تعریف. بزرگترین عدد طبیعی که بدون یک باقی مانده A و B تقسیم می شود، نامیده می شود بزرگترین تقسیم کننده مشترک (گره) این اعداد.

بزرگترین تقسیم مشترک اعداد 24 و 35 را پیدا کنید.
تقسیم کنندگان 24 تعداد 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 4، 6، 8، 12، 24، و divisors 35 خواهد شد اعداد 1، 5، 7، 35.
ما می بینیم که اعداد 24 و 35 تنها یک تقسیم مشترک دارند - شماره 1. چنین تعداد نامیده می شود دو طرفه ساده.

تعریف. اعداد طبیعی نامیده می شوند دو طرفه سادهاگر بزرگترین تقسیم کننده مشترک آنها (گره) برابر با 1 باشد.

بزرگترین تقسیم مشترک (گره) شما می توانید بدون نوشتن تمام تقسیم کنندگان این اعداد پیدا کنید.

ما تعداد 48 و 36 را تجزیه خواهیم کرد، ما دریافت می کنیم:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
از multipliers که در تجزیه اول از این اعداد هستند، از کسانی که در تجزیه شماره دوم گنجانده نشده اند، عبور کنید (I.E. دو دو).
کشاورزان 2 * 2 * 3. کار آنها 12 است. این شماره است و بزرگترین تقسیم مشترک اعداد 48 و 36 است. همچنین بزرگترین تقسیم کننده مشترک سه یا چند عدد را پیدا کنید.

برای پیدا کردن بزرگترین تقسیم مشترک

2) از multipliers وارد شدن به تجزیه یکی از این اعداد، حذف کسانی که در تجزیه اعداد دیگر گنجانده نشده است.
3) پیدا کردن تولید ضیارهای باقی مانده.

اگر تمام این اعداد به یکی از آنها تقسیم شوند، این شماره است بزرگترین تقسیم کننده مشترک شماره داده ها
به عنوان مثال، بزرگترین تقسیم مشترک اعداد 15، 45، 75 و 180 شماره 15 خواهد بود، زیرا تمام اعداد دیگر به آن تقسیم می شوند: 45، 75 و 180.

کوچکترین کل چند (NOK)

تعریف. کوچکترین چندگانه مشترک (NOK) اعداد طبیعی A و B کوچکترین عدد طبیعی نامیده می شوند که چندگانه و A و B است. کوچکترین تعداد کل چند (NOC) 75 و 60 را می توان یافت و در ردیف به این اعداد تجویز نمی شود. برای انجام این کار، تجزیه 75 و 60 در ضربات ساده: 75 \u003d 3 * 5 * 5، و 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
ما ضخامت های گنجانده شده در تجزیه اولین از این اعداد را می نویسیم و ضریب های گمشده 2 و 2 را از تجزیه تعداد دوم اضافه می کنیم (یعنی ما چند ضلعی را ترکیب می کنیم).
ما پنج ضرب 2 * 2 * 3 * 5 * 5 را دریافت می کنیم، محصول آن 300 است. این شماره کمترین تعداد چند عدد 75 و 60 است.

همچنین کوچکترین چندگانه مشترک را برای سه یا چند عدد پیدا کنید.

به کوچکترین مجموعه های چندگانه را پیدا کنید چندین عدد طبیعی، لازم است:
1) آنها را در عوامل ساده تجزیه کنید؛
2) عوامل وارد شدن به تجزیه یکی از اعداد را بنویسید؛
3) اضافه کردن عوامل گم شده از گسترش اعداد باقی مانده؛
4) یک محصول از ضرب کننده های حاصل را پیدا کنید.

توجه داشته باشید که اگر یکی از این اعداد به تمام اعداد دیگر تقسیم شود، این شماره کمترین تعداد داده های متعدد از اعداد است.
به عنوان مثال، کوچکترین تعداد مشترک چندگانه 12، 15، 20 و 60 شماره 60 خواهد بود، زیرا به تمام داده های تعداد تقسیم می شود.

Pythagoras (VI قرن پیش از میلاد) و دانش آموزان او سوال از تقسیم اعداد را مورد مطالعه قرار دادند. یک عدد برابر با مجموع تمام تقسیم کنندگان آن (بدون شماره)، آنها شماره کامل را نام بردند. به عنوان مثال، اعداد 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3)، 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) کامل است. تعداد کامل زیر - 496، 8128، 33،550 336. Pythagoreans تنها سه عدد کامل را می دانستند. چهارم - 8128 - در قرن بیستم شناخته شد. n e پنجم - 33 550 336 - در قرن XV یافت شد. تا سال 1983، 27 عدد کامل قبلا شناخته شده بود. اما تا کنون، دانشمندان نمی دانند که آیا تعداد کامل عجیب و غریب وجود دارد، آیا تعداد زیادی کامل وجود دارد.
منافع ریاضیدانان باستانی به اعداد ساده به دلیل این واقعیت است که هر عدد ساده است یا می تواند به عنوان یک کار نمایندگی شود اعداد ساده، به عنوان مثال، اعداد ساده مانند آجر هستند که از آن ساخته شده از اعداد طبیعی باقی مانده ساخته شده است.
شما احتمالا متوجه شدید که اعداد ساده در یک ردیف از اعداد طبیعی، در برخی از قسمت های سری، در دیگران، به طور ناهموار یافت می شوند. اما دورتر ما در اطراف ردیف عددی حرکت می کنیم، تعداد کمتر ساده پیدا می شود. این سوال مطرح می شود: آیا آخرین شماره (بزرگترین) شماره ساده؟ ریاضیدان یونان باستان یونانی (III قرن پیش) در کتاب خود "آغاز"، سابق برای دو هزار سال، کتاب اصلی ریاضیات، ثابت کرد که اعداد ساده به طور بی نهایت بسیار زیاد است، یعنی، برای هر شماره ساده، تعداد ساده تر وجود دارد .
برای پیدا کردن اعداد ساده، یکی دیگر از ریاضیدان یونانی از همان زمان، اراتسفن با چنین راهی آمد. او تمام اعداد را از 1 تا چند عدد ثبت کرد و سپس یک واحد را که نه یک عدد ساده یا ثابت است را برجسته کرد، سپس از طریق یک تمام اعداد پس از 2 (اعداد، چند 2، I.E. 4، 6، 8، و غیره) فریاد زد: . اولین عدد باقی مانده پس از 2 بود. 3. در دو عدد تمام شده بود، پس از 3 (اعداد، چند، 3، I.E. 6، 9، 12 و غیره) به دست آمد. در نهایت، فقط تعداد ساده باقی مانده باقی مانده است.

عبارات و وظایف ریاضی نیاز به دانش اضافی اضافی دارند. NOK یکی از اصلی ترین هاست، به خصوص در موضوع مورد استفاده در موضوع در دبیرستان مورد مطالعه قرار گرفته است، در حالی که در فهم مواد به خصوص پیچیده نیست، فردی که با درجه و جدول ضرب آشنا نیست، تعداد لازم را برجسته نخواهد کرد و نتیجه را تشخیص می دهد.

تعریف

چندگانه مشترک - تعداد قابل توجهی از هدف به تقسیم به دو عدد در همان زمان (A و B) تقسیم شده است. اغلب این تعداد با ضرب اعداد اولیه A و B به دست می آید. این شماره موظف است بلافاصله در هر دو شماره، بدون انحراف به اشتراک بگذارد.

NOK برای تعیین تعیین شده است نام کوتاهجمع آوری شده از حروف اول.

روش های به دست آوردن تعداد

برای پیدا کردن NOC، همیشه یک روش برای ضرب اعداد وجود دارد، آن را بسیار بهتر برای اعداد ساده و یا دو رقمی ساده مناسب است. این عادی است که عوامل را تقسیم کنند، تعداد بیشتری، تعداد بیشتری از آن خواهد بود.

مثال شماره 1

برای ساده ترین مثال در مدارس، اعداد ساده، یکنواخت یا دو رقمی معمولا گرفته می شوند. به عنوان مثال، لازم است که کار زیر را حل کنیم، برای پیدا کردن کوچکترین مجموع چندگانه از اعداد 7 و 3، راه حل کاملا ساده است، به سادگی آنها را ضرب کنید. به عنوان یک نتیجه، شماره 21 وجود دارد، یک شماره کوچکتر به سادگی نیست.

مثال شماره 2

نسخه دوم این وظیفه بسیار پیچیده تر است. 300 و 1260 عدد وجود دارد، پیدا کردن NOC لزوما است. اقدامات زیر برای حل این کار فرض می شود:

تجزیه اعداد اول و دوم به ساده ترین ضرب ها. 300 \u003d 2 2 * 3 * 5 2؛ 1260 \u003d 2 2 * 3 2 * 5 * 7. مرحله اول تکمیل شده است

مرحله دوم شامل کار با داده های قبلا دریافت شده است. هر یک از اعداد دریافت شده موظف به شرکت در محاسبه نتیجه نهایی است. برای هر عامل از ترکیب اعداد اولیه، بیشتر عدد بزرگ ورودی های. نوک است تعداد کلبنابراین، چند برابر از اعداد باید تکرار شود تا به یک تکرار شود، حتی کسانی که در یک نمونه حضور دارند. هر دو عدد اولیه در ترکیب آنها از شماره 2، 3 و 5، در درجه های مختلف، 7 تنها در یک مورد هستند.

برای محاسبه نتیجه نهایی، لازم است هر تعداد را در بزرگترین درجه های نمایشی خود به معادله انجام دهید. باقی می ماند و پاسخی دریافت می کند، با پر کردن مناسب، وظیفه در دو اقدام بدون توضیح قرار می گیرد:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC \u003d 6300.

