Nazivnik aritmetičkog razlomka a / b je broj b, koji pokazuje veličine jediničnih razlomaka koji čine razlomak. Imenitelj algebarskog razlomka A / B je algebarski izraz B. Da bi izvršili računske radnje s razlomcima, moraju se svesti na najmanji zajednički nazivnik.

Trebat će vam

• Da biste radili s algebarskim razlomcima pri pronalaženju najmanjeg zajedničkog nazivnika, morate znati metode faktoringa polinoma.

Upute

Razmotrimo smanjenje dvaju aritmetičkih razlomaka n / m i s / t na najmanji zajednički nazivnik, gdje su n, m, s, t cijeli brojevi. Jasno je da se ove dvije frakcije mogu svesti na bilo koji nazivnik djeljiv s m i t. Ali oni ih pokušavaju dovesti do najnižeg zajedničkog nazivnika. Jednako je najmanjem zajedničkom višekratniku nazivnika m i t ovih razlomaka. Najmanji višekratnik (LCM) brojeva najmanji je koji je djeljiv sa svim danim brojevima istovremeno. Oni. u našem je slučaju potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva m i t. Označen je kao LCM (m, t). Tada se razlomci pomnože s odgovarajućim: (n / m) * (LCM (m, t) / m), (s / t) * (LCM (m, t) / t).

Pronađimo najmanji zajednički nazivnik od tri razlomka: 4/5, 7/8, 11/14. Prvo, proširimo nazivnike 5, 8, 14: 5 \u003d 1 * 5, 8 \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3, 14 \u003d 2 * 7. Dalje, izračunavamo LCM (5, 8, 14), množenjem svih brojeva uključenih u barem jedno od proširenja. LCM (5, 8, 14) \u003d 5 * 2 ^ 3 * 7 \u003d 280. Imajte na umu da ako se faktor pojavi u ekspanziji nekoliko brojeva (faktor 2 u ekspanziji nazivnika 8 i 14), tada uzimamo faktor u većoj mjeri (2 ^ 3 u našem slučaju).

Dakle, primljen je ukupan iznos. To je 280 \u003d 5 * 56 \u003d 8 * 35 \u003d 14 * 20. Ovdje dobivamo brojeve kojima moramo množiti razlomke s odgovarajućim nazivnicima kako bismo ih doveli do najnižeg zajedničkog nazivnika. Dobivamo 4/5 \u003d 56 * (4/5) \u003d 224/280, 7/8 \u003d 35 * (7/8) \u003d 245/280, 11/14 \u003d 20 * (11/14) \u003d 220/280.

Algebarski razlomci svode se na najmanji zajednički nazivnik analogno aritmetičkim. Radi jasnoće, problem razmotrite na primjeru. Neka budu dana dva razlomka (2 * x) / (9 * y ^ 2 + 6 * y + 1) i (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * y + 1). Faktor oba nazivnika. Imajte na umu da je nazivnik prvog razlomka potpuni kvadrat: 9 * y ^ 2 + 6 * y + 1 \u003d (3 * y + 1) ^ 2. Za

Ali mnogi prirodni brojevi ravnomjerno se dijele s drugim prirodnim brojevima.

na primjer:

Broj 12 dijeli se s 1, s 2, s 3, sa 4, sa 6, s 12;

Broj 36 djeljiv je s 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Zovu se brojevi kojima je broj ravnomjerno djeljiv (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) djelitelji... Djelitelj prirodnog broja a je prirodni broj koji dijeli zadani broj a bez ostatka. Pozvan je prirodni broj koji ima više od dva djelitelja kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke čimbenike. To su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj dvaju zadanih brojeva a i b - ovo je broj kojim su oba zadana broja djeljiva bez ostatka ai b.

Zajednički višestruki više brojeva je broj koji je djeljiv sa svakim od ovih brojeva. na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik od 180. Ali 90 i 360 su i njihovi zajednički višekratnici. Među svim j ukupnim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Taj se broj naziva najmanjizajednički višestruki (LCM).

