اطلاعات موجود در این مقاله درک کلی از تمام اعداد... ابتدا تعریف اعداد صحیح آورده شده و مثالهایی آورده شده است. بعلاوه ، اعداد صحیح موجود در خط اعداد در نظر گرفته می شوند که از آنها مشخص می شود به کدام اعداد صحیح مثبت گفته می شود و کدام عدد صحیح منفی است. پس از آن ، نحوه توصیف تغییرات مقادیر با استفاده از اعداد صحیح و اعداد صحیح نشان داده شده است اعداد منفی به معنای بدهی.

پیمایش صفحه

عدد صحیح - تعریف و مثالها

تعریف.

تمام اعداد - این اعداد طبیعی ، عدد صفر و همچنین اعداد مخالف اعداد طبیعی هستند.

در تعریف اعداد صحیح گفته می شود که هر یک از اعداد 1 ، 2 ، 3 ،… ، عدد 0 و همچنین هر یک از اعداد −1 ، −2 ، −3 ، ... یک عدد صحیح است. اکنون می توانیم به راحتی رهبری کنیم نمونه هایی از اعداد صحیح... به عنوان مثال ، عدد 38 یک عدد صحیح است ، عدد 70 040 نیز یک عدد صحیح است ، صفر یک عدد صحیح است (یادآوری می کنید که صفر یک عدد طبیعی نیست ، صفر یک عدد صحیح است) ، اعداد −999 ، −1 ، −8 934 832 نیز نمونه هایی از اعداد صحیح هستند شماره.

راحت است که تمام اعداد صحیح را به عنوان دنباله ای از اعداد صحیح نشان دهید که دارای فرم زیر است: 0 ، ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ... توالی اعداد صحیح را می توان به صورت زیر نوشت: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

تعریف اعداد صحیح بیانگر این است که مجموعه اعداد طبیعی زیر مجموعه ای از مجموعه اعداد صحیح است. بنابراین ، هر عدد طبیعی یک عدد صحیح است ، اما هر عدد صحیحی یک عدد طبیعی نیست.

عدد صحیح در خط مختصات

تعریف.

اعداد صحیح مثبت آیا اعداد صحیح بزرگتر از صفر هستند.

تعریف.

اعداد منفی عدد صحیح آیا اعداد صحیح است که کمتر از صفر.

اعداد صحیح مثبت و منفی را نیز می توان از طریق موقعیت آنها در خط مختصات تعیین کرد. در خط مختصات افقی ، نقاطی که مختصات آنها عدد صحیح مثبت است ، در سمت راست مبدا قرار دارند. به نوبه خود ، نقاط با مختصات عدد صحیح منفی در سمت چپ نقطه O قرار دارند.

روشن است که مجموعه تمام اعداد صحیح مثبت مجموعه اعداد طبیعی است. به نوبه خود ، مجموعه تمام اعداد صحیح منفی مجموعه تمام اعدادی است که در مقابل اعداد طبیعی قرار دارند.

به طور جداگانه ، توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که می توانیم با خیال راحت هر عدد طبیعی را یک عدد صحیح بنامیم ، و نمی توانیم هیچ عدد صحیحی را طبیعی بنامیم. ما می توانیم طبیعی را فقط هر عدد صحیح مثبت بنامیم ، زیرا عدد صحیح منفی و صفر طبیعی نیستند.

اعداد صحیح غیر مثبت و اعداد صحیح غیر منفی

اجازه دهید تعاریفی از اعداد صحیح غیر مثبت و اعداد صحیح غیر منفی ارائه دهیم.

تعریف.

به تمام عددهای صحیح مثبت همراه با عدد صفر گفته می شود عددهای صحیح غیر منفی.

تعریف.

عددهای صحیح غیر مثبت آیا تمام عددهای صحیح منفی همراه با عدد 0 هستند.

به عبارت دیگر ، عدد صحیح غیر منفی عددی صحیح است که بزرگتر از صفر یا برابر با صفر باشد و عدد صحیح غیر مثبت صحیحی است که کمتر از صفر باشد ، یا برابر با صفر باشد.

