سطح اول

پیشرفت هندسی. راهنمای جامع با مثال (2019)

توالی عددی

پس بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. برای مثال:

شما می توانید هر عددی را بنویسید ، و هر تعداد که دوست دارید وجود دارد (در مورد ما ، آنها). هر تعداد هم که بنویسیم ، همیشه می توانیم بگوییم کدام یک اول است ، کدام دومی است و تا آخر به همین ترتیب ، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از توالی عددی است:

توالی عددی مجموعه ای از اعداد است که می توان به هر یک از آنها یک عدد اختصاص داد.

به عنوان مثال ، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک عدد از توالی است. به عبارت دیگر ، هیچ سه عدد دوم در توالی وجود ندارد. شماره دوم (مانند شماره -th) همیشه یک عدد است.

به شماره با شماره ، عضو هفتم دنباله گفته می شود.

ما معمولاً کل دنباله را بعضی از حرفها می نامیم (به عنوان مثال) ، و هر یک از اعضای این توالی همان حرف با شاخص برابر با تعداد این عضو است:.

در مورد ما:

متداول ترین انواع پیشرفت حسابی و هندسی است. در این موضوع ، در مورد نوع دوم صحبت خواهیم کرد - پیشرفت هندسی.

چرا ما به پیشرفت هندسی و تاریخچه منشأ آن نیاز داریم.

حتی در دوران باستان ، ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو از پیزا (معروف به فیبوناچی) درگیر رفع نیازهای عملی تجارت بود. راهب با این وظیفه روبرو شد که تعیین کمک به کمترین وزن برای توزین کالا می تواند؟ در نوشته های خود ، فیبوناچی اثبات می کند که چنین سیستم وزنی بهینه است: این یکی از اولین موقعیت هایی است که در آن افراد باید با پیشرفت هندسی روبرو شوند ، که احتمالاً قبلاً در مورد آن شنیده اید و حداقل مفهوم کلی... وقتی موضوع را کاملاً فهمیدید ، به این فکر کنید که چرا چنین سیستمی بهینه است؟

در حال حاضر ، در زندگی عملی ، پیشرفت هندسی هنگامی که مبلغ سود از مبلغ انباشته شده برای حساب دوره قبل شارژ می شود ، خود را هنگام سرمایه گذاری پول نشان می دهد. به عبارت دیگر ، اگر پول خود را در یک سپرده مدت دار در یک بانک پس انداز قرار دهید ، پس از یک سال سپرده بیش از مبلغ اصلی افزایش می یابد ، یعنی مبلغ جدید برابر با سپرده ضرب در خواهد بود. در یک سال دیگر ، این مقدار افزایش می یابد ، یعنی مقدار به دست آمده در آن زمان مجدداً ضرب می شود و غیره. وضعیت مشابهی در مشکلات محاسبه به اصطلاح شرح داده شده است بهره مرکب - درصد هر بار از مبلغ موجود در حساب با در نظر گرفتن سود قبلی گرفته می شود. کمی بعد در مورد این کارها صحبت خواهیم کرد.

موارد ساده دیگری وجود دارد که از پیشرفت هندسی استفاده می شود. به عنوان مثال ، شیوع آنفلوانزا: یک نفر شخص را آلوده می کند ، آنها نیز شخص دیگری را آلوده می کنند ، و بنابراین موج دوم عفونت یک فرد است ، و آنها نیز به نوبه خود فرد دیگری را آلوده می کنند ... و غیره .. .

به هر حال ، هرم مالی ، همان MMM ، محاسبه ای ساده و خشک بر اساس خصوصیات یک پیشرفت هندسی است. جالب هست؟ بیایید آن را کشف کنیم

پیشرفت هندسی.

فرض کنیم یک توالی عددی داریم:

بلافاصله پاسخ خواهید داد که آسان است و نام چنین دنباله ای است - پیشرفت حسابی با اختلاف اعضای آن. در این مورد چطور:

اگر عدد قبلی را از عدد بعدی کم کنید ، می بینید که هر بار اختلاف جدیدی بدست می آید (و غیره) ، اما توالی قطعاً وجود دارد و به راحتی متوجه می شوید - هر عدد بعدی چندین برابر بزرگتر از شماره قبلی است یکی

به این نوع توالی اعداد گفته می شود پیشرفت هندسی و توسط نشان داده شده است.

پیشرفت هندسی () یک توالی عددی است که اولین اصطلاح آن غیر صفر است و هر اصطلاح از دوم شروع می شود ، برابر با اصطلاح قبلی است ، ضرب در همان عدد. به این عدد مخرج پیشرفت هندسی گفته می شود.

محدودیت هایی که عبارت اول () برابر نیست و تصادفی نیست. بیایید بگوییم که هیچ وجود ندارد ، و ترم اول هنوز برابر است ، و q برابر است ، هوم .. اجازه دهید ، سپس معلوم می شود:

موافقت کنید که این دیگر پیشرفتی ندارد.

همانطور که می توانید تصور کنید ، اگر عددی غیر از صفر باشد ، و همین نتایج را خواهیم گرفت. در این موارد ، به سادگی پیشرفت نخواهد شد ، زیرا کل مجموعه اعداد یا همه صفر یا یک عدد و همه صفرهای دیگر خواهند بود.

حال بیایید با جزئیات بیشتر درباره مخرج پیشرفت هندسی ، یعنی Fr.

تکرار کنیم: یک عدد است ، چند بار هر اصطلاح بعدی تغییر می کند پیشرفت هندسی

به نظر شما چه می تواند باشد؟ درست ، مثبت و منفی ، اما صفر نیست (ما در این مورد کمی بالاتر صحبت کردیم).

بگذارید بگوییم که یک مورد مثبت داریم. در مورد ما نیز اجازه دهید. ترم دوم چیست و؟ به راحتی می توانید پاسخ دهید:

همه چیز درست است. بر این اساس ، اگر ، پس تمام اعضای بعدی پیشرفت دارای یک نشانه هستند - آنها مثبت.

اگر منفی باشد چه؟ به عنوان مثال ، الف. ترم دوم چیست و؟

این یک داستان کاملاً متفاوت است.

سعی کنید مدت این پیشرفت را بشمارید. چقدر گرفتی؟ من دارم. بنابراین ، اگر ، پس علائم اعضای پیشرفت هندسی متناوب است. یعنی اگر پیشرفتی با علائم متناوب روی اعضای آن مشاهده کردید ، مخرج آن منفی است. این دانش می تواند به شما کمک کند هنگام حل مشکلات این موضوع ، خود را محک بزنید.

حالا بیایید کمی تمرین کنیم: سعی کنید تعیین کنید کدام توالی اعداد یک پیشرفت هندسی هستند و کدام یک از آنها حساب هستند:

متوجه شدی؟ بیایید پاسخ های خود را مقایسه کنیم:

• پیشرفت هندسی - 3 ، 6.
• پیشرفت حسابی - 2 ، 4.
• این نه محاسبات است و نه پیشرفتهای هندسی - 1 ، 5 ، 7.

بیایید به آخرین پیشرفت خود برگردیم و سعی کنیم اصطلاح آن را به همان روشی که در ریاضی است ، پیدا کنیم. همانطور که حدس می زنید ، دو روش برای یافتن آن وجود دارد.

ما به طور متوالی هر اصطلاح را در ضرب می کنیم.

بنابراین ، عضو هفتم پیشرفت هندسی توصیف شده برابر است با.

همانطور که حدس می زنید ، اکنون شما خود فرمولی را پیدا خواهید کرد که به شما کمک می کند تا هر یک از اعضای پیشرفت هندسی را پیدا کنید. یا اینکه قبلاً آن را برای خود آورده اید و توضیح می دهید چگونه اعضای عضو را گام به گام پیدا کنید؟ اگر چنین است ، پس صحت استدلال خود را بررسی کنید.

بگذارید این را با مثال پیدا کردن عضو هفتم یک پیشرفت معین نشان دهیم:

به عبارت دیگر:

ارزش عضوی از یک پیشرفت هندسی مشخص را خودتان پیدا کنید.

اتفاق افتاده؟ بیایید پاسخ های خود را مقایسه کنیم:

توجه داشته باشید که دقیقاً همان شماره روش قبلی را بدست آورده اید ، وقتی که ما متوالی در هر اصطلاح قبلی از پیشرفت هندسی ضرب می کنیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصی سازی نکنیم" - ما آن را به شکل کلی در می آوریم و بدست می آوریم:

فرمول مشتق شده برای همه مقادیر ، مثبت و منفی صحیح است. خودتان با محاسبه اعضای پیشرفت هندسی با شرایط زیر آن را بررسی کنید: ، a.

شمردی؟ بیایید نتایج بدست آمده را مقایسه کنیم:

موافقت کنید که یافتن عضوی از پیشرفت به همان روشی که برای یک عضو امکان پذیر است ، با این وجود احتمال شمارش نادرست وجود دارد. و اگر قبلاً ترمین دوره پیشرفت هندسی را پیدا کرده ایم ، آسانتر از استفاده از قسمت "قطع" فرمول است.

پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش.

اخیراً ، ما در مورد این واقعیت صحبت کردیم که هم می تواند بیشتر باشد و هم کمتر از صفر، معانی خاصی وجود دارد که پیشرفت هندسی برای آنها خوانده می شود بی نهایت در حال کاهش است.

فکر می کنید چرا چنین اسمی؟
برای شروع ، بیایید چند پیشرفت هندسی متشکل از اعضا را بنویسیم.
فرض کنید ، a ، پس:

می بینیم که هر اصطلاح بعدی با یک عامل کمتر از اصطلاح قبلی است ، اما آیا عددی وجود دارد؟ بلافاصله جواب می دهید نه. به همین دلیل است که بی نهایت در حال کاهش است - کاهش می یابد ، کاهش می یابد و هرگز صفر نمی شود.

برای اینکه به وضوح از نظر ظاهری درک کنیم ، سعی کنیم نمودار پیشرفت خود را ترسیم کنیم. بنابراین ، در مورد ما ، فرمول فرم زیر را دارد:

برای ما معمول است که وابستگی به نمودارها را ایجاد کنیم ، بنابراین:

ماهیت عبارت تغییر نکرده است: در ورودی اول ، وابستگی مقدار عضو پیشرفت هندسی به عدد ترتیبی آن را نشان دادیم ، و در ورودی دوم ، ما به راحتی مقدار اصطلاح پیشرفت هندسی را به عنوان ، و شماره ترتیب نه به عنوان ، بلکه به صورت نشان داده شد. تنها کاری که باید انجام شود ساخت نمودار است.
بیایید ببینیم چه چیزی بدست می آورید. این نمودار من است:

دیدن؟ عملکرد کاهش می یابد ، به صفر می رسد ، اما هرگز از آن عبور نمی کند ، بنابراین بی نهایت در حال کاهش است. بیایید نکات خود را بر روی نمودار مشخص کنیم ، و در عین حال مختصات و معنی آن چیست:

سعی کنید یک نمودار از یک پیشرفت هندسی را به صورت شماتیک به تصویر بکشید ، در صورتی که ترم اول آن نیز برابر است. تحلیل کنید ، چه تفاوتی با نمودار قبلی ما دارد؟

توانستی مدیریت کنی؟ این نمودار من است:

اکنون که اصول مبحث پیشرفت هندسی را کاملاً فهمیدید: می دانید چیست ، می دانید چگونه اصطلاح آن را پیدا کنید و همچنین می دانید که پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش چیست ، بیایید به ویژگی اصلی آن بپردازیم.

خاصیت یک پیشرفت هندسی.

ویژگی اعضای پیشرفت حساب را به خاطر می آورید؟ بله ، بله ، چگونه می توان مقدار تعداد مشخصی از پیشرفت را پیدا کرد در صورتی که اعضای قبلی و بعدی مقادیر قبلی و بعدی وجود دارد به یاد می آورید؟ این:

اکنون دقیقاً با همان پرسش برای اعضای یک پیشرفت هندسی روبرو هستیم. برای استخراج فرمولی مشابه ، بیایید شروع به ترسیم و استدلال کنیم. خواهید دید ، این کار بسیار آسان است و اگر فراموش کنید ، می توانید آن را به تنهایی بیرون بیاورید.

