مبحث چندگانه در کلاس پنجم مطالعه می شود دبیرستان. هدف آن بهبود مهارت های محاسباتی ریاضی کتبی و شفاهی است. در این درس، مفاهیم جدیدی معرفی می شوند - "اعداد متعدد" و "قسمت کننده ها"، تکنیک یافتن مقسوم علیه و مضرب یک عدد طبیعی، و توانایی یافتن LCM به روش های مختلف تمرین می شود.

این موضوع بسیار مهم است. دانش آن را می توان هنگام حل مثال با کسری به کار برد. برای انجام این کار باید پیدا کنید مخرج مشترکبا محاسبه حداقل مضرب مشترک (LCM).

مضرب A عددی است که بدون باقیمانده بر A بخش پذیر است.

هر عدد طبیعی دارای بی نهایت مضرب آن است. خود کوچکترین محسوب می شود. مضرب نمی تواند از خود عدد کمتر باشد.

شما باید ثابت کنید که عدد 125 مضرب عدد 5 است. برای این کار باید عدد اول را بر عدد دوم تقسیم کنید. اگر 125 بدون باقی مانده بر 5 بخش پذیر باشد، پاسخ مثبت است.

این روش برای تعداد کم قابل استفاده است.

هنگام محاسبه LOC موارد خاصی وجود دارد.

1. اگر باید مضرب مشترک 2 عدد (مثلا 80 و 20) را پیدا کنید، جایی که یکی از آنها (80) بر دیگری (20) بخش پذیر باشد، این عدد (80) کوچکترین مضرب این عدد است. دو عدد

LCM(80، 20) = 80.

2. اگر دو مقسوم علیه مشترک نداشته باشند، می توان گفت که LCM آنها حاصلضرب این دو عدد است.

LCM(6، 7) = 42.

بیایید به آخرین مثال نگاه کنیم. 6 و 7 در رابطه با 42 مقسوم علیه هستند. مضرب یک عدد را بدون باقی مانده تقسیم می کنند.

در این مثال، 6 و 7 فاکتورهای زوجی هستند. حاصل ضرب آنها برابر با چندگانه ترین عدد (42) است.

عددی را اول می گویند که فقط بر خودش یا بر 1 بخش پذیر باشد (3:1=3؛ 3:3=1). به بقیه کامپوزیت می گویند.

مثال دیگر شامل تعیین اینکه آیا 9 مقسوم علیه 42 است یا خیر.

42:9=4 (بقیه 6)

پاسخ: 9 مقسوم علیه 42 نیست زیرا جواب باقیمانده دارد.

فرق یک مقسوم علیه با مضرب این است که مقسوم علیه عددی است که اعداد طبیعی بر آن تقسیم می شوند و خود مضرب بر این عدد تقسیم می شود.

بزرگترین مقسوم علیه مشترکاعداد الفو بضرب در حداقل مضرب آنها، حاصلضرب خود اعداد را به دست می دهد الفو ب.

یعنی: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

مضرب های مشترک برای اعداد مختلط تر به روش زیر یافت می شوند.

به عنوان مثال، LCM را برای 168، 180، 3024 پیدا کنید.

این اعداد را به ضرایب اول تبدیل می کنیم و آنها را به عنوان حاصل ضرب توان ها می نویسیم:

168=2³x3¹x7¹

24х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168، 180، 3024) = 15120.

نشانه های تقسیم پذیری اعداد طبیعی.

اعدادی که بر 2 بخش پذیرند بدون باقی مانده نامیده می شوندحتی .

اعدادی که به طور مساوی بر 2 بخش پذیر نیستند نامیده می شوندعجیب و غریب .

بخش پذیری بر 2 را تست کنید

اگر یک عدد طبیعی به یک رقم زوج ختم شود، این عدد بدون باقیمانده بر 2 بخش پذیر است و اگر عددی به یک رقم فرد ختم شود، این عدد به طور مساوی بر 2 بخش پذیر نیست.

مثلا اعداد 60 , 30 8 , 8 4 بدون باقی مانده بر 2 بخش پذیرند و اعداد 5 هستند1 , 8 5 , 16 7 بدون باقی مانده بر 2 بخش پذیر نیستند.

بخش پذیری بر 3 را تست کنید

اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر باشد، آن عدد بر 3 بخش پذیر است. اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر نباشد، آن عدد بر 3 بخش پذیر نیست.

برای مثال، بیایید بفهمیم که آیا عدد 2772825 بر 3 بخش پذیر است یا خیر. برای این کار، مجموع ارقام این عدد را محاسبه می کنیم: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - بخش پذیر بر 3. یعنی عدد 2772825 بر 3 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر 5

اگر رکورد یک عدد طبیعی به رقم 0 یا 5 ختم شود، آنگاه این عدد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر است، اگر رکورد یک عدد به رقم دیگری ختم شود، آن عدد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر نیست.

مثلا اعداد 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 بدون باقی مانده بر 5 بخش پذیرند و اعداد 1 هستند7 , 37 8 , 9 1 به اشتراک نگذار

تست بخش پذیری بر 9

اگر مجموع ارقام یک عدد بر 9 بخش پذیر باشد، آن عدد بر 9 بخش پذیر است. اگر مجموع ارقام یک عدد بر 9 بخش پذیر نباشد، آن عدد بر 9 بخش پذیر نیست.

برای مثال، بیایید بفهمیم که آیا عدد 5402070 بر 9 بخش پذیر است یا خیر. برای این کار، مجموع ارقام این عدد را محاسبه می کنیم: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - بر 9 بخش پذیر نیست. یعنی عدد 5402070 بر 9 بخش پذیر نیست.

تست بخش پذیری بر 10

اگر یک عدد طبیعی به رقم 0 ختم شود، این عدد بدون باقیمانده بر 10 بخش پذیر است.

مثلا اعداد 40 , 17 0 , 1409 0 بدون باقی مانده بر 10 بخش پذیرند و اعداد 17 , 9 3 , 1430 7 - به اشتراک نگذار

قانون یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD).

برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک چندین عدد طبیعی، باید:

2) از عواملی که در بسط یکی از این اعداد گنجانده شده است، مواردی را که در بسط اعداد دیگر گنجانده نشده اند خط بزنید.

3) حاصلضرب عوامل باقیمانده را بیابید.

مثال. بیایید GCD (48;36) را پیدا کنیم. بیایید از قانون استفاده کنیم.

1. بیایید اعداد 48 و 36 را در فاکتورهای اول قرار دهیم.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. از عواملی که در بسط عدد 48 گنجانده شده است، مواردی را که در بسط عدد 36 لحاظ نشده اند حذف می کنیم.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

عوامل باقیمانده 2، 2 و 3 هستند.

3. ضرایب باقیمانده را ضرب کنید و 12 بدست آورید. این عدد بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 48 و 36 است.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

قانون یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM).

برای یافتن کمترین مضرب مشترک چند عدد طبیعی، باید:

1) آنها را به عوامل اصلی تبدیل کنید.

2) عوامل موجود در گسترش یکی از اعداد را یادداشت کنید.

3) عوامل گمشده از بسط اعداد باقیمانده را به آنها اضافه کنید.

4) حاصلضرب عوامل حاصل را بیابید.

مثال.بیایید LOC (75;60) را پیدا کنیم. بیایید از قانون استفاده کنیم.

1. اعداد 75 و 60 را در فاکتورهای اول فاکتور می کنیم.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. بیایید عوامل موجود در بسط عدد 75 را بنویسیم: 3، 5، 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. عوامل گمشده از بسط عدد 60 را به آنها اضافه کنید، i.e. 2، 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. حاصل ضرب عوامل حاصل را بیابید

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

بیایید شروع به مطالعه حداقل مضرب مشترک دو یا چند عدد کنیم. در این بخش تعریفی از این اصطلاح ارائه می دهیم، قضیه ای را که ارتباط بین کمترین مضرب مشترک و بزرگترین مقسوم علیه مشترک را برقرار می کند، در نظر می گیریم و مثال هایی از حل مسائل را بیان می کنیم.

مضرب های مشترک - تعریف، مثال

در این مبحث فقط به مضرب های مشترک اعداد صحیح غیر از صفر علاقه مند خواهیم بود.

تعریف 1

مضرب مشترک اعداد صحیحیک عدد صحیح است که مضربی از همه اعداد داده شده است. در واقع هر عدد صحیحی است که می توان آن را بر هر یک از اعداد داده شده تقسیم کرد.

تعریف مضرب مشترک به دو، سه یا چند عدد صحیح اشاره دارد.

مثال 1

طبق تعریفی که در بالا داده شد، مضرب های مشترک عدد 12 3 و 2 هستند. همچنین عدد 12 مضرب مشترک اعداد 2، 3 و 4 خواهد بود. اعداد 12 و 12 مضرب مشترک اعداد 1±، 2±، 3±، 4±، 6±، 12± هستند.

در همان زمان، مضرب مشترک اعداد 2 و 3 اعداد 12، 6، − 24، 72، 468، − 100.010.004 و یک سری کامل دیگر خواهد بود.

اگر اعدادی را در نظر بگیریم که بر عدد اول یک جفت بخش پذیرند و بر عدد دوم بخش پذیر نباشند، چنین اعدادی مضرب مشترک نخواهند بود. بنابراین، برای اعداد 2 و 3، اعداد 16، − 27، 5009، 27001 مضرب مشترک نخواهند بود.

0 مضرب مشترک هر مجموعه ای از اعداد صحیح غیر از صفر است.

اگر خاصیت تقسیم پذیری را نسبت به اعداد مخالف، سپس معلوم می شود که یک عدد صحیح k مضرب مشترک این اعداد خواهد بود، درست مانند عدد - k. این بدان معنی است که مقسوم علیه های مشترک می توانند مثبت یا منفی باشند.

آیا می توان LCM را برای همه اعداد پیدا کرد؟

مضرب مشترک را می توان برای هر عدد صحیح یافت.

مثال 2

فرض کنید به ما داده شده است کاعداد صحیح a 1 , a 2 , … , a k. عددی که هنگام ضرب اعداد بدست می آوریم a 1 · a 2 · … · a kبا توجه به خاصیت تقسیم پذیری به هر یک از عواملی که در حاصلضرب اصلی گنجانده شده است تقسیم می شود. این به این معنی است که حاصل ضرب اعداد a 1 , a 2 , … , a kکمترین مضرب مشترک این اعداد است.

این اعداد صحیح چند مضرب مشترک می توانند داشته باشند؟

گروهی از اعداد صحیح می توانند تعداد زیادی مضرب مشترک داشته باشند. در واقع تعداد آنها بی نهایت است.

مثال 3

فرض کنید تعدادی عدد k داریم. سپس حاصل ضرب اعداد k · z که z یک عدد صحیح است، مضرب مشترک اعداد k و z خواهد بود. با توجه به اینکه تعداد اعداد نامتناهی است، تعداد مضرب های مشترک بی نهایت است.

حداقل چندگانه مشترک (LCM) - تعریف، علامت گذاری و مثال ها

اجازه دهید مفهوم کوچکترین تعداد را به خاطر بیاوریم مجموعه داده شدهاعداد، که ما در بخش "مقایسه اعداد صحیح" به آنها نگاه کردیم. با در نظر گرفتن این مفهوم، تعریف کمترین مضرب مشترک را که بیشترین اهمیت عملی را در بین همه مضرب های مشترک دارد، تدوین می کنیم.

تعریف 2

کمترین مضرب مشترک اعداد صحیح داده شدهکوچکترین مضرب مشترک مثبت این اعداد است.

حداقل مضرب مشترک برای هر تعداد از اعداد داده شده وجود دارد. رایج ترین مخفف مورد استفاده برای این مفهوم در ادبیات مرجع NOC است. نماد کوتاه برای حداقل مضرب مشترک اعداد a 1 , a 2 , … , a kفرم LOC را خواهد داشت (a 1 , a 2 , … , a k).

مثال 4

کمترین مضرب مشترک 6 و 7 42 است. آن ها LCM(6، 7) = 42. کمترین مضرب مشترک چهار عدد 2، 12، 15 و 3 60 است. یک نماد کوتاه شبیه LCM (- 2، 12، 15، 3) = 60 خواهد بود.

کمترین مضرب مشترک برای همه گروه های اعداد داده شده مشخص نیست. اغلب باید محاسبه شود.

رابطه بین NOC و GCD

کمترین مضرب مشترک و بزرگترین مقسوم علیه مشترک به هم مرتبط هستند. رابطه بین مفاهیم با قضیه برقرار می شود.

قضیه 1

کمترین مضرب مشترک دو عدد صحیح مثبت a و b برابر است با حاصل ضرب a و b تقسیم بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک a و b، یعنی LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

شواهد 1

فرض کنید تعدادی عدد M داریم که مضربی از اعداد a و b است. اگر عدد M بر a بخش پذیر باشد، مقداری z نیز وجود دارد , که در آن برابری صادق است M = a k. با توجه به تعریف بخش پذیری، اگر M بر آن بخش پذیر باشد ب، سپس a · kتقسیم بر ب.

اگر یک نماد جدید برای gcd (a, b) as معرفی کنیم د، سپس می توانیم از برابری ها استفاده کنیم a = a 1 dو b = b 1 · d. در این حالت هر دو برابری اعداد نسبتا اول خواهند بود.

ما قبلاً بالاتر از آن را مشخص کرده ایم a · kتقسیم بر ب. حال این شرط را می توان به صورت زیر نوشت:
a 1d kتقسیم بر ب 1 د، که معادل شرط است یک کیلوتقسیم بر ب 1با توجه به خصوصیات تقسیم پذیری

با توجه به خاصیت اعداد هم اول، اگر یک 1و ب 1- اعداد همزمان اول، یک 1قابل تقسیم بر ب 1با وجود این واقعیت که یک کیلوتقسیم بر ب 1، آن ب 1باید به اشتراک گذاشته شود ک.

در این مورد، مناسب است فرض کنیم که یک عدد وجود دارد تی، که برای آن k = b 1 تن، و از آن زمان b 1 = b: d، آن k = b: d t.

حالا به جای کبیایید برابری را جایگزین کنیم M = a kبیان فرم ب: د ت. این به ما امکان می دهد به برابری دست یابیم M = a b: d t. در t = 1می توانیم کمترین مضرب مشترک مثبت a و b را بدست آوریم , برابر الف ب: د، مشروط بر اینکه اعداد a و b مثبت

بنابراین ما ثابت کردیم که LCM (a, b) = a · b: GCD (الف، ب).

برقراری ارتباط بین LCM و GCD به شما این امکان را می دهد که کمترین مضرب مشترک را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو یا چند عدد داده شده پیدا کنید.

تعریف 3

این قضیه دو نتیجه مهم دارد:

• مضرب کوچکترین مضرب مشترک دو عدد، همان مضرب مشترک آن دو عدد است.
• کمترین مضرب مشترک اعداد مثبت متقابل a و b برابر است با حاصلضرب آنها.

اثبات این دو واقعیت کار دشواری نیست. هر مضرب مشترک M اعداد a و b با برابری M = LCM (a, b) · t برای مقداری عدد صحیح t تعریف می شود. از آنجایی که a و b نسبتا اول هستند، پس gcd (a, b) = 1، بنابراین gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

حداقل مضرب مشترک سه یا چند عدد

برای یافتن کمترین مضرب مشترک چند عدد، لازم است که LCM دو عدد را به ترتیب پیدا کنیم.

قضیه 2

بیایید این را فرض کنیم a 1 , a 2 , … , a kتعدادی اعداد صحیح مثبت هستند. به منظور محاسبه LCM m kاین اعداد را باید به صورت متوالی محاسبه کنیم m 2 = LCM(a 1، a 2)، m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

شواهد 2

اولین نتیجه از قضیه اول مورد بحث در این مبحث به ما کمک می کند تا صحت قضیه دوم را اثبات کنیم. استدلال بر اساس الگوریتم زیر است:

• مضرب مشترک اعداد یک 1و یک 2منطبق بر مضربی از LCM خود، در واقع، آنها منطبق بر مضربی از عدد متر 2;
• مضرب مشترک اعداد یک 1, یک 2و یک 3 متر 2و یک 3 متر 3;
• مضرب مشترک اعداد a 1 , a 2 , … , a kمنطبق با مضرب های مشترک اعداد m k - 1و یک کبنابراین، با مضرب عدد منطبق است m k;
• با توجه به اینکه کوچکترین مضرب مثبت عدد m kخود عدد است m k، سپس کمترین مضرب مشترک اعداد a 1 , a 2 , … , a kاست m k.

اینجوری قضیه رو ثابت کردیم.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

ماشین حساب آنلاین به شما امکان می دهد تا به سرعت بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک را برای دو یا هر تعداد دیگری از اعداد پیدا کنید.

ماشین حساب برای پیدا کردن GCD و LCM

GCD و LOC را پیدا کنید

GCD و LOC پیدا شد: 6433

نحوه استفاده از ماشین حساب

• اعداد را در قسمت ورودی وارد کنید
• اگر کاراکترهای نادرست وارد کنید، قسمت ورودی با رنگ قرمز برجسته می شود
• روی دکمه "یافتن GCD and LOC" کلیک کنید

نحوه وارد کردن اعداد

• اعداد با فاصله، نقطه یا کاما وارد می شوند
• طول اعداد وارد شده محدود نمی باشدبنابراین یافتن GCD و LCM اعداد طولانی دشوار نیست

GCD و NOC چیست؟

بزرگترین مقسوم علیه مشترکچند عدد بزرگترین عدد صحیح طبیعی است که تمام اعداد اصلی بدون باقی مانده بر آن بخش پذیرند. بزرگترین مقسوم علیه مشترک به اختصار به عنوان GCD.
کمترین مضرب مشترکچند عدد است کوچکترین عدد، که بر هر یک از اعداد اصلی بدون باقیمانده بخش پذیر است. کمترین مضرب مشترک به اختصار به صورت اختصاری گفته می شود NOC.

چگونه می توان بررسی کرد که یک عدد بدون باقی مانده بر عدد دیگری بخش پذیر است؟

برای اینکه بفهمید آیا یک عدد بدون باقیمانده بر عدد دیگر بخش پذیر است یا خیر، می توانید از ویژگی های بخش پذیری اعداد استفاده کنید. سپس با ترکیب آنها می توانید تقسیم پذیری برخی از آنها و ترکیب آنها را بررسی کنید.

برخی از نشانه های تقسیم پذیری اعداد

1. تست بخش پذیری عدد بر 2
برای تعیین اینکه آیا یک عدد بر دو بخش پذیر است (خواه زوج باشد)، کافی است به آخرین رقم این عدد نگاه کنیم: اگر برابر با 0، 2، 4، 6 یا 8 باشد، آنگاه عدد زوج است. یعنی بر 2 بخش پذیر است.
مثال:تعیین کنید که آیا عدد 34938 بر 2 بخش پذیر است یا خیر.
راه حل:ما به رقم آخر نگاه می کنیم: 8 - یعنی عدد بر دو بخش پذیر است.

2. تست بخش پذیری عدد بر 3
عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر سه بخش پذیر باشد. بنابراین، برای تعیین اینکه آیا یک عدد بر 3 بخش پذیر است یا خیر، باید مجموع ارقام را محاسبه کنید و بررسی کنید که آیا بر 3 بخش پذیر است یا خیر.
مثال:تعیین کنید که آیا عدد 34938 بر 3 بخش پذیر است یا خیر.
راه حل:مجموع اعداد را می شماریم: 3+4+9+3+8 = 27. 27 بر 3 بخش پذیر است، یعنی عدد بر سه بخش پذیر است.

3. تست بخش پذیری عدد بر 5
یک عدد زمانی بر 5 بخش پذیر است که آخرین رقم آن صفر یا پنج باشد.
مثال:تعیین کنید که آیا عدد 34938 بر 5 بخش پذیر است یا خیر.
راه حل:به رقم آخر نگاه کنید: 8 یعنی عدد بر پنج بخش پذیر نیست.

4. تست بخش پذیری عدد بر 9
این علامت بسیار شبیه به علامت بخش پذیری بر سه است: یک عدد زمانی بر 9 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر باشد.
مثال:تعیین کنید که آیا عدد 34938 بر 9 بخش پذیر است یا خیر.
راه حل:مجموع اعداد را می شماریم: 3+4+9+3+8 = 27. 27 بر 9 بخش پذیر است، یعنی عدد بر 9 بخش پذیر است.

چگونه GCD و LCM دو عدد را پیدا کنیم

چگونه gcd دو عدد را پیدا کنیم

بیشتر به روشی سادهمحاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد به این صورت است که تمام مقسوم علیه های ممکن این اعداد را پیدا کرده و بزرگترین آنها را انتخاب کنید.

بیایید این روش را با استفاده از مثال یافتن GCD (28, 36) در نظر بگیریم:

1. هر دو عدد را فاکتور می کنیم: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·2·3·3
2. ما عوامل مشترکی را پیدا می کنیم، یعنی آنهایی که هر دو عدد دارند: 1، 2 و 2.
3. ما حاصل ضرب این عوامل را محاسبه می کنیم: 1 2 2 = 4 - این بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 28 و 36 است.

چگونه LCM دو عدد را پیدا کنیم

دو روش متداول برای یافتن مضرب حداقل دو عدد وجود دارد. روش اول این است که می توانید مضرب های اول دو عدد را یادداشت کنید و سپس از بین آنها عددی را انتخاب کنید که برای هر دو عدد مشترک و در عین حال کوچکترین باشد. و دوم اینکه gcd این اعداد را پیدا کنید. بیایید فقط آن را در نظر بگیریم.

برای محاسبه LCM، باید حاصل ضرب اعداد اصلی را محاسبه کنید و سپس آن را بر GCD که قبلا پیدا شده بود تقسیم کنید. بیایید LCM را برای همان اعداد 28 و 36 پیدا کنیم:

1. حاصل ضرب اعداد 28 و 36 را بیابید: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36)، همانطور که قبلاً شناخته شده است، برابر با 4 است
3. LCM(28، 36) = 1008 / 4 = 252.

پیدا کردن GCD و LCM برای چندین اعداد

بزرگترین مقسوم علیه مشترک را می توان برای چندین عدد یافت، نه فقط برای دو. برای این منظور، اعدادی که برای بزرگترین مقسوم علیه مشترک یافت می شوند، در ضرایب اول فاکتور می شوند، سپس حاصل ضرب ضرایب مشترک پیدا می شود. عوامل اصلیاین اعداد همچنین می توانید از رابطه زیر برای پیدا کردن gcd چندین عدد استفاده کنید: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b, c).

یک رابطه مشابه برای کمترین مضرب مشترک اعمال می شود: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b, c)

مثال: GCD و LCM را برای اعداد 12، 32 و 36 پیدا کنید.

1. ابتدا اعداد را فاکتور می کنیم: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·2·3·3.
2. بیایید عوامل مشترک را پیدا کنیم: 1، 2 و 2.
3. محصول آنها GCD می دهد: 1·2·2 = 4
4. حالا بیایید LCM را پیدا کنیم: برای انجام این کار، اجازه دهید ابتدا LCM(12, 32) را پیدا کنیم: 12·32 / 4 = 96.
5. برای یافتن LCM هر سه عدد، باید GCD(96, 36) را پیدا کنید: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12، 32، 36) = 96·36 / 12 = 288.

بیایید گفتگو را در مورد کمترین مضرب مشترک، که در بخش "LCM - حداقل مضرب مشترک، تعریف، مثال ها" شروع کردیم، ادامه دهیم. در این مبحث به روش های یافتن LCM برای سه یا چند عدد می پردازیم و به این سوال می پردازیم که چگونه LCM یک عدد منفی را پیدا کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

محاسبه حداقل چندگانه مشترک (LCM) از طریق GCD

ما قبلاً رابطه بین کمترین مضرب مشترک و بزرگترین مقسوم علیه مشترک را ایجاد کرده ایم. حالا بیایید یاد بگیریم که چگونه LCM را از طریق GCD تعیین کنیم. ابتدا بیایید بفهمیم که چگونه این کار را برای اعداد مثبت انجام دهیم.

تعریف 1

با استفاده از فرمول LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) می توانید کمترین مضرب مشترک را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک پیدا کنید.

مثال 1

باید LCM اعداد 126 و 70 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید a = 126، b = 70 را در نظر بگیریم. بیایید مقادیر را در فرمول محاسبه کمترین مضرب مشترک از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) جایگزین کنیم.

gcd اعداد 70 و 126 را پیدا می کند. برای این ما به الگوریتم اقلیدسی نیاز داریم: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4، بنابراین GCD (126 , 70) = 14 .

بیایید LCM را محاسبه کنیم: LCD (126، 70) = 126 70: GCD (126، 70) = 126 70: 14 = 630.

پاسخ: LCM(126، 70) = 630.

مثال 2

عدد 68 و 34 را پیدا کنید.

راه حل

GCD در در این مورداین کار دشواری نیست، زیرا 68 بر 34 بخش پذیر است. بیایید حداقل مضرب مشترک را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم: LCM (68، 34) = 68 34: GCD (68، 34) = 68 34: 34 = 68.

پاسخ: LCM(68، 34) = 68.

در این مثال، از قانون یافتن حداقل مضرب مشترک اعداد صحیح مثبت a و b استفاده کردیم: اگر عدد اول بر عدد دوم بخش پذیر باشد، LCM آن اعداد برابر با عدد اول خواهد بود.

یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به عوامل اول

حال بیایید به روش یافتن LCM نگاه کنیم که بر اساس فاکتورگیری اعداد به فاکتورهای اول است.

تعریف 2

برای یافتن کمترین مضرب مشترک، باید چند مرحله ساده را انجام دهیم:

• ما حاصل ضرب همه ضرایب اول اعدادی را که برای آنها باید LCM را پیدا کنیم، ترکیب می کنیم.
• ما همه عوامل اصلی را از محصولات حاصل حذف می کنیم.
• حاصلضرب پس از حذف ضرایب اول مشترک برابر با LCM اعداد داده شده خواهد بود.

این روش برای یافتن کمترین مضرب مشترک مبتنی بر برابری LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) است. اگر به فرمول نگاه کنید، مشخص می شود: حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب همه عواملی که در تجزیه این دو عدد شرکت می کنند. در این حالت، gcd دو عدد برابر است با حاصلضرب همه عوامل اولی که به طور همزمان در فاکتورسازی دو عدد داده شده وجود دارند.

مثال 3

دو عدد 75 و 210 داریم. می توانیم آنها را به صورت زیر در نظر بگیریم: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. اگر حاصل ضرب همه ضرایب دو عدد اصلی را بسازید، به دست می آورید: 2 3 3 5 5 5 7.

اگر عوامل مشترک هر دو عدد 3 و 5 را حذف کنیم، حاصلضرب شکل زیر به دست می آید: 2 3 5 5 7 = 1050. این محصول LCM ما برای اعداد 75 و 210 خواهد بود.

مثال 4

LCM اعداد را پیدا کنید 441 و 700 ، هر دو عدد را به فاکتورهای اول فاکتور می کنیم.

راه حل

بیایید همه عوامل اول اعداد داده شده در شرط را پیدا کنیم:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

دو زنجیره اعداد بدست می آوریم: 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.

حاصلضرب همه عواملی که در تجزیه این اعداد شرکت کرده اند به شکل زیر خواهد بود: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. بیایید عوامل مشترک را پیدا کنیم. این عدد 7 است. بیایید آن را از کل محصول حذف کنیم: 2 2 3 3 5 5 7 7. معلوم می شود که NOC (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

پاسخ: LOC(441، 700) = 44100.

اجازه دهید فرمول دیگری از روش برای یافتن LCM با تجزیه اعداد به عوامل اول ارائه دهیم.

تعریف 3

قبلاً، ما از تعداد کل عوامل مشترک برای هر دو عدد حذف شدیم. حالا ما این کار را متفاوت انجام خواهیم داد:

• بیایید هر دو عدد را به عوامل اول فاکتور کنیم:
• به حاصل ضرب ضرایب اول عدد اول عوامل گمشده عدد دوم را اضافه کنید.
• حاصلضرب را بدست می آوریم که LCM مورد نظر دو عددی خواهد بود.

مثال 5

بیایید به اعداد 75 و 210 برگردیم که قبلاً در یکی از نمونه های قبلی به دنبال LCM بودیم. بیایید آنها را به عوامل ساده تقسیم کنیم: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. به حاصل ضرب عوامل 3، 5 و 5 اعداد 75 فاکتورهای گمشده را اضافه کنید 2 و 7 شماره 210. دریافت می کنیم: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .این LCM اعداد 75 و 210 است.

مثال 6

محاسبه LCM اعداد 84 و 648 ضروری است.

راه حل

بیایید اعداد را از شرط به عوامل ساده تبدیل کنیم: 84 = 2 2 3 7و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. فاکتورهای 2، 2، 3 و را به محصول اضافه می کنیم 7 اعداد 84 عوامل گمشده 2، 3، 3 و
3 شماره 648. ما محصول را دریافت می کنیم 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.این کمترین مضرب مشترک 84 و 648 است.

پاسخ: LCM(84, 648) = 4,536.

یافتن LCM سه یا چند عدد

صرف نظر از اینکه با چند عدد سروکار داریم، الگوریتم اقدامات ما همیشه یکسان خواهد بود: ما به صورت متوالی LCM دو عدد را خواهیم یافت. یک قضیه برای این مورد وجود دارد.

قضیه 1

بیایید فرض کنیم اعداد صحیح داریم a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kاین اعداد با محاسبه متوالی m 2 = LCM (a 1، a 2)، m 3 = LCM (m 2, a 3)، ...، m k = LCM (m k - 1، a k) به دست می آیند.

حال بیایید ببینیم که چگونه می توان از این قضیه برای حل مسائل خاص استفاده کرد.

مثال 7

شما باید حداقل مضرب مشترک چهار عدد 140، 9، 54 و را محاسبه کنید 250 .

راه حل

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: a 1 = 140، a 2 = 9، a 3 = 54، a 4 = 250.

بیایید با محاسبه m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) شروع کنیم. بیایید الگوریتم اقلیدسی را برای محاسبه GCD اعداد 140 و 9 اعمال کنیم: 140 = 9 15 + 5، 9 = 5 1 + 4، 5 = 4 1 + 1، 4 = 1 4. دریافت می کنیم: GCD (140، 9) = 1، GCD (140، 9) = 140 · 9: GCD (140، 9) = 140 · 9: 1 = 1260. بنابراین، m 2 = 1260.

حالا بیایید با استفاده از همان الگوریتم m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) محاسبه کنیم. در طی محاسبات m 3 = 3 780 بدست می آوریم.

فقط باید m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) را محاسبه کنیم. ما از همین الگوریتم پیروی می کنیم. m 4 = 94 500 بدست می آوریم.

LCM چهار عدد از شرط مثال 94500 است.

پاسخ: NOC (140، 9، 54، 250) = 94500.

همانطور که می بینید، محاسبات ساده هستند، اما کاملاً کار فشرده هستند. برای صرفه جویی در زمان، می توانید راه دیگری را انتخاب کنید.

تعریف 4

ما الگوریتم اقدامات زیر را به شما پیشنهاد می کنیم:

• ما همه اعداد را به عوامل اول تجزیه می کنیم.
• به حاصل ضرب ضرایب عدد اول، عوامل گمشده را از حاصل ضرب عدد دوم اضافه می کنیم.
• به محصول به دست آمده در مرحله قبل عوامل گمشده عدد سوم و غیره را اضافه می کنیم.
• حاصلضرب حاصل حداقل مضرب مشترک همه اعداد شرط خواهد بود.

مثال 8

شما باید LCM پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید هر پنج عدد را در ضرایب اول فاکتور کنیم: 84 = 2 2 3 7، 6 = 2 3، 48 = 2 2 2 2 3، 7، 143 = 11 13. اعداد اولکه عدد 7 است را نمی توان به فاکتورهای اول فاکتور کرد. چنین اعدادی با تجزیه آنها به عوامل اول همزمان است.

حالا حاصل ضرب ضرایب اول 2، 2، 3 و 7 عدد 84 را گرفته و ضرایب گمشده عدد دوم را به آنها اضافه می کنیم. عدد 6 را به 2 و 3 تجزیه کردیم. این عوامل قبلاً در حاصل ضرب عدد اول هستند. بنابراین، آنها را حذف می کنیم.

ما به اضافه کردن ضریب های گمشده ادامه می دهیم. بریم سراغ عدد 48 که از حاصل ضرب ضرایب اولش 2 و 2 می گیریم. سپس ضریب اول 7 را از عدد چهارم و ضریب های 11 و 13 عدد پنجم را جمع می کنیم. دریافت می کنیم: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. این کمترین مضرب مشترک پنج عدد اصلی است.

پاسخ: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

پیدا کردن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی

برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی، ابتدا باید این اعداد با اعداد با جایگزین شوند علامت مخالفو سپس با استفاده از الگوریتم های فوق محاسبات را انجام دهید.

مثال 9

LCM (54، - 34) = LCM (54، 34) و LCM (-622، - 46، - 54، - 888) = LCM (622، 46، 54، 888).

این گونه اعمال از این جهت جایز است که اگر بپذیریم الفو - الف- اعداد مخالف،
سپس مجموعه مضرب یک عدد الفبا مجموعه مضرب یک عدد مطابقت دارد - الف.

مثال 10

محاسبه LCM اعداد منفی ضروری است − 145 و − 45 .

راه حل

بیایید اعداد را جایگزین کنیم − 145 و − 45 به اعداد مخالف خود 145 و 45 . اکنون، با استفاده از الگوریتم، LCM (145، 45) = 145 · 45: GCD (145، 45) = 145 · 45: 5 = 1305 را محاسبه می کنیم، که قبلاً GCD را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی تعیین کردیم.

دریافت می کنیم که LCM اعداد − 145 و است − 45 برابر است 1 305 .

پاسخ: LCM (- 145، - 45) = 1305.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید