معمولی اعداد کسریآنها ابتدا با دانش آموزان کلاس پنجم ملاقات می کنند و در طول زندگی آنها را همراهی می کنند، زیرا در زندگی روزمره اغلب لازم است یک شی را نه به عنوان یک کل، بلکه در قطعات جداگانه بررسی یا استفاده کنیم. مطالعه این موضوع را شروع کنید - به اشتراک بگذارید. سهام قسمت های مساوی هستند، که این یا آن شی به آن تقسیم می شود. به هر حال، همیشه نمی توان برای مثال، طول یا قیمت یک محصول را به عنوان یک عدد کامل بیان کرد. خود کلمه "کسری" که از فعل "تقسیم کردن" - تقسیم به قطعات و ریشه عربی تشکیل شده است در قرن هشتم در زبان روسی بوجود آمد.

عبارات کسری از دیرباز سخت ترین شاخه ریاضیات در نظر گرفته شده است. در قرن هفدهم، زمانی که اولین کتاب‌های درسی ریاضیات پدیدار شد، آنها را «اعداد شکسته» می‌نامیدند که درک آن برای مردم بسیار دشوار بود.

ظاهر مدرنباقیمانده های کسری ساده، که قسمت های آن با یک خط افقی از هم جدا شده اند، برای اولین بار توسط فیبوناچی - لئوناردو پیزا ترویج شد. تاریخ آثار او به سال 1202 می رسد. اما هدف این مقاله این است که به سادگی و به وضوح برای خواننده توضیح دهد که ضرب چگونه اتفاق می افتد کسرهای مخلوطبا مخرج های مختلف.

ضرب کسری با مخرج های مختلف

در ابتدا ارزش تعیین کردن را دارد انواع کسری:

• درست؛
• غلط؛
• مختلط

در مرحله بعد، باید به یاد داشته باشید که چگونه اعداد کسری با آنها ضرب می شوند مخرج های مشابه. قاعده این فرآیند به راحتی قابل فرمول بندی مستقل است: نتیجه ضرب کسرهای سادهبا مخرج های یکسان یک عبارت کسری است که صورت آن حاصل ضرب مصدرها و مخرج حاصل ضرب مخرج این کسرها است. یعنی در واقع مخرج جدید مربع یکی از مخرج های اولیه است.

هنگام ضرب کسرهای ساده با مخرج های مختلفبرای دو یا چند عامل این قانون تغییر نمی کند:

آ/ب * ج/د = a*c / ب*د.

تنها تفاوت این است که عدد حاصل در زیر خط کسری حاصل ضرب اعداد مختلف و طبیعتاً مربع یک خواهد بود. بیان عددیناممکن نیست

شایان ذکر است که ضرب کسری با مخرج های مختلف را با استفاده از مثال ها در نظر بگیرید:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

مثال‌ها از روش‌هایی برای کاهش عبارات کسری استفاده می‌کنند. شما فقط می توانید اعداد کسر را با اعداد مخرج کاهش دهید.

در کنار کسرهای ساده، مفهوم کسرهای مختلط نیز وجود دارد. یک عدد مختلط از یک عدد صحیح و یک جزء کسری تشکیل شده است، یعنی مجموع این اعداد است:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

ضرب چگونه کار می کند؟

چندین مثال برای بررسی ارائه شده است.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

مثال از ضرب یک عدد در استفاده می کند بخش کسری معمولی، قانون این عمل را می توان به صورت زیر نوشت:

آ* ب/ج = a*b /ج.

در واقع، چنین محصولی مجموع باقیمانده های کسری یکسان است و تعداد عبارت ها نشان دهنده این است. عدد طبیعی. مورد خاص:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

راه حل دیگری برای ضرب یک عدد در باقیمانده کسری وجود دارد. فقط باید مخرج را بر این عدد تقسیم کنید:

د* e/f = e/و: د.

این تکنیک برای استفاده زمانی مفید است که مخرج بر یک عدد طبیعی بدون باقیمانده یا به قول آنها بر یک عدد کامل تقسیم شود.

اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و حاصل ضرب را به روشی که قبلا توضیح داده شد بدست آورید:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

این مثال شامل راهی برای نمایش یک کسر مختلط به عنوان یک کسر نامناسب است و همچنین می تواند به عنوان یک فرمول کلی نشان داده شود:

آ بج = a*b+ج / ج، که در آن مخرج کسر جدید با ضرب کل جزء با مخرج و جمع آن با صورت باقی مانده کسری اصلی تشکیل می شود و مخرج ثابت می ماند.

این فرآیند نیز در آن کار می کند سمت معکوس. برای جدا کردن کل قسمت و باقیمانده کسری، باید عدد را تقسیم کنید کسر نامناسببه مخرج آن با یک "گوشه".

ضرب کسرهای نامناسببه روشی پذیرفته شده تولید می شود. هنگام نوشتن زیر یک خط کسری، باید کسرها را در صورت لزوم کاهش دهید تا با استفاده از این روش، اعداد را کاهش دهید و محاسبه نتیجه را آسان‌تر کنید.

راهنماهای زیادی در اینترنت برای حل مسائل پیچیده ریاضی وجود دارد تغییرات مختلفبرنامه ها. مقدار کافیچنین خدماتی کمک خود را در شمارش ضرب کسری با اعداد مختلفدر مخرج - به اصطلاح ماشین حساب آنلاین برای محاسبه کسر. آنها نه تنها می توانند ضرب کنند، بلکه می توانند سایر عملیات های ساده حسابی را با کسرهای معمولی و اعداد مختلط انجام دهند. کار کردن با آن آسان است عملیات ریاضیو روی "محاسبه" کلیک کنید. برنامه به صورت خودکار محاسبه می کند.

مبحث عملیات حسابی با کسرها در سراسر تحصیل دانش آموزان راهنمایی و دبیرستان مرتبط است. در دبیرستان دیگر ساده ترین گونه ها را در نظر نمی گیرند، اما عبارات کسری عدد صحیح، اما دانش قوانین تبدیل و محاسبات که قبلاً به دست آمده است به شکل اصلی خود اعمال می شود. تسلط بر دانش پایه اعتماد کامل به آن می دهد تصمیم موفقاکثر وظایف پیچیده.

در پایان، منطقی است که سخنان لو نیکولایویچ تولستوی را نقل کنیم که نوشت: "انسان یک کسری است. در اختيار انسان نيست كه بر صورت خود - محاسن - بيفزايد، بلكه هر كس مي تواند مخرج خود را - نظرش را در مورد خودش كم كند و با اين كاهش به كمال او نزديك شود.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه کسرهای فردی را جمع و ضرب کنیم، می توانیم موارد بیشتری را بررسی کنیم طرح های پیچیده. به عنوان مثال، اگر همان مسئله شامل جمع، تفریق و ضرب کسر باشد، چه؟

اول از همه، شما باید همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. سپس اقدامات مورد نیاز را به ترتیب انجام می دهیم - به همان ترتیبی که برای اعداد معمولی است. برای مثال:

1. قدرت اول انجام می شود - از شر تمام عبارات حاوی توان خلاص شوید.
2. سپس - تقسیم و ضرب;
3. مرحله آخر جمع و تفریق است.

البته، اگر پرانتز در عبارت وجود داشته باشد، ترتیب عملیات تغییر می کند - هر چیزی که داخل پرانتز است ابتدا باید شمارش شود. و در مورد کسرهای نامناسب به یاد داشته باشید: فقط زمانی باید کل قسمت را برجسته کنید که سایر اقدامات قبلاً تکمیل شده باشند.

بیایید تمام کسرهای عبارت اول را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم و سپس مراحل زیر را انجام دهیم:

حالا بیایید مقدار عبارت دوم را پیدا کنیم. در اینجا کسری با کل بخشنه، اما پرانتز وجود دارد، بنابراین ابتدا جمع را انجام می دهیم و فقط بعد تقسیم را انجام می دهیم. توجه داشته باشید که 14 = 7 · 2. سپس:

در نهایت به مثال سوم می پردازیم. در اینجا پرانتز و مدرک وجود دارد - بهتر است آنها را جداگانه بشمارید. با توجه به اینکه 9 = 3 3، داریم:

به مثال آخر دقت کنید. برای بالا بردن کسری به توان، باید به طور جداگانه صورت را به این توان و به طور جداگانه، مخرج را افزایش دهید.

شما می توانید متفاوت تصمیم بگیرید. اگر تعریف درجه را به خاطر بیاوریم، مشکل به ضرب معمول کسری کاهش می یابد:

کسرهای چند طبقه

تا اینجا ما فقط کسرهای «خالص» را در نظر گرفته‌ایم، وقتی که صورت و مخرج هستند اعداد معمولی. این کاملاً با تعریف کسری عددی که در همان درس اول ارائه شد مطابقت دارد.

اما اگر شیء پیچیده تری را در صورت یا مخرج قرار دهید چه؟ مثلا کسری عددی دیگه؟ چنین ساختارهایی اغلب به وجود می آیند، به خصوص هنگام کار با عبارات طولانی. در اینجا چند نمونه وجود دارد:

تنها یک قانون برای کار با کسرهای چند سطحی وجود دارد: باید فوراً از شر آنها خلاص شوید. اگر به یاد داشته باشید که بریده بریده به معنای عملیات تقسیم استاندارد است، حذف طبقات "اضافی" بسیار ساده است. بنابراین، هر کسری را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

با استفاده از این واقعیت و پیروی از روش، می توانیم به راحتی هر کسری چند طبقه را به یک کسر معمولی کاهش دهیم. به نمونه ها دقت کنید:

وظیفه. کسرهای چند طبقه را به کسرهای معمولی تبدیل کنید:

در هر مورد، کسر اصلی را بازنویسی می کنیم و خط تقسیم را با علامت تقسیم جایگزین می کنیم. همچنین به یاد داشته باشید که هر عدد صحیح را می توان به عنوان کسری با مخرج 1 نشان داد. 12 = 12/1; 3 = 3/1. ما گرفتیم:

در آخرین مثال، کسرها قبل از ضرب نهایی لغو شدند.

مشخصات کار با کسرهای چند سطحی

یک نکته ظریف در کسرهای چند طبقه وجود دارد که همیشه باید به خاطر بسپارید، در غیر این صورت می توانید پاسخ اشتباه را دریافت کنید، حتی اگر همه محاسبات درست باشد. نگاهی بیاندازید:

1. صورت شامل عدد جداگانه 7 و مخرج شامل کسری 12/5 است.
2. صورت شامل کسری 7/12 و مخرج شامل عدد جداگانه 5 است.

بنابراین، برای یک ورودی، ما دو تا را به طور کامل دریافت کردیم تفاسیر مختلف. اگر بشمارید، پاسخ ها نیز متفاوت خواهند بود:

برای اطمینان از اینکه رکورد همیشه بدون ابهام خوانده می شود، از یک قانون ساده استفاده کنید: خط تقسیم کسر اصلی باید طولانی تر از خط کسر تو در تو باشد. ترجیحا چندین بار.

اگر از این قانون پیروی کنید، کسرهای بالا باید به صورت زیر نوشته شوند:

بله، ممکن است نامناسب باشد و فضای زیادی را اشغال کند. اما شما درست حساب خواهید کرد. در نهایت، چند مثال که در آن کسرهای چند طبقه در واقع بوجود می آیند:

وظیفه. معانی عبارات را بیابید:

بنابراین، بیایید با مثال اول کار کنیم. بیایید همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم و سپس عملیات جمع و تقسیم را انجام دهیم:

بیایید همین کار را با مثال دوم انجام دهیم. بیایید همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم و عملیات مورد نیاز را انجام دهیم. برای اینکه خواننده را خسته نکنم، برخی از محاسبات آشکار را حذف می کنم. ما داریم:

با توجه به اینکه صورت و مخرج کسرهای پایه دارای جمع هستند، قانون نوشتن کسرهای چند طبقه به صورت خودکار رعایت می شود. همچنین در مثال آخر عمداً 46/1 را به صورت کسری برای انجام تقسیم گذاشتیم.

همچنین متذکر می شوم که در هر دو مثال، نوار کسری در واقع جایگزین پرانتز می شود: اول از همه، ما مجموع را پیدا کردیم و فقط پس از آن ضریب را پیدا کردیم.

برخی خواهند گفت که انتقال به کسرهای نامناسب در مثال دوم به وضوح زائد بود. شاید این درست باشد. اما با انجام این کار، خود را در برابر اشتباهات بیمه می کنیم، زیرا دفعه بعد ممکن است مثال بسیار پیچیده تر شود. آنچه مهمتر است را خودتان انتخاب کنید: سرعت یا قابلیت اطمینان.

دیر یا زود، همه کودکان در مدرسه شروع به یادگیری کسری می کنند: جمع، تقسیم، ضرب و تمام عملیات ممکن که می توان با کسری انجام داد. برای ارائه کمک مناسب به کودک، خود والدین نباید فراموش کنند که چگونه اعداد صحیح را به کسری تقسیم کنند، در غیر این صورت نمی توانید به هیچ وجه به او کمک کنید، بلکه فقط او را گیج می کنید. اگر باید این عمل را به خاطر بسپارید، اما نمی توانید تمام اطلاعات موجود در ذهن خود را در یک قانون واحد بیاورید، این مقاله به شما کمک می کند: شما یاد خواهید گرفت که یک عدد را بر کسری تقسیم کنید و نمونه های واضحی را ببینید.

چگونه یک عدد را به کسری تقسیم کنیم

مثال خود را به صورت پیش نویس خام بنویسید تا بتوانید یادداشت برداری کنید و پاک کنید. به یاد داشته باشید که عدد صحیح بین سلول ها، درست در محل تقاطع آنها نوشته می شود و اعداد کسری هر کدام در خانه خود نوشته می شوند.

• که در این روشباید کسر را وارونه کنید، یعنی مخرج را به صورت، و صورت را به مخرج بنویسید.
• علامت تقسیم باید به ضرب تغییر کند.
• اکنون تنها کاری که باید انجام دهید این است که ضرب را طبق قوانینی که قبلاً آموخته اید انجام دهید: عدد در یک عدد صحیح ضرب می شود، اما شما مخرج را لمس نمی کنید.

البته، در نتیجه چنین اقدامی شما بسیار دریافت خواهید کرد عدد بزرگدر شمارشگر شما نمی توانید کسری را در این حالت بگذارید - معلم به سادگی این پاسخ را نمی پذیرد. با تقسیم صورت بر مخرج کسر را کاهش دهید. عدد صحیح به دست آمده را در سمت چپ کسر در وسط خانه ها بنویسید و باقیمانده، عددساز جدید خواهد بود. مخرج بدون تغییر باقی می ماند.

این الگوریتم حتی برای یک کودک بسیار ساده است. پس از انجام پنج یا شش بار، کودک این روش را به خاطر می آورد و می تواند آن را به هر کسری اعمال کند.

چگونه یک عدد را بر اعشار تقسیم کنیم

انواع دیگری از کسری وجود دارد - اعشاری. تقسیم به آنها طبق یک الگوریتم کاملاً متفاوت اتفاق می افتد. اگر با چنین مثالی مواجه شدید، دستورالعمل ها را دنبال کنید:

• برای شروع، هر دو عدد را تبدیل کنید اعداد اعشاری. انجام این کار آسان است: مقسوم‌گیرنده شما قبلاً به صورت کسری نشان داده می‌شود و عدد طبیعی را که تقسیم می‌شود با کاما جدا می‌کنید و یک کسری اعشاری به دست می‌آورید. یعنی اگر سود سهام 5 بود، کسری 5.0 را دریافت می کنید. شما باید یک عدد را به تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار و مقسوم علیه جدا کنید.
• پس از این، باید هر دو کسر اعشاری را اعداد طبیعی بسازید. ممکن است در ابتدا کمی گیج کننده به نظر برسد، اما از همه بیشتر است راه سریعتقسیم، که شما را چند ثانیه بعد از چند تمرین می برد. کسر 5.0 به عدد 50 تبدیل می شود و کسری 6.23 تبدیل به 623 می شود.
• تقسیم را انجام دهید. اگر اعداد بزرگ هستند، یا تقسیم با یک باقی مانده اتفاق می افتد، آن را در یک ستون انجام دهید. به این ترتیب می توانید تمام اقدامات را به وضوح مشاهده کنید این مثال. نیازی نیست عمداً کاما بگذارید، زیرا در طول فرآیند تقسیم طولانی خود به خود ظاهر می شود.

این نوع تقسیم در ابتدا خیلی گیج کننده به نظر می رسد، زیرا باید تقسیم کننده و مقسوم علیه را به کسری تبدیل کنید و سپس به اعداد طبیعی برگردید. اما پس از یک تمرین کوتاه، بلافاصله شروع به دیدن اعدادی خواهید کرد که به سادگی باید آنها را بر یکدیگر تقسیم کنید.

به یاد داشته باشید که توانایی تقسیم صحیح کسرها و اعداد صحیح توسط آنها می تواند بارها در زندگی مفید باشد، بنابراین کودک باید این قوانین و اصول ساده را کاملاً بداند تا در مقاطع بالاتر به مانعی تبدیل نشوند. کودک نمی تواند کارهای پیچیده تری را حل کند.

شما می توانید همه چیز را با کسر انجام دهید، از جمله تقسیم. این مقاله تقسیم بندی را نشان می دهد کسرهای معمولی. تعاریف ارائه خواهد شد و مثال ها مورد بحث قرار خواهند گرفت. اجازه دهید در مورد تقسیم کسرها بر اعداد طبیعی و بالعکس به تفصیل صحبت کنیم. تقسیم کسری مشترک بر یک عدد مختلط بحث خواهد شد.

تقسیم کسرها

تقسیم معکوس ضرب است. هنگام تقسیم، عامل مجهول در یافت می شود کار معروفو عامل دیگر، جایی که معنای داده شده آن با کسرهای معمولی حفظ می شود.

اگر لازم است یک کسری مشترک a b را بر c d تقسیم کنیم، سپس برای تعیین چنین عددی باید در مقسوم علیه c d ضرب شود، این در نهایت سود یک b را به دست می دهد. بیایید یک عدد بدست آوریم و آن را a b · d c بنویسیم، جایی که d c معکوس عدد c d است. تساوی ها را می توان با استفاده از ویژگی های ضرب نوشت، یعنی: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b که عبارت a b · d c ضریب تقسیم a b بر c d است.

از اینجا قانون تقسیم کسرهای معمولی را بدست آورده و فرموله می کنیم:

تعریف 1

برای تقسیم کسری مشترک a b بر c d، باید سود تقسیمی را در متقابل مقسوم علیه ضرب کنید.

بیایید قانون را به شکل یک عبارت بنویسیم: a b: c d = a b · d c

قواعد تقسیم به ضرب می رسد. برای حفظ آن، باید درک خوبی از ضرب کسرها داشته باشید.

بیایید به بررسی تقسیم کسرهای معمولی بپردازیم.

مثال 1

9 7 را بر 5 3 تقسیم کنید. نتیجه را به صورت کسری بنویسید.

راه حل

عدد 5 3 کسر متقابل 3 5 است. استفاده از قانون برای تقسیم کسرهای معمولی ضروری است. این عبارت را به صورت زیر می نویسیم: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

پاسخ: 9 7: 5 3 = 27 35 .

هنگام تقلیل کسرها، اگر صورت از مخرج بزرگتر باشد، کل قسمت را جدا کنید.

مثال 2

تقسیم 8 15: 24 65. جواب را به صورت کسری بنویسید.

راه حل

برای حل، باید از تقسیم به ضرب حرکت کنید. بیایید آن را به این شکل بنویسیم: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

کاهش لازم است و این کار به صورت زیر انجام می شود: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

کل قسمت را انتخاب کنید و 13 9 = 1 4 9 را دریافت کنید.

پاسخ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

تقسیم کسر غیرعادی بر یک عدد طبیعی

ما از قانون تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی استفاده می کنیم: برای تقسیم b بر یک عدد طبیعی n، فقط باید مخرج را در n ضرب کنید. از اینجا عبارت را بدست می آوریم: a b: n = a b · n.

قاعده تقسیم نتیجه قاعده ضرب است. بنابراین، نشان دادن یک عدد طبیعی به صورت کسری، تساوی از این نوع را به دست می دهد: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

این تقسیم کسری را بر عدد در نظر بگیرید.

مثال 3

کسر 16 45 را بر عدد 12 تقسیم کنید.

راه حل

بیایید قانون تقسیم کسری بر عدد را اعمال کنیم. ما عبارتی از فرم 16 45 بدست می آوریم: 12 = 16 45 · 12.

بیایید کسر را کاهش دهیم. ما 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 5 = 4 135 بدست می آوریم.

پاسخ: 16 45: 12 = 4 135 .

تقسیم یک عدد طبیعی بر کسری

قانون تقسیم نیز مشابه است Oقانون تقسیم یک عدد طبیعی بر یک کسر معمولی: برای تقسیم عدد طبیعی n بر کسری معمولی a b، لازم است عدد n را در متقابل کسری a b ضرب کنیم.

بر اساس قاعده، n داریم: a b = n · b a، و به لطف قانون ضرب یک عدد طبیعی در کسری معمولی، عبارت خود را به شکل n می گیریم: a b = n · b a. لازم است این تقسیم بندی را با ذکر مثال بررسی کنیم.

مثال 4

25 را بر 15 تقسیم کنید 28.

راه حل

ما باید از تقسیم به ضرب حرکت کنیم. بیایید آن را به شکل عبارت 25 بنویسیم: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15. بیایید کسر را کاهش دهیم و نتیجه را به صورت کسر 46 2 3 بدست آوریم.

پاسخ: 25: 15 28 = 46 2 3 .

تقسیم کسری بر عدد مختلط

وقتی کسر مشترک را بر یک عدد مختلط تقسیم می کنید، می توانید به راحتی شروع به تقسیم کسرهای معمولی کنید. شما باید یک عدد مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید.

مثال 5

کسر 35 16 را بر 3 1 8 تقسیم کنید.

راه حل

از آنجایی که 3 1 8 یک عدد مختلط است، بیایید آن را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهیم. سپس 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 به دست می آوریم. حالا بیایید کسرها را تقسیم کنیم. ما 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10 بدست می آوریم

پاسخ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

تقسیم یک عدد مختلط مانند اعداد معمولی انجام می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید