnika ovih razlomaka najmanji je zajednički nazivnik tih razlomaka.

Dakle, pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika razlomaka svodi se na nazivnike tih razlomaka. Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Nađi najmanji zajednički nazivnik razlomaka 3/10 i 277/28.

Odluka.

Nazivnici tih razlomaka su 10 i 28. Željeni najniži zajednički nazivnik nalazi se kao LCM od 10 i 28. U našem je slučaju to lako: budući da je 10 \u003d 2 5 i 28 \u003d 2 2 7, tada je LCM (15, 28) \u003d 2 2 5 7 \u003d 140.

Odgovor:

140 .

Kako razlomke dovesti u zajednički nazivnik? Pravilo, primjeri, rješenja

Obično uobičajene razlomke dovesti do najnižeg zajedničkog nazivnika. Sada ćemo zapisati pravilo koje objašnjava kako razlomke dovesti na najmanji zajednički nazivnik.

Pravilo za svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik sastoji se od tri koraka:

• Prvo pronađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka.
• Drugo, izračunava se dodatni faktor za svaki razlomak, za koji je najmanji zajednički nazivnik podijeljen s nazivnikom svakog razlomka.
• Treće, brojnik i nazivnik svakog razlomka množe se njegovim dodatnim faktorom.

Primijenimo navedeno pravilo na rješenje sljedećeg primjera.

Primjer.

Razlomke 5/14 i 7/18 dovedite na najmanji zajednički nazivnik.

Odluka.

Izvršimo sve korake algoritma za svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik.

Prvo pronađite najmanji zajednički nazivnik, koji je najmanji zajednički višekratnik 14 i 18. Budući da je 14 \u003d 2 7 i 18 \u003d 2 3 3, tada je LCM (14, 18) \u003d 2 3 3 7 \u003d 126.

Sada izračunavamo dodatne čimbenike s kojima će se razlomci 5/14 i 7/18 svesti na nazivnik 126. Za razlomak 5/14, dodatni množitelj je 126: 14 \u003d 9, a za razlomak 7/18, dodatni množitelj je 126: 18 \u003d 7.

Preostaje množiti brojnike i nazivnike razlomka 5/14 i 7/18 dodatnim faktorima 9, odnosno 7. Imamo i .

Dakle, dovođenje razlomaka 5/14 i 7/18 na najmanji zajednički nazivnik je završeno. Rezultat su razlomci 45/126 i 49/126.

Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo morate odlučiti o značenju izraza "višestruki".

Višekratnik A prirodni je broj koji se dijeli s A. Dakle, višekratnici 5 mogu se smatrati 15, 20, 25 i tako dalje.

Može biti ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačno mnogo višekratnika.

Zajednički višestruki prirodni brojevi - broj koji je njima djeljiv bez ostatka.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva (dva, tri ili više) najmanji je prirodni broj koji je djeljiv sa svim tim brojevima.

Postoji nekoliko načina kako pronaći LCM.

Za male brojeve prikladno je zapisati sve višekratnike tih brojeva u red dok među njima nema zajedničkog. Višestruki su označeni u unosu velikim slovom K.

Na primjer, višekratnici 4 mogu se zapisati ovako:

K (4) \u003d (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) \u003d (12, 18, 24, ...)

Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik 4 i 6 24. Ovaj se unos izvodi na sljedeći način:

LCM (4, 6) \u003d 24

Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik od tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugu metodu za izračunavanje LCM-a.

Da biste dovršili zadatak, morate rastaviti predložene brojeve na proste faktore.

Prvo morate u redak napisati proširenje najvećeg broja, a ispod njega - ostatak.

U proširenju svakog broja može biti prisutan različit broj čimbenika.

Na primjer, podijelimo brojeve 50 i 20 na proste faktore.

U proširenju manjeg broja trebali biste naglasiti čimbenike koji nedostaju u proširenju prvog najvećeg broja, a zatim ih dodati njemu. U prikazanom primjeru nedostaju dva.

Sada možete izračunati najmanji zajednički višekratnik 20 i 50.

LCM (20, 50) \u003d 2 * 5 * 5 * 2 \u003d 100

Dakle, umnožak glavnih čimbenika većeg broja i čimbenika drugog broja koji nisu uključeni u proširenje većeg broja bit će najmanji zajednički višekratnik.

Da bi se pronašao LCM od tri broja ili više, sve bi ih trebalo razložiti na proste faktore, kao u prethodnom slučaju.

Kao primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, u faktoriziranje većeg broja na čimbenike nisu uključena samo dva dvojka od faktoriziranja šesnaest (jedan je u faktorizanju dvadeset i četiri).

Stoga ih treba dodati proširenju većeg broja.

LCM (12, 16, 36) \u003d 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 \u003d 9

Postoje posebni slučajevi određivanja najmanje zajedničkog višestrukog. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od tih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.

Na primjer, LCM od dvanaest i dvadeset i četiri bio bi dvadeset i četiri.

Ako trebate pronaći najmanji zajednički višekratnik međusobno primarni brojevikoji nemaju iste djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom proizvodu.

Na primjer, LCM (10, 11) \u003d 110.