LCM je uvijek prirodni broj, koji mora biti veći od najvećeg broja za koji je određen.

Najmanje zajedničko višestruko (LCM). Svojstva.

Promjenjivost:

Asocijativnost:

Konkretno, ako i jesu koprimjerni brojevi, tada:

Najmanje zajednički višekratnik dviju cijelih brojeva mi n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika mi n... Štoviše, skup zajedničkih višestrukih m, n poklapa se sa skupom višekratnika za LCM ( m, n).

Asimptotika za može se izraziti kroz neke teorijske funkcije.

Tako, Funkcija Čebiševa ... I:

To proizlazi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g (n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanje zajedničkog višestrukog (LCM).

LCM ( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegov odnos s LCM-om:

2. Neka bude poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

gdje p 1, ..., p k - razni primarni brojevi, i d 1, ..., d k i e 1, ..., e k - negativne cijele brojeve (mogu biti nule ako u razlazu nema odgovarajućeg prosteg broja).

Tada LCM ( a,b) izračunava se po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve osnovne faktore uključene u barem jedno od proširenja broja a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog faktora.

Primjer:

Izračun najmanje zajedničkog višekratnika od nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračuna LCM-a dva broja:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastaviti brojeve na proste faktore;

- prenijeti najveće proširenje u faktore željenog proizvoda (umnožak čimbenika najvećeg broja danih), a zatim dodati čimbenike iz proširenja ostalih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se pojavljuju u to manje puta;

- rezultirajući umnožak prostih faktora bit će LCM danih brojeva.

Bilo koja dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu međusobno višekratnici ili nemaju iste čimbenike u proširenju, tada je njihov LCM jednak umnošku tih brojeva.

Glavni čimbenici broja 28 (2, 2, 7) dopunjeni su s faktorom 3 (broj 21), a dobiveni proizvod (84) bit će najmanji brojkoji je djeljiv sa 21 i 28.

Glavni čimbenici najvećeg broja 30 dopunjeni su s faktorom 5 od 25, dobiveni proizvod 150 veći je od najvećeg broja 30 i podijeljen je sa svim danim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući proizvod (150, 250, 300 ...), što je višekratnik svih zadanih brojeva.

Brojevi 2,3,11,37 su prost, pa je njihov LCM jednak umnošku danih brojeva.

Pravilo... Da biste izračunali LCM prostih brojeva, morate pomnožiti sve te brojeve među sobom.

Druga mogućnost:

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) od nekoliko brojeva, trebate:

1) predstaviti svaki broj kao umnožak njegovih glavnih čimbenika, na primjer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite moći svih glavnih čimbenika:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapiši sve glavne djelitelje (čimbenike) svakog od ovih brojeva;

4) odaberite najviši stupanj svakog od njih, pronađen u svim proširenjima tih brojeva;

5) pomnožite ove stupnjeve.

Primjer ... Pronađite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Odluka ... 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 \u003d 2 2 2 2 3 3 3 7 \u003d 2 4 3 3 7 1.

Zapisujemo najveće moći svih glavnih čimbenika i množimo ih:

LCM \u003d 2 4 3 3 5 1 7 1 \u003d 15 120.

Većina operacija s algebarskim razlomcima, poput zbrajanja i oduzimanja, zahtijeva prethodno smanjenje tih razlomaka na isti nazivnici... Takvi se nazivnici također često označavaju izrazom „ zajednički nazivnik". U ovoj ćemo temi razmotriti definiciju pojmova "zajednički nazivnik algebarskih razlomaka" i "najmanji zajednički nazivnik algebarskih razlomaka (LCF)", razmotriti algoritam za pronalaženje zajedničkog nazivnika točku po točku i riješiti nekoliko problema na temu .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Zajednički nazivnik algebarskih razlomaka

Ako govorimo o običnim razlomcima, tada je zajednički nazivnik broj koji je djeljiv s bilo kojim nazivnikom izvornih razlomaka. Za uobičajene razlomke 1 2 i 5 9 36 može biti zajednički nazivnik, jer je djeljiv s 2 i 9 bez ostatka.

