دانش آموزان در دوره راهنمایی و دبیرستان مبحث "کسری" را مطالعه می کردند. با این حال، این مفهوم بسیار گسترده تر از آنچه در فرآیند یادگیری ارائه شده است. امروزه با مفهوم کسری اغلب مواجه می‌شویم و همه نمی‌توانند هر عبارتی را محاسبه کنند، مثلاً ضرب کسرها.

کسری چیست؟

به طور تاریخی اتفاق افتاد که اعداد کسری به دلیل نیاز به اندازه گیری ظاهر شدند. همانطور که تمرین نشان می دهد، اغلب نمونه هایی برای تعیین طول یک قطعه، حجم یک مستطیل مستطیلی وجود دارد.

در ابتدا، دانش آموزان با چنین مفهومی به عنوان سهم آشنا می شوند. به عنوان مثال، اگر یک هندوانه را به 8 قسمت تقسیم کنید، به هر کدام یک هشتم هندوانه می رسد. به این یک جزء هشت سهم می گویند.

سهمی معادل ½ از هر ارزشی را نصف می گویند. ⅓ - سوم؛ ¼ - یک چهارم. ورودی هایی مانند 5/8، 4/5، 2/4 کسر مشترک نامیده می شوند. کسری معمولی به صورت و مخرج تقسیم می شود. بین آنها یک خط کسری یا خط کسری قرار دارد. میله کسری را می توان به صورت افقی یا مایل رسم کرد. در این حالت مخفف علامت تقسیم است.

مخرج نشان می دهد که ارزش، شی به چند سهم مساوی تقسیم می شود. و صورت شمار این است که چند سهم مساوی گرفته می شود. صورت در بالای نوار کسری و مخرج زیر آن نوشته می شود.

نشان دادن کسرهای معمولی روی یک پرتو مختصات راحت‌تر است. اگر یک بخش به 4 قسمت مساوی تقسیم شد، هر سهم را مشخص کنید حرف لاتین، نتیجه می تواند یک کمک بصری عالی باشد. بنابراین، نقطه A سهمی برابر با 1/4 از کل بخش واحد را نشان می دهد و نقطه B 2/8 از این بخش را نشان می دهد.

انواع کسری

کسرها اعداد مشترک، اعشاری و مختلط هستند. علاوه بر این، کسرها را می توان به مناسب و نامناسب تقسیم کرد. این طبقه بندی بیشتر برای کسرهای معمولی مناسب است.

کسری مناسب عددی است که صورت آن باشد کمتر از مخرج. بر این اساس کسری نامناسب عددی است که صورت آن بزرگتر از مخرج باشد. نوع دوم معمولاً به صورت یک عدد مختلط نوشته می شود. چنین عبارتی از یک قسمت صحیح و یک قسمت کسری تشکیل شده است. به عنوان مثال، 1½. یک - کل بخش، ½ - کسری. با این حال، اگر شما نیاز به انجام برخی دستکاری ها با عبارت (تقسیم یا ضرب کسرها، کاهش یا تبدیل آنها دارید)، عدد مختلط به غیر ترجمه می شود. کسر مناسب.

یک عبارت کسری صحیح همیشه کوچکتر از یک است و یک عبارت نادرست همیشه بزرگتر یا مساوی 1 است.

در مورد این عبارت، آنها رکوردی را درک می کنند که در آن هر عددی نشان داده شده است، مخرج عبارت کسری آن را می توان از طریق یک با چندین صفر بیان کرد. اگر کسری صحیح باشد، قسمت صحیح در نماد اعشاری صفر خواهد بود.

برای نوشتن اعشار ابتدا باید قسمت صحیح را بنویسید و با کاما از کسری جدا کنید و سپس عبارت کسری را بنویسید. باید به خاطر داشت که پس از کاما، شمارنده باید به همان تعداد کاراکتر عددی باشد که در مخرج صفر وجود دارد.

مثال. کسر 7 21 / 1000 را به صورت اعشاری نشان دهید.

الگوریتم تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط و بالعکس

نوشتن کسری نامناسب در پاسخ مسئله نادرست است، بنابراین باید به عدد مختلط تبدیل شود:

• صورت را بر مخرج موجود تقسیم کنید.
• که در مثال خاصضریب ناقص - کل؛
• و باقیمانده صورت بخش کسری است که مخرج آن بدون تغییر باقی می ماند.

مثال. تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط: 47 / 5 .

راه حل. 47: 5. ضریب ناقص 9 است، باقیمانده = 2. بنابراین، 47 / 5 = 9 2 / 5.

گاهی اوقات لازم است یک عدد مختلط را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهید. سپس باید از الگوریتم زیر استفاده کنید:

• قسمت صحیح در مخرج عبارت کسری ضرب می شود.
• محصول حاصل به شمارنده اضافه می شود.
• نتیجه در صورتگر نوشته می شود، مخرج بدون تغییر باقی می ماند.

مثال. عدد را به صورت مختلط به صورت کسر نامناسب بیان کنید: 9 8 / 10 .

راه حل. 9 × 10 + 8 = 90 + 8 = 98 صورت شمار است.

پاسخ: 98 / 10.

ضرب کسرهای معمولی

می توانید عملیات جبری مختلفی را روی کسرهای معمولی انجام دهید. برای ضرب دو عدد باید صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب کنید. علاوه بر این، ضرب کسری با مخرج های مختلف با حاصلضرب تفاوتی ندارد اعداد کسریبا مخرج های یکسان

این اتفاق می افتد که پس از یافتن نتیجه، باید کسر را کاهش دهید. ضروری است که عبارت حاصل را تا حد امکان ساده کنید. البته نمی توان گفت کسر نامناسب در پاسخ اشتباه است، اما به سختی می توان آن را پاسخ صحیح نامید.

مثال. حاصل ضرب دو کسر معمولی ½ و 20/18 را بیابید.

همانطور که از مثال مشخص است، پس از یافتن حاصل ضرب، یک نماد کسری تقلیل پذیر به دست می آید. هم صورت و هم مخرج در این حالت بر 4 بخش پذیرند و حاصل جواب 5/9 است.

ضرب کسرهای اعشاری

کار کنید کسرهای اعشاریدر اصل کاملاً متفاوت از محصول معمولی است. بنابراین، ضرب کسرها به صورت زیر است:

• دو کسر اعشاری باید زیر یکدیگر نوشته شود تا سمت راست ترین ارقام یکی زیر دیگری باشد.
• شما باید اعداد نوشته شده را با وجود کاما ضرب کنید، یعنی به صورت اعداد طبیعی.
• تعداد ارقام بعد از کاما را در هر یک از اعداد بشمارید.
• در نتیجه ای که پس از ضرب به دست می آید، باید به تعداد کاراکترهای دیجیتالی در سمت راست که در مجموع هر دو فاکتور بعد از نقطه اعشار موجود است، بشمارید و یک علامت جداکننده قرار دهید.
• اگر ارقام کمتری در محصول وجود داشته باشد، باید آنقدر صفر در جلوی آنها نوشته شود تا این عدد را پوشش دهد، یک کاما گذاشته و یک عدد صحیح برابر با صفر اختصاص دهد.

مثال. حاصل ضرب دو اعشار 2.25 و 3.6 را محاسبه کنید.

راه حل.

ضرب کسرهای مختلط

برای محاسبه حاصل ضرب دو کسرهای مخلوط، برای ضرب کسری باید از قانون استفاده کنید:

• تبدیل اعداد مختلط به کسرهای نامناسب؛
• حاصل ضرب اعداد را بیابید.
• حاصل ضرب مخرج ها را بیابید.
• نتیجه را یادداشت کنید؛
• تا حد امکان بیان را ساده کنید.

مثال. حاصل ضرب 4½ و 6 2/5 را پیدا کنید.

ضرب یک عدد در کسری (کسری در یک عدد)

علاوه بر یافتن حاصل ضرب دو کسر، اعداد مختلط، کارهایی وجود دارد که باید در کسری ضرب کنید.

بنابراین، برای پیدا کردن حاصل ضرب کسری اعشاری و یک عدد طبیعی، شما نیاز دارید:

• عدد زیر کسر را طوری بنویسید که سمت راست ترین ارقام یکی بالای دیگری باشد.
• با وجود کاما، کار را پیدا کنید.
• در نتیجه به دست آمده، با استفاده از کاما، قسمت صحیح را از قسمت کسری جدا کنید و تعداد کاراکترهایی را که بعد از نقطه اعشار در کسری است به سمت راست بشمارید.

برای ضرب یک کسر معمولی در یک عدد، باید حاصل ضرب عدد و عامل طبیعی را پیدا کنید. اگر جواب کسر تقلیل پذیر باشد باید تبدیل شود.

مثال. حاصل ضرب 5/8 و 12 را محاسبه کنید.

راه حل. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

پاسخ: 7 1 / 2.

همانطور که از مثال قبلی می بینید، لازم بود که نتیجه حاصل را کاهش دهیم و عبارت کسری نادرست را به عدد مختلط تبدیل کنیم.

همچنین ضرب کسرها برای یافتن حاصل ضرب یک عدد به صورت مخلوط و یک عامل طبیعی نیز صدق می کند. برای ضرب این دو عدد، باید قسمت صحیح ضریب مختلط را در عدد ضرب کنید، عدد را در همان مقدار ضرب کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. در صورت لزوم، باید نتیجه را تا حد امکان ساده کنید.

مثال. حاصل ضرب 9 5 / 6 و 9 را پیدا کنید.

راه حل. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

پاسخ: 88 1 / 2.

ضرب در عوامل 10، 100، 1000 یا 0.1. 0.01; 0.001

قاعده زیر از پاراگراف قبل ناشی می شود. برای ضرب یک کسر اعشاری در 10، 100، 1000، 10000 و غیره، باید کاما را به تعداد کاراکترهای رقمی به تعداد صفرهای ضریب بعد از یک به سمت راست ببرید.

مثال 1. حاصل ضرب 0.065 و 1000 را پیدا کنید.

راه حل. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

پاسخ: 65.

مثال 2. حاصل ضرب 3.9 و 1000 را پیدا کنید.

راه حل. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

پاسخ: 3900.

اگر باید یک عدد طبیعی را در 0.1 ضرب کنید؛ 0.01; 0.001; 0.0001 و غیره، باید کاما را در محصول به دست آمده با تعداد کاراکترهای رقمی به تعداد صفرهای قبل از یک به سمت چپ حرکت دهید. در صورت لزوم در مقابل یک عدد طبیعی به تعداد کافی صفر نوشته می شود.

مثال 1. حاصل ضرب 56 و 0.01 را پیدا کنید.

راه حل. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

پاسخ: 0,56.

مثال 2. حاصل ضرب 4 و 0.001 را پیدا کنید.

راه حل. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

پاسخ: 0,004.

بنابراین، یافتن حاصل ضرب کسرهای مختلف نباید مشکلی ایجاد کند، مگر شاید محاسبه نتیجه; در این مورد، شما به سادگی نمی توانید بدون ماشین حساب انجام دهید.