بیایید یک پیشرفت هندسی ساده دیگر که در آن می دانیم و. چگونه پیدا کنیم؟ با پیشرفت حسابی ، این کار آسان و ساده است ، اما اینجا چه می کنید؟ در حقیقت ، در هندسه نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد - شما فقط باید هر مقداری را که با استفاده از فرمول به ما داده می شود ، یادداشت کنید.

شما می پرسید ، حالا با این کار چه کنیم؟ خیلی ساده است. برای شروع ، ما این فرمول ها را در شکل نشان می دهیم و سعی می کنیم برای رسیدن به یک مقدار ، دستکاری های مختلفی با آنها انجام دهیم.

ما از اعدادی که به ما داده می شود جدا می شویم ، فقط به بیان آنها از طریق فرمول توجه خواهیم کرد. ما باید مقدار برجسته شده را پیدا کنیم نارنجیشناختن همسایگانش بیایید سعی کنیم با آنها درست کنیم اقدامات مختلف، که در نتیجه آن می توانیم بدست آوریم.

اضافه کردن
بیایید سعی کنیم دو عبارت اضافه کنیم و ، بدست می آوریم:

همانطور که مشاهده می کنید ، از این عبارت ، ما به هیچ وجه نمی توانیم بیان کنیم ، بنابراین ، گزینه دیگری را امتحان خواهیم کرد - تفریق.

منها کردن.

همانطور که مشاهده می کنید ، ما نیز نمی توانیم از این طریق بیان کنیم ، بنابراین ، سعی خواهیم کرد این عبارات را در یکدیگر ضرب کنیم.

ضرب.

اکنون با دقت اعضای خود را ضرب کنید و اعضای پیشرفت هندسی را که در مقایسه با آنچه باید یافت شود ، ضرب کنید:

حدس بزنید من در مورد چه چیزی صحبت می کنم؟ درست است ، برای اینکه متوجه شویم باید بگیریم ریشه دوم از یکدیگر ضرب شده در مجاورت اعداد جستجو شده از یک پیشرفت هندسی:

بفرمایید. شما خود ویژگی یک پیشرفت هندسی را استنباط کرده اید. سعی کنید این فرمول را در داخل بنویسید نمای کلی... اتفاق افتاده؟

شرایط را فراموش کردید؟ به این فکر کنید که چرا مهم است ، به عنوان مثال ، سعی کنید خودتان آن را محاسبه کنید ، اگر. در این حالت چه اتفاقی می افتد؟ درست است ، مزخرفات کامل از آنجا که فرمول به این شکل است:

بر این اساس ، این محدودیت را فراموش نکنید.

حال بیایید آنچه برابر است را بشماریم

پاسخ صحیح - ! اگر هنگام محاسبه ، دومین مقدار ممکن را فراموش نکردید ، پس شما یک فرد عالی هستید و می توانید بلافاصله به آموزش بپردازید ، و اگر فراموش کردید ، آنچه را که جدا شده است بیشتر بخوانید و توجه داشته باشید که چرا لازم است هر دو را بنویسید ریشه در جواب دارد.

بیایید هر دو پیشرفت هندسی خود را ترسیم کنیم - یکی با معنی ، و دیگری با معنی و بررسی کنیم که آیا هر دو حق وجود دارند:

برای بررسی اینکه چنین پیشرفت هندسی وجود دارد یا خیر ، باید بررسی کنید که آیا بین همه اعضای داده شده آن یکسان است؟ q را برای حالت اول و دوم محاسبه کنید.

ببینید چرا باید دو جواب بنویسیم؟ زیرا علامت اصطلاح مورد نیاز به مثبت یا منفی بودن آن بستگی دارد! و از آنجایی که ما نمی دانیم او چیست ، لازم است هر دو جواب را با جمع و منفی بنویسیم.

اکنون که به نکات اصلی تسلط دارید و فرمول ویژگی یک پیشرفت هندسی را بدست آورده اید ، پیدا کنید ، بدانید و

پاسخ های دریافتی را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید:

فکر می کنید چه می شود ، اگر مقادیر اعضای پیشرفت هندسی مجاور عدد مورد نظر به ما داده نشود ، بلکه با آن فاصله یکسانی داشته باشیم. به عنوان مثال ، ما باید پیدا کنیم ، و به آنها داده می شود و. آیا در این صورت می توانیم از فرمولی که به دست آوردیم استفاده کنیم؟ سعی کنید این احتمال را به همان ترتیب تأیید یا انکار کنید ، و آنچه را که در ابتدا از فرمول استخراج کردید ، برای آنچه متشکل است ، بنویسید.
چه کار کردین؟

حالا دوباره از نزدیک نگاه کنید.
و به ترتیب:

از این طریق می توان نتیجه گرفت که فرمول کار می کند نه تنها با همسایه با شرایط لازم از پیشرفت هندسی ، بلکه با مساوی از اعضای جستجو شده

بنابراین ، فرمول اولیه ما به شکل زیر است:

یعنی اگر در حالت اول چنین گفتیم ، اکنون می گوییم که می تواند برابر با هر عدد طبیعی باشد که کمتر باشد. نکته اصلی این است که برای هر دو عدد داده شده یکسان باشد.

تمرین کنید نمونه های خاص، فقط بسیار مراقب باشید!

1. ، برای پیدا کردن
2. ، برای پیدا کردن
3. ، برای پیدا کردن

تصمیم گرفتم؟ امیدوارم فوق العاده مورد توجه باشید و متوجه یک صید کوچک شوید.

ما نتایج را مقایسه می کنیم.

در دو مورد اول ، ما فرمول فوق را با آرامش اعمال می کنیم و مقادیر زیر را بدست می آوریم:

در حالت سوم ، با بررسی دقیق اعداد ترتیبی اعداد داده شده به ما ، می فهمیم که آنها از عددی که به دنبال آن هستیم فاصله مساوی ندارند: این عدد قبلی است ، اما از نظر موقعیت حذف می شود ، بنابراین امکان پذیر نیست برای استفاده از فرمول

چگونه آن را حل کنیم؟ در واقع به این سختی که به نظر می رسد نیست! بیایید با شما بنویسیم که هر شماره به ما داده می شود و تعداد مورد نیاز شامل چه مواردی است.

بنابراین ، ما داریم و. بیایید ببینیم با آنها می توانید چه کار کنید؟ من پیشنهاد می کنم تقسیم بر. ما گرفتیم:

ما داده های خود را در فرمول جایگزین می کنیم:

مرحله بعدی که می توانیم پیدا کنیم - برای این کار باید انجام دهیم ریشه مکعبی از عدد حاصل شده

و حالا ما دوباره به آنچه داریم نگاه می کنیم. ما آن را داریم ، اما باید آن را پیدا کنیم ، و به نوبه خود ، برابر است با:

ما تمام داده های لازم برای محاسبه را پیدا کردیم. ما فرمول را جایگزین می کنیم:

پاسخ ما: .

سعی کنید یک مشکل مشابه دیگر را خودتان حل کنید:
داده شده:،
برای پیدا کردن:

چقدر گرفتی؟ من دارم - .

همانطور که می بینید ، در واقع ، شما نیاز دارید فقط یک فرمول را به خاطر بسپارید - شما می توانید بقیه مراحل را بدون هیچ مشکلی به تنهایی و در هر زمان پس بگیرید. برای این کار کافی است ساده ترین پیشرفت هندسی را روی یک کاغذ بنویسید و آنچه را که طبق فرمول فوق برابر است بنویسید.

مجموع اعضای یک پیشرفت هندسی.

اکنون فرمولهایی را در نظر بگیرید که به ما امکان می دهد جمع اعضای یک پیشرفت هندسی را در یک بازه زمانی معین به سرعت محاسبه کنیم:

برای بدست آوردن فرمول حاصل از جمع اعضای یک پیشرفت هندسی متناهی ، تمام قسمت های معادله بالاتر را در ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

با دقت نگاه کنید: دو فرمول آخر چه مشترکاتی دارند؟ درست است ، به عنوان مثال اعضای مشترک ، و غیره ، به جز عضو اول و آخر. بیایید سعی کنیم معادله 1 را از معادله 2 کم کنیم. چه کار کردین؟

اکنون اصطلاح پیشرفت هندسی را از طریق فرمول بیان کرده و عبارت حاصل را در آخرین فرمول ما جایگزین کنید:

عبارت را گروه بندی کنید. شما باید دریافت کنید:

تنها کاری که می توان انجام داد بیان است:

بر این اساس ، در این مورد

چه می شود اگر؟ پس چه فرمولی جواب می دهد؟ یک پیشرفت هندسی را در تصور کنید. او چگونه است؟ به درستی یک سری اعداد یکسان ، به ترتیب ، فرمول اینگونه خواهد بود:

افسانه های زیادی در هر دو روش حساب و ترقی هندسی وجود دارد. یکی از آنها افسانه شیث ، خالق شطرنج است.

بسیاری از مردم می دانند که بازی شطرنج در هند اختراع شده است. هنگامی که پادشاه هندو او را ملاقات کرد ، از شوخ طبعی و موقعیت های مختلف موجود در او خوشحال شد. پادشاه با اطلاع از اختراع یکی از افراد خود ، تصمیم گرفت شخصاً به او پاداش دهد. او مخترع را به نزد خود احضار كرد و به او وعده داد كه هرچه خواستن ماهرانه را برآورده كند ، از او هرچه بخواهد ، درخواست كند.

ستا وقت خواست تا فکر کند ، و وقتی روز بعد شیث نزد پادشاه ظاهر شد ، او با حیا و تقاضای بی نظیر درخواست خود ، شاه را متعجب کرد. او خواست یک دانه گندم برای سلول اول صفحه شطرنج ، برای سلول دوم برای دانه های گندم ، برای سوم ، برای چهارم و غیره بدهد.

پادشاه عصبانی شد و شیث را با خود راند و گفت که درخواست بنده شایسته سخاوت شاهانه نیست ، اما قول داد که بنده غلات خود را برای تمام سلولهای هیئت تحویل بگیرد.

و اکنون س theال: با استفاده از فرمول جمع اعضای یک پیشرفت هندسی ، محاسبه کنید که Seta چند دانه باید دریافت کند؟

بیایید شروع کنیم به استدلال. از آنجا که ، با توجه به شرایط ، ستا برای یک مربع صفحه شطرنج ، برای دومی ، برای سوم ، برای چهارم و غیره یک دانه گندم درخواست کرد ، ما می بینیم که می آید در مورد یک پیشرفت هندسی. در این حالت چه چیزی برابر است؟
به درستی.

مجموع سلولهای صفحه شطرنج. بر این اساس،. همه داده ها را داریم ، فقط جایگزین کردن آنها در فرمول و محاسبه آنها باقی مانده است.

برای نشان دادن حداقل تقریباً "مقیاس" یک عدد معین ، با استفاده از خصوصیات درجه تغییر شکل می دهیم:

البته ، اگر می خواهید ، می توانید یک ماشین حساب بردارید و محاسبه کنید که در آخر چه عددی به دست می آورید ، و در غیر این صورت ، باید حرف من را قبول کنید: مقدار نهایی عبارت خواهد بود.
یعنی:

کوینتیلیون کوادریلیون تریلیون میلیارد میلیون میلیون

فوخ) اگر می خواهید عظیم بودن این تعداد را تصور کنید ، پس تخمین بزنید که انبار برای داشتن کل مقدار دانه چه مقدار لازم است.
با ارتفاع انبار و متر عرض ، طول آن باید برای کیلومتر گسترش یابد ، یعنی دو برابر زمین تا خورشید.

اگر پادشاه در ریاضیات قوی بود ، می توانست پیشنهاد کند که دانشمند خود دانه ها را بشمارد ، زیرا برای شمارش یک میلیون دانه ، حداقل به یک روز شمارش خستگی ناپذیر احتیاج دارد و با توجه به اینکه شمارش کوئینتلیون ها لازم است ، دانه ها باید تمام عمر او حساب شود.