Zajednički nazivnik algebarskih razlomaka definiran je na sličan način, umjesto brojeva koriste se samo polinomi, budući da su oni u brojiteljima i nazivnicima algebarskog razlomka.

Definicija 1

Zajednički nazivnik algebarskog razlomkaJe li polinom koji je djeljiv nazivnikom bilo kojeg razlomka.

U vezi s osobitostima algebarskih razlomaka, o kojima će biti riječi u nastavku, često ćemo se baviti zajedničkim nazivnicima prikazanim u obliku proizvoda, a ne u obliku standardnog polinoma.

Primjer 1

Polinom napisan kao umnožak 3 x 2 (x + 1), odgovara polinomu standardnog oblika 3 x 3 + 3 x 2... Ovaj polinom može biti zajednički nazivnik algebarskih razlomaka 2 x, - 3 x y x 2 i y + 3 x + 1, s obzirom na to da je djeljiv sa x, na x 2 i dalje x + 1... Informacije o djeljivosti polinoma nalaze se u odgovarajućoj temi našeg resursa.

Najmanje zajednički nazivnik (LCN)

Za zadane algebarske razlomke broj zajedničkih nazivnika može biti beskonačan.

Primjer 2

Uzmimo za primjer razlomke 1 2 x i x + 1 x 2 + 3. Njihov zajednički nazivnik je 2 x (x 2 + 3)Kao - 2 x (x 2 + 3)Kao x (x 2 + 3)Kao 6,4 x (x 2 + 3) (y + y 4)Kao - 31 x 5 (x 2 + 3) 3itd.

Pri rješavanju problema svoj rad možete olakšati upotrebom zajedničkog nazivnika, koji među svim skupima nazivnika ima najjednostavniji oblik. Ovaj se nazivnik često naziva najnižim zajedničkim nazivnikom.

Definicija 2

Najmanje zajednički nazivnik algebarskih razlomaka Je li zajednički nazivnik algebarskih razlomaka, koji ima najjednostavniji oblik.

Inače, pojam "najniži zajednički nazivnik" nije općeprihvaćen, stoga je bolje ograničiti se na pojam "zajednički nazivnik". I zato.

Ranije smo vašu pozornost usmjerili na frazu „nazivnik najviše jednostavna vrsta". Glavno značenje ove fraze je sljedeće: bilo koji drugi zajednički nazivnik podataka u stanju problema algebarskih razlomaka treba bez ostatka podijeliti nazivnikom najjednostavnijeg oblika. U ovom slučaju, u proizvodu, koji je zajednički nazivnik razlomaka, možete koristiti razne numeričke koeficijente.

Primjer 3

Uzmi razlomke 1 2 x i x + 1 x 2 + 3. Već smo otkrili da će nam biti najlakše raditi sa zajedničkim nazivnikom oblika 2 x (x 2 + 3). Također, zajednički nazivnik za ove dvije frakcije može biti x (x 2 + 3)koji ne sadrži brojčani faktor. Pitanje je koji je od ova dva zajednička nazivnika najmanji zajednički nazivnik razlomaka. Ne postoji jednoznačan odgovor, stoga je ispravnije govoriti jednostavno o zajedničkom nazivniku i uzeti u obzir opciju s kojom će biti najprikladnije raditi. Dakle, možemo koristiti tako zajedničke nazivnike kao x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) ili - 15 x 5 (x 2 + 3) 3koji imaju više složeni pogledali s njima može biti teže.

Pronalaženje zajedničkog nazivnika algebarskih razlomaka: algoritam radnji

Pretpostavimo da imamo nekoliko algebarskih razlomaka za koje moramo pronaći zajednički nazivnik. Da bismo riješili ovaj problem, možemo se poslužiti sljedećim algoritmom radnji. Prvo moramo razmnožiti nazivnike izvornih razlomaka. Zatim sastavljamo djelo u koje sukcesivno uključujemo:

• svi čimbenici iz nazivnika prvog razlomka zajedno sa ovlastima;
• svi čimbenici prisutni u nazivniku drugog razlomka, ali koji nisu u pisanom radu ili njihov stupanj nije dovoljan;
• svi faktori koji nedostaju iz nazivnika trećeg razlomka i tako dalje.

Dobiveni proizvod bit će zajednički nazivnik algebarskih razlomaka.

Kao multiplikatori proizvoda možemo uzeti sve nazivnike razlomaka danih u rješenju problema. Međutim, množitelj koji dobijemo na kraju bit će daleko od NOZ-a i njegova će uporaba biti neracionalna.

Primjer 4

Pronađite zajednički nazivnik razlomaka 1 x 2 y, 5 x + 1 i y - 3 x 5 y.

Odluka

U ovom slučaju ne moramo dijeliti nazivnike izvornih razlomaka. Stoga ćemo algoritam početi primjenjivati \u200b\u200bsastavljanjem djela.

Iz nazivnika prvog razlomka uzimamo faktor x 2 god, iz nazivnika drugog razlomka faktor x + 1... Dobili smo posao x 2 g (x + 1).

Nazivnik trećeg razlomka može nam dati množitelj x 5 godmeđutim, u djelu koje smo prethodno sastavili već postoje faktori x 2 i g... Stoga dodajemo još x 5 - 2 \u003d x 3... Dobili smo posao x 2 y (x + 1) x 3koji se mogu svesti na oblik x 5 g (x + 1)... Ovo će biti naša NOZ algebarskih razlomaka.

Odgovor: x 5 y (x + 1).

Sada ćemo razmotriti primjere problema kada nazivnici algebarskih razlomaka imaju cjelobrojne numeričke čimbenike. U takvim slučajevima postupamo i prema algoritmu, prethodno razgradivši cjelobrojne numeričke čimbenike u proste faktore.

Primjer 5

Nađi zajednički nazivnik razlomaka 1 12 x i 1 90 x 2.

Odluka

Proširivanjem brojeva u nazivnicima razlomaka u proste činitelje dobivamo 1 2 2 3 x i 1 2 3 2 5 x 2. Sada možemo prijeći na sastavljanje zajedničkog nazivnika. Da bismo to učinili, iz nazivnika prve frakcije uzimamo proizvod 2 2 3 x i dodajte čimbenike 3, 5 i x iz nazivnika drugog razlomka. Dobivamo 2 2 3 x 3 5 x \u003d 180 x 2... Ovo je naš zajednički nazivnik.

Odgovor: 180 x 2.

Ako pažljivo pogledate rezultate dva analizirana primjera, primijetit ćete da zajednički nazivnici razlomaka sadrže sve čimbenike prisutne u proširenjima nazivnika, a ako je određeni faktor prisutan u nekoliko nazivnika, tada se uzima s najvećim od dostupnih eksponenata. A ako u nazivnicima postoje cjelobrojni koeficijenti, tada je u zajedničkom nazivniku numerički faktor jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih numeričkih koeficijenata.

Primjer 6

Nazivnici oba algebarska razlomka 1 12 x i 1 90 x 2 imaju faktor x... U drugom slučaju, faktor x je na kvadrat. Da bismo sastavili zajednički nazivnik, moramo uzeti taj faktor u najvećoj mjeri, t.j. x 2... Ne postoje drugi multiplikatori s varijablama. Cjelobrojni numerički koeficijenti izvornih razlomaka 12 i 90 , a njihov najmanje zajednički višekratnik je 180 ... Ispada da željeni zajednički nazivnik ima oblik 180 x 2.