نمونه هایی از اعداد صحیح غیر مثبت ، اعداد -511 ، -10،030 ، 0 ، -2 است و به عنوان نمونه ای از اعداد صحیح غیر منفی ، اعداد 45 ، 506 ، 0 ، 900 321 را می دهیم

غالباً از اصطلاحات "اعداد صحیح غیر مثبت" و "اعداد صحیح غیر منفی" برای اختصار استفاده می شود. به عنوان مثال ، به جای عبارت "عدد a یک عدد صحیح است ، و a بزرگتر یا برابر با صفر است" ، می توانید بگویید "a یک عدد صحیح غیر منفی است".

توصیف مقادیر در حال تغییر با استفاده از اعداد صحیح

وقت آن است که درمورد اینکه چه اعداد صحیح برای چیست استفاده کنیم

هدف اصلی از اعداد صحیح این است که استفاده از آنها برای توصیف تغییر تعداد اشیا مناسب است. بیایید با مثال ها آن را رقم بزنیم.

فرض کنید برخی از قطعات موجود است. اگر به عنوان مثال 400 قطعه دیگر به انبار آورده شود ، تعداد قطعات موجود در انبار افزایش می یابد و تعداد 400 این تغییر مقدار را در طرف مثبت (بطرف بالا). اگر به عنوان مثال 100 قطعه از انبار گرفته شود ، در این صورت تعداد قطعات موجود در انبار کاهش می یابد و تعداد 100 تغییر مقدار را در جهت منفی (رو به پایین) بیان می کند. قطعات به انبار آورده نخواهند شد و قطعاتی از انبار برداشته نخواهند شد ، سپس می توانیم در مورد تغییرناپذیری تعداد قطعات صحبت کنیم (یعنی صحبت در مورد تغییر صفر مقدار ممکن است).

در مثالهای ارائه شده می توان تغییر تعداد قطعات را به ترتیب با استفاده از عدد صحیح 400 ، -100 و 0 توصیف کرد. عدد صحیح مثبت 400 نشانگر تغییر مثبت در مقدار (افزایش) است. عدد صحیح منفی -100 تغییر منفی کمیت (کاهش) را بیان می کند. عدد صحیح 0 نشان می دهد که مقدار بدون تغییر مانده است.

سهولت استفاده از اعداد صحیح در مقایسه با استفاده از اعداد طبیعی این است که شما نیازی به صراحت افزایش یا کاهش عدد ندارید - یک عدد صحیح مقدار تغییر را تعیین می کند ، و علامت عدد صحیح جهت تغییر را نشان می دهد.

اعداد کامل همچنین می توانند نه تنها تغییر در مقدار ، بلکه تغییر در مقدار را نیز بیان کنند. بیایید با استفاده از مثال تغییرات دما با این مسئله کنار بیاییم.

افزایش دما ، مثلاً 4 درجه ، به عنوان یک عدد صحیح مثبت 4 بیان می شود. کاهش دما ، به عنوان مثال ، با 12 درجه را می توان با یک عدد صحیح منفی -12 توصیف کرد. و ثابت بودن دما تغییر آن است که توسط عدد صحیح 0 تعیین می شود.

به طور جداگانه ، باید در مورد تفسیر اعداد منفی به عنوان مقدار بدهی گفت. به عنوان مثال ، اگر 3 سیب داشته باشیم ، عدد صحیح مثبت 3 تعداد سیب هایی را نشان می دهد که داریم. از طرف دیگر ، اگر مجبور شویم 5 عدد سیب به کسی بدهیم ، اما آن را نداریم ، می توان این وضعیت را با استفاده از عدد صحیح منفی described5 توصیف کرد. در این حالت ، ما have5 سیب داریم ، علامت منفی بدهی را نشان می دهد و عدد 5 بدهی را کمی می کند.

درک یک عدد صحیح منفی به عنوان بدهی ، به عنوان مثال ، توجیه قانون افزودن عدد صحیح صحیح را فراهم می کند. بیایید مثالی بزنیم. اگر کسی 2 سیب به یک نفر و یک سیب به دیگری بدهکار باشد ، کل بدهی 2 + 1 \u003d 3 سیب است ، بنابراین −2 + (- 1) \u003d - 3.