حال بیایید یک مسئله ساده را برای جمع اعضای یک پیشرفت هندسی حل کنیم.
واسیا ، دانش آموز کلاس 5 A ، آنفلوانزا دارد ، اما همچنان به مدرسه می رود. واسیا هر روز دو نفر را آلوده می کند ، که به نوبه خود ، دو نفر دیگر را آلوده می کند و غیره. در کلاس افرادی حضور دارند. چند روز تمام کلاس به آنفولانزا مبتلا می شوند؟

بنابراین ، اولین عضو از پیشرفت هندسی Vasya است ، یعنی یک فرد. عضو سوم پیشرفت هندسی ، این دو نفری هستند که وی در روز اول ورود خود به آنها آلوده شد. مقدار کل اعضای پیشرفت با تعداد دانش آموزان 5A برابر است. بر این اساس ، ما در مورد پیشرفتی صحبت می کنیم که در آن:

بیایید داده های خود را در فرمول جمع اعضای یک پیشرفت هندسی جایگزین کنیم:

کل کلاس طی روزها بیمار خواهد شد. آیا به فرمول و اعداد اعتقادی ندارید؟ سعی کنید خود "عفونت" دانش آموزان را به تصویر بکشید. اتفاق افتاده؟ ببینید که چگونه به نظر می رسد برای من:

خودتان محاسبه کنید که اگر هر یک از افراد یک فرد را آلوده کند و یک نفر در کلاس باشد ، چند روز طول می کشد تا دانش آموزان به آنفولانزا مبتلا شوند.

چه ارزشی کسب کردید؟ معلوم شد که همه بعد از یک روز بیمار می شوند.

همانطور که می بینید ، چنین وظیفه ای و کشیدن به آن شبیه هرمی است که در آن هر یک از افراد بعدی افراد جدیدی را "به ارمغان می آورد". با این حال ، دیر یا زود لحظه ای فرا می رسد که دومی نمی تواند کسی را به خود جلب کند. در مورد ما ، اگر تصور کنیم که کلاس منزوی است ، فرد از آن زنجیره را می بندد (). بنابراین ، اگر شخصی درگیر هرم مالی بود ، در صورتی که در صورت آوردن دو شرکت کننده دیگر ، پول به شما داده شود ، آن شخص (یا حالت کلی) هیچ کس را هدایت نمی کرد ، بنابراین ، همه چیزهایی را که در این کلاهبرداری مالی سرمایه گذاری کرده بودند از دست می داد.

هر آنچه در بالا گفته شد به یک روند هندسی در حال کاهش یا افزایش اشاره دارد ، اما ، همانطور که به یاد دارید ، نوع خاصی داریم - پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش. چگونه می توان مجموع اعضای آن را محاسبه کرد؟ و چرا این نوع پیشرفت دارای ویژگی های خاصی است؟ بیایید با هم آن را مرتب کنیم.

بنابراین ، ابتدا ، بیایید دوباره به این شکل از یک پیشرفت هندسی بی نهایت کاهش یافته از مثال خود نگاه کنیم:

حال بیایید به فرمول جمع یک پیشرفت هندسی نگاه کنیم که کمی زودتر به دست آمده است:
یا

ما برای چه تلاش می کنیم؟ درست است ، نمودار نشان می دهد که به سمت صفر تمایل دارد. یعنی ، در ، تقریبا برابر خواهد بود ، به ترتیب ، هنگام محاسبه عبارت ، تقریباً بدست می آوریم. در این راستا ، ما معتقدیم که هنگام محاسبه مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت کاهش یافته ، می توان از این براکت غافل شد ، زیرا برابر خواهد بود.

- فرمول مجموع عبارات یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است.

مهم! ما فقط در صورتی از شرط استفاده می کنیم که مجموع اصطلاحات یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش باشد ، در صورتی که شرط به صراحت بیان کند که ما باید جمع را پیدا کنیم بی پایان تعداد اعضا

اگر تعداد خاصی از n نشان داده شده باشد ، از فرمول حاصل برای جمع n اصطلاحات استفاده می کنیم ، حتی اگر یا.

حالا بیایید تمرین کنیم.

1. مجموع اولین اصطلاحات یک پیشرفت هندسی را با و پیدا کنید.
2. جمع اصطلاحات یک پیشرفت هندسی بی نهایت کاهش یافته را با و پیدا کنید.

امیدوارم فوق العاده توجه داشته باشید بیایید پاسخ های خود را مقایسه کنیم:

اکنون شما همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید و وقت آن است که از تئوری به عمل بروید. شایع ترین مشکلات پیشرفت هندسی که در امتحان با آن روبرو می شوند ، مشکلات علاقه مرکب است. درمورد آنهاست که صحبت خواهیم کرد.

وظایف محاسبه بهره ترکیبی.

شما احتمالاً فرمول به اصطلاح سود مرکب را شنیده اید. میفهمی منظورش چیه؟ در غیر این صورت ، بیایید این را بفهمیم ، زیرا با درک خود فرآیند ، بلافاصله متوجه خواهید شد و در اینجا یک پیشرفت هندسی وجود دارد.

همه ما به بانک می رویم و می دانیم که وجود دارد شرایط مختلف سپرده ها: این هر دو مدت ، سرویس اضافی و سود با دو است راه های مختلف اقلام تعهدی آن ساده و پیچیده است.

از جانب علاقه ساده همه چیز کم و بیش روشن است: سود در پایان مدت سپرده یک بار شارژ می شود. یعنی اگر بگوییم 100 روبل برای یک سال در نظر بگیریم ، فقط در پایان سال به آنها اعتبار می دهند. بر این اساس ، با پایان سپرده ، روبل دریافت خواهیم کرد.

بهره مرکب - این گزینه ای است که در آن وجود دارد بزرگ کردن سود، یعنی اضافه کردن آنها به مبلغ سپرده و محاسبه بعدی درآمد نه از ابتدا ، بلکه از مبلغ انباشته سپرده. حروف بزرگ به طور مداوم ، اما با برخی از فرکانس ها رخ نمی دهد. به طور معمول ، چنین دوره هایی برابر هستند و غالباً بانک ها از یک ماه ، سه ماهه یا سال استفاده می کنند.

بیایید بگوییم که ما همه روبل های مشابه را با نرخ سالانه ، اما با سرمایه بزرگانه ماهانه سپرده قرار می دهیم. چه چیزی بدست می آوریم؟

آیا اینجا همه چیز را می فهمی؟ در غیر اینصورت ، بگذارید مراحل آن را مشخص کنیم.

روبل به بانک آوردیم. در پایان ماه ، حساب ما باید مبلغی متشکل از روبل ما به علاوه سود روی آنها داشته باشد ، یعنی:

موافقم؟

می توانیم آن را خارج از براکت قرار دهیم و سپس به دست می آوریم:

موافقم ، این فرمول از قبل بیشتر شبیه فرمولی است که در ابتدا نوشتیم. باقی مانده است که با علاقه مقابله کنیم

در بیانیه مسئله ، به ما در مورد سالانه گفته شده است. همانطور که می دانید ، ما ضرب نمی کنیم - ما بهره را به تبدیل می کنیم اعداد اعشاری، یعنی:

درست؟ حالا شما می پرسید شماره از کجا آمده است؟ بسیار ساده!
تکرار می کنم: بیانیه مسئله در مورد می گوید سالانه سود تعلق گرفت ماهانه... همانطور که می دانید ، به ترتیب طی یک ماه از ماه ، بانک بخشی از سود سالانه ماهانه را از ما دریافت می کند:

متوجه شدی؟ حال سعی کنید بنویسید که اگر بگویم بهره روزانه محاسبه می شود ، این قسمت از فرمول چگونه خواهد بود.
توانستی مدیریت کنی؟ بیایید نتایج را مقایسه کنیم:

آفرین! بیایید به مشکل خود برگردیم: با توجه به اینکه سود مبلغ جمع شده سپرده شارژ می شود ، ماه دوم مبلغی به حساب ما واریز می شود.
این چیزی است که من دریافت کردم:

یا به عبارت دیگر:

من فکر می کنم شما قبلاً الگویی را مشاهده کرده اید و در همه اینها یک پیشرفت هندسی مشاهده کرده اید. بنویسید که عضو آن چه مقدار خواهد بود ، یا به عبارت دیگر ، چه مقدار پول در پایان ماه دریافت خواهیم کرد.
ساخته شده؟ چک کردن!

همانطور که می بینید ، اگر برای یک سال پول را با سود ساده در بانک قرار دهید ، روبل دریافت خواهید کرد ، و اگر با نرخ پیچیده - روبل. سود کم است ، اما این فقط در طول سال هفتم اتفاق می افتد ، اما برای یک دوره طولانی تر ، سرمایه بسیار سودآور است:

بیایید نوع دیگری از مشکلات با علاقه مرکب را در نظر بگیریم. بعد از آنچه فهمیدید ، برای شما مقدماتی است. بنابراین وظیفه:

شرکت Zvezda از سال 2000 با داشتن سرمایه دلار ، سرمایه گذاری در این صنعت را آغاز کرد. از سال 2001 ، هر ساله او سود کسب می کند ، که از سرمایه سال قبل است. اگر سود از گردش خارج نشود ، شرکت Zvezda در پایان سال 2003 چه میزان سود دریافت خواهد کرد؟

سرمایه شرکت "Zvezda" در سال 2000.
- سرمایه شرکت "Zvezda" در سال 2001.
- سرمایه شرکت "Zvezda" در سال 2002.
- سرمایه شرکت "Zvezda" در سال 2003.

یا می توانیم مختصر بنویسیم:

برای پرونده ما:

2000 ، 2001 ، 2002 و 2003

به ترتیب:
روبل
توجه داشته باشید که در این مسئله هیچ تقسیم بندی ای به ترتیب یا توسط نداریم ، زیرا درصد سالانه داده می شود و سالانه محاسبه می شود. یعنی هنگام خواندن مسئله ای برای بهره مرکب ، توجه کنید که چند درصد داده می شود و در چه دوره ای شارژ می شود و فقط پس از آن به محاسبات می پردازید.
اکنون شما همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید.

تمرین

1. اگر مشخص است که اصطلاح نمایی را پیدا کنید ، و
2. اگر معلوم است مجموع اولین اصطلاحات پیشرفت هندسی را پیدا کنید ، و
3. MDM Capital با داشتن سرمایه دلار ، از سال 2003 شروع به سرمایه گذاری در این صنعت کرد. هر ساله ، از سال 2004 ، او سود کسب می کند ، که از سرمایه سال قبل است. شرکت "MSK Cash Flows" در سال 2005 با مبلغ 10 هزار دلار شروع به سرمایه گذاری در این صنعت کرد و در سال 2006 به میزان سود خود شروع کرد. اگر سود از گردش خارج نشده باشد ، سرمایه یک شرکت در پایان سال 2007 چقدر بیش از شرکت دیگر است؟

پاسخ ها:

1. از آنجا که در بیان مسئله گفته نشده است که پیشرفت نامحدود است و برای یافتن مجموع تعداد مشخصی از اعضای آن لازم است ، محاسبه طبق فرمول انجام می شود:
2. 
   سرمایه MDM:

   2003 ، 2004 ، 2005 ، 2006 ، 2007.
   - 100٪ افزایش می یابد ، یعنی 2 برابر.
   به ترتیب:
   روبل
   جریانات نقدی MSK:

   2005 ، 2006 ، 2007
   - افزایش می یابد ، یعنی ، بارها.
   به ترتیب:
   روبل
   روبل

بیایید خلاصه کنیم.

1) پیشرفت هندسی () توالی عددی است که اولین اصطلاح آن غیر صفر است و هر اصطلاح از دوم شروع می شود ، برابر با اصطلاح قبلی است و در همان عدد ضرب می شود. به این عدد مخرج پیشرفت هندسی گفته می شود.

2) معادله اعضای یک پیشرفت هندسی -.

3) می تواند هر مقداری را بدست آورد ، به جز و.

• اگر ، پس تمام اعضای بعدی پیشرفت دارای یک علامت هستند - آنها مثبت;
• اگر ، پس تمام اعضای بعدی پیشرفت علائم جایگزین
• در - پیشرفت نامیده می شود بی نهایت کاهش می یابد.

4) ، برای خاصیت یک پیشرفت هندسی است (اصطلاحات مجاور)

یا
، در (شرایط برابر)

هنگام پیدا کردن ، فراموش نکنید که باید دو پاسخ وجود داشته باشد.