Sada možemo napisati drugi algoritam za pronalaženje zajedničkog faktora algebarskih razlomaka. Za ovo mi:

• nazivnike svih razlomaka raščlanjujemo na čimbenike;
• sastaviti umnožak svih abecednih čimbenika (ako postoji faktor u nekoliko proširenja, uzimamo opciju s najvećim eksponentom);
• rezultirajućem proizvodu dodajte LCM numeričkih koeficijenata širenja.

Dati algoritmi su ekvivalentni, pa se bilo koji od njih može koristiti u rješavanju problema. Važno je obratiti pažnju na detalje.

Postoje slučajevi kada se zajednički čimbenici u nazivnicima razlomaka ne mogu primijetiti iza numeričkih koeficijenata. Ovdje je poželjno prvo izvaditi numeričke koeficijente pri najvećim stupnjevima varijabli izvan zagrada u svakom od faktora u nazivniku.

Primjer 7

Koji je zajednički nazivnik razlomaka 3 5 - x i 5 - x · y 2 2 · x - 10.

Odluka

U prvom se slučaju iz zagrada mora izvaditi minus jedan. Dobivamo 3 - x - 5. Pomnožite brojilac i nazivnik s - 1 da biste se riješili minusa u nazivniku: - 3 x - 5.

U drugom slučaju iz zagrade stavljamo dvije. To nam omogućuje da dobijemo razlomak 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Očito je da je zajednički nazivnik ovih algebarskih razlomaka - 3 x - 5 i 5 - x y 2 2 x - 5 2 (x - 5).

Odgovor: 2 (x - 5).

Podaci o razlomcima u iskazu problema mogu imati frakcijske koeficijente. U tim se slučajevima prvo morate riješiti frakcijskih koeficijenata množenjem brojnika i nazivnika s nekim brojem.

Primjer 8

Pojednostaviti algebarski razlomci 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 i - 2 2 3 x 2 + 1 1 3, a zatim odredite njihov zajednički nazivnik.

Odluka

Riješimo se frakcijskih koeficijenata množenjem brojnika i nazivnika u prvom slučaju s 14, u drugom slučaju s 3. Dobivamo:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 \u003d 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 \u003d 7 x + 1 x 2 + 2 i - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 \u003d 3 - 2 3 2 3 x 2 + 4 3 \u003d - 6 2 x 2 + 4 \u003d - 6 2 x 2 + 2.

Nakon izvršenih transformacija postaje jasno da je zajednički nazivnik 2 (x 2 + 2).

Odgovor: 2 (x 2 + 2).

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Višestruki je broj koji je ravnomjerno djeljiv s danim brojem. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji se ravnomjerno dijeli sa svakim brojem u grupi. Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik, morate pronaći proste faktore danih brojeva. LCM se također može izračunati pomoću niza drugih metoda koje su primjenjive na skupine od dva ili više brojeva.

Koraci

Niz višestrukih

Pogledajte dane brojeve. Ovdje opisana metoda najbolje se koristi kada su dana dva broja, od kojih je svaki manji od 10. Ako su brojevi veliki, upotrijebite drugu metodu.

• Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik 5 i 8. To su mali brojevi pa možete koristiti ovu metodu.

1. Višestruki je broj koji je ravnomjerno djeljiv s danim brojem. Više tablica može se naći u tablici množenja.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici od 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapišite niz brojeva koji su višekratnici od prvog broja. Učinite to pod višekratnicima prvog broja da biste usporedili dva reda brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici od 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Pronađite najmanji broj koji se pojavljuje u oba reda višekratnika. Možda ćete morati napisati duge nizove višekratnika da biste ih pronašli ukupni broj... Najmanji broj koji se pojavljuje u oba reda višekratnika najmanji je zajednički višekratnik.

   • Na primjer, najmanji broj koji se pojavi u nizu višekratnika 5 i 8 je 40. Stoga je 40 najmanji zajednički višekratnik 5 i 8.

   Faktorizacija premijera

   1. Pogledajte dane brojeve. Ovdje opisana metoda najbolje se koristi kada su dana dva broja, od kojih je svaki veći od 10. Ako su zadani brojevi manji, upotrijebite drugu metodu.

