اگر هر عدد طبیعی n با یک عدد واقعی مطابقت دهید یک n ، سپس می گویند که داده شده است دنباله اعداد :

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , یک n , . . . .

بنابراین، یک دنباله عددی تابعی از یک آرگومان طبیعی است.

عدد آ 1 تماس گرفت اولین عضو سکانس ، عدد آ 2 — عضو دوم سکانس ، عدد آ 3 — سوم و غیره. عدد یک n تماس گرفت نهمین عضودنباله ها و عدد طبیعی n — شماره او .

از دو عضو همسایه یک n و یک n +1 دنباله های اعضا یک n +1 تماس گرفت متعاقب (به سمت یک n )، آ یک n — قبلی (به سمت یک n +1 ).

برای تعیین یک دنباله، باید روشی را مشخص کنید که به شما امکان می دهد یک عضو دنباله را با هر عددی پیدا کنید.

اغلب دنباله با داده می شود فرمول های ترم n ، یعنی فرمولی که به شما امکان می دهد یک عضو دنباله را با تعداد آن تعیین کنید.

مثلا،

دنباله اعداد فرد مثبت را می توان با فرمول به دست آورد

یک n= 2n- 1,

و دنباله متناوب 1 و -1 - فرمول

ب n = (-1)n +1 . ◄

توالی را می توان تعیین کرد فرمول مکرر, یعنی فرمولی که هر عضوی از دنباله را بیان می کند، که با تعدادی شروع می شود، از طریق اعضای قبلی (یک یا چند).

مثلا،

اگر آ 1 = 1 ، آ یک n +1 = یک n + 5

آ 1 = 1,

آ 2 = آ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

آ 3 = آ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

آ 4 = آ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

آ 5 = آ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اگر یک یک 1= 1, یک 2 = 1, یک n +2 = یک n + یک n +1 , سپس هفت عضو اول دنباله عددی به صورت زیر تنظیم می شوند:

یک 1 = 1,

یک 2 = 1,

یک 3 = یک 1 + یک 2 = 1 + 1 = 2,

یک 4 = یک 2 + یک 3 = 1 + 2 = 3,

یک 5 = یک 3 + یک 4 = 2 + 3 = 5,

آ 6 = آ 4 + آ 5 = 3 + 5 = 8,

آ 7 = آ 5 + آ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

توالی می تواند باشد نهایی و بی پایان .

دنباله نامیده می شود نهایی اگر تعداد اعضای محدودی داشته باشد. دنباله نامیده می شود بی پایان اگر بینهایت اعضای زیادی داشته باشد.

مثلا،

دنباله ای از اعداد طبیعی دو رقمی:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهایی

دنباله اعداد اول:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بی پایان ◄

دنباله نامیده می شود افزایش می یابد ، در صورتی که هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، بزرگتر از قبلی باشد.

دنباله نامیده می شود رو به زوال ، در صورتی که هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، کمتر از قبلی باشد.

مثلا،

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . یک دنباله صعودی است.

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . یک دنباله نزولی است. ◄

دنباله ای که عناصر آن با افزایش تعداد کاهش نمی یابد یا برعکس افزایش نمی یابد، نامیده می شود دنباله یکنواخت .

توالی های یکنواخت، به ویژه، دنباله های افزایشی و توالی های کاهشی هستند.

پیشرفت حسابی

پیشرفت حسابی دنباله ای نامیده می شود که هر یک از اعضای آن با شروع از دومی برابر با قبلی است که همان عدد به آن اضافه می شود.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , یک n, . . .

اگر برای هر عدد طبیعی باشد، یک تصاعد حسابی است n شرط برقرار است:

یک n +1 = یک n + د,

جایی که د - تعدادی عدد

بنابراین، تفاوت بین اعضای بعدی و قبلی یک داده شده است پیشرفت حسابیهمیشه ثابت:

یک 2 - آ 1 = یک 3 - آ 2 = . . . = یک n +1 - یک n = د.

عدد د تماس گرفت تفاوت یک پیشرفت حسابی.

برای تنظیم یک پیشروی حسابی کافی است اولین جمله و تفاوت آن را مشخص کنید.

مثلا،

اگر آ 1 = 3, د = 4 ، سپس پنج عبارت اول دنباله به صورت زیر یافت می شود:

یک 1 =3,

یک 2 = یک 1 + د = 3 + 4 = 7,

یک 3 = یک 2 + د= 7 + 4 = 11,

یک 4 = یک 3 + د= 11 + 4 = 15,

آ 5 = آ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

برای پیشروی حسابی با جمله اول آ 1 و تفاوت د او n

یک n = یک 1 + (n- 1)د

مثلا،

جمله سی ام یک پیشرفت حسابی را پیدا کنید

1, 4, 7, 10, . . .

یک 1 =1, د = 3,

یک 30 = یک 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

یک n-1 = یک 1 + (n- 2)د،

یک n= یک 1 + (n- 1)د،

یک n +1 = آ 1 + nd,

سپس بدیهی است

هر عضو پیشروی حسابی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی اعضای قبلی و بعدی.

اعداد a، b و c اعضای متوالی برخی از پیشروی های حسابی هستند اگر و فقط اگر یکی از آنها برابر با میانگین حسابی دو نفر دیگر باشد.

مثلا،

یک n = 2n- 7 ، یک پیشرفت حسابی است.

بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

یک n = 2n- 7,

یک n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

یک n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

از این رو،

◄

توجه داشته باشید که n عضو -امین یک پیشرفت حسابی را می توان نه تنها از طریق آ 1 ، بلکه هر قبلی یک ک

یک n = یک ک + (n- ک)د.

مثلا،

برای آ 5 می توان نوشت

یک 5 = یک 1 + 4د,

یک 5 = یک 2 + 3د,

یک 5 = یک 3 + 2د,

یک 5 = یک 4 + د. ◄

یک n = یک n-k + kd,

یک n = a n+k - kd,

سپس بدیهی است

هر عضوی از یک پیشروی حسابی، که از دومی شروع شود، برابر است با نصف مجموع اعضای این پیشروی حسابی با فاصله مساوی از آن.

علاوه بر این، برای هر پیشروی حسابی، برابری صادق است:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

مثلا،

در پیشرفت حسابی

1) آ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (آ 9 + آ 11 )/2;

2) 28 = یک 10 = یک 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) یک 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, مانند

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ یک n,

اولین n اعضای یک پیشروی حسابی برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع عبارات افراطی در تعداد عبارت‌ها:

از این، به ویژه، چنین نتیجه می شود که اگر لازم باشد شرایط را جمع کنیم

یک ک, یک ک +1 , . . . , یک n,

سپس فرمول قبلی ساختار خود را حفظ می کند:

مثلا،

در پیشرفت حسابی 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

اس 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = اس 10 - اس 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

اگر یک تصاعد حسابی داده شود، پس کمیت ها آ 1 , یک n, د, nواس n با دو فرمول مرتبط است:

بنابراین، اگر مقادیر سه مورد از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها در یک سیستم دو معادله با دو مجهول تعیین می شود.

پیشروی حسابی یک دنباله یکنواخت است. که در آن:

• اگر د > 0 ، سپس در حال افزایش است.
• اگر د < 0 ، سپس در حال کاهش است.
• اگر د = 0 ، سپس دنباله ثابت خواهد بود.

پیشرفت هندسی

پیشرفت هندسی دنباله ای نامیده می شود که هر جمله آن با شروع از دومی برابر است با عدد قبلی ضرب در همان عدد.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , b n, . . .

یک تصاعد هندسی برای هر عدد طبیعی است n شرط برقرار است:

b n +1 = b n · q,

جایی که q ≠ 0 - تعدادی عدد

بنابراین، نسبت جمله بعدی این پیشرفت هندسی به جمله قبلی یک عدد ثابت است:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

عدد q تماس گرفت مخرج یک پیشرفت هندسی.

برای تنظیم یک تصاعد هندسی کافی است اولین جمله و مخرج آن را مشخص کنید.

مثلا،

اگر ب 1 = 1, q = -3 ، سپس پنج عبارت اول دنباله به صورت زیر یافت می شود:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 و مخرج q او n عبارت -امین را می توان با فرمول پیدا کرد:

b n = ب 1 · q n -1 .

مثلا،

جمله هفتم یک پیشرفت هندسی را پیدا کنید 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, q = 2,

ب 7 = ب 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = ب 1 · q n -2 ,

b n = ب 1 · q n -1 ,

b n +1 = ب 1 · q n,

سپس بدیهی است

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

هر عضو پیشروی هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین هندسی (متناسب) اعضای قبلی و بعدی.

از آنجایی که عکس آن نیز صادق است، ادعای زیر صادق است:

اعداد a، b و c اعضای متوالی برخی از تصاعد هندسی هستند اگر و فقط اگر مجذور یکی از آنها برابر حاصلضرب دو اعداد دیگر باشد، یعنی یکی از اعداد میانگین هندسی دو اعداد دیگر باشد.

مثلا،

اجازه دهید ثابت کنیم که دنباله ای که توسط فرمول داده شده است b n= -3 2 n ، یک پیشرفت هندسی است. بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

از این رو،

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

که ادعای لازم را ثابت می کند. ◄

توجه داشته باشید که n ترم یک پیشروی هندسی را نه تنها از طریق می توان یافت ب 1 ، بلکه هر ترم قبلی b k ، که برای آن استفاده از فرمول کافی است

b n = b k · q n - ک.

مثلا،

برای ب 5 می توان نوشت

ب 5 = ب 1 · q 4 ,

ب 5 = ب 2 · س 3,

ب 5 = ب 3 · q2,

ب 5 = ب 4 · q. ◄

b n = b k · q n - ک,

b n = b n - ک · q k,

سپس بدیهی است

b n 2 = b n - ک· b n + ک

مربع هر عضو یک پیشرفت هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با حاصلضرب اعضای این پیشرفت در فاصله مساوی از آن.

علاوه بر این، برای هر پیشرفت هندسی، برابری صادق است:

b m· b n= b k· b l,

متر+ n= ک+ ل.

مثلا،

نمایی

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , مانند

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + b n

اولین n اعضای یک تصاعد هندسی با مخرج q ≠ 0 با فرمول محاسبه می شود:

و وقتی که q = 1 - طبق فرمول

S n= n.b. 1

توجه داشته باشید که در صورت نیاز به جمع بندی شرایط

b k, b k +1 , . . . , b n,

سپس از فرمول استفاده می شود:

مثلا،

نمایی 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

اس 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = اس 10 - اس 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

اگر یک پیشروی هندسی داده شود، آنگاه کمیت ها ب 1 , b n, q, nو S n با دو فرمول مرتبط است:

بنابراین، اگر مقادیر هر سه از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها در یک سیستم دو معادله با دو مجهول تعیین می شود.

برای یک پیشرفت هندسی با جمله اول ب 1 و مخرج q موارد زیر صورت می گیرد خواص یکنواختی :

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت افزایش می یابد:

ب 1 > 0 و q> 1;

ب 1 < 0 و 0 < q< 1;

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، یک پیشرفت کاهش می یابد:

ب 1 > 0 و 0 < q< 1;

ب 1 < 0 و q> 1.

اگر یک q< 0 ، سپس پیشروی هندسی متناوب علامت است: جمله های فرد آن علامت همان جمله اول را دارند و جمله های زوج دارای علامت مخالف هستند. واضح است که یک پیشرفت هندسی متناوب یکنواخت نیست.

محصول اولی n شرایط یک پیشرفت هندسی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

P n= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · b n = (ب 1 · b n) n / 2 .

مثلا،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است به یک پیشروی هندسی نامحدود می گویند که مدول مخرج آن کمتر از 1 ، یعنی

|q| < 1 .

توجه داشته باشید که یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت ممکن است یک دنباله کاهشی نباشد. این مورد مناسب است

1 < q< 0 .

با چنین مخرجی، دنباله علامت متناوب است. مثلا،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش عددی را که مجموع عدد اول به آن می آید نام ببرید n شرایط پیشرفت با افزایش نامحدود در تعداد n . این عدد همیشه محدود است و با فرمول بیان می شود

مثلا،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

رابطه بین پیشرفت های حسابی و هندسی

پیشرفت های حسابی و هندسی ارتباط نزدیکی با هم دارند. بیایید فقط دو مثال را در نظر بگیریم.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . د ، سپس

ب الف 1 , ب الف 2 , ب الف 3 , . . . ب د .

مثلا،

1, 3, 5, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . یک تصاعد هندسی با مخرج است 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . یک تصاعد هندسی با مخرج است q ، سپس

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ورود به سیستم aq .

مثلا،

2, 12, 72, . . . یک تصاعد هندسی با مخرج است 6 و

ال جی 2, ال جی 12, ال جی 72, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ال جی 6 . ◄

ریاضیات چیستمردم طبیعت و خودشان را کنترل می کنند.

ریاضیدان شوروی، آکادمیک A.N. کولموگروف

پیشرفت هندسی.

در کنار تکالیف پیشروی های حسابی، وظایف مربوط به مفهوم پیشروی هندسی نیز در آزمون های ورودی ریاضیات رایج است. برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، باید ویژگی های یک پیشروی هندسی را بدانید و مهارت های خوبی در استفاده از آنها داشته باشید.

این مقاله به ارائه خصوصیات اصلی یک پیشرفت هندسی اختصاص دارد. همچنین نمونه هایی از حل مسائل معمولی را ارائه می دهد, وام گرفته شده از تکالیف آزمون ورودی در ریاضیات.

اجازه دهید ابتدا ویژگی های اصلی یک پیشرفت هندسی را یادداشت کنیم و مهم ترین فرمول ها و عبارات را به یاد بیاوریم., مرتبط با این مفهوم

تعریف.یک دنباله عددی را پیشروی هندسی می نامند که هر یک از اعداد آن، که از عدد دوم شروع می شود، برابر با عدد قبلی باشد و در همان عدد ضرب شود. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می گویند.

برای یک پیشرفت هندسیفرمول ها معتبر هستند

, (1)

جایی که . فرمول (1) فرمول عبارت کلی یک تصاعد هندسی نامیده می شود و فرمول (2) ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی است: هر عضو پیشرفت با میانگین هندسی اعضای همسایه خود منطبق است و .

توجه داشته باشید، که دقیقاً به دلیل این خاصیت است که پیشرفت مورد بحث را "هندسی" می نامند.

فرمول های (1) و (2) فوق به شرح زیر خلاصه می شوند:

, (3)

برای محاسبه جمعاولین اعضای یک پیشرفت هندسیفرمول اعمال می شود

اگر تعیین کنیم

جایی که . از آنجایی که فرمول (6) تعمیم فرمول (5) است.

در صورتی که و پیشرفت هندسیبی نهایت در حال کاهش است برای محاسبه جمعاز تمام اعضای یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت، از فرمول استفاده می شود

. (7)

مثلا ، با استفاده از فرمول (7)، می توان نشان داد، چی

جایی که . این برابری ها از فرمول (7) به دست می آیند به شرطی که، (برابری اول) و، (تساوی دوم).

قضیه.اگر پس از آن

اثبات اگر پس از آن ،

قضیه ثابت شده است.

بیایید به بررسی نمونه هایی از حل مسائل در موضوع "پیشرفت هندسی" بپردازیم.

مثال 1با توجه به:، و. برای پیدا کردن.

تصمیم گیریاگر فرمول (5) اعمال شود، پس

پاسخ: .

مثال 2بگذار و . برای پیدا کردن.

تصمیم گیریاز آنجایی که و از فرمول های (5)، (6) استفاده می کنیم و سیستم معادلات را بدست می آوریم

اگر معادله دوم سیستم (9) بر معادله اول تقسیم شود، سپس یا . از این نتیجه می شود . بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. اگر، سپس از معادله اول سیستم (9) داریم.

2. اگر، پس.

مثال 3اجازه دهید، و. برای پیدا کردن.

تصمیم گیریاز فرمول (2) بر می آید که یا . از آن پس یا .

با شرط با این حال، بنابراین. چون و سپس در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم

اگر معادله دوم سیستم بر معادله اول تقسیم شود، یا .

از آنجایی که معادله یک ریشه مناسب دارد. در این مورد، معادله اول سیستم دلالت دارد.

با در نظر گرفتن فرمول (7) بدست می آوریم.

پاسخ: .

مثال 4داده شده: و . برای پیدا کردن.

تصمیم گیریاز آن به بعد .

زیرا، پس یا

طبق فرمول (2) داریم . در این راستا از برابری (10) یا .

با این حال، به شرط، بنابراین.

مثال 5مشخص است که . برای پیدا کردن.

تصمیم گیری طبق قضیه دو برابری داریم

از آن پس یا . چون پس .

پاسخ: .

مثال 6داده شده: و . برای پیدا کردن.

تصمیم گیریبا در نظر گرفتن فرمول (5) بدست می آوریم

از آن به بعد . از آن زمان و پس از آن .

مثال 7بگذار و . برای پیدا کردن.

تصمیم گیریبا توجه به فرمول (1) می توانیم بنویسیم

بنابراین، داریم یا . معلوم است که و , بنابراین و .

پاسخ: .

مثال 8مخرج یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را بیابید اگر

و .

تصمیم گیری از فرمول (7) به دست می آیدو . از اینجا و از شرط مسئله، سیستم معادلات را به دست می آوریم

اگر معادله اول سیستم مربع باشد, و سپس معادله به دست آمده را بر معادله دوم تقسیم کنید، سپس دریافت می کنیم

یا .

پاسخ: .

مثال 9تمام مقادیری را که دنباله , , یک پیشرفت هندسی است را بیابید.

تصمیم گیریاجازه دهید، و. با توجه به فرمول (2) که ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی را تعریف می کند، می توانیم بنویسیم یا .

از اینجا معادله درجه دوم را بدست می آوریم, که ریشه آن استو .

بیایید بررسی کنیم: اگرو سپس و اگر، پس، و .

در مورد اول داریمو , و در دوم - و .

پاسخ: ، .

مثال 10معادله را حل کنید

, (11)

کجا و .

تصمیم گیری سمت چپ معادله (11) مجموع یک پیشروی هندسی نزولی نامتناهی است که در آن و به شرط: و .

از فرمول (7) به دست می آید، چی . در این راستا معادله (11) شکل می گیردیا . ریشه مناسب معادله درجه دومهست یک

پاسخ: .

مثال 11.پ دنباله ای از اعداد مثبتیک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهد، آ - پیشرفت هندسی، چه ربطی داره . برای پیدا کردن.

تصمیم گیریمانند توالی محاسباتی، سپس (ویژگی اصلی یک پیشرفت حسابی). تا جایی که، سپس یا . این دلالت می کنه که ، که پیشرفت هندسی است. طبق فرمول (2)، سپس آن را می نویسیم.

از آن زمان و سپس . در آن صورت، بیانشکل یا . به شرط، بنابراین از معادلهما گرفتیم تنها تصمیممشکل در حال بررسی، یعنی .

پاسخ: .

مثال 12.جمع را محاسبه کنید

. (12)

تصمیم گیری دو طرف مساوی (12) را در 5 ضرب کنید و بدست آورید

اگر (12) را از عبارت بدست آمده کم کنیم، سپس

یا .

برای محاسبه، مقادیر را جایگزین فرمول (7) می کنیم و به دست می آوریم. از آن به بعد .

پاسخ: .

مثال هایی از حل مسئله که در اینجا آورده شده است برای متقاضیان آمادگی برای کنکور مفید خواهد بود. برای مطالعه عمیق تر روش های حل مسئله, مرتبط با یک پیشرفت هندسی, میتواند مورد استفاده قرار گیرد راهنمای مطالعهاز فهرست ادبیات توصیه شده

1. مجموعه تکالیف ریاضی برای متقاضیان دانشگاه های فنی / ویرایش. M.I. اسکانوی. – م.: میر عبرازوانی، 1392. – 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه آموزشی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. - 216 ص.

3. Medynsky M.M. دوره کامل ریاضیات ابتداییدر وظایف و تمرینات کتاب 2: توالی اعداد و پیشرفت ها. - م.: ویرایش، 2015. - 208 ص.

آیا هیچ سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

در حال حاضر در مصر باستاننه تنها حساب، بلکه پیشرفت هندسی را نیز می دانست. برای مثال، وظیفه‌ای از پاپیروس رایند آمده است: «هفت چهره هفت گربه دارد. هر گربه هفت موش می خورد، هر موش هفت خوشه ذرت می خورد، هر خوشه می تواند هفت پیمانه جو بکارد. اعداد این مجموعه و مجموع آنها چقدر است؟

برنج. 1. مسئله پیشرفت هندسی مصر باستان

این کار بارها با تغییرات مختلف در میان مردمان دیگر در زمان های دیگر تکرار شد. به عنوان مثال، در نوشته شده در قرن سیزدهم. «کتاب چرتکه» نوشته لئوناردو پیزا (فیبوناچی) مشکلی دارد که در آن 7 پیرزن در راه رم (بدیهی است زائر) ظاهر می شوند که هر کدام دارای 7 قاطر است که هر کدام دارای 7 کیسه است که هر کدام از آنها. حاوی 7 نان است که هر کدام دارای 7 کارد است که هر کدام در 7 غلاف است. مشکل می پرسد چند آیتم وجود دارد.

مجموع n عضو اول پیشرفت هندسی S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . این فرمول را می توان به عنوان مثال به صورت زیر ثابت کرد: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

بیایید عدد b 1 q n را به S n اضافه کنیم و بدست آوریم:

از این رو S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) ، و فرمول لازم را بدست می آوریم.

قبلاً روی یکی از لوح های گلی بابل باستان که قدمت آن به قرن ششم بازمی گردد. قبل از میلاد مسیح e.، شامل مجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 است. درست است، مانند تعدادی از موارد دیگر، ما نمی دانیم که این واقعیت از کجا برای بابلی ها شناخته شده است. .

رشد سریع یک پیشرفت هندسی در تعدادی از فرهنگ ها، به ویژه در هند، مکرراً به عنوان نماد بصری بیکران بودن جهان استفاده می شود. در افسانه معروف پیدایش شطرنج، حاکم به مخترعشان این فرصت را می دهد که خودش جایزه ای را انتخاب کند و او آنقدر دانه گندم می خواهد که اگر در خانه اول صفحه شطرنج قرار گیرد به دست می آید. ، دو در دوم، چهار در سوم، هشت در چهارم و غیره، هر بار تعداد دو برابر می شود. ارباب چنین فکر کرد ما داریم صحبت می کنیم، حداکثر، حدود چند کیسه، اما او اشتباه محاسبه کرد. به راحتی می توان فهمید که برای تمام 64 مربع صفحه شطرنج، مخترع باید دانه (2 64 - 1) را دریافت کند که به عنوان یک عدد 20 رقمی بیان می شود. حتی اگر تمام سطح زمین کاشته شود، حداقل 8 سال طول می کشد تا تعداد مورد نیاز دانه جمع آوری شود. این افسانه گاهی اوقات به عنوان اشاره ای به امکانات تقریبا نامحدود پنهان در بازی شطرنج تعبیر می شود.

این واقعیت که این عدد واقعا 20 رقمی است به راحتی قابل مشاهده است:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (محاسبه دقیق تر 1.84 10 19 را می دهد). اما من نمی دانم آیا می توانید بفهمید که این عدد با چه رقمی ختم می شود؟

اگر مخرج در مقدار مطلق بزرگتر از 1 باشد، یک تصاعد هندسی افزایش می یابد، یا اگر کمتر از یک باشد، کاهش می یابد. در مورد دوم، عدد q n می تواند به طور دلخواه برای n به اندازه کافی بزرگ کوچک شود. در حالی که افزایش نمایی به طور غیرمنتظره ای سریع افزایش می یابد، نمایی کاهشی به همان سرعت کاهش می یابد.

هرچه n بزرگتر باشد، عدد q n ضعیفتر از صفر متفاوت است و مجموع n عضو پیشرفت هندسی S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) به عدد S \u003d b 1 نزدیکتر است. / (1 - ق) . (به عنوان مثال، F. Viet چنین استدلال کرد). عدد S را مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش می گویند. با این حال، برای قرن‌های متمادی، این پرسش که معنای مجموع پیشرفت هندسی ALL چیست، با تعداد نامتناهی اصطلاحات آن، به اندازه کافی برای ریاضیدانان روشن نبود.

به عنوان مثال، در آپوریاهای زنو "گزیدن" و "آخیل و لاک پشت" یک پیشرفت هندسی رو به کاهش را می توان مشاهده کرد. در حالت اول، به وضوح نشان داده می شود که کل جاده (طول 1 را فرض کنید) مجموع بی نهایت قطعه 1/2، 1/4، 1/8 و غیره است. البته این طور است. از دیدگاه ایده هایی در مورد پیشرفت هندسی بینهایت جمع محدود. و با این حال - چگونه می تواند باشد؟

در آپوریا در مورد آشیل، وضعیت کمی پیچیده تر است، زیرا در اینجا مخرج پیشروی برابر با 1/2 نیست، بلکه با عدد دیگری برابر است. مثلا آشیل با سرعت v بدود، لاک پشت با سرعت u حرکت کند و فاصله اولیه بین آنها l باشد. آشیل این فاصله را در زمان l/v خواهد دوید، لاک پشت در طول این مدت فاصله lu/v را طی خواهد کرد. وقتی آشیل از این بخش عبور می کند، فاصله بین او و لاک پشت برابر با l (u / v) 2 و غیره می شود. معلوم می شود که رسیدن به لاک پشت به معنای یافتن مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش با اول است. عبارت l و مخرج u/v. این مجموع - قطعه ای که آشیل در نهایت به نقطه ملاقات با لاک پشت خواهد رفت - برابر است با l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . اما، دوباره، چگونه این نتیجه را تفسیر کنیم و چرا اصلاً منطقی است، مدت زمان طولانیخیلی واضح نبود

مجموع یک پیشروی هندسی توسط ارشمیدس هنگام تعیین مساحت قسمتی از سهمی استفاده شد. بگذارید بخش داده شده سهمی با وتر AB محدود شود و مماس در نقطه D سهمی موازی با AB باشد. فرض کنید C نقطه وسط AB، E نقطه وسط AC، F نقطه وسط CB باشد. خطوط موازی با DC را از طریق نقاط A، E، F، B رسم کنید. اجازه دهید مماس رسم شده در نقطه D، این خطوط در نقاط K، L، M، N قطع شوند. بیایید بخش های AD و DB را نیز ترسیم کنیم. بگذارید خط EL خط AD را در نقطه G و سهمی را در نقطه H قطع کند. خط FM خط DB را در نقطه Q و سهمی را در نقطه R قطع می کند. طبق نظریه کلی مقاطع مخروطی، DC قطر یک سهمی است (یعنی قطعه ای موازی با محور آن). آن و مماس در نقطه D می توانند به عنوان محورهای مختصات x و y عمل کنند، که در آن معادله سهمی به صورت y 2 \u003d 2px نوشته می شود (x فاصله D تا هر نقطه با قطر معین است، y طول a است. پاره موازی با مماس معین از این نقطه قطر تا نقطه ای در خود سهمی).

