کسر- عددی که از تعداد صحیح قطعات یک تشکیل شده است و به صورت زیر نمایش داده می شود: a / b

عدد کسر (الف)- عدد بالای خط کسر و نشان دادن تعداد کسرهایی که واحد تقسیم شده است.

مخرج کسر (b)- عدد زیر خط کسر و نشان دادن تعداد کسرها به واحد تقسیم شده است.

2. کاهش کسرها به مخرج مشترک

3. عملیات حسابی روشن است کسرهای معمولی

3.1. جمع کسرهای معمولی

3.2. کسر کسرهای مشترک

3.3. ضرب کسرهای مشترک

3.4. تقسیم کسرهای معمولی

4. اعداد متقابل

5. کسر اعشاری

6. عملیات حساب بر کسر اعشاری

6.1. افزودن اعشار

6.2. کسرهای اعشاری را کم کنید

6.3. ضرب دهدهی

6.4. تقسیم کسرهای اعشاری

# یک ویژگی اصلی کسر

اگر عدد و مخرج کسر در همان عدد ضرب یا تقسیم شود که برابر با صفر نیست ، کسری برابر کسر داده شده بدست می آورید.

3/7 = 3 * 3/7 * 3 = 9/21 ، یعنی 3/7 = 9/21

a / b = a * m / b * m - ویژگی اصلی کسری به این شکل است.

به عبارت دیگر ، با ضرب یا تقسیم عدد و مخرج کسر اصلی بر همان کسر برابر کسر شده بدست می آوریم عدد طبیعی.

اگر یک آگهی = قبل از میلاد، سپس دو کسر a / b = c / d برابر در نظر گرفته می شوند.

به عنوان مثال ، کسرهای 3/5 و 9/15 برابر خواهند بود ، زیرا 3 * 15 = 5 * 9 ، یعنی 45 = 45

کاهش کسرفرآیند جایگزینی کسری است ، که در آن کسری جدید برابر با اصل ، اما با یک عدد و مخرج کوچکتر بدست می آید.

معمول است که کسرها را بر اساس ویژگی اصلی کسر کاهش می دهیم.

مثلا، 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (عدد و مخرج بر 3 ، 5 و 15 تقسیم می شوند).

کسر غیرقابل کاهشکسری از فرم است 3/4 ​ ​ که در آن عدد و مخرج اعداد تقلبی هستند. هدف اصلی از کاهش کسر غیرقابل کاهش بودن کسر است.

2. آوردن کسرها به یک مخرج مشترک

برای آوردن دو کسر به یک مخرج مشترک ، شما نیاز دارید:

1) مخرج هر کسره را با گسترش دهید عوامل اصلی;

2) عدد و مخرج کسر اول را در کسرها ضرب کنید

عوامل گسترش مخرج دوم ؛

3) عدد و مخرج کسر دوم را در فاکتورهای از دست رفته از بسط اول ضرب کنید.

مثالها: کسرها را به مخرج مشترک بیاورید.

بگذارید مخرج را به فاکتورهای اصلی گسترش دهیم: 18 = 3 3 ∙ 2 ، 15 = 3 ∙ 5

عدد و مخرج کسر را در ضریب از دست رفته 5 از دومین ضرب ضرب کنید.

عدد و مخرج کسر توسط عوامل از دست رفته 3 و 2 از اولین گسترش.

= ، 90 مخرج مشترک کسرها است.

3. عملیات حسابی بر کسرهای معمولی

3.1 جمع کسرهای معمولی

الف) با مخرج های مشابه ، مخرج کسره اول به مخرج کسره دوم اضافه می شود و مخرج را یکسان می گذارد. همانطور که در مثال مشاهده می کنید:

a / b + c / b = (a + c) / b ​ ​ ;

ب) برای مخرج های مختلف ، کسرها ابتدا به یک مخرج مشترک منتهی می شوند ، و سپس مطابق قانون a) اعداد را اضافه می کنیم):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2 کسر کسرهای مشترک

الف) با مخرج های مشابه ، عدد کسر دوم از عدد کسر اول کم می شود و مخرج یکسان می ماند:

a / b-c / b = (a-c) / b ​ ​ ;

ب) اگر مخرج کسرها متفاوت باشد ، پس ابتدا کسرها به یک مخرج مشترک منتهی می شوند ، و سپس مراحل را همانند نکته a تکرار کنید).

3.3 ضرب کسرهای مشترک

ضرب کسرها از قانون زیر پیروی می کند:

a / b * c / d = a * c / b * d ،

یعنی عدد و مخرج جداگانه ضرب می شوند.

مثلا:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4 تقسیم کسرهای معمولی

تقسیم کسرها به روش زیر انجام می شود:

a / b: c / d = a * d / b * c ،

یعنی کسر a / b در معکوس کسر داده شده ضرب می شود ، یعنی در d / c ضرب می شود.

مثال: 7/2: 1/8 = 7/2 * 8/1 = 56/2 = 28

4. اعداد متقابل

اگر یک a * b = 1 ،سپس عدد b است رو به عقببرای عدد a.

مثال: برای عدد 9 ، معکوس است 1/9 ​ ​ از 9 * 1/9 = 1 ، برای شماره 5 - معکوس 1/5 ​ ​ ، مانند 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. کسرهای اعشاری

اعشاریکسری منظم است که مخرج آن است 10 ، 1000 ، 10،000 ، ... ، 10 ^ n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

به عنوان مثال: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

نادرست ها با مخرج به همین ترتیب نوشته می شوند 10 ^ nیا اعداد مختلط

به عنوان مثال: 51/10 = 5,1; 763/100=7,63

هر کسر معمولی با مخرج که تقسیم کننده مقداری از قدرت 10 باشد به عنوان کسر اعشاری نشان داده می شود.

مقسوم علیه که مقسوم کننده مقداری قدرت 10 است.

مثال: 5 تقسیم کننده 100 است ، بنابراین کسر 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. عملیات حسابی با کسر اعشاری

6.1 افزودن اعشار

برای اضافه کردن دو کسر اعشاری ، باید آنها را طوری مرتب کنید که همان رقم ها و یک ویرگول زیر هم باشند و سپس کسرها را به عنوان اعداد معمولی جمع کنید.

6.2 کسرهای اعشاری را کم کنید

این کار به همان روشی انجام می شود که برای جمع کردن.

6.3 ضرب دهدهی

هنگام ضرب اعداد اعشاریکافی است اعداد داده شده را ضرب کنید ، با نادیده گرفتن ویرگول ها (مانند اعداد طبیعی) ، و در جواب دریافت شده ، ویرگول سمت راست به تعداد کل رقم بعد از کاما از هم جدا می شود.

بیایید 2.7 برابر 1.3 را ضرب کنیم. ما داریم 27 \ cdot 13 = 351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 ... دو رقم را در سمت راست با کاما جدا کنید (شماره اول و دوم یک رقم بعد از اعشار دارند. 1+1=2 1 + 1 = 2 ) در نتیجه ، ما به دست می آوریم 2.7 \ cdot 1.3 = 3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

اگر در نتیجه به دست آمده رقم کمتری وجود دارد که باید با کاما از هم جدا شود ، صفرهای گمشده در جلوی آن نوشته می شوند ، به عنوان مثال:

برای ضرب در 10 ، 100 ، 1000 ، لازم است که ویرگول را در کسری اعشاری در 1 ، 2 ، 3 رقم به سمت راست منتقل کنید (در صورت لزوم تعداد مشخصی صفر به سمت راست اختصاص داده می شود).

مثلا: 1.47 \ cdot 10،000 = 14،700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4 تقسیم کسرهای اعشاری

تقسیم کسر اعشاری بر یک عدد طبیعی به همان روشی است که تقسیم عدد طبیعی بر عدد طبیعی انجام می شود. ویرگول در ضریب پس از پایان تقسیم کل قسمت قرار می گیرد.

اگر یک کل قسمتسود سهام تقسیم کننده کمتر، سپس جواب صفر عدد صحیح است ، به عنوان مثال:

تقسیم کسر اعشاری بر اعشاری را در نظر بگیرید. بیایید 2.576 را بر 1.12 تقسیم کنیم. اول از همه ، سود و تقسیم کسر را در 100 ضرب می کنیم ، یعنی کاما را به سمت راست در سود تقسیم می کنیم و تقسیم را به همان تعداد ارقام تقسیم کننده بعد از نقطه اعشاری (در این مثالتوسط دو) سپس باید کسر 257.6 را بر عدد طبیعی 112 تقسیم کنید ، یعنی مشکل به موردی که قبلاً در نظر گرفته شده تقلیل می یابد:

این اتفاق می افتد که فینال اعشاریهنگام تقسیم یک عدد به عدد دیگر. نتیجه یک اعشار بی نهایت است. در چنین مواردی ، آنها به کسرهای عادی روی می آورند.

به عنوان مثال ، 2.8: 0.09 = 28/10: 9/100 = 28 * 100/10 * 9 = 2800/90 = 280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

مثالهای کسری یکی از عناصر اساسی ریاضیات است. زیاد است انواع متفاوتمعادلات با کسر. در زیر دستورالعمل های دقیقبا حل نمونه هایی از این نوع

چگونه مثالها را با کسر حل کنیم - قوانین کلی

برای حل مثالهایی با کسر از هر نوع ، اعم از جمع ، تفریق ، ضرب یا تقسیم ، باید قوانین اساسی را بدانید:

• برای افزودن عبارات کسری با مخرج یکسان (مخرج عددی است که در انتهای کسر است ، عددی در بالا است) ، باید عددهای آنها را اضافه کنید و مخرج را همان بگذارید.
• برای اینکه حرف دوم را از یک عبارت کسری (با مخرج یکسان) کم کنید ، باید اعداد آنها را کم کنید و مخرج را یکسان بگذارید.
• برای جمع یا کسر عبارات کسری با مخرج های مختلف، شما باید کمترین مخرج مشترک را پیدا کنید.
• برای یافتن محصول کسری ، باید اعداد و مخرج را ضرب کنید ، در حالی که در صورت امکان ، آنها را کاهش دهید.
• برای تقسیم کسر در کسر ، باید کسر اول را در ثانیه معکوس ضرب کنید.