      • Na primjer, pronađite najniži zajednički višekratnik 20 i 84. Svaki od brojeva veći je od 10, pa možete koristiti ovu metodu.

   2. Faktor prvi broj. Odnosno, morate pronaći takve proste brojeve, pri množenju kojih dobivate zadani broj. Kad pronađete glavne čimbenike, zapišite ih kao jednakosti.

      • Na primjer, 2 × 10 \u003d 20 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ puta 10 \u003d 20) i 2 × 5 \u003d 10 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ puta (\\ mathbf (5)) \u003d 10)... Tako, glavnim faktorima brojevi 20 brojevi su 2, 2 i 5. Zapiši ih kao izraz :.

   3. Faktor drugi broj. Učinite to na isti način kao što ste razložili prvi broj, odnosno pronađite proste brojeve koji će, pomnoženi, dati dati broj.

      • Na primjer, 2 × 42 \u003d 84 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ puta 42 \u003d 84), 7 × 6 \u003d 42 (\\ displaystyle (\\ mathbf (7)) \\ puta 6 \u003d 42) i 3 × 2 \u003d 6 (\\ displaystyle (\\ mathbf (3)) \\ puta (\\ mathbf (2)) \u003d 6)... Dakle, glavni čimbenici 84 su 2, 7, 3 i 2. Zapiši ih kao izraz :.

   4. Zapišite čimbenike zajedničke za oba broja. Zapišite ove čimbenike kao operaciju množenja. Dok zapisujete svaki faktor, prekrižite ga u oba izraza (izrazi koji opisuju proste faktorizacije).

      • Na primjer, zajednički faktor za oba broja je 2, pa napišite 2 × (\\ displaystyle 2 \\ puta) i prekriži 2 u oba izraza.
      • Zajednički za oba broja je još jedan faktor 2, zato napišite 2 × 2 (\\ displaystyle 2 \\ puta 2) i prekriži drugo 2 u oba izraza.

   5. Dodajte preostale čimbenike operaciji množenja. To su čimbenici koji nisu prekriženi u oba izraza, odnosno čimbenici koji nisu zajednički za oba broja.

      • Na primjer, u izrazu 20 \u003d 2 × 2 × 5 (\\ displaystyle 20 \u003d 2 \\ puta 2 \\ puta 5) obje su dvije (2) prekrižene jer su uobičajeni čimbenici. Faktor 5 nije prekrižen, pa napišite operaciju množenja ovako: 2 × 2 × 5 (\\ displaystyle 2 \\ puta 2 \\ puta 5)
      • U izrazu 84 \u003d 2 × 7 × 3 × 2 (\\ displaystyle 84 \u003d 2 \\ puta 7 \\ puta 3 \\ puta 2) također prekrižio obje dvojke (2). Čimbenici 7 i 3 nisu prekriženi, pa napišite operaciju množenja ovako: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\\ displaystyle 2 \\ puta 2 \\ puta 5 \\ puta 7 \\ puta 3).

   6. Izračunaj najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u zabilježenoj operaciji množenja.

      • Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 \u003d 420 (\\ displaystyle 2 \\ puta 2 \\ puta 5 \\ puta 7 \\ puta 3 \u003d 420)... Dakle, najmanji zajednički višekratnik 20 i 84 je 420.

   Pronalaženje zajedničkih djelitelja

   1. Nacrtajte mrežu kao za igru \u200b\u200bu tik-taktu. Takva se mreža sastoji od dvije paralelne ravne crte koje se sijeku (pod pravim kutom) s druge dvije paralelne ravne crte. To će završiti s tri retka i tri stupca (mreža je vrlo slična znaku #). Napišite prvi broj u prvi redak i drugi stupac. Napišite drugi broj u prvi redak i treći stupac.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik od 18 i 30. U prvi redak i drugi stupac napišite 18, a u prvi redak i treći stupac upišite 30.

