تعریف.بزرگترین عدد طبیعی، که اعداد a و b بدون باقیمانده با آن تقسیم می شوند، نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)این اعداد

بیایید بزرگترین را پیدا کنیم مقسوم علیه مشترکشماره 24 و 35
مقسوم علیه های 24 اعداد 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24 و مقسوم علیه های 35 اعداد 1، 5، 7، 35 هستند.
می بینیم که اعداد 24 و 35 فقط یک مقسوم علیه مشترک دارند - عدد 1. چنین اعدادی نامیده می شوند. دوطرفه نخست.

تعریف.اعداد طبیعی نامیده می شوند دوطرفه نخست، اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها (GCD) 1 باشد.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)را می توان بدون نوشتن تمام مقسوم علیه اعداد پیدا کرد.

با فاکتور گیری اعداد 48 و 36 به دست می آید:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
از عواملی که در بسط اعداد اول گنجانده شده است، مواردی را که در بسط عدد دوم (یعنی دو عدد) لحاظ نشده اند، خط می زنیم.
ضرایب باقیمانده 2 * 2 * 3 است. حاصلضرب آنها برابر با 12 است. این عدد بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 48 و 36 است. بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه عدد یا بیشتر نیز یافت می شود.

برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک

2) از عواملی که در بسط یکی از این اعداد گنجانده شده است، مواردی را که در بسط اعداد دیگر گنجانده نشده اند خط بزنید.
3) حاصلضرب عوامل باقیمانده را بیابید.

اگر همه اعداد داده شده بر یکی از آنها بخش پذیر باشند، این عدد است بزرگترین مقسوم علیه مشترکاعداد داده شده
به عنوان مثال، بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 15، 45، 75 و 180 عدد 15 است، زیرا همه اعداد دیگر بر آن بخش پذیر هستند: 45، 75 و 180.

کمترین مضرب مشترک (LCM)

تعریف. کمترین مضرب مشترک (LCM)اعداد طبیعی a و b کوچکترین عدد طبیعی است که مضرب هر دو a و b است. کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد 75 و 60 را می توان بدون نوشتن مضرب این اعداد در یک ردیف یافت. برای انجام این کار، ضریب 75 و 60 را به فاکتورهای اول در می آوریم: 75 = 3 * 5 * 5، و 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
بیایید عواملی که در بسط اعداد اول گنجانده شده است را بنویسیم و عوامل گمشده 2 و 2 را از بسط عدد دوم به آنها اضافه کنیم (یعنی عوامل را ترکیب می کنیم).
پنج عامل 2 * 2 * 3 * 5 * 5 بدست می آوریم که حاصل ضرب آنها 300 می شود. این عدد کمترین مضرب مشترک اعداد 75 و 60 است.

آنها همچنین کمترین مضرب مشترک سه یا چند عدد را پیدا می کنند.

به کمترین مضرب مشترک را پیدا کنیدچندین عدد طبیعی، شما نیاز دارید:
1) آنها را به عوامل اصلی تبدیل کنید.
2) عوامل موجود در گسترش یکی از اعداد را یادداشت کنید.
3) عوامل گمشده از بسط اعداد باقیمانده را به آنها اضافه کنید.
4) حاصلضرب عوامل حاصل را بیابید.

توجه داشته باشید که اگر یکی از این اعداد بر همه اعداد دیگر بخش پذیر باشد، این عدد کمترین مضرب مشترک این اعداد است.
برای مثال، کمترین مضرب مشترک اعداد 12، 15، 20 و 60 60 است زیرا بر همه آن اعداد بخش پذیر است.