چگونه مثالها را با کسر حل کنیم - تمرین کنید

قانون 1 مثال 1:

3/4 +1/4 را محاسبه کنید.

مطابق قانون 1 ، اگر کسرهای دو (یا بیشتر) مخرج یکسانی دارند ، فقط لازم است که اعداد آنها را اضافه کنید. ما بدست می آوریم: 3/4 + 1/4 = 4/4. اگر کسر دارای عدد و مخرج یکسان باشد ، آن کسر 1 خواهد بود.

پاسخ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

قانون 2 ، مثال 1:

محاسبه کنید: 3/4 - 1/4

با استفاده از قانون شماره 2 ، برای حل این معادله ، باید 1 را از 3 کم کنید و مخرج را همان بگذارید. ما 2/4 می گیریم. از آنجا که دو 2 و 4 قابل لغو هستند ، می توانیم آن را لغو کرده و 1/2 را بدست آوریم.

پاسخ: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

قانون 3 ، مثال 1

محاسبه کنید: 3/4 + 1/6

راه حل: با استفاده از قانون سوم ، کمترین مخرج مشترک را پیدا کنید. کمترین مخرج مشترک عددی است که به مخرج تمام عبارات کسری در مثال تقسیم می شود. بنابراین ، ما باید کمترین عددی را که بر 4 و 6 قابل تقسیم است پیدا کنیم. این عدد 12 است. ما به عنوان مخرج می نویسیم. 12 تقسیم بر مخرج کسر اول ، 3 می گیریم ، ضرب در 3 ، نوشتن 3 در علامت * 3 و + عدد. 12 را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم ، 2 می گیریم ، 2 را در 1 ضرب می کنیم ، در عدد 2 * 1 می نویسیم. بنابراین ، کسر جدیدی با مخرج برابر با 12 و یک عدد برابر با 3 * 3 + 2 * 1 = 11 بدست آوردیم. 12/11

پاسخ: 12/11

قانون 3 ، مثال 2:

محاسبه 3/4 - 1/6. این مثال بسیار مشابه نمونه قبلی است. همه مراحل مشابه را انجام می دهیم ، اما به جای علامت + در عدد ، علامت منفی را می نویسیم. ما بدست می آوریم: 3 * 3-2 * 1/12 = 9-2 / 12 = 7/12.

پاسخ: 7/12

قانون 4 ، مثال 1:

محاسبه کنید: 3/4 * 1/4

با استفاده از قاعده چهارم ، مخرج کسر اول را در مخرج دوم و مخرج کسر اول را در عدد دوم ضرب می کنیم. 3 * 1/4 * 4 = 3/16.

پاسخ: 3/16

قانون 4 ، مثال 2:

2/5 * 10/4 را محاسبه کنید.

این کسر را می توان به اختصار نوشت. در مورد محصول ، مخرج کسر اول و مخرج کسر دوم و عدد کسر دوم و مخرج اول لغو می شود.

2 از 4. کاهش می یابد 10 از 5 کاهش می یابد 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1 بدست می آوریم.

پاسخ: 2/5 * 10/4 = 1

قانون 5 ، مثال 1:

محاسبه کنید: 3/4: 5/6

با استفاده از قانون 5 ، 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5 بدست می آوریم. کسر را در مثال قبلی کاهش دهید و 9/10 بگیرید.

پاسخ: 9/10.

چگونه مثالهای کسری را حل کنیم - معادلات کسری

معادلات کسری نمونه هایی هستند که در مخرج ناشناخته وجود دارد. برای حل چنین معادله ای ، باید از قوانین خاصی استفاده کنید.

بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:

معادله 15 / 3x + 5 = 3 را حل کنید

به یاد داشته باشید ، شما نمی توانید تقسیم بر صفر کنید ، یعنی مخرج نباید صفر باشد. هنگام حل چنین مثالهایی ، این باید نشان داده شود. برای این ، یک ODZ (محدوده ای از مقادیر مجاز) وجود دارد.

بنابراین 3x + 5 ≠ 0.
از این رو: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

برای x = 3/3 ، معادله به سادگی هیچ راه حلی ندارد.

با نشان دادن ODZ ، بهترین راهبا حل این معادله کسرها خلاص می شوند. برای این کار ، ابتدا تمام مقادیر غیر کسری را به عنوان کسر ، در نمایش می دهیم این موردشماره 3. به دست می آوریم: 15 / (3x + 5) = 3/1. برای خلاص شدن از کسرها ، باید هر کدام را در کمترین مخرج مشترک ضرب کنید. در این حالت ، (3x + 5) * 1 خواهد بود. ترتیب دهی:

1. ضرب 15 / (3x + 5) در (3x + 5) * 1 = 15 * (3x + 5).
2. براکت ها را باز کنید: 15 * (3x + 5) = 45x + 75.
3. همین کار را با سمت راست معادله انجام می دهیم: 3 * (3x + 5) = 9x + 15.
4. برابر کردن ضلع چپ و راست: 45x + 75 = 9x +15
5. x را به سمت چپ ، اعداد را به سمت راست حرکت دهید: 36x = - 50
6. x را پیدا کنید: x = -50/36.
7. کاهش: -50/36 = -25/18

پاسخ: ODZ x / 5/3. x = -25/18.