فهرست مراجع.

• Vilenkin N. Ya. و سایر ریاضیات. پایه 6: کتاب درسی برای مسسات آموزشی.

بگذارید بگوییم آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم عقب است. در طول مدتی که به آشیل می رود تا این مسافت را طی کند ، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد پله بدود ، لاک پشت ده پله دیگر می خزد و .... روند به طور نامحدود ادامه خواهد یافت ، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال برای تمام نسل های بعدی یک شوک منطقی بود. ارسطو ، دیوژن ، کانت ، هگل ، هیلبرت ... همه آنها ، به هر ترتیب یا این طور ، آپوریاهای زنو را در نظر گرفتند. شوک به قدری شدید بود که " ... بحث ها در حال حاضر ادامه دارد ، جامعه علمی هنوز نتوانسته است در مورد اصل پارادوکس ها به یک نظر مشترک برسد ... تجزیه و تحلیل ریاضی ، نظریه مجموعه ها ، رویکردهای جدید فیزیکی و فلسفی در مطالعه این مسئله نقش داشتند. هیچ یک از آنها به یک راه حل عمومی پذیرفته شده برای سوال تبدیل نشده است ..."[ویکی پدیا ، آپوریای زنو". همه می فهمند که فریب می خورند ، اما هیچ کس نمی فهمد این فریب چیست.

از نظر ریاضیات ، زنو در آپوریای خود انتقال از بزرگی به بزرگ را به وضوح نشان داد. این انتقال شامل استفاده به جای ثابت است. تا آنجا که من فهمیدم ، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای متغیر اندازه گیری یا هنوز توسعه نیافته است ، یا در مورد آپوریای Zeno اعمال نشده است. منطق معمول ما را به دام بیندازد. ما ، به دلیل اینرسی تفکر ، واحدهای زمانی ثابت را برای متقابل اعمال می کنیم. از نظر جسمی ، به نظر می رسد اتساع زمان است تا اینکه در لحظه هم سطح شدن آشیل با لاک پشت کاملاً متوقف شود. اگر زمان متوقف شود ، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد.

اگر منطقی را که به آن عادت کرده ایم برگردانیم ، همه چیز در جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر قسمت بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس ، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم "بی نهایت" را در این شرایط به کار ببریم ، درست است که بگوییم "آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد."

چگونه می توانید از این دام منطقی جلوگیری کنید؟ در واحدهای زمانی ثابت بمانید و عقب نروید. در زبان زنو ، این به نظر می رسد:

در طول مدتی که آشیل هزار پله خواهد دوید ، لاک پشت صد پله در همان جهت خزنده می شود. در بازه زمانی بعدی ، برابر با مرحله اول ، آشیل هزار قدم دیگر می زند و لاک پشت صد پله می خزد. اکنون آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی به اندازه کافی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. گفته های انیشتین در مورد غیرقابل نفوذ بودن سرعت نور بسیار شبیه به Zeno aporia "آشیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه ، بازاندیشی و حل کنیم. و راه حل را باید در تعداد بی نهایت زیاد ، بلکه در واحدهای اندازه گیری جستجو نکرد.

یکی دیگر از جالب Aporia Zeno در مورد یک تیر پرواز می گوید:

پیکان در حال پرواز بی حرکت است ، زیرا در هر لحظه از زمان در حالت استراحت است ، و از آنجا که در هر لحظه از زمان در حالت استراحت است ، همیشه در حالت استراحت است.