کسر اعشاری زمانی استفاده می شود که شما نیاز به انجام عملیات روی اعداد غیر صحیح دارید. این ممکن است غیر منطقی به نظر برسد. اما این نوع اعداد عملیات ریاضی را که باید با آنها انجام شود بسیار تسهیل می کند. این درک با گذشت زمان به دست می آید، زمانی که نوشتن آنها آشنا می شود و خواندن مشکلی ایجاد نمی کند و قوانین کسری اعشاری تسلط پیدا می کند. علاوه بر این، تمام اقدامات از قبل شناخته شده تکرار می شوند که با اعداد طبیعی آموخته می شوند. فقط باید برخی از ویژگی ها را به خاطر بسپارید.

تعریف اعشاری

اعشار نمایش خاصی از یک عدد غیر صحیح با مخرجی است که بر 10 بخش پذیر است و پاسخ آن یک و احتمالاً صفر است. به عبارت دیگر، اگر مخرج 10، 100، 1000 و غیره باشد، بازنویسی عدد با استفاده از کاما راحت تر است. سپس قسمت صحیح قبل از آن قرار می گیرد و سپس قسمت کسری. علاوه بر این، رکورد نیمه دوم عدد به مخرج بستگی دارد. تعداد ارقامی که در قسمت کسری هستند باید با مخرج برابر باشد.

موارد فوق را می توان با این اعداد نشان داد:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

دلایل استفاده از اعشار

ریاضیدانان به چند دلیل به اعشار نیاز داشتند:

ضبط را ساده کنید. چنین کسری در امتداد یک خط بدون خط تیره بین مخرج و صورت قرار دارد، در حالی که وضوح آسیب نمی بیند.

سادگی در مقایسه فقط کافی است اعدادی را که در موقعیت های یکسان هستند به هم مرتبط کنیم، در حالی که با کسرهای معمولی باید آنها را به یک مخرج مشترک رساند.

ساده سازی محاسبات

ماشین حساب ها برای معرفی کسری های معمولی طراحی نشده اند، آنها از نماد اعشاری برای همه عملیات استفاده می کنند.

چگونه چنین اعدادی را به درستی بخوانیم؟

پاسخ ساده است: درست مانند یک عدد مختلط معمولی با مخرجی که مضربی از 10 است. تنها استثناء کسرهای بدون مقدار صحیح هستند، سپس هنگام خواندن، باید بگویید "صفر اعداد".

برای مثال 45/1000 باید به صورت تلفظ شود چهل و پنج هزارم، در حالی که 0.045 به نظر می رسد نقطه صفر چهل و پنج هزارم.

یک عدد مختلط با یک عدد صحیح برابر با 7 و کسری از 17/100 که به صورت 7.17 نوشته می شود، در هر دو حالت به صورت خوانده می شود. هفت امتیاز هفده صدم.

نقش ارقام در نمادگذاری کسرها

درست است که به تخلیه توجه کنید - این چیزی است که ریاضیات نیاز دارد. اگر رقمی را در جای اشتباه بنویسید، اعشار و معنای آنها می تواند به طور قابل توجهی تغییر کند. با این حال، این قبلا درست بوده است.

برای خواندن ارقام قسمت صحیح یک کسر اعشاری، فقط باید از قوانین شناخته شده استفاده کنید. اعداد طبیعی. و در سمت راست آنها آینه شده و متفاوت خوانده می شوند. اگر "ده ها" در کل بخش به صدا درآمد، پس از نقطه اعشار از قبل "دهم" خواهد بود.

این را می توان به وضوح در این جدول مشاهده کرد.

چگونه یک عدد مختلط را به صورت اعشاری بنویسیم؟

اگر مخرج دارای عددی برابر با 10 یا 100 و سایرین باشد، این سؤال که چگونه یک کسری را به اعشار تبدیل کنیم ساده است. برای این کار کافی است تمام اجزای تشکیل دهنده آن را به شکل دیگری بازنویسی کنید. نکات زیر به این امر کمک می کند:

عدد کسری را کمی کنار بنویسید، در این لحظه نقطه اعشار در سمت راست، بعد از آخرین رقم قرار دارد.

کاما را به سمت چپ حرکت دهید، مهمترین چیز در اینجا این است که اعداد را به درستی بشمارید - باید آن را به همان اندازه که صفر در مخرج وجود دارد حرکت دهید.

اگر تعداد آنها کافی نباشد، صفرها باید در موقعیت های خالی ظاهر شوند.

صفرهایی که در انتهای عدد قرار داشتند دیگر مورد نیاز نیستند و می توان آنها را خط زد.

قبل از کاما یک عدد صحیح اضافه کنید، اگر آنجا نبود، صفر نیز در اینجا ظاهر می شود.

توجه شما نمی توانید صفرهایی را که با اعداد دیگری احاطه شده اند خط بکشید.

در مورد نحوه قرار گرفتن در شرایطی که مخرج شامل یک عدد نه تنها از یک و صفر است، نحوه تبدیل کسری به اعشار، می توانید کمی پایین تر بخوانید. آی تی اطلاعات مهمکه قطعا ارزش بررسی را دارد.

اگر مخرج یک عدد دلخواه باشد چگونه کسری را به اعشار تبدیل کنیم؟

در اینجا دو گزینه وجود دارد:

هنگامی که مخرج را می توان به عنوان عددی نشان داد که ده به هر توانی است.

در صورتی که نمی توان چنین عملیاتی را انجام داد.

چگونه آن را بررسی کنیم؟ شما باید مخرج را فاکتور بگیرید. اگر فقط 2 و 5 در محصول وجود داشته باشد، پس همه چیز خوب است و کسری به راحتی به اعشار نهایی تبدیل می شود. در غیر این صورت، اگر 3، 7 و سایر اعداد اول ظاهر شوند، نتیجه بی نهایت خواهد بود. چنین کسر اعشاری برای سهولت استفاده در عملیات ریاضیگرد شده این موضوع کمی پایین تر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

مطالعه چگونگی به دست آوردن چنین کسرهای اعشاری، درجه 5. مثال ها در اینجا بسیار مفید خواهند بود.

اجازه دهید مخرج شامل اعداد 40، 24 و 75 باشد. تجزیه به عوامل اصلیبرای آنها این خواهد بود:

• 40=2 2 2 5;
• 24=2 2 2 3;
• 75=5 5 3.

در این مثال ها فقط کسر اول را می توان به عنوان کسر نهایی نشان داد.

الگوریتم تبدیل کسر معمولی به اعشار نهایی

فاکتورسازی مخرج را به ضرایب اول بررسی کنید و مطمئن شوید که از 2 و 5 تشکیل شده است.

به این اعداد آنقدر 2 و 5 اضافه کنید که به یک عدد مساوی تبدیل شوند. آنها مقدار ضریب اضافی را می دهند.

مخرج و صورت را در این عدد ضرب کنید. نتیجه یک کسری معمولی است که در زیر خط آن تا حدودی 10 وجود دارد.

اگر در کار این اقدامات با یک عدد مختلط انجام شود، ابتدا باید به عنوان یک کسر نامناسب نشان داده شود. و تنها پس از آن بر اساس سناریوی توصیف شده عمل کنید.

نمایش کسری مشترک به صورت اعشار گرد

این روش تبدیل کسری به اعشار حتی برای کسی ساده تر به نظر می رسد. چون اکشن زیادی نداره. فقط باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید.

به هر عددی که یک قسمت اعشاری در سمت راست نقطه اعشار داشته باشد، می توان تعداد بی نهایت صفر را به آن اختصاص داد. باید از این خاصیت استفاده کرد.

ابتدا کل قسمت را یادداشت کنید و بعد از آن کاما بگذارید. اگر کسر صحیح است، صفر بنویسید.

سپس لازم است تقسیم صورت بر مخرج انجام شود. به طوری که آنها تعداد ارقام یکسانی دارند. یعنی به سمت راست صورتگر اختصاص دهید مقدار مناسبصفرها

تقسیم را در یک ستون انجام دهید تا تعداد ارقام مورد نیاز شماره گیری شود. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به گرد کردن صدم دارید، باید 3 عدد از آنها در پاسخ وجود داشته باشد، به طور کلی، باید یک رقم بیشتر از رقمی باشد که در پایان باید بدست آورید.

پاسخ میانی را بعد از اعشار ثبت کنید و طبق قوانین گرد کنید. اگر آخرین رقم از 0 تا 4 باشد، فقط باید آن را کنار بگذارید. و هنگامی که برابر با 5-9 شد، باید یکی از جلوی آن یک افزایش یابد و آخرین مورد کنار گذاشته شود.

از اعشار به معمولی برگردانید

در ریاضیات، وقتی راحت‌تر است کسرهای اعشاری را به شکل کسرهای معمولی نشان دهیم، که در آن یک عدد با مخرج وجود دارد، مشکلاتی وجود دارد. می توانید نفس راحتی بکشید: این عمل همیشه امکان پذیر است.

برای این روش باید موارد زیر را انجام دهید:

قسمت صحیح را بنویسید، اگر برابر با صفر باشد، هیچ چیز لازم نیست نوشته شود.

رسم یک خط کسری؛

در بالای آن، اعداد را از سمت راست بنویسید، اگر اولی صفر است، باید آنها را خط بزنید.

در زیر خط، یک واحد بنویسید که به تعداد عدد صفر بعد از نقطه اعشار در کسر اصلی، صفر باشد.

این تنها کاری است که برای تبدیل اعشار به کسر معمولی باید انجام دهید.

با اعشار چه کاری می توانید انجام دهید؟

در ریاضیات، این اعمال معینی با کسرهای اعشاری است که قبلا برای اعداد دیگر انجام می شد.

آن ها هستند:

مقایسه؛

جمع و تفریق؛

ضرب و تقسیم

اولین اقدام، مقایسه، مشابه نحوه انجام آن برای اعداد طبیعی است. برای تعیین اینکه کدام بزرگتر است، باید ارقام قسمت صحیح را با هم مقایسه کنید. اگر مساوی باشند ، به کسری تغییر می کنند و آنها را به همان روش با ارقام مقایسه می کنند. عددی که بیشترین رقم را در بالاترین ترتیب داشته باشد پاسخگو خواهد بود.

جمع و تفریق اعشار

این شاید بیشترین است مراحل ساده. زیرا طبق قوانین مربوط به اعداد طبیعی انجام می شوند.



بنابراین، برای اضافه کردن کسرهای اعشاری، باید آنها را یکی زیر دیگری نوشت و کاما را در یک ستون قرار داد. با چنین رکوردی، قسمت های صحیح در سمت چپ کاما و قسمت های کسری در سمت راست ظاهر می شوند. و اکنون باید اعداد را ذره ذره اضافه کنید، همانطور که با اعداد طبیعی انجام می شود و کاما را به پایین ببرید. باید شروع به جمع کردن از کوچکترین رقم قسمت کسری عدد کنید. اگر اعداد کافی در نیمه سمت راست وجود نداشت، صفرها را اضافه کنید.

تفریق نیز به همین صورت عمل می کند. و در اینجا این قانون اعمال می شود که امکان گرفتن یک واحد از بالاترین رقم را توصیف می کند. اگر کسری کاهش یافته دارای ارقام کمتری بعد از اعشار نسبت به عدد فرعی باشد، به سادگی به آن صفر اختصاص داده می شود.

با کارهایی که باید ضرب و تقسیم کسرهای اعشاری را انجام دهید، وضعیت کمی پیچیده تر است.

چگونه اعشاری را در مثال های مختلف ضرب کنیم؟

قانون ضرب کسرهای اعشاری در یک عدد طبیعی به شرح زیر است:

آنها را در یک ستون بنویسید، بدون توجه به کاما.