چگونه مثالها را با کسر حل کنیم - نابرابری کسری

نابرابری های کسری مانند (3x-5) / (2-x) -0 با استفاده از محور عدد حل می شوند. بیایید این مثال را در نظر بگیریم.

ترتیب دهی:

• برابر کردن عدد و مخرج به صفر: 1.3x-5 = 0 => 3x = 5 => x = 5/3
  2.2-x = 0 => x = 2
• ما محور اعداد را رسم می کنیم ، مقادیر حاصل را بر روی آن می نویسیم.
• زیر مقدار دایره بکشید. دایره دو نوع است - پر و خالی. یک دایره پر شده به این معنی است که این مقدار در محدوده راه حل ها گنجانده شده است. یک دایره خالی نشان می دهد که این مقدار در محدوده راه حل ها موجود نیست.
• از آنجا که مخرج نمی تواند صفر باشد ، در زیر دایره 2 یک دایره خالی وجود دارد.

• برای تعیین علائم ، هر عدد بزرگتر از دو را در معادله جایگزین می کنیم ، به عنوان مثال 3. (3 * 3-5) / (2-3) = -4. مقدار منفی است ، بنابراین منهای بالای این منطقه را پس از دو منفی می نویسیم. سپس هر مقدار از فاصله 5/3 تا 2 را جایگزین می کنیم ، به عنوان مثال 1. مقدار دوباره به جای x منفی است. منهای می نویسیم. همین کار را با مساحت حداکثر 3/5 تکرار کنید. هر عددی را کمتر از 3/5 جایگزین کنید ، به عنوان مثال 1. دوباره منهای.

• از آنجا که ما به مقادیر x علاقه مندیم ، که در آن عبارت بزرگتر یا مساوی 0 خواهد بود ، و چنین مقادیری وجود ندارد (در همه جا منفی وجود دارد) ، این نابرابری هیچ راه حلی ندارد ، یعنی x = Ø ( مجموعه تهی).

پاسخ: x =

ماشین حساب کسریطراحی شده برای محاسبه سریع عملیات با کسر ، به شما کمک می کند تا کسرها را به راحتی جمع ، ضرب ، تقسیم یا کم کنید.

دانش آموزان مدارس مدرن در کلاس 5 شروع به مطالعه کسری می کنند ، هر ساله تمرینات با آنها پیچیده تر می شود. اصطلاحات و مقادیر ریاضیاتی که در مدرسه می آموزیم بندرت برای ما مفید است بزرگسالی... با این حال ، کسرها ، بر خلاف لگاریتم ها و قدرت ها ، در زندگی روزمره کاملاً معمول هستند (اندازه گیری مسافت ، توزین کالا و غیره). ماشین حساب ما برای انجام سریع عملیات با کسر طراحی شده است.

ابتدا بیایید تعریف کنیم کسرها چیستند و چیستند. کسرها نسبت یک عدد به عدد دیگر است ، این یک عدد متشکل از تعداد صحیح کسرهای یک است.

انواع کسرها:

• معمولی
• اعشاری
• مختلط

مثال کسرهای رایج:

مقدار بالایی عدد ، پایین تر مخرج است. خط تیره به ما نشان می دهد که عدد بالا با عدد پایین قابل تقسیم است. به جای قالب نوشتاری مشابه با فاصله افقی ، می توانید متفاوت بنویسید. می توانید یک خط مایل قرار دهید ، به عنوان مثال:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

کسر اعشاریمحبوب ترین نوع کسرها هستند. آنها از یک قسمت کامل و یک قسمت کسری تشکیل شده اند که با کاما از هم جدا می شوند.

نمونه ای از کسرهای اعشاری:

0.2 ، یا 6.71 یا 0.125

از یک عدد صحیح و یک بخش کسری تشکیل شده است. برای فهمیدن معنای این کسر ، باید یک عدد صحیح و کسر را اضافه کنید.

نمونه ای از کسرهای مخلوط:

ماشین حساب کسری در وب سایت ما قادر است به سرعت هر کدام را انجام دهد عملیات ریاضیبا کسر:

• اضافه کردن
• منها کردن
• ضرب
• لشکر

برای انجام محاسبه ، باید اعداد را در قسمت ها وارد کرده و عملی را انتخاب کنید. برای کسرها ، باید عدد و مخرج را پر کنید ، ممکن است کل عدد نوشته نشود (اگر کسر عادی باشد). فراموش نکنید که روی دکمه برابر کلیک کنید.

به راحتی ، ماشین حساب بلافاصله فرایندی را برای حل یک مثال با کسر و نه فقط یک جواب آماده ارائه می دهد. به لطف راه حل دقیق است که می توانید از این مطالب هنگام حل مشکلات مدرسه و تسلط بهتر بر مطالب تحت پوشش استفاده کنید.

