این درجه برای ساده سازی ضبط تعداد خودشان استفاده می شود. به عنوان مثال، به جای ضبط شما می توانید بنویسید 4 5 (\\ displayStyle 4 ^ (5)) (توضیح این انتقال در بخش اول این مقاله داده شده است). درجه به شما این امکان را می دهد که ساده یا پیچیده عبارات یا معادلات را ساده کنید؛ همچنین، درجه ها به راحتی بسته بندی شده و کم می شوند، که منجر به ساده سازی بیان یا معادله می شود (به عنوان مثال، 4 2 * 4 3 \u003d 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

توجه داشته باشید: اگر شما نیاز به حل معادله نشانگر (در این معادله، ناشناخته در یک شاخص درجه)، خواندن.

مراحل

راه حل ساده ترین وظایف با درجه

ضرب و شتم پایه درجه خود را با تعداد بار برابر با شاخص. اگر شما نیاز به حل این کار با درجه به صورت دستی، درجه را به صورت یک عمل ضرب، جایی که پایه و اساس درجه خود را به دست می آورید، بازنویسی کنید. به عنوان مثال، با توجه به مدرک 3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4)). در این مورد، پایه درجه 3 باید خود را 4 بار ضرب شود: 3 * 3 * 3 * 3 (\\ displaystyle 3 * 3 * 3 * 3). در اینجا نمونه های دیگر وجود دارد:

برای شروع، دو عدد اول را چند برابر کنید. مثلا، 4 5 (\\ displayStyle 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displayStyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4). نگران نباشید - فرآیند محاسبه به همان اندازه پیچیده نیست، زیرا به نظر می رسد در نگاه اول به نظر می رسد. اول، دو گل اول را چند برابر کنید و سپس آنها را با نتیجه جایگزین کنید. مثل این:

• 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 \u003d 16 (\\ displaystyle 4 * 4 \u003d 16)

1. نتیجه را (به عنوان مثال 16) به شماره بعدی تقسیم کنید. هر نتیجه بعدی نسبت به آن افزایش می یابد. در مثال ما، ضرب 16 تا 4.

   • 4 5 \u003d 16 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 * 4 \u003d 64 (\\ displaystyle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 * 4 \u003d 256 (\\ displayStyle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 * 4 (\\ displayStyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 * 4 \u003d 1024 (\\ displayStyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • ادامه ضربان نتیجه ضرب دو عدد اول را به شماره بعدی ادامه دهید تا پاسخ نهایی را دریافت کنید. برای انجام این کار، دو عدد اول را تغییر دهید، و سپس نتیجه با شماره بعدی در دنباله ضرب می شود. این روش برای هر درجه معتبر است. در مثال ما باید دریافت کنید: 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2. وظایف زیر را انتخاب کنید. پاسخ را با استفاده از ماشین حساب بررسی کنید.

   • 8 2 (\\ displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (\\ displayStyle 10 ^ (7))

3. در ماشین حساب، کلید نشان داده شده به عنوان "exp"، یا " x n (\\ displaystyle x ^ (n))"، یا" ^ ". با استفاده از این کلید، شما تعداد را در درجه بالا خواهید برد. محاسبه میزان با شاخص بزرگ به صورت دستی غیر ممکن (به عنوان مثال، درجه 9 15 (\\ displayStyle 9 ^ (15)))، اما ماشین حساب به راحتی می تواند با این کار مقابله کند. در ویندوز 7، ماشین حساب استاندارد را می توان به حالت مهندسی تبدیل کرد. برای انجام این کار، روی «نمایش» کلیک کنید -\u003e "مهندسی". برای تغییر به حالت عادی، روی "نمایش" کلیک کنید -\u003e "Normal".

   • پاسخ به موتور جستجو (Google یا Yandex) را بررسی کنید. با استفاده از کلید "^" در صفحه کلید کامپیوتر، بیانگر موتور جستجو را وارد کنید، که بلافاصله پاسخ صحیح را نمایش می دهد (و ممکن است عبارات مشابهی را برای مطالعه ارائه دهد).

   علاوه بر این، تفریق، ضرب درجه

   1. شما می توانید درجه را اضافه و کسر کنید تنها اگر آنها دارای پایگاه های مشابه هستند. اگر شما نیاز به اضافه کردن درجه با همان پایگاه ها و شاخص ها، شما می توانید عملیات اضافه کردن ضرب را جایگزین کنید. به عنوان مثال، بیان داده شده است 4 5 + 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). به یاد داشته باشید که درجه 4 5 (\\ displayStyle 4 ^ (5)) می تواند به عنوان نشان داده شود 1 * 4 5 (\\ displaystyle 1 * 4 ^ (5))؛ به این ترتیب، 4 5 + 4 5 \u003d 1 * 4 5 + 1 * 4 5 \u003d 2 * 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (جایی که 1 +1 \u003d 2). به عبارت دیگر، تعداد درجه های مشابه را در نظر بگیرید، و سپس چنین درجه ای را چند برابر کنید و این عدد است. در مثال ما، 4 را در درجه پنجم بسازیم، و سپس نتیجه نتیجه ضرب شده توسط 2. به یاد داشته باشید که عملیات افزودن را می توان با عملیات ضرب جایگزین کرد، به عنوان مثال، 3 + 3 \u003d 2 * 3 (\\ displaystyle 3 + 3 \u003d 2 * 3). در اینجا نمونه های دیگر وجود دارد:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 * 3 2 (\\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 * 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ displayStyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. هنگامی که ضرب درجه ها با همان پایه، شاخص های آنها بسته می شوند (پایه تغییر نمی کند). به عنوان مثال، بیان داده شده است x 2 * x 5 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5)). در این مورد، شما فقط باید شاخص ها را از بین ببرید، بر اساس مبنای بدون تغییر. به این ترتیب، x 2 * x 5 \u003d x 7 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7)). در اینجا یک توضیح بصری از این قانون است:

      هنگام نصب درجه، شاخص ها ضرب می شوند. به عنوان مثال، با توجه به مدرک. از آنجا که شاخص های درجه متغیر هستند، سپس (x 2) 5 \u003d x 2 * 5 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10)). معنای این قانون این است که شما درجه را چند برابر می کنید (x 2) (\\ displayStyle (x ^ (2))) خود را برای خود پنج بار. مثل این:

      • (x 2) 5 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * X ^ (2) * x ^ (2))
      • از آنجا که پایه یکسان است، شاخص های درجه به سادگی اضافه کردن: (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. درجه با یک شاخص منفی باید به یک کسر تبدیل شود (به درجه معکوس). نه مشکل، اگر شما نمی دانید درجه بازگشت چیست. اگر شما یک درجه با یک شاخص منفی داده می شود، به عنوان مثال، 3 - 2 (\\ displaystyle 3 ^ (- 2))، این درجه را به مخزن شلوار بنویسید (در عددی، محل 1)، و شاخص مثبت را ایجاد کنید. در مثال ما: 1 3 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (3 ^ (2))). در اینجا نمونه های دیگر وجود دارد:

      هنگامی که تقسیم درجه با همان پایه، شاخص های آنها کسر می شود (مبنای تغییر نمی کند). عملیات تقسیم مخالف عملیات ضرب است. به عنوان مثال، بیان داده شده است 4 4 4 2 (\\ displayStyle (\\ frac (4 ^ 4 ^ (4)) (4 ^ (2)))). دفع درجه در مخزن، از نشانگر درجه ای که دارای عددی است (پایه را تغییر ندهید) را حذف کنید. به این ترتیب، 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • در این فرم، درجه ای که در آن قرار دارد، می تواند در این فرم نوشته شود: 1 4 2 (\\ displayStyle (\\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\\ displaystyle 4 ^ (- 2)). به یاد داشته باشید که کسری یک عدد (درجه، بیان) با شاخص منفی درجه است.

   4. در زیر برخی از عباراتی است که به شما کمک می کند تا یاد بگیرید که وظایف را با درجه ها حل کنید. این عبارات مواد موجود در این بخش را پوشش می دهند. به منظور دیدن پاسخ، به سادگی فضای خالی را پس از علامت برابری برجسته کنید.

   وظایف حل شده با شاخص های کسری

   درجه با شاخص کسر (به عنوان مثال،) به عمل استخراج ریشه تبدیل می شود. در مثال ما: x 1 2 (\\ displayStyle X ^ (\\ frac (1) (2))) = x (\\ displaystyle (\\ sqrt (x))). مهم نیست که کدام عدد در نامزدی از شاخص کسری باشد. مثلا، x 1 4 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (4))) - این ریشه درجه چهارم از "X" است، یعنی x 4 (\\ displaystyle (\\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. اگر شاخص یک کسر نامنظم باشد، چنین درجه ای می تواند برای دو درجه تجزیه شود تا راه حل مشکل را ساده کند. در این مورد هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد - فقط به یاد داشته باشید حاکمیت ضرب توسط درجه. به عنوان مثال، با توجه به مدرک. این درجه را به ریشه تبدیل کنید، درجه ای که برابر با پروترسن شاخص کسر می شود، و سپس این ریشه را به درجه برابر با عددی از شاخص کسری می پردازد. برای انجام این کار، به یاد داشته باشید 5 3 (\\ displayStyle (\\ frac (5) (3)) = (1 3) * 5 (\\ displaystyle ((\\ frac (1) (3))) * 5). در مثال ما:

      • x 5 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3))
      • x 1 3 \u003d x 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d (\\ sqrt [(3)] (x)))
      • x 5 3 \u003d x 5 * x 1 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (\\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\\ displaystyle ((\\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. در برخی از ماشین حساب ها یک دکمه برای محاسبه درجه وجود دارد (برای اولین بار باید به پایه وارد شوید، سپس دکمه را فشار دهید و سپس نشانگر را وارد کنید). این به عنوان ^ یا x ^ y نشان داده شده است.
   3. به یاد داشته باشید که هر عدد در درجه اول به همان اندازه به خود، به عنوان مثال، 4 1 \u003d 4. (\\ displayStyle 4 ^ (1) \u003d 4.) علاوه بر این، هر تعداد ضرب یا تقسیم شده توسط یکی برابر با خود، به عنوان مثال، 5 * 1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5 * 1 \u003d 5) و 5/1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5/1 \u003d 5).
   4. بدانید که درجه 0 0 وجود ندارد (چنین درجه ای هیچ راه حل ندارد). هنگامی که شما سعی می کنید چنین درجه ای را در ماشین حساب یا کامپیوتر حل کنید، یک خطا دریافت خواهید کرد. اما به یاد داشته باشید که هر عدد در درجه صفر 1، به عنوان مثال، 4 0 \u003d 1. (\\ displaystyle 4 ^ (0) \u003d 1
   5. در بالاترین ریاضیات، که با اعداد خیالی عمل می کند: E a x \u003d c o s a x + i s i n a x (\\ displaystyle e ^ (a) ix \u003d cosax + isinax)جایی که I \u003d (- 1) (\\ displayStyle I \u003d (\\ sqrt ((((((((((((((((((((()) - 1))؛ E - ثابت، تقریبا برابر با 2.7؛ A - دائمی دلخواه. اثبات این برابری را می توان در هر کتاب درسی در ریاضیات بالاتر یافت.

   هشدارها

   • با افزایش شاخص درجه، ارزش آن بسیار افزایش می یابد. بنابراین، اگر پاسخ به نظر شما اشتباه است، در واقع او ممکن است وفادار باشد. شما می توانید آن را با ساخت یک برنامه از هر یک چک کنید تابع نشانگر، به عنوان مثال، 2 x.

ساخت یک درجه منفی یکی از عناصر اصلی ریاضیات است که اغلب در حل مشکلات جبری یافت می شود. در زیر یک دستورالعمل دقیق است.

چگونه برای ساخت درجه منفی - نظریه

هنگامی که ما یک عدد به درجه ای منظم هستیم، ارزش آن چندین بار ارزش آن را افزایش می دهیم. به عنوان مثال، 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. با یک کسر منفی، راه دیگری در اطراف. فرم عمومی فرمول فرم زیر را دارد: a -n \u003d 1 / a n. بنابراین، به منظور ایجاد یک عدد به درجه منفی، لازم است که واحد را به یک شماره داده شده تقسیم کنیم، اما به درجه مثبت.

نحوه ساخت درجه منفی - نمونه هایی از اعداد متعارف

برگزاری قانون فوق در ذهن، چند مثال را حل کنید.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
پاسخ: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
پاسخ -4 -2 \u003d 1/16.

اما چرا پاسخ در نمونه های اول و دوم همان است؟ واقعیت این است که وقتی نصب شد عدد منفی در درجه ای حتی (2، 4، 6، و غیره)، علامت مثبت می شود. اگر درجه حتی بود، سپس منهای حفظ شده:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

چگونه برای ساخت درجه منفی - اعداد از 0 تا 1

به یاد بیاورید زمانی که شماره در یک فاصله از 0 تا 1 به درجه مثبت تنظیم می شود، مقدار با افزایش درجه کاهش می یابد. به عنوان مثال، 0.5 2 \u003d 0.25. 0.25.

مثال 3: محاسبه 0.5 -2
راه حل: 0.5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
پاسخ: 0.5 -2 \u003d 4

فاجعه (دنباله ای از اقدامات):

• ترجمه کردن قطعه قطعه قطعه 0.5 در کسر 1/2. خیلی ساده تر.
  ما 1/2 را به درجه منفی ساختیم. 1 / (2) -2. Delim 1 به 1 / (2) 2، ما 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4 به دست می آوریم

مثال 4: محاسبه 0.5 -3
راه حل: 0.5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

مثال 5: محاسبه -0.5 -3
راه حل: -0.5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
پاسخ: -0.5 -3 \u003d -8

بر اساس نمونه های چهارم و پنجم، ما چند نتیجه گیری خواهیم کرد:

• برای یک عدد مثبت در محدوده 0 تا 1 (به عنوان مثال 4)، که به درجه منفی احداث می شود، پارتی یا دقت درجه مهم نیست، ارزش بیان مثبت خواهد بود. در عین حال، درجه بیشتر، ارزش بیشتر است.
• برای یک عدد منفی در فاصله 0 تا 1 (مثال 5)، که به درجه منفی، زوج یا دقت درجه غیر مهم، ارزش بیان منفی خواهد بود. در عین حال، درجه بیشتر، ارزش کمتر است.

