توان برای ساده کردن عملیات ضرب یک عدد در خودش استفاده می شود. مثلا به جای نوشتن می توانید بنویسید 4 5 (\displaystyle 4^(5))(توضیحاتی برای این انتقال در بخش اول این مقاله ارائه شده است). درجه ها نوشتن عبارات یا معادلات طولانی یا پیچیده را آسان تر می کند. توان ها نیز به راحتی اضافه و تفریق می شوند و در نتیجه یک عبارت یا معادله ساده می شود (به عنوان مثال، 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

توجه:اگر نیاز به حل یک معادله نمایی دارید (در چنین معادله ای مجهول در توان است)، بخوانید.

مراحل

حل مسائل ساده با درجه

پایه توان را در خودش چند برابر توان ضرب کنید.اگر می‌خواهید یک مسئله توان را با دست حل کنید، توان را به عنوان یک عملیات ضرب بازنویسی کنید، جایی که پایه توان در خودش ضرب می‌شود. مثلا با دادن مدرک 3 4 (\displaystyle 3^(4)). در این صورت، پایه توان 3 باید در خود 4 برابر شود: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). در اینجا نمونه های دیگری وجود دارد:

ابتدا دو عدد اول را ضرب کنید.به عنوان مثال، 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). نگران نباشید - فرآیند محاسبه آنقدرها که در نگاه اول به نظر می رسد پیچیده نیست. ابتدا دو چهار تای اول را ضرب کرده و سپس آنها را با نتیجه جایگزین کنید. مثل این:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. نتیجه (در مثال ما 16) را در عدد بعدی ضرب کنید.هر نتیجه بعدی به نسبت افزایش می یابد. در مثال ما، 16 را در 4 ضرب کنید.

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • نتیجه دو عدد اول را در عدد بعدی ضرب کنید تا به جواب نهایی خود برسید. برای انجام این کار، دو عدد اول را ضرب کنید و سپس نتیجه حاصل را در عدد بعدی در دنباله ضرب کنید. این روش برای هر مدرکی معتبر است. در مثال ما باید دریافت کنید: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. مشکلات زیر را حل کنید.با استفاده از ماشین حساب پاسخ خود را بررسی کنید.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. در ماشین حساب خود به دنبال کلید با برچسب "exp" یا " x n (\displaystyle x^(n))"، یا "^".با استفاده از این کلید یک عدد را به یک توان افزایش می دهید. تقریباً غیرممکن است که یک درجه را با یک نشانگر بزرگ به صورت دستی محاسبه کنید (مثلاً مدرک 9 15 (\displaystyle 9^(15))، اما ماشین حساب می تواند به راحتی با این کار کنار بیاید. در ویندوز 7، ماشین حساب استاندارد را می توان به حالت مهندسی تغییر داد. برای انجام این کار، روی "View" -> "Engineering" کلیک کنید. برای تغییر حالت عادی، روی "View" -> "Normal" کلیک کنید.

   • پاسخی را که با استفاده از موتور جستجو (Google یا Yandex) دریافت کرده‌اید بررسی کنید.. با استفاده از کلید "^" روی صفحه کلید رایانه خود، عبارت را در موتور جستجو وارد کنید، که بلافاصله پاسخ صحیح را نشان می دهد (و احتمالاً عبارات مشابهی را برای مطالعه به شما پیشنهاد می دهد).

   جمع، تفریق، ضرب قوا

   1. فقط در صورتی می توانید نیروها را کم و زیاد کنید که پایه یکسانی داشته باشند.اگر نیاز به اضافه کردن توان ها با پایه ها و توان های یکسان دارید، می توانید عملیات جمع را با عملیات ضرب جایگزین کنید. به عنوان مثال، با توجه به عبارت 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). به یاد داشته باشید که مدرک 4 5 (\displaystyle 4^(5))را می توان در فرم نشان داد 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); بنابراین، 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(که 1 +1 = 2). یعنی تعداد درجات مشابه را بشمارید و سپس آن درجه و این عدد را ضرب کنید. در مثال ما، 4 را به توان پنجم برسانید و سپس نتیجه حاصل را در 2 ضرب کنید. به یاد داشته باشید که عمل جمع را می توان با عملیات ضرب جایگزین کرد، به عنوان مثال 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). در اینجا نمونه های دیگری وجود دارد:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، توان آنها اضافه می شود (پایه تغییر نمی کند).به عنوان مثال، با توجه به عبارت x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). در این مورد، شما فقط باید نشانگرها را اضافه کنید و پایه را بدون تغییر رها کنید. بنابراین، x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). در اینجا توضیح تصویری این قانون آورده شده است:

      هنگام افزایش توان به توان، توان ها ضرب می شوند.مثلا مدرک داده می شود. از آنجایی که توان ها ضرب می شوند، پس (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). نکته این قانون این است که شما در توان ها ضرب می کنید (x 2) (\displaystyle (x^(2)))پنج بار روی خودش مثل این:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • از آنجایی که پایه یکسان است، توان ها به سادگی جمع می شوند: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. توانی با توان منفی باید به کسری (قدرت معکوس) تبدیل شود.اگر نمی دانید مدرک متقابل چیست، مهم نیست. اگر مدرکی با توان منفی به شما داده شود، به عنوان مثال. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2))، این درجه را در مخرج کسر بنویسید (در عدد 1 قرار دهید) و توان را مثبت کنید. در مثال ما: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). در اینجا نمونه های دیگری وجود دارد:

      هنگام تقسیم درجه ها با پایه یکسان، توان آنها کم می شود (مبنا تغییر نمی کند).عمل تقسیم برعکس عمل ضرب است. به عنوان مثال، با توجه به عبارت 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). توان در مخرج را از توان در صورت کم کنید (پایه را تغییر ندهید). بنابراین، 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • توان در مخرج را می توان به صورت زیر نوشت: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 - 2 (\displaystyle 4^(-2)). به یاد داشته باشید که کسر یک عدد (قدرت، بیان) با توان منفی است.

   4. در زیر برخی از عبارات وجود دارد که به شما کمک می کند تا نحوه حل مسائل با توان را بیاموزید.عبارات داده شده مطالب ارائه شده در این بخش را پوشش می دهد. برای دیدن پاسخ کافیست فضای خالی بعد از علامت مساوی را انتخاب کنید.

   حل مسائل با توان کسری

   توانی با توان کسری (مثلاً ) به عملیات ریشه تبدیل می شود.در مثال ما: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). در اینجا مهم نیست که چه عددی در مخرج کسری باشد. به عنوان مثال، x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- ریشه چهارم "x" است، یعنی x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. اگر توان کسری نامناسب باشد، می توان آن را به دو توان تجزیه کرد تا حل مسئله ساده شود. هیچ چیز پیچیده ای در این مورد وجود ندارد - فقط قانون ضرب قدرت را به خاطر بسپارید. مثلا مدرک داده می شود. چنین توانی را به ریشه ای تبدیل کنید که توان آن برابر با مخرج کسری باشد و سپس این ریشه را به توانی برابر با عدد ضریب کسری برسانید. برای انجام این کار، آن را به خاطر بسپارید = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3))*5)

      • . در مثال ما:
      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
   2. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   3. برخی از ماشین‌حساب‌ها دکمه‌ای برای محاسبه توان دارند (ابتدا باید پایه را وارد کنید، سپس دکمه را فشار دهید و سپس نما را وارد کنید). به صورت ^ یا x^y نشان داده می شود. به یاد داشته باشید که هر عددی به توان اول برابر با خودش است، برای مثال، 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) علاوه بر این، هر عددی که در یک ضرب یا تقسیم شود با خودش مساوی است، به عنوان مثال. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) و.
   4. 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) بدانید که توان 0 0 وجود ندارد (چنین توانی راه حلی ندارد). اگر بخواهید چنین مدرکی را در ماشین حساب یا کامپیوتر حل کنید، با خطا مواجه خواهید شد. اما به یاد داشته باشید که برای مثال هر عددی به توان صفر 1 است،
   5. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) در ریاضیات عالی که با اعداد خیالی عمل می کند: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) ، کجا; e یک ثابت تقریبا برابر با 2.7 است. a یک ثابت دلخواه است. اثبات این برابری را می توان در هر کتاب درسی ریاضیات عالی یافت.

   هشدارها

   • با افزایش نما، مقدار آن به شدت افزایش می یابد. بنابراین اگر پاسخ به نظر شما اشتباه است، ممکن است در واقع درست باشد. شما می توانید این را با ترسیم هر کدام بررسی کنید تابع نماییمثلا 2 x .

بالا بردن توان منفی یکی از عناصر اساسی ریاضیات است که اغلب در حل مسائل جبری با آن مواجه می شویم. در زیر دستورالعمل های دقیق ارائه شده است.

چگونه به یک قدرت منفی برسیم - نظریه

وقتی عددی را به توان معمولی برسانیم، مقدار آن را چندین برابر می کنیم. به عنوان مثال، 3 3 = 3×3×3 = 27. با کسر منفی برعکس آن صادق است. نمای کلیطبق فرمول به این صورت خواهد بود: a -n = 1/a n. بنابراین، برای افزایش یک عدد به توان منفی، باید یک را بر عدد داده شده تقسیم کنید، اما به توان مثبت.

چگونه به توان منفی برسیم - مثال هایی در اعداد معمولی

با در نظر گرفتن قانون فوق، اجازه دهید چند مثال را حل کنیم.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
جواب: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
پاسخ -4 -2 = 1/16.

اما چرا پاسخ های مثال اول و دوم یکسان است؟ واقعیت این است که هنگام ساخت عدد منفیبه قدرت زوج (2، 4، 6، و غیره)، علامت مثبت می شود. اگر درجه زوج بود، منفی باقی می ماند:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

چگونه به توان منفی برسیم - اعداد از 0 تا 1

به یاد بیاورید که وقتی عددی بین 0 و 1 به توان مثبت افزایش می یابد، با افزایش توان، مقدار کاهش می یابد. به عنوان مثال، 0.5 2 = 0.25. 0.25

مثال 3: 0.5 -2 را محاسبه کنید
راه حل: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
پاسخ: 0.5 -2 = 4

تجزیه و تحلیل (توالی اقدامات):

• ترجمه می کنیم اعشاری 0.5 تا کسری 1/2. اینجوری راحت تره
  1/2 را به توان منفی برسانید. 1/(2) -2 . 1 را بر 1/(2) 2 تقسیم کنید، 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 بدست می آید

مثال 4: 0.5 -3 را محاسبه کنید
راه حل: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

مثال 5: -0.5 -3 را محاسبه کنید
راه حل: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
پاسخ: -0.5 -3 = -8

بر اساس مثال های چهارم و پنجم، می توان چندین نتیجه گرفت:

• برای یک عدد مثبت در محدوده 0 تا 1 (مثال 4) که به توان منفی افزایش یافته است، زوج یا فرد بودن توان آن مهم نیست، مقدار عبارت مثبت خواهد بود. علاوه بر این، هر چه درجه بالاتر باشد، ارزش بیشتری دارد.
• برای یک عدد منفی در محدوده 0 تا 1 (مثال 5) که به توان منفی افزایش یافته است، زوج یا فرد بودن توان آن مهم نیست، مقدار عبارت منفی خواهد بود. در این حالت، هر چه درجه بالاتر باشد، مقدار آن کمتر است.

چگونه به توان منفی برسیم - توانی به شکل یک عدد کسری

عبارات این نوع شکل زیر را دارند: a -m/n که a یک عدد منظم است، m صورت‌گر درجه، n مخرج درجه است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
محاسبه کنید: 8 -1/3

راه حل (توالی اقدامات):

• بیایید قانون افزایش یک عدد به توان منفی را به خاطر بسپاریم. دریافت می کنیم: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• توجه کنید که مخرج عدد 8 به توان کسری است. شکل کلی محاسبه توان کسری به شرح زیر است: a m/n = n √8 m.
• بنابراین، 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). می گیریم ریشه مکعبیاز هشت که برابر است با 2. از اینجا 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• پاسخ: 8 -1/3 = 2

از مدرسه، همه ما قانون قدرت را می دانیم: هر عددی با توان N برابر است با حاصل ضرب این عدد در خود N در تعداد دفعات. به عبارت دیگر، 7 به توان 3، 7 در خودش سه برابر می شود، یعنی 343. قاعده دیگر این است که با بالا بردن هر کمیتی به توان 0، یک می شود و افزایش یک کمیت منفی، نتیجه افزایش معمولی به 0 است. توان اگر زوج باشد و همان نتیجه با علامت منفی اگر فرد باشد.

قوانین همچنین پاسخی به چگونگی افزایش یک عدد به توان منفی می دهند. برای انجام این کار، باید مقدار مورد نیاز را با مدول نشانگر به روش معمول بالا ببرید و سپس واحد را بر نتیجه تقسیم کنید.

از این قوانین مشخص می شود که انجام کارهای واقعی که شامل مقادیر زیاد است نیاز به حضور دارد وسایل فنی. به صورت دستی می توانید حداکثر دامنه ای از اعداد را تا بیست تا سی و سپس بیش از سه یا چهار برابر ضرب کنید. این به معنای تقسیم یک بر نتیجه نیست. بنابراین، برای کسانی که ماشین حساب مهندسی خاصی در دست ندارند، به شما خواهیم گفت که چگونه یک عدد را در اکسل به توان منفی برسانید.

حل مسائل در اکسل

برای حل مشکلات ساخت و ساز در مدرک اکسلبه شما امکان می دهد از یکی از دو گزینه استفاده کنید.

اولین مورد استفاده از فرمول با علامت استاندارد "درپوش" است. داده های زیر را در سلول های کاربرگ وارد کنید:

به همین ترتیب، می توانید مقدار مورد نظر را به هر توانی افزایش دهید - منفی، کسری. بیایید آن را انجام دهیم مراحل بعدیو به این سوال پاسخ دهید که چگونه یک عدد را به توان منفی برسانیم؟ مثال:

شما می توانید =B2^-C2 را مستقیماً در فرمول تصحیح کنید.

گزینه دوم استفاده از تابع آماده "Degree" است که دو آرگومان مورد نیاز - یک عدد و یک توان را می گیرد. برای شروع استفاده از آن، فقط علامت مساوی (=) را در هر سلول آزاد که نشان دهنده ابتدای فرمول است، قرار دهید و کلمات بالا را وارد کنید. تنها چیزی که باقی می ماند این است که دو سلول را انتخاب کنید که در عملیات شرکت می کنند (یا اعداد خاصی را به صورت دستی مشخص کنید) و کلید Enter را فشار دهید. بیایید به چند مثال ساده نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد چگونگی افزایش یک عدد به توان منفی و به توان معمولی با استفاده از اکسل وجود ندارد. از این گذشته ، برای حل این مشکل ، می توانید از نماد آشنای "درب" و عملکرد داخلی برنامه استفاده کنید که به راحتی قابل یادآوری است. این یک مزیت قطعی است!

بیایید به مثال های پیچیده تر برویم. بیایید قانون نحوه افزایش یک عدد به توان کسری منفی را به خاطر بیاوریم و خواهیم دید که این مشکل در اکسل به راحتی حل می شود.

شاخص های کسری

به طور خلاصه الگوریتم محاسبه عدد با توان کسری به شرح زیر است.

1. کسری را به کسر مناسب یا نامناسب تبدیل کنید.
2. عدد ما را به عدد کسر تبدیل شده به دست می آوریم.
3. از عدد به دست آمده در پاراگراف قبل، ریشه را محاسبه کنید، با این شرط که توان ریشه، مخرج کسری به دست آمده در مرحله اول باشد.

موافق باشید که حتی در هنگام کار با تعداد کم و کسرهای صحیحچنین محاسباتی می تواند زمان زیادی را ببرد. خوب است که پردازنده صفحه‌گسترده اکسل اهمیتی نمی‌دهد که چه عددی با چه قدرتی افزایش می‌یابد. مثال زیر را در یک کاربرگ اکسل حل کنید:

با استفاده از قوانین فوق می توانید بررسی کنید و مطمئن شوید که محاسبه به درستی انجام شده است.

در پایان مقاله ما در قالب یک جدول با فرمول ها و نتایج چندین مثال از نحوه افزایش یک عدد به توان منفی و همچنین چندین مثال از عملکرد با اعداد و توان های کسری را ارائه خواهیم داد.

جدول نمونه

نمونه های زیر را در کاربرگ اکسل خود بررسی کنید. برای اینکه همه چیز به درستی کار کند، هنگام کپی کردن فرمول باید از یک مرجع ترکیبی استفاده کنید. شماره ستون حاوی عدد در حال افزایش و تعداد ردیف حاوی نشانگر را ثابت کنید. فرمول شما باید چیزی شبیه این باشد: "=$B4^C$3."

لطفاً توجه داشته باشید که اعداد مثبت (حتی اعداد غیر صحیح) را می توان بدون مشکل برای هر توان محاسبه کرد. هیچ مشکلی با افزایش اعداد به اعداد صحیح وجود ندارد. اما افزایش یک عدد منفی به توان کسری برای شما اشتباه خواهد بود، زیرا پیروی از قاعده ذکر شده در ابتدای مقاله ما در مورد افزایش اعداد منفی غیرممکن است، زیرا برابری مشخصه منحصراً یک عدد کل است.

عددی که به قدرت رسیده استبه عددی زنگ می زنند که در خودش چند برابر شود.

توان یک عدد با مقدار منفی (a - n) را می توان به روشی مشابه با نحوه تعیین توان همان عدد با توان مثبت تعیین کرد (a n) . با این حال، همچنین نیاز به تعریف اضافی دارد. فرمول به صورت زیر تعریف می شود:

a-n = (1/a n)

خواص توان های منفی اعداد شبیه به توان هایی با توان مثبت است. معادله ارائه شده الف m/a n= m-n ممکن است منصفانه باشد

« در هیچ کجا، مانند ریاضیات، وضوح و دقت نتیجه گیری به شخص اجازه نمی دهد که با صحبت کردن در مورد سؤال، از پاسخ خود خلاص شود.».

A. D. Alexandrov

در n بیشتر متر ، و با متر بیشتر n . بیایید به یک مثال نگاه کنیم: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

ابتدا باید عددی را تعیین کنید که به عنوان تعریف مدرک عمل می کند. b=a(-n) . در این مثال -n یک توان است ب - مقدار عددی مورد نظر، الف - پایه درجه به صورت طبیعی مقدار عددی. سپس ماژول را تعیین کنید، یعنی قدر مطلق یک عدد منفی، که به عنوان یک توان عمل می کند. توان یک عدد نسبی معین را محاسبه کنید عدد مطلق، به عنوان یک شاخص مقدار درجه از تقسیم یک بر عدد حاصل بدست می آید.

برنج. 1

توان عددی با توان کسری منفی را در نظر بگیرید. بیایید تصور کنیم که عدد a هر عدد مثبت، اعداد است n و متر - اعداد طبیعی طبق تعریف الف ، که به قدرت بالا می رود - برابر است با یک تقسیم بر همان عدد با توان مثبت (شکل 1). وقتی توان یک عدد کسری باشد، در چنین مواردی فقط از اعداد با توان مثبت استفاده می شود.

ارزش یادآوری را داردکه صفر هرگز نمی تواند نماگر یک عدد باشد (قاعده تقسیم بر صفر).

گسترش چنین مفهومی به عنوان عدد تبدیل به دستکاری هایی مانند محاسبات اندازه گیری و همچنین توسعه ریاضیات به عنوان یک علم شد. معرفی مقادیر منفی به دلیل توسعه جبر بود که باعث شد راه حل های کلیمسائل حسابی، صرف نظر از معنای خاص آنها و داده های عددی اولیه. در هند، در قرن 6 تا 11، اعداد منفی به طور سیستماتیک هنگام حل مسائل استفاده می شد و به همان شیوه امروزی تفسیر می شد. در علم اروپا، اعداد منفی به لطف R. Descartes که تفسیر هندسی اعداد منفی را به عنوان جهت بخش ها ارائه کرد، به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفتند. این دکارت بود که تعیین یک عدد افزایش یافته به توان را به عنوان یک فرمول دو طبقه پیشنهاد کرد. a n .

را می توان با استفاده از ضرب پیدا کرد. به عنوان مثال: 5+5+5+5+5+5=5x6. به چنین عبارتی گفته می‌شود که مجموع عبارت‌های مساوی در یک محصول جمع می‌شود. و بالعکس، اگر این برابری را از راست به چپ بخوانیم، متوجه می شویم که مجموع عبارت های مساوی را گسترش داده ایم. به همین ترتیب، می توانید حاصل ضرب چندین عامل مساوی 5x5x5x5x5x5=5 6 را جمع کنید.

یعنی به جای ضرب شش عامل یکسان 5x5x5x5x5x5، 5 6 می نویسند و می گویند "پنج به توان ششم".

عبارت 5 6 توانی از یک عدد است که در آن:

5 - پایه درجه؛

6 - توان

اعمالی که حاصل آن حاصل ضرب عوامل مساوی به توان کاهش می یابد نامیده می شوند بالا بردن به یک قدرت

به طور کلی یک درجه با پایه "a" و توان "n" به صورت زیر نوشته می شود:

افزایش عدد a به توان n به معنای یافتن حاصل ضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است.

اگر پایه درجه "a" برابر با 1 باشد، مقدار درجه برای هر عدد طبیعی n برابر با 1 خواهد بود. برای مثال، 1 5 = 1، 1 256 = 1.

اگر عدد "a" را به درجه اول، سپس خود عدد a را می گیریم: a 1 = a

اگر هر عددی را به صفر درجه، سپس در نتیجه محاسبات یک عدد بدست می آوریم. a 0 = 1

قدرت های دوم و سوم یک عدد خاص محسوب می شوند. نام هایی برایشان آوردند: درجه دوم نام دارد مربع عدد، سوم - مکعباین عدد

هر عددی را می توان به توان افزایش داد - مثبت، منفی یا صفر. در این مورد، قوانین زیر اعمال نمی شود:

هنگام پیدا کردن توان یک عدد مثبت، نتیجه یک عدد مثبت است.

هنگام محاسبه صفر به توان طبیعی، صفر می گیریم.

x m · x n = x m + n

به عنوان مثال: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

به قدرت ها را با همان پایه ها تقسیم کنیدما مبنا را تغییر نمی دهیم، بلکه توان ها را کم می کنیم:

x m / x n = x m - n ، کجا، m > n،

به عنوان مثال: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

هنگام محاسبه بالا بردن یک قدرت به یک قدرتمبنا را تغییر نمی دهیم، بلکه توان ها را در یکدیگر ضرب می کنیم.

(در متر ) n = y m n

به عنوان مثال: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y متر ,

به عنوان مثال: (2 3) 3 = 2 n 3 m،

هنگام انجام محاسبات بر اساس بالا بردن کسری به توانصورت و مخرج کسری را به توان داده شده افزایش می دهیم

(x/y)n = x n / y n

به عنوان مثال: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

توالی محاسبات هنگام کار با عبارات حاوی درجه.

هنگام انجام محاسبات عبارات بدون پرانتز، اما حاوی توان، اول از همه، آنها قدرت، سپس ضرب و تقسیم، و تنها پس از آن عملیات جمع و تفریق را انجام می دهند.

اگر نیاز به محاسبه عبارتی حاوی براکت دارید، ابتدا محاسبات داخل پرانتز را به ترتیب ذکر شده در بالا انجام دهید و سپس اعمال باقی مانده را به همان ترتیب از چپ به راست انجام دهید.

به طور گسترده در محاسبات عملی، از جداول آماده توان ها برای ساده کردن محاسبات استفاده می شود.

درس و ارائه با موضوع: "نما با توان منفی. تعریف و مثال هایی از حل مسئله"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، نقدها، خواسته های خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس 8
راهنمای کتاب درسی Muravin G.K.   

راهنمای کتاب درسی توسط Alimov Sh.A.

به عنوان مثال: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
ما خوب می دانیم که هر عددی به توان صفر برابر با یک است. $a^0=1$، $a≠0$.
این سوال پیش می آید که اگر عددی را به توان منفی برسانید چه اتفاقی می افتد؟ به عنوان مثال، عدد $2^(-2)$ برابر با چه چیزی خواهد بود؟
اولین ریاضیدانانی که این سوال را مطرح کردند به این نتیجه رسیدند که ارزش اختراع مجدد چرخ را ندارد و خوب است که تمام خصوصیات درجه ها ثابت بماند. یعنی هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، توان ها با هم جمع می شوند.
بیایید این مورد را در نظر بگیریم: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

ما دریافتیم که حاصل ضرب چنین اعدادی باید یک را نشان دهد. واحد در حاصل ضرب با ضرب اعداد متقابل یعنی $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$ بدست می آید.
چنین استدلالی به تعریف زیر منجر شد. تعریف. اگر $n$ -عدد طبیعی

و $a≠0$، سپس برابری برقرار است: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
یک هویت مهم که اغلب استفاده می شود این است: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

به طور خاص، $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

محاسبه کنید: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
راه حل.
بیایید هر اصطلاح را جداگانه در نظر بگیریم.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) دلار.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
باقی مانده است که عملیات جمع و تفریق را انجام دهیم: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) دلار.
پاسخ: $6\frac(1)(4)$.

مثال 2.
یک عدد داده شده را به عنوان توان نمایش دهید عدد اول$\frac(1)(729)$.

محاسبه کنید: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
بدیهی است که $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
اما 729 عدد اولی نیست که به 9 ختم شود. می توان فرض کرد که این عدد توان سه است. 729 را به طور پیوسته بر 3 تقسیم کنید.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
شش عملیات انجام شد و این یعنی: 729$=3^6$.
برای وظیفه ما:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
پاسخ: $3^(-6)$.

مثال 3. عبارت را به صورت توان بیان کنید: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
راه حل. اولین عمل همیشه در داخل پرانتز انجام می شود، سپس ضرب $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
پاسخ: $a$.

مثال 4. اثبات هویت:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

راه حل.
در سمت چپ، هر فاکتور را در براکت ها جداگانه در نظر می گیریم.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x)) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. بریم سراغ کسری که بر آن تقسیم می کنیم.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. بیایید تقسیم را انجام دهیم.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
ما هویت درست را به دست آوردیم، چیزی که باید ثابت می کردیم.

در پایان درس، یک بار دیگر قوانین کار با قدرت ها را یادداشت می کنیم، در اینجا توان یک عدد صحیح است.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

بالا بردن توان منفی یکی از عناصر اساسی ریاضیات است و اغلب در حل مسائل جبری با آن مواجه می‌شویم. در زیر دستورالعمل های دقیق ارائه شده است.

چگونه به یک قدرت منفی برسیم - نظریه

وقتی عددی را به توان معمولی برسانیم، مقدار آن را چندین برابر می کنیم. به عنوان مثال، 3 3 = 3×3×3 = 27. با کسر منفی برعکس آن صادق است. شکل کلی فرمول به صورت زیر خواهد بود: a -n = 1/a n. بنابراین، برای افزایش یک عدد به توان منفی، باید یک را بر عدد داده شده تقسیم کنید، اما به توان مثبت.

چگونه به توان منفی برسیم - مثال هایی در اعداد معمولی

با در نظر گرفتن قانون فوق، اجازه دهید چند مثال را حل کنیم.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
جواب: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
پاسخ -4 -2 = 1/16.

اما چرا پاسخ های مثال اول و دوم یکسان است؟ واقعیت این است که وقتی یک عدد منفی به توان زوج (2، 4، 6 و غیره) می‌رسد، علامت مثبت می‌شود. اگر درجه زوج بود، منفی باقی می ماند:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

چگونه اعداد را از 0 به 1 به توان منفی برسانیم

به یاد بیاورید که وقتی عددی بین 0 و 1 به توان مثبت افزایش می یابد، با افزایش توان، مقدار کاهش می یابد. به عنوان مثال، 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

مثال 3: 0.5 -2 را محاسبه کنید
راه حل: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
پاسخ: 0.5 -2 = 4

تجزیه و تحلیل (توالی اقدامات):

• کسر اعشاری 0.5 را به کسر کسری 1/2 تبدیل کنید. اینجوری راحت تره
  1/2 را به توان منفی برسانید. 1/(2) -2 . 1 را بر 1/(2) 2 تقسیم کنید، 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 بدست می آید

مثال 4: 0.5 -3 را محاسبه کنید
راه حل: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

مثال 5: -0.5 -3 را محاسبه کنید
راه حل: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
پاسخ: -0.5 -3 = -8

بر اساس مثال های چهارم و پنجم، می توان چندین نتیجه گرفت:

• برای یک عدد مثبت در محدوده 0 تا 1 (مثال 4) که به توان منفی افزایش یافته است، زوج یا فرد بودن توان آن مهم نیست، مقدار عبارت مثبت خواهد بود. علاوه بر این، هر چه درجه بالاتر باشد، ارزش بیشتری دارد.
• برای یک عدد منفی در محدوده 0 تا 1 (مثال 5) که به توان منفی افزایش یافته است، زوج یا فرد بودن توان آن مهم نیست، مقدار عبارت منفی خواهد بود. در این حالت، هر چه درجه بالاتر باشد، مقدار آن کمتر است.

چگونه به توان منفی برسیم - توانی به شکل یک عدد کسری

عبارات این نوع شکل زیر را دارند: a -m/n که a یک عدد منظم است، m صورت‌گر درجه، n مخرج درجه است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
محاسبه کنید: 8 -1/3

راه حل (توالی اقدامات):

• بیایید قانون افزایش یک عدد به توان منفی را به خاطر بسپاریم. دریافت می کنیم: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• توجه کنید که مخرج عدد 8 به توان کسری است