برای مثال،

5) مجموع اعضای پیشرفت هندسی با فرمول محاسبه می شود:
یا

اگر پیشرفت بی نهایت در حال کاهش است ، پس:
یا

مهم! ما فقط در صورتی از شرط استفاده می کنیم که مجموع اصطلاحات یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش باشد ، در صورتی که شرط به صراحت بیان کند که یافتن حاصل جمع بی نهایت اصطلاحات ضروری است.

6) مشکلات مربوط به سود مرکب نیز با توجه به فرمول دوره دهم پیشرفت هندسی محاسبه می شود ، به شرط آنکه وجوه از گردش خارج نشوند:

پیشرفت هندسی. به طور خلاصه درباره اصلی

پیشرفت هندسی () یک توالی عددی است که اولین اصطلاح آن غیر صفر است و هر اصطلاح از دوم شروع می شود ، برابر با اصطلاح قبلی است ، ضرب در همان عدد. این شماره نامیده می شود مخرج یک پیشرفت هندسی.

مخرج پیشرفت هندسی می تواند هر مقداری را به جز و.

• اگر ، پس تمام اعضای بعدی پیشرفت علائم یکسانی دارند - آنها مثبت هستند.
• اگر ، پس تمام اعضای بعدی پیشرفت علائم متناوب دارند.
• در - پیشرفت نامیده می شود بی نهایت کاهش می یابد.

معادله اعضای یک پیشرفت هندسی - .

مجموع اعضای یک پیشرفت هندسی محاسبه شده توسط فرمول:
یا

فرمول دوره نهم پیشرفت هندسی بسیار ساده است. هم از نظر معنا و هم از لحاظ ظاهر کلی. اما انواع مختلفی از فرمول دوره نهم وجود دارد - از مشکلات بسیار بدوی تا جدی. و در روند آشنایی خود ، قطعاً هر دو را در نظر خواهیم گرفت. خوب ، بیایید آشنا شویم؟)

بنابراین ، برای مبتدیان خود فرمولn

اینجا او است:

b n = ب 1 · q n -1

فرمول به عنوان فرمول ، هیچ چیز فراطبیعی. به نظر ساده تر و جمع و جورتر از فرمول مشابه آن است. معنی فرمول نیز مانند چکمه نمدی ساده است.

این فرمول به شما امکان می دهد با توجه به تعداد آن ، هر عضو از یک پیشرفت هندسی را پیدا کنید " n".

همانطور که می بینید ، معنی یک قیاس کامل با یک پیشرفت حسابی است. ما شماره n را می دانیم - همچنین می توانیم اصطلاح را تحت این عدد محاسبه کنیم. چیزی که ما می خواهیم. بدون ضرب متوالی در "q" بارها و بارها. این کل ماجراست.)

من درک می کنم که در این سطح از کار با مراحل پیشرفت ، تمام مقادیر موجود در فرمول باید از قبل برای شما روشن باشد ، اما من وظیفه خود می دانم که هر یک را رمزگشایی کنم. برای هر مورد

پس بزن بریم:

ب 1 – اولین عضو یک پیشرفت هندسی ؛

q – ;

n - شماره عضو ؛

b n – nth (nهفتم) عضوی از یک پیشرفت هندسی.

این فرمول چهار پارامتر اصلی هر پیشرفت هندسی را به هم متصل می کند - ب n, ب 1 , q و n... و پیرامون این چهار شخصیت اصلی ، همه وظایف پیشروی چرخش دارند.

"چگونه نمایش داده می شود؟" - یک سوال کنجکاو می شنوم ... ابتدایی! ببین

آنچه برابر است با دومین عضو پیشرفت؟ مشکلی نیست ما مستقیم می نویسیم:

b 2 \u003d b 1 q

و ترم سوم؟ مشکلی هم نداره! ما ترم دوم را ضرب می کنیم یک بار دیگر درq.

مثل این:

B 3 \u003d b 2 q

حال بیایید یادآوری کنیم که اصطلاح دوم نیز به نوبه خود برابر با b 1 q است و این عبارت را در برابری ما جایگزین می کند:

B 3 \u003d b 2 q \u003d (b 1 q) q \u003d b 1 q q \u003d b 1 q 2

ما گرفتیم:

ب 3 \u003d b 1 q 2

حال بیایید ورودی خود را به زبان روسی بخوانیم: سومین اصطلاح برابر با ترم اول بار q در است دومین درجه. متوجه شدي؟ نه هنوز؟ خوب ، یک قدم دیگر.

دوره چهارم چیست؟ همه همان! تکثیر کردن قبلی (یعنی ترم سوم) توسط q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

جمع:

ب 4 \u003d b 1 q 3

و دوباره ما به روسی ترجمه می کنیم: چهارم اصطلاح برابر با ترم اول بار q در است سوم درجه.

و غیره. پس چگونه؟ الگویی گرفتی؟ آره! برای هر اصطلاح با هر تعداد ، تعداد فاکتورهای یکسان q (یعنی درجه مخرج) همیشه خواهد بود یکی کمتر از تعداد مدت مورد نیازn.

بنابراین ، فرمول ما بدون گزینه خواهد بود:

b n \u003dب 1 · q n -1

آنچه در آن وجود دارد همین است.)

خوب ، بیایید مشکلات را حل کنیم ، احتمالاً؟)

حل مشکلات فرمولnعضو هفتم یک پیشرفت هندسی.

بیایید طبق معمول با استفاده از فرمول مستقیم شروع کنیم. در اینجا یک مشکل معمول وجود دارد:

به طور برجسته ای شناخته شده است که ب 1 \u003d 512 و q \u003d -1/2. دهمین ترم را در ترقی پیدا کنید.

البته این مشکل بدون هیچ گونه فرمولی قابل حل است. مستقیماً به معنای پیشرفت هندسی است. اما ما باید با فرمول دوره نهم گرم شویم ، درست است؟ بنابراین گرم می شویم.

اطلاعات ما برای استفاده از فرمول به شرح زیر است.

اصطلاح اول شناخته شده است. 512 است.

ب 1 = 512.

مخرج پیشرفت نیز شناخته شده است: q = -1/2.

فقط برای فهمیدن تعداد n عضو باقی مانده است. مشکلی نیست آیا علاقه مند به دوره دهم هستیم؟ بنابراین ما به جای n در فرمول عمومی ده را جایگزین می کنیم.

و ما حساب را دقیق حساب می کنیم:

پاسخ 1

همانطور که می بینید ، دوره دهم پیشرفت با منهای مشخص شد. جای تعجب نیست: مخرج پیشرفت -1/2 است ، یعنی منفی عدد. و این به ما می گوید که علائم پیشرفت ما متناوب است ، بله.)

اینجا همه چیز ساده است. و در اینجا یک کار مشابه وجود دارد ، اما از نظر محاسبات کمی پیچیده تر است.

به طور برجسته ای شناخته شده است که:

ب 1 = 3

سیزدهمین ترم را در ترقی پیدا کنید.

همه چیز مثل هم است ، فقط این بار مخرج پیشرفت است غیر منطقی... ریشه دو. خوب ، اشکالی ندارد فرمول یک چیز جهانی است ، با هر عددی کنار می آید.

ما مستقیماً طبق فرمول کار می کنیم:

فرمول ، البته آنطور که باید کار کرد ، اما ... این جایی است که برخی منجمد می شوند. بعد با ریشه چه باید کرد؟ چگونه می توان ریشه را به قدرت دوازدهم رساند؟

چگونه چگونه ... شما باید بفهمید که هر فرمولی ، البته چیز خوبی است ، اما دانش در مورد تمام ریاضیات قبلی لغو نمی شود! چگونه باید ساخت؟ بله ، خصوصیات درجات را بخاطر بسپارید! بیایید ریشه را تبدیل کنیم نمای کسریو - مطابق فرمول نمایش.

مثل این:

جواب: 192

و این همه.)

مشکل اصلی در استفاده مستقیم از فرمول n-term چیست؟ آره! مشکل اصلی این است با مدرک کار کنید! یعنی - بیان اعداد منفی، کسر ، ریشه و مانند آن. بنابراین کسانی که با این مشکل روبرو هستند ، یک درخواست فوری برای تکرار درجه ها و خواص آنها است! در غیر این صورت سرعت خود را در این موضوع کم می کنید ، بله ...)

حال بیایید مشکلات جستجوی معمولی را حل کنیم یکی از عناصر فرمولاگر به همه دیگران داده شود برای حل موفقیت آمیز چنین مشکلاتی ، دستور العمل یکنواخت و بسیار ساده ای است - نوشتن فرمولnعضو هفتم به طور کلی!درست در دفترچه یادداشت کنار این شرط است. و سپس ، با توجه به شرایط ، می فهمیم که چه چیزی به ما داده شده و چه چیزی کم است. و ما از فرمول بیان می کنیم مقدار مورد نیاز... همه!

به عنوان مثال ، چنین کار بی ضرری.

پنجمین ترم از پیشرفت هندسی با مخرج 3 567 است. اولین ترم از این پیشرفت را پیدا کنید.

هیچ چیز پیچیده ای نیست. ما مستقیماً توسط طلسم کار می کنیم.

فرمول دوره نهم را می نویسیم!

b n = ب 1 · q n -1

چه چیزی به ما داده شده است؟ ابتدا مخرج پیشرفت آورده می شود: q = 3.

علاوه بر این ، به ما داده می شود دوره پنجم: ب 5 = 567 .

همه؟ نه به ما عدد n هم داده می شود! این یک پنج است: n \u003d 5.

امیدوارم که از قبل فهمیده باشید که چه چیزی در ضبط است ب 5 = 567 دو پارامتر به طور هم زمان پنهان می شوند - این پنجمین اصطلاح است (567) و تعداد آن (5). در یک درس مشابه ، من قبلاً در مورد این صحبت کردم ، اما در اینجا فکر می کنم یادآوری شما زائد نیست.)

اکنون داده های خود را در فرمول جایگزین می کنیم:

567 = ب 1 · 3 5-1

ما حساب را در نظر می گیریم ، ساده می کنیم و یک مثال ساده می گیریم معادله خطی:

81 ب 1 = 567

ما حل می کنیم و می گیریم:

ب 1 = 7

همانطور که مشاهده می کنید ، یافتن عضو اول مشکلی ندارد. اما هنگام جستجوی مخرج q و اعداد n ممکن است غافلگیر شود. و شما همچنین باید برای آنها آماده باشید (برای شگفتی) ، بله.)

به عنوان مثال ، این مشکل:

پنجمین ترم پیشرفت هندسی با مخرج مثبت 162 است و اولین ترم این پیشرفت 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

این بار اصطلاحات اول و پنجم به ما داده می شود و از ما خواسته می شود مخرج پیشرفت را پیدا کنیم. پس بیایید شروع کنیم

فرمول را می نویسیمnعضو هفتم!

b n = ب 1 · q n -1

اطلاعات اولیه ما به شرح زیر خواهد بود:

ب 5 = 162

ب 1 = 2

n = 5

معنی کافی نیست q... مشکلی نیست اکنون آن را پیدا خواهیم کرد.) ما هر آنچه را که می دانیم را در فرمول جایگزین می کنیم.

ما گرفتیم:

162 \u003d 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

یک معادله درجه چهار ساده. اما حالا - با دقت! در این مرحله از راه حل ، بسیاری از دانشجویان بلافاصله با خوشحالی ریشه (درجه چهارم) را استخراج کرده و پاسخ می گیرند. q=3 .

مثل این:

q 4 \u003d 81

q = 3

اما در واقع ، این یک پاسخ ناتمام است. دقیق تر ، ناقص است. چرا؟ نکته این است که جواب این است q = -3 همچنین متناسب است: (-3) 4 نیز 81 خواهد بود!