چگونگی ساخت درجه منفی - درجه به صورت یک عدد جزئی

عبارات این نوع فرم زیر را دارند: A -M / N، که در آن یک عدد رایج است، M یک عدد است، n یک نامزد است.

یک مثال را در نظر بگیرید:
محاسبه: 8 -1/3

راه حل (دنباله ای از اقدامات):

• به یاد داشته باشید حاکمیت نعوظ در درجه منفی. ما دریافت می کنیم: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• توجه داشته باشید، در شماره معکوس شماره 8 در درجه کسری است. نوع کلی محاسبه درجه کسری است: a m / n \u003d n √8 m.
• بنابراین، 1 / \u200b\u200b(8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). دريافت كردن ریشه مکعبی از هشت، که 2. بر اساس این، 1 / \u200b\u200b(8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• پاسخ: 8 -1/3 \u003d 2

از مدرسه، همه ما قانون را در تمرین به درجه می دانیم: هر عدد با شاخص N برابر با نتیجه ضرب یک عدد داده شده بر روی خود تعداد کمی از زمان است. به عبارت دیگر، 7 تا درجه 3 7 است، سه بار ضرب شده توسط خود، یعنی 343. یکی دیگر از قوانین - ساخت هر مقدار در درجه 0 به یک واحد، و ساخت یک مقدار منفی نتیجه از نعوظ معمولی، اگر آن را حتی، و همان نتیجه با علامت "منهای"، اگر آن عجیب و غریب است.

قوانین ارائه می دهند و پاسخ می دهند که چگونه یک عدد را به میزان منفی افزایش می دهند. برای انجام این کار، ما باید به طور معمول به طور معمول ارزش مورد نظر را در ماژول نشانگر افزایش دهیم، و سپس واحد را در نتیجه تقسیم کنیم.

از این قوانین، مشخص می شود که عملکرد وظایف واقعی با عامل های بزرگ ارزش ها نیاز به دسترسی دارد ابزار فنی. به صورت دستی به حداکثر طیف وسیعی از اعداد به بیست و سی و نه بیش از سه یا چهار بار افزایش دهید. این به ذکر است که بعدا به تقسیم واحد به نتیجه می رسد. بنابراین، کسانی که هیچ ماشین حساب مهندسی خاصی را در دست ندارند، ما خواهیم گفت که چگونه یک عدد را به درجه منفی در اکسل بسازیم.

وظایف حل شده در اکسل

برای حل وظایف طراحی به اکسل اجازه می دهد تا یکی از دو گزینه برای استفاده.

اولین استفاده از یک فرمول با علامت استاندارد استاندارد است. اطلاعات زیر را در سلول های ورق کار وارد کنید:

به همین ترتیب، شما می توانید مقدار مورد نظر را به هر درجه - منفی، کسری ایجاد کنید. انجام اقدامات زیر و به سوال در مورد چگونگی ساخت یک عدد در درجه منفی پاسخ خواهد داد. مثال:

ممکن است در فرمول به طور مستقیم \u003d B2 ^ -C2 اصلاح شود.

گزینه دوم این است که از عملکرد به پایان رسید "درجه" میزبانی دو استدلال اجباری - شماره و شاخص. برای ادامه استفاده از آن، به اندازه کافی در هر سلول آزاد کافی است تا علامت "برابر" (\u003d) را نشان دهد، نشان دهنده شروع فرمول است و کلمات فوق را وارد کنید. این دو سلول را انتخاب می کند که در عملیات شرکت می کنند (یا شماره های خاص را به صورت دستی مشخص کنید) و روی کلید Enter کلیک کنید. بیایید به چند مثال ساده نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در نحوه افزایش تعداد در درجه منفی و در معمول با استفاده از اکسل وجود ندارد. در واقع، برای حل این کار، می توانید از هر دو نماد معمول از "کلاه" و راحت برای حفظ عملکرد داخلی برنامه استفاده کنید. این یک به علاوه خاص است!

بگذارید به نمونه های پیچیده تر تبدیل شویم به یاد آوردن قانون در مورد چگونگی ساخت یک عدد به درجه منفی از طبیعت منفی، و ما خواهیم دید که این کار بسیار ساده در اکسل حل شده است.

شاخص های کسری

اگر به طور خلاصه، الگوریتم برای محاسبه تعداد با شاخص های کسری بعدی است.

1. تبدیل شاخص کسری به کسری صحیح یا نادرست.
2. تعداد ما را به عدد کسر تبدیل شده تبدیل می کند.
3. از تعداد به دست آمده در پاراگراف قبلی، محاسبه ریشه، با شرایطی که شاخص ریشه، مهر و موم از کسر حاصل از مرحله اول است.