در این آپوریا ، تناقض منطقی خیلی ساده برطرف می شود - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان ، یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا قرار می گیرد ، که در واقع حرکت است. در اینجا باید به نکته دیگری اشاره کرد. تعیین واقعیت حرکت آن و یا فاصله تا آن از تنها یک عکس از اتومبیل در جاده غیرممکن است. برای تعیین واقعیت حرکت ماشین ، دو عکس لازم است که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند ، اما نمی توان فاصله را از آنها تعیین کرد. برای تعیین فاصله تا ماشین ، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا به طور همزمان نیاز دارید ، اما تعیین واقعیت حرکت از آنها غیرممکن است (البته هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید ، مثلثات به شما کمک می کند). آنچه می خواهم برگردانم توجه ویژه، بنابراین این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای مختلفی هستند که نباید اشتباه گرفته شوند ، زیرا فرصت های مختلفی برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه ، 4 جولای 2018

تمایز بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا شرح داده شده است. ما نگاه می کنیم.

همانطور که مشاهده می کنید ، "در مجموعه نمی توان دو عنصر یکسان وجود داشت" ، اما اگر عناصر یکسانی در مجموعه وجود داشته باشد ، چنین مجموعه ای "چند مجموعه" نامیده می شود. موجودات عاقل چنین منطق پوچی را هرگز درک نخواهند کرد. این سطح طوطی های ناطق و میمون های آموزش دیده است که فاقد هوش از کلمه "کاملا" هستند. ریاضیدانان به عنوان مربیان معمولی عمل می کنند ، ایده های پوچ خود را به ما تبلیغ می کنند.

زمانی مهندسان سازنده پل در هنگام آزمایشات پل در قایقی در زیر پل بودند. اگر پل خراب شود ، مهندس نالایق زیر آوار خلقت خود درگذشت. اگر پل می توانست در برابر بار مقاومت کند ، یک مهندس با استعداد پل های دیگری را می سازد.

مهم نیست که چگونه ریاضیدانان در پشت عبارت "chur، I'm in the house" پنهان می شوند ، یا بهتر بگوییم "ریاضیات مفاهیم انتزاعی را مطالعه می کنند" ، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت پیوند می دهد. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه ریاضی را در مورد خود ریاضیدانان اعمال کنیم.

ما ریاضیات را بسیار خوب مطالعه کردیم و اکنون در صندوق صندلی نشسته ایم و حقوق می دهیم. یک ریاضیدان برای پولش به ما مراجعه می کند. ما کل مبلغ را برای او حساب می کنیم و روی میز خود را به صورت دسته های مختلف در می آوریم ، که در آن قبض های یک اسکناس را در آن قرار می دهیم. سپس از هر توده یک اسکناس می گیریم و "مجموعه ریاضی حقوق" ریاضیدان را تحویل می دهیم. ما درمورد ریاضیات توضیح می دهیم که بقیه صورتحساب ها را فقط وقتی دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.

اول از همه ، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "شما می توانید آن را در مورد دیگران اعمال کنید ، شما نمی توانید در مورد من اعمال کنید!" علاوه بر این ، ما اطمینان خواهیم داد که تعداد اسکناس های مختلفی در اسکناس های یک اسمی وجود دارد ، به این معنی که نمی توان آنها را به عنوان عناصر یکسان در نظر گرفت. خوب ، بیایید حقوق را در سکه ها حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار فیزیک را به یاد می آورد: روی سکه های مختلف وجود دارد مقدار متفاوت خاک ، ساختار بلوری و ترتیب اتم ها برای هر سکه بی نظیر است ...

و اکنون بیشترین مقدار را دارم علاقه بپرسید: کجای خط فراتر از آن عناصر چند مجموعه ای به عناصر مجموعه تبدیل می شوند و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تعیین می شود ، علم در هیچ کجای اینجا قرار نگرفته است.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مساحت مزارع یکسان است ، به این معنی که ما چند مجموعه داریم. اما اگر نام همان استادیوم ها را در نظر بگیریم ، چیزهای زیادی به دست می آوریم ، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که مشاهده می کنید ، یک مجموعه از عناصر به طور همزمان یک مجموعه و چند مجموعه است. چگونه درست است؟ و در اینجا ریاضیدان-شمن-شولر یک آیس برنده را از آستین خود بیرون می کشد و شروع می کند به ما یا درباره مجموعه و یا درباره چند مجموعه. در هر صورت او ما را قانع خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک چگونگی عملکرد شامان مدرن با نظریه مجموعه ها ، گره زدن آن به واقعیت ، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه از عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد ، بدون هیچ "قابل تصور به عنوان یک کل" یا "قابل فکر به عنوان یک کل".

یکشنبه ، 18 مارس 2018

مجموع ارقام عدد رقص شامیان با تنبور است که هیچ ارتباطی با ریاضیات ندارد. بله ، در دروس ریاضیات به ما آموزش داده می شود که جمع ارقام یک عدد را پیدا کنیم و از آن استفاده کنیم ، اما به همین دلیل آنها شمن هستند تا فرزندان خود را به مهارت و خرد خود بیاموزند ، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

نیاز به اثبات دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه مجموع ارقام یک شماره را پیدا کنید. وجود ندارد در ریاضیات هیچ فرمولی وجود ندارد که به کمک آن بتوانید مجموع ارقام هر عدد را پیدا کنید. از این گذشته ، اعداد هستند نمادهای گرافیکی، با کمک آن اعداد را یادداشت می کنیم و به زبان ریاضیات کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی نشان دهنده هر عدد را پیدا کنید". ریاضیدانان نمی توانند این مسئله را حل کنند ، اما شمن ها - این یک مسئله ابتدایی است.

بیایید ببینیم که برای یافتن مجموع ارقام یک عدد معین چه کاری و چگونه انجام می دهیم بنابراین ، اجازه دهید شماره 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد ، چه کارهایی باید انجام شود؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب طی کنیم.

1. شماره را روی یک کاغذ یادداشت می کنیم. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به یک نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عمل ریاضی نیست.

2. یک عکس حاصل را به چندین عکس حاوی اعداد جداگانه برش می دهیم. برش تصویر یک عمل ریاضی نیست.

3- نمادهای گرافیکی منفرد را به اعداد تبدیل کنید. این یک عمل ریاضی نیست.

4- اعداد بدست آمده را جمع کنید. حالا این ریاضیات است.

مجموع ارقام 12345 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" از شمن هایی است که توسط ریاضیدانان استفاده می شود. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضیات مهم نیست که در کدام سیستم اعداد عدد را می نویسیم. بنابراین ، در سیستم های مختلف محاسبه مجموع رقم های یکسان متفاوت خواهد بود. در ریاضیات ، سیستم اعداد به عنوان یک زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده شده است. با یک شماره بزرگ 12345 ، من نمی خواهم سرم را گول بزنم ، شماره 26 را از مقاله مربوط به در نظر بگیرید. بیایید این عدد را در سیستم های علامت گذاری باینری ، هشتی ، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما هر مرحله را زیر ذره بین نخواهیم دید ، ما قبلاً این کار را انجام داده ایم. بیایید نتیجه را ببینیم.

همانطور که مشاهده می کنید ، در سیستم های مختلف اعداد ، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه هیچ ارتباطی با ریاضیات ندارد. این همان چیزی است که اگر در تعیین مساحت مستطیل در متر و سانتی متر نتایج کاملا متفاوتی بدست آورید.

صفر در همه سیستم های اعدادی یکسان به نظر می رسد و مجموع رقم ندارد. این استدلال دیگری برای این واقعیت است که. سوالی برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که در ریاضیات عددی نیست تعیین شده است؟ برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ برای شمن ها ، من می توانم این اجازه را بدهم ، اما برای دانشمندان - نه. واقعیت همه چیز در مورد اعداد نیست.

نتیجه باید به عنوان اثبات در نظر گرفته شدن سیستم های اعدادی واحد اندازه گیری اعداد در نظر گرفته شود. از این گذشته ، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر همان اقدامات با واحدهای اندازه گیری مختلف از همان مقدار منجر شود نتایج مختلف پس از مقایسه آنها ، این بدان معناست که هیچ ارتباطی با ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه می گیرد عمل ریاضی به مقدار عدد ، واحد اندازه گیری مورد استفاده و این که چه کسی این عمل را انجام می دهد بستگی ندارد.