به موجب معادله سهمی، DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , و از آنجایی که DK = 2DL , پس KA = 4LH . از آنجایی که KA = 2LG , LH = HG . مساحت بخش ADB سهمی برابر است با مساحت مثلث ΔADB و مساحت قطعات AHD و DRB با هم. به نوبه خود، مساحت بخش AHD به طور مشابه برابر با مساحت مثلث AHD و بخش های باقی مانده AH و HD است که با هر یک از آنها می توان همان عملیات را انجام داد - تقسیم به یک مثلث (Δ) و دو بخش باقی مانده () و غیره:

مساحت مثلث ΔAHD برابر با نصف مساحت مثلث ΔALD است (پایه مشترک AD دارند و ارتفاعات 2 برابر متفاوت است) که به نوبه خود برابر است با نصف مساحت . مثلث ΔAKD و در نتیجه نصف مساحت مثلث ΔACD. بنابراین مساحت مثلث ΔAHD برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔACD است. به همین ترتیب، مساحت مثلث ΔDRB برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔDFB است. بنابراین مساحت مثلث های ∆AHD و ∆DRB با هم برابر با یک چهارم مساحت مثلث ∆ADB است. با تکرار این عمل همانطور که در بخش های AH، HD، DR و RB اعمال می شود، مثلث هایی نیز از بین آنها انتخاب می شود که مساحت آنها در مجموع 4 برابر کمتر از مساحت مثلث های ΔAHD و ΔDRB خواهد بود. با هم، و بنابراین 16 برابر کمتر از مساحت مثلث ΔADB. و غیره:

بنابراین، ارشمیدس ثابت کرد که "هر قطعه محصور بین یک خط مستقیم و یک سهمی، چهار سوم مثلث است و با آن قاعده یکسان و ارتفاع برابر دارد."

پیشروی هندسی همراه با حساب یک سری اعداد مهم است که در آن بررسی می شود دوره مدرسهجبر در کلاس نهم. در این مقاله، مخرج یک تصاعد هندسی را بررسی خواهیم کرد و اینکه ارزش آن چگونه بر خواص آن تأثیر می گذارد.

تعریف پیشرفت هندسی

برای شروع، تعریف این سری اعداد را بیان می کنیم. پیشروی هندسی یک سری است اعداد گویا، که از ضرب متوالی اولین عنصر آن در عددی ثابت به نام مخرج تشکیل می شود.

مثلاً اعداد سری 3، 6، 12، 24، ... یک تصاعد هندسی هستند، زیرا اگر 3 (عنصر اول) را در 2 ضرب کنیم، 6 می شود. اگر 6 را در 2 ضرب کنیم، به دست می آید. 12 و غیره

اعضای دنباله مورد بررسی معمولا با نماد ai نشان داده می شوند، جایی که i یک عدد صحیح است که تعداد عنصر را در سری نشان می دهد.

تعریف فوق از پیشروی را می توان در زبان ریاضیات به صورت زیر نوشت: an = bn-1 * a1، که در آن b مخرج است. بررسی این فرمول آسان است: اگر n = 1، سپس b1-1 = 1، و ما a1 = a1 را دریافت می کنیم. اگر n = 2 باشد، an = b * a1، و دوباره به تعریف سری اعداد مورد بررسی می رسیم. استدلال مشابه را می توان برای ادامه داد مقادیر بزرگ n

مخرج یک تصاعد هندسی

عدد b به طور کامل مشخص می کند که کل سری اعداد چه کاراکتری خواهد داشت. مخرج b می تواند مثبت، منفی و همچنین مقداری بزرگتر از یک یا کمتر داشته باشد. همه گزینه های بالا به دنباله های مختلفی منجر می شوند:

• b > 1. یک سری اعداد گویا در حال افزایش است. به عنوان مثال، 1، 2، 4، 8، ... اگر عنصر a1 منفی باشد، کل دنباله تنها مدول افزایش می یابد، اما با در نظر گرفتن علامت اعداد کاهش می یابد.
• b = 1. اغلب چنین موردی پیشرفت نامیده نمی شود، زیرا یک سری معمولی از اعداد گویا یکسان وجود دارد. به عنوان مثال، -4، -4، -4.

فرمول برای جمع

قبل از اقدام به بررسی وظایف مخصوصبا استفاده از مخرج نوع پیشرفت در نظر گرفته شده، یک فرمول مهم باید برای مجموع n عنصر اول آن ارائه شود. فرمول این است: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

اگر دنباله ای بازگشتی از اعضای پیشرفت را در نظر بگیرید، می توانید این عبارت را خودتان دریافت کنید. همچنین توجه داشته باشید که در فرمول بالا فقط کافی است عنصر اول و مخرج را بدانید تا جمع حاصل شود. شماره دلخواهاعضا.

توالی بی نهایت در حال کاهش

در بالا توضیحی از چیستی آن بود. حالا با دانستن فرمول Sn، بیایید آن را روی این سری اعداد اعمال کنیم. از آنجایی که هر عددی که مدول آن از 1 تجاوز نمی کند، وقتی به توان های بزرگ افزایش می یابد، به صفر میل می کند، یعنی b∞ => 0 اگر -1 باشد.

از آنجایی که تفاوت (1 - b) بدون توجه به مقدار مخرج همیشه مثبت خواهد بود، علامت مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش S∞ به طور منحصربه‌فردی توسط علامت اولین عنصر آن a1 تعیین می‌شود.

اکنون چندین مشکل را در نظر خواهیم گرفت، جایی که نحوه اعمال دانش به دست آمده را برای اعداد خاص نشان خواهیم داد.

کار شماره 1. محاسبه عناصر ناشناخته پیشرفت و مجموع

با توجه به یک تصاعد هندسی، مخرج پیشروی 2 و اولین عنصر آن 3 است. جمله های 7 و 10 آن چقدر خواهد بود و مجموع هفت عنصر اولیه آن چقدر است؟

شرایط مشکل بسیار ساده است و مستلزم استفاده مستقیم از فرمول های فوق است. بنابراین برای محاسبه عنصر با عدد n از عبارت an = bn-1 * a1 استفاده می کنیم. برای عنصر 7 ما داریم: a7 = b6 * a1، با جایگزینی داده های شناخته شده، به دست می آوریم: a7 = 26 * 3 = 192. ما همین کار را برای عضو دهم انجام می دهیم: a10 = 29 * 3 = 1536.

ما از فرمول معروف برای جمع استفاده می کنیم و این مقدار را برای 7 عنصر اول سری تعیین می کنیم. ما داریم: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

کار شماره 2. تعیین مجموع عناصر دلخواه پیشرفت

فرض کنید -2 مخرج پیشرفت نمایی bn-1 * 4 باشد که n یک عدد صحیح است. لازم است مجموع عنصر 5 تا 10 این مجموعه را شامل شود.

مشکل مطرح شده را نمی توان مستقیماً با استفاده از فرمول های شناخته شده حل کرد. با 2 میتونی حلش کنی روش های مختلف. برای تکمیل، هر دو را ارائه می دهیم.

روش 1. ایده آن ساده است: شما باید دو مجموع مربوط به عبارت اول را محاسبه کنید و سپس دیگری را از یکی کم کنید. جمع کوچکتر را محاسبه کنید: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. اکنون مجموع بزرگ را محاسبه می کنیم: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. توجه داشته باشید که در آخرین عبارت، فقط 4 عبارت جمع شده است، زیرا 5 از قبل در مجموع موجود است که باید با توجه به شرط مسئله محاسبه شود. در نهایت تفاوت را می گیریم: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

روش 2. قبل از جایگزینی اعداد و شمارش، می توانید فرمولی برای جمع بین عبارت های m و n سری مورد نظر بدست آورید. ما دقیقاً مانند روش 1 عمل می کنیم، فقط ابتدا با نمایش نمادین مجموع کار می کنیم. داریم: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . می توانید اعداد شناخته شده را در عبارت حاصل جایگزین کنید و نتیجه نهایی را محاسبه کنید: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

کار شماره 3. مخرج چیست؟

فرض کنید a1 = 2، مخرج پیشروی هندسی را پیدا کنید، مشروط بر اینکه مجموع نامتناهی آن 3 باشد، و معلوم است که این یک سری اعداد کاهشی است.

با توجه به شرایط مسئله، حدس زدن از کدام فرمول برای حل آن دشوار نیست. البته برای مجموع یک پیشرفت بی نهایت در حال کاهش. داریم: S∞ = a1 / (1 - b). از جایی که مخرج را بیان می کنیم: b = 1 - a1 / S∞. باقی مانده است که مقادیر شناخته شده را جایگزین کنید و تعداد مورد نیاز را بدست آورید: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 یا -0.333 (3). اگر به یاد داشته باشیم که برای این نوع دنباله، مدول b نباید از 1 فراتر رود، می توانیم این نتیجه را به صورت کیفی بررسی کنیم. همانطور که می بینید، |-1 / 3|

کار شماره 4. بازیابی یک سری اعداد

اجازه دهید 2 عنصر از یک سری اعداد داده شود، به عنوان مثال، 5 برابر با 30 و 10 برابر با 60 است. لازم است کل سری را از این داده ها بازیابی کنیم، زیرا بدانیم که ویژگی های یک پیشرفت هندسی را برآورده می کند.