این به دلیل این واقعیت است که معادله قدرت است x n = آ همیشه داشته است دو ریشه مخالف در زوجn . با مثبت و منفی:

هر دو جا

به عنوان مثال ، حل کردن (به عنوان مثال دومین درجه)

x 2 \u003d 9

به دلایلی از ظاهر تعجب نمی کنید دو ریشه x \u003d 3 پوند؟ در اینجا همان چیز است. و با هر دیگری زوج درجه (چهارم ، ششم ، دهم و غیره) یکسان خواهد بود. جزئیات - در تاپیک در مورد

از این رو تصمیم درست اینگونه خواهد بود:

q 4 = 81

q \u003d 3 پوند

خوب ، ما علائم را فهمیدیم. کدام یک صحیح است - بعلاوه یا منفی؟ خوب ، ما یک بار دیگر شرایط مشکل را در جستجوی آن می خوانیم اطلاعات اضافی. البته ، ممکن است وجود نداشته باشد ، اما در این کار چنین اطلاعاتی وجود دارد در دسترس.در شرایط ما ، در متن ساده بیان شده است که با یک پیشرفت ارائه می شود مخرج مثبت

بنابراین ، پاسخ واضح است:

q = 3

اینجا همه چیز ساده است. فکر می کنید اگر عبارت مسئله به این شکل باشد ، چه می شود:

پنجمین ترم از پیشرفت هندسی 162 است و اولین ترم از این پیشرفت 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

تفاوت در چیست؟ آره! در شرایط هیچ چیزی در مورد علامت مخرج گفته نشده است. نه مستقیم و نه غیرمستقیم. و در اینجا این وظیفه پیش از این بود دو راه حل!

q = 3 و q = -3

بله بله! و با جمع و منفی.) از نظر ریاضی ، این واقعیت به معنای وجود آنهاست دو ترقیکه با شرایط مشکل مطابقت دارند و برای هر کدام - مخرج خاص خود. برای سرگرمی ، پنج عضو اول هر کدام را تمرین کرده و یادداشت کنید.)

حال بیایید شماره عضو را پیدا کنیم. بله ، این سخت ترین کار است. بلکه خلاق تر نیز هست.)

یک پیشرفت هندسی داده شده است:

3; 6; 12; 24; …

عدد 768 در این پیشرفت چیست؟

مرحله اول هنوز همان است: نوشتن فرمولnعضو هفتم!

b n = ب 1 · q n -1

و اکنون ، طبق معمول ، داده هایی را که می دانیم در آن جایگزین می کنیم. هوم ... تعویض نشده است! اصطلاح اول کجا ، مخرج کجا ، همه موارد دیگر کجا؟!

کجا ، کجا ... و چرا به چشم احتیاج داریم؟ مژه های خود را کف بزنید؟ این بار پیشرفت مستقیماً در فرم به ما داده می شود توالی. ترم اول را می بینید؟ می بینیم! این یک سه گانه است (b 1 \u003d 3). مخرج چطور؟ ما هنوز آن را نمی بینیم ، اما شمارش آن بسیار آسان است. اگر ، البته ، شما می فهمید.

بنابراین ما حساب می کنیم. مستقیماً به مفهوم یک پیشرفت هندسی: ما هر یک از اعضای آن را می گیریم (به استثنای مورد اول) و بر قسمت قبلی تقسیم می کنیم.

حداقل مثل این:

q = 24/12 = 2

چه چیز دیگری می دانیم؟ ما همچنین عضوی خاص از این پیشرفت را می شناسیم ، برابر با 768. با تعدادی عدد n:

b n = 768

شماره وی برای ما ناشناخته است ، اما وظیفه ما دقیقاً یافتن آن است.) بنابراین ما در حال جستجو هستیم. ما قبلاً تمام داده های لازم را برای جایگزینی در فرمول بارگیری کرده ایم. بی خبر از خودم.)

بنابراین ما جایگزین می کنیم:

768 \u003d 3.2 n -1

موارد ابتدایی را انجام می دهیم - هر دو قسمت را به سه قسمت تقسیم می کنیم و معادله را به شکل معمول دوباره می نویسیم: ناشناخته در سمت چپ ، معلوم - در سمت راست.

ما گرفتیم:

2 n -1 = 256

در اینجا یک معادله جالب وجود دارد. شما باید "n" را پیدا کنید. چه چیزی غیر معمول است؟ بله ، من بحث نمی کنم در واقع ، این ساده ترین است. به این دلیل نامیده می شود که ناشناخته (در این مورد این شماره n) در ایستاده است نشانگر درجه.

در مرحله آشنایی با پیشرفت هندسی (این کلاس نهم است) ، برای حل معادلات نمایی آموزش داده نمی شود ، بله ... این یک موضوع برای دبیرستان است. اما هیچ چیز وحشتناکی وجود ندارد. حتی اگر شما نمی دانید چگونه چنین معادلاتی حل می شود ، ما سعی خواهیم کرد که معادلات خود را پیدا کنیم nبا منطق ساده و عقل سلیم هدایت می شود.

ما شروع به استدلال می کنیم. در سمت چپ یک deuce داریم تا حدی... ما هنوز نمی دانیم این مدرک دقیقاً چیست ، اما این ترسناک نیست. اما پس از آن ما به طور قطع می دانیم که این درجه برابر است با 256! بنابراین ما به یاد می آوریم که دو تا چه میزان 256 به ما می دهد؟ آره! که در هشتم درجه!

256 = 2 8

اگر به خاطر نمی آورید یا با تشخیص درجات مسئله ، اشکالی هم ندارد: ما فقط این دو را به ترتیب به یک مربع ، به مکعب ، به درجه چهارم ، پنجم و غیره می رسانیم. در واقع انتخاب ، اما در این سطح بسیار خوب است.

به این ترتیب یا راه دیگر ، ما دریافت می کنیم:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

بنابراین 768 است نهم عضو پیشرفت ما این تمام است ، مشکل حل شده است.)

پاسخ: 9

چی؟ حوصله سر بر؟ از موارد ابتدایی خسته شده اید؟ موافقم. و من هم بیایید به سطح بعدی برویم.)

کارهای چالش برانگیزتر

و اکنون ما مشکلات را ناگهانی حل می کنیم. دقیقاً خیلی عالی نیست ، اما آنها هنوز کمی کار دارند تا به جواب برسند.

به عنوان مثال ، این

اگر ترم چهارم -24 و ترم هفتم 192 است ، ترم دوم پیشرفت هندسی را پیدا کنید.

این یک سبک کلاسیک است. برخی از دو عضو مختلف پیشرفت شناخته شده اند ، اما برخی دیگر از اعضای باید پیدا شوند. علاوه بر این ، همه اعضا همسایه نیستند. در ابتدا شرم آور است ، بله ...

همانطور که برای حل چنین مشکلاتی ، دو روش در نظر خواهیم گرفت. روش اول جهانی است. جبری بی عیب و نقص با هر داده منبع کار می کند. بنابراین ، ما با او شروع خواهیم کرد.)

ما هر اصطلاح را طبق فرمول یادداشت می کنیم nعضو هفتم!

همه چیز دقیقاً مانند یک پیشرفت حسابی است. فقط این بار ما با آن کار می کنیم دیگر فرمول کلی همه همین است.) اما اصل یک چیز است: ما می گیریم و یکی یکی ما داده های اولیه خود را در فرمول n-th جایگزین می کنیم. برای هر یک از اعضا - خودشان.

برای عضو چهارم ، می نویسیم:

ب 4 = ب 1 · q 3

-24 = ب 1 · q 3

وجود دارد. یک معادله آماده است.

برای عضو هفتم می نویسیم:

ب 7 = ب 1 · q 6

192 = ب 1 · q 6

در کل ، دو معادله برای بدست آوردیم همان پیشرفت .

ما سیستم را از آنها جمع می کنیم:

سیستم علی رغم ظاهر خارق العاده آن کاملاً ساده است. واضح ترین راه حل جایگزینی ساده است. بیان می کنیم ب 1 از معادله بالا و جایگزین آن در یک معامله پایین:

بعد از کمی با معادله پایین تر (با کاهش قدرت و تقسیم بر -24) ، بدست می آوریم:

q 3 = -8

ضمناً ، می توانید به همان معادله ای به روشی ساده تر برسید! چطور؟ اکنون راز دیگری را به شما نشان خواهم داد ، اما بسیار زیبا ، قدرتمند و راه مفید راه حل های سیستم های مشابه. چنین سیستم هایی که در معادلات آن قرار دارند فقط کار میکنهحداقل یکی. نامیده می شود روش تقسیم مدتیک معادله به دیگری.

بنابراین ، قبل از ما سیستم است:

در هر دو معادله سمت چپ - ترکیب بندیو در سمت راست فقط یک عدد است. این خیلی نشانه خوب.) بیایید بگیریم و ... مثلاً معادله پایین را بر یک بالا تقسیم کنیم! یعنی چه یک معادله را بر دیگری تقسیم می کنیم؟ بسیار ساده. ما می گیریم سمت چپ یک معادله (پایین تر) و تقسیم کردن او در سمت چپ معادله دیگری (بالا). سمت راست مشابه است: سمت راست یک معادله تقسیم کردن بر سمت راست یکی دیگر.

کل روند تقسیم به این شکل است:

اکنون ، با کاهش هر آنچه کاهش می یابد ، به دست می آوریم:

q 3 = -8

چرا این روش خوب است؟ بله ، این واقعیت که در روند چنین تقسیم بندی هر آنچه بد و ناخوشایند است را می توان با خیال راحت کاهش داد و یک معادله کاملاً بی ضرر باقی ماند! به همین دلیل داشتن آن بسیار مهم است فقط ضرب ها حداقل در یکی از معادلات سیستم. ضرب وجود ندارد - چیزی برای کاهش وجود ندارد ، بله ...

به طور کلی ، این روش (مانند بسیاری دیگر از راه های غیر پیش پا افتاده حل سیستم) حتی درخور یک درس جداگانه است. من قطعا آن را با جزئیات بیشتری تجزیه و تحلیل می کنم. روزی

با این حال ، مهم نیست که شما چگونه سیستم را حل می کنید ، در هر صورت ، اکنون ما باید معادله حاصل را حل کنیم:

q 3 = -8

مشکلی نیست: ریشه (مکعبی) را استخراج کنید و کارتان تمام شد!

لطفا توجه داشته باشید که هنگام استخراج نیازی به اضافه کردن منفی در اینجا ندارید. ما یک ریشه درجه فرد (سوم) داریم. و پاسخ نیز همان است ، بله.)

بنابراین مخرج پیشرفت پیدا شده است. منهای دو خوب! روند در حال انجام است.)

برای ترم اول (مثلاً از معادله فوقانی) بدست می آوریم:

خوب! ما اصطلاح اول را می دانیم ، مخرج را می دانیم. و اکنون ما این فرصت را داریم که اعضای عضو پیشرفت را پیدا کنیم. از جمله مورد دوم.)

برای دوره دوم ، همه چیز کاملا ساده است:

ب 2 = ب 1 · q \u003d 3 (-2) \u003d -6

پاسخ: -6

بنابراین ، ما روش جبری حل مسئله را بیان کرده ایم. سخت؟ واقعاً نه ، موافقم. طولانی و خسته کننده؟ بله کاملا. اما گاهی اوقات می توانید میزان کار را به میزان قابل توجهی کاهش دهید. برای این وجود دارد راه گرافیکیخوب قدیمی و آشنا برای ما.)

رسم یک مشکل!

آره! دقیقا. ما دوباره پیشرفت خود را در محور اعداد به تصویر می کشیم. پیروی از خط کش ضروری نیست ، حفظ فواصل مساوی بین اعضا لازم نیست (که ، اتفاقاً یکسان نخواهد بود ، زیرا پیشرفت هندسی است!) ، اما به سادگی به صورت شماتیک ترتیب ما را ترسیم کنید.

من این را اینگونه دریافت کردم:

و حالا ما به تصویر نگاه می کنیم و فکر می کنیم. چه تعداد فاکتورهای یکسان "q" دارند چهارم و هفتم اعضا؟ درست است ، سه!

بنابراین ، ما حق داریم که:

-24q 3 = 192

از این رو ، q اکنون به راحتی جستجو می شود:

q 3 = -8

q = -2

عالی است ، مخرج از قبل در جیب ماست. و اکنون دوباره به تصویر نگاه می کنیم: چند مخرج از این دست در میان یکدیگر نشسته اند دومین و چهارم اعضا؟ دو تا بنابراین ، برای ثبت ارتباط بین این اصطلاحات ، مخرج خواهد بود مربع.