این کل کار است، اگر شما سعی می کنید تعداد دلخواه را با چند برابر محاسبه کنید، پاسخ قطعا درست نیست، از 300 * 1260 \u003d 378 000.

بررسی:

6300/300 \u003d 21 - راست؛

6300/1260 \u003d 5 - راست.

صحت نتیجه به دست آمده با بررسی - تقسیم NOC بر روی هر دو عدد اولیه تعیین می شود، اگر تعداد عدد صحیح در هر دو مورد باشد، پاسخ درست است.

NOC در ریاضیات چیست؟

همانطور که می دانید، عملکرد بی فایده در ریاضیات وجود ندارد، این یک استثنا نیست. شایع ترین مقصد این شماره این است که کسری را به ارمغان بیاورد مخرج مشترک. معمولا در 5-6 کلاس دبیرستان تحصیل می کند. همچنین علاوه بر این، یک تقسیم مشترک برای تمام اعداد متعدد است، اگر چنین شرایطی در این کار باشد. چنین بیان می تواند چند تا نه تنها به دو عدد، بلکه به میزان بیشتر - سه، پنج، و غیره پیدا کند. اعداد بیشتر - اقدامات بیشتر در این کار، اما پیچیدگی از این افزایش نمی یابد.

به عنوان مثال، تعداد 250، 600 و 1500 داده شده است، لازم است که NOK مشترک خود را پیدا کنید:

1) 250 \u003d 25 * 10 \u003d 5 2 * 5 * 2 \u003d 5 3 * 2 - در این مثال، تجزیه در چند ضلعی به طور دقیق شرح داده شده است، بدون کاهش.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

به منظور ارتقاء بیان، لازم است به ذکر همه عوامل، در این مورد 2، 5، 3 وجود دارد - برای همه این اعداد مورد نیاز برای تعیین حداکثر درجه.

توجه: تمام ضیافت ها باید برای تکمیل ساده سازی، در صورت امکان، قرار گیرد، به سطح یکنواخت تبدیل شود.

بررسی:

1) 3000/250 \u003d 12 - راست؛

2) 3000/600 \u003d 5 - راست؛

3) 3000/1500 \u003d 2 - درست است.

این روش نیازی به ترفندها یا توانایی های سطح نابغه ندارد، همه چیز ساده و قابل فهم است.

یک راه دیگر

در ریاضیات، بسیار متصل است، بسیار می تواند با دو یا چند روش حل شود، همین امر به جستجو برای کوچکترین رنگ رایج، NOK مربوط می شود. روش زیر را می توان در مورد شماره های دو رقمی ساده و یکپارچه استفاده کرد. یک جدول کشیده شده است که عمودی چندگانه ساخته شده است، چند برابر افقی، و در سلول های ستون متقاطع، محصول نشان داده شده است. شما می توانید جدول را با استفاده از یک خط منعکس کنید، تعداد گرفته شده است و نتایج ضرب این شماره برای عدد صحیح ثبت می شود، از 1 تا بی نهایت، گاهی اوقات نیز 3-5 امتیاز وجود دارد، تعداد دوم و بعد از آن به نظر می رسد همان محاسبات محاسباتی. همه چیز اتفاق می افتد تا چند چندگانه مشترک وجود داشته باشد.

اعداد 30، 35، 42 داده می شود، لازم است که NOC را پیدا کنید، تمام اعداد را متصل کنید:

1) چند 30: 60، 90، 120، 150، 180، 210، 250، و غیره

2) چندگانه 35: 70، 105، 140، 175، 210، 245، و غیره

3) چندگانه 42: 84، 126، 168، 210، 252، و غیره

قابل توجه است که تمام اعداد کاملا متفاوت هستند، تنها یکی از آنها شماره 210 است، در اینجا این NOC خواهد بود. در میان فرایندهای مربوط به این محاسبه، بزرگترین تقسیم کننده مشترک نیز وجود دارد، محاسبه اصول مشابه و اغلب در وظایف همسایه یافت می شود. تفاوت کوچک است، اما به اندازه کافی قابل توجه است، NOK نشان می دهد محاسبه تعداد، که به تمام مقادیر منبع داده تقسیم شده است، و گره شامل محاسبه بزرگترین ارزش که اعداد اولیه تقسیم می شوند.

شماره دوم: b \u003d.

جداکننده تخلیه می شود بدون فضای جداساز "

نتیجه:

بزرگترین گره تقسیم کلی ( آ.,ب)=6

کوچکترین جوجه های معمولی ( آ.,ب)=468

بزرگترین عدد طبیعی که بدون آن بدون باقی مانده از شماره A و B تقسیم می شود، نامیده می شود بزرگترین تقسیم کننده مشترک (گره) از این اعداد. گره (a، b)، (a، b)، GCD (a، b) یا HCF (a، b) را نشان می دهد.

کوچکترین درد رایج (NOC) از دو عدد صحیح A و B کوچکترین عدد طبیعی است که به A و B بدون باقی مانده تقسیم می شود. یادداشت ها (a، b)، یا lcm (a، b).

عدد صحیح A و B نامیده می شود دو طرفه سادهاگر آنها هیچ تقسیم کننده مشترک به جز +1 و -1 ندارند.

بزرگترین تقسیم مشترک

بگذارید دو بار داده شود اعداد مثبت آ. 1 I. آ. 2 1). لازم است که یک تقسیم مشترک از این اعداد را پیدا کنید، I.E. چنین تعداد را پیدا کنید λ که تعداد را تقسیم می کند آ. 1 I. آ. 2 در همان زمان. بیایید الگوریتم را توصیف کنیم.

1) در این مقاله، شماره تحت این کلمه، عدد صحیح را درک می کند.

بیایید آ. 1 ≥ آ. 2، و اجازه دهید

جایی که m. 1 , آ. 3 عدد صحیح آ. 3 <آ. 2 (تعادل تقسیم آ. 1 آ. 2 باید کمتر باشد آ. 2).

بیایید وانمود کنیم λ خاتمه دادن آ. 1 I. آ. 2، سپس λ خاتمه دادن m. 1 آ. 2 I. λ خاتمه دادن آ. 1 −m. 1 آ. 2 =آ. 3 (تصویب 2 مقاله "تقسیم اعداد. نشانه ای از تقسیم بندی"). از این رو آن را دنبال می کند که هر تقسیم مشترک آ. 1 I. آ. 2 یک تقسیم مشترک است آ. 2 I. آ. 3 راست و معکوس اگر λ تقسیم عمومی آ. 2 I. آ. 3، T. m. 1 آ. 2 I. آ. 1 =m. 1 آ. 2 +آ. 3 نیز به تقسیم می شوند λ . در نتیجه، یک تقسیم کننده مشترک آ. 2 I. آ. 3 نیز یک تقسیم کننده مشترک وجود دارد آ. 1 I. آ. 2 مانند آ. 3 <آ. 2 ≤آ. 1، پس ما می توانیم بگوییم که راه حل به وظیفه پیدا کردن یک تقسیم مشترک از اعداد آ. 1 I. آ. 2 به کار ساده تر از پیدا کردن یک تقسیم مشترک از اعداد کاهش می یابد آ. 2 I. آ. 3 .

اگر یک آ. 3 ≠ 0، سپس شما می توانید تقسیم کنید آ. 2 آ. 3 سپس

,

جایی که m. 1 I. آ. 4 برخی از اعداد صحیح ( آ. 4 تعادل تقسیم آ. 2 آ. 3 (آ. 4 <آ. 3)) استدلال مشابهی که ما به این نتیجه رسیدیم که تقسیم کنندگان مشترک اعداد هستند آ. 3 I. آ. 4 همزمان با تقسیمات عمومی اعداد است آ. 2 I. آ. 3، و همچنین با تقسیم کننده های مشترک آ. 1 I. آ. 2 مانند آ. 1 , آ. 2 , آ. 3 , آ. 4، ... اعداد، دائما کاهش می یابد، و از آنجا که تعداد محدودی از عدد صحیح بین وجود دارد آ. 2 و 0، سپس در چه قدم n.، باقی مانده از تقسیم آ. غیر آ. n + 1 صفر خواهد بود ( آ. n + 2 \u003d 0).

.

هر تقسیم مشترک λ شماره آ. 1 I. آ. 2 همچنین شماره های تقسیم کننده آ. 2 I. آ. 3 , آ. 3 I. آ. 4 , .... آ. n I. آ. n + 1 عادلانه و معکوس، تقسیم کنندگان مشترک از اعداد آ. n I. آ. N + 1 نیز تقسیم کننده اعداد است آ. n-1 و آ. n، ....، آ. 2 I. آ. 3 , آ. 1 I. آ. 2 اما تقسیم عمومی اعداد آ. n I. آ. n + 1 عدد است آ. n + 1، زیرا آ. n I. آ. N + 1 بدون باقی مانده تقسیم می شود آ. n + 1 (به یاد داشته باشید که آ. n + 2 \u003d 0). از این رو آ. n + 1 تقسیم اعداد است آ. 1 I. آ. 2 .

توجه داشته باشید که تعداد آ. N + 1 بزرگترین تعداد تقسیم کننده ها است. آ. n I. آ. n + 1، از بزرگترین تقسیم کننده آ. n + 1 خود است آ. n + 1 اگر یک آ. n + 1 را می توان به عنوان یک محصول از عدد صحیح نشان داد، سپس این اعداد نیز تقسیم کننده تعداد رایج هستند آ. 1 I. آ. 2 عدد آ. n + 1 نامیده می شود بزرگترین تقسیم کننده مشترک شماره آ. 1 I. آ. 2 .