موافقم که حتی هنگام کار با تعداد کمی و بخش های منظم چنین محاسبات ممکن است زمان زیادی را صرف کند. خوب است که پردازنده جدول اکسل بدون تفاوت، چه عدد و درجه ای است که باید نصب شود. سعی کنید مثال زیر را در Worldstate Excel حل کنید:

با استفاده از قوانین فوق، می توانید بررسی کنید و اطمینان حاصل کنید که محاسبه به درستی انجام می شود.

در پایان مقاله ما، ما یک جدول را به صورت یک جدول با فرمول ها و نتایج به دست می آوریم، چند نمونه از نحوه ساخت یک عدد به درجه منفی، و همچنین چند نمونه با استفاده از اعداد و درجه های کسری.

جدول نمونه ها

مثال های زیر را در لیست کار کتاب اکسل بررسی کنید. برای اینکه همه چیز به درستی کار کند، هنگام کپی فرمول، باید از یک لینک مخلوط استفاده کنید. شماره ستون حاوی شماره نصب شده و تعداد رشته حاوی نشانگر را محافظت کنید. فرمول شما باید در مورد فرم زیر داشته باشد: "\u003d $ B4 ^ C $ 3".

لطفا توجه داشته باشید که اعداد مثبت (حتی غیرممکن) بدون هیچ شاخصی محاسبه می شود. هیچ مشکلی با نعوظ هر عدد در شاخص های عدد صحیح وجود ندارد. اما ساخت یک عدد منفی به یک درجه کسری منجر به خطا برای شما خواهد شد، زیرا غیرممکن است که قاعده ای که در ابتدای مقاله ما در مورد ساخت اعداد منفی نشان داده شود، برآورده شود، زیرا پارگی مشخصه یک عدد صحیح است .

شماره به درجه ثابت شده است چنین تعدادی را که چندین بار توسط خود ضرب شده است تماس بگیرید.

درجه یک عدد با ارزش منفی (a - n) این می تواند بر روی شباهت چگونگی درجه همان تعداد با شاخص مثبت تعیین شود. (a n) . با این حال، همچنین نیاز به تعریف اضافی دارد. این فرمول تعریف شده است:

a - n. \u003d (1 / a n)

خواص مقادیر منفی درجه اعداد شبیه به درجه با شاخص مثبت است. معادله ارائه شده آ. m / a n \u003d m-n می تواند عادلانه باشد

« هیچ جا، همانطور که در ریاضیات، وضوح و دقت خروجی اجازه نمی دهد که فرد از پاسخ در مورد این سوال اجتناب کند».

A. D. Alexandrov

برای n. بیشتر m. و وقتی که m. بیشتر n. . در مثال: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

برای شروع، لازم است تعداد تعیین کننده های تعاریف را تعیین کنید. b \u003d a (-n) . در این مثال -n شاخصی از درجه است ب - مقدار عددی مورد نظر آ. - پایه درجه در قالب طبیعی ارزش عددی. سپس ماژول را تعریف کنید، یعنی مقدار مطلق تعداد منفی، که به عنوان شاخصی از درجه عمل می کند. درجه این تعداد نسبی را محاسبه کنید تعداد مطلقبه عنوان یک شاخص. ارزش درجه تقسیم واحد به تعداد حاصل می شود.

شکل. یک

درجه تعداد را با شاخص منفی منفی در نظر بگیرید. تصور کنید که شماره هر عدد مثبت است، تعداد n. و m. - عدد صحیح با توجه به تعریف آ. که به درجه مطرح شده است - برابر یک واحد تقسیم به همان تعداد با درجه مثبت (شکل 1). هنگامی که درجه یک عدد کسری است، پس در چنین مواردی، به طور انحصاری با شاخص های مثبت استفاده می شود.

ارزش یادآوری استاین صفر هرگز نمیتواند شاخصی از میزان تعداد (قانون تقسیم صفر باشد).

گسترش چنین مفهومی به عنوان تعداد تبدیل به چنین دستکاری هایی مانند محاسبات اندازه گیری، و همچنین توسعه ریاضیات، مانند علم است. ورود به مقادیر منفی به دلیل توسعه جبر بود که داد راه حل های مشترک وظایف ریاضی، صرف نظر از معنی خاص آنها و داده های اولیه اولیه آنها. در هند، در قرن های VI-XI، مقادیر منفی اعداد به طور سیستماتیک در حین حل مشکلات مورد استفاده قرار گرفتند و به همان شیوه ای مانند امروز گسترش یافتند. در علوم اروپا، اعداد منفی به طور گسترده ای توسط R. descarte استفاده می شود که به عنوان تفسیر هندسی از اعداد منفی به عنوان جهت بخش ها ارائه می شود. Decartes پیشنهاد تعیین تعدادی که برای نمایش به عنوان یک فرمول دو طبقه طراحی شده است یک N. .