برای حل مشکل، ابتدا باید عبارت مربوط به هر عضو شناخته شده را یادداشت کنید. داریم: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. حالا عبارت دوم را بر اولی تقسیم می کنیم، به دست می آید: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. از اینجا، مخرج را با گرفتن ریشه درجه پنجم نسبت اعضای مشخص شده از شرط مسئله، b = 1.148698 تعیین می کنیم. عدد حاصل را با یکی از عبارات یک عنصر شناخته شده جایگزین می کنیم، به دست می آوریم: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

بنابراین، ما دریافتیم که مخرج پیشرفت bn چیست، و پیشرفت هندسی bn-1 * 17.2304966 = an، که در آن b = 1.148698 است.

از پیشرفت های هندسی در کجا استفاده می شود؟

اگر کاربرد این سری عددی در عمل وجود نداشت، مطالعه آن به یک علاقه صرفا نظری کاهش می یافت. اما چنین برنامه ای وجود دارد.

3 نمونه معروف در زیر ذکر شده است:

• پارادوکس زنو، که در آن آشیل چابک نمی تواند به لاک پشت کند برسد، با استفاده از مفهوم دنباله ای از اعداد بی نهایت در حال کاهش حل می شود.
• اگر روی هر سلول صفحه شطرنج دانه های گندم قرار داده شود به طوری که 1 دانه در خانه اول، 2 دانه در خانه دوم، 3 دانه در سلول سوم و به همین ترتیب قرار گیرد، برای پر کردن تمام خانه ها به 18446744073709551615 دانه نیاز است. تخته!
• در بازی "برج هانوی"، برای تنظیم مجدد دیسک ها از یک میله به میله دیگر، لازم است 2n - 1 عملیات انجام شود، یعنی تعداد آنها به صورت تصاعدی از تعداد n دیسک استفاده شده افزایش می یابد.

فرمول عضو n یک پیشرفت هندسی چیز بسیار ساده ای است. هم در معنا و هم در کل. اما انواع و اقسام مشکلات برای فرمول عضو nام وجود دارد - از خیلی ابتدایی تا کاملا جدی. و در روند آشنایی ما قطعا هر دوی آنها را در نظر خواهیم گرفت. خوب، بیایید ملاقات کنیم؟)

بنابراین، برای شروع، در واقع فرمولn

او اینجاست:

b n = ب 1 · q n -1

فرمول به عنوان یک فرمول، هیچ چیز ماوراء طبیعی نیست. به نظر می رسد حتی ساده تر و فشرده تر از فرمول مشابه برای . معنی فرمول نیز مانند چکمه نمدی ساده است.

این فرمول به شما امکان می دهد هر عضوی از یک پیشرفت هندسی را بر اساس عدد آن پیدا کنید. n".

همانطور که می بینید، معنی یک قیاس کامل با یک تصاعد حسابی است. ما عدد n را می دانیم - همچنین می توانیم عبارت را زیر این عدد محاسبه کنیم. چیزی که ما می خواهیم. به صورت متوالی در "q" چندین و چند بار ضرب نمی شود. این تمام نکته است.)

من درک می کنم که در این سطح از کار با پیشرفت ها، تمام مقادیر موجود در فرمول باید از قبل برای شما روشن باشد، اما وظیفه خود می دانم که هر یک را رمزگشایی کنم. فقط در مورد.

پس بزن بریم:

ب 1 – اولینعضو یک پیشرفت هندسی؛

q – ;

n- شماره عضو؛

b n – نهمین (nث)عضو یک پیشرفت هندسی

این فرمول چهار پارامتر اصلی هر پیشرفت هندسی را به هم مرتبط می کند - بn, ب 1 , qو n. و حول این چهار چهره کلیدی، همه وظایف در حال پیشرفت می چرخند.

"و چگونه نمایش داده می شود؟"- من یک سوال کنجکاو می شنوم ... ابتدایی! نگاه کن

چه چیزی برابر است دومینعضو پیشرفت؟ مشکلی نیست! ما مستقیماً می نویسیم:

b 2 = b 1 q

و عضو سوم؟ مشکلی هم نیست! جمله دوم را ضرب می کنیم دوباره درq.

مثل این:

B 3 \u003d b 2 q

اکنون به یاد بیاورید که جمله دوم به نوبه خود برابر با b 1 q است و این عبارت را با برابری خود جایگزین کنید:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

ما گرفتیم:

ب 3 = b 1 q 2

حال بیایید مدخل خود را به زبان روسی بخوانیم: سومینعبارت برابر است با جمله اول ضرب در q در دومیندرجه. متوجه شدي؟ نه هنوز؟ باشه یه قدم دیگه

ترم چهارم چیست؟ همه همینطور! تکثیر کردن قبلی(یعنی ترم سوم) در q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

جمع:

ب 4 = b 1 q 3

و دوباره به روسی ترجمه می کنیم: چهارمعبارت برابر است با جمله اول ضرب در q در سومدرجه.

و غیره. پس چگونه؟ الگو رو گرفتی؟ آره! برای هر جمله با هر عدد، تعداد عوامل مساوی q (یعنی توان مخرج) همیشه خواهد بود. یک کمتر از تعداد عضو مورد نظرn.

بنابراین، فرمول ما بدون گزینه خواهد بود:

b n =ب 1 · q n -1

همین است.)

خوب، بیایید مشکلات را حل کنیم، می توانیم؟)

حل مسائل بر اساس فرمولnترم یک پیشرفت هندسی.

بیایید، طبق معمول، با استفاده مستقیم از فرمول شروع کنیم. در اینجا یک مشکل معمولی وجود دارد:

به صورت تصاعدی شناخته شده است که ب 1 = 512 و q = -1/2. جمله دهم پیشرفت را پیدا کنید.

البته این مشکل بدون هیچ فرمولی قابل حل است. درست مانند یک پیشرفت هندسی. اما باید با فرمول ترم n گرم شویم، درست است؟ اینجا داریم جدا میشیم

داده های ما برای اعمال فرمول به شرح زیر است.

اصطلاح اول شناخته شده است. این 512 است.

ب 1 = 512.

مخرج پیشرفت نیز شناخته شده است: q = -1/2.

فقط باید بفهمیم که تعداد عبارت n برابر است. مشکلی نیست! آیا ما به ترم دهم علاقه مندیم؟ بنابراین در فرمول کلی به جای n ده را جایگزین می کنیم.

و با دقت حساب را محاسبه کنید:

پاسخ 1

همانطور که می بینید، دهمین ترم پیشرفت با منهای بود. جای تعجب نیست: مخرج پیشروی -1/2 است، یعنی. منفیعدد. و این به ما می گوید که نشانه های پیشرفت ما به طور متناوب، بله.)

اینجا همه چیز ساده است. و در اینجا یک مشکل مشابه وجود دارد، اما از نظر محاسبات کمی پیچیده تر است.

در پیشرفت هندسی می دانیم که:

ب 1 = 3

جمله سیزدهم پیشرفت را پیدا کنید.

همه چیز یکسان است، فقط این بار مخرج پیشرفت - غیر منطقی. ریشه دو. خوب، چیز مهمی نیست. فرمول یک چیز جهانی است، با هر عددی مقابله می کند.

ما مستقیماً طبق فرمول کار می کنیم:

فرمول، البته، آن طور که باید کار کرد، اما ... اینجا جایی است که برخی از آنها آویزان خواهند شد. بعد با روت چه کار کنیم؟ چگونه یک ریشه را به توان دوازدهم برسانیم؟

چگونه ... شما باید درک کنید که هر فرمولی، البته، چیز خوبی است، اما دانش تمام ریاضیات قبلی لغو نمی شود! چگونه بزرگ کنیم؟ بله، خواص درجات را به خاطر بسپار! بیایید ریشه را به درجه کسریو - با فرمول بالا بردن یک قدرت به یک قدرت.

مثل این:

جواب: 192

و همه چیز.)

مشکل اصلی در کاربرد مستقیم فرمول ترم n چیست؟ آره! مشکل اصلی این است با مدرک کار کنیعنی قدرت اعداد منفی، کسرها، ریشه ها و ساختارهای مشابه. پس کسانی که در این مورد مشکل دارند درخواست عاجل برای تکرار درجات و خواص آنها! در غیر این صورت، سرعت شما در این تاپیک کاهش می یابد، بله ...)

اکنون بیایید مشکلات جستجوی معمولی را حل کنیم یکی از عناصر فرمولاگر همه بقیه داده شود. برای حل موفقیت آمیز چنین مشکلاتی، دستور غذا تنها و ساده تا وحشتناک است - فرمول را بنویسnعضو در نمای کلی! درست در دفترچه کنار شرایط. و سپس، از روی شرط، متوجه می شویم که چه چیزی به ما داده شده و چه چیزی کافی نیست. و از فرمول بیان می کنیم مقدار مورد نظر. همه چیز!

