ما متوجه خواهیم شد که کاهش کسری چیست، چرا و چگونه کسرها را کاهش دهیم، قانون کاهش کسری و مثال هایی از کاربرد آن را خواهیم داد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

"کاهش کسری" چیست؟

کاهش کسری به معنای تقسیم صورت و مخرج آن بر یک مقسوم علیه مشترک مثبت و متفاوت از یک است.

در نتیجه چنین عملی، کسری با صورت و مخرج جدید برابر با کسر اصلی به دست می آید.

به عنوان مثال، کسری مشترک 6 را 24 در نظر می گیریم و آن را کاهش می دهیم. صورت و مخرج را بر 2 تقسیم می کنیم و به دست می آید 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . در این مثال، کسر اصلی را 2 کاهش داده ایم.

کاهش کسرها به شکل غیر قابل تقلیل

در مثال قبلی، کسر 6 24 را به 2 کاهش دادیم و در نتیجه کسر 3 12 شد. به راحتی می توان فهمید که این کسر می تواند بیشتر کاهش یابد. به طور کلی، هدف از کاهش کسر این است که به یک کسر تقلیل ناپذیر ختم شود. چگونه یک کسر را به شکل غیر قابل تقلیل تبدیل کنیم؟

این را می توان با کاهش صورت و مخرج توسط بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها (GCD) انجام داد. سپس، به اموال بزرگترین مقسوم علیه مشترک، صورت و مخرج اعداد نسبتا اول خواهند بود و کسر تقلیل ناپذیر خواهد بود.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

کاهش کسری به شکل غیر قابل تقلیل

برای کاهش یک کسر به شکل غیر قابل تقلیل، باید صورت و مخرج آن را بر gcd تقسیم کنید.

بیایید به کسر 6 24 از مثال اول برگردیم و آن را به شکلی تقلیل ناپذیر کاهش دهیم. بزرگترین مقسوم علیه 6 و 24 6 است. بیایید کسر را کاهش دهیم:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

کسر کسر برای استفاده راحت است تا با اعداد زیاد کار نکند. به طور کلی، یک قانون ناگفته در ریاضیات وجود دارد: اگر می توانید هر عبارتی را ساده کنید، پس باید آن را انجام دهید. منظور از کاهش یک کسری، اغلب کاهش آن به شکل غیرقابل تقلیل است، و نه صرفاً کاهش توسط یک مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج.

قانون کاهش کسر

برای کاهش کسری، کافی است قانون را به خاطر بسپارید که از دو مرحله تشکیل شده است.

قانون کاهش کسر

برای کاهش کسری:

1. gcd صورت و مخرج را پیدا کنید.
2. صورت و مخرج را بر gcd آنها تقسیم کنید.

مثال های عملی را در نظر بگیرید.

مثال 1. بیایید کسر را کاهش دهیم.

با توجه به کسری 182 195 . کوتاهش کنیم

GCD صورت و مخرج را پیدا کنید. برای این در این موردبهترین راه استفاده از الگوریتم اقلیدس است.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182، 195) = 13

صورت و مخرج را بر 13 تقسیم کنید. ما گرفتیم:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

آماده. ما یک کسر تقلیل ناپذیر به دست آوردیم که برابر با کسر اصلی است.

چگونه می توانید کسرها را کاهش دهید؟ در برخی موارد راحت است که صورت و مخرج را به فاکتورهای ساده تجزیه کرده و سپس تمام عوامل مشترک را از قسمت های بالایی و پایینی کسر حذف کنیم.

مثال 2. کسر را کاهش دهید

با توجه به کسری 360 2940 . کوتاهش کنیم

برای انجام این کار، کسر اصلی را به شکل زیر نشان می دهیم:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 2 3 5 7 7

بیایید از شر عوامل مشترک در صورت و مخرج خلاص شویم که در نتیجه به دست می آید:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

در نهایت روش دیگری برای کاهش کسرها در نظر بگیرید. این به اصطلاح کاهش متوالی است. با استفاده از این روش، کاهش در چند مرحله انجام می‌شود که در هر مرحله، کسر توسط چند مقسوم‌گیرنده مشترک کاهش می‌یابد.

مثال 3. کسر را کاهش دهید

بیایید کسر 2000 4400 را کاهش دهیم.

بلافاصله مشخص می شود که صورت و مخرج ضریب مشترک 100 دارند. کسر را 100 کاهش می دهیم و به دست می آوریم:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

نتیجه به دست آمده دوباره 2 کاهش می یابد و ما یک کسری غیر قابل تقلیل می گیریم:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

برای درک چگونگی کاهش کسری، ابتدا به یک مثال نگاه می کنیم.

کاهش کسری به معنای تقسیم صورت و مخرج بر یکسان است. هر دو 360 و 420 به یک عدد ختم می شوند پس می توانیم این کسر را 2 کاهش دهیم. در کسر جدید هر دو 180 و 210 نیز بر 2 بخش پذیر هستند، این کسر را بر 2 کاهش می دهیم. در اعداد 90 و 105 مجموع ارقام بر 3 بخش پذیرند، بنابراین هر دو این اعداد بر 3 بخش پذیر هستند، کسر را بر 3 کاهش می دهیم. در کسر جدید، 30 و 35 به 0 و 5 ختم می شوند، یعنی هر دو عدد بر 5 بخش پذیر هستند، بنابراین ما کاهش می دهیم. کسر به 5. کسر حاصل، شش هفتم، غیر قابل تقلیل است. این پاسخ نهایی است.

ما می توانیم به یک پاسخ به روشی متفاوت برسیم.

هر دو 360 و 420 به صفر ختم می شوند، یعنی بر 10 بخش پذیر هستند. کسر را بر 10 کاهش می دهیم. در کسر جدید، هم صورت 36 و هم مخرج 42 بر 2 تقسیم می شوند. کسر را بر 2 کاهش می دهیم. کسر بعدی، هم صورت 18 و هم مخرج 21 بر 3 تقسیم می شوند، یعنی کسر را 3 کاهش می دهیم. به نتیجه رسیدیم - شش هفتم.

و یک راه حل دیگر

دفعه بعد نمونه هایی از کاهش کسرها را در نظر خواهیم گرفت.

ماشین حساب آنلاین انجام می دهد کاهش کسرهای جبری مطابق با قانون کاهش کسر: جایگزینی کسر اصلی با کسری مساوی، اما با یک صورت و مخرج کوچکتر، یعنی. تقسیم همزمان صورت و مخرج کسری به بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها (GCD). ماشین حساب همچنین یک راه حل دقیق را نشان می دهد که به شما در درک دنباله کاهش کمک می کند.

داده شده:

راه حل:

انجام کاهش کسر

بررسی امکان انجام کاهش کسر جبری

1) تعیین بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) صورت و مخرج کسری

تعیین بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd) صورت و مخرج کسری جبری

2) کاستن از صورت و مخرج کسری

کاهش صورت و مخرج کسری جبری

3) انتخاب جزء صحیح کسری

استخراج جزء صحیح یک کسر جبری

4) تبدیل کسر جبری به کسری اعشاری

تبدیل کسر جبری به اعشاری

کمک برای توسعه پروژه سایت

بازدید کننده محترم سایت
اگر نتوانستید چیزی را که به دنبالش بودید پیدا کنید - حتماً در نظرات در مورد آن بنویسید، آنچه را که سایت اکنون از دست داده است. این به ما کمک می کند تا بفهمیم در کدام جهت باید بیشتر حرکت کنیم و سایر بازدیدکنندگان به زودی می توانند مطالب لازم را دریافت کنند.
اگر سایت برای شما مفید بود، سایت را به پروژه اهدا کنید فقط 2 ₽و می دانیم که در مسیر درست حرکت می کنیم.

مرسی که رد نشدی

I. روش کاهش یک کسر جبری با یک ماشین حساب آنلاین:

1. برای کاهش یک کسر جبری، مقادیر صورت و مخرج کسری را در فیلدهای مربوطه وارد کنید. اگر کسری مخلوط است، فیلد مربوط به قسمت صحیح کسر را نیز پر کنید. اگر کسر ساده است، قسمت عدد صحیح را خالی بگذارید.
2. برای تعیین کسر منفی، در قسمت صحیح کسر علامت منفی قرار دهید.
3. بسته به کسر جبری داده شده، دنباله ای از اقدامات زیر به طور خودکار انجام می شود:

• تعیین بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) صورت و مخرج کسری;
• کاهش صورت و مخرج کسری به gcd;
• استخراج جزء صحیح یک کسراگر صورت کسر نهایی از مخرج بزرگتر باشد.
• تبدیل کسر جبری نهایی به کسری اعشاریبه صدم گرد شده

II. برای مرجع:

کسری عددی است که از یک یا چند جزء (کسری) واحد تشکیل شده است. کسر مشترک(کسری ساده) به صورت دو عدد (حساب کسر و مخرج کسر) نوشته می شود که با یک میله افقی (نوار کسری) نشان دهنده علامت تقسیم است. شمارنده کسری عدد بالای نوار کسر است. شمارنده نشان می دهد که چند جزء از کل گرفته شده است. مخرج کسری عدد زیر میله کسری است. مخرج نشان می دهد که کل به چند قسمت مساوی تقسیم می شود. کسری ساده به کسری گفته می شود که جزء صحیح نداشته باشد. یک کسر ساده می تواند درست یا غلط باشد. کسری مناسب کسری است که صورت آن کمتر از مخرج، بنابراین کسر مناسب همیشه کوچکتر از یک است. نمونه کسرهای صحیح: 8/7، 11/19، 16/17. کسر نامناسب کسری است که صورت آن بزرگتر یا مساوی مخرج باشد، بنابراین کسر نامناسب همیشه بزرگتر یا مساوی یک است. نمونه ای از کسرهای نامناسب: 7/6، 8/7، 13/13. کسر مختلط - عددی که شامل یک عدد صحیح و یک کسر مناسب است و مجموع این عدد صحیح و کسر مناسب را نشان می دهد. هر کسر مخلوط می تواند به یک نامناسب تبدیل شود کسر ساده. مثال کسرهای مختلط: 1¼، 2½، 4¾.

III. توجه داشته باشید:

1. بلوک داده منبع برجسته شده است رنگ زرد , بلوک محاسبات میانی با رنگ آبی مشخص شده است, بلوک محلول با رنگ سبز مشخص شده است.
2. برای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کسرهای معمولی یا مختلط، از آن استفاده کنید ماشین حساب کسر آنلاینبا یک راه حل دقیق

هنگام کار با کسری، بسیاری از دانش آموزان اشتباهات مشابهی را مرتکب می شوند. و همه به این دلیل که آنها قوانین ابتدایی را فراموش می کنند حسابی. امروز ما این قوانین را تکرار خواهیم کرد وظایف خاصکه در کلاس هایم می دهم.

در اینجا وظیفه ای است که من به همه کسانی که برای امتحان ریاضی آماده می شوند پیشنهاد می کنم:

وظیفه. گراز دریایی روزانه 150 گرم غذا می خورد. اما او بزرگ شد و شروع به خوردن 20٪ بیشتر کرد. خوک در حال حاضر چند گرم غذا می خورد؟

نه راه حل صحیح. این یک مشکل درصدی است که به معادله خلاصه می شود:

تعداد زیادی (خیلی زیاد) عدد 100 را در صورت و مخرج کسر کاهش می دهند:

این اشتباهی است که شاگرد من درست در روز نوشتن این مقاله مرتکب شد. اعدادی که کاهش یافته اند با رنگ قرمز مشخص شده اند.

نیازی به گفتن نیست که پاسخ اشتباه است. خودتان قضاوت کنید: خوک 150 گرم خورد و شروع به خوردن 3150 گرم کرد. افزایش نه 20٪، بلکه 21 برابر، یعنی. تا 2000 درصد

برای جلوگیری از چنین سوء تفاهمی، قانون اساسی را به خاطر بسپارید:

شما فقط می توانید چند برابر را کاهش دهید. شرایط را نمی توان کاهش داد!

بنابراین، راه حل صحیح برای مشکل قبلی به صورت زیر است:

قرمز اعدادی را نشان می دهد که در صورت و مخرج کاهش یافته اند. همانطور که می بینید، صورت حاصل ضرب است، مخرج است شماره معمولی. بنابراین، کاهش کاملا قانونی است.

کار با نسبت ها

یکی دیگر نقطه مشکل — نسبت ها. به خصوص زمانی که متغیر در دو طرف باشد. مثلا:

وظیفه. معادله را حل کنید:

تصمیم اشتباه - برخی به معنای واقعی کلمه خارش دارند تا همه چیز را با m کوتاه کنند:

متغیرهای کاهش یافته با رنگ قرمز نشان داده شده اند. به نظر می رسد که عبارت 1/4 = 1/5 بی معنی است، این اعداد هرگز برابر نیستند.

و اکنون - تصمیم درست. در اصل، این یک امر رایج است معادله خطی . یا با انتقال همه عناصر به یک طرف یا با ویژگی اصلی نسبت حل می شود:

بسیاری از خوانندگان اعتراض خواهند کرد: "خطای راه حل اول کجاست؟" خوب، بیایید آن را بفهمیم. بیایید قانون کار با معادلات را به خاطر بسپاریم:

هر معادله ای را می توان در هر عددی تقسیم و ضرب کرد، غیر صفر.

چیپس بریدی؟ فقط با اعداد قابل تقسیم است متفاوت از صفر. به طور خاص، شما می توانید بر متغیر m تقسیم کنید فقط اگر m != 0. اما اگر m = 0 بالاخره چه؟ جایگزین و بررسی کنید:

ما برابری عددی صحیح را بدست آوردیم، یعنی. m = 0 ریشه معادله است. برای m != 0 باقیمانده، عبارتی به شکل 1/4 = 1/5 به دست می آوریم که البته درست نیست. بنابراین، هیچ ریشه غیر صفر وجود ندارد.

نتیجه گیری: همه چیز را کنار هم بگذارید

بنابراین، برای حل معادلات گویا کسریسه قانون را به خاطر بسپار:

1. شما فقط می توانید چند برابر را کاهش دهید. ترکیبات - شما نمی توانید. بنابراین، یاد بگیرید که صورت و مخرج را فاکتورسازی کنید.
2. ویژگی اصلی نسبت: حاصلضرب عناصر افراطی برابر با حاصلضرب عناصر میانی است.
3. معادلات را فقط می توان بر اعداد غیرصفر k ضرب و تقسیم کرد. مورد k = 0 باید جداگانه بررسی شود.

این قوانین را به خاطر بسپارید و اشتباه نکنید.