مثل اینکه طبیعی هستند ضرب کنند.

با کاما به تعداد رقمی که در قسمت کسری عدد اصلی وجود دارد، جدا کنید.

یک مورد خاص مثالی است که در آن یک عدد طبیعی برابر با 10 به هر توانی است. سپس، برای دریافت پاسخ، فقط باید کاما را به تعداد موقعیت هایی که صفر در فاکتور دیگر وجود دارد به سمت راست حرکت دهید. به عبارت دیگر، هنگام ضرب در 10، کاما با یک رقم، 100 تغییر می کند - دو عدد از آنها وجود خواهد داشت و غیره. اگر ارقام کافی در قسمت کسری وجود نداشته باشد، باید صفرها را در موقعیت های خالی بنویسید.

قاعده ای که برای ضرب کردن کسرهای اعشاری در یک عدد دیگر استفاده می شود:

آنها را یکی زیر دیگری بنویسید، بدون توجه به کاما.

طوری ضرب کن که انگار اعداد طبیعی هستند.

با کاما به همان تعداد رقمی که در قسمت های کسری هر دو کسر اصلی با هم وجود دارد، جدا کنید.

به عنوان یک مورد خاص، نمونه هایی متمایز می شوند که در آنها یکی از عوامل برابر با 0.1 یا 0.01 و غیره است. در آنها، باید کاما را با تعداد ارقام موجود در فاکتورهای ارائه شده به سمت چپ حرکت دهید. یعنی اگر در 0.1 ضرب شود، کاما یک موقعیت جابجا می شود.

چگونه یک کسر اعشاری را در وظایف مختلف تقسیم کنیم؟

تقسیم کسرهای اعشاری بر یک عدد طبیعی طبق قانون زیر انجام می شود:

آنها را برای تقسیم در یک ستون بنویسید، مثل اینکه طبیعی هستند.

طبق قانون معمول تقسیم کنید تا کل قسمت تمام شود.

در پاسخ یک کاما قرار دهید؛

به تقسیم جزء کسری ادامه دهید تا باقیمانده صفر شود.

در صورت لزوم، می توانید تعداد مورد نیاز صفر را اختصاص دهید.

اگر عدد صحیح برابر با صفر باشد، در پاسخ نیز نخواهد بود.

به طور جداگانه، تقسیم به اعداد برابر با ده، صد و غیره وجود دارد. در چنین مشکلاتی باید کاما را با تعداد صفرهای مقسوم علیه به سمت چپ منتقل کنید. اتفاق می افتد که ارقام کافی در قسمت عدد صحیح وجود ندارد، سپس به جای آن از صفر استفاده می شود. مشاهده می شود که این عمل مشابه ضرب در 0.1 و اعداد مشابه است.

برای انجام تقسیم اعشار، باید از این قانون استفاده کنید:

تقسیم کننده را به یک عدد طبیعی تبدیل کنید و برای انجام این کار، کاما را در آن به سمت راست تا انتها ببرید.

کاما و قسمت بخش پذیر را به همان تعداد رقم منتقل کنید.

سناریوی قبلی را دنبال کنید

تقسیم بر 0.1 برجسته شده است. 0.01 و اعداد مشابه دیگر. در چنین مثال هایی، کاما با تعداد ارقام در قسمت کسری به سمت راست منتقل می شود. اگر آنها تمام شده اند، باید تعداد صفرهای از دست رفته را اختصاص دهید. شایان ذکر است که این عمل تقسیم بر 10 و اعداد مشابه را تکرار می کند.



نتیجه گیری: همه چیز در مورد تمرین است

هیچ چیز در یادگیری آسان یا بی دردسر نیست. برای تسلط بر مواد جدید به طور قابل اعتماد نیاز به زمان و تمرین است. ریاضیات نیز از این قاعده مستثنی نیست.

برای اینکه مبحث کسرهای اعشاری مشکلی ایجاد نکند، باید تا حد امکان مثال های بیشتری را با آنها حل کنید. گذشته از این، زمانی بود که جمع اعداد طبیعی گیج کننده بود. و اکنون همه چیز خوب است.

بنابراین، به تعبیر یک عبارت معروف: تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید و دوباره تصمیم بگیرید. سپس وظایف با چنین اعدادی مانند یک پازل دیگر به راحتی و به طور طبیعی انجام می شود.

به هر حال، حل پازل ها در ابتدا دشوار است و سپس باید حرکات معمول را انجام دهید. در مثال‌های ریاضی هم همین‌طور است: پس از چندین بار طی کردن یک مسیر، دیگر به این فکر نخواهید کرد که به کجا بروید.

بیایید به مطالعه عمل بعدی با کسرهای اعشاری برویم، اکنون به طور جامع در نظر خواهیم گرفت ضرب اعشار. اول بحث کنیم اصول کلیضرب اعشار پس از آن، بیایید به ضرب کسری اعشاری در کسری اعشاری برویم، نشان دهیم که ضرب کسری اعشاری در یک ستون چگونه انجام می شود، راه حل های مثال ها را در نظر بگیرید. در مرحله بعد، ضرب کسرهای اعشاری در اعداد طبیعی، به ویژه در 10، 100 و غیره را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. در پایان، اجازه دهید در مورد ضرب کسرهای اعشاری در کسری معمولی و اعداد مختلط صحبت کنیم.

بیایید بلافاصله بگوییم که در این مقاله فقط در مورد ضرب کسرهای اعشاری مثبت صحبت خواهیم کرد (اعداد مثبت و منفی را ببینید). موارد باقی مانده در مقالات ضرب اعداد گویا و ضرب اعداد حقیقی.

پیمایش صفحه.

اصول کلی برای ضرب اعشار

بیایید اصول کلی را که باید هنگام انجام ضرب با کسرهای اعشاری رعایت شود، مورد بحث قرار دهیم.

از آنجایی که اعشار متناهی و کسرهای تناوبی نامتناهی شکل اعشاری کسرهای معمولی هستند، ضرب این کسرهای اعشاری اساساً ضرب کسرهای معمولی است. به عبارت دیگر، ضرب اعشار نهایی, ضرب کسرهای اعشاری نهایی و تناوبی، همچنین ضرب اعشار دوره ایپس از تبدیل کسرهای اعشاری به معمولی، به ضرب کسرهای معمولی می رسد.

مثال هایی از کاربرد اصل صوت ضرب کسری اعشاری را در نظر بگیرید.

مثال.

ضرب اعشار 1.5 و 0.75 را انجام دهید.

راه حل.

اجازه دهید کسرهای اعشاری ضرب شده را با کسرهای معمولی مربوطه جایگزین کنیم. از آنجایی که 1.5=15/10 و 0.75=75/100، پس . می توانید کسر را کاهش دهید و سپس کل قسمت را از کسر نامناسب انتخاب کنید و راحت تر است کسر معمولی حاصل را 1 125/1 000 به عنوان کسری اعشاری 1.125 بنویسید.

پاسخ:

1.5 0.75 = 1.125.

لازم به ذکر است که ضرب کسرهای اعشاری نهایی در یک ستون راحت است؛ ما در مورد این روش ضرب کسری اعشاری در آن صحبت خواهیم کرد.

مثالی از ضرب کسرهای اعشاری تناوبی را در نظر بگیرید.

مثال.

حاصل ضرب اعشار تناوبی 0، (3) و 2، (36) را محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید کسرهای اعشاری تناوبی را به کسرهای معمولی تبدیل کنیم:

سپس . می توانید کسر معمولی حاصل را به کسری اعشاری تبدیل کنید:

پاسخ:

0، (3) 2، (36) = 0، (78) .

اگر در بین کسرهای اعشاری ضرب شده، کسرهای غیر تناوبی نامتناهی وجود داشته باشد، تمام کسرهای ضرب شده، از جمله کسرهای متناهی و تناوبی، باید به یک رقم معین گرد شوند (نگاه کنید به گرد کردن اعداد) و سپس ضرب کسرهای اعشاری نهایی به دست آمده پس از گرد کردن را انجام دهید.

مثال.

اعداد اعشاری 5.382… و 0.2 را ضرب کنید.

راه حل.

ابتدا یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی را گرد می کنیم، گرد کردن را می توان تا صدم انجام داد، ما 5.382 ... ≈5.38 داریم. کسر اعشاری نهایی 0.2 نیازی به گرد شدن به صدم ندارد. بنابراین، 5.382… 0.2≈5.38 0.2. باقی مانده است که حاصل کسری اعشاری نهایی را محاسبه کنیم: 5.38 0.2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1076/1000 \u003d 1.076.

پاسخ:

5.382… 0.2≈1.076.

ضرب کسرهای اعشاری در یک ستون

ضرب اعشار انتهایی را می توان با یک ستون انجام داد، شبیه ضرب ستونی اعداد طبیعی.

فرمول بندی کنیم قانون ضرب برای کسرهای اعشاری. برای ضرب کسرهای اعشاری در یک ستون، شما نیاز دارید:

• با نادیده گرفتن کاما، ضرب را طبق تمام قوانین ضرب با ستونی از اعداد طبیعی انجام دهید.
• در عدد به دست آمده، به تعداد رقم های اعشار در هر دو فاکتور با هم، تعداد رقم های سمت راست را با یک نقطه اعشار جدا کنید، و اگر رقم کافی در حاصلضرب وجود نداشته باشد، باید تعداد صفرهای مورد نیاز در سمت چپ اضافه شود.

مثال هایی از ضرب کسرهای اعشاری در یک ستون را در نظر بگیرید.

مثال.

اعداد اعشاری 63.37 و 0.12 را ضرب کنید.

راه حل.

بیایید ضرب کسرهای اعشاری را در یک ستون انجام دهیم. ابتدا اعداد را ضرب می کنیم و کاما را نادیده می گیریم:

باقی مانده است که در محصول حاصل کاما قرار دهید. او باید 4 رقم را در سمت راست جدا کند، زیرا چهار رقم اعشار در فاکتورها وجود دارد (دو رقم در کسری 3.37 و دو رقم در کسری 0.12). اعداد کافی در آنجا وجود دارد، بنابراین لازم نیست صفرها را در سمت چپ اضافه کنید. بیایید رکورد را تمام کنیم:

در نتیجه ما 3.37 0.12 = 7.6044 داریم.

پاسخ:

3.37 0.12 = 7.6044.

مثال.

حاصل ضرب اعداد اعشاری 3.2601 و 0.0254 را محاسبه کنید.

راه حل.

با انجام ضرب در یک ستون بدون در نظر گرفتن کاما، تصویر زیر را دریافت می کنیم:

اکنون در محصول باید 8 رقم در سمت راست را با کاما از هم جدا کنید، زیرا تعداد کل ارقام اعشار کسرهای ضرب شده هشت است. اما فقط 7 رقم در محصول وجود دارد، بنابراین، باید به همان تعداد صفر در سمت چپ اختصاص دهید تا 8 رقم با کاما از هم جدا شوند. در مورد ما، باید دو صفر را اختصاص دهیم:

این کار ضرب کسرهای اعشاری را در یک ستون کامل می کند.

پاسخ:

3.2601 0.0254=0.08280654 .

ضرب اعشار در 0.1، 0.01 و غیره

اغلب شما باید اعشار را در 0.1، 0.01 و غیره ضرب کنید. بنابراین، توصیه می شود یک قانون برای ضرب کسری اعشاری در این اعداد، که از اصول ضرب کسرهای اعشاری در بالا مورد بحث قرار گرفت، تدوین کنید.