بنابراین می نویسیم:

ب 2 · q 2 = -24 از جایی که ب 2 = -24/ q 2

مخرج پیدا شده را در عبارت b 2 جایگزین می کنیم ، می شماریم و می گیریم:

پاسخ: -6

همانطور که می بینید ، همه چیز بسیار راحت تر و سریعتر از سیستم است. علاوه بر این ، در اینجا ما اصلاً نیازی به شمارش دوره اول نداشتیم! اصلا.)

در اینجا یک روش ساده و شهودی برای نور وجود دارد. اما او یک اشکال جدی نیز دارد. آیا حدس زده اید؟ آره! این فقط برای برش های بسیار کوتاه پیشرفت کار می کند. کسانی که فاصله بین اعضای مورد علاقه ما زیاد نیست. اما در همه موارد دیگر ترسیم یک تصویر دشوار است ، بله ... سپس ما مسئله را از طریق سیستم به صورت تحلیلی حل می کنیم.) و سیستم ها یک چیز جهانی هستند. می توان با هر شماره ای برخورد کرد.

چالش حماسی دیگر:

ترم دوم پیشرفت هندسی 10 تراز اول است و ترم سوم 30 ترم دوم است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

باحال چیست؟ اصلا! همه همان ما دوباره عبارت مسئله را به جبر خالص ترجمه می کنیم.

1) ما هر اصطلاح را طبق فرمول می نویسیم nعضو هفتم!

ترم دوم: b 2 \u003d b 1 q

ترم سوم: b 3 \u003d b 1 q 2

2) ارتباط بین اعضا را از عبارت مسئله یادداشت می کنیم.

ما شرایط را می خوانیم: "ترم دوم پیشرفت هندسی 10 برابر ترم اول است." بس کن ، این ارزشمند است!

بنابراین می نویسیم:

ب 2 = ب 1 +10

و ما این عبارت را به ریاضیات ناب ترجمه می کنیم:

ب 3 = ب 2 +30

دو معادله گرفتیم. ما آنها را در یک سیستم ترکیب می کنیم:

سیستم ساده به نظر می رسد. اما تعداد زیادی شاخص مختلف برای حروف وجود دارد. بیایید به جای اصطلاحات دوم و سوم عبارات آنها را از طریق اصطلاح و مخرج اول جایگزین کنیم! آیا بیهوده بود که آنها را نقاشی کردیم؟

ما گرفتیم:

اما چنین سیستمی دیگر هدیه نیست ، بله ... چگونه این مشکل را حل کنیم؟ متأسفانه ، یک طلسم راز جهانی برای حل پیچیده است غیرخطی در ریاضیات هیچ سیستمی وجود ندارد و نمی تواند باشد. این خارق العاده است! اما اولین چیزی که هنگام تلاش برای شکستن چنین مهره ای سخت باید به ذهن شما خطور کند این است که اما آیا یکی از معادلات سیستم به کاهش می یابد منظره زیبا، اجازه می دهد ، به عنوان مثال ، به راحتی یکی از متغیرها را از طریق دیگری بیان کند؟

بنابراین بیایید تخمین بزنیم. معادله اول سیستم به وضوح ساده تر از معادله دوم است. ما او را شکنجه خواهیم کرد.) آیا نباید از معادله اول تلاش کنیم چیزی بیان از طریق چیزی؟ از آنجا که می خواهیم مخرج را پیدا کنیم q، پس بیان آن برای ما بسیار سودمند خواهد بود ب 1 آن طرف q.

بنابراین بیایید سعی کنیم این روش را با اولین معادله ، با استفاده از معادلات خوب قدیمی انجام دهیم:

b 1 q \u003d b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) \u003d 10

همه! بنابراین بیان کردیم غیر ضروری متغیر (b 1) را از طریق لازم (س) بله ، آنها ساده ترین عبارت را دریافت نکردند. کسری ... اما سیستم ما از سطح مطلوبی برخوردار است ، بله.)

معمول. ما میدانیم چه کنیم.

ما ODZ می نویسیم (ضروری!) :

q ≠ 1

همه چیز را در مخرج (q-1) ضرب می کنیم و تمام کسرها را لغو می کنیم:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

ما همه چیز را به ده تقسیم می کنیم ، براکت ها را باز می کنیم ، همه چیز را در سمت چپ جمع می کنیم:

q 2 – 4 q + 3 = 0

ما نتیجه را حل می کنیم و دو ریشه می گیریم:

q 1 = 1

q 2 = 3

فقط یک پاسخ نهایی وجود دارد: q = 3 .

پاسخ: 3

همانطور که مشاهده می کنید ، راه حل اکثر مشکلات فرمول دوره نهم پیشرفت هندسی همیشه یکسان است: بخوانید با دقت با توجه به شرایط مسئله و با استفاده از فرمول اصطلاح نهم کل را ترجمه می کنیم اطلاعات مفید به جبر خالص

برای مثال:

1) ما هر اصطلاحی را که در فرمول آمده است به صورت جداگانه می نویسیمnعضو هفتم

2) از شرط مسئله ، ارتباط بین اصطلاحات را به شکل ریاضی ترجمه می کنیم. ما یک معادله یا یک سیستم معادلات را می سازیم.

3) ما معادله یا سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم ، پارامترهای ناشناخته پیشرفت را پیدا می کنیم.

4) در صورت پاسخ مبهم ، در جستجوی اطلاعات اضافی (در صورت وجود) با دقت شرایط مسئله را می خوانیم. ما همچنین پاسخ دریافت شده را با شرایط DLO بررسی می کنیم (در صورت وجود).

و اکنون بیایید مشکلات اصلی را که اغلب منجر به خطا در روند حل مشکلات در یک پیشرفت هندسی می شوند ، لیست کنیم.

1. حساب مقدماتی. کنشهایی با کسر و اعداد منفی.

2. اگر حداقل با یکی از این سه نکته مشکلی داشته باشید ، به ناچار در این مبحث اشتباه خواهید کرد. متأسفانه ... پس تنبل نباشید و آنچه را که در بالا ذکر شد تکرار کنید. و پیوندها را دنبال کنید - بروید. گاهی اوقات کمک می کند.)

فرمول های اصلاح شده و مکرر.

حال بیایید به چند مشکل امتحانی معمولی با معرفی کمتر آشنا شرایط مراجعه کنیم. بله ، حدس زدید! آی تی اصلاح شده و راجعه فرمول های دوره نهم. ما قبلاً با چنین فرمول هایی روبرو شده ایم و در یک پیشرفت حسابی کار کرده ایم. اینجا همه چیز مثل هم است. ماهیت همان است.

به عنوان مثال ، چنین وظیفه ای از OGE:

پیشرفت هندسی با فرمول داده می شود b n \u003d 3 2 n ... جمع اعضای اول و چهارم را پیدا کنید.

این بار پیشرفت برای ما کاملاً آشنا نیست. به صورت نوعی فرمول. پس چی؟ این فرمول - همچنین یک فرمولnعضو هفتم! همه ما می دانیم که فرمول دوره نهم را می توان هم به صورت کلی ، هم از طریق حروف و هم برای نوشت پیشرفت خاص... از جانب خاص اصطلاح اول و مخرج.

در مورد ما ، در واقع ، یک فرمول اصطلاح مشترک برای پیشرفت هندسی با پارامترهای زیر به ما داده شده است:

ب 1 = 6

q = 2

بیایید آن را بررسی کنیم؟) اجازه دهید فرمول ترم نهم را به صورت کلی بنویسیم و آن را جایگزین کنیم ب 1 و q... ما گرفتیم:

b n = ب 1 · q n -1

b n \u003d 6 2 n -1

با استفاده از ویژگی های فاکتور و قدرت آن را ساده کنید تا بدست آورید:

b n \u003d 6 2 n -1 \u003d 3 2 2 n -1 \u003d 3 2 n -1+1 \u003d 3 2 n

همانطور که می بینید همه چیز عادلانه است. اما هدف ما از شما این نیست که استنباط یک فرمول خاص را نشان دهیم. این یک انحراف غنایی است. کاملاً برای درک مطلب.) هدف ما حل مسئله با توجه به فرمولی است که در شرایط به ما داده شده است. Catch؟) بنابراین ما مستقیماً با فرمول اصلاح شده کار می کنیم.

ما ترم اول را حساب می کنیم. جایگزین n=1 به فرمول کلی:

ب 1 = 3 2 1 \u003d 3 2 \u003d 6

مثل این. به هر حال ، من تنبل نخواهم شد ، و یک بار دیگر توجه شما را به یک گلگیر معمولی با محاسبه عضو اول جلب خواهم کرد. نیازی به بررسی فرمول نیست b n \u003d 3 2 n، بلافاصله عجله کنید و بنویسید که ترم اول سه برابر است! این یک اشتباه فاحش است ، بله ...)

بیا ادامه بدهیم. جایگزین n=4 و ترم چهارم را بشمارید:

ب 4 = 3 2 4 \u003d 3 16 \u003d 48

و در آخر ، مقدار مورد نیاز را محاسبه می کنیم:

ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54

پاسخ: 54

مشکل دیگر

پیشرفت هندسی با توجه به شرایط مشخص شده است:

ب 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

ترم چهارم را در ترقی پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت با یک فرمول بازگشتی داده می شود. بسیار خوب.) نحوه کار با چنین فرمولی - ما هم می دانیم.

بنابراین ما عمل می کنیم. گام به گام.

1) دو را بشمارید پی در پی عضو پیشرفت.

ترم اول قبلاً به ما اختصاص داده شده است. منهای هفت اما ترم بعدی ، دوم با استفاده از فرمول تکراری به راحتی قابل محاسبه است. البته اگر می فهمید که چگونه کار می کند.)

بنابراین ما دوره دوم را حساب می کنیم با توجه به اولین شناخته شده:

ب 2 = 3 ب 1 \u003d 3 (-7) \u003d -21

2) مخرج پیشرفت را در نظر می گیریم

مشکلی هم نداره مستقیم ، تقسیم کنید دومین عضو در اولین.

ما گرفتیم:

q = -21/(-7) = 3

3) فرمول را می نویسیمnعضو هفتم به شکل معمول و عضو مورد نظر را در نظر بگیرید.

بنابراین ، ما اصطلاح اول و مخرج را نیز می دانیم. بنابراین می نویسیم:

b n \u003d -7 3 n -1

ب 4 \u003d -7 3 3 = -7 27 \u003d -189

پاسخ: -189

همانطور که مشاهده می کنید ، کار با چنین فرمول هایی برای یک پیشرفت هندسی ذاتاً تفاوتی با یک پیشرفت حسابی ندارد. درک اصل و معنای کلی این فرمول ها فقط مهم است. خوب ، معنای پیشرفت هندسی نیز باید درک شود ، بله.) و پس از آن هیچ اشتباه احمقانه ای وجود نخواهد داشت.

خوب ، بیایید خودمان آن را حل کنیم؟)

وظایف کاملا اساسی برای گرم کردن:

1. یک پیشرفت هندسی داده می شود که در آن ب 1 \u003d 243 ، و q \u003d -2/3. ترم ششم را در ترقی پیدا کنید.

2. اصطلاح کلی پیشرفت هندسی توسط فرمول آورده شده است b n = 5∙2 n +1 . تعداد ترم سه رقمی آخر این پیشرفت را پیدا کنید.

3. پیشرفت هندسی توسط شرایط تنظیم می شود:

ب 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

ترم پنجم را در ترقی پیدا کنید.

کمی پیچیده تر:

4- یک پیشرفت هندسی آورده شده است:

ب 1 =2048; q =-0,5

ششمین اصطلاح منفی چیست؟

چه چیزی بسیار دشوار به نظر می رسد؟ اصلا. منطق و درک معنای پیشرفت هندسی را ذخیره می کند. خوب ، فرمول دوره نهم البته.

5- سومین ترم پیشرفت هندسی -14 و ترم هشتم 112 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

6. مجموع ترم های اول و دوم تراز هندسی 75 و مجموع ترم های دوم و سوم 150 است. ترم ششم پیشرفت را پیدا کنید.