به عنوان مثال، چنین مشکل بی ضرر.

جمله پنجم یک تصاعد هندسی با مخرج 3 567 است. جمله اول این تصاعد را بیابید.

هیچ چیز پیچیده ای نیست. ما مستقیماً طبق طلسم کار می کنیم.

فرمول ترم n را می نویسیم!

b n = ب 1 · q n -1

چه چیزی به ما داده می شود؟ ابتدا مخرج پیشرفت داده می شود: q = 3.

علاوه بر این، به ما داده می شود ترم پنجم: ب 5 = 567 .

همه چیز؟ نه! به ما نیز عدد n داده شده است! این یک پنج است: n = 5.

امیدوارم قبلاً متوجه شده باشید که چه چیزی در پرونده وجود دارد ب 5 = 567 دو پارامتر به طور همزمان پنهان می شوند - این پنجمین عضو خود (567) و شماره آن (5) است. در یک درس مشابه در مورد من قبلاً در مورد این صحبت کردم، اما فکر می کنم یادآوری در اینجا اضافی نیست.)

اکنون داده های خود را با فرمول جایگزین می کنیم:

567 = ب 1 3 5-1

ما حساب را در نظر می گیریم، ساده می کنیم و یک ساده می گیریم معادله خطی:

81 ب 1 = 567

حل می کنیم و می گیریم:

ب 1 = 7

همانطور که می بینید، هیچ مشکلی برای یافتن اولین عضو وجود ندارد. اما وقتی به دنبال مخرج می گردیم qو اعداد nممکن است شگفتی وجود داشته باشد و همچنین باید برای آنها آماده باشید (سورپرایزها)، بله.)

به عنوان مثال، چنین مشکلی:

جمله پنجم یک تصاعد هندسی با مخرج مثبت 162 و جمله اول این تصاعد 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

این بار اعضای اول و پنجم به ما داده می شود و از آنها خواسته می شود مخرج پیشرفت را پیدا کنیم. در اینجا شروع می کنیم.

فرمول را می نویسیمnعضو ام!

b n = ب 1 · q n -1

داده های اولیه ما به شرح زیر خواهد بود:

ب 5 = 162

ب 1 = 2

n = 5

ارزش کافی نیست q. مشکلی نیست! بیایید اکنون آن را پیدا کنیم.) ما هر چیزی را که می دانیم در فرمول جایگزین می کنیم.

ما گرفتیم:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

یک معادله ساده درجه چهارم. اما حالا - با دقت!در این مرحله از حل، بسیاری از دانش آموزان بلافاصله با خوشحالی ریشه (درجه چهارم) را استخراج می کنند و پاسخ می گیرند. q=3 .

مثل این:

q4 = 81

q = 3

اما به طور کلی، این یک پاسخ ناتمام است. یا بهتر بگوییم ناقص. چرا؟ نکته این است که پاسخ q = -3 همچنین مناسب است: (-3) 4 نیز 81 خواهد بود!

این به دلیل معادله قدرت است x n = آهمیشه داشته است دو ریشه متضاددر زوجn . مثبت و منفی:

هر دو مناسب هستند.

به عنوان مثال، حل (به عنوان مثال. دومیندرجه)

x2 = 9

به دلایلی از ظاهر شگفت زده نمی شوید دوریشه x=±3؟ اینجا هم همینطوره و با هر دیگری زوجدرجه (چهارم، ششم، دهم و ...) به همین ترتیب خواهد بود. جزئیات - در موضوع در مورد

بنابراین راه حل صحیحبه این صورت خواهد بود:

q 4 = 81

q= 3±

خوب، ما نشانه ها را کشف کرده ایم. کدام یک درست است - مثبت یا منفی؟ خوب، در جستجوی دوباره شرایط مشکل را می خوانیم اطلاعات اضافی. البته ممکن است وجود نداشته باشد، اما در این مشکل چنین اطلاعاتی وجود دارد در دسترس.در شرایط ما مستقیماً گفته می شود که یک پیشرفت با داده می شود مخرج مثبت

پس جواب واضح است:

q = 3

اینجا همه چیز ساده است. فکر می کنید اگر بیان مشکل به این صورت باشد چه اتفاقی می افتد:

جمله پنجم یک تصاعد هندسی 162 است و جمله اول این پیشروی 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

تفاوت در چیست؟ آره! در شرایط هیچ چیزیبدون ذکر مخرج نه مستقیم و نه غیر مستقیم. و در اینجا مشکل از قبل وجود داشت دو راه حل!

q = 3 و q = -3

بله بله! و با مثبت و منفی.) از نظر ریاضی، این واقعیت به این معنی است که وجود دارد دو پیشرفتکه متناسب با وظیفه است. و برای هر یک - مخرج خود را. برای سرگرمی، پنج ترم اول هر کدام را تمرین کرده و یادداشت کنید.)

حالا بیایید پیدا کردن شماره عضو را تمرین کنیم. این سخت ترین است، بله. بلکه خلاق تر است.

با توجه به یک پیشرفت هندسی:

3; 6; 12; 24; …

768 در این پیشروی چه عددی است؟

مرحله اول به همین صورت است: فرمول را بنویسnعضو ام!

b n = ب 1 · q n -1

و اکنون، طبق معمول، داده های شناخته شده خود را در آن جایگزین می کنیم. هوم... جور نمیشه! عضو اول کجا، مخرج کجا، بقیه کجا؟!

کجا، کجا... چرا به چشم نیاز داریم؟ تکان دادن مژه ها؟ این بار پیشرفت به صورت مستقیم به ما داده می شود دنباله هاآیا می توانیم ترم اول را ببینیم؟ می بینیم! این یک سه گانه است (b 1 = 3). در مورد مخرج چطور؟ ما هنوز آن را نمی بینیم، اما شمارش آن بسیار آسان است. البته اگر بفهمی

در اینجا ما در نظر می گیریم. مستقیماً با توجه به معنای پیشرفت هندسی: هر یک از اعضای آن را (به جز اولین) می گیریم و بر قبلی تقسیم می کنیم.

حداقل اینجوری:

q = 24/12 = 2

دیگر چه می دانیم؟ ما همچنین برخی از اعضای این پیشروی را می شناسیم که برابر با 768 است. تحت تعدادی عدد n:

b n = 768

ما شماره او را نمی دانیم، اما وظیفه ما دقیقاً یافتن او است.) بنابراین ما به دنبال آن هستیم. ما قبلاً تمام داده های لازم برای جایگزینی را در فرمول دانلود کرده ایم. به طور نامحسوس.)

در اینجا ما جایگزین می کنیم:

768 = 3 2n -1

ما ابتدایی ها را می سازیم - هر دو قسمت را به سه تقسیم می کنیم و معادله را به شکل معمول بازنویسی می کنیم: مجهول در سمت چپ، شناخته شده در سمت راست.

ما گرفتیم:

2 n -1 = 256

در اینجا یک معادله جالب است. ما باید "n" را پیدا کنیم. چه چیز غیرعادی است؟ بله، من بحث نمی کنم. در واقع، این ساده ترین است. به این دلیل نامیده می شود که مجهول (در این مورداین شماره n) در می ایستد نشانگردرجه.

در مرحله آشنایی با یک تصاعد هندسی (این کلاس نهم) معادلات نمایی برای حل آموزش داده نمی شود، بله ... این موضوع برای دبیرستان است. اما هیچ چیز وحشتناکی وجود ندارد. حتی اگر نمی دانید چنین معادلاتی چگونه حل می شوند، بیایید سعی کنیم خودمان را پیدا کنیم nبا منطق ساده و عقل سلیم هدایت می شود.

شروع به بحث می کنیم. در سمت چپ ما یک دوش داریم تا حد معینی. ما هنوز نمی دانیم که این مدرک دقیقاً چیست، اما این ترسناک نیست. اما از طرفی ما کاملاً می دانیم که این مدرک برابر با 256 است! بنابراین ما به یاد می آوریم که تا چه حد دوس به ما 256 می دهد. آره! AT هشتمدرجه!

256 = 2 8

اگر درجات مسئله را به خاطر نیاوردید یا با تشخیص درجات آن مشکلی ندارید، پس اشکالی ندارد: ما فقط این دو را به صورت متوالی به مربع، به مکعب، به توان چهارم، پنجم و غیره برسانیم. انتخاب، در واقع، اما در این سطح، کاملا سواری است.

به هر طریقی، به این موارد خواهیم رسید:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

بنابراین 768 است نهمعضو پیشرفت ما همین، مشکل حل شد.)

جواب: 9

چی؟ حوصله سر بر؟ از ابتدایی خسته شده اید؟ موافقم. من هم همینطور. بیایید به سطح بعدی برویم.)

وظایف پیچیده تر

و حالا ما پازل ها را به طور ناگهانی تر حل می کنیم. نه دقیقاً فوق العاده است، اما برای رسیدن به پاسخ باید کمی روی آن کار کنید.