بنابراین، ضرب اعشار داده شده در 0.1، 0.01، 0.001 و غیرهکسری را می دهد که از اصلی به دست می آید، اگر در ورودی آن کاما به ترتیب با اعداد 1، 2، 3 و غیره به سمت چپ منتقل شود، و اگر ارقام کافی برای جابجایی کاما وجود نداشته باشد، شما باید تعداد صفرهای مورد نیاز را به سمت چپ اضافه کنید.

به عنوان مثال، برای ضرب کسری اعشاری 54.34 در 0.1، باید نقطه اعشار را با 1 رقم در کسری 54.34 به سمت چپ حرکت دهید و کسری 5.434، یعنی 54.34 0.1 \u003d 5.434 را دریافت می کنید. بیایید مثال دیگری بزنیم. کسر اعشاری 9.3 را در 0.0001 ضرب کنید. برای انجام این کار، باید 4 رقم کاما را در کسر اعشاری ضرب شده 9.3 به سمت چپ منتقل کنیم، اما رکورد کسری 9.3 حاوی چنین تعداد کاراکتر نیست. بنابراین، ما باید در رکورد کسری 9.3 در سمت چپ به تعداد صفر اختصاص دهیم تا بتوانیم به راحتی کاما را به 4 رقم منتقل کنیم، 9.3 0.0001 \u003d 0.00093 داریم.

توجه داشته باشید که قانون اعلام شده برای ضرب کسر اعشاری در 0.1، 0.01، ... برای کسرهای اعشاری بی نهایت نیز معتبر است. برای مثال 0,(18) 0.01=0.00(18) یا 93.938… 0.1=9.3938… .

ضرب اعشار در یک عدد طبیعی

در هسته آن ضرب اعشار در اعداد طبیعیتفاوتی با ضرب اعشار در اعشار ندارد.

راحت تر است که یک کسر اعشاری محدود را در یک عدد طبیعی در یک ستون ضرب کنید، در حالی که باید قوانین ضرب در یک ستون کسری اعشاری را که در یکی از پاراگراف های قبلی مورد بحث قرار گرفت، دنبال کنید.

مثال.

محصول 15 2.27 را محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید ضرب یک عدد طبیعی را در یک کسری اعشاری در یک ستون انجام دهیم:

پاسخ:

15 2.27=34.05.

هنگام ضرب کسر اعشاری تناوبی در یک عدد طبیعی، کسر تناوبی باید با کسری معمولی جایگزین شود.

مثال.

کسر اعشاری 0،(42) را در عدد طبیعی 22 ضرب کنید.

راه حل.

ابتدا اعشار تناوبی را به کسری مشترک تبدیل می کنیم:

حالا بیایید ضرب را انجام دهیم: . این نتیجه اعشاری 9، (3) است.

پاسخ:

0، (42) 22=9، (3) .

و هنگام ضرب کردن یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی در یک عدد طبیعی، ابتدا باید گرد کنید.

مثال.

ضرب 4 2.145 را انجام دهید….

راه حل.

با گرد کردن کسر اعشاری نامتناهی به صدم، به ضرب یک عدد طبیعی و یک کسری اعشاری نهایی خواهیم رسید. ما 4 2.145 داریم...≈4 2.15=8.60.

پاسخ:

4 2.145…≈8.60.

ضرب اعشار در 10، 100، ...

اغلب اوقات شما باید کسرهای اعشاری را در 10، 100، ضرب کنید ... بنابراین، توصیه می شود در مورد این موارد با جزئیات صحبت کنید.

بیایید صدا کنیم قانون ضرب اعشار در 10، 100، 1000 و غیره.هنگام ضرب کردن یک کسر اعشاری در 10، 100، ... در ورودی آن، باید کاما را به ترتیب با 1، 2، 3، ... به سمت راست حرکت دهید و صفرهای اضافی را در سمت چپ حذف کنید. اگر اعداد کافی در رکورد کسر ضرب شده برای انتقال کاما وجود ندارد، باید تعداد صفرهای مورد نیاز را به سمت راست اضافه کنید.

مثال.

عدد اعشاری 0.0783 را در 100 ضرب کنید.

راه حل.

بیایید کسر 0.0783 دو رقمی را به سمت راست به رکورد منتقل کنیم و 007.83 به دست می‌آید. با انداختن دو صفر در سمت چپ، کسر اعشاری 7.38 را بدست می آوریم. بنابراین، 0.0783 100 = 7.83.

پاسخ:

0.0783 100=7.83.

مثال.

کسر اعشاری 0.02 را در 10000 ضرب کنید.

راه حل.

برای ضرب 0.02 در 10000 باید کاما را 4 رقم به سمت راست حرکت دهیم. بدیهی است که در رکورد کسری 0.02 رقم کافی برای انتقال کاما به 4 رقم وجود ندارد، بنابراین چند صفر به سمت راست اضافه می کنیم تا کاما قابل انتقال باشد. در مثال ما کافی است سه صفر اضافه کنیم، 0.02000 داریم. پس از جابجایی کاما، ورودی 00200.0 را دریافت می کنیم. با انداختن صفرهای سمت چپ، عدد 200.0 را داریم که برابر با عدد طبیعی 200 است، حاصل ضرب کسری اعشاری 0.02 در 10000 است.

ضرب اعشاریدر سه مرحله صورت می گیرد.

اعشار در یک ستون نوشته می شوند و به صورت اعداد معمولی ضرب می شوند.

تعداد ارقام اعشار را برای اعشار اول و دوم می شماریم. تعداد آنها را اضافه می کنیم.

در نتیجه به دست آمده، از راست به چپ به همان تعداد رقمی که در پاراگراف بالا آمده می شماریم و کاما می گذاریم.

نحوه ضرب اعشار

کسرهای اعشاری را در یک ستون می نویسیم و بدون توجه به کاما آنها را به صورت اعداد طبیعی ضرب می کنیم. یعنی 3.11 را 311 و 0.01 را 1 در نظر می گیریم.

دریافت 311 . حالا تعداد علائم (اعداد) بعد از نقطه اعشار را برای هر دو کسر می شماریم. اعشار اول دارای دو رقم و دومی دارای دو رقم است. تعداد کل ارقام بعد از کاما:

از راست به چپ 4 کاراکتر (اعداد) عدد حاصل را می شماریم. ارقام کمتری در نتیجه وجود دارد که باید با کاما جدا کنید. در آن صورت، شما نیاز دارید ترک کردعدد صفرهای از دست رفته را اختصاص دهید.

ما یک رقم را از دست می دهیم، بنابراین یک صفر را به سمت چپ نسبت می دهیم.

هنگام ضرب هر کسری اعشاریدر 10; 100; 1000 و غیره نقطه اعشار به تعداد صفرهای بعد از یک به سمت راست حرکت می کند.

برای ضرب اعشار در 0.1؛ 0.01; 0.001 و غیره، لازم است کاما را در این کسر به تعداد صفرهای جلوی واحد به سمت چپ منتقل کنید.

اعداد صحیح را صفر می شماریم!

• 12 0.1 = 1.2
• 0.05 0.1 = 0.005
• 1.256 0.01 = 0.012 56

برای درک چگونگی ضرب اعشار، بیایید به مثال های خاص نگاه کنیم.

قانون ضرب اعشاری

1) با نادیده گرفتن کاما ضرب می کنیم.

2) در نتیجه به تعداد رقم بعد از کاما در هر دو فاکتور با هم جدا می کنیم.

حاصل ضرب اعشار را بیابید:

برای ضرب اعشار بدون توجه به کاما ضرب می کنیم. یعنی 6.8 و 3.4 را ضرب نمی کنیم، بلکه 68 و 34 را ضرب می کنیم. در نتیجه به همان تعداد رقم بعد از اعشار از کاماهای هر دو فاکتور با هم جدا می کنیم. در ضرب اول یک رقم بعد از نقطه اعشار وجود دارد، در دومی نیز یک رقم وجود دارد. در مجموع دو رقم را بعد از اعشار از هم جدا می کنیم که به جواب نهایی رسیدیم: 6.8∙3.4=23.12.

ضرب اعشار بدون در نظر گرفتن کاما. یعنی در واقع به جای اینکه 36.85 را در 1.14 ضرب کنیم، 3685 را در 14 ضرب می کنیم. به 51590 می رسیم. حالا در این نتیجه باید هر تعداد رقم را با کاما از هم جدا کنیم که در هر دو فاکتور با هم وجود دارد. عدد اول دارای دو رقم پس از نقطه اعشار است، عدد دوم دارای یک رقم است. در کل سه رقم را با کاما از هم جدا می کنیم. از آنجایی که در انتهای ورودی بعد از نقطه اعشار یک صفر وجود دارد، آن را در پاسخ نمی نویسیم: 36.85∙1.4=51.59.

برای ضرب این اعشار، اعداد را بدون توجه به کاما ضرب می کنیم. یعنی اعداد طبیعی 2315 و 7 را ضرب می کنیم. 16205 به دست می آید. در این عدد باید چهار رقم بعد از اعشار از هم جدا شوند - به تعداد هر دو عامل با هم (در هر دو عدد). پاسخ نهایی: 23.15∙0.07=1.6205.

ضرب کسری اعشاری در یک عدد طبیعی به همین ترتیب انجام می شود. اعداد را بدون توجه به کاما ضرب می کنیم، یعنی 75 را در 16 ضرب می کنیم. در نتیجه به دست آمده، پس از کاما باید به تعداد هر دو عامل با هم علامت وجود داشته باشد - یکی. بنابراین، 75∙1.6=120.0=120.

ضرب کسرهای اعشاری را با ضرب اعداد طبیعی آغاز می کنیم، زیرا به کاما توجه نمی کنیم. پس از آن، به تعداد هر دو فاکتور با هم، بعد از کاما، رقم را از هم جدا می کنیم. عدد اول دارای دو رقم اعشار و عدد دوم دارای دو رقم اعشار است. در مجموع، در نتیجه، باید چهار رقم بعد از نقطه اعشار وجود داشته باشد: 4.72∙5.04=23.7888.

و چند مثال دیگر برای ضرب کسری اعشاری:

www.for6cl.uznateshe.ru

ضرب کسرهای اعشاری، قوانین، مثال ها، راه حل ها.

بریم درس بخونیم اقدام بعدیبا اعشار، اکنون نگاهی جامع به آن خواهیم داشت ضرب اعشار. ابتدا، اجازه دهید اصول کلی ضرب کسرهای اعشاری را مورد بحث قرار دهیم. پس از آن، بیایید به ضرب کسری اعشاری در کسری اعشاری برویم، نشان دهیم که ضرب کسری اعشاری در یک ستون چگونه انجام می شود، راه حل های مثال ها را در نظر بگیرید. در مرحله بعد، ضرب کسرهای اعشاری در اعداد طبیعی، به ویژه در 10، 100 و غیره را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. در پایان، اجازه دهید در مورد ضرب کسرهای اعشاری در کسری معمولی و اعداد مختلط صحبت کنیم.

بیایید بلافاصله بگوییم که در این مقاله فقط در مورد ضرب کسرهای اعشاری مثبت صحبت خواهیم کرد (به مثبت و اعداد منفی). موارد باقی مانده در مقالات ضرب اعداد گویا و ضرب اعداد حقیقی.