پاسخ ها (بهم ریخته): 6؛ -3888؛ -یک 800؛ -32؛ 448

تقریباً همه همین است. فقط برای یادگیری نحوه شمارش باقی مانده است حاصل جمع اولین n ترازهای هندسی بله کشف کنید پیشرفت هندسی بی نهایت کاهش می یابد و مقدار آن اتفاقاً یک چیز خیلی جالب و غیرمعمول! اطلاعات بیشتر در این زمینه در درسهای بعدی وجود دارد.)

اگر هر عدد طبیعی باشد n مطابقت با یک عدد واقعی a n ، سپس آنها می گویند که آن را داده شده است توالی عددی :

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , a n , . . . .

بنابراین توالی عددی تابعی از برهان طبیعی است.

عدد آ 1 نامیده می شوند اولین عضو توالی ، عدد آ 2 — ترم دوم در دنباله ، عدد آ 3 — سوم و غیره. عدد a n نامیده می شوند عضو نهم سکانس ها ، و تعداد طبیعی n — شماره او .

از دو عضو همسایه a n و a n +1 عضو توالی a n +1 نامیده می شوند متعاقب (به سمت a n ) ، و a n — قبلی (به سمت a n +1 ).

برای تعیین یک دنباله ، باید روشی را تعیین کنید که به شما اجازه دهد عضوی از توالی را با هر تعداد پیدا کنید.

اغلب توالی با داده می شود فرمول های ترم نهم ، یعنی فرمولی که به شما اجازه می دهد عضوی از یک دنباله را با تعداد آن تعیین کنید.

برای مثال،

توالی اعداد مثبت مثبت را می توان با فرمول مشخص کرد

a n= 2n -1,

و توالی متناوب 1 و -1 - با فرمول

ب n = (-1) n +1 . ◄

توالی را می توان تعیین کرد فرمول بازگشتی, یعنی فرمولی که بیانگر هر عضو از توالی باشد ، از برخی شروع می شود ، از طریق اعضای قبلی (یک یا چند).

برای مثال،

اگر یک آ 1 = 1 ، و a n +1 = a n + 5

آ 1 = 1,

آ 2 = آ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

آ 3 = آ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

آ 4 = آ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

آ 5 = آ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اگر یک a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , سپس هفت عضو از توالی عددی به شرح زیر تنظیم می شوند:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

یک 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

آ 6 = آ 4 + آ 5 = 3 + 5 = 8,

آ 7 = آ 5 + آ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

توالی ها می توانند باشند نهایی و بی پایان .

دنباله نامیده می شود نهایی اگر تعداد محدودی از اعضا داشته باشد. دنباله نامیده می شود بی پایان اگر بی نهایت عضو داشته باشد.

برای مثال،

توالی اعداد طبیعی دو رقمی:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهایی

دنباله ای از اعداد اول:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بی پایان ◄

دنباله نامیده می شود در حال افزایش اگر هر یک از اعضای آن ، از دوم شروع شود ، از عضو قبلی بیشتر است.

دنباله نامیده می شود کم شدن اگر هر یک از اعضای آن ، از دوم شروع شود ، کمتر از عضو قبلی است.

برای مثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - افزایش توالی ؛

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n, . . . - دنباله نزولی ◄

توالی ای که عناصر آن با افزایش تعداد کاهش نمی یابد ، یا برعکس ، افزایش نمی یابد ، نامیده می شود توالی یکنواخت .

توالی های یکنواخت ، به ویژه توالی های صعودی و دنباله های نزولی هستند.

پیشرفت حسابی

پیشرفت حسابی یک توالی فراخوانی می شود ، که هر یک از اعضای آن ، با شروع از دوم ، برابر با قبلی است ، که همان تعداد به آن اضافه می شود.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , a n, . . .

در صورت وجود ، پیشرفت حسابی است عدد طبیعی n شرط برآورده شده است:

a n +1 = a n + د,

جایی که د - تعدادی عدد.

بنابراین ، تفاوت بین اعضای بعدی و اعضای قبلی یک پیشرفت حساب مشخص همیشه ثابت است:

a 2 - آ 1 = a 3 - آ 2 = . . . = a n +1 - a n = د.

عدد د نامیده می شوند تفاوت پیشرفت حسابی.

برای تنظیم یک پیشرفت حساب ، کافی است اولین اصطلاح و تفاوت آن را نشان دهید.

برای مثال،

اگر یک آ 1 = 3, د = 4 ، سپس پنج عضو اول دنباله به شرح زیر یافت می شود:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + د = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + د= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + د= 11 + 4 = 15,

آ 5 = آ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

برای پیشرفت حساب با اصطلاح اول آ 1 و تفاوت د او n

a n = a 1 + (n- 1)د

برای مثال،

سی امین دوره حساب را پیدا کنید

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, د = 3,

30 = a 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)د ،

a n= a 1 + (n- 1)د ،

a n +1 = آ 1 + دوم,

پس بدیهی است

هر عضو از پیشرفت حساب ، از دوم شروع می شود ، برابر با میانگین حساب اعضای قبلی و بعدی است.

اعداد a ، b و c اعضای متوالی برخی از پیشرفتهای حسابی هستند در صورتی که فقط یکی از آنها برابر با میانگین حسابی دو مورد دیگر باشد.

برای مثال،

a n = 2n- 7 ، یک پیشرفت حسابی است.

بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

در نتیجه،

◄

توجه داشته باشید که n -th دوره پیشرفت حساب را می توان نه تنها از طریق یافت آ 1 ، اما همچنین هر قبلی a k

a n = a k + (n- ک)د.

برای مثال،

برای آ 5 قابل نوشتن است

یک 5 = a 1 + 4د,

یک 5 = a 2 + 3د,

یک 5 = a 3 + 2د,

یک 5 = a 4 + د. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

پس بدیهی است

هر عضوی از یک پیشرفت حسابی ، از دوم شروع می شود ، برابر با نصف مجموع اعضای این پیشرفت حسابی است که به همان اندازه از آن فاصله دارد.

علاوه بر این ، برای هر پیشرفت حسابی ، برابری درست است:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l

برای مثال،

در پیشرفت حسابی

1) آ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (آ 9 + آ 11 )/2;

2) 28 = 10 = a 3 + 7د\u003d 7 + 7 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28 ؛

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, زیرا

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

اولین n اعضای یک پیشرفت حسابی برابر با حاصل حاصل از نیم جمع اصطلاحات شدید با تعداد عبارات است:

از این رو ، به طور خاص ، نتیجه می شود که در صورت لزوم جمع بندی اصطلاحات

a k, a k +1 , . . . , a n,

سپس فرمول قبلی ساختار خود را حفظ می کند:

برای مثال،

در پیشرفت حسابی 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

اگر یک پیشرفت حسابی داده شود ، مقادیر آن است آ 1 , a n, د, n وS n با دو فرمول پیوند داده شده است:

بنابراین ، اگر مقادیر سه مقدار از این مقادیر داده شود ، مقادیر متناظر دو مقدار دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله ای با دو ناشناخته ترکیب می شوند.

پیشرفت حسابی یک توالی یکنواخت است. که در آن:

• اگر یک د > 0 ، پس از آن در حال افزایش است.
• اگر یک د < 0 ، پس از آن در حال کاهش است.
• اگر یک د = 0 ، سپس توالی ثابت خواهد بود.

پیشرفت هندسی

پیشرفت هندسی یک توالی فراخوانی می شود که هر یک از اعضای آن ، از دوم شروع می شود ، برابر با قبلی است ، ضرب در همان تعداد.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , b n, . . .

اگر برای هر عدد طبیعی یک پیشرفت هندسی باشد n شرط برآورده شده است:

b n +1 = b n · q,

جایی که q ≠ 0 - تعدادی عدد.

بنابراین ، نسبت عضو بعدی یک پیشرفت هندسی معین به یک قبلی ، یک عدد ثابت است:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

عدد q نامیده می شوند مخرج پیشرفت هندسی.

برای تنظیم یک پیشرفت هندسی ، کافی است اولین اصطلاح و مخرج آن را نشان دهید.

برای مثال،

اگر یک ب 1 = 1, q = -3 ، سپس پنج عضو اول دنباله به شرح زیر یافت می شود:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 و مخرج q او n اصطلاح هفتم را می توان با فرمول زیر یافت:

b n = ب 1 · q n -1 .

برای مثال،

هفتمین ترم پیشرفت هندسی را پیدا کنید 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, q = 2,

ب 7 = ب 1 · q 6 = 1 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = ب 1 · q n -2 ,

b n = ب 1 · q n -1 ,

b n +1 = ب 1 · q n,

پس بدیهی است

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

هر عضو از یک پیشرفت هندسی ، با شروع از دوم ، برابر است با میانگین هندسی (متناسب) اعضای قبلی و بعدی.

از آنجا که جمله معکوس نیز صحیح است ، عبارت زیر صدق می کند:

اعداد a ، b و c اعضای متوالی برخی از پیشرفت های هندسی هستند در صورتی که فقط اگر مربع یکی از آنها برابر با حاصلضرب دو مورد دیگر باشد ، یعنی یکی از اعداد میانگین هندسی دو مورد دیگر باشد.

برای مثال،

بگذارید ثابت کنیم توالی داده شده توسط فرمول b n \u003d -3 2 n ، یک پیشرفت نمایی است. بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

b n \u003d -3 2 n,

b n -1 \u003d -3 2 n -1 ,

b n +1 \u003d -3 2 n +1 .

در نتیجه،

b n 2 \u003d (-3 2 n) 2 \u003d (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

که بیان مورد نیاز را اثبات می کند. ◄

توجه داشته باشید که n -مین ترم از پیشرفت هندسی را می توان نه تنها از طریق یافت ب 1 ، بلکه همچنین هر اصطلاح قبلی است ب ک ، استفاده از فرمول برای آن کافی است

b n = ب ک · q n - ک.

برای مثال،

برای ب 5 قابل نوشتن است

ب 5 = ب 1 · q 4 ,

ب 5 = ب 2 · q 3,

ب 5 = ب 3 · q 2,

ب 5 = ب 4 · q. ◄

b n = ب ک · q n - ک,

b n = b n - ک · q k,

پس بدیهی است

b n 2 = b n - ک· b n + ک

مربع هر عضو از یک پیشرفت هندسی ، از دوم شروع می شود ، برابر با حاصلضرب اعضای این پیشرفت است که از آن برابر است.

علاوه بر این ، برای هر پیشرفت هندسی ، برابری درست است:

ب متر· b n= ب ک· ب ل,

متر+ n= ک+ من.

برای مثال،

نمایی

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , زیرا

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + b n

اولین n اعضای یک پیشرفت هندسی با مخرج q ≠ 0 محاسبه شده توسط فرمول:

و وقتی که q = 1 - طبق فرمول

S n= nb 1

توجه داشته باشید که در صورت نیاز به جمع بندی اصطلاحات

ب ک, ب ک +1 , . . . , b n,

سپس فرمول استفاده می شود:

برای مثال،

نمایی 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

اگر یک پیشرفت هندسی داده شود ، مقادیر آن است ب 1 , b n, q, n و S n با دو فرمول پیوند داده شده است:

بنابراین ، اگر مقادیر هر سه از این کمیت ها داده شود ، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله ای با دو مجهول ترکیب می شوند.

برای پیشرفت هندسی با اصطلاح اول ب 1 و مخرج q به شرح زیر خواص یکنواختی :

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود پیشرفت در حال صعودی است:

ب 1 > 0 و q> 1;

ب 1 < 0 و 0 < q< 1;

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود پیشرفت در حال کاهش است:

ب 1 > 0 و 0 < q< 1;

ب 1 < 0 و q> 1.

اگر یک q< 0 ، سپس پیشرفت هندسی متناوب است: اعضای عدد فرد آن علامت مشابه اصطلاح اول آن را دارند ، و اصطلاحات عدد زوج علامت مخالف دارند. واضح است که یک پیشرفت هندسی متناوب یکنواخت نیست.

کار اول n اعضای یک پیشرفت هندسی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

P n= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · b n = (ب 1 · b n) n / 2 .

برای مثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است

پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است یک پیشرفت هندسی بینهایت نامیده می شود که مدول مخرج آن کمتر است 1 ، یعنی

|q| < 1 .

توجه داشته باشید که یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش ممکن است دنباله ای در حال کاهش نباشد. این متناسب با پرونده است

1 < q< 0 .