   2. Pronađite djelitelj zajednički za oba broja. Zapišite to u prvi redak i prvi stupac. Bolje je tražiti glavne čimbenike, ali to nije uvjet.

      • Na primjer, 18 i 30 su parni brojevi, pa je njihov zajednički djelitelj 2. Dakle, upišite 2 u prvi redak i prvi stupac.

   3. Podijelite svaki broj prvim djeliteljem. Napišite svaki količnik pod odgovarajući broj. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.

      • Na primjer, 18 ÷ 2 \u003d 9 (\\ displaystyle 18 \\ div 2 \u003d 9)pa napišite 9 ispod 18.
      • 30 ÷ 2 \u003d 15 (\\ displaystyle 30 \\ div 2 \u003d 15)pa napišite 15 ispod 30.

   4. Pronađite djelitelj zajednički za oba količnika. Ako takvog djelitelja nema, preskočite sljedeća dva koraka. Inače, djelitelj napišite u drugi redak i prvi stupac.

      • Na primjer, 9 i 15 su djeljivi s 3, pa napišite 3 u drugi redak i prvi stupac.

   5. Podijelite svaki količnik s drugim faktorom. Zapišite svaki rezultat podjele pod odgovarajući količnik.

      • Na primjer, 9 ÷ 3 \u003d 3 (\\ displaystyle 9 \\ div 3 \u003d 3)pa napišite 3 ispod 9.
      • 15 ÷ 3 \u003d 5 (\\ displaystyle 15 \\ div 3 \u003d 5)pa napišite 5 ispod 15.

   6. Ako je potrebno, dodajte dodatne stanice u mrežu. Ponavljajte opisane korake dok količnici nemaju zajednički djelitelj.

   7. Zaokružite brojeve u prvom stupcu i posljednjem redu mreže. Zatim zapišite odabrane brojeve kao operaciju množenja.

      • Na primjer, brojevi 2 i 3 nalaze se u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 u posljednjem retku, pa napišite operaciju množenja ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\\ displaystyle 2 \\ puta 3 \\ puta 3 \\ puta 5).

   8. Nađi rezultat množenja brojeva. To će izračunati najmanji zajednički višekratnik od dva zadana broja.

      • Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 \u003d 90 (\\ displaystyle 2 \\ puta 3 \\ puta 3 \\ puta 5 \u003d 90)... Dakle, najmanji zajednički višekratnik od 18 i 30 je 90.

   Euklidov algoritam

   1. Sjetite se terminologije povezane s operacijom podjele. Dividenda je broj koji se dijeli. Dijelitelj je broj podijeljen sa. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Preostali je preostali broj kada se podijele dva broja.

      • Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 \u003d 2 (\\ displaystyle 15 \\ div 6 \u003d 2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je djelitelj
        2 je količnik
        3 je ostatak.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija 2

Ako je prirodni broj a djeljiv s prirodnim brojem $ b $, tada se $ b $ naziva djelitelj $ a $, a $ a $ višekratnik $ b $.

Neka $ a $ i $ b $ budu prirodni brojevi. Broj $ c $ naziva se zajedničkim djeliteljem i za $ a $ i za $ b $.

Skup zajedničkih djelitelja $ a $ i $ b $ konačan je, jer niti jedan od tih djelitelja ne može biti veći od $ a $. Dakle, među tim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najveći zajednički djelitelj brojeva $ a $ i $ b $, a oznaka se koristi za njegovo označavanje:

$ Gcd \\ (a; b) \\ ili \\ D \\ (a; b) $

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dva broja, trebate:

1. Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1

Pronađite gcd brojeva $ 121 $ i $ 132. $

242 dolara \u003d 2 \\ cdot 11 \\ cdot 11 $

132 dolara \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Odaberite brojeve koji su uključeni u razgradnju tih brojeva

242 dolara \u003d 2 \\ cdot 11 \\ cdot 11 $

132 dolara \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički faktor.

$ Gcd \u003d 2 \\ cdot 11 \u003d 22 $

Primjer 2

Pronađite GCD monoma 63 i 81 USD.