پیمایش صفحه.

اصول کلی برای ضرب اعشار

بیایید اصول کلی را که باید هنگام انجام ضرب با کسرهای اعشاری رعایت شود، مورد بحث قرار دهیم.

از آنجایی که اعشار دنباله دار و کسرهای تناوبی نامتناهی شکل اعشاری کسرهای رایج هستند، ضرب چنین اعشاری اساساً ضرب کسرهای رایج است. به عبارت دیگر، ضرب اعشار نهایی, ضرب کسرهای اعشاری نهایی و تناوبی، همچنین ضرب اعشار دوره ایپس از تبدیل کسرهای اعشاری به معمولی، به ضرب کسرهای معمولی می رسد.

مثال هایی از کاربرد اصل صوت ضرب کسری اعشاری را در نظر بگیرید.

ضرب اعشار 1.5 و 0.75 را انجام دهید.

اجازه دهید کسرهای اعشاری ضرب شده را با کسرهای معمولی مربوطه جایگزین کنیم. از آنجایی که 1.5=15/10 و 0.75=75/100، پس. می توانید کسر را کاهش دهید و سپس کل قسمت را از کسر نامناسب انتخاب کنید و راحت تر است کسر معمولی حاصل را 1 125/1 000 به عنوان کسری اعشاری 1.125 بنویسید.

لازم به ذکر است که ضرب کسرهای اعشاری نهایی در یک ستون راحت است، در پاراگراف بعدی در مورد این روش ضرب کسری اعشاری صحبت خواهیم کرد.

مثالی از ضرب کسرهای اعشاری تناوبی را در نظر بگیرید.

حاصل ضرب اعشار تناوبی 0، (3) و 2، (36) را محاسبه کنید.

بیایید کسرهای اعشاری تناوبی را به کسرهای معمولی تبدیل کنیم:

سپس. می توانید کسر معمولی حاصل را به کسری اعشاری تبدیل کنید:


اگر در بین کسرهای اعشاری ضرب شده، کسرهای غیر تناوبی نامتناهی وجود داشته باشد، تمام کسرهای ضرب شده، از جمله کسرهای متناهی و تناوبی، باید به یک رقم معین گرد شوند (نگاه کنید به گرد کردن اعداد) و سپس ضرب کسرهای اعشاری نهایی به دست آمده پس از گرد کردن را انجام دهید.

اعداد اعشاری 5.382… و 0.2 را ضرب کنید.

ابتدا یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی را گرد می کنیم، گرد کردن را می توان تا صدم انجام داد، ما 5.382 ... ≈5.38 داریم. کسر اعشاری نهایی 0.2 نیازی به گرد شدن به صدم ندارد. بنابراین، 5.382… 0.2≈5.38 0.2. باقی مانده است که حاصل کسری اعشاری نهایی را محاسبه کنیم: 5.38 0.2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1076/1000 \u003d 1.076.

ضرب کسرهای اعشاری در یک ستون

ضرب کسرهای اعشاری محدود را می توان با یک ستون انجام داد، مشابه ضرب در ستونی از اعداد طبیعی.

فرمول بندی کنیم قانون ضرب برای کسرهای اعشاری. برای ضرب کسرهای اعشاری در یک ستون، شما نیاز دارید:

• با نادیده گرفتن کاما، ضرب را طبق تمام قوانین ضرب با ستونی از اعداد طبیعی انجام دهید.
• در عدد به دست آمده، به تعداد رقم های اعشار در هر دو فاکتور با هم، تعداد رقم های سمت راست را با یک نقطه اعشار جدا کنید، و اگر رقم کافی در حاصلضرب وجود نداشته باشد، باید تعداد صفرهای مورد نیاز در سمت چپ اضافه شود.

مثال هایی از ضرب کسرهای اعشاری در یک ستون را در نظر بگیرید.

اعداد اعشاری 63.37 و 0.12 را ضرب کنید.

بیایید ضرب کسرهای اعشاری را در یک ستون انجام دهیم. ابتدا اعداد را ضرب می کنیم و کاما را نادیده می گیریم:


باقی مانده است که در محصول حاصل کاما قرار دهید. او باید 4 رقم را در سمت راست جدا کند، زیرا چهار رقم اعشار در فاکتورها وجود دارد (دو رقم در کسری 3.37 و دو رقم در کسری 0.12). اعداد کافی در آنجا وجود دارد، بنابراین لازم نیست صفرها را در سمت چپ اضافه کنید. بیایید رکورد را تمام کنیم:


در نتیجه ما 3.37 0.12 = 7.6044 داریم.

حاصل ضرب اعداد اعشاری 3.2601 و 0.0254 را محاسبه کنید.

با انجام ضرب در یک ستون بدون در نظر گرفتن کاما، تصویر زیر را دریافت می کنیم:


اکنون در محصول باید 8 رقم در سمت راست را با کاما از هم جدا کنید، زیرا تعداد کل ارقام اعشار کسرهای ضرب شده هشت است. اما فقط 7 رقم در محصول وجود دارد، بنابراین، باید به همان تعداد صفر در سمت چپ اختصاص دهید تا 8 رقم با کاما از هم جدا شوند. در مورد ما، باید دو صفر را اختصاص دهیم:


این کار ضرب کسرهای اعشاری را در یک ستون کامل می کند.

ضرب اعشار در 0.1، 0.01 و غیره

اغلب شما باید اعشار را در 0.1، 0.01 و غیره ضرب کنید. بنابراین، توصیه می شود یک قانون برای ضرب کسر اعشاری در این اعداد، که از اصول ضرب کسرهای اعشاری در بالا مورد بحث قرار گرفت، تدوین کنید.

بنابراین، ضرب اعشار داده شده در 0.1، 0.01، 0.001 و غیرهکسری می دهد که از اصلی به دست می آید، اگر در ورودی آن کاما به ترتیب با اعداد 1، 2، 3 و غیره به سمت چپ منتقل شود، و اگر ارقام کافی برای جابجایی کاما وجود نداشته باشد، شما باید تعداد صفرهای مورد نیاز را به سمت چپ اضافه کنید.

به عنوان مثال، برای ضرب کسری اعشاری 54.34 در 0.1، باید نقطه اعشار را با 1 رقم در کسری 54.34 به سمت چپ حرکت دهید، و کسری 5.434، یعنی 54.34 0.1 \u003d 5.434 به دست می آید. بیایید مثال دیگری بزنیم. کسر اعشاری 9.3 را در 0.0001 ضرب کنید. برای انجام این کار، باید 4 رقم کاما را در کسر اعشاری ضرب شده 9.3 به سمت چپ منتقل کنیم، اما رکورد کسری 9.3 حاوی چنین تعداد کاراکتر نیست. بنابراین، باید در رکورد کسری 9.3 در سمت چپ به تعداد صفر اختصاص دهیم تا بتوانیم به راحتی کاما را به 4 رقم منتقل کنیم، 9.3 0.0001 \u003d 0.00093 داریم.

توجه داشته باشید که قانون اعلام شده برای ضرب کسر اعشاری در 0.1، 0.01، ... برای کسرهای اعشاری بی نهایت نیز معتبر است. برای مثال 0,(18) 0.01=0.00(18) یا 93.938… 0.1=9.3938… .

ضرب اعشار در یک عدد طبیعی

در هسته آن ضرب اعشار در اعداد طبیعیتفاوتی با ضرب اعشار در اعشار ندارد.

راحت تر است که یک کسر اعشاری محدود را در یک عدد طبیعی در یک ستون ضرب کنید، در حالی که باید قوانین ضرب در یک ستون کسری اعشاری را که در یکی از پاراگراف های قبلی مورد بحث قرار گرفت، دنبال کنید.

محصول 15 2.27 را محاسبه کنید.

بیایید ضرب یک عدد طبیعی را در یک کسری اعشاری در یک ستون انجام دهیم:


هنگام ضرب کسر اعشاری تناوبی در یک عدد طبیعی، کسر تناوبی باید با کسری معمولی جایگزین شود.

کسر اعشاری 0،(42) را در عدد طبیعی 22 ضرب کنید.

ابتدا اعشار تناوبی را به کسری مشترک تبدیل می کنیم:

حالا بیایید ضرب را انجام دهیم: . این نتیجه اعشاری 9، (3) است.

و هنگام ضرب کردن یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی در یک عدد طبیعی، ابتدا باید گرد کنید.

ضرب 4 2.145 را انجام دهید….

با گرد کردن کسر اعشاری نامتناهی به صدم، به ضرب یک عدد طبیعی و یک کسری اعشاری نهایی خواهیم رسید. ما 4 2.145 داریم...≈4 2.15=8.60.

ضرب اعشار در 10، 100، ...

اغلب اوقات شما باید کسرهای اعشاری را در 10، 100، ضرب کنید ... بنابراین، توصیه می شود در مورد این موارد با جزئیات صحبت کنید.

بیایید صدا کنیم قانون ضرب اعشار در 10، 100، 1000 و غیره.هنگام ضرب کردن یک کسر اعشاری در 10، 100، ... در ورودی آن، باید کاما را به ترتیب با 1، 2، 3، ... به سمت راست حرکت دهید و صفرهای اضافی را در سمت چپ حذف کنید. اگر اعداد کافی در رکورد کسر ضرب شده برای انتقال کاما وجود ندارد، باید تعداد صفرهای مورد نیاز را به سمت راست اضافه کنید.

عدد اعشاری 0.0783 را در 100 ضرب کنید.

بیایید کسر 0.0783 دو رقمی را به سمت راست به رکورد منتقل کنیم و 007.83 به دست می‌آید. با انداختن دو صفر در سمت چپ، کسر اعشاری 7.38 را بدست می آوریم. بنابراین، 0.0783 100 = 7.83.

کسر اعشاری 0.02 را در 10000 ضرب کنید.

برای ضرب 0.02 در 10000 باید کاما را 4 رقم به سمت راست حرکت دهیم. بدیهی است که در رکورد کسری 0.02 رقم کافی برای انتقال کاما به 4 رقم وجود ندارد، بنابراین چند صفر به سمت راست اضافه می کنیم تا کاما قابل انتقال باشد. در مثال ما کافی است سه صفر اضافه کنیم، 0.02000 داریم. پس از جابجایی کاما، ورودی 00200.0 را دریافت می کنیم. با انداختن صفرهای سمت چپ، عدد 200.0 را داریم که برابر با عدد طبیعی 200 است، حاصل ضرب کسری اعشاری 0.02 در 10000 است.

قانون بیان شده برای ضرب کسرهای اعشاری نامتناهی در 10، 100، ... در ضرب کسرهای اعشاری تناوبی، باید مراقب دوره کسری باشد که حاصل ضرب است.

اعشار تناوبی 5.32 (672) را در 1000 ضرب کنید.

قبل از ضرب، کسر اعشاری تناوبی را به صورت 5.32672672672 ... می نویسیم، این به ما امکان می دهد از اشتباه جلوگیری کنیم. حالا بیایید کاما را 3 رقم به سمت راست ببریم، 5 326.726726 ... داریم. بنابراین، پس از ضرب، کسری اعشاری تناوبی 5 326، (726) به دست می آید.

5.32(672) 1000=5326،(726).

وقتی کسرهای نامتناهی غیر تناوبی را در 10، 100، ... ضرب می کنید، ابتدا باید کسر نامتناهی را به یک رقم مشخص گرد کنید و سپس ضرب را انجام دهید.

ضرب یک اعشار در یک کسری معمولی یا یک عدد مختلط

برای ضرب یک کسر اعشاری متناهی یا یک کسری اعشاری متناوب نامتناهی در یک کسری معمولی یا یک عدد مختلط، باید کسر اعشاری را به شکل نشان دهید. کسر مشترکو سپس ضرب را انجام دهید.

کسر اعشاری 0.4 را در عدد مختلط ضرب کنید.

از 0.4=4/10=2/5 و سپس. عدد حاصل را می توان به صورت یک کسر اعشاری تناوبی 1.5(3) نوشت.

هنگام ضرب یک کسر اعشاری نامتناهی غیر تناوبی در یک کسری مشترک یا یک عدد مختلط، کسری مشترک یا عدد مختلط باید با کسری اعشاری جایگزین شود، سپس کسرهای ضرب شده را گرد کرده و محاسبه را تمام کنید.

از 2/3 \u003d 0.6666 ...، پس. پس از گرد کردن کسرهای ضرب شده به هزارم، به حاصل ضرب دو کسر اعشاری نهایی 3.568 و 0.667 می رسیم. بیایید ضرب را در یک ستون انجام دهیم:


نتیجه به دست آمده باید به هزارم گرد شود، زیرا کسرهای ضرب شده با دقت هزارم گرفته شده اند، ما 2.379856≈2.380 داریم.

www.cleverstudents.ru

29. ضرب کسرهای اعشاری. قوانین




مساحت یک مستطیل با اضلاع مساوی را پیدا کنید
1.4 dm و 0.3 dm. تبدیل دسی متر به سانتی متر:

1.4 dm = 14 سانتی متر؛ 0.3 dm = 3 سانتی متر.

حالا بیایید مساحت را بر حسب سانتی متر محاسبه کنیم.

S \u003d 14 3 \u003d 42 cm 2.

سانتی متر مربع را به مربع تبدیل کنید
دسی متر:

d m 2 \u003d 0.42 d m 2.

بنابراین، S \u003d 1.4 dm 0.3 dm \u003d 0.42 dm 2.

ضرب دو اعشار به این صورت انجام می شود:
1) اعداد بدون در نظر گرفتن کاما ضرب می شوند.
2) کاما در محصول به گونه ای قرار می گیرد که در سمت راست جدا شود
به تعداد نشانه هایی که در هر دو عامل از هم جدا شده اند
گرفته شده با هم. مثلا:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

نمونه هایی از ضرب کسرهای اعشاری در یک ستون:



به جای ضرب هر عدد در 0.1 . 0.01; 0.001
می توانید این عدد را بر 10 تقسیم کنید. 100 ; یا به ترتیب 1000.
مثلا:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

وقتی کسر اعشاری را در یک عدد طبیعی ضرب می کنیم باید:

1) اعداد را با نادیده گرفتن کاما ضرب کنید.

2) در محصول حاصل، یک کاما قرار دهید تا در سمت راست
از آن به تعداد کسری اعشاری ارقام وجود داشت.

بیایید محصول 3.12 10 را پیدا کنیم. طبق قاعده فوق
ابتدا 312 را در 10 ضرب کنید. ما دریافت می کنیم: 312 10 \u003d 3120.
و حالا دو رقم سمت راست را با کاما جدا می کنیم و می گیریم:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

بنابراین، وقتی 3.12 را در 10 ضرب می کنیم، کاما را یک بار جابه جا می کنیم
شماره سمت راست اگر 3.12 را در 100 ضرب کنیم 312 به دست می آید
کاما دو رقمی به سمت راست منتقل شد.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

وقتی کسر اعشاری را در 10، 100، 1000 و غیره ضرب می کنید، باید
در این کسر، به تعداد کاراکترهای صفر، کاما را به سمت راست ببرید
در ضریب است. مثلا:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

وظایف با موضوع "ضرب کسرهای اعشاری"

school-assistant.ru

جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعشار

جمع و تفریق اعداد اعشاری شبیه جمع و تفریق اعداد طبیعی است اما با شرایط خاصی.

قانون. توسط ارقام اعداد صحیح و کسری به عنوان اعداد طبیعی ساخته می شود.

وقتی نوشته می شود جمع و تفریق اعداد اعشاریکاما که قسمت صحیح را از قسمت کسری جدا می کند باید به صورت عبارات و مجموع یا جزئی، زیر خط و تفاوت در یک ستون باشد (کاما زیر کاما از شرط تا انتهای محاسبه).

جمع و تفریق اعشاربه خط:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

جمع و تفریق اعشاردر یک ستون:

جمع کردن کسرهای اعشاری نیاز به یک خط اضافی بالایی برای نوشتن اعداد دارد که مجموع رقم از ده عبور کند. تفریق اعشار به خط اضافی بالایی نیاز دارد تا رقمی را که 1 در آن قرض گرفته شده است، مشخص کند.

اگر ارقام کافی از قسمت کسری در سمت راست عبارت وجود نداشته باشد یا کاهش یابد، می توان به همان تعداد صفر در قسمت کسری به سمت راست اضافه کرد (عمق بیت قسمت کسری را افزایش دهید) به تعداد ارقام در جمله دیگر. یا کاهش یافته است.

ضرب اعشاریمانند ضرب اعداد طبیعی، طبق قوانین مشابه انجام می شود، اما در حاصل ضرب با توجه به مجموع ارقام ضرایب در قسمت کسری، با شمارش از راست به چپ (مجموع) کاما قرار می گیرد. از ارقام فاکتورها تعداد ارقام بعد از اعشار برای فاکتورها با هم جمع شده است).

در ضرب اعشاردر یک ستون، اولین رقم قابل توجه در سمت راست، مانند اعداد طبیعی، زیر اولین رقم مهم در سمت راست امضا می شود:

در حال ضبط ضرب اعشاردر یک ستون:

در حال ضبط تقسیم اعشاریدر یک ستون:

کاراکترهایی که زیر آنها خط کشیده شده کاراکترهایی با کاما هستند زیرا مقسوم علیه باید یک عدد صحیح باشد.

قانون. در تقسیم کسرهامقسوم علیه کسر اعشاری به تعداد ارقامی که در قسمت کسری آن وجود دارد، افزایش می یابد. به طوری که کسر تغییر نمی کند، سود سهام به همان تعداد رقم افزایش می یابد (در تقسیم کننده و تقسیم کننده، کاما به همان تعداد کاراکتر منتقل می شود). در مرحله تقسیم زمانی که کل قسمت کسر تقسیم می شود، کاما در ضریب قرار می گیرد.

برای کسرهای اعشاری، و همچنین برای اعداد طبیعی، این قانون حفظ می شود: شما نمی توانید اعشار را بر صفر تقسیم کنید!

جمع اعشار مانند جمع اعداد کامل انجام می شود. بیایید این را با مثال ببینیم.

1) 0.132 + 2.354. بیایید شرایط را یکی زیر دیگری امضا کنیم.

در اینجا از جمع 2 هزارم با 4 هزارم، 6 هزارم به دست آمد.
از جمع 3 صدم با 5 صدم، 8 صدم به دست آمد.
از جمع 1 دهم با 3 دهم -4 دهم و
از اضافه کردن 0 عدد صحیح با 2 عدد صحیح - 2 عدد صحیح.

2) 5,065 + 7,83.

در دوره دوم هزارم وجود ندارد، بنابراین مهم است که هنگام امضای شرایط زیر یکدیگر اشتباه نکنید.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

در اینجا، هنگام جمع هزارم، 21 هزارم بدست می آید. ما 1 را زیر هزارم نوشتیم و 2 را به صدم ها اضافه کردیم، بنابراین در مکان صدم عبارت های زیر را به دست آوردیم: 2 + 3 + 6 + 8 + 0. در مجموع 19 صدم می دهند، ما 9 تا زیر صدم امضا کردیم و 1 دهم حساب شد و غیره.

بنابراین، هنگام جمع کردن کسرهای اعشاری، ترتیب زیر باید رعایت شود: کسری ها یکی زیر دیگری امضا می شوند، به طوری که در تمام عبارات، ارقام یکسان زیر یکدیگر و همه کاماها در یک ستون عمودی قرار می گیرند. در سمت راست ارقام اعشار برخی از عبارت‌ها، حداقل از نظر ذهنی، آن‌قدر عدد صفر نسبت می‌دهند که همه عبارت‌های بعد از نقطه اعشار دارای تعداد یکسانی هستند. سپس، جمع با اعداد انجام می شود، از سمت راست شروع می شود، و در مقدار حاصل، یک کاما در همان ستون عمودی که در این شرایط وجود دارد، قرار می گیرد.

§ 108. تفریق کسرهای اعشاری.

تفریق اعداد اعشاری مانند تفریق اعداد صحیح انجام می شود. بیایید این را با مثال هایی نشان دهیم.

1) 9.87 - 7.32. بیایید زیر خط زیر را امضا کنیم تا واحدهای یک رقم زیر یکدیگر قرار گیرند:

2) 16.29 - 4.75. بیایید مانند مثال اول، زیرنویس را در زیر مینیوند امضا کنیم:

برای تفریق یک دهم، باید یک واحد کامل از 6 برداشت و به دهم تقسیم کرد.

3) 14.0213-5.350712. بیایید زیرنویس زیر را امضا کنیم:

تفریق به صورت زیر انجام شد: از آنجایی که نمی‌توانیم 2 میلیونیم از 0 کم کنیم، باید به نزدیک‌ترین رقم سمت چپ یعنی صد هزارم مراجعه کنیم، اما به جای صدهزارم صفر نیز وجود دارد، بنابراین 1 را می‌گیریم. ده هزارم از 3 ده هزارم و آن را به صد هزارم تقسیم می کنیم، 10 صد هزارم به دست می آید که 9 صد هزارم در دسته صد هزارم باقی می ماند و 1 صد هزارم به میلیونم خرد می شود. ما 10 میلیونیم می گیریم. بنابراین، در سه رقم آخر، به دست آوردیم: میلیونیم 10، صد هزارم 9، ده هزارم 2. برای وضوح و راحتی بیشتر (فراموش نشود)، این اعداد در بالای ارقام کسری مربوطه نوشته می شوند. حالا می توانیم شروع به تفریق کنیم. از 10 میلیونیم 2 میلیونیم کم می کنیم، 8 میلیونیم می گیریم. 1 صد هزارم را از 9 صد هزارم کم می کنیم، 8 صد هزارم می گیریم و غیره.

بنابراین، هنگام تفریق کسرهای اعشاری، ترتیب زیر مشاهده می شود: تفریق شده در زیر کاهش می یابد به طوری که ارقام یکسان یکی زیر دیگری و همه کاماها در یک ستون عمودی قرار می گیرند. در سمت راست، حداقل از نظر ذهنی، آنقدر صفر را در کاهش یا تفریق نسبت می‌دهند تا تعداد ارقام یکسانی داشته باشند، سپس با اعداد از سمت راست شروع می‌کنند و در اختلاف حاصل یک کاما در علامت می‌گذارند. همان ستون عمودی که در آن در کاهش و تفریق قرار دارد.

§ 109. ضرب کسرهای اعشاری.

چند مثال از ضرب کسرهای اعشاری را در نظر بگیرید.

برای یافتن حاصلضرب این اعداد، می‌توانیم به این صورت استدلال کنیم: اگر ضریب ۱۰ برابر شود، هر دو ضریب اعداد صحیح خواهند بود و می‌توانیم آنها را طبق قوانین ضرب اعداد صحیح ضرب کنیم. اما می دانیم که وقتی یکی از فاکتورها چندین برابر شود، محصول به همان میزان افزایش می یابد. یعنی عددی که از ضرب ضرایب صحیح یعنی 28 در 23 به دست می آید 10 برابر بیشتر از حاصل ضرب واقعی است و برای به دست آوردن حاصل ضرب واقعی باید حاصل ضرب پیدا شده را 10 برابر کاهش دهید. بنابراین، در اینجا باید یک بار ضرب در 10 و یک بار تقسیم بر 10 انجام دهید، اما ضرب و تقسیم بر 10 با حرکت دادن کاما به راست و چپ با یک علامت انجام می شود. بنابراین، شما باید این کار را انجام دهید: در ضریب، کاما را با یک علامت به سمت راست حرکت دهید، از این مقدار برابر با 23 خواهد بود، سپس باید اعداد صحیح حاصل را ضرب کنید:

این محصول 10 برابر بزرگتر از نمونه واقعی است. بنابراین باید 10 برابر کاهش یابد که برای این کار کاما را یک کاراکتر به سمت چپ می بریم. بنابراین، ما دریافت می کنیم

28 2,3 = 64,4.

برای تأیید، می توانید یک کسر اعشاری را با مخرج بنویسید و عملی را مطابق قانون ضرب کسرهای معمولی انجام دهید.

2) 12,27 0,021.

تفاوت این مثال با مثال قبلی در این است که در اینجا هر دو عامل با کسری اعشاری نشان داده می شوند. اما در اینجا در فرآیند ضرب به کاما توجه نخواهیم کرد، یعنی ضریب را موقتاً 100 برابر و ضریب را 1000 برابر می کنیم که حاصل ضرب را 100000 برابر می کنیم. بنابراین، با ضرب 1227 در 21، به دست می آید:

1 227 21 = 25 767.

با در نظر گرفتن اینکه محصول به دست آمده 100000 برابر بزرگتر از محصول واقعی است، اکنون باید با قرار دادن صحیح کاما آن را 100000 برابر کاهش دهیم، سپس دریافت می کنیم:

32,27 0,021 = 0,25767.

بیایید بررسی کنیم:

بنابراین، برای ضرب دو کسر اعشاری، کافی است بدون توجه به کاما، آنها را به صورت اعداد صحیح ضرب کنیم و در حاصل ضرب با کاما در سمت راست به تعداد اعشار اعشاری که در ضرب و در ضرب وجود داشت از هم جدا شوند. عامل با هم

در مثال آخر، نتیجه حاصل یک محصول با پنج رقم اعشار است. اگر به چنین دقت بیشتری نیاز نباشد، گرد کردن کسر اعشاری انجام می شود. هنگام گرد کردن، باید از همان قاعده ای استفاده کنید که برای اعداد صحیح نشان داده شده است.

§ 110. ضرب با استفاده از جداول.

گاهی اوقات می توان با استفاده از جداول ضرب اعشار را انجام داد. برای این منظور می توانید به عنوان مثال از آن جداول ضرب اعداد دو رقمی استفاده کنید که توضیحات آنها قبلا داده شد.

1) عدد 53 را در 1.5 ضرب کنید.

ما 53 را در 15 ضرب می کنیم. در جدول این حاصل برابر با 795 است. ما حاصلضرب 53 را در 15 پیدا کردیم، اما ضریب دوم ما 10 برابر کمتر بود، یعنی حاصل باید 10 برابر کاهش یابد.

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3 را در 4.7 ضرب کنید.

اول، بیایید حاصل ضرب 53 در 47 را در جدول پیدا کنیم، 2491 خواهد بود. اما از آنجایی که ضریب و ضریب را در مجموع 100 برابر افزایش دادیم، پس حاصل ضرب حاصل 100 برابر بزرگتر از آنچه باید باشد است. بنابراین باید این محصول را 100 ضریب کاهش دهیم:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53 را در 7.4 ضرب کنید.

ابتدا در جدول حاصل ضرب 53 در 74 را می یابیم. این می شود 3922. اما از آنجایی که ما ضریب را 100 برابر و ضریب را 10 برابر کرده ایم، حاصلضرب 1000 برابر شده است. بنابراین اکنون باید آن را با ضریب 1000 کاهش دهیم:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. تقسیم اعشار.

تقسیم اعشاری را به ترتیب زیر بررسی خواهیم کرد:

1. تقسیم اعشاری بر عدد صحیح,

1. تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد صحیح.

1) 2.46 را بر 2 تقسیم کنید.

ابتدا بر 2 عدد صحیح، سپس دهم و در نهایت صدم تقسیم کردیم.

2) 32.46 را بر 3 تقسیم کنید.

32,46: 3 = 10,82.

ما 3 ده را بر 3 تقسیم کردیم، سپس شروع به تقسیم 2 واحد بر 3 کردیم. از آنجایی که تعداد واحدهای سود سهام (2) مقسوم علیه کمتر(3)، سپس من مجبور شدم 0 را در ضریب قرار دهم. علاوه بر این، ما 4 دهم را تخریب کردیم و 24 دهم را بر 3 تقسیم کردیم. به صورت خصوصی 8 دهم و در نهایت 6 صدم را تقسیم کرد.

3) 1.2345 را بر 5 تقسیم کنید.

1,2345: 5 = 0,2469.

در اینجا، در وهله اول، اعداد صحیح صفر به دست آمد، زیرا یک عدد صحیح بر 5 بخش پذیر نیست.

4) 13.58 را بر 4 تقسیم کنید.

ویژگی این مثال این است که وقتی در خلوت 9 صدم گرفتیم، سپس باقیمانده ای معادل 2 صدم پیدا شد، این باقیمانده را به هزارم تقسیم کردیم، 20 هزارم گرفتیم و تقسیم را به پایان رساندیم.

قانون.تقسیم یک کسری اعشاری به یک عدد صحیح به همان روشی که تقسیم اعداد صحیح انجام می شود، انجام می شود و باقی مانده های حاصل به کسری اعشاری تبدیل می شوند، هر چه بیشتر کوچکتر. تقسیم تا زمانی که باقیمانده صفر شود ادامه می یابد.

2. تقسیم کسری اعشاری بر کسری اعشاری.

1) 2.46 را بر 0.2 تقسیم کنید.

ما قبلاً می دانیم که چگونه یک کسر اعشاری را بر یک عدد صحیح تقسیم کنیم. بیایید فکر کنیم که آیا این مورد جدید تقسیم را نیز می توان به مورد قبلی تقلیل داد؟ در یک زمان، ما یک ویژگی قابل توجه از ضریب را در نظر گرفتیم که شامل این واقعیت است که بدون تغییر باقی می ماند در حالی که سود تقسیمی و مقسوم علیه را به همان تعداد دفعات افزایش یا کاهش می دهیم. اگر مقسوم علیه یک عدد صحیح بود، به راحتی تقسیم اعدادی را که به ما پیشنهاد می شود انجام می دادیم. برای این کار کافی است آن را 10 برابر افزایش دهید و برای به دست آوردن ضریب صحیح باید سود سهام را به همان تعداد یعنی 10 برابر افزایش دهید. سپس تقسیم این اعداد با تقسیم این اعداد جایگزین می شود:

و نیازی به اصلاح در خصوصی نیست.

بیایید این تقسیم بندی را انجام دهیم:

بنابراین 2.46: 0.2 = 12.3.

2) 1.25 را بر 1.6 تقسیم کنید.

مقسوم علیه (1.6) را 10 برابر افزایش می دهیم. به طوری که ضریب تغییر نکند، سود سهام را 10 برابر افزایش می دهیم. 12 عدد صحیح بر 16 بخش پذیر نیستند، پس به ضریب 0 می نویسیم و 125 دهم را بر 16 تقسیم می کنیم، ضریب 7 دهم و باقیمانده 13 می شود. با اختصاص صفر 13 دهم را به صدم تقسیم کرده و 130 صدم را بر 16 تقسیم می کنیم. به موارد زیر توجه کنید:

الف) وقتی اعداد صحیح در ضریب به دست نمی آیند، به جای آنها اعداد صحیح صفر نوشته می شود.

ب) هنگامی که پس از گرفتن رقم سود به باقیمانده، عددی به دست می آید که بر مقسوم علیه تقسیم نمی شود، آنگاه در ضریب صفر نوشته می شود.

ج) هنگامی که پس از حذف آخرین رقم سود تقسیم به پایان نرسید، با اختصاص صفر به باقی مانده، تقسیم ادامه می یابد.

د) اگر سود سهام یک عدد صحیح باشد ، هنگام تقسیم آن بر کسری اعشاری ، افزایش آن با اختصاص صفر به آن انجام می شود.

بنابراین، برای تقسیم یک عدد بر کسری اعشاری، باید یک کاما را در مقسوم‌گیرنده کنار بگذارید و سپس به اندازه‌ای که مقسوم‌گیرنده در آن کم شد، سود را افزایش دهید و سپس تقسیم را مطابق با آن انجام دهید. قانون تقسیم کسر اعشاری بر یک عدد صحیح

§ 112. نصاب تقریبی.

در پاراگراف قبل، تقسیم کسرهای اعشاری را در نظر گرفتیم و در تمام مثال هایی که حل کردیم، تقسیم به پایان رسید، یعنی یک ضریب دقیق به دست آمد. با این حال، در بیشتر موارد نمی توان ضریب دقیق را به دست آورد، مهم نیست که چقدر تقسیم را گسترش دهیم. در اینجا یکی از این موارد وجود دارد: 53 را بر 101 تقسیم کنید.

ما قبلاً پنج رقم در ضریب دریافت کرده‌ایم، اما تقسیم هنوز به پایان نرسیده است و امیدی نیست که هرگز به پایان برسد، زیرا اعدادی که قبلاً ملاقات کرده‌ایم در بقیه ظاهر می‌شوند. اعداد نیز در ضریب تکرار خواهند شد: بدیهی است که بعد از عدد 7 عدد 5 ظاهر می شود و سپس 2 و به همین ترتیب بدون پایان. در چنین مواردی، تقسیم قطع می شود و به چند رقم اول ضریب محدود می شود. این خصوصی نامیده می شود تقریبی.نحوه انجام تقسیم در این مورد را با مثال هایی نشان خواهیم داد.

بگذارید 25 را بر 3 تقسیم کنیم. بدیهی است که ضریب دقیق را که به صورت یک عدد صحیح یا کسری اعشاری بیان می شود نمی توان از چنین تقسیمی بدست آورد. بنابراین، ما به دنبال یک ضریب تقریبی خواهیم بود:

25: 3 = 8 و باقیمانده 1

ضریب تقریبی 8 است. البته کمتر از ضریب دقیق است، زیرا باقیمانده 1 وجود دارد. برای بدست آوردن ضریب دقیق، باید کسری را که از تقسیم باقی مانده به دست می آید، به ضریب تقریبی یافت شده، یعنی به 8 اضافه کنید. برابر با 1 در 3; کسری 1/3 خواهد بود. این بدان معنی است که ضریب دقیق به صورت یک عدد مختلط 8 1 / 3 بیان می شود. از آنجایی که 1/3 کسر مناسب است، یعنی کسری، کمتر از یک، پس با دور انداختن آن، فرض می کنیم خطا، که کمتر از یک. خصوصی 8 اراده ضریب تقریبی تا یک با یک نقطه ضعف.اگر به جای 8، 9 را بگیریم، خطای کمتر از یک را نیز مجاز می کنیم، زیرا نه یک واحد کامل، بلکه 2/3 را اضافه می کنیم. چنین اراده خصوصی ضریب تقریبی تا یک با مازاد.

حالا یک مثال دیگر بزنیم. بگذارید 27 بر 8 تقسیم شود. از آنجایی که در اینجا یک ضریب دقیق بیان شده به صورت یک عدد صحیح دریافت نمی کنیم، به دنبال یک ضریب تقریبی خواهیم بود:

27: 8 = 3 و باقیمانده 3.

در اینجا خطا 3/8 است، کمتر از یک است، به این معنی که ضریب تقریبی (3) تا یک با یک اشکال پیدا می شود. ما تقسیم را ادامه می دهیم: باقی مانده 3 را به دهم تقسیم می کنیم، 30 دهم می گیریم. بیایید آنها را بر 8 تقسیم کنیم.

ما در یک دهم 3 و در بقیه b دهم به صورت خصوصی رفتیم. اگر به طور خاص خود را به عدد 3.3 محدود کنیم و 6 باقیمانده را کنار بگذاریم، خطای کمتر از یک دهم را مجاز می‌کنیم. چرا؟ زیرا ضریب دقیق زمانی بدست می آید که حاصل تقسیم 6 دهم بر 8 را به 3.3 اضافه کنیم. از این تقسیم 6/80 می شود که کمتر از یک دهم است. (بررسی کنید!) بنابراین، اگر خود را به یک دهم در ضریب محدود کنیم، می توانیم بگوییم که ضریب را پیدا کرده ایم. دقیق به یک دهم(با معایب).

بیایید تقسیم را ادامه دهیم تا یک رقم اعشار دیگر پیدا کنیم. برای این کار، 6 دهم را به صدم تقسیم می کنیم و 60 صدم بدست می آوریم. بیایید آنها را بر 8 تقسیم کنیم.

در خصوصی در جایگاه سوم 7 و در بقیه 4 صدم قرار گرفت. اگر آنها را کنار بگذاریم، خطای کمتر از یک صدم را مجاز می‌کنیم، زیرا 4 صدم تقسیم بر 8 کمتر از یک صدم است. در چنین مواردی گفته می شود که ضریب پیدا می شود. دقیق به یک صدم(با معایب).

در مثالی که اکنون در نظر می گیریم، می توانید ضریب دقیق را که به صورت کسری اعشاری بیان می شود، بدست آورید. برای این کار کافی است آخرین باقیمانده یعنی 4 صدم را به هزارم تقسیم کنید و بر 8 تقسیم کنید.

با این حال، در اکثریت قریب به اتفاق موارد، به دست آوردن یک ضریب دقیق غیرممکن است و فرد باید خود را به مقادیر تقریبی آن محدود کند. اکنون چنین مثالی را در نظر خواهیم گرفت:

40: 7 = 5,71428571...

نقطه های انتهای عدد نشان می دهد که تقسیم کامل نشده است، یعنی تساوی تقریبی است. معمولاً برابری تقریبی به این صورت نوشته می شود:

40: 7 = 5,71428571.

ما ضریب را با هشت رقم اعشار گرفتیم. اما اگر به چنین دقت بالایی نیاز نباشد، می‌توان خود را به کل جزء، یعنی عدد 5 (به طور دقیق‌تر، 6) محدود کرد. برای دقت بیشتر، می توان دهم ها را در نظر گرفت و ضریب را برابر با 5.7 در نظر گرفت. اگر به دلایلی این دقت کافی نیست، می‌توانیم روی صدم توقف کنیم و 5.71 و غیره را بگیریم. بیایید ضریب‌های فردی را بنویسیم و نام ببریم.

اولین ضریب تقریبی تا یک 6.

دوم » » » به یک دهم 5.7.

سوم » » » تا یک صدم 5.71.

چهارم » » » تا یک هزارم 5.714.

بنابراین، برای یافتن یک ضریب تقریبی تا مقداری، به عنوان مثال، رقم سوم اعشار (یعنی تا یک هزارم)، به محض یافتن این علامت، تقسیم متوقف می شود. در این مورد، باید قاعده مندرج در § 40 را به خاطر بسپارید.

§ 113. ساده ترین مسائل برای علاقه.

پس از مطالعه کسرهای اعشاری، چند مشکل درصدی دیگر را حل خواهیم کرد.

این مسائل مشابه مسائلی است که ما در بخش کسرهای معمولی حل کردیم. اما اکنون صدم ها را به صورت کسر اعشاری می نویسیم، یعنی بدون مخرج مشخص.

اول از همه، شما باید بتوانید به راحتی از کسری معمولی به کسری اعشاری با مخرج 100 تغییر دهید. برای انجام این کار، باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید:

جدول زیر نشان می دهد که چگونه یک عدد با نماد % (درصد) با یک اعشار با مخرج 100 جایگزین می شود:

اکنون چند مشکل را در نظر می گیریم.

1. یافتن درصدهای یک عدد معین.

وظیفه 1.تنها 1600 نفر در یک روستا زندگی می کنند. تعداد فرزندان سن مدرسه 25 درصد از کل جمعیت را تشکیل می دهد. چند کودک در سن مدرسه در این روستا هستند؟

در این مشکل باید 25% یا 0.25 از 1600 را پیدا کنید. مشکل با ضرب کردن حل می شود:

1600 0.25 = 400 (کودکان).

بنابراین، 25 درصد از 1600، 400 است.

برای درک واضح این وظیفه، یادآوری این نکته مفید است که به ازای هر صد نفر از جمعیت، 25 کودک در سن مدرسه وجود دارد. بنابراین، برای یافتن تعداد تمام کودکان در سن مدرسه، ابتدا می توانید تعداد صدها را در عدد 1600 (16) دریابید و سپس عدد 25 را در تعداد صدها ضرب کنید (25 x 16 = 400). از این طریق می توانید اعتبار راه حل را بررسی کنید.

وظیفه 2.بانک های پس انداز سالانه 2 درصد از درآمد را به سپرده گذاران می دهند. چه مقدار درآمد در سال توسط سپرده گذار دریافت می شود که واریز کرده است: الف) 200 روبل؟ ب) 500 روبل؟ ج) 750 روبل؟ د) 1000 روبل؟

در هر چهار مورد، برای حل مشکل، باید 0.02 از مقادیر ذکر شده محاسبه شود، یعنی هر یک از این اعداد باید در 0.02 ضرب شوند. بیایید آن را انجام دهیم:

الف) 200 0.02 = 4 (روبل)،

ب) 500 0.02 = 10 (روبل)،

ج) 750 0.02 = 15 (روبل)،

د) 1000 0.02 = 20 (روبل).

هر یک از این موارد را می توان با ملاحظات زیر تأیید کرد. بانک های پس انداز 2 درصد از درآمد را به سپرده گذاران می دهند، یعنی 0.02 از مبلغی که در پس انداز گذاشته می شود. اگر مبلغ 100 روبل بود، 0.02 از آن 2 روبل خواهد بود. این بدان معنی است که هر صد 2 روبل برای سپرده گذار به ارمغان می آورد. درآمد. بنابراین، در هر یک از موارد در نظر گرفته شده، کافی است بفهمیم که در یک عدد معین چند صد است و 2 روبل را در این تعداد صدها ضرب کنیم. در مثال الف) صدها 2، بنابراین

2 2 \u003d 4 (روبل).

در مثال د) صدها 10 هستند که به این معنی است

2 10 \u003d 20 (روبل).

2. یافتن یک عدد با درصد آن.

وظیفه 1.در بهار این مدرسه 54 دانش آموز فارغ التحصیل کرد که 6 درصد کل دانش آموزان را تشکیل می دهد. چند دانش آموز در گذشته در مدرسه بودند سال تحصیلی?

اجازه دهید ابتدا معنای این مشکل را روشن کنیم. این مدرسه 54 دانش آموز فارغ التحصیل کرد که 6 درصد کل دانش آموزان یا به عبارتی 6 صدم (0.06) کل دانش آموزان مدرسه است. این بدان معناست که بخشی از دانش آموزان را که با عدد (54) و کسری (0.06) بیان می شود، می دانیم و از این کسر باید عدد کامل را پیدا کنیم. بنابراین قبل از ما کار معمولیبرای پیدا کردن یک عدد با کسری آن (§90 p.6). مشکلات این نوع با تقسیم حل می شود:

یعنی 900 دانش آموز در مدرسه بودند.

بررسی چنین مسائلی با حل مسئله معکوس مفید است، یعنی پس از حل مسئله، باید حداقل در ذهن خود، مسئله نوع اول (درصد یافتن یک عدد معین) را حل کنید: عدد پیدا شده را بگیرید ( 900) همانطور که داده شد و درصد مشخص شده در مسئله حل شده را از آن بیابید، یعنی:

900 0,06 = 54.

وظیفه 2.خانواده در طول ماه 780 روبل برای غذا خرج می کنند که 65 درصد درآمد ماهانه پدر است. درآمد ماهانه او را مشخص کنید.

این وظیفه همان معنای قبلی را دارد. بخشی از درآمد ماهانه را به روبل (780 روبل) نشان می دهد و نشان می دهد که این بخش 65٪ یا 0.65 از کل درآمد است. و مورد نظر کل درآمد است:

780: 0,65 = 1 200.

بنابراین، درآمد مورد نظر 1200 روبل است.

3. یافتن درصد اعداد.

وظیفه 1. AT کتابخانه ی مدرسهفقط 6000 کتاب در میان آنها 1200 کتاب در زمینه ریاضیات وجود دارد. چند درصد از کتاب های ریاضی، تعداد کل کتاب های کتابخانه را تشکیل می دهند؟

قبلاً (§97) این نوع مسئله را در نظر گرفتیم و به این نتیجه رسیدیم که برای محاسبه درصد دو عدد باید نسبت این اعداد را پیدا کرده و در 100 ضرب کنید.

در وظیفه خود باید درصد اعداد 1200 و 6000 را پیدا کنیم.

ابتدا نسبت آنها را پیدا می کنیم و سپس آن را در 100 ضرب می کنیم:

به این ترتیب درصد اعداد 1200 و 6000 برابر با 20 است به عبارت دیگر کتاب های ریاضی 20 درصد از تعداد کل کتاب ها را تشکیل می دهند.

برای بررسی، مسئله معکوس را حل می کنیم: 20٪ از 6000 را پیدا کنید:

6 000 0,2 = 1 200.

وظیفه 2.کارخانه باید 200 تن زغال سنگ دریافت کند. تاکنون 80 تن تحویل داده شده است چند درصد زغال سنگ به کارخانه تحویل داده شده است؟

این مسئله می پرسد که چند درصد یک عدد (80) از عدد دیگر (200) است. نسبت این اعداد 80/200 خواهد بود. بیایید آن را در 100 ضرب کنیم:

یعنی 40 درصد زغال سنگ تحویل داده شده است.