با چنین مخرجی ، توالی متناوب است. برای مثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش عددی است که حاصل جمع اول است n اعضای پیشرفت با افزایش نامحدود تعداد n ... این عدد همیشه محدود است و با فرمول بیان می شود

برای مثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

رابطه پیشرفتهای هندسی و حسابی

ترقی و هندسی و پیشرفت هندسی ارتباط تنگاتنگی دارند. بیایید فقط به دو نمونه نگاه کنیم.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . د سپس

ب الف 1 , ب الف 2 , ب الف 3 , . . . ب د .

برای مثال،

1, 3, 5, . . . - پیشرفت حساب با تفاوت 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج q سپس

{!LANG-fc00933498e69fd46cc9dd50b54d0e5b!}, {!LANG-6aa5f7910dab399f2a086d6e86dbb679!}, {!LANG-46aa94bfa2de2dfdb71c6e1d1e5bfb0c!}, . . . {!LANG-6e2c6841f21a3d8eac6bf6b5773ee5c0!} {!LANG-047b04c1bf83eb5c652d0fa63c8696eb!}q .

برای مثال،

2, 12, 72, . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 6 و

{!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 2, {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 12, {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 72, . . . {!LANG-6e2c6841f21a3d8eac6bf6b5773ee5c0!} {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 6 . ◄

{!LANG-cffcda0c311aa552e6806445be6135cc!}

7 28 112 448 1792...

{!LANG-481b8496caa7f30f52f2e2fbf9a8ba63!} {!LANG-6deaac5807689551b2937efa5d27d61b!}{!LANG-7f15752e12fc45e8a2be65169f016088!}

{!LANG-10217d1124e59ebe988c706d00d117d7!} {!LANG-8f73ab6d3d4c8458a9061e4f250864dc!}{!LANG-3722deeb98ab5dfe1a49e3b8cca08c83!}

{!LANG-7075c7bf1f06764356b178d97f6bbfce!}

{!LANG-d716cad1bd8ae8bb6e876b1ae6c0d8d2!}

{!LANG-ed7994597fd6fc8edde883424e7c74d8!}

0.25 0.125 0.0625...

{!LANG-7d9a2adee1d5c4fc1f9306e906599036!}

{!LANG-9a965ecc1960e7f27f6ee3faf322a597!}

{!LANG-412ff8f1e839a1aa9f256920ff73a8c5!}

{!LANG-e3c539bcbc73d3c48f09483928f358f0!}

{!LANG-ddca0e5cbd234d8e4e4fc8042db8d7bb!}

{!LANG-3ca77a38a5343f4f0956a3783db62ea6!}

• {!LANG-37ec1ef5787dc8e5f1cdd12a56d450cf!} {!LANG-6c2ccdd8d87b44aacd6ffb9d4fc02974!}{!LANG-6f7981757ae6c114a2eadcae0af07931!}

{!LANG-3c83f5619056952071e2206e2467e219!}

{!LANG-37671a8c1398df45f347fde6a09d3bfa!}

3 6 12 24 48 ...

• {!LANG-3f5da9af05f6e648233a72af51367f65!}

{!LANG-fc60eaf25d27b34abe0537cd7669cf66!}

{!LANG-bbefaa0b62064817164c7121c332b88e!}

{!LANG-f387ed5b9a488727ed608c3d57c1fdc1!}

• {!LANG-00f3f489fcdf3834689ee880d34a5c97!}<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

{!LANG-4401b56e3f1e1203bad99bfe7b541405!}

{!LANG-1191749c5e92a608b62391fc8a86e779!}

3, 6, -12, 24,...

{!LANG-3ef65574ab25af97475ac15f09d6b1aa!}

{!LANG-99adb7eb4ee2e62f0f7732c25d9afdcc!}

• {!LANG-fd3e1824e0e94bdd675f301a638e9a20!}

{!LANG-5ec6441f19641481330293f2e06510df!}q = 3, آ 1 {!LANG-ac1aa5f1388df1a815db5600454abb32!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}آ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• {!LANG-845ed5bd59d4d1999fb138a1173320ab!} {!LANG-a8a78d0ff555c931f045b6f448129846!}{!LANG-06a24a92b0a649648c1805326b3cf595!}{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!}{!LANG-55c58b851d68170e7a73485e787c5427!}

{!LANG-d769d22497b7c8814cc0bc647be7aedd!}q{!LANG-72fcaebe722208ddc3378c9fe4fe5638!}{!LANG-007e15196ac62d7ca62eb5787ad35442!}

{!LANG-3374148f87d09b01047df82ef943343e!}

{!LANG-4e6da125c073587999551a5a42ab0fed!}آ 1 = 2, q{!LANG-7f70bc3022541fe179f71417a5399e6d!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}S 5 = {!LANG-cca07a772e962ff5986606060053596a!}

• {!LANG-52063c71fdc792534d02577c9e2a2c3c!}q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

{!LANG-5ec6441f19641481330293f2e06510df!}آ 1 = 2 , q{!LANG-784847de9c62e711d21bb767aae45501!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}{!LANG-69afc6cb9026ec6aa57b71bab9570b44!} = 2 · = 4

{!LANG-69afc6cb9026ec6aa57b71bab9570b44!} = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

{!LANG-5f2ca800ba6b537fbe8526ad73030461!}

• {!LANG-da85f5b4ce5791200e97b906eb2002f2!} {!LANG-40b87857942f60921457a45b7afd29da!}{!LANG-a8a78d0ff555c931f045b6f448129846!}{!LANG-cb69335578f79699708cb771fc6da3ad!}

{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} 2 = {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} -1 · آ{!LANG-bb9440f49d0401a99a70b88da07cf1a4!}

• {!LANG-80f39dabe0054e5a98cd957e45a5512a!}

{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} 2 = {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} - {!LANG-3f7461e9ed4496b383661b9f70dd4444!} 2 + {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} + {!LANG-3f7461e9ed4496b383661b9f70dd4444!} 2 {!LANG-f8fdd81c1d81023043821f2eadef85d9!}{!LANG-b7269fa2508548e4032c455818f1e321!}{!LANG-fadfc30db394bc481121219df53ddc37!}

• {!LANG-282db5f9b913e48b23a41170cf30b20a!}{!LANG-80a3c0e3f9acc87b72a2dd4b43879b0c!}{!LANG-9f1c51d6f486ee7abc5af62fa7781df0!}
• {!LANG-f73e47264ebbf8d3b6a1abb09fa4f725!}

{!LANG-d4073f6aec5bf4a4b44e0d0ba0d798f2!}

{!LANG-3c236457651ad070f5f04ec49cbcea93!}

• {!LANG-7216a0befb11f0385fe45ff39ed3510a!}آ 1 = 3, آ 3 {!LANG-904aacbc0f11aa84c57b59f850ecb82d!}q.

{!LANG-0e181a8d54db7fddd1dec93390c61120!}q {!LANG-9f1c51d6f486ee7abc5af62fa7781df0!}{!LANG-dd7559069e9cb9662a22245015ef3821!}

{!LANG-8ddecfd2fbc0ea52a1d6a6e4755fbfe5!}آ 3 = q 2 · آ 1

{!LANG-f3daeded6c755b019b9d257f5a4ae13b!}q= 4

• {!LANG-7216a0befb11f0385fe45ff39ed3510a!}آ 2 = 6, آ 3 {!LANG-4a67a53e26077be51538073e417213b1!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}{!LANG-cd802df81cca8a4303f289a71fdc67ed!}

آ 3 = q· آ 2 {!LANG-89d6bf92c93d1a6b8e734ec49c8e9889!}q= 2

{!LANG-174bfe3e597eab51a4aadb15e7d25d59!} {!LANG-ebbdb215f8e259a2a8a7b51253a990ff!}{!LANG-1c718e67101bf3dd553a97e7a6485e7b!} {!LANG-e15ace769f01e47f026598fdffe8aa54!} 3

{!LANG-d383929826c1e408f894bd4d19fca961!} 189

• · آ 1 = 10, q{!LANG-9851edfd10464035a03226d7700b25bc!}

{!LANG-a997983a33328729432b41d6b2c15aa2!}

{!LANG-1195b392491382ece2a016bdd93d4c42!}· {!LANG-bc1c164524c1bc9fbca7401ee9a1c779!}

{!LANG-5c181b513fbec3616f5ccb02ba21a569!}

• {!LANG-7c5c40fd534b3fe714135468ca6d7cb4!}

{!LANG-ad82174c317fd128b89e41235fbcb9fc!} · {!LANG-a86f77d975fa821d86eb23e3a5efed0a!}

{!LANG-a0ddc7903b7bbf6275763fb1b19096b7!}

{!LANG-9ce279ebc43301d49364fb674f0c4c52!}

{!LANG-0adf4b7dc6b8346c5ab590e623f1eb09!}

{!LANG-a62bd989390c0db1cfb1389d2e10e649!}

{!LANG-2e75ab906c5866f94f32dab18b43fdb8!}

{!LANG-e10f84030ffdae7f643cbdde2d8e537e!}

آ 1 = 4, q{!LANG-7aef3ce2d035bbc9cd5384019475cd99!}{!LANG-d6d0c3c5e55432fb51d45a32290ad64b!}.

{!LANG-150718385f213e9af6c857103b73f143!}

S 5 = 124

• آ 2 = 6, آ 3 {!LANG-64967a03b8eada5f01ed2d24c465a7cd!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-2d6162c5b1553c24ac0a50b5f64d55da!}آ 1 {!LANG-8f65f6374db82d679f37b7b1cd196457!}q.

آ 2 · q = آ 3

q = 3

{!LANG-c60d9a4242520fb7e8c1ea02c46fb058!}آ 1 {!LANG-8d40a83e255151cbcaa26690b097a988!}آ 2 وq.

آ 1 · q = آ 2

{!LANG-e15ace769f01e47f026598fdffe8aa54!}2

S 6 = 728.

پیشرفت هندسی{!LANG-6ec8ee9d39900716a2ccdceffca0bc4f!} مخرج پیشرفت هندسی{!LANG-ed5afbb7ff9605be955a4724b369f5ab!}

{!LANG-33960729bc8343b834b1ba9c3d81947d!}

{!LANG-5386ed5f29dd780a4da8ea5093e3c3f9!}{!LANG-de308c7727a8a7c49954e7789d1a345c!}

{!LANG-69063e43c7ce08c8dd9cdb07aff49e39!}{!LANG-bcdfe4623ed1c18409d39ccd2b496879!}

{!LANG-92868e09e3d1ecf5a9180b66174b0001!}

{!LANG-3d786a17e5de8108fdaa76e364f0efe9!}

{!LANG-1adb128022f59b9e31429cd398946ed5!}

{!LANG-f9dd748672b85c9fdd8d94cfb7fc7c16!}

{!LANG-e501565401cebaa7bd7f57993210d4c9!}

{!LANG-7a21d336448d8569c6c810e7d7afe310!}

{!LANG-c6f9f89d20d7cb0a6c65cdee865d2076!}

{!LANG-ecd8d18d9bb981e38b4fbbaa665ce826!}

{!LANG-0021df6e18f0ebbf8d14e48cf4f704f2!}

{!LANG-df7ccd9e0450c49bf10bceeda23af3a3!}

{!LANG-15513d8c44546ec0519da7cb63e820bc!} {!LANG-94aa16b946ef2e1f5100728c4a21cce0!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-59da731b184875282d2f8806904fbff7!}

{!LANG-4bc7aaf4ceaeeceb3345c9156e179623!}

{!LANG-26cea3e28126c547b9f4c612ec10709e!}

{!LANG-530d71ee2ba2888c3cab207a6052f743!}

{!LANG-4e978f4feb6ba01fc66c3e845da15ada!}

{!LANG-3ace4a9b3a36c4e9dcca97aec0698a4d!}

{!LANG-a3d399a4c69bfe37341549706f8ad0f6!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-95ab0e652f589aa7b751622570a236b5!}

{!LANG-401650e9583f2b89ade25d666dcf1cdf!}

{!LANG-3136369c0ef81a35128a11da08270b90!}

{!LANG-5eba02cb8b1c3fc7b6b4564baf67b20c!}