شماره آ. 1 I. آ. 2 می تواند هر دو عدد مثبت و منفی باشد. اگر یکی از اعداد صفر باشد، بزرگترین تقسیم مشترک این اعداد برابر با ارزش مطلق تعداد دیگری خواهد بود. بزرگترین تقسیم مشترک صفر صفر تعریف نشده است.

الگوریتم پیشین نامیده می شود الگوریتم Euclidaبرای پیدا کردن بزرگترین تقسیم عمومی دو عدد صحیح.

یک مثال از پیدا کردن بزرگترین تقسیم کامل دو عدد

بزرگترین تقسیم کلی دو عدد 630 و 434 را پیدا کنید.

• مرحله 1. ما شماره 630 را در 434 تقسیم کردیم. باقی مانده 196.
• مرحله 2. ما شماره 434 را برای 196 تقسیم کردیم. باقی مانده 42.
• مرحله 3. ما شماره 196 را 42 تقسیم کردیم. باقی مانده 28.
• مرحله 4. ما شماره 42 را به 28 تقسیم می کنیم. باقی مانده 14.
• مرحله 5. ما شماره 28 تا 14 را تقسیم می کنیم. باقی مانده 0.

در مرحله 5، باقی مانده از تقسیم 0.. در نتیجه، بزرگترین تقسیم مشترک اعداد 630 و 434 14 است. توجه داشته باشید که اعداد 2 و 7 نیز تقسیم کنندگان اعداد 630 و 434 است.

تعداد دو طرفه ساده

تعریف 1. اجازه دهید بزرگترین تقسیم کننده مشترک از اعداد آ. 1 I. آ. 2 برابر با یک است. سپس این اعداد نامیده می شوند تعداد دو طرفه سادهعدم تقسیم مشترک نیست

قضیه 1. اگر یک آ. 1 I. آ. 2 عدد دو طرفه ساده و λ برخی از تعداد، سپس هر تقسیم مشترک از اعداد λa 1 I. آ. 2 همچنین یک تقسیم مشترک از اعداد است λ و آ. 2 .

شواهد و مدارک. الگوریتم Euclid را برای پیدا کردن بزرگترین تقسیم عمومی اعداد در نظر بگیرید. آ. 1 I. آ. 2 (بالا را ببینید)

.

از شرایط قضیه، این به این معنی است که بزرگترین تقسیم مشترک اعداد است آ. 1 I. آ. 2، و بنابراین آ. n I. آ. n + 1 1. کسانی است. آ. n + 1 \u003d 1.

تمام این برابری را چند برابر کنید λ ، سپس

.

اجازه دهید یک تقسیم کننده کلی آ. 1 λ و آ. 2 است δ . سپس δ شامل چند ضلعی B است آ. 1 λ , m. 1 آ. 2 λ و ب آ. 1 λ -m. 1 آ. 2 λ =آ. 3 λ (نگاه کنید به "تعداد اعداد"، تایید 2). به علاوه δ شامل چند ضلعی B است آ. 2 λ و m. 2 آ. 3 λ و بنابراین، چند برابر است آ. 2 λ -m. 2 آ. 3 λ =آ. 4 λ .

استدلال می کنیم، بنابراین ما متقاعد شده ایم که δ شامل چند ضلعی B است آ. n-1 λ و m. n-1 آ. n. λ ، و بنابراین آ. n-1 λ −m. n-1 آ. n. λ =آ. n + 1 λ . مانند آ. n + 1 \u003d 1، سپس δ شامل چند ضلعی B است λ . در نتیجه تعداد δ یک تقسیم مشترک از اعداد است λ و آ. 2 .

موارد خصوصی قضیه 1 را در نظر بگیرید.

نتیجه گیری 1. بیایید آ. و c. اعداد ساده در مورد ب. سپس کار خود را قسم یک شماره ساده است ب.

واقعا از قضیه 1. قسم و ب همان تقسیم کنندگان مشترک را به عنوان c. و ب. اما اعداد c. و ب دو طرفه ساده، I.E. تنها تقسیم مشترک 1. سپس قسم و ب همچنین تنها تقسیم مشترک 1. در نتیجه قسم و ب دو طرفه ساده

نتیجه گیری 2. بیایید آ. و ب تعداد دو طرفه ساده و اجازه دهید ب خاتمه دادن اکو. سپس ب حذف من k..

واقعا از شرایط تایید اکو و ب یک تقسیم مشترک داشته باشید ب. توسط قضیه 1، ب باید یک تقسیم مشترک باشد ب و k.. از این رو ب خاتمه دادن k..

نتیجه 1 می تواند تعمیم یابد.

