اطلاعات این مقاله یک درک کلی از اعداد صحیح. ابتدا تعریفی از اعداد صحیح ارائه شده و مثال هایی آورده شده است. در مرحله بعد، اعداد صحیح را روی خط اعداد در نظر می گیریم، از آنجا مشخص می شود که کدام اعداد را اعداد صحیح مثبت و به کدام اعداد صحیح منفی می گویند. پس از این، نشان داده می شود که چگونه تغییرات در مقادیر با استفاده از اعداد صحیح توصیف می شود و اعداد صحیح در نظر گرفته می شوند اعداد منفیبه معنای بدهی

پیمایش صفحه.

اعداد صحیح - تعریف و مثال

تعریف.

اعداد صحیح- اینها اعداد طبیعی، عدد صفر، و همچنین اعداد مخالف اعداد طبیعی هستند.

تعریف اعداد صحیح بیان می کند که هر یک از اعداد 1، 2، 3، ...، عدد 0، و همچنین هر یک از اعداد -1، -2، -3، ... یک عدد صحیح است. حالا به راحتی می توانیم بیاوریم نمونه هایی از اعداد صحیح. به عنوان مثال، عدد 38 یک عدد صحیح است، عدد 70040 نیز یک عدد صحیح است، صفر یک عدد صحیح است (به یاد داشته باشید که صفر یک عدد طبیعی نیست، صفر یک عدد صحیح است)، اعداد -999، -1، -8،934،832 نیز هستند. نمونه هایی از اعداد صحیح

راحت است که همه اعداد صحیح را به صورت دنباله ای از اعداد صحیح نشان دهیم که به شکل زیر است: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... یک دنباله از اعداد صحیح را می توان به این صورت نوشت: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

از تعریف اعداد صحیح چنین بر می آید که مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه ای از مجموعه اعداد صحیح است. بنابراین، هر عدد طبیعی یک عدد صحیح است، اما هر عدد صحیح یک عدد طبیعی نیست.

اعداد صحیح روی یک خط مختصات

تعریف.

اعداد صحیح مثبتاعداد صحیح بزرگتر از صفر هستند.

تعریف.

اعداد صحیح منفیاعداد صحیحی هستند که کمتر از صفر.

اعداد صحیح مثبت و منفی را نیز می توان با موقعیت آنها در خط مختصات تعیین کرد. در یک خط مختصات افقی، نقاطی که مختصات آنها اعداد صحیح مثبت هستند در سمت راست مبدا قرار دارند. به نوبه خود، نقاطی با مختصات عدد صحیح منفی در سمت چپ نقطه O قرار دارند.

واضح است که مجموعه همه اعداد صحیح مثبت مجموعه اعداد طبیعی است. به نوبه خود، مجموعه تمام اعداد صحیح منفی مجموعه ای از همه اعداد مقابل اعداد طبیعی است.

به طور جداگانه، اجازه دهید توجه شما را به این واقعیت جلب کنیم که با خیال راحت می توانیم هر عدد طبیعی را یک عدد صحیح بنامیم، اما نمی توانیم هر عدد صحیحی را یک عدد طبیعی بنامیم. ما فقط می توانیم هر عدد صحیح مثبت را یک عدد طبیعی بنامیم، زیرا اعداد صحیح منفی و صفر اعداد طبیعی نیستند.

اعداد صحیح غیر مثبت و غیر منفی

اجازه دهید تعاریفی از اعداد صحیح غیر مثبت و اعداد صحیح غیر منفی ارائه دهیم.

تعریف.

همه اعداد صحیح مثبت همراه با عدد صفر نامیده می شوند اعداد صحیح غیر منفی.

تعریف.

اعداد صحیح غیر مثبت- اینها همه اعداد صحیح منفی همراه با عدد 0 هستند.

به عبارت دیگر، عدد صحیح غیر منفی، عدد صحیحی است که بزرگتر از صفر یا مساوی صفر است و عدد صحیح غیر مثبت، عدد صحیحی است که کمتر از صفر یا برابر با صفر باشد.

نمونه هایی از اعداد صحیح غیر مثبت اعداد -511، -10،030، 0، -2 هستند، و به عنوان مثالی از اعداد صحیح غیر منفی، اعداد 45، 506، 0، 900،321 را می آوریم.

اغلب، اصطلاحات "اعداد صحیح غیر مثبت" و "اعداد صحیح غیر منفی" برای اختصار استفاده می شود. به عنوان مثال، به جای عبارت "عدد a یک عدد صحیح است و a بزرگتر از صفر یا برابر با صفر است" می توانید بگویید "a یک عدد صحیح غیر منفی است."

توصیف تغییرات در مقادیر با استفاده از اعداد صحیح

وقت آن است که در وهله اول در مورد چرایی نیاز به اعداد صحیح صحبت کنیم.

هدف اصلی اعداد صحیح این است که با کمک آنها می توان تغییرات در کمیت هر شی را توصیف کرد. بیایید این را با مثال ها درک کنیم.

اجازه دهید تعداد معینی از قطعات در انبار وجود داشته باشد. اگر به عنوان مثال 400 قطعه دیگر به انبار آورده شود، تعداد قطعات در انبار افزایش می یابد و عدد 400 بیانگر این تغییر کمیت در انبار است. جنبه مثبت(در حال افزایش). اگر مثلاً 100 قطعه از انبار گرفته شود، تعداد قطعات انبار کاهش می یابد و عدد 100 بیانگر تغییر کمیت در جهت منفی (به سمت پایین) خواهد بود. قطعات به انبار آورده نمی شوند و قطعات از انبار خارج نمی شوند، سپس می توانیم در مورد مقدار ثابت قطعات صحبت کنیم (یعنی می توانیم از تغییر کمیت صفر صحبت کنیم).

در مثال های داده شده، تغییر تعداد قطعات را می توان به ترتیب با استفاده از اعداد صحیح 400، 100- و 0 توصیف کرد. عدد صحیح مثبت 400 نشان دهنده تغییر کمیت در جهت مثبت (افزایش) است. عدد صحیح منفی 100 بیانگر تغییر کمیت در جهت منفی (کاهش) است. عدد صحیح 0 نشان می دهد که مقدار بدون تغییر باقی می ماند.

راحتی استفاده از اعداد صحیح در مقایسه با استفاده از اعداد طبیعی این است که لازم نیست به صراحت نشان دهید که مقدار در حال افزایش یا کاهش است - عدد صحیح تغییر را کمی می کند و علامت عدد صحیح جهت تغییر را نشان می دهد.

اعداد صحیح همچنین می توانند نه تنها تغییر در کمیت، بلکه تغییر در مقداری را نیز بیان کنند. بیایید این را با استفاده از مثال تغییرات دما درک کنیم.

افزایش دما مثلاً 4 درجه به صورت عدد صحیح مثبت 4 بیان می شود. به عنوان مثال، کاهش دما به میزان 12 درجه را می توان به عنوان یک عدد صحیح منفی -12 توصیف کرد. و عدم تغییر دما تغییر آن است که با عدد صحیح 0 تعیین می شود.

به طور جداگانه، در مورد تعبیر اعداد صحیح منفی به عنوان مقدار بدهی لازم است. به عنوان مثال، اگر ما 3 سیب داشته باشیم، عدد صحیح مثبت 3 نشان دهنده تعداد سیب های ما است. از طرف دیگر، اگر باید 5 سیب را به کسی بدهیم، اما آنها را در انبار نداریم، این وضعیت را می توان با استفاده از یک عدد صحیح منفی -5 توصیف کرد. در این مورد، ما 5- سیب "مالک" هستیم، علامت منفی نشان دهنده بدهی است و عدد 5 بدهی را کمی نشان می دهد.

برای مثال، درک یک عدد صحیح منفی به عنوان بدهی اجازه می دهد تا قانون اضافه کردن اعداد صحیح منفی را توجیه کند. بیایید یک مثال بزنیم. اگر کسی 2 سیب به یک نفر و 1 سیب به دیگری بدهکار باشد، کل بدهی 2+1=3 سیب است، بنابراین −2+(−1)=−3.

مراجع

• ویلنکین N.Ya. و سایرین. پایه ششم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی.

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی آپوریای زنو را در نظر گرفتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا به امروز ادامه دارد جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها دست یابد ... تجزیه و تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی این موضوع نقش داشتند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند...«[ویکی‌پدیا، «آپوریای زنو». همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد که زمان کند می شود تا زمانی که آشیل به لاک پشت می رسد، به طور کامل متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به واحدهای متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. بیانیه انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، بازاندیشی و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا یک ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا در یک نقطه از زمان نیاز دارید، اما از روی آنها نمی توانید واقعیت حرکت را تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند. ). چیزی که می خواهم به آن اشاره کنم توجه ویژه، این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. بیایید ببینیم.

همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه وجود ندارد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. موجودات معقول هرگز چنین منطق پوچ را درک نمی کنند. این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت «به من فکر کن، من در خانه هستم» یا بهتر است بگوییم «ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می‌کند» پنهان می‌شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می‌کند. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و "مجموعه ریاضی دستمزد" را به ریاضیدان می دهیم. اجازه دهید به ریاضیدان توضیح دهیم که تنها زمانی اسکناس های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. اینجاست که سرگرمی شروع می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان دادن به ما خواهند کرد که اسکناس‌های یک فرقه دارای شماره اسکناس‌های متفاوتی هستند، به این معنی که نمی‌توان آنها را عناصر یکسانی در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان شروع به یادآوری دیوانه وار فیزیک می کند: روی سکه های مختلف وجود دارد مقادیر مختلفخاک، ساختار کریستالی و آرایش اتمی هر سکه منحصر به فرد است...

و حالا من بیشترین را دارم سوال جالب: خطی که بعد از آن عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام صحیح است؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه "مفهوم به عنوان یک کل واحد" یا "مصالح به عنوان یک کل واحد".

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. پس از همه، اعداد هستند نمادهای گرافیکی، که با کمک آن اعداد را می نویسیم و به زبان ریاضی کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را که هر عددی را نشان می دهند پیدا کنید." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک تصویر به دست آمده را به چندین عکس حاوی اعداد جداگانه برش دهید. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" هستند که توسط شمن ها تدریس می شود و ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های مختلفدر حساب دیفرانسیل و انتگرال، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با عدد بزرگ 12345، نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید عدد 26 را از مقاله در مورد آن در نظر بگیریم. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما به هر مرحله زیر میکروسکوپ نگاه نمی کنیم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی خواهید گرفت.

صفر در تمام سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر همان اقدامات با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت منجر شود نتایج متفاوتبعد از مقایسه آنها به این معنی است که ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه عملیات ریاضیبه اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی عمل را انجام می دهد، بستگی ندارد.