ریشه نهم عدد x یک عدد غیر منفی z است که وقتی به توان n افزایش یابد ، x می شود. تعریف ریشه در لیست عملیات اساسی حساب ، که در دوران کودکی با آنها آشنا می شویم ، گنجانده شده است.

نماد ریاضی

"ریشه" از کلمه لاتین radix سرچشمه گرفته است و امروزه کلمه "radical" به عنوان مترادف این اصطلاح ریاضی استفاده می شود. از قرن سیزدهم ، ریاضیدانان عملیات استخراج ریشه را با حرف r با نوار افقی بالای عبارت رادیکال نشان می دهند. در قرن 16 ، نام V معرفی شد ، که به تدریج جایگزین علامت r شد ، اما خط افقی باقی ماند. تایپ کردن یا نوشتن با دست آسان است ، اما به راحتی نسخه های الکترونیکیو برنامه نویسی گسترش یافته است تعیین نامهریشه - sqrt به این ترتیب ما در این مقاله ریشه های مربع را مشخص می کنیم.

ریشه دوم

رادیکال مربعی یک عدد x یک عدد z است که وقتی در خود ضرب شود x می شود. به عنوان مثال ، اگر 2 را در 2 ضرب کنیم ، 4 را بدست می آوریم. دو در این مورد ریشه مربع چهار است. 5 را در 5 ضرب کنید ، 25 می گیریم ، و در حال حاضر ما مقدار عبارت sqrt (25) را می دانیم. ما می توانیم و - 12 را در 12 multip ضرب کرده و 144 بدست آوریم ، و رادیکال 144 هم 12 و هم 12 است. بدیهی است که ریشه های مربعی می توانند اعداد مثبت و منفی باشند.

نوع دوگانگی چنین ریشه هایی برای حل اهمیت دارد معادلات درجه دومبنابراین ، هنگام جستجوی پاسخ در چنین مشکلاتی ، باید هر دو ریشه را مشخص کنید. هنگام تصمیم گیری عبارات جبریاز ریشه های مربعی حسابی استفاده می شود ، یعنی فقط مقادیر مثبت آنها.

به اعدادی که ریشه های مربعی آنها کامل است ، مربع کامل گفته می شود. یک دنباله کامل از چنین اعدادی وجود دارد که ابتدای آن به شرح زیر است:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

ریشه های مربعی سایر اعداد اعداد غیر منطقی هستند. به عنوان مثال ، sqrt (3) = 1.73205080757 ... و غیره. این عدد نامتناهی است و دوره ای نیست ، که در محاسبه چنین رادیکال هایی مشکلاتی ایجاد می کند.

ریاضیات دبیرستان بیان می کند که نمی توان از اعداد منفی ریشه های مربع استخراج کرد. همانطور که در دوره دانشگاهی متانالیز یاد می گیریم ، این کار می تواند و باید انجام شود - برای این منظور ، اعداد پیچیده مورد نیاز است. با این حال ، برنامه ما برای استخراج مقادیر واقعی ریشه ها طراحی شده است ، بنابراین حتی رادیکال ها را از اعداد منفی محاسبه نمی کند.

ریشه مکعبی

رادیکال مکعبی یک عدد x یک عدد z است که وقتی سه بار در خود ضرب شود ، عدد x را می دهد. به عنوان مثال ، اگر 2 × 2 × 2 را ضرب کنیم ، 8 را بدست می آوریم. بنابراین ، دو ریشه مکعب هشت است. چهار را در خود سه بار ضرب می کنیم ، 4 × 4 × 4 = 64 به دست می آوریم. بدیهی است که چهار ریشه مکعب 64 است. یک دنباله بی نهایت از اعداد وجود دارد که رادیکالهای مکعبی آنها عدد صحیح هستند. شروع آن به نظر می رسد:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

برای بقیه اعداد ، ریشه مکعب اعداد غیر منطقی هستند. بر خلاف رادیکال های مربعی ، ریشه های مکعبی ، مانند هر ریشه عجیب و غریب ، می توانند از اعداد منفی استخراج شوند. همه چیز در مورد حاصل ضرب اعداد است کمتر از صفر... منهای منفی منافع می بخشد - قانونی که در مدرسه شناخته شده است. و یک منهای مثبت - یک منفی می دهد. اگر اعداد منفی را چند بار ضرب کنیم ، نتیجه نیز منفی خواهد بود ، بنابراین ، رادیکال فرد را از عدد منفیهیچ چیز ما را اذیت نمی کند

با این حال ، برنامه ماشین حساب متفاوت عمل می کند. در اصل ، استخراج ریشه یک تقویت معکوس است. ریشه مربعی به عنوان توان 1/2 و ریشه مکعبی به عنوان 1/3 در نظر گرفته می شود. فرمول افزایش 1/3 را می توان تغییر داد و به صورت 2/6 بیان کرد. نتیجه یکسان است ، اما شما نمی توانید چنین ریشه ای را از یک عدد منفی استخراج کنید. بنابراین ، ماشین حساب ما فقط ریشه های حسابی را از اعداد مثبت محاسبه می کند.

ریشه نهم

چنین روشی پرآوازه برای محاسبه رادیکال ها به شما امکان می دهد ریشه های هر درجه را از هر عبارت تعیین کنید. می توانید ریشه پنجم مکعب یک عدد یا رادیکال نوزدهم قدرت دوازدهم را استخراج کنید. همه اینها به زیبایی در قالب افزایش به ترتیب به قدرت 3/5 یا 12/19 پیاده سازی می شوند.