نتیجه گیری 3. 1. اعداد را بگذارید آ. 1 , آ. 2 , آ. 3 , ..., آ. متر ساده نسبت به تعداد ب. سپس آ. 1 آ. 2 , آ. 1 آ. 2 · آ. 3 , ..., آ. 1 آ. 2 آ. 3 ··· آ. متر، محصول این اعداد نسبت به تعداد ساده است ب.

2. اجازه دهید آنها دو ردیف از اعداد داشته باشند

به طوری که هر تعداد ردیف اول برای هر تعداد ردیف دوم ساده است. سپس کار

لازم است چنین اعدادی را پیدا کنید که به هر یک از این اعداد تقسیم می شوند.

اگر شماره به آن تقسیم شود آ. 1، پس از آن فرم دارد sa 1، کجا s. هر عدد اگر یک q. بزرگترین تقسیم مشترک اعداد وجود دارد آ. 1 I. آ. 2، T.

جایی که s. 1 - برخی از عدد صحیح. سپس

هست یک کوچکترین تعداد چندگانه مشترک آ. 1 I. آ. 2 .

آ. 1 I. آ. 2 دو طرفه ساده، سپس کوچکترین تعداد کل چندگانه آ. 1 I. آ. 2:

ضروری است که کوچکترین چند عدد از این اعداد را پیدا کنید.

از موارد فوق پیروی می کند که هر تعداد متعدد آ. 1 , آ. 2 , آ. 3 باید تعداد چندگانه باشد ε و آ. 3، و پشت. اجازه دهید کوچکترین تعداد چندگانه مشترک ε و آ. 3 است ε یکی بعدی، تعداد چندگانه آ. 1 , آ. 2 , آ. 3 , آ. 4 باید چندین عدد باشد ε 1 I. آ. چهار. اجازه دهید کوچکترین تعداد چندگانه مشترک ε 1 I. آ. 4 است ε 2 بنابراین، آنها متوجه شدند که تمام اعداد متعدد آ. 1 , آ. 2 , آ. 3 ,...,آ. m با چند عدد خاص همخوانی دارد ε n، که کوچکترین تعداد داده های چندگانه مشترک است.

در یک مورد خاص زمانی که تعداد آ. 1 , آ. 2 , آ. 3 ,...,آ. m دو طرفه ساده، سپس کوچکترین تعداد کل چندگانه آ. 1 , آ. 2 همانطور که در بالا نشان داده شده است فرم (3). بعد، از آنجا که آ. 3 ساده به سمت اعداد آ. 1 , آ. 2، سپس آ. 3 عدد ساده آ. یکی · آ. 2 (نتیجه 1). به معنی کوچکترین تعداد چندگانه عمومی است آ. 1 ,آ. 2 ,آ. 3 عدد است آ. یکی · آ. 2 · آ. 3 استدلال به همان شیوه، ما به اظهارات زیر آمده ایم.

بیانیه 1. کوچکترین تعداد کل تعداد دو طرفه ساده آ. 1 , آ. 2 , آ. 3 ,...,آ. متر برابر با کار خود است آ. یکی · آ. 2 · آ. 3 ··· آ. متر

بیانیه 2. هر عدد که به هر یک از تعداد دو طرفه ساده تقسیم می شود آ. 1 , آ. 2 , آ. 3 ,...,آ. متر نیز به کار خود تقسیم شده است آ. یکی · آ. 2 · آ. 3 ··· آ. متر

نحوه پیدا کردن NOC (کوچکترین مجموع چندگانه)

کوچکترین مجموع چندگانه برای دو عدد صحیح کوچکترین از تمام عدد صحیح است که تقسیم شده و بدون تعادل در هر دو عدد مشخص شده است.

روش 1. ممکن است NOK را به نوبه خود پیدا کنید، به نوبه خود، برای هر یک از اعداد مشخص، نوشتن به منظور افزایش تمام اعداد که توسط ضرب آنها توسط 1، 2، 3، 4، و غیره به دست آمده است.

مثال برای اعداد 6 و 9.
تعداد 6، به ترتیب، 1، 2، 3، 4، 5 ضرب کنید.
ما دریافت می کنیم: 6، 12، 18 , 24, 30
ما تعداد 9 را به ترتیب، 1، 2، 3، 4، 5 ضرب می کنیم.
ما دریافت می کنیم: 9 18 , 27, 36, 45
همانطور که دیده می شود، NOC برای اعداد 6 و 9 برابر با 18 برابر خواهد بود.

این روش راحت است زمانی که هر دو عدد کوچک و به راحتی توسط دنباله ای از عدد صحیح ضرب شوند. با این حال، مواردی وجود دارد که لازم است NOCS را برای شماره های دو رقمی یا سه رقمی پیدا کنید، و همچنین زمانی که تعداد اولیه سه یا حتی بیشتر است.

روش 2. ممکن است NOC را پیدا کنید، تعداد اولیه را به عوامل ساده گسترش دهید.
پس از تجزیه، لازم است که تعداد مشابهی از سری حاصل از عوامل ساده را حذف کنید. تعداد باقی مانده از شماره اول، چند برابر خواهد بود و تعداد باقی مانده دوم - چند برابر برای اولین بار.

مثالبرای شماره 75 و 60.
کوچکترین تعداد کلی چند عدد 75 و 60 را می توان یافت و در یک ردیف به این اعداد تجویز نمی شود. برای انجام این کار، 75 و 60 را به ضربات ساده تقسیم کنید:
75 = 3 * 5 * 5، و
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
همانطور که دیده می شود، ضرب 3 و 5 در هر دو خط یافت می شود. ذهنی، آنها "خرد کردن" هستند.
نوشیدنی های باقی مانده را در تجزیه هر یک از این اعداد بنوشید. با تجزیه شماره 75، ما شماره 5 را ترک کردیم و با تجزیه شماره 60 - 2 * 2 باقی مانده بود
این بدان معنی است که برای تعیین NOC برای اعداد 75 و 60، ما نیاز به شماره های باقی مانده از تجزیه 75 (این 5) ضرب 60، و اعداد باقی مانده از تجزیه شماره 60 (این 2 * 2) ضرب 75 است . این، برای سهولت درک، ما می گوییم که ما "لانه" را افزایش می دهیم.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
بنابراین، ما NOC را برای شماره 60 و 75 یافتیم. این شماره 300 است.

مثال. تعیین NOC برای اعداد 12، 16، 24
در این مورد، اقدامات ما تا حدودی پیچیده تر خواهد بود. اما اول، همانطور که همیشه، ما تمام اعداد را برای عوامل ساده تعریف خواهیم کرد.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
به منظور به درستی تعریف NOC، کوچکترین از تمام اعداد را انتخاب کنید (این شماره 12 است) و به طور مداوم بر اساس عامل آن عبور می کند، از آنها عبور می کند، اگر حداقل یکی از شماره های دیگر با همان اندازه گیری، هنوز تأکید نشده است.

مرحله 1 ما می بینیم که 2 * 2 در تمام ردیف اعداد یافت می شود. آنها را ببوسید
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

مرحله 2. در ضرب کننده های معمولی شماره 12، تنها تعداد 3 وجود دارد. اما در ضریب های ساده شماره 24 وجود دارد. تعداد 3 از هر دو ردیف را کشف کنید، و هیچ اقدام برای شماره 16 انتظار نمی رود.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

همانطور که می بینیم، با تجزیه شماره 12، ما تمام اعداد را از بین بردیم. بنابراین یافته های NOC تکمیل شده است. این تنها برای محاسبه ارزش آن باقی می ماند.
برای شماره 12، ما چند برابر باقی مانده را در شماره 16 (نزدیکترین صعودی)
12 * 2 * 2 = 48
این یک نوک است

همانطور که می بینید، در این مورد، یافته های NOC تا حدودی پیچیده تر بود، اما زمانی که لازم است آن را برای سه یا چند عدد پیدا کنید، این روش به شما اجازه می دهد تا سریعتر آن را انجام دهید. با این حال، هر دو راه برای پیدا کردن NOC درست هستند.

اما بسیاری از اعداد طبیعی به سایر اعداد طبیعی تغذیه می شوند.

مثلا:

شماره 12 به 1، توسط 2، توسط 4، توسط 4، توسط 6، توسط 12 تقسیم شده است.

شماره 36 به 1، توسط 2، توسط 4، تا 12، توسط 12، توسط 12، توسط 3، توسط 3، توسط 3، توسط 36 تقسیم می شود.

اعداد که تعداد سهام به هدف (برای 12 این، 1، 2، 3، 4، 6 و 12) نامیده می شود تقسیم تعداد. تقسیم شماره طبیعی آ. - این یک عدد طبیعی است که این تعداد را تقسیم می کند آ. بدون باقی مانده تعداد طبیعی که بیش از دو تقسیم کننده دارد نامیده می شود ترکیب .

لطفا توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 دارای تقسیم مشترک هستند. اینها اعداد هستند: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین این تعداد بزرگترین این تعداد است - 12. تقسیم کلی دو شماره داده آ. و ب - این شماره است که آنها بدون تعادل هر دو شماره داده تقسیم می شوند آ.و ب.

درد مشترک چندین عدد عدد نامیده می شود که به هر یک از این اعداد تقسیم می شود. مثلا، اعداد 9، 18 و 45 مجموعا مجموعا 180 را دارند. اما 90 و 360 نیز چند ضلعی معمول آنها هستند. در میان تمام به ارمغان می آورد، همیشه کوچکترین وجود دارد، در این مورد 90 است. این شماره نامیده می شود کوچکترینچندگانه مشترک (NOK).