مثلا اینجوری

جمله دوم یک تصاعد هندسی را در صورتی بیابید که جمله چهارم آن 24- و جمله هفتم آن 192 باشد.

این یک کلاسیک از این ژانر است. دو عضو مختلف از پیشرفت شناخته شده اند، اما یک عضو دیگر باید پیدا شود. علاوه بر این، همه اعضا همسایه نیستند. چیزی که در ابتدا گیج کننده است، بله ...

همانطور که در ، ما دو روش را برای حل چنین مشکلاتی در نظر می گیریم. راه اول جهانی است. جبری. بی عیب و نقص با هر داده منبع کار می کند. بنابراین از اینجا شروع خواهیم کرد.)

هر عبارت را طبق فرمول رنگ می کنیم nعضو ام!

همه چیز دقیقاً مانند یک پیشرفت حسابی است. فقط این بار با آن کار می کنیم یکی دیگرفرمول کلی این همه است.) اما اصل یکسان است: ما می گیریم و به نوبه خودما داده های اولیه خود را با فرمول ترم n جایگزین می کنیم. برای هر عضو - خود آنها.

برای ترم چهارم می نویسیم:

ب 4 = ب 1 · q 3

-24 = ب 1 · q 3

وجود دارد. یک معادله کامل است.

برای ترم هفتم می نویسیم:

ب 7 = ب 1 · q 6

192 = ب 1 · q 6

در مجموع دو معادله برای همان پیشرفت .

ما یک سیستم از آنها جمع آوری می کنیم:

علیرغم ظاهر فوق العاده آن، این سیستم بسیار ساده است. واضح ترین راه حل، جایگزینی معمولی است. بیان می کنیم ب 1 از معادله بالا و جایگزینی به معادله پایینی:

کمی درگیر کردن با معادله پایین تر (کاهش توان ها و تقسیم بر 24-) به دست می آید:

q 3 = -8

ضمناً می توان به همین معادله به روش ساده تری هم رسید! چی؟ حالا راز دیگری را به شما نشان خواهم داد، اما بسیار زیبا، قدرتمند و راه مفیدراه حل هایی برای چنین سیستم هایی چنین سیستم هایی که در معادلات آنها می نشینند فقط کار می کندحداقل در یکی. تماس گرفت روش تقسیم ترمیک معادله به معادله دیگر

بنابراین ما یک سیستم داریم:

در هر دو معادله سمت چپ - کار، و در سمت راست فقط یک عدد است. این خیلی نشانه خوب.) بگیریم و ... معادله پایینی را تقسیم کنیم بر بالا! یعنی چی، یک معادله را بر معادله دیگر تقسیم کنیم؟بسیار ساده. می گیریم سمت چپ یک معادله (پایین تر) و تقسیم می کنیماو در سمت چپمعادله دیگر (بالا). سمت راست مشابه است: سمت راستیک معادله تقسیم می کنیمبر روی سمت راستیکی دیگر.

کل فرآیند تقسیم به این شکل است:

اکنون، با کاهش هر چیزی که کاهش می یابد، دریافت می کنیم:

q 3 = -8

چه چیزی در مورد این روش خوب است؟ بله، زیرا در فرآیند چنین تقسیمی، هر چیز بد و ناخوشایندی را می توان با خیال راحت کاهش داد و یک معادله کاملاً بی ضرر باقی می ماند! به همین دلیل است که داشتن آن بسیار مهم است فقط ضربحداقل در یکی از معادلات سیستم. هیچ ضربی وجود ندارد - چیزی برای کاهش وجود ندارد، بله ...

به طور کلی، این روش (مانند بسیاری از روش های غیر پیش پا افتاده دیگر برای حل سیستم ها) حتی شایسته یک درس جداگانه است. من قطعا نگاه دقیق تری به آن خواهم داشت. روزی…

با این حال، مهم نیست که چگونه سیستم را حل کنید، در هر صورت، اکنون باید معادله حاصل را حل کنیم:

q 3 = -8

مشکلی نیست: ما ریشه (مکعب) را استخراج می کنیم و - انجام شد!

لطفاً توجه داشته باشید که هنگام استخراج نیازی به قرار دادن +/minus در اینجا نیست. ما یک ریشه فرد (سوم) درجه داریم. و پاسخ یکسان است، بله.

بنابراین، مخرج پیشرفت پیدا می شود. منهای دو خوب! فرآیند در حال انجام است.)

برای جمله اول (مثلاً از معادله بالا) دریافت می کنیم:

خوب! عبارت اول را می دانیم، مخرج را می دانیم. و اکنون ما این فرصت را داریم که هر عضوی از پیشرفت را پیدا کنیم. از جمله دوم.)

برای عضو دوم، همه چیز بسیار ساده است:

ب 2 = ب 1 · q= 3 (-2) = -6

پاسخ: -6

بنابراین، ما راه جبری حل مسئله را مرتب کرده ایم. بغرنج؟ زیاد نیست، موافقم طولانی و خسته کننده؟ بله قطعا. اما گاهی اوقات می توانید میزان کار را به میزان قابل توجهی کاهش دهید. برای این وجود دارد راه گرافیکیخوب و آشنا برای ما توسط .)

بیایید مشکل را ترسیم کنیم!

آره! دقیقا. دوباره پیشرفت خود را بر روی محور اعداد به تصویر می کشیم. نه لزوما توسط یک خط کش، لازم نیست فواصل مساوی بین اعضا حفظ شود (که اتفاقاً یکسان نخواهد بود، زیرا پیشرفت هندسی است!)، بلکه به سادگی به صورت شماتیکدنباله ما را ترسیم کنید

من اینجوری گرفتم:

حالا به عکس نگاه کنید و فکر کنید. چند عامل مساوی "q" سهم دارند چهارمو هفتماعضا؟ درست است، سه!

بنابراین، ما حق داریم بنویسیم:

-24q 3 = 192

از اینجا اکنون به راحتی می توان q را پیدا کرد:

q 3 = -8

q = -2

این عالی است، مخرج از قبل در جیب ما است. و اکنون دوباره به تصویر نگاه می کنیم: چه تعداد از این مخرج ها بین آنها نشسته است دومینو چهارماعضا؟ دوتا! بنابراین برای ثبت رابطه بین این اعضا، مخرج را مطرح می کنیم مربع.

در اینجا می نویسیم:

ب 2 · q 2 = -24 ، جایی که ب 2 = -24/ q 2

مخرج پیدا شده خود را با عبارت b 2 جایگزین می کنیم، بشماریم و بدست آوریم:

پاسخ: -6

همانطور که می بینید، همه چیز بسیار ساده تر و سریعتر از سیستم است. علاوه بر این، در اینجا ما حتی نیازی به شمارش اولین ترم نداشتیم! اصلا.)

در اینجا یک راه نور ساده و بصری وجود دارد. اما یک عیب جدی نیز دارد. حدس زدید؟ آره! این فقط برای قطعات بسیار کوتاه پیشرفت خوب است. آنهایی که فاصله بین اعضای مورد علاقه ما خیلی زیاد نیست. اما در همه موارد دیگر ترسیم یک تصویر از قبل دشوار است، بله... سپس ما مشکل را به صورت تحلیلی، از طریق یک سیستم حل می کنیم.) و سیستم ها یک چیز جهانی هستند. با هر شماره ای معامله کنید

حماسه دیگر:

جمله دوم پیشرفت هندسی 10 بیشتر از جمله اول و جمله سوم 30 بیشتر از دومی است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

چه باحاله؟ اصلا! همه یکسان. ما دوباره شرط مسئله را به جبر خالص ترجمه می کنیم.

1) هر عبارت را طبق فرمول رنگ می کنیم nعضو ام!

ترم دوم: b 2 = b 1 q

ترم سوم: b 3 \u003d b 1 q 2

2) رابطه بین اعضا را از شرط مسئله یادداشت می کنیم.

خواندن شرط: عبارت دوم یک پیشروی هندسی 10 عدد بیشتر از جمله اول است.بس کن، این ارزشمند است!

پس می نویسیم:

ب 2 = ب 1 +10

و ما این عبارت را به ریاضیات محض ترجمه می کنیم:

ب 3 = ب 2 +30

دو معادله به دست آوردیم. ما آنها را در یک سیستم ترکیب می کنیم:

سیستم ساده به نظر می رسد. اما تعداد زیادی شاخص مختلف برای حروف وجود دارد. به جای اعضای دوم و سوم بیان آنها را از طریق عضو و مخرج اول جایگزین کنیم! بیهوده، یا چه، آنها را رنگ کردیم؟

ما گرفتیم:

اما چنین سیستمی دیگر یک هدیه نیست، بله ... چگونه این را حل کنیم؟ متاسفانه، طلسم مخفی جهانی برای حل پیچیده است غیر خطیهیچ سیستمی در ریاضیات وجود ندارد و نمی تواند وجود داشته باشد. این فوق العاده است! اما اولین چیزی که هنگام تلاش برای شکستن چنین مهره سختی باید به ذهن شما برسد این است که بفهمید و یکی از معادلات سیستم به کاهش نمی یابد نمای زیبا، به عنوان مثال اجازه می دهد یکی از متغیرها را بر حسب دیگری به راحتی بیان کند؟

بیایید حدس بزنیم. معادله اول سیستم به وضوح ساده تر از معادله دوم است. ما او را شکنجه خواهیم کرد.) چرا از همان معادله اول تلاش نکنیم چیزیبیان از طریق چیزی؟از آنجایی که می خواهیم مخرج را پیدا کنیم q، در این صورت بیان آن برای ما بسیار سودمند خواهد بود ب 1 از طریق q.

