نحوه تبدیل کسرها به مخرج مشترک

اگر کسرهای معمولیهمان مخرج ها، سپس می گوییم که این ها کسری ها به یک مخرج مشترک تقلیل می یابند.

مثال 1

برای مثال، کسرهای $\frac(3)(18)$ و $\frac(20)(18)$ مخرج یکسانی دارند. گفته می شود که مخرج مشترک آنها 18 دلار است. کسرهای $\frac(1)(29)$، $\frac(7)(29)$ و $\frac(100)(29)$ نیز مخرج های یکسانی دارند. گفته می شود که مخرج مشترک آنها 29 دلار است.

اگر کسری مخرج های متفاوتی داشته باشد، می توان آنها را به مخرج مشترک تقلیل داد. برای انجام این کار، لازم است که صورت و مخرج آنها را در برخی عوامل اضافی ضرب کنیم.

مثال 2

چگونه دو کسر $\frac(6)(11)$ و $\frac(2)(7)$ را به مخرج مشترک کاهش دهیم.

راه حل.

کسرهای $\frac(6)(11)$ و $\frac(2)(7)$ را به ترتیب در فاکتورهای اضافی $7$ و $11$ ضرب کنید و آنها را به مخرج مشترک $77$ کاهش دهید:

$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$

$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$

به این ترتیب، تقلیل کسرها به مخرج مشترکضرب صورت و مخرج این کسرها را با عوامل اضافی می گویند که در نتیجه به ما امکان می دهد کسری با مخرج یکسان بدست آوریم.

مخرج مشترک

تعریف 1

هر مضرب مشترک مثبتی از همه مخرج های مجموعه ای از کسرها نامیده می شود مخرج مشترک.

به عبارت دیگر، مخرج مشترک کسرهای معمولی داده شده هر کدام است عدد طبیعی، که می توان آن را بر تمام مخرج کسرهای داده شده تقسیم کرد.

این تعریف بر تعداد نامتناهی مخرج مشترک مجموعه ای از کسرها دلالت دارد.

مثال 3

مخرج مشترک کسرهای $\frac(3)(7)$ و $\frac(2)(13)$ را بیابید.

راه حل.

این کسرها به ترتیب دارای مخرج معادل 7 دلار و 13 دلار هستند. مضرب مشترک مثبت 2 دلار و 5 دلار 91، 182، 273، 364 دلار و غیره است.

هر یک از این اعداد را می توان به عنوان مخرج مشترک $\frac(3)(7)$ و $\frac(2)(13)$ استفاده کرد.

مثال 4

تعیین کنید که آیا کسرهای $\frac(1)(2)$، $\frac(16)(7)$ و $\frac(11)(9)$ می‌توانند به مخرج مشترک $252$ کاهش یابند.

راه حل.

برای تعیین چگونگی کاهش کسری به مخرج مشترک $252، باید بررسی کنید که آیا عدد $252$ مضرب مشترک مخرج $2، 7$ و $9 است یا خیر. برای انجام این کار، عدد 252$ را بر هر یک از مخرج ها تقسیم می کنیم:

$\frac(252)(2)=126،$$\frac(252)(7)=36$، $\frac(252)(9)=28$.

عدد 252$ به طور مساوی بر تمام مخرج ها تقسیم می شود. مضرب مشترک 2، 7 دلار و 9 دلار است. بنابراین، این کسرهای $\frac(1)(2)$، $\frac(16)(7)$ و $\frac(11)(9)$ را می توان به مخرج مشترک $252 $ کاهش داد.

پاسخ: شما می توانید.

کمترین مخرج مشترک

تعریف 2

از میان همه مخرج های مشترک کسرهای داده شده، می توان کوچکترین عدد طبیعی را که به نام کمترین مخرج مشترک.

زیرا LCM - کوچکترین مثبت مقسوم علیه مشترکمجموعه اعداد داده شده، پس LCM مخرج کسرهای داده شده کمترین مخرج مشترک این کسرها است.

بنابراین، برای یافتن کمترین مخرج مشترک کسرها، باید LCM مخرج این کسرها را پیدا کنید.

مثال 5

کسری $\frac(4)(15)$ و $\frac(37)(18)$ داده شده است. کمترین مخرج مشترک آنها را پیدا کنید.

راه حل.

مخرج این کسرها 15 دلار و 18 دلار است. کمترین مخرج مشترک را به عنوان LCM اعداد 15$ و 18$ پیدا کنید. برای این کار از بسط اعداد به داخل استفاده می کنیم عوامل اصلی:

$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$

$LCC(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

پاسخ: 90 دلار

قانون کاهش کسرها به کمترین مخرج مشترک

اغلب هنگام حل مسائل جبر، هندسه، فیزیک و غیره. مرسوم است که کسرهای معمولی را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهند، نه به هیچ مخرج مشترک.

الگوریتم:

1. با استفاده از LCM مخرج کسرهای داده شده، کوچکترین مخرج مشترک را پیدا کنید.
2. 2. یک عامل اضافی برای کسرهای داده شده محاسبه کنید. برای انجام این کار، حداقل مخرج مشترک یافت شده باید بر مخرج هر کسر تقسیم شود. عدد به دست آمده یک عامل اضافی از این کسر خواهد بود.
3. صورت و مخرج هر کسر را در عامل اضافی پیدا شده ضرب کنید.

مثال 6

کمترین مخرج مشترک کسرهای $\frac(4)(16)$ و $\frac(3)(22)$ را بیابید و هر دو کسر را به آن کاهش دهید.

راه حل.

بیایید از الگوریتم کاهش کسرها به کوچکترین مخرج مشترک استفاده کنیم.

حداقل مضرب مشترک اعداد $16$ و $22$ را محاسبه کنید:

بیایید مخرج ها را به عوامل اول فاکتورسازی کنیم: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.

$LCC(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.

بیایید ضریب های اضافی را برای هر کسری محاسبه کنیم:

$176\div 16=11$ – برای کسری $\frac(4)(16)$;

$176\div 22=8$ – برای کسری $\frac(3)(22)$.

صورت‌ها و مخرج‌های کسرهای $\frac(4)(16)$ و $\frac(3)(22)$ را به ترتیب در فاکتورهای اضافی $11$ و $8$ ضرب کنید. ما گرفتیم:

$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

هر دو کسر به کمترین مخرج مشترک 176 دلار کاهش می یابد.

پاسخ: $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$، $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

گاهی اوقات برای یافتن کمترین مخرج مشترک، نیاز به انجام یک سری محاسبات پر زحمت است که ممکن است هدف از حل مسئله را توجیه نکند. در این صورت می توانید بیشترین استفاده را داشته باشید راه اسان- کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید که حاصل ضرب مخرج این کسرها است.

برای رساندن کسرها به کمترین مخرج مشترک، باید: 1) کمترین مضرب مشترک مخرج این کسرها را پیدا کنید، آن کمترین مخرج مشترک خواهد بود. 2) برای هر یک از کسرها یک عامل اضافی پیدا کنید که مخرج جدید را بر مخرج هر کسر تقسیم می کنیم. 3) صورت و مخرج هر کسر را در ضریب اضافی آن ضرب کنید.

مثال ها. کسرهای زیر را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهید.

ما حداقل مضرب مشترک مخرج ها را پیدا می کنیم: LCM(5; 4) = 20، زیرا 20 کوچکترین عددی است که بر 5 و 4 بخش پذیر است. ما برای کسر اول یک عامل اضافی 4 پیدا می کنیم (20). : 5=4). برای کسر دوم، ضریب اضافی 5 (20) است : 4=5). صورت و مخرج کسر اول را در 4 ضرب می کنیم و صورت و مخرج کسر دوم را در 5 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهیم ( 20 ).

کمترین مخرج مشترک این کسرها 8 است، زیرا 8 بر 4 و خودش بخش پذیر است. ضریب اضافی برای کسر 1 وجود نخواهد داشت (یا می توانیم بگوییم که برابر است با یک)، در کسری 2 ضریب اضافی 2 است (8) : 4=2). صورت و مخرج کسر دوم را در 2 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهیم ( 8 ).

این کسرها تقلیل ناپذیر نیستند.

کسر اول را 4 کاهش می دهیم و کسر دوم را 2 کاهش می دهیم. نمونه هایی در مورد کاهش کسرهای معمولی را ببینید: نقشه سایت → 5.4.2. نمونه هایی از کاهش کسرهای معمولی). پیدا کردن LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. ضریب اضافی برای کسر اول 5 (80) است : 16=5). ضریب اضافی برای کسر دوم 4 (80) است : 20=4). صورت و مخرج کسر اول را در 5 ضرب می کنیم و صورت و مخرج کسر دوم را در 4 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک کاهش می دهیم 80 ).

کمترین مخرج مشترک NOC را پیدا کنید(5 ; 6 و 15) = LCM(5 ; 6 و 15) = 30. ضریب اضافی به کسر اول 6 (30) است : 5=6)، ضریب اضافی کسر دوم 5 (30) است : 6=5)، ضریب اضافی به کسر سوم 2 (30) است : 15=2). صورت و مخرج کسر اول را در 6 ضرب می کنیم، صورت و مخرج کسر دوم را در 5، صورت و مخرج کسر سوم را در 2 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهیم. 30 ).

صفحه 1 از 1 1

در این درس به تقلیل کسرها به مخرج مشترک و حل مسائل مربوط به این موضوع خواهیم پرداخت. اجازه دهید مفهوم یک مخرج مشترک و یک عامل اضافی را تعریف کنیم، متقابل را به یاد آوریم اعداد اول. بیایید مفهوم حداقل مخرج مشترک (LCD) را تعریف کنیم و تعدادی از مسائل را برای یافتن آن حل کنیم.

موضوع: جمع و تفریق کسرها با مخرج های مختلف

درس: تقلیل کسرها به مخرج مشترک

تکرار. ویژگی اصلی کسری

اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد طبیعی ضرب یا تقسیم شود، کسری برابر با آن به دست می آید.

به عنوان مثال، صورت و مخرج یک کسر را می توان بر 2 تقسیم کرد. ما یک کسری می گیریم. این عمل کاهش کسر نامیده می شود. شما همچنین می توانید تبدیل معکوس را با ضرب صورت و مخرج کسر در 2 انجام دهید. در این حالت می گوییم کسر را به مخرج جدید کاهش داده ایم. عدد 2 یک عامل اضافی نامیده می شود.

نتیجه.کسری را می توان به هر مخرجی که مضربی از مخرج کسر معین باشد تقلیل داد. برای آوردن کسری به مخرج جدید، صورت و مخرج آن در یک عامل اضافی ضرب می شوند.

1. کسر را به مخرج 35 بیاورید.

عدد 35 مضرب 7 است، یعنی عدد 35 بدون باقیمانده بر 7 بخش پذیر است. بنابراین این تحول ممکن است. بیایید یک عامل اضافی پیدا کنیم. برای این کار 35 را بر 7 تقسیم می کنیم. عدد 5 بدست می آید. صورت و مخرج کسر اصلی را در 5 ضرب می کنیم.

2. کسر را به مخرج 18 بیاورید.

بیایید یک عامل اضافی پیدا کنیم. برای این کار، مخرج جدید را بر مخرج اصلی تقسیم می کنیم. عدد 3 بدست می آید. صورت و مخرج این کسر را در 3 ضرب می کنیم.

3. کسر را به مخرج 60 بیاورید.

با تقسیم 60 بر 15 یک ضریب اضافی بدست می آوریم. برابر است با 4. صورت و مخرج را در 4 ضرب می کنیم.

4. کسر را به مخرج 24 بیاورید

در موارد ساده، تقلیل به مخرج جدید در ذهن انجام می شود. مرسوم است که فقط یک عامل اضافی در پشت براکت کمی به سمت راست و بالاتر از کسر اصلی نشان داده شود.

کسر را می توان به مخرج 15 و کسری را به مخرج 15 تقلیل داد. کسرها مخرج مشترک 15 دارند.

مخرج مشترک کسرها می تواند هر مضرب مشترک مخرج آنها باشد. برای سادگی، کسری به کمترین مخرج مشترک کاهش می یابد. برابر است با کمترین مضرب مشترک مخرج کسرهای داده شده.

مثال. به کمترین مخرج مشترک کسر و کاهش دهید.

ابتدا حداقل مضرب مشترک مخرج این کسرها را پیدا کنید. این عدد 12 است. بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول و دوم پیدا کنیم. برای این کار 12 را بر 4 و بر 6 تقسیم می کنیم. سه برای کسر اول و دو ضریب برای کسر دوم است. کسرها را به مخرج 12 می آوریم.

کسرها را به یک مخرج مشترک تقلیل دادیم، یعنی کسرهایی را پیدا کردیم که مساوی با آنها هستند و مخرج یکسانی دارند.

قانون.برای آوردن کسرها به کمترین مخرج مشترک،

ابتدا حداقل مضرب مشترک مخرج های این کسرها را پیدا کنید که کمترین مخرج مشترک آنها خواهد بود.

دوم اینکه کمترین مخرج مشترک را بر مخرج این کسرها تقسیم کنید، یعنی برای هر کسر یک عامل اضافی پیدا کنید.

ثالثاً، صورت و مخرج هر کسر را در ضریب اضافی آن ضرب کنید.

الف) کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

کمترین مخرج مشترک 12 است. ضریب اضافی برای کسر اول 4 است، برای دوم - 3. ما کسرها را به مخرج 24 می آوریم.

ب) کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

کمترین مخرج مشترک 45 است با تقسیم 45 بر 9 بر 15 به ترتیب 5 و 3 بدست می آید کسرها را به مخرج 45 می آوریم.

ج) کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

مخرج مشترک 24 است. عوامل اضافی به ترتیب 2 و 3 هستند.

گاهی اوقات یافتن کمترین مضرب مشترک برای مخرج کسرهای داده شده به صورت کلامی دشوار است. سپس مخرج مشترک و عوامل اضافی با فاکتورگیری در عوامل اول پیدا می شود.

کاهش به مخرج مشترک کسری و .

بیایید اعداد 60 و 168 را به ضرایب اول تجزیه کنیم. بیایید بسط عدد 60 را بنویسیم و فاکتورهای گمشده 2 و 7 را از بسط دوم جمع کنیم. 60 را در 14 ضرب کنید و مخرج مشترک 840 بدست آورید. ضریب اضافی برای کسر اول 14 است. ضریب اضافی برای کسر دوم 5 است. اجازه دهید کسرها را به مخرج مشترک 840 کاهش دهیم.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. Vilenkin N.Ya.، Zhokhov V.I.، Chesnokov A.S. و دیگران ریاضیات 6. - م.: Mnemozina، 2012.

2. Merzlyak A.G.، Polonsky V.V.، Yakir M.S. ریاضی ششم دبستان. - ورزشگاه، 1385.

3. Depman I.Ya.، Vilenkin N.Ya. پشت صفحات کتاب ریاضی. - روشنگری، 1989.

4. روروکین A.N., Chaikovsky I.V. تکالیف درس ریاضی پایه 5-6. - ZSH MEPhI، 2011.

5. روروکین A.N.، Sochilov S.V.، Chaikovsky K.G. ریاضی 5-6. کتابچه راهنمای دانش آموزان کلاس ششم مدرسه مکاتبات MEPhI. - ZSH MEPhI، 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. و دیگران ریاضیات: کتاب درسی - همکار برای پایه های 5-6 دبیرستان. کتابخانه معلم ریاضی. - روشنگری، 1989.

می توانید کتاب های مشخص شده در بند 1.2 را دانلود کنید. این درس

مشق شب

Vilenkin N.Ya.، ژخوف V.I.، Chesnokov A.S. و دیگران. ریاضیات 6. - M.: Mnemozina، 2012. (به پیوند 1.2 مراجعه کنید)

تکلیف: شماره 297، شماره 298، شماره 300.

سایر وظایف: #270، #290

در این درس به تقلیل کسرها به مخرج مشترک و حل مسائل مربوط به این موضوع خواهیم پرداخت. بیایید تعریفی از مفهوم مخرج مشترک و یک عامل اضافی ارائه دهیم، در مورد اعداد همزمان اول به یاد داشته باشید. بیایید مفهوم حداقل مخرج مشترک (LCD) را تعریف کنیم و تعدادی از مسائل را برای یافتن آن حل کنیم.

موضوع: جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف

درس: تقلیل کسرها به مخرج مشترک

تکرار. ویژگی اصلی کسری

اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد طبیعی ضرب یا تقسیم شود، کسری برابر با آن به دست می آید.

به عنوان مثال، صورت و مخرج یک کسر را می توان بر 2 تقسیم کرد. ما یک کسری می گیریم. این عمل کاهش کسر نامیده می شود. شما همچنین می توانید تبدیل معکوس را با ضرب صورت و مخرج کسر در 2 انجام دهید. در این حالت می گوییم کسر را به مخرج جدید کاهش داده ایم. عدد 2 یک عامل اضافی نامیده می شود.

نتیجه.کسری را می توان به هر مخرجی که مضربی از مخرج کسر معین باشد تقلیل داد. برای آوردن کسری به مخرج جدید، صورت و مخرج آن در یک عامل اضافی ضرب می شوند.

1. کسر را به مخرج 35 بیاورید.

عدد 35 مضرب 7 است، یعنی عدد 35 بدون باقیمانده بر 7 بخش پذیر است. بنابراین این تحول ممکن است. بیایید یک عامل اضافی پیدا کنیم. برای این کار 35 را بر 7 تقسیم می کنیم. عدد 5 بدست می آید. صورت و مخرج کسر اصلی را در 5 ضرب می کنیم.

2. کسر را به مخرج 18 بیاورید.

بیایید یک عامل اضافی پیدا کنیم. برای این کار، مخرج جدید را بر مخرج اصلی تقسیم می کنیم. عدد 3 بدست می آید. صورت و مخرج این کسر را در 3 ضرب می کنیم.

3. کسر را به مخرج 60 بیاورید.

با تقسیم 60 بر 15 یک ضریب اضافی بدست می آوریم. برابر است با 4. صورت و مخرج را در 4 ضرب می کنیم.

4. کسر را به مخرج 24 بیاورید

در موارد ساده، تقلیل به مخرج جدید در ذهن انجام می شود. مرسوم است که فقط یک عامل اضافی در پشت براکت کمی به سمت راست و بالاتر از کسر اصلی نشان داده شود.

کسر را می توان به مخرج 15 و کسری را به مخرج 15 تقلیل داد. کسرها مخرج مشترک 15 دارند.

مخرج مشترک کسرها می تواند هر مضرب مشترک مخرج آنها باشد. برای سادگی، کسری به کمترین مخرج مشترک کاهش می یابد. برابر است با کمترین مضرب مشترک مخرج کسرهای داده شده.

مثال. به کمترین مخرج مشترک کسر و کاهش دهید.

ابتدا حداقل مضرب مشترک مخرج این کسرها را پیدا کنید. این عدد 12 است. بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول و دوم پیدا کنیم. برای این کار 12 را بر 4 و بر 6 تقسیم می کنیم. سه برای کسر اول و دو ضریب برای کسر دوم است. کسرها را به مخرج 12 می آوریم.

کسرها را به یک مخرج مشترک تقلیل دادیم، یعنی کسرهایی را پیدا کردیم که مساوی با آنها هستند و مخرج یکسانی دارند.

قانون.برای آوردن کسرها به کمترین مخرج مشترک،

ابتدا حداقل مضرب مشترک مخرج های این کسرها را پیدا کنید که کمترین مخرج مشترک آنها خواهد بود.

دوم اینکه کمترین مخرج مشترک را بر مخرج این کسرها تقسیم کنید، یعنی برای هر کسر یک عامل اضافی پیدا کنید.

ثالثاً، صورت و مخرج هر کسر را در ضریب اضافی آن ضرب کنید.

الف) کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

کمترین مخرج مشترک 12 است. ضریب اضافی برای کسر اول 4 است، برای دوم - 3. ما کسرها را به مخرج 24 می آوریم.

ب) کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

کمترین مخرج مشترک 45 است با تقسیم 45 بر 9 بر 15 به ترتیب 5 و 3 بدست می آید کسرها را به مخرج 45 می آوریم.

ج) کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

مخرج مشترک 24 است. عوامل اضافی به ترتیب 2 و 3 هستند.

گاهی اوقات یافتن کمترین مضرب مشترک برای مخرج کسرهای داده شده به صورت کلامی دشوار است. سپس مخرج مشترک و عوامل اضافی با فاکتورگیری در عوامل اول پیدا می شود.

کاهش به مخرج مشترک کسری و .

بیایید اعداد 60 و 168 را به ضرایب اول تجزیه کنیم. بیایید بسط عدد 60 را بنویسیم و فاکتورهای گمشده 2 و 7 را از بسط دوم جمع کنیم. 60 را در 14 ضرب کنید و مخرج مشترک 840 بدست آورید. ضریب اضافی برای کسر اول 14 است. ضریب اضافی برای کسر دوم 5 است. اجازه دهید کسرها را به مخرج مشترک 840 کاهش دهیم.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. Vilenkin N.Ya.، Zhokhov V.I.، Chesnokov A.S. و دیگران ریاضیات 6. - م.: Mnemozina، 2012.

2. Merzlyak A.G.، Polonsky V.V.، Yakir M.S. ریاضی ششم دبستان. - ورزشگاه، 1385.

3. Depman I.Ya.، Vilenkin N.Ya. پشت صفحات کتاب ریاضی. - روشنگری، 1989.

4. روروکین A.N., Chaikovsky I.V. تکالیف درس ریاضی پایه 5-6. - ZSH MEPhI، 2011.

5. روروکین A.N.، Sochilov S.V.، Chaikovsky K.G. ریاضی 5-6. کتابچه راهنمای دانش آموزان کلاس ششم مدرسه مکاتبات MEPhI. - ZSH MEPhI، 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. و دیگران ریاضیات: کتاب درسی - همکار برای پایه های 5-6 دبیرستان. کتابخانه معلم ریاضی. - روشنگری، 1989.

می توانید کتاب های مشخص شده در بند 1.2 را دانلود کنید. این درس

مشق شب

Vilenkin N.Ya.، ژخوف V.I.، Chesnokov A.S. و دیگران. ریاضیات 6. - M.: Mnemozina، 2012. (به پیوند 1.2 مراجعه کنید)

تکلیف: شماره 297، شماره 298، شماره 300.

سایر وظایف: #270، #290