Naći ćemo prema prikazanom algoritmu. Za ovo:

Rastavimo brojeve na proste faktore

63 USD \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 7 $

81 USD \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

Biramo brojeve koji su uključeni u razgradnju tih brojeva

63 USD \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 7 $

81 USD \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$ Gcd \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d 9 $

GCD dvaju brojeva možete pronaći na drugi način, pomoću skupa djelitelja brojeva.

Primjer 3

Pronađite GCD brojeva 48 $ i 60 $.

Odluka:

Pronađite skup djelitelja broja $ 48 $: $ \\ lijevo \\ ((\\ rm 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48) \\ desno \\) $

Sada nalazimo skup djelitelja broja $ 60 $: $ \\ \\ lijevo \\ ((\\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \\ desno \\ ) $

Pronađimo presjek ovih skupova: $ \\ lijevo \\ ((\\ rm 1,2,3,4,6,12) \\ desno \\) $ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $ 48 $ i 60 $. Najveći element u ovaj set bit će broj 12 $. Dakle, najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 60 dolara bit će 12 dolara.

Definicija LCM-a

Definicija 3

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva $ a $ i $ b $ je prirodni broj koji je višekratnik i $ a $ i $ b $.

Uobičajeni višekratnici brojeva brojevi su koji se dijele s izvornim bez ostatka. Na primjer, za brojeve 25 i 50 američkih dolara uobičajeni višekratnici bit će brojevi 50 100 150 150 itd.

Najmanji zajednički višekratnik nazvat će se najmanjim zajedničkim višekratnikom i označen sa LCM $ (a; b) $ ili K $ (a; b). $

Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:

1. Brojevi faktora
2. Napišite čimbenike koji su dio prvog broja i dodajte im čimbenike koji su dio drugog, a ne ulaze u prvi

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva 99 $ i 77 $.

Naći ćemo prema prikazanom algoritmu. Za ovo

Brojevi faktora

99 dolara \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Napišite čimbenike uključene u prvi

dodajte im čimbenike koji su dio drugog, a ne ulaze u prvi

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najmanje zajednički višekratnik

$ LCM \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 11 \\ cdot 7 \u003d 693 $

Sastavljanje popisa brojilaca često je dugotrajno. Postoji način da se pronađe GCD, koji se naziva Euklidov algoritam.

Izjave na kojima se temelji Euklidov algoritam:

Ako su $ a $ i $ b $ prirodni brojevi, a $ a \\ vdots b $, tada je $ D (a; b) \u003d b $

Ako su $ a $ i $ b $ prirodni brojevi takvi da $ b

Koristeći $ D (a; b) \u003d D (a-b; b) $, možemo sukcesivno smanjivati \u200b\u200brazmatrane brojeve dok ne postignemo takav par brojeva da je jedan od njih djeljiv s drugim. Tada će manji od ovih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $ a $ i $ b $.

Svojstva GCD-a i LCM-a

1. Bilo koji zajednički višekratnik $ a $ i $ b $ djeljiv je s K $ (a; b) $
2. Ako je $ a \\ vdots b $, tada je K $ (a; b) \u003d a $

Ako je K $ (a; b) \u003d k $ i $ m $ prirodan broj, tada je K $ (am; bm) \u003d km $

Ako je $ d $ uobičajeni djelitelj za $ a $ i $ b $, tada je K ($ \\ frac (a) (d); \\ frac (b) (d) $) \u003d $ \\ \\ frac (k) (d ) $

Ako su $ a \\ vdots c $ i $ b \\ vdots c $, tada je $ \\ frac (ab) (c) $ uobičajeni višekratnik $ a $ i $ b $

Za bilo koje prirodne brojeve $ a $ i $ b $, jednakost

$ D (a; b) \\ cdot K (a; b) \u003d ab $

Bilo koji zajednički djelitelj brojeva $ a $ i $ b $ djelilac je broja $ D (a; b) $