نوک همیشه یک عدد طبیعی است که باید بیشتر از بزرگترین اعداد باشد که تعیین می شود.

کوچکترین کل چند (NOC). خواص

Commutativity:

وابسته:

به طور خاص، اگر - تعداد ساده ساده، پس از آن:

کوچکترین کل کل دو عدد صحیح m.و n. تقسیم همه چند ضلعی معمول است m.و n.. علاوه بر این، بسیاری از چند ضلعی مشترک متر، n. همزمان با چندین بار برای NOCS ( متر، n.).

Asymptotics را می توان از طریق برخی از توابع نظری و عددی بیان کرد.

بنابراین، تابع Chebyshev . همچنین:

این به دنبال تعریف و خواص عملکرد Landau است g (n).

چه چیزی از قانون توزیع اعداد اول پیروی می کند.

پیدا کردن کوچکترین چندگانه مشترک (NOC).

nok ( a، ب) شما می توانید به چندین روش محاسبه کنید:

1. اگر بزرگترین تقسیم کننده مشترک شناخته شده باشد، ممکن است از اتصال آن از NOC استفاده شود:

2. اجازه دهید آن را می دانیم تجزیه کانونی هر دو عدد در ضربات ساده:

جایی که p 1، ...، p k - اعداد مختلف ساده، و d 1، ...، d k و 1، ...، e k - عدد صحیح غیر منفی (آنها می توانند صفر باشند اگر ساده بودن آن در تجزیه از دست رفته باشد).

سپس NOK ( آ.,ب) فرمول محاسبه شده است:

به عبارت دیگر، باز کردن NOC شامل تمامی عوامل ساده است که حداقل یکی از گسترش اعداد را دریافت می کند. a، بعلاوه بر این، از دو شاخص این ضریب، بزرگترین را می گیرد.

مثال:

محاسبه کوچکترین تعداد کل چندین عدد از چندین عدد را می توان به چندین محاسبات NOC متوالی از دو عدد کاهش داد:

قانون. برای پیدا کردن NOC تعداد اعداد، شما نیاز دارید:

- اعداد را در عوامل ساده تجزیه کنید؛

- انتقال به عوامل مورد نظر از کار مورد نظر بزرگترین تجزیه (محصول ضرب کننده ترین تعداد از مشخص شده)، و سپس اضافه کردن ضرب کننده از تجزیه اعداد دیگر که در شماره اول یافت نشد و یا چند بار در آن وجود دارد آی تی؛

- محصول حاصل از ضربات ساده خواهد شد NOC از اعداد مشخص شده است.

هر دو عدد طبیعی یا بیشتر NOK خود را دارند. اگر اعداد چندگانه نیستند یا چند ضلعی مشابه را در تجزیه ندارند، نوک آنها برابر با محصول این اعداد است.

ضریب های ساده شماره 28 (2، 2، 7) با یک ضریب 3 (تعداد 21) تکمیل شد، محصول حاصل (84) کمترین تعداد، که به 21 و 28 تقسیم می شود.

ضرب های ساده از بالاترین تعداد 30 توسط یک ضریب 5th 25 تکمیل شد، محصول حاصل 150 بیشتر از بزرگترین تعداد 30 است و به تمام تعداد تعیین شده بدون باقی مانده تقسیم می شود. این کوچکترین محصول ممکن است (150، 250، 300 ...)، که چندین عدد مجموعه است.

اعداد 2،3،11،37 ساده هستند، بنابراین نوک آنها برابر با محصول اعداد مشخص شده است.

قانون. برای محاسبه NOC از اعداد ساده، شما باید تمام این اعداد را چند برابر کنید.

گزینه ای دیگر:

برای پیدا کردن کوچکترین چند عدد مشترک (NOK) از چندین شماره که نیاز دارید پیدا کنید:

1) هر عدد را به عنوان یک محصول از عوامل ساده خود قرار دهید، به عنوان مثال:

504 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7،

2) درجه ای از همه عوامل ساده را ثبت کنید:

504 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 \u003d 2 3 · 3 2 · 7 1،

3) تمام تقسیمات ساده (ضرب) هر یک از این اعداد را بنویسید؛

4) بزرگترین درجه هر یک از آنها را انتخاب کنید، در همه گسترش این اعداد یافت می شود؛

5) این درجه را چند برابر کنید.

مثال . شماره های NOC را پیدا کنید: 168، 180 و 3024.

تصمیم . 168 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 7 \u003d 2 3 · 3 1 · 7 1،

180 \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 5 \u003d 2 2 · 3 2 · 5 1،

3024 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 \u003d 2 4 · 3 3 · 7 1.

ما بزرگترین درجه از تمام تقسیم کنندگان ساده را بنویسیم و آنها را خاموش کنیم:

NOK \u003d 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 \u003d 15120.