می توان با استفاده از ضرب یافت می شود. به عنوان مثال: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 5x6. این عبارت می گویند که مقدار شرایط برابر به یک کار تبدیل شده است. برعکس، اگر این برابری را به سمت راست برگردانید، ما دریافت می کنیم که ما مقدار شرایط برابر را مستقر کرده ایم. به طور مشابه، شما می توانید محصول چند ضریب برابر 5x5x5x5x5x5 \u003d 5 6 را تبدیل کنید.

یعنی، به جای ضرب شش از عوامل مشابه 5x5x5x5x5x5 نوشتن 5 6 و می گویند "پنج در ششم".

بیان 5 6 درجه ای از تعداد است که در آن:

5 - مبنای درجه؛

6 - نماینده

اقداماتی که از طریق آن محصول چند برابر کننده برابر به یک تماس درجه تبدیل می شود به درجه ای برسد

به طور کلی، درجه با مبنای "A" و نشانگر "n" نوشته شده است

ارزیابی تعداد A به درجه N - به معنای پیدا کردن یک محصول از multipliers، هر یک از آنها برابر است

اگر مبنای درجه "A" 1 است، پس از آن مقدار درجه با هر طبیعی N برابر با 1. به عنوان مثال، 1 5 \u003d 1، 1 256 \u003d 1

اگر ما شماره "A" را برای ساخت ساختیم درجه ی اول، سپس شماره خود را دریافت کنید: 1 \u003d a

اگر هر تعداد را در آن بسازید درجه صفر، سپس به عنوان یک نتیجه از محاسبات ما دریافت می کنیم. 0 \u003d 1

ویژه درجه دوم و سوم را در نظر بگیرید. برای آنها نامهای نامیده می شود: درجه دوم نامیده می شود شماره مربعسوم - کوبا از این تعداد.

هر عدد را می توان به درجه ای تنظیم کرد - مثبت، منفی یا صفر. در عین حال از قوانین زیر استفاده نکنید:

هنگام پیدا کردن درجه یک عدد مثبت، یک عدد مثبت به دست می آید.

هنگامی که محاسبه صفر به طور طبیعی، صفر دریافت می کنیم.

x M. x n. \u003d x m + n

به عنوان مثال: 7 1.7 · 7 - 0.9 \u003d 7 1.7 + (- 0.9) \u003d 7 1.7 - 0.9 \u003d 7 0.8

به تقسیم درجه با همان پایگاه پایه تغییر نکرده است، اما بستگی به شاخص ها دارد:

x M. / x n. \u003d x m - n جایی که m\u003e n،

به عنوان مثال: 13 3.8 / 13 -0.2 \u003d 13 (3.8 -0.2) \u003d 13 3.6

هنگام محاسبه درست کردن پایه تغییر نکرده است، و شاخص های درجه یک یکدیگر را افزایش می دهند.

(عابر بانک. ) n. \u003d در m · n.

به عنوان مثال: (2 3) 2 \u003d 2 3 · 2 \u003d 2 6

(ایکس · y) n \u003d x n. · عابر بانک. ,

به عنوان مثال: (2 · 3) 3 \u003d 2 n · 3 متر،

هنگام انجام محاسبات خرد کردنما در این درجه، تعداد و نامزدی را ایجاد می کنیم

(x / y) n \u003d x n. / n.

به عنوان مثال: (2/5) 3 \u003d (2/5) · (2/5) · (2/5) \u003d 2 3/5 3.

دنباله ای از محاسبات هنگام کار با عبارات حاوی درجه.

هنگام انجام محاسبات عبارات بدون براکت، اما حاوی درجه ها، ابتدا از همه این تمرین را به میزان، و سپس عمل ضرب و تقسیم، و تنها پس از عمل اضافه کردن و تفریق.

اگر شما نیاز به محاسبه بیان حاوی براکت، سپس ابتدا در روش فوق، محاسبات را در براکت ها، و سپس اقدامات باقی مانده در همان جهت از چپ به راست.

به طور گسترده ای در محاسبات عملی به منظور ساده سازی محاسبات از جداول آماده شده از درجه استفاده می شود.

درس و ارائه در موضوع: "درجه با شاخص منفی. تعریف و نمونه هایی از حل مشکلات"

مواد اضافی
کاربران عزیز، فراموش نکنید که نظرات خود را، بررسی ها، خواسته های خود را ترک کنید. همه مواد توسط برنامه آنتی ویروس بررسی می شوند.

راهنمای آموزش و شبیه ساز در فروشگاه آنلاین "انتگرال" برای درجه 8
راهنمای کتاب درسی Maravina G.K. کتابچه راهنمای کتاب AELIMOV SH.A.

تعیین یک درجه با شاخص منفی

ما به خوبی می دانیم که هر عدد در درجه صفر متحد است. $ a ^ 0 \u003d 1 $، $ ≠ $ 0.
سوال مطرح می شود، و چه اتفاقی خواهد افتاد اگر یک عدد را به صورت منفی ایجاد کنیم؟ به عنوان مثال، تعداد 2 دلار (- 2) $ چه خواهد شد؟
اولین ریاضیدانانی که توسط این موضوع تعیین شده بودند تصمیم گرفتند که یک دوچرخه را تخریب کنند، و این خوب است که تمام خواص درجه باقی می ماند. به عبارت دیگر، با ضرب درجه با همان پایه، شاخص های درجه بندی شده اند.
بیایید چنین موردی را در نظر بگیریم: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) \u003d 2 ^ (3-3) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
دریافت کرد که کار این تعداد باید یک واحد را ارائه دهد. واحد در کار با ضرب اعداد معکوس به دست می آید، یعنی $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) $.

چنین استدلالی به تعریف زیر منجر شد.
تعریف. اگر $ n $ یک عدد طبیعی و $ a ≠ 0 $ باشد، پس برابری انجام می شود: $ a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) $.

یک هویت مهم که اغلب استفاده می شود: $ (\\ frac (a) (b)) ^ (- n) \u003d (\\ frac (b) (a)) ^ n $.
به طور خاص، $ (\\ frac (1) (a)) ^ (- n) \u003d a ^ n $.

نمونه هایی از راه حل ها

تصمیم گیری
هر انطباق را به طور جداگانه در نظر بگیرید.
1. $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (2 * 2 * 2) \u003d \\ frac (1) (8) $.
2. $ (\\ frac (2) (5)) ^ (- 2) \u003d (\\ frac (5) (2)) ^ 2 \u003d \\ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d \\ frac (25) (4) $.
3. $ 8 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (8) $.
همچنان برای انجام عملیات افزودن و تفریق: $ \\ frac (1) (8) + \\ frac (25) (4) - \\ frac (1) (8) \u003d \\ frac (25) (4) \u003d 6 \\ frac ( 1) (4) $.
پاسخ: 6 دلار \\ frac (1) (4) $.

مثال 2
یک شماره مشخص را در قالب درجه ارائه کنید شماره ساده $ \\ frac (1) (729) $.

تصمیم گیری
بدیهی است، $ \\ frac (1) (729) \u003d 729 ^ (- 1) $.
اما 729 عدد ساده ای نیست که در 9 به پایان برسد. می توان فرض کرد که این تعداد درجه سه گانه است. به طور متوالی 729 تا 3 تقسیم می شود.
1) $ \\ frac (729) (3) \u003d 243 دلار؛
2) $ \\ frac (243) (3) \u003d 81 $؛
3) $ \\ frac (81) (3) \u003d 27 $؛
4) $ \\ frac (27) (3) \u003d 9 $؛
5) $ \\ frac (9) (3) \u003d 3 دلار؛
6) $ \\ frac (3) (3) \u003d 1 $.
شش عملیات انجام می شود و به این معنی است: 729 دلار \u003d 3 ^ $ 6.
برای کار ما:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
پاسخ: $ 3 ^ (- 6) $.

مثال 3. یک عبارت را در قالب درجه آماده کنید: $ \\ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $
تصمیم گیری اولین اقدام همیشه در داخل براکت ها، سپس ضرب $ \\ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) انجام می شود (a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1 ) \u003d \\ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5))) ) \u003d a ^ (-4 - (- 5)) \u003d a ^ (- 4 + 5) \u003d a $.
پاسخ: $ A $.

مثال 4. ثابت هویت:
$ (\\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.

تصمیم گیری
در قسمت چپ، هر کارخانه را در براکت جداگانه در نظر بگیرید.
1. $ \\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x frac ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \\ frac (y) (x)) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \\ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \\ frac (y) (x) + \\ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \\ frac (y ^ 2) (x)) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x ) \u003d \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (1) (x ^ 2) + \\ frac (1) (y ^ 2))) (x (\\ frac (x) (y) + \\ frac (y) (x))) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\\ frac (x ^ 2) (y) + y) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) (\\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y)) \u003d \\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \\ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) \u003d \\ frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \\ frac (y) (x ^ 2) \u003d \\ frac (y (y (x) ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. ما به کسری تقسیم می کنیم که ما تقسیم می کنیم.
$ \\ frac (1-X ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) \u003d \\ frac (1- \\ frac (y) (x)) (\\ frac (x) (y) +1 ) \u003d \\ frac (\\ frac (xy) (x)) (\\ frac (x + y) (y)) \u003d \\ frac (xy) (x) * \\ frac (y) (x + y) \u003d \\ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. انجام تقسیم.
$ \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \\ frac (y (xy)) (x (x + y)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \\ frac (x (x + y)) (y (xy)) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.
یک هویت واقعی دریافت کرد که لازم بود ثابت کند.

در پایان درس، ما یک بار دیگر قوانین عمل را با درجه بندی می کنیم، در اینجا نشانگر یک عدد صحیح است.
$ a ^ s * a ^ t \u003d a ^ (s + t) $.
$ \\ frac (a ^ s) (a ^ t) \u003d a ^ (s-t) $.
$ (a ^ s) ^ t \u003d a ^ (st) $.
$ (ab) ^ s \u003d a ^ s * b ^ s $.
$ (\\ frac (a) (b)) ^ s \u003d \\ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

وظایف برای راه حل های خود

ساخت یک درجه منفی یکی از عناصر اصلی ریاضیات است که اغلب در حل مشکلات جبری یافت می شود. در زیر یک دستورالعمل دقیق است.

چگونه برای ساخت درجه منفی - نظریه

هنگامی که ما یک عدد به درجه ای منظم هستیم، ارزش آن چندین بار ارزش آن را افزایش می دهیم. به عنوان مثال، 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. با یک کسر منفی، راه دیگری در اطراف. نمای کلی فرمول فرم زیر را دارد: a -n \u003d 1 / a n. بنابراین، به منظور ایجاد یک عدد به درجه منفی، لازم است که واحد را به یک شماره داده شده تقسیم کنیم، اما به درجه مثبت.

نحوه ساخت درجه منفی - نمونه هایی از اعداد متعارف

برگزاری قانون فوق در ذهن، چند مثال را حل کنید.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
پاسخ: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
پاسخ -4 -2 \u003d 1/16.

اما چرا پاسخ در نمونه های اول و دوم همان است؟ واقعیت این است که وقتی تعداد منفی به درجه حقیقی (2، 4، 6، و غیره) احداث می شود، علامت مثبت می شود. اگر درجه حتی بود، سپس منهای حفظ شده:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

چگونه برای ساخت درجه منفی - اعداد از 0 تا 1

به یاد بیاورید زمانی که شماره در یک فاصله از 0 تا 1 به درجه مثبت تنظیم می شود، مقدار با افزایش درجه کاهش می یابد. به عنوان مثال، 0.5 2 \u003d 0.25. 0.25.< 0,5. В случае с درجه منفی همه چیز مخالف است هنگامی که تعداد دهدهی (کسری) به درجه منفی تنظیم می شود، ارزش افزایش می یابد.

مثال 3: محاسبه 0.5 -2
راه حل: 0.5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
پاسخ: 0.5 -2 \u003d 4

فاجعه (دنباله ای از اقدامات):

• ما قطر دهدهی 0.5 را به 1/2 تقسیم می کنیم. خیلی ساده تر.
  ما 1/2 را به درجه منفی ساختیم. 1 / (2) -2. Delim 1 به 1 / (2) 2، ما 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4 به دست می آوریم

مثال 4: محاسبه 0.5 -3
راه حل: 0.5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

مثال 5: محاسبه -0.5 -3
راه حل: -0.5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
پاسخ: -0.5 -3 \u003d -8

بر اساس نمونه های چهارم و پنجم، ما چند نتیجه گیری خواهیم کرد:

• برای یک عدد مثبت در فاصله 0 تا 1 (مثال 4)، که به درجه منفی احداث می شود، پارگی یا شمارش معیار درجه مهم نیست، ارزش بیان مثبت خواهد بود. در عین حال، درجه بیشتر، ارزش بیشتر است.
• برای یک عدد منفی در فاصله 0 تا 1 (مثال 5)، که به درجه منفی، زوج یا دقت درجه غیر مهم، ارزش بیان منفی خواهد بود. در عین حال، درجه بیشتر، ارزش کمتر است.

چگونگی ساخت درجه منفی - درجه به صورت یک عدد جزئی

عبارات این نوع فرم زیر را دارند: A -M / N، که در آن یک عدد رایج است، M یک عدد است، n یک نامزد است.

یک مثال را در نظر بگیرید:
محاسبه: 8 -1/3

راه حل (دنباله ای از اقدامات):

• به یاد داشته باشید حاکمیت نعوظ در درجه منفی. ما دریافت می کنیم: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• توجه داشته باشید، در شماره معکوس شماره 8 در درجه کسری است. نوع کلی محاسبه درجه کسری است: a m / n \u003d n √8 m.
• بنابراین، 1 / \u200b\u200b(8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). ما یک ریشه مکعبی هشت را دریافت می کنیم که 2. بر اساس این، 1 / \u200b\u200b(8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• پاسخ: 8 -1/3 \u003d 2