بنابراین بیایید سعی کنیم این روش را با معادله اول با استفاده از معادله های خوب قدیمی انجام دهیم:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

همه چیز! در اینجا بیان کرده ایم غیر ضروریما متغیر (b 1) را از طریق لازم است(ق). بله، ساده ترین عبارت دریافت شده نیست. نوعی کسری ... اما سیستم ما در سطح مناسبی است، بله.)

معمول. چه کنیم - ما می دانیم.

ما ODZ را می نویسیم (لزوما!) :

q ≠ 1

همه چیز را در مخرج (q-1) ضرب می کنیم و همه کسرها را کاهش می دهیم:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

همه چیز را بر ده تقسیم می کنیم، پرانتزها را باز می کنیم، همه چیز را در سمت چپ جمع می کنیم:

q 2 – 4 q + 3 = 0

نتیجه را حل می کنیم و دو ریشه می گیریم:

q 1 = 1

q 2 = 3

تنها یک پاسخ نهایی وجود دارد: q = 3 .

پاسخ: 3

همانطور که می بینید، راه حل اکثر مسائل برای فرمول عضو n یک پیشرفت هندسی همیشه یکسان است: می خوانیم با دقتشرط مسئله و با استفاده از فرمول عبارت n کل را ترجمه می کنیم اطلاعات مفیدبه جبر محض

برای مثال:

1) هر یک از اعضای داده شده در مسئله را طبق فرمول جداگانه می نویسیمnعضو ام

2) از شرط مسئله، ارتباط بین اعضا را به صورت ریاضی تبدیل می کنیم. ما یک معادله یا یک سیستم معادلات می سازیم.

3) معادله یا سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم، پارامترهای مجهول پیشرفت را پیدا می کنیم.

4) در صورت وجود پاسخ مبهم، در جستجوی اطلاعات اضافی (در صورت وجود) شرایط مشکل را با دقت مطالعه می کنیم. همچنین پاسخ دریافتی را با شرایط ODZ (در صورت وجود) بررسی می کنیم.

و اکنون ما مشکلات اصلی را لیست می کنیم که اغلب منجر به خطا در روند حل مشکلات پیشرفت هندسی می شود.

1. حساب ابتدایی. عملیات با کسر و اعداد منفی.

2. اگر حداقل یکی از این سه نکته مشکل ساز باشد، به ناچار در این تاپیک دچار اشتباه خواهید شد. متأسفانه ... پس تنبل نباشید و آنچه در بالا ذکر شد را تکرار کنید. و پیوندها را دنبال کنید - بروید. گاهی اوقات کمک می کند.)

فرمول های اصلاح شده و مکرر

و اکنون اجازه دهید به چند مشکل معمولی امتحان با ارائه ای کمتر آشنا از شرایط نگاه کنیم. بله، بله، درست حدس زدید! این هست اصلاح شدهو عود کنندهفرمول های عضو n ما قبلاً با چنین فرمول هایی روبرو شده ایم و در پیشرفت حسابی کار کرده ایم. اینجا همه چیز شبیه است. اصل موضوع همین است.

به عنوان مثال، چنین مشکلی از OGE:

پیشرفت هندسی با فرمول داده می شود b n = 3 2 n . مجموع جمله اول و چهارم را پیدا کنید.

این بار پیشرفت نه کاملاً طبق معمول به ما داده می شود. نوعی فرمول پس چی؟ این فرمول است همچنین یک فرمولnعضو ام!همه ما می دانیم که فرمول عبارت n را می توان هم به صورت کلی، از طریق حروف و هم برای نوشت پیشرفت خاص. با خاصجمله اول و مخرج

در مورد ما، در واقع، یک فرمول اصطلاح کلی برای یک پیشروی هندسی با پارامترهای زیر به ما داده می شود:

ب 1 = 6

q = 2

بیایید بررسی کنیم؟) بیایید فرمول عبارت n را به صورت کلی بنویسیم و آن را جایگزین کنیم ب 1 و q. ما گرفتیم:

b n = ب 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

ما با استفاده از ویژگی های فاکتورسازی و توان، ساده می کنیم و به دست می آوریم:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

همانطور که می بینید، همه چیز منصفانه است. اما هدف ما از شما نشان دادن اشتقاق یک فرمول خاص نیست. این چنین است، یک انحراف غزلی. صرفاً برای درک.) هدف ما حل مشکل طبق فرمولی است که در شرط به ما داده شده است. آیا آن را می گیرید؟) بنابراین ما مستقیماً با فرمول اصلاح شده کار می کنیم.

ترم اول را حساب می کنیم. جایگزین n=1 به فرمول کلی:

ب 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

مثل این. ضمنا من زیاد تنبل نیستم و یک بار دیگر توجه شما را به یک اشتباه معمولی با محاسبه ترم اول جلب می کنم. به فرمول نگاه نکنید b n= 3 2n، بلافاصله عجله کنید که بنویسید اولین عضو یک تروئیکا است! این یک اشتباه بزرگ است، بله...)

ادامه می دهیم. جایگزین n=4 و اصطلاح چهارم را در نظر بگیرید:

ب 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

و در نهایت مقدار مورد نیاز را محاسبه می کنیم:

ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54

جواب: 54

مشکل دیگر.

پیشرفت هندسی با شرایط زیر داده می شود:

ب 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

جمله چهارم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت با فرمول مکرر داده می شود. بسیار خوب.) نحوه کار با این فرمول - ما هم می دانیم.

اینجا ما در حال بازیگری هستیم. گام به گام.

1) دو شمردن پی در پیعضو پیشرفت

اولین ترم قبلاً به ما داده شده است. منهای هفت اما ترم بعدی، دوم، به راحتی با استفاده از فرمول بازگشتی قابل محاسبه است. البته اگر درک کنید که چگونه کار می کند.)

در اینجا اصطلاح دوم را در نظر می گیریم به قول معروف اول:

ب 2 = 3 ب 1 = 3 (-7) = -21

2) مخرج پیشروی را در نظر می گیریم

همچنین مشکلی نیست. مستقیم، به اشتراک بگذارید دومیندیک در اولین.

ما گرفتیم:

q = -21/(-7) = 3

3) فرمول را بنویسیدnعضو را به شکل معمول در نظر بگیرید و عضو مورد نظر را در نظر بگیرید.

بنابراین، ما عبارت اول و مخرج را نیز می دانیم. در اینجا می نویسیم:

b n= -7 3n -1

ب 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

پاسخ: -189

همانطور که می بینید، کار با چنین فرمول هایی برای یک پیشروی هندسی اساساً هیچ تفاوتی با پیشرفت حسابی ندارد. فقط درک ماهیت و معنای کلی این فرمول ها مهم است. خوب، معنای پیشرفت هندسی نیز باید درک شود، بله.) و در این صورت هیچ اشتباه احمقانه ای وجود نخواهد داشت.

خوب، بیایید خودمان تصمیم بگیریم؟)

کارهای کاملا ابتدایی برای گرم کردن:

1. با توجه به پیشرفت هندسی که در آن ب 1 = 243 و q = -2/3. جمله ششم پیشرفت را پیدا کنید.

2. عبارت مشترک یک پیشروی هندسی با فرمول داده می شود b n = 5∙2 n +1 . شماره آخرین عضو سه رقمی این پیشرفت را پیدا کنید.

3. پیشروی هندسی با شرایط داده می شود:

ب 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

جمله پنجم پیشرفت را پیدا کنید.

کمی پیچیده تر:

4. با توجه به یک پیشرفت هندسی:

ب 1 =2048; q =-0,5

ششمین جمله منفی آن چیست؟

چه چیزی فوق العاده سخت به نظر می رسد؟ اصلا. منطق و درک معنای پیشرفت هندسی باعث نجات خواهد شد. خوب، فرمول ترم n، البته.

5. جمله سوم پیشرفت هندسی 14- و جمله هشتم 112 است. مخرج پیشروی را بیابید.

6. مجموع جمله های اول و دوم یک تصاعد هندسی 75 و مجموع جمله های دوم و سوم 150 است. جمله ششم پیشروی را بیابید.

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; -3888; -یک 800; -32; 448.

این تقریباً تمام است. فقط برای یادگیری نحوه شمارش باقی مانده است مجموع n جمله اول یک پیشرفت هندسیبله کشف کنید پیشرفت هندسی در حال کاهش بی نهایتو مقدار آن اتفاقاً یک چیز بسیار جالب و غیر معمول! در درس های بعدی بیشتر در مورد آن توضیح دهید.)