شما باید مثال را محاسبه کنید:

پس از وارد کردن اندیکاتورها به قسمت های فرم ، موارد زیر بدست می آید:

برای انجام یک محاسبه مستقل ، داده ها را در فرم وارد کنید.

ماشین حساب کسری

بخشهای مرتبط

دانش آموزان در کلاس 5 با کسرها آشنا می شوند. پیش از این ، افرادی که می دانستند چگونه کارهایی را با کسر انجام دهند ، بسیار باهوش به حساب می آمدند. کسر اول 1/2 بود ، یعنی نصف ، سپس 1/3 ظاهر شد و غیره برای چندین قرن ، نمونه ها بیش از حد پیچیده در نظر گرفته می شدند. اکنون توسعه یافته است قوانین دقیقدر مورد تبدیل کسرها ، جمع ، ضرب و سایر اقدامات. کافی است کمی مطالب را درک کنید و تصمیم گیری آسان خواهد بود.

کسر معمولی ، کسر ساده نامیده می شود ، به عنوان تقسیم دو عدد: m و n نوشته می شود.

M سود سهام است ، یعنی عدد کسر است و تقسیم کننده n را مخرج می نامند.

کسرهای صحیح را اختصاص دهید (متر< n) а также неправильные (m >n)

کسر منظم کمتر از یک است (به عنوان مثال 5/6 - این بدان معنی است که 5 قسمت از یک قسمت گرفته می شود ؛ 2/8 - 2 قسمت از یک قسمت گرفته می شود). کسر نامنظم برابر یا بزرگتر از 1 است (8/7 - 1 7/7 است و یک قسمت دیگر بعنوان بعلاوه در نظر گرفته می شود).

بنابراین ، واحد زمانی است که عدد و مخرج با هم منطبق شوند (3/3 ، 12/12 ، 100/100 و موارد دیگر).

عملکردهایی با کسرهای عادی درجه 6

با کسرهای ساده می توانید موارد زیر را انجام دهید:

• کسر را گسترش دهید. اگر قسمت های بالا و پایین کسر را در هر یک از همان تعداد ضرب کنید (اما صفر نیست) ، در این صورت مقدار کسر تغییر نخواهد کرد (3/5 = 6/10) (فقط در 2 ضرب می شود).
• کاهش کسرها شبیه به انبساط است ، اما در اینجا به تعدادی تقسیم می شود.
• مقایسه کنید اگر دو کسر دارای عدد یکسانی باشند ، کسر بزرگتر کسر با مخرج پایین خواهد بود. اگر مخرج ها یکسان باشند ، کسر بزرگترین عدد بزرگتر خواهد بود.
• جمع و تفریق را انجام دهید. با مخرج یکسان ، انجام این کار آسان است (قسمتهای بالایی را جمع بندی می کنیم ، و قسمت پایین تغییر نمی کند). برای موارد مختلف ، شما باید یک مخرج مشترک و عوامل اضافی پیدا کنید.
• کسرها را ضرب و تقسیم کنید.

ما در زیر نمونه هایی از اقدامات با کسر را بررسی خواهیم کرد.

کسرهای درجه 6 کاهش یافته است

اختصار به معنی تقسیم قسمتهای بالا و پایین کسر بر روی هر یک از همان تعداد است.

شکل نمونه های ساده ای از اختصار را نشان می دهد. در گزینه اول می توانید بلافاصله حدس بزنید که عدد و مخرج بر 2 قابل تقسیم هستند.

روی یک یادداشت! اگر عدد زوج باشد ، به هر ترتیب قابل تقسیم بر 2 است. اعداد زوج 2 ، 4 ، 6 ... 32 هستند 8 (به پایان می رسد با حتی) ، و غیره

در حالت دوم ، هنگام تقسیم 6 بر 18 ، بلافاصله می توانید ببینید که اعداد قابل تقسیم بر 2 هستند. با تقسیم ، 3/9 بدست می آوریم. این کسر بیشتر بر 3 قابل تقسیم است. سپس پاسخ 1/3 است. اگر هر دو مقسوم علیه را ضرب کنید: 2 در 3 ، 6 بدست می آورید. به نظر می رسد که کسر بر شش تقسیم شده است. این تقسیم تدریجی نامیده می شود کاهش متوالی کسر توسط مقسوم علیه مشترک.

شخصی بلافاصله بر 6 تقسیم می شود ، کسی به تقسیم بر قطعات احتیاج دارد. نکته اصلی این است که در پایان کسری وجود دارد که به هیچ وجه قابل کاهش نیست.

توجه داشته باشید که اگر یک عدد از رقم تشکیل شده باشد ، به عددی که بر 3 قابل تقسیم است ، می توان اصل را نیز با 3 کاهش داد. مثال: عدد 341. اعداد را اضافه کنید: 3 + 4 + 1 = 8 (8 قابل تقسیم نیست با 3 ، از این رو ، عدد 341 را نمی توان باقیمانده 3 کاهش داد). مثال دیگر: 264. اضافه کنید: 2 + 6 + 4 = 12 (قابل تقسیم بر 3). به دست می آوریم: 264: 3 = 88. این کار کاهش تعداد زیاد را ساده می کند.