فیثاغورث (قرن ششم قبل از میلاد) و شاگردانش مسئله تقسیم پذیری اعداد را مطالعه کردند. آنها عددی را که برابر مجموع همه مقسوم علیه های آن باشد (بدون خود عدد) عدد کامل نامیدند. به عنوان مثال، اعداد 6 (6 = 1 + 2 + 3)، 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) کامل هستند. اعداد کامل بعدی 496، 8128، 33،550،336 هستند. چهارم - 8128 - در قرن اول شناخته شد. n ه. پنجم - 33،550،336 - در قرن 15 یافت شد. تا سال 1983، 27 عدد کامل از قبل شناخته شده بود. اما دانشمندان هنوز نمی دانند که آیا اعداد کامل فرد وجود دارد یا اینکه آیا بزرگترین عدد کامل وجود دارد.
علاقه ریاضیدانان باستانی به اعداد اول از این واقعیت ناشی می شود که هر عددی یا اول است یا می تواند به عنوان یک محصول نمایش داده شود. اعداد اولیعنی اعداد اول مانند آجری هستند که بقیه اعداد طبیعی از آن ساخته شده اند.
احتمالاً متوجه شده اید که اعداد اول در سری اعداد طبیعی به طور ناهموار رخ می دهند - در برخی از قسمت های سری تعداد آنها بیشتر است، در برخی دیگر - کمتر. اما هر چه بیشتر در امتداد سری اعداد حرکت کنیم، اعداد اول کمتر رایج هستند. این سوال مطرح می شود: آیا آخرین (بزرگترین) عدد اول وجود دارد؟ ریاضیدان یونانی باستان اقلیدس (قرن سوم قبل از میلاد) در کتاب "عناصر" که کتاب اصلی ریاضیات برای دو هزار سال بود، ثابت کرد که بی نهایت اعداد اول وجود دارد، یعنی پشت هر عدد اول یک عدد اول حتی بزرگتر وجود دارد. عدد.
برای یافتن اعداد اول، یکی دیگر از ریاضیدانان یونانی در همان زمان، اراتوستنس، این روش را ارائه کرد. او همه اعداد را از 1 تا فلان عدد یادداشت کرد و سپس یکی را خط زد که نه عدد اول است و نه مرکب، سپس تمام اعدادی را که بعد از 2 می آیند (اعدادی که مضرب 2 هستند، یعنی 4، از طریق یک خط زد. 6، 8، و غیره). اولین عدد باقیمانده بعد از 2، 3 بود. سپس، پس از دو، تمام اعدادی که بعد از 3 آمده بودند (اعدادی که مضرب 3 هستند، یعنی 6، 9، 12، و غیره) خط زده شدند. در پایان فقط اعداد اول تلاقی نشده باقی ماندند.

عبارات و مسائل ریاضی به دانش اضافی زیادی نیاز دارند. NOC یکی از موارد اصلی است، به ویژه اغلب در این موضوع در دبیرستان مورد مطالعه قرار می گیرد، و درک مطالب به خصوص دشوار نیست، فردی که با قدرت ها آشنا است و جدول ضرب در شناسایی اعداد لازم و کشف آن مشکلی نخواهد داشت نتیجه

تعریف

مضرب مشترک عددی است که می توان آن را بطور همزمان به دو عدد (الف و ب) تقسیم کرد. اغلب این عدد با ضرب اعداد اصلی a و b به دست می آید. عدد باید به طور همزمان بر هر دو عدد بخش پذیر باشد، بدون انحراف.

NOC نام پذیرفته شده است نام کوتاه، از حروف اول جمع آوری شده است.

راه های بدست آوردن شماره

روش ضرب اعداد همیشه برای یافتن LCM مناسب نیست. مرسوم است که به فاکتورها تقسیم شوند.

مثال شماره 1

برای ساده ترین مثال، مدارس معمولا از اعداد اول، تک رقمی یا دو رقمی استفاده می کنند. به عنوان مثال، شما باید کار زیر را حل کنید، حداقل مضرب مشترک اعداد 7 و 3 را پیدا کنید، راه حل بسیار ساده است، فقط آنها را ضرب کنید. در نتیجه، یک عدد 21 وجود دارد، به سادگی عدد کوچکتری وجود ندارد.

مثال شماره 2

نسخه دوم کار بسیار دشوارتر است. اعداد 300 و 1260 داده شده است، پیدا کردن LOC اجباری است. برای حل مشکل، اقدامات زیر فرض می شود:

تجزیه اعداد اول و دوم به عوامل ساده. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. مرحله اول تکمیل شده است.

مرحله دوم شامل کار با داده های از قبل به دست آمده است. هر یک از اعداد دریافتی باید در محاسبه نتیجه نهایی شرکت کنند. برای هر عامل، بیشترین تعداد وقوع از اعداد اصلی گرفته می شود. NOC است تعداد کلبنابراین فاکتورهای حاصل از اعداد باید در آن تکرار شود، هر یک، حتی آنهایی که در یک نسخه موجود است. هر دو عدد اولیه شامل اعداد 2، 3 و 5 هستند، در قدرت های مختلف 7 فقط در یک مورد وجود دارد.

برای محاسبه نتیجه نهایی، باید هر عدد را در بزرگترین توان های نمایش داده شده در معادله بگیرید. تنها چیزی که باقی می ماند این است که ضرب کنید و پاسخ را دریافت کنید، اگر به درستی پر شود، کار بدون توضیح در دو مرحله قرار می گیرد:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

این کل مشکل است، اگر سعی کنید عدد مورد نیاز را با ضرب محاسبه کنید، پاسخ قطعا درست نخواهد بود، زیرا 300 * 1260 = 378000.

معاینه:

6300 / 300 = 21 - صحیح؛

6300 / 1260 = 5 - صحیح است.

صحت نتیجه به دست آمده با بررسی تعیین می شود - تقسیم LCM بر هر دو عدد اصلی اگر عدد در هر دو مورد یک عدد صحیح باشد، پاسخ صحیح است.

NOC در ریاضیات به چه معناست؟

همانطور که می دانید، یک تابع بی فایده در ریاضیات وجود ندارد، این یکی نیز از این قاعده مستثنی نیست. رایج ترین هدف این عدد کاهش کسرها به مخرج مشترک. آنچه معمولا در کلاس های 5-6 مطالعه می شود دبیرستان. همچنین یک مقسوم علیه مشترک برای همه مضرب ها است، اگر چنین شرایطی در مسئله وجود داشته باشد. چنین عبارتی می تواند مضرب نه تنها دو عدد، بلکه تعداد زیادی را نیز بیابد بیشتر- سه، پنج و غیره. هرچه تعداد بیشتر باشد، اقدامات بیشتری در کار انجام می شود، اما این پیچیدگی را افزایش نمی دهد.

به عنوان مثال، با توجه به اعداد 250، 600 و 1500، باید LCM مشترک آنها را پیدا کنید:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - این مثال فاکتورسازی را با جزئیات و بدون کاهش توضیح می دهد.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

برای نوشتن یک عبارت، لازم است تمام عوامل ذکر شود، در این مورد 2، 5، 3 آورده شده است - برای همه این اعداد لازم است حداکثر درجه تعیین شود.

توجه: تمامی فاکتورها باید در صورت امکان به سطح تک رقمی تجزیه شوند.

معاینه:

1) 3000 / 250 = 12 - صحیح؛

2) 3000 / 600 = 5 - درست است.

3) 3000 / 1500 = 2 - صحیح است.

این روش به هیچ ترفند یا توانایی های سطح نابغه نیاز ندارد، همه چیز ساده و واضح است.

یک راه دیگر

در ریاضیات، بسیاری از چیزها به هم متصل هستند، بسیاری از چیزها را می توان به دو یا چند روش حل کرد، همین امر در مورد یافتن کمترین مضرب مشترک، LCM نیز صدق می کند. در مورد اعداد ساده دو رقمی و تک رقمی می توان از روش زیر استفاده کرد. جدولی جمع آوری می شود که در آن ضرب به صورت عمودی، ضریب به صورت افقی وارد می شود و حاصلضرب در خانه های متقاطع ستون نشان داده می شود. می توانید جدول را با استفاده از یک خط منعکس کنید، یک عدد بگیرید و نتایج حاصل از ضرب این عدد را در اعداد صحیح بنویسید، از 1 تا بی نهایت، گاهی اوقات 3-5 نقطه کافی است، اعداد دوم و بعدی نیز تحت فرآیند محاسباتی مشابهی قرار می گیرند. همه چیز تا زمانی اتفاق می افتد که یک مضرب مشترک پیدا شود.

با توجه به اعداد 30، 35، 42، باید LCM را پیدا کنید که همه اعداد را به هم متصل می کند:

1) مضرب 30: 60، 90، 120، 150، 180، 210، 250 و غیره.

2) مضرب های 35: 70، 105، 140، 175، 210، 245 و غیره.

3) مضربهای 42: 84، 126، 168، 210، 252 و غیره.

قابل توجه است که همه اعداد کاملاً متفاوت هستند ، تنها عدد مشترک در بین آنها 210 است ، بنابراین NOC خواهد بود. در میان فرآیندهای درگیر در این محاسبه، بزرگترین مقسوم‌کننده مشترک نیز وجود دارد که بر اساس اصول مشابه محاسبه می‌شود و اغلب در مسائل همسایه با آن مواجه می‌شویم. تفاوت کوچک است، اما کاملاً قابل توجه است، LCM شامل محاسبه عددی است که بر تمام مقادیر اولیه داده شده تقسیم می شود، و GCD شامل محاسبه می شود. بالاترین ارزشکه اعداد اصلی بر آن تقسیم می شوند.

شماره دوم: b=

جدا کننده هزاربدون جداکننده فضا "'

نتیجه:

بزرگترین مقسوم علیه مشترک gcd( آ,ب)=6

کمترین مضرب مشترک LCM( آ,ب)=468

بزرگترین عدد طبیعی را که می توان بدون باقیمانده بر اعداد a و b تقسیم کرد نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک(GCD) از این اعداد. با gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) یا hcf(a,b) مشخص می‌شود.

کمترین مضرب مشترک LCM دو عدد صحیح a و b کوچکترین عدد طبیعی است که بدون باقیمانده بر a و b بخش پذیر است. LCM(a,b) یا lcm(a,b) نشان داده می شود.

اعداد صحیح a و b نامیده می شوند دوطرفه نخست، اگر هیچ مقسوم علیه مشترک دیگری غیر از +1 و -1 نداشته باشند.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

بگذارید دو عدد مثبت داده شود آ 1 و آ 2 1). لازم است مقسوم علیه مشترک این اعداد را پیدا کنید، یعنی. چنین عددی را پیدا کنید λ ، که اعداد را تقسیم می کند آ 1 و آ 2 به طور همزمان. بیایید الگوریتم را شرح دهیم.

1) در این مقاله کلمه عدد به صورت یک عدد صحیح درک خواهد شد.

اجازه دهید آ 1 ≥ آ 2 و اجازه دهید

جایی که متر 1 , آ 3 تعدادی اعداد صحیح هستند، آ 3 <آ 2 (باقی مانده از تقسیم آ 1 در هر آ 2 باید کمتر باشد آ 2).

بیایید وانمود کنیم که λ تقسیم می کند آ 1 و آ 2 سپس λ تقسیم می کند متر 1 آ 2 و λ تقسیم می کند آ 1 −متر 1 آ 2 =آ 3 (گزاره 2 مقاله تقسیم پذیری اعداد آزمون بخش پذیری). نتیجه می شود که هر مقسوم علیه مشترک آ 1 و آ 2 مقسوم علیه مشترک است آ 2 و آ 3. عکس آن نیز صادق است اگر λ مقسوم علیه مشترک آ 2 و آ 3 سپس متر 1 آ 2 و آ 1 =متر 1 آ 2 +آ 3 نیز بر بخش پذیر است λ . بنابراین مقسوم علیه مشترک آ 2 و آ 3 نیز یک مقسوم علیه مشترک است آ 1 و آ 2. زیرا آ 3 <آ 2 ≤آ 1، پس می توان گفت که حل مسئله یافتن مقسوم علیه مشترک اعداد است آ 1 و آ 2 به مسئله ساده تر یافتن مقسوم علیه مشترک اعداد کاهش می یابد آ 2 و آ 3 .

اگر آ 3 ≠0، سپس می توانیم تقسیم کنیم آ 2 در آ 3. سپس

,

جایی که متر 1 و آ 4 تعدادی اعداد صحیح هستند، ( آ 4 باقی مانده از تقسیم آ 2 در آ 3 (آ 4 <آ 3)). با استدلال مشابه به این نتیجه می رسیم که مقسوم علیه های مشترک اعداد آ 3 و آ 4 با مقسوم علیه های مشترک اعداد منطبق است آ 2 و آ 3 و همچنین با مقسوم علیه های مشترک آ 1 و آ 2. زیرا آ 1 , آ 2 , آ 3 , آ 4، ... اعدادی هستند که دائما در حال کاهش هستند و از آنجایی که تعداد محدودی از اعداد صحیح بین آنها وجود دارد. آ 2 و 0، سپس در مرحله ای n، باقی مانده از تقسیم آغیر آ n+1 برابر با صفر خواهد بود ( آ n+2 = 0).

.

هر مقسوم علیه مشترک λ شماره آ 1 و آ 2 نیز مقسوم علیه اعداد است آ 2 و آ 3 , آ 3 و آ 4 , .... آ n و آ n+1 . برعکس نیز درست است، مقسوم علیه مشترک اعداد آ n و آ n+1 نیز مقسوم علیه اعداد هستند آ n-1 و آ n، ....، آ 2 و آ 3 , آ 1 و آ 2. اما مقسوم علیه مشترک اعداد آ n و آ n+1 یک عدد است آ n+1، زیرا آ n و آ n+1 بر بخش پذیر هستند آ n+1 (به یاد داشته باشید که آ n+2 =0). از این رو آ n+1 نیز مقسوم علیه اعداد است آ 1 و آ 2 .

توجه داشته باشید که شماره آ n+1 بزرگترین مقسوم علیه اعداد است آ n و آ n+1 از بزرگترین مقسوم علیه آ n+1 خودش است آ n+1 . اگر آ n+1 را می توان به عنوان حاصلضرب اعداد صحیح نشان داد، سپس این اعداد نیز مقسوم علیه مشترک اعداد هستند. آ 1 و آ 2. عدد آ n+1 نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترکشماره آ 1 و آ 2 .

شماره آ 1 و آ 2 می تواند اعداد مثبت یا منفی باشد. اگر یکی از اعداد برابر با صفر باشد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد برابر با قدر مطلق عدد دیگر خواهد بود. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد صفر تعریف نشده است.

الگوریتم فوق نامیده می شود الگوریتم اقلیدسیبرای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح

مثالی از یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 630 و 434 را پیدا کنید.

• مرحله 1. عدد 630 را بر 434 تقسیم کنید. باقیمانده 196 است.
• مرحله 2. عدد 434 را بر 196 تقسیم کنید. باقیمانده 42 است.
• مرحله 3. عدد 196 را بر 42 تقسیم کنید. باقیمانده 28 است.
• مرحله 4. عدد 42 را بر 28 تقسیم کنید باقیمانده 14 است.
• مرحله 5. عدد 28 را بر 14 تقسیم کنید باقیمانده 0 است.

در مرحله 5 باقیمانده تقسیم 0 است.بنابراین بزرگترین مقسوم علیه اعداد 630 و 434 14 است.توجه داشته باشید که اعداد 2 و 7 نیز مقسوم علیه اعداد 630 و 434 هستند.

اعداد همزمان اول

تعریف 1. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد را بگذارید آ 1 و آ 2 برابر یک است. سپس این اعداد فراخوانی می شوند اعداد همزمان اول، بدون مقسوم علیه مشترک.

قضیه 1. اگر آ 1 و آ 2 عدد همزمان اول و λ مقداری عدد، سپس هر مقسوم علیه مشترک اعداد λa 1 و آ 2 نیز مقسوم علیه مشترک اعداد است λ و آ 2 .

اثبات الگوریتم اقلیدسی را برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد در نظر بگیرید آ 1 و آ 2 (به بالا مراجعه کنید).

.

از شرایط قضیه چنین بر می آید که بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد آ 1 و آ 2 و بنابراین آ n و آ n+1 برابر با 1 است آ n+1 =1.

بیایید همه این برابری ها را در ضرب کنیم λ ، سپس

.

اجازه دهید مقسوم علیه مشترک آ 1 λ و آ 2 بله δ . سپس δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است آ 1 λ , متر 1 آ 2 λ و در آ 1 λ -متر 1 آ 2 λ =آ 3 λ (به "تقسیم پذیری اعداد"، بیانیه 2 مراجعه کنید). به علاوه δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است آ 2 λ و متر 2 آ 3 λ ، و بنابراین، به عنوان یک عامل در گنجانده شده است آ 2 λ -متر 2 آ 3 λ =آ 4 λ .

با این استدلال، ما متقاعد شده ایم که δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است آ n-1 λ و متر n-1 آ n λ و بنابراین در آ n-1 λ −متر n-1 آ n λ =آ n+1 λ . زیرا آ n+1 =1، سپس δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است λ . بنابراین تعداد δ مقسوم علیه مشترک اعداد است λ و آ 2 .

اجازه دهید موارد خاصی از قضیه 1 را در نظر بگیریم.

نتیجه 1. اجازه دهید آو جاعداد اول نسبتا هستند ب. سپس محصول آنها acیک عدد اول نسبت به ب.

واقعا از قضیه 1 acو بدارای مقسوم علیه های مشترک مشابه هستند جو ب. اما اعداد جو بنسبتا ساده، یعنی دارای یک مقسوم علیه مشترک 1. سپس acو بهمچنین دارای یک مقسوم علیه مشترک 1. بنابراین acو بمتقابل ساده

نتیجه 2. اجازه دهید آو باعداد coprime و let بتقسیم می کند ak. سپس بتقسیم می کند و ک.

واقعا از شرط تایید akو بمقسوم علیه مشترک دارند ب. به موجب قضیه 1، بباید مقسوم علیه مشترک باشد بو ک. از این رو بتقسیم می کند ک.

نتیجه 1 را می توان تعمیم داد.

نتیجه 3. 1. اجازه دهید اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 , ..., آ m نسبت به عدد اول هستند ب. سپس آ 1 آ 2 , آ 1 آ 2 · آ 3 , ..., آ 1 آ 2 آ 3 ··· آ m، حاصل ضرب این اعداد نسبت به عدد اول است ب.

2. اجازه دهید دو ردیف از اعداد داشته باشیم

به طوری که هر عدد در سری اول به نسبت هر عدد در سری دوم اول است. سپس محصول

شما باید اعدادی را پیدا کنید که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر باشند.

اگر عددی بر بخش پذیر باشد آ 1، سپس فرم را دارد sa 1 کجا ستعدادی عدد اگر qبزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد است آ 1 و آ 2، سپس

جایی که س 1 مقداری عدد صحیح است. سپس

است حداقل مضرب مشترک اعداد آ 1 و آ 2 .

آ 1 و آ 2 نسبتا اول هستند، سپس کمترین مضرب مشترک اعداد هستند آ 1 و آ 2:

ما باید حداقل مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنیم.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که هر مضرب اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 باید مضرب اعداد باشد ε و آ 3 و برگشت. حداقل مضرب مشترک اعداد را بگذارید ε و آ 3 بله ε 1 . بعد، مضرب اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 , آ 4 باید مضرب اعداد باشد ε 1 و آ 4 . حداقل مضرب مشترک اعداد را بگذارید ε 1 و آ 4 بله ε 2. بنابراین، ما متوجه شدیم که همه مضرب اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m منطبق بر مضرب یک عدد معین است ε n که کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده نامیده می شود.

در حالت خاص که اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m نسبتا اول هستند، سپس کمترین مضرب مشترک اعداد هستند آ 1 , آ 2، همانطور که در بالا نشان داده شده است، شکل (3) دارد. بعد، از زمان آ 3 عدد اول نسبت به اعداد آ 1 , آ 2 سپس آ 3 عدد اول آ 1 · آ 2 (نتیجه 1). به معنای کمترین مضرب مشترک اعداد است آ 1 ,آ 2 ,آ 3 یک عدد است آ 1 · آ 2 · آ 3. با استدلال مشابه به گزاره های زیر می رسیم.

بیانیه 1. کمترین مضرب مشترک اعداد هم اول آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m برابر حاصلضرب آنهاست آ 1 · آ 2 · آ 3 ··· آمتر

بیانیه 2. هر عددی که بر هر یک از اعداد همزمان اول بخش پذیر باشد آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m نیز بر حاصلضرب آنها قابل تقسیم است آ 1 · آ 2 · آ 3 ··· آمتر

نحوه پیدا کردن LCM (کمترین مضرب مشترک)

کوچکترین مضرب مشترک دو اعداد صحیح، کوچکترین اعداد صحیحی است که بر هر دو عدد داده شده بدون باقی ماندن بخش پذیر است.

روش 1. شما می توانید LCM را به نوبه خود برای هر یک از اعداد داده شده پیدا کنید و تمام اعدادی را که با ضرب آنها در 1، 2، 3، 4 و غیره به دست می آیند، به ترتیب صعودی بنویسید.

مثالبرای اعداد 6 و 9
عدد 6 را به ترتیب در 1، 2، 3، 4، 5 ضرب می کنیم.
دریافت می کنیم: 6، 12، 18 , 24, 30
عدد 9 را به ترتیب در 1، 2، 3، 4، 5 ضرب می کنیم.
دریافت می کنیم: 9، 18 , 27, 36, 45
همانطور که می بینید LCM برای اعداد 6 و 9 برابر با 18 خواهد بود.

این روش زمانی مناسب است که هر دو عدد کوچک باشند و ضرب آنها در دنباله ای از اعداد صحیح آسان باشد. با این حال، مواردی وجود دارد که شما باید LCM را برای اعداد دو رقمی یا سه رقمی و همچنین زمانی که سه یا حتی بیشتر از اعداد اولیه وجود دارد، پیدا کنید.

روش 2. شما می توانید LCM را با فاکتورگیری اعداد اصلی در فاکتورهای اول پیدا کنید.
پس از تجزیه، لازم است اعداد یکسان را از سری عوامل اول به دست آمده خط بکشیم. اعداد باقیمانده عدد اول ضریب عدد دوم و اعداد باقی مانده عدد دوم ضریب عدد اول خواهد بود.