بیایید یک مثال را در نظر بگیریم

مورب یک مربع

غیرمنطقی بودن مورب یک مربع برای یونانیان باستان شناخته شده بود. آنها با مشکل محاسبه مورب یک مربع مسطح مواجه شدند ، زیرا طول آن همیشه متناسب با ریشه دو است. فرمول تعیین طول مورب برگرفته شده و در نهایت به شکل زیر است:

d = a × sqrt (2).

بیایید با ماشین حساب خود رادیکال مربع دو را پیدا کنیم. بیایید مقدار 2 را در سلول "Number (x)" و همچنین "Power (n)" 2. در نتیجه عبارت sqrt (2) = 1.4142 را بدست آوریم. بنابراین ، برای برآورد تقریبی مورب یک مربع ، کافی است ضلع آن را در 1.4142 ضرب کنید.

نتیجه

جستجوی یک رادیکال یک عملیات حسابی استاندارد است که بدون آن محاسبات علمی یا طراحی ضروری نیست. البته ، برای حل مشکلات روزمره نیازی به تعیین ریشه ها نداریم ، اما ماشین حساب آنلاین ما مطمئناً برای دانش آموزان مدرسه یا دانش آموزان مفید خواهد بود تا تکالیف خانه را در جبر یا تحلیل ریاضی بررسی کنند.

زمان جدا شدن فرا رسیده است روشهای استخراج ریشه... آنها بر اساس خواص ریشه ها ، به ویژه برابری ، که برای هر عدد غیر منفی b معتبر است ، بنا شده اند.

در زیر به نوبه خود نگاهی به روشهای اصلی استخراج ریشه می اندازیم.

بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم - استخراج ریشه از اعداد طبیعی با استفاده از جدول مربع ، جدول مکعب و غیره.

اگر جداول مربع ، مکعب و غیره در دسترس نیست ، بنابراین منطقی است که از روش استخراج ریشه استفاده کنید ، که متضمن تجزیه عدد رادیکال به عوامل اولیه است.

به طور جداگانه ، ارزش آن را دارد که در مورد ریشه ها با شاخص های عجیب و غریب صحبت کنیم.

در نهایت ، بیایید راهی را برای پیدا کردن ارقام ارزش ریشه به صورت متوالی بررسی کنیم.

بیایید شروع کنیم.

استفاده از جدول مربع ، جدول مکعب و غیره

در ساده ترین موارد می توانید از جداول مربع ، مکعب و ... برای استخراج ریشه استفاده کنید. این جداول چیست؟

جدول مربعات اعداد صحیح از 0 تا 99 شامل (در زیر نشان داده شده است) از دو ناحیه تشکیل شده است. اولین ناحیه جدول در زمینه خاکستری قرار دارد ، به شما امکان می دهد با انتخاب یک سطر خاص و یک ستون خاص ، عددی از 0 تا 99 ایجاد کنید. به عنوان مثال ، بیایید ردیف 8 ده ها و ستون 3 یک را انتخاب کنیم ، با این کار ما شماره 83 را ثابت کردیم. منطقه دوم بقیه جدول را اشغال می کند. هر یک از سلولهای آن در تقاطع یک ردیف خاص و یک ستون خاص واقع شده است و شامل مربع عدد مربوطه از 0 تا 99 است. در تقاطع ردیف انتخابی ما از 8 ده و ستون 3 از یک ، سلولی با شماره 6 889 وجود دارد که مربع عدد 83 است.

جداول مکعب ها ، جداول قدرتهای چهارم اعداد از 0 تا 99 و غیره مشابه جدول مربع ها هستند ، فقط آنها شامل مکعب ، قدرت چهارم و غیره در ناحیه دوم هستند. اعداد مربوطه

جداول مربع ، مکعب ، درجه چهارم و غیره به شما اجازه می دهد ریشه های مربعی ، ریشه های مکعبی ، ریشه های چهارم و غیره را استخراج کنید. به ترتیب از اعداد موجود در این جداول. اجازه دهید اصل کاربرد آنها را هنگام استخراج ریشه توضیح دهیم.

فرض کنیم باید ریشه n-th عدد a را استخراج کنیم ، در حالی که عدد a در جدول n-th power موجود است. از این جدول یک عدد b پیدا می کنیم که a = b n است. سپس بنابراین ، عدد b ریشه نهم مورد نیاز خواهد بود.

به عنوان مثال ، نشان می دهیم که چگونه ریشه مکعب 19،683 با استفاده از یک جدول مکعب مشتق شده است. ما عدد 19 683 را در جدول مکعب ها پیدا می کنیم ، از آن متوجه می شویم که این عدد مکعب شماره 27 است ، بنابراین ، .

واضح است که جداول قدرت n-th برای استخراج ریشه بسیار مناسب هستند. با این حال ، آنها اغلب در دسترس نیستند و گردآوری آنها به زمان خاصی نیاز دارد. علاوه بر این ، اغلب لازم است ریشه هایی از اعدادی که در جداول مربوطه موجود نیستند استخراج شود. در این موارد ، شما باید به روش های دیگر استخراج ریشه متوسل شوید.

فاکتورگیری اولیه یک عدد رادیکال

یک روش نسبتاً مناسب برای استخراج ریشه از یک عدد طبیعی (البته اگر ریشه استخراج شود) گسترش عدد رادیکال به عوامل اول است. خود ماهیت به شرح زیر است: پس از آن به اندازه کافی آسان است که به شکل یک قدرت با توان مورد نظر نمایش داده شود ، که به شما امکان می دهد مقدار ریشه را بدست آورید. اجازه دهید این نکته را روشن کنیم.

اجازه دهید ریشه n از یک عدد طبیعی a استخراج شود و مقدار آن برابر b باشد. در این مورد ، برابری a = b n صادق است. عدد b ، مانند هر عدد طبیعی ، می تواند حاصلضرب تمام عوامل اولیه آن باشد p 1 ، p 2 ، ... ، pm به شکل p 1 p 2 ... pm و عدد رادیکال a در این مورد به صورت (p 1 p 2 ·… · pm) n نمایش داده می شود. از آنجا که تجزیه یک عدد به عوامل اول منحصر به فرد است ، تجزیه عدد رادیکال a به عوامل اول شکل (p 1 · p 2 ·… · pm) n خواهد داشت که امکان محاسبه مقدار ریشه را فراهم می آورد. مانند.

توجه داشته باشید که اگر فاکتورگیری یک عدد رادیکال a به شکل (p 1 · p 2 ·… · p m) n نشان داده نشود ، ریشه n-th چنین عددی a بطور کامل استخراج نمی شود.

بگذارید هنگام حل مثال ها آن را بفهمیم.

مثال.

ریشه مربع 144 را بگیرید.

راه حل.

اگر به جدول مربعات داده شده در پاراگراف قبلی بپردازیم ، به وضوح مشاهده می شود که 144 = 12 2 ، از آنجا مشخص است که ریشه مربع 144 برابر 12 است.

اما با توجه به این نکته ، ما علاقه مند هستیم که چگونه ریشه با تجزیه عدد رادیکال 144 به عوامل اولیه استخراج می شود. بیایید این راه حل را تجزیه و تحلیل کنیم.

گسترش دهیم 144 با عوامل اصلی:

یعنی 144 = 2 2 2 2 3 3 3. بر اساس تجزیه به دست آمده ، تغییرات زیر را می توان انجام داد: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... از این رو ، .

با استفاده از خواص درجه و خواص ریشه ها ، محلول را می توان با روش کمی متفاوت فرموله کرد:

پاسخ:

برای تجمیع مطالب ، راه حل دو مثال دیگر را در نظر بگیرید.

مثال.

مقدار ریشه را محاسبه کنید.

راه حل.

عامل اصلی عدد رادیکال 243 243 = 3 5 است. بدین ترتیب، .

پاسخ:

مثال.

آیا ارزش ریشه یک عدد صحیح است؟

راه حل.

برای پاسخ به این س let'sال ، بیایید عدد رادیکال را به عوامل اول تجزیه کنیم و ببینیم آیا می توان آن را به صورت مکعب یک عدد صحیح نشان داد.

285 768 = 2 3 3 6 7 2 داریم. تجزیه حاصل به عنوان یک مکعب از یک عدد صحیح نمایش داده نمی شود ، زیرا درجه عامل اصلی 7 مضرب سه نیست. بنابراین ، ریشه مکعب شماره 285 768 به طور کامل استخراج نشده است.

پاسخ:

خیر

استخراج ریشه از اعداد کسری

وقت آن است که بفهمیم ریشه چگونه استخراج می شود عدد کسری... اجازه دهید عدد رادیکال کسری به صورت p / q نوشته شود. با توجه به ویژگی ریشه ضریب ، برابری زیر صادق است. این برابری دلالت بر آن دارد ریشه کسری: ریشه کسر برابر با ضریب تقسیم ریشه عدد بر ریشه مخرج است.

بیایید به نمونه ای از استخراج ریشه از کسر نگاه کنیم.

مثال.

ریشه مربع چیست کسر مشترک 25/169 .

راه حل.

از جدول مربع ها متوجه می شویم که ریشه مربع شمارنده کسر اصلی 5 و ریشه مربع مخرج 13 است. سپس ... این امر استخراج ریشه را از بخش مشترک 25/169 تکمیل می کند.

پاسخ:

ریشه یک عدد اعشاری یا مخلوط پس از جایگزینی اعداد رادیکال با کسرهای معمولی استخراج می شود.

مثال.

ریشه مکعب اعشاری 474.552 را استخراج کنید.

راه حل.

اصل را تصور کنید اعشاریبه عنوان کسر معمولی: 474.552 = 474552/1000. سپس ... باقی می ماند که ریشه های مکعب را که در شمارنده و مخرج کسر حاصله هستند استخراج کنیم. زیرا 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 و 1000 = 10 3 ، سپس و ... فقط برای تکمیل محاسبات باقی مانده است .

پاسخ:

.

استخراج ریشه یک عدد منفی

به طور جداگانه ، ارزش استخراج ریشه از اعداد منفی را دارد. هنگام مطالعه ریشه ها ، گفتیم که وقتی توان ریشه یک عدد فرد باشد ، یک عدد منفی می تواند زیر علامت ریشه باشد. ما چنین مدخلی را به این معنا بیان کرده ایم: برای عدد منفی −a و ضریب فرد ریشه 2n - 1 ، داریم ... این برابری می دهد قانون استخراج ریشه های فرد از اعداد منفی: برای استخراج ریشه یک عدد منفی ، باید ریشه عدد مثبت مخالف را استخراج کرده و علامت منفی را در مقابل نتیجه قرار دهید.

بیایید راه حل یک مثال را در نظر بگیریم.

مثال.

مقدار ریشه را پیدا کنید.

راه حل.

ما عبارت اصلی را طوری تغییر می دهیم که زیر علامت ریشه ظاهر شود عدد مثبت: ... اکنون شماره های درهمبا کسر معمولی جایگزین کنید: ... ما قانون استخراج ریشه از یک بخش معمولی را اعمال می کنیم: ... باقی مانده است که ریشه ها را در شمارنده و مخرج کسر حاصله محاسبه کنیم: .

در اینجا یک گزارش کوتاه از راه حل وجود دارد: .

پاسخ:

.

یافتن مقدار ریشه به صورت تدریجی

V مورد کلیدر زیر ریشه عددی وجود دارد که نمی توان آن را با n -th قدرت هر عددی با استفاده از تکنیک های مورد بحث در بالا نشان داد. اما در این مورد ، لازم است ارزش ریشه معین را حداقل با دقت تا یک علامت مشخص بدانیم. در این مورد ، برای استخراج ریشه ، می توانید از الگوریتمی استفاده کنید که به شما امکان می دهد به طور متوالی به دست آورید کافیمقادیر ارقام عدد مورد نیاز

در اولین گام این الگوریتم ، باید مشخص کنید که مهمترین مقدار ارزش ریشه چیست. بدین منظور ، اعداد 0 ، 10 ، 100 ، ... پی در پی به توان n افزایش می یابد تا زمانی که عددی بیش از عدد رادیکال دریافت شود. سپس عددی که در مرحله قبل به توان n رسانده ایم ، مهمترین بیت مربوطه را نشان می دهد.

برای مثال ، این مرحله از الگوریتم را هنگام استخراج در نظر بگیرید ریشه دوماز پنج اعداد 0 ، 10 ، 100 ، ... را گرفته و آنها را به صورت مربع در می آوریم تا به عددی بزرگتر از 5 برسیم. 0 0 = 0 داریم<5 , 10 2 =100>5 ، به این معنی که مهمترین بیت مکان واحد است. مقدار این بیت ، و موارد زیر ، در مراحل بعدی الگوریتم استخراج ریشه یافت می شود.

تمام مراحل بعدی الگوریتم با هدف پالایش متوالی ارزش ریشه به دلیل این واقعیت است که مقادیر ارقام بعدی مقدار مورد نظر ریشه یافت می شود ، با مهمترین شروع می شود و به سمت کمترین حرکت می کند موارد مهم به عنوان مثال ، مقدار ریشه در مرحله اول 2 ، در مرحله دوم - 2.2 ، در مرحله سوم - 2.23 و به همین ترتیب 2.236067977…. اجازه دهید نحوه یافتن مقادیر ارقام را شرح دهیم.

پیدا کردن ارقام با شمارش مقادیر احتمالی آنها 0 ، 1 ، 2 ، ... ، 9 انجام می شود. در این حالت ، قدرتهای n-th اعداد مربوطه به طور موازی محاسبه می شوند و با عدد رادیکال مقایسه می شوند. اگر در یک مرحله ارزش درجه از عدد رادیکال فراتر رود ، مقدار رقم مربوط به مقدار قبلی در نظر گرفته می شود و اگر به این صورت نباشد ، مرحله بعدی الگوریتم برای استخراج ریشه انجام می شود. اتفاق می افتد ، سپس مقدار این رقم 9 است.

اجازه دهید این نکات را با همان مثال استخراج ریشه مربع پنج توضیح دهیم.

ابتدا مقدار رقم one را پیدا می کنیم. ما روی مقادیر 0 ، 1 ، 2 ،… ، 9 تکرار می کنیم و به ترتیب 0 2 ، 1 2 ،… ، 9 2 را محاسبه می کنیم تا زمانی که مقداری بیشتر از شماره ریشه 5 بدست آوریم. همه این محاسبات به راحتی در قالب یک جدول ارائه شده است:

بنابراین مقدار رقم یکها 2 است (از 2 2<5 , а 2 3 >5) ما به یافتن مقدار رقم دهم می پردازیم. در این مورد ، ما اعداد 2.0 ، 2.1 ، 2.2 ، ... ، 2.9 را مربع می کنیم و مقادیر بدست آمده را با عدد رادیکال 5 مقایسه می کنیم:

از 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 ، مقدار رقم اعشاری 2 است. می توانید به دنبال یافتن مقدار صدم ها باشید:

بنابراین پیدا شد مقدار بعدیریشه پنج ، برابر 2.23 است. و بنابراین می توانید مقادیر بیشتری را پیدا کنید: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

برای تجمیع مواد ، استخراج ریشه را با دقت صدم ها با استفاده از الگوریتم در نظر گرفته شده تجزیه و تحلیل می کنیم.

ابتدا مهمترین بیت را تعیین می کنیم. برای انجام این کار ، اعداد 0 ، 10 ، 100 و غیره را مکعب می کنیم. تا به عددی بزرگتر از 2،151،186 برسیم. 0 0 = 0 داریم<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 ، بنابراین مهمترین رقم رقم ده ها است.

بیایید معنی آن را تعریف کنیم.

از 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 ، سپس مقدار رقم دهها 1 است. بیایید به سراغ واحدها برویم.

بنابراین ، ارزش مکان واحدها 2 است. حرکت به سمت دهم.

از آنجا که حتی 12.9 3 کمتر از عدد رادیکال 2 151.186 است ، ارزش مکان دهم 9 است. باقی مانده است که آخرین مرحله الگوریتم را انجام دهیم ، این مقدار ریشه را با دقت مورد نیاز به ما می دهد.

در این مرحله ، ارزش ریشه با دقت صدم ها پیدا می شود: .

در خاتمه این مقاله ، می خواهم بگویم که راه های بسیار دیگری برای استخراج ریشه وجود دارد. اما برای اکثر وظایف ، مواردی که در بالا مطالعه کردیم کافی است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Makarychev Yu.N. ، Mindyuk N.G. ، Neshkov K.I. ، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی برای پایه 8 موسسات آموزشی
• Kolmogorov A.N. ، Abramov A.M. ، Dudnitsyn Yu.P. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاسهای 10 تا 11 موسسات آموزشی.
• گوسف V.A. ، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای متقاضیان مدارس فنی).

ماشین حساب مهندسی آنلاین

ما عجله داریم که یک ماشین حساب مهندسی رایگان را به همه ارائه دهیم. با کمک آن ، هر دانش آموزی می تواند به سرعت و از همه مهمتر به راحتی انواع محاسبات ریاضی را بصورت آنلاین انجام دهد.

یک ماشین حساب مهندسی ساده و آسان با یک رابط کاربری محرمانه و قابل درک واقعاً برای گسترده ترین حلقه کاربران اینترنت مفید خواهد بود. اکنون ، هنگامی که به ماشین حساب احتیاج دارید ، از وب سایت ما دیدن کنید و از یک ماشین حساب مهندسی رایگان استفاده کنید.

یک ماشین حساب مهندسی قادر به انجام عملیات محاسباتی ساده و محاسبات ریاضی نسبتاً پیچیده است.

Web20calc یک ماشین حساب مهندسی است که دارای تعداد زیادی توابع است ، برای مثال نحوه محاسبه همه توابع ابتدایی. ماشین حساب همچنین از توابع مثلثاتی ، ماتریس ها ، لگاریتم ها و حتی نمودار پشتیبانی می کند.

بدون شک ، Web20calc برای گروهی از افرادی که در جستجوی راه حل های ساده ، یک پرس و جو در موتورهای جستجو تایپ می کنند ، مورد توجه قرار خواهد گرفت: یک ماشین حساب ریاضی آنلاین. یک برنامه وب رایگان به شما کمک می کند تا فوراً نتیجه برخی از عبارت های ریاضی را محاسبه کنید ، به عنوان مثال ، تفریق ، اضافه ، تقسیم ، استخراج ریشه ، افزایش قدرت و غیره.

در عبارت ، می توانید از عملیات افزایش ، جمع ، تفریق ، ضرب ، تقسیم ، درصد ، PI ثابت استفاده کنید. برای محاسبات پیچیده ، از پرانتز استفاده کنید.

ویژگی های ماشین حساب مهندسی:

1. عملیات ریاضی اساسی ؛
2. با اعداد به صورت استاندارد کار کنید.
3. محاسبه ریشه های مثلثاتی ، توابع ، لگاریتم ها ، افزایش.
4. محاسبات آماری: جمع ، میانگین حسابی یا انحراف معیار.
5. استفاده از سلول حافظه و توابع تعریف شده توسط کاربر از 2 متغیر.
6. با زاویه ها در اندازه های رادیان و درجه کار کنید.

ماشین حساب مهندسی به شما امکان می دهد از انواع توابع ریاضی استفاده کنید:

استخراج ریشه ها (ریشه مربع ، مکعب و ریشه نهم) ؛
ex (e به توان x) ، توان
توابع مثلثاتی: سینوس - گناه ، کسینوس - cos ، مماس - برنزه ؛
توابع معکوس مثلثاتی: arcsine - sin -1 ، arccosine - cos -1 ، arctangent - tan -1 ؛
توابع هذلولی: سینوس - sinh ، کسینوس - cosh ، مماس - tanh ؛
لگاریتم ها: لگاریتم دوتایی مبنای دو - log2x ، لگاریتم اعشاری مبنای ده - لاگ ، لگاریتم طبیعی - ln.

این ماشین حساب مهندسی همچنین شامل یک ماشین حساب کمیت با قابلیت تبدیل مقادیر فیزیکی برای سیستم های مختلف اندازه گیری - واحد های رایانه ، فاصله ، وزن ، زمان و غیره است. با استفاده از این عملکرد ، می توانید مایل ها را به کیلومتر ، پوند را به کیلوگرم ، ثانیه را به ساعت و غیره تبدیل کنید.

برای انجام محاسبات ریاضی ، ابتدا دنباله ای از عبارات ریاضی را در قسمت مناسب وارد کنید ، سپس بر روی علامت برابر کلیک کنید و نتیجه را ببینید. می توانید مقادیر را مستقیماً از صفحه کلید وارد کنید (برای این منظور ، محاسبه گر باید فعال باشد ، بنابراین قرار دادن مکان نما در قسمت ورودی اضافی نخواهد بود). از جمله موارد دیگر ، می توان داده ها را با استفاده از دکمه های ماشین حساب وارد کرد.

برای ساخت نمودارها ، تابع را در قسمت ورودی همانطور که در قسمت ذکر شده است با مثال بنویسید یا از نوار ابزار مخصوص طراحی شده استفاده کنید (برای رفتن به آن ، روی دکمه با نماد در قالب نمودار کلیک کنید). برای تبدیل مقادیر Unit ، برای کار با ماتریس - ماتریس را فشار دهید.

قبل از ظهور ماشین حساب ها ، دانش آموزان و معلمان ریشه های مربعی را با دست محاسبه می کردند. چندین روش برای محاسبه دستی ریشه مربع یک عدد وجود دارد. برخی از آنها فقط یک راه حل تقریبی ارائه می دهند ، برخی دیگر یک پاسخ دقیق ارائه می دهند.

مراحل

فاکتورسازی اولیه

عدد رادیکال مربع را فاکتور بگیرید.بسته به شماره ریشه ، یک پاسخ تقریبی یا دقیق دریافت خواهید کرد. اعداد مربعی اعدادی هستند که می توان از آنها یک ریشه کامل استخراج کرد. عوامل اعدادی هستند که در صورت ضرب ، عدد اصلی را می دهند. به عنوان مثال ، فاکتورهای 8 2 و 4 هستند ، زیرا 2 x 4 = 8 ، 25 ، 36 ، 49 اعداد مربعی هستند ، زیرا √25 = 5 ، √36 = 6 ، √49 = 7. عوامل مربعی عواملی هستند که اعداد مربعی ابتدا سعی کنید عدد ریشه را مربع کنید.

• به عنوان مثال ، ریشه مربع 400 (با دست) را محاسبه کنید. سعی کنید ابتدا مربع 400 را قرار دهید. 400 مضرب 100 است ، یعنی بر 25 بخش پذیر است - این یک عدد مربع است. اگر 400 را بر 25 تقسیم کنید ، 16. می گیرید 16 نیز یک عدد مربع است. بنابراین ، 400 را می توان در فاکتورهای مربع 25 و 16 در نظر گرفت ، یعنی 25 16 16 = 400.
• می توان آن را به شرح زیر نوشت: √400 = √ (16 25 25).

1. ریشه مربعی حاصل ضرب برخی از اصطلاحات برابر است با حاصلضرب ریشه های مربعی هر عبارت ، یعنی √ (a x b) = √a x √b. از این قانون استفاده کنید و ریشه مربعی هر عامل مربع را گرفته و نتایج را ضرب کنید تا پاسخ خود را بیابید.

   • در مثال ما ، ریشه 25 و 16 را استخراج کنید.
     • √ (25 16 16)
     • √25 √ 16
     • 5 x 4 = 20

2. اگر عدد رادیکال به دو عامل مربع تجزیه نشود (و این در بیشتر موارد اتفاق می افتد) ، نمی توانید پاسخ دقیق را در قالب یک عدد صحیح بیابید. اما می توانید با تجزیه عدد ریشه رادیکال به یک عامل مربع و یک عامل معمولی (عددی که کل ریشه مربع از آن استخراج نمی شود) مشکل را ساده کنید. سپس ریشه مربعی عامل مربع را می گیرید و ریشه عامل معمولی را نیز می گیرید.

   • به عنوان مثال ، ریشه مربع عدد 147 را محاسبه کنید ، عدد 147 را نمی توان در دو عامل مربعی در نظر گرفت ، اما می توان آن را در عوامل زیر در نظر گرفت: 49 و 3. مسئله را به صورت زیر حل کنید:
     • = √ (49 3 3)
     • = √49 √ 3
     • = 7√3

3. در صورت لزوم ، ارزش ریشه را ارزیابی کنید.اکنون می توانید مقدار ریشه را تخمین بزنید (مقدار تقریبی را بیابید) با مقایسه ریشه های اعداد مربعی که نزدیکترین (در دو طرف خط عدد) به شماره ریشه هستند. مقدار ریشه را به صورت کسر اعشاری دریافت خواهید کرد ، که باید در عدد پشت علامت ریشه ضرب شود.

   • به مثال خود بازگردیم. عدد رادیکال 3. نزدیکترین اعداد مربعی به آن اعداد 1 (√1 = 1) و 4 (√4 = 2) خواهد بود. بنابراین √3 بین 1 و 2. از آنجا که √3 احتمالاً به 2 نزدیک تر از 1 است ، تخمین ما √3 = 1.7 است. ما این مقدار را در عدد ریشه ضرب می کنیم: 7 x 1.7 = 11.9. اگر محاسبات را با ماشین حساب انجام دهید ، 12.13 دریافت می کنید که تقریباً به پاسخ ما نزدیک است.
     • این روش همچنین با تعداد زیادی کار می کند. به عنوان مثال ، 35 √ را در نظر بگیرید. شماره ریشه 35 است. نزدیکترین اعداد مربعی به آن اعداد 25 (5 = 25) و 36 (6 = 36 -) خواهد بود. بنابراین √35 بین 5 و 6 است از آنجا که √35 بسیار نزدیک به 6 است تا 5 (زیرا 35 فقط 1 کمتر از 36 است) ، می توانیم بگوییم که √35 کمی کمتر از 6 است. بررسی ماشین حساب به ما می دهد پاسخ 5.92 - ما درست گفتیم.

4. راه دیگر این است که عدد رادیکال را به عوامل اول تبدیل کنیم.عوامل اول اعدادی هستند که فقط بر 1 و بر خود تقسیم می شوند. عوامل اصلی را در یک ردیف بنویسید و جفت عوامل یکسان را بیابید. چنین عواملی را می توان خارج از علامت ریشه قرار داد.

   • برای مثال ، ریشه مربع 45 را محاسبه کنید. ما عدد رادیکال را به عوامل اول تجزیه می کنیم: 45 = 9 5 5 و 9 = 3 3. 3. بنابراین ، √45 = √ (3 3 3 5 5). 3 را می توان خارج از علامت اصلی گرفت: √45 = 3√5. حالا می توانید √ 5 را تخمین بزنید.
   • به مثال دیگری توجه کنید: √88.
     • = √ (2 44 44)
     • = √ (2 4 4 11 11)
     • = √ (2 2 2 2 2 11 11). شما سه ضرب 2 دارید ؛ چند عدد از آنها را بردارید و آنها را خارج از علامت ریشه قرار دهید.
     • = 2√ (2 11 11) = 2√2 √ √11. اکنون می توانید √2 و √11 را ارزیابی کرده و یک پاسخ تقریبی پیدا کنید.

   ریشه مربع را به صورت دستی محاسبه کنید

   تقسیم طولانی

   1. این روش شامل فرایندی شبیه تقسیم طولانی است و پاسخ دقیقی می دهد.ابتدا یک خط عمودی که ورق را به دو نیمه تقسیم می کند بکشید و سپس به سمت راست و کمی زیر لبه بالای ورق ، یک خط افقی به خط عمودی بکشید. حالا عدد رادیکال شده را به جفت اعداد تقسیم کنید ، با قسمت کسری بعد از اعشار شروع کنید. بنابراین ، شماره 79520789182.47897 به صورت "7 95 20 78 91 82 ، 47 89 70" نوشته شده است.

      • برای مثال ، بیایید ریشه مربع 780.14 را محاسبه کنیم. دو خط بکشید (همانطور که در تصویر نشان داده شده است) و در بالا سمت چپ عدد داده شده را "7 80 ، 14" بنویسید. طبیعی است که اولین رقم از سمت چپ یک رقم جفت نشده باشد. پاسخ (ریشه شماره داده شده) در بالا سمت راست نوشته می شود.

   2. برای اولین جفت اعداد (یا یک عدد) در سمت چپ ، بزرگترین عدد صحیح n را پیدا کنید که مربع آن کمتر یا مساوی جفت اعداد (یا یک عدد) مورد نظر است. به عبارت دیگر ، عدد مربعی را که نزدیکتر اما کمتر از اولین جفت اعداد (یا یک عدد) در سمت چپ است ، بیابید و ریشه مربع آن عدد مربع را استخراج کنید. شما عدد n را دریافت می کنید n یافت شده را در بالا سمت راست و مربع n را در پایین سمت راست بنویسید.

      • در مورد ما ، اولین عدد در سمت چپ عدد 7 خواهد بود. بعد ، 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. مربع عدد n را که تازه پیدا کرده اید از اولین جفت اعداد سمت چپ (یا یک عدد) کم کنید.نتیجه محاسبه را با تفریق (مربع عدد n) بنویسید.

      • در مثال ما ، 4 را از 7 کم کنید تا به 3 برسید.

   4. جفت دوم اعداد را پایین بکشید و آن را نزدیک مقدار بدست آمده در مرحله قبل بنویسید.سپس عدد را از بالا سمت راست دو برابر کرده و نتیجه را با افزودن "_ × _ =" در پایین سمت راست بنویسید.

      • در مثال ما ، جفت دوم اعداد "80" است. بعد از 3. "80" را بنویسید ، سپس عدد را در بالا سمت راست دو برابر کنید 4. در پایین سمت راست "4_ × _ =" را بنویسید.

   5. خط تیره سمت راست را پر کنید.

      • در مورد ما ، اگر به جای خط تیره عدد 8 را قرار دهیم ، 48 * 8 = 384 ، که بیش از 380 است. بنابراین ، 8 یک عدد بسیار بزرگ است ، اما 7 این کار را می کند. 7 را به جای خط تیره بنویسید و بدست آورید: 47 x 7 = 329. 7 را از بالا سمت راست بنویسید - این دومین رقم در ریشه مربع مورد نیاز 780.14 است.

   6. عدد حاصله را از عدد فعلی سمت چپ کم کنید.نتیجه مرحله قبل را زیر شماره فعلی سمت چپ ثبت کنید ، تفاوت را بیابید و آن را در زیر کسر شده بنویسید.

      • در مثال ما ، 329 را از 380 که 51 است ، کم کنید.

   7. مرحله 4 را تکرار کنید.اگر جفت اعداد تخریب شده جزء کسری شماره اصلی است ، سپس جداکننده (کاما) قسمت های صحیح و کسری را در ریشه مربعی مورد نظر از بالا سمت راست قرار دهید. در سمت چپ ، جفت بعدی اعداد را به پایین بکشید. عدد بالا سمت راست را دو برابر کرده و نتیجه را در پایین سمت راست با "_ × _ =" اضافه کنید.

      • در مثال ما ، جفت بعدی اعدادی که باید از بین بروند ، قسمت کسری عدد 780.14 خواهد بود ، بنابراین جداکننده قسمت های صحیح و کسری را در ریشه مربعی مورد نظر در بالا سمت راست قرار دهید. 14 را بردارید و در پایین سمت چپ بنویسید. عدد دو برابر شده در بالا سمت راست (27) 54 است ، بنابراین "54_ × _ =" را در پایین سمت راست بنویسید.

   8. مراحل 5 و 6 را تکرار کنید.بزرگترین عدد را به جای خط تیره سمت راست بیابید (به جای خط تیره ، باید همان عدد را جایگزین کنید) تا نتیجه ضرب کمتر یا مساوی با عدد فعلی سمت چپ باشد.

      • در مثال ما ، 549 x 9 = 4941 ، که کمتر از عدد فعلی در سمت چپ (5114) است. 9 را در بالا سمت راست بنویسید و ضرب را از عدد فعلی سمت چپ کم کنید: 5114 - 4941 = 173.

   9. در صورت نیاز به یافتن اعشاری بیشتر برای ریشه مربع ، چند عدد صفر در عدد فعلی سمت چپ بنویسید و مراحل 4 ، 5 و 6 را تکرار کنید تا زمانی که به دقت مورد نظر خود برسید (تعداد اعشار اعشاری) مراحل را تکرار کنید. )

   درک روند

   برای تسلط بر این روش ، عددی را تصور کنید که ریشه آن به عنوان مساحت مربع S. است. در این حالت ، شما به دنبال طول ضلع L چنین مربعی خواهید بود. ما مقدار L را محاسبه می کنیم که برای آن L² = S است.

   در پاسخ به هر رقم یک حرف بدهید.اجازه دهید با A اولین رقم در مقدار L (ریشه مربع مورد نیاز) را نشان دهیم. B رقم دوم ، C سوم و غیره خواهد بود.

   برای هر جفت رقم اول یک حرف مشخص کنید.اجازه دهید با S a اولین جفت رقم در مقدار S ، با S b - جفت دوم ارقام و غیره را نشان دهیم.

   رابطه بین این روش و تقسیم طولانی را درک کنید.همانطور که در عمل تقسیم ، جایی که ما هر بار فقط به یک رقم بعدی از عدد مورد نظر علاقه داریم ، هنگام محاسبه ریشه مربع ، ما به طور متوالی با یک جفت رقم کار می کنیم (برای بدست آوردن یک رقم بعدی در مقدار ریشه دوم).

   1. اولین جفت رقم Sa از عدد S را در نظر بگیرید (در مثال ما Sa = 7) و ریشه مربع آن را بیابید.در این مورد ، اولین رقم A از مقدار ریشه مربع مورد نظر چنین رقمی خواهد بود که مربع آن کمتر یا مساوی S a است (یعنی ما به دنبال A هستیم تا نابرابری A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • فرض کنید می خواهید 88962 را بر 7 تقسیم کنید. در اینجا اولین قدم مشابه خواهد بود: ما اولین رقم سود تقسیمی 88962 (8) را در نظر می گیریم و بزرگترین عددی را انتخاب می کنیم که وقتی در 7 ضرب می شود ، مقداری کمتر یا مساوی 8 بدست می آورد. یعنی ، ما به دنبال عددی d که نابرابری برای آن صادق است: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. مربعی را تصور کنید که مساحت آن را باید محاسبه کنید.شما به دنبال L هستید ، یعنی طول ضلع مربعی که مساحت آن S. A ، B ، C رقمی در عدد L. است ، می توانید آن را متفاوت بنویسید: 10A + B = L (برای دو- شماره رقمی) یا 100A + 10B + C = L (برای شماره سه رقمی) و غیره.

      • بگذار باشد (10A + B) = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B²... به یاد داشته باشید که 10A + B عددی است که در آن B مخفف one و A مخفف ده ها است. به عنوان مثال ، اگر A = 1 و B = 2 ، پس 10A + B برابر 12 است. (10A + B)مساحت کل مربع است ، 100A²- مساحت مربع بزرگ داخلی ، B²- مساحت مربع کوچک داخلی ، 10A × Bمساحت هر یک از دو مستطیل است. با افزودن مساحت اشکال توصیف شده ، مساحت مربع اصلی را پیدا خواهید کرد.

دستورالعمل ها

برای افزایش یک عدد به توان 1/3 ، آن عدد را وارد کنید ، سپس بر روی دکمه توان افزایی کلیک کرده و مقدار تقریبی 1/3 - 0.333 را تایپ کنید. این دقت برای اکثر محاسبات کافی است. با این حال ، به راحتی می توان دقت محاسبات را بهبود بخشید - کافی است تعداد سه گانه هایی را که بر روی نشانگر ماشین حساب مناسب است (به عنوان مثال ، 0.3333333333333333) اضافه کنید. سپس دکمه "=" را فشار دهید.

برای محاسبه ریشه توان سوم با استفاده از رایانه ، برنامه ماشین حساب Windows را راه اندازی کنید. روش محاسبه ریشه درجه سوم کاملاً مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد است. تنها تفاوت در طراحی دکمه افزایش سرعت است. بر روی صفحه کلید مجازی ماشین حساب برچسب "x ^ y" دارد.

ریشه درجه سوم را می توان در MS Excel محاسبه کرد. برای انجام این کار ، "=" را در هر سلول وارد کرده و نماد "insert" (fx) را انتخاب کنید. در پنجره ظاهر شده عملکرد "DEGREE" را انتخاب کرده و دکمه "OK" را فشار دهید. در پنجره ظاهر شده ، مقدار عددی را که می خواهید ریشه توان سوم را برای آن محاسبه کنید وارد کنید. در "درجه" شماره "1/3" را وارد کنید. طبق معمول عدد 1/3 را در این فرم شماره گیری کنید. پس از آن ، روی دکمه "OK" کلیک کنید. ریشه مکعب عدد داده شده در سلول جدولی که در آن ایجاد شده است ظاهر می شود.

اگر ریشه قدرت سوم باید به طور مداوم محاسبه شود ، سپس روش توضیح داده شده در بالا را کمی بهبود دهید. به عنوان عددی که می خواهید ریشه را از آن استخراج کنید ، نه خود عدد ، بلکه سلول جدول را مشخص کنید. پس از آن ، فقط هر بار عدد اصلی را در این سلول وارد کنید - ریشه مکعب آن در سلول با فرمول ظاهر می شود.

ویدیو های مرتبط

توجه داشته باشید

نتیجه. در این مقاله ، روشهای مختلفی برای محاسبه مقادیر ریشه مکعب در نظر گرفته شده است. معلوم شد که مقادیر ریشه مکعب را می توان با روش تکرار یافت ، همچنین می توانید ریشه مکعب را تقریب زده ، عددی را به توان 1/3 برسانید ، مقادیر ریشه را جستجو کنید قدرت سوم با استفاده از Microsoft Office Ecxel ، تعیین فرمول در سلول ها.

نصیحت مفید

ریشه های درجه دوم و سوم اغلب استفاده می شود و بنابراین نامهای خاصی دارند. ریشه مربع: در این حالت ، معمولاً نمره حذف می شود و اصطلاح "ریشه" بدون مشخص کردن نمره اغلب بر ریشه مربع دلالت دارد. الگوریتم محاسبه عملی ریشه ها برای یافتن ریشه درجه نهم. ریشه های مربعی و مکعبی معمولاً در همه ماشین حساب ها یافت می شوند.

منابع:

• ریشه سوم
• نحوه استخراج ریشه مربع به توان N در اکسل

عملیات یافتن ریشه سوم درجهمعمولاً استخراج ریشه "مکعب" نامیده می شود ، اما این شامل یافتن چنین عددی واقعی است ، که مکعب آن مقداری برابر با شماره ریشه می دهد. عملیات استخراج ریشه حسابی هر کدام درجه n معادل توان 1 / n است. چندین روش برای محاسبه ریشه مکعب در عمل وجود دارد.