علاوه بر روش کاهش متوالی کسرها توسط عوامل مشترک ، روش های دیگری نیز وجود دارد.

GCD بزرگترین مقسوم علیه برای یک عدد است. با یافتن GCD برای مخرج و مخرج ، می توانید بلافاصله کسر را به تعداد دلخواه کاهش دهید. جستجو با تقسیم تدریجی هر عدد انجام می شود. در مرحله بعدی ، آنها بررسی می کنند که تقسیم کننده ها با هم مطابقت دارند ، اگر چندین مورد آنها وجود داشته باشد (مانند تصویر زیر) ، شما باید ضرب کنید.

کسرهای مخلوط درجه 6

تمام کسرهای نامنظم را می توان با برجسته کردن کل قسمت در آنها ، به کسری مخلوط تبدیل کرد. یک عدد صحیح در سمت چپ نوشته شده است.

غالباً باید از یک کسر نامناسب یک عدد مختلط درست کنید. فرآیند تبدیل در مثال زیر: 22/4 = 22 ما بر 4 تقسیم می کنیم ، 5 عدد صحیح بدست می آوریم (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. 5 عدد صحیح و 2/4 بدست می آوریم (مخرج تغییر نمی کند). از آنجا که کسر قابل لغو است ، قسمتهای بالا و پایین را بر 2 تقسیم می کنیم.

تبدیل یک عدد مخلوط به کسر نامناسب آسان است (این امر هنگام تقسیم و ضرب کسر ضروری است). برای این کار: کل عدد را در قسمت پایین کسر ضرب کنید و عدد را به این اضافه کنید. انجام شده. مخرج تغییر نمی کند.

محاسبات با کسرهای درجه 6

اعداد مخلوط را می توان اضافه کرد. اگر مخرج ها یکسان باشند ، انجام آن آسان است: کل قسمت ها و اعداد را جمع کنید ، مخرج در جای خود باقی می ماند.

هنگام جمع اعداد با مخرج مختلف ، روند کار پیچیده تر است. ابتدا اعداد را به یک خود می رسانیم مخرج کوچک(NOZ)

در مثال زیر ، برای اعداد 9 و 6 ، مخرج 18 است. پس از آن ، عوامل اضافی مورد نیاز است. برای یافتن آنها ، 18 باید بر 9 تقسیم شود ، بنابراین عدد اضافی پیدا می شود - 2. ما آن را در عدد 4 ضرب می کنیم تا کسر 8/18 بدست آید). همین کار با کسر دوم انجام می شود. ما در حال حاضر کسرهای تبدیل شده را جمع می کنیم (عدد صحیح و اعداد جداگانه ، مخرج را تغییر نمی دهیم). در مثال ، جواب باید به کسر منظم تبدیل می شد (در ابتدا ، عدد بزرگتر از مخرج بود).

لطفا توجه داشته باشید که روش کار برای تفاوت کسرها به همین ترتیب است.

هنگام ضرب کسر ، مهم است که هر دو را زیر یک خط قرار دهید. اگر عدد مخلوط شود ، آن را تبدیل می کنیم کسر ساده... بعد ، بالا و پایین را ضرب می کنیم و جواب را یادداشت می کنیم. اگر دیده شود که می توان کسرها را کاهش داد ، بلافاصله آنها را کاهش می دهیم.

در مثال فوق ، نیازی به بریدن چیزی نبودیم ، فقط جواب را نوشتیم و کل قسمت را انتخاب کردیم.

در این مثال ، من مجبور شدم اعداد زیر یک خط را کوتاه کنم. اگرچه می توانید یک جواب آماده را کوتاه کنید.

هنگام تقسیم ، الگوریتم تقریباً یکسان است. ابتدا کسر مخلوط را به کسری نامنظم تبدیل می کنیم ، سپس اعداد را زیر یک خط می نویسیم و تقسیم را با ضرب جایگزین می کنیم. فراموش نکنید که قسمتهای بالا و پایین کسر دوم را عوض کنید (این قانون تقسیم کسر است).

در صورت لزوم ، اعداد را کاهش می دهیم (در مثال زیر ، آنها را پنج و دو کاهش داده ایم). کسر نامنظم را با برجسته کردن کل قسمت تبدیل می کنیم.

مشکلات اساسی برای کسرهای درجه 6

این ویدئو چند کار دیگر را نشان می دهد. برای وضوح ، استفاده می شود تصاویر گرافیکیراه حل هایی برای کمک به تجسم کسرها.

نمونه هایی از ضرب کسر درجه 6 همراه با توضیحات

کسرهای ضرب زیر یک خط نوشته می شوند. پس از آن ، آنها با تقسیم بر همان اعداد کاهش می یابند (به عنوان مثال ، 15 در مخرج و 5 در عدد را می توان بر پنج تقسیم کرد).

مقایسه کسرهای درجه 6

برای مقایسه کسرها ، باید دو قانون ساده را به خاطر بسپارید.

قانون 1. اگر مخرج ها متفاوت باشد

قانون 2. وقتی مخرج ها یکسان باشند

به عنوان مثال ، کسرهای 7/12 و 2/3 را با هم مقایسه کنیم.

1. ما به مخرج نگاه می کنیم ، آنها با هم منطبق نیستند. بنابراین شما باید یک مورد مشترک پیدا کنید.
2. برای کسرها ، مخرج مشترک 12 است.
3. ما ابتدا 12 را بر قسمت پایین کسر اول تقسیم می کنیم: 12: 12 = 1 (این یک فاکتور اضافی برای کسر 1 است).
4. حالا 12 را بر 3 تقسیم می کنیم ، 4 می گیریم - اضافه می کنیم. ضرب کسر 2.
5. اعداد بدست آمده را در عدد ضرب می کنیم تا کسرها را تبدیل کنیم: 1 x 7 = 7 (کسر اول: 7/12). 4 2 2 = 8 (کسر دوم: 8/12).
6. اکنون می توانیم مقایسه کنیم: 7/12 و 8/12. اتفاق افتاده است: 7/12< 8/12.

برای نشان دادن بهتر کسرها ، می توانید از تصاویر برای وضوح استفاده کنید ، جایی که جسم به قطعات تقسیم شده است (به عنوان مثال کیک). اگر می خواهید 4/7 و 2/3 را مقایسه کنید ، در حالت اول ، کیک به 7 قسمت تقسیم می شود و 4 قسمت از آنها انتخاب می شود. در مرحله دوم ، آنها به 3 قسمت تقسیم می شوند و 2. قسمت را می گیرند. با چشم غیر مسلح مشخص خواهد شد که 2/3 بیش از 7/4 خواهد بود.

مثالهایی با کسرهای درجه 6 برای آموزش

به عنوان یک تمرین می توانید کارهای زیر را انجام دهید.

• کسرها را مقایسه کنید

• انجام ضرب

نکته: اگر یافتن کمترین مخرج مشترک برای کسرها دشوار است (مخصوصاً اگر مقادیر آنها کم باشد) ، می توانید مخرج کسرهای اول و دوم را ضرب کنید. مثال: 2/8 و 5/9. پیدا کردن مخرج آنها ساده است: 8 را در 9 ضرب کنید ، 72 می گیریم.

حل معادلات با کسر درجه 6

در حل معادلات ، شما باید اعمال با کسر را به خاطر بسپارید: ضرب ، تقسیم ، تفریق و جمع. اگر یکی از فاکتورها ناشناخته باشد ، محصول (کل) با یک عامل شناخته شده تقسیم می شود ، یعنی کسرها ضرب می شوند (دوم برگردانده می شود).

اگر سود سهام ناشناخته باشد ، آنگاه مخرج در قسمت مقسم ضرب می شود و برای یافتن مقسوم علیه ، سود سهام باید به مقدار نصاب تقسیم شود.

تصور کن مثالهای سادهحل معادلات:

در اینجا فقط لازم است که اختلاف کسرها را تولید کنیم ، نه اینکه منجر به یک مخرج مشترک شود.

پاسخ به صورت کسری نادرست منتشر شد. می توان آن را به 1 عدد صحیح و 5/3 تبدیل کرد.

در روش دوم ، عدد و مخرج در 4 ضرب می شود تا پایین لغو شود ، نه اینکه مخرج را تلنگر کنید.

کسرها اعداد معمولی هستند و می توانند جمع و تفریق شوند. اما با توجه به اینکه مخرج دارند ، به قوانین پیچیده تری نسبت به اعداد صحیح احتیاج دارند.

ساده ترین حالت را در نظر بگیرید وقتی دو کسره با وجود دارد مخرج یکسان... سپس:

برای افزودن کسرهایی با مخرج یکسان ، اعداد آنها را جمع کرده و مخرج را بدون تغییر بگذارید.

برای کسر کسر با مخرج یکسان ، عدد دوم را از عدد کسر اول کم کنید و دوباره مخرج را بدون تغییر بگذارید.

در درون هر عبارت ، مخرج کسرها برابر هستند. با تعریف جمع و تفریق کسرها ، به دست می آوریم:

همانطور که می بینید ، هیچ چیز پیچیده ای نیست: فقط عددها را جمع یا کم کنید و تمام.

اما حتی در چنین مواردی اقدامات سادهمردم موفق به اشتباه می شوند. آنچه اغلب فراموش می شود این است که مخرج تغییر نمی کند. به عنوان مثال ، وقتی آنها اضافه می شوند ، آنها نیز شروع به اضافه کردن می کنند ، و این اساساً اشتباه است.

خلاص شدن از شر عادت بدافزودن مخرج به اندازه کافی آسان است. سعی کنید همین کار را برای تفریق نیز انجام دهید. در نتیجه ، مخرج صفر خواهد بود ، و کسر (ناگهان!) معنی خود را از دست خواهد داد.

بنابراین یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: هنگام جمع و تفریق ، مخرج تغییر نمی کند!

همچنین ، بسیاری هنگام اضافه کردن چندین کسر منفی اشتباه می کنند. با علائم یک سردرگمی وجود دارد: منفی را در کجا قرار دهید و یک امتیاز را در کجا قرار دهید.

حل این مشکل نیز بسیار ساده است. کافی است به یاد داشته باشید که منهای قبل از علامت کسر همیشه می توانند به عدد منتقل شوند - و بالعکس. و البته ، دو قانون ساده را فراموش نکنید:

1. به علاوه و منهای منفی می دهد؛
2. دو نکته منفی مثبت است.

بیایید همه اینها را با مثالهای خاص تحلیل کنیم:

یک وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

در حالت اول ، همه چیز ساده است ، اما در حالت دوم ، منهای را به اعداد کسر اضافه می کنیم:

اگر مخرج ها متفاوت باشند چه باید کرد

نمی توانید کسرهایی با مخرج مختلف را مستقیماً اضافه کنید. حداقل ، این روش برای من ناشناخته است. با این حال ، کسرهای اصلی همیشه می توانند بازنویسی شوند تا مخرج ها یکسان شوند.

روش های زیادی برای تبدیل کسرها وجود دارد. سه مورد از آنها در درس "کاهش کسرها به یک مخرج مشترک" مورد بحث قرار گرفته است ، بنابراین ما در اینجا به آنها نمی پردازیم. بیایید بهتر به نمونه ها نگاه کنیم:

یک وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

در حالت اول ، کسرها را با استفاده از روش "کراس کراس" به یک مخرج مشترک می آوریم. در مرحله دوم ، ما به دنبال LCM خواهیم بود. توجه داشته باشید که 6 = 2 · 3؛ 9 = 3 · 3. آخرین فاکتورها در این بسط ها برابر هستند و اولین ها هم تقلید هستند. بنابراین ، LCM (6؛ 9) = 2 3 3 = 18.

اگر کسری دارای یک بخش صحیح باشد چه باید کرد

می توانم شما را راضی کنم: مخرج های مختلف کسر هنوز بزرگترین شر نیستند. خیلی اشتباهات بیشترزمانی بوجود می آید که کل قسمت در اصطلاحات کسری انتخاب شود.

البته ، الگوریتم های خاص و اضافی برای جمع و تفریق برای چنین کسرهایی وجود دارد ، اما آنها بسیار پیچیده هستند و نیاز به مطالعه طولانی دارند. استفاده بهتر طرح سادهدر زیر:

1. تمام کسرهای حاوی یک بخش صحیح را به موارد نادرست تبدیل کنید. اصطلاحات عادی (حتی با مخرج مختلف) بدست می آوریم که طبق قوانینی که در بالا گفته شد محاسبه می شوند.
2. در واقع ، جمع یا اختلاف کسرهای حاصل را محاسبه کنید. در نتیجه ، ما عملاً جواب را پیدا خواهیم کرد.
3. اگر در مسئله فقط این مورد لازم باشد ، ما تحول معکوس را انجام می دهیم ، یعنی ما از کسر نادرست خلاص می شویم ، کل قسمت را در آن برجسته می کنیم.

قوانین انتقال به کسرهای غلطو برجسته سازی کل قسمت با جزئیات در درس "کسر عددی چیست" شرح داده شده است. اگر به خاطر نمی آورید ، حتماً آن را تکرار کنید. مثال ها:

یک وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

اینجا همه چیز ساده است. مخرج داخل هر عبارت مساوی است ، بنابراین باقی مانده است که همه کسرها را به نادرست ترجمه و شمارش کنیم. ما داریم:

برای ساده نگه داشتن همه موارد ، از برخی مراحل واضح در آخرین مثالها صرف نظر کرده ام.

یک یادداشت کوچک به دو مثال آخر ، جایی که کسرهایی با یک بخش صحیح برجسته کم می شوند. منهای مقابل کسر دوم به این معنی است که کل کسری است که کسر می شود و نه فقط کل قسمت آن.

این جمله را دوباره بخوانید ، نگاهی به مثالها بیندازید - و درباره آن فکر کنید. این جایی است که مبتدیان تعداد زیادی اشتباه می کنند. آنها دوست دارند چنین وظایفی را انجام دهند کنترل کار می کند... در آزمون های این درس که به زودی منتشر می شود نیز بارها با آنها روبرو خواهید شد.

خلاصه: طرح محاسبه عمومی

در پایان ، من یک الگوریتم کلی می دهم که به شما کمک می کند جمع یا تفاوت دو یا چند کسر را پیدا کنید:

1. اگر یک یا چند کسر کل قسمت دارند ، این کسرها را به غلط تبدیل کنید.
2. همه کسرها را به هر روشی که برای شما مناسب باشد به یک مخرج مشترک بیاورید (البته مگر اینکه نویسندگان مسئله این کار را انجام دهند)
3. اعداد بدست آمده را مطابق قوانین جمع و تفریق کسرهای با مخرج یکسان جمع یا کم کنید.
4. در صورت امکان نتیجه را کوتاه کنید. اگر کسری اشتباه است ، کل قسمت را انتخاب کنید.

به یاد داشته باشید که بهتر است بلافاصله قبل از نوشتن پاسخ ، کل قسمت را در انتهای مسئله انتخاب کنید.