مثالبرای شماره های 75 و 60
کمترین مضرب مشترک اعداد 75 و 60 را می توان بدون نوشتن مضرب این اعداد در یک ردیف یافت. برای انجام این کار، 75 و 60 را در فاکتورهای ساده فاکتور می کنیم:
75 = 3 * 5 * 5، الف
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
همانطور که می بینید، فاکتورهای 3 و 5 در هر دو ردیف ظاهر می شوند. از نظر ذهنی ما آنها را "تقاطع" می کنیم.
اجازه دهید عوامل باقی مانده را که در بسط هر یک از این اعداد گنجانده شده است، بنویسیم. هنگام تجزیه عدد 75 با عدد 5 و در هنگام تجزیه عدد 60 با 2 * 2 باقی می‌مانیم.
این بدان معنی است که برای تعیین LCM برای اعداد 75 و 60، باید اعداد باقیمانده از بسط 75 (این 5 است) را در 60 ضرب کنیم و اعداد باقی مانده از بسط 60 را ضرب کنیم (این 2 است. * 2) در 75. یعنی برای سهولت درک، می گوییم که "متقاطع" را ضرب می کنیم.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
به این ترتیب ما LCM را برای اعداد 60 و 75 پیدا کردیم. این عدد 300 است.

مثال. LCM را برای اعداد 12، 16، 24 تعیین کنید
در این صورت، اقدامات ما تا حدودی پیچیده تر خواهد شد. اما ابتدا، مثل همیشه، بیایید همه اعداد را فاکتورسازی کنیم
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
برای تعیین صحیح LCM، کوچکترین اعداد را انتخاب می کنیم (این عدد 12 است) و به ترتیب فاکتورهای آن را مرور می کنیم و اگر حداقل در یکی از ردیف های دیگر اعداد با عامل مشابهی مواجه شدیم که هنوز وجود ندارد. خط کشیده شده است.

مرحله 1. می بینیم که 2 * 2 در همه سری اعداد رخ می دهد. بیایید آنها را خط بکشیم.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

مرحله 2. در فاکتورهای اول عدد 12، فقط عدد 3 باقی می ماند اما در ضرایب اول عدد 24 وجود دارد. عدد 3 را از هر دو ردیف خط می زنیم، در حالی که برای عدد 16 انتظار نمی رود. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

همانطور که می بینید، هنگام تجزیه عدد 12، ما تمام اعداد را "خطا" کردیم. این بدان معنی است که یافتن LOC کامل شده است. تنها چیزی که باقی می ماند محاسبه ارزش آن است.
برای عدد 12، فاکتورهای باقی مانده از عدد 16 را بگیرید (بعدی به ترتیب صعودی)
12 * 2 * 2 = 48
این NOC است

همانطور که می بینید، در این مورد، پیدا کردن LCM تا حدودی دشوارتر بود، اما زمانی که نیاز به یافتن آن برای سه عدد یا بیشتر دارید، این روش به شما اجازه می دهد تا آن را سریعتر انجام دهید. با این حال، هر دو روش برای یافتن LCM صحیح هستند.

اما بسیاری از اعداد طبیعی بر سایر اعداد طبیعی نیز بخش پذیر هستند.

مثلا:

عدد 12 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12 بخش پذیر است.

عدد 36 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12، بر 18، بر 36 بخش پذیر است.

اعدادی که عدد به آنها بر یک کل بخش پذیر است (برای 12 اینها 1، 2، 3، 4، 6 و 12 هستند) نامیده می شوند. مقسوم علیه اعداد. مقسوم علیه یک عدد طبیعی آ- یک عدد طبیعی است که یک عدد معین را تقسیم می کند آبدون هیچ ردی. عدد طبیعی که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشد نامیده می شود کامپوزیت .

لطفا توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 دارای فاکتورهای مشترک هستند. این اعداد عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است. مقسوم علیه مشترک این دو عدد آو ب- این عددی است که هر دو عدد داده شده بدون باقیمانده بر آن تقسیم می شوند آو ب.

مضرب های مشترکچند عدد عددی است که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر است. مثلا، اعداد 9، 18 و 45 مضرب مشترک 180 دارند. اما 90 و 360 نیز مضرب مشترک آنها هستند. در بین همه مضربهای مشترک همیشه کوچکترین یک وجود دارد، در این مورد 90 است. این عدد نامیده می شود کوچکترینچندگانه مشترک (CMM).

LCM همیشه یک عدد طبیعی است که باید بزرگتر از بزرگترین اعدادی باشد که برای آن تعریف شده است.

حداقل مضرب مشترک (LCM). خواص.

جابجایی:

انجمنی بودن:

به طور خاص، اگر و اعداد هم اول باشند، پس:

حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مترو nمقسوم علیه همه مضرب های مشترک دیگر است مترو n. علاوه بر این، مجموعه ای از مضرب های مشترک m، nمنطبق با مجموعه مضربهای LCM ( m، n).

مجانبی برای را می توان در قالب برخی از توابع نظری اعداد بیان کرد.

بنابراین، عملکرد چبیشف. و:

این از تعریف و ویژگی های تابع لاندو به دست می آید g(n).

آنچه از قانون توزیع اعداد اول به دست می آید.

یافتن حداقل مضرب مشترک (LCM).

NOC( الف، ب) به چند روش قابل محاسبه است:

1. اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده است، می توانید از اتصال آن با LCM استفاده کنید:

2. اجازه دهید تجزیه متعارف هر دو عدد به عوامل اول مشخص شود:

جایی که p 1,...,p k- اعداد اول مختلف و d 1،...،d kو e 1,...,e k- اعداد صحیح غیر منفی (اگر عدد اول مربوطه در بسط نباشد، می توانند صفر باشند).

سپس NOC ( آ,ب) با فرمول محاسبه می شود:

به عبارت دیگر، تجزیه LCM شامل تمام عوامل اول موجود در حداقل یکی از تجزیه اعداد است. الف، ب، و بزرگترین از دو توان این ضریب گرفته می شود.

مثال:

محاسبه حداقل مضرب مشترک چند عدد را می توان به چندین محاسبه متوالی LCM دو عدد تقلیل داد:

قانون.برای پیدا کردن LCM یک سری اعداد، شما نیاز دارید:

- اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.

- بزرگترین تجزیه ( حاصل ضرب ضرایب بیشترین تعداد داده شده) را به عوامل حاصلضرب مورد نظر منتقل کنید و سپس عواملی را از تجزیه اعداد دیگری که در عدد اول ظاهر نمی شوند یا در آن ظاهر می شوند اضافه کنید. دفعات کمتر؛

- حاصل ضرب ضرایب اول LCM اعداد داده شده خواهد بود.

هر دو یا چند عدد طبیعی LCM خود را دارند. اگر اعداد مضرب یکدیگر نباشند یا عوامل یکسانی در بسط نداشته باشند، LCM آنها برابر است با حاصلضرب این اعداد.

ضرایب اول عدد 28 (2، 2، 7) با ضریب 3 (عدد 21) تکمیل می شود، حاصل ضرب (84) کوچکترین عددی خواهد بود که بر 21 و 28 بخش پذیر است.

ضرایب اول بزرگترین عدد 30 با ضریب 5 عدد 25 تکمیل می شود، حاصل ضرب 150 از بزرگترین عدد 30 بزرگتر است و بر تمام اعداد داده شده بدون باقیمانده بخش پذیر است. این کوچکترین حاصل ضرب ممکن (150، 250، 300...) است که مضرب همه اعداد داده شده است.

اعداد 2،3،11،37 اعداد اول هستند، بنابراین LCM آنها برابر است با حاصلضرب اعداد داده شده.

قانون. برای محاسبه LCM اعداد اول، باید همه این اعداد را در هم ضرب کنید.

گزینه ای دیگر:

برای پیدا کردن کمترین مضرب مشترک (LCM) از چندین عدد به موارد زیر نیاز دارید:

1) هر عدد را به عنوان حاصلضرب عوامل اول آن نشان دهید، به عنوان مثال:

504 = 2 2 2 3 3 7،

2) توان همه عوامل اول را بنویسید:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1،

3) تمام مقسوم علیه های اول (ضرب) هر یک از این اعداد را بنویسید.

4) بیشترین درجه هر یک از آنها را که در همه بسط های این اعداد یافت می شود انتخاب کنید.

5) این قدرت ها را چند برابر کنید.

مثال. LCM اعداد: 168، 180 و 3024 را بیابید.

راه حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1،

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1،

3024 = 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

ما بزرگترین قدرت های همه مقسوم علیه های اول را می نویسیم و آنها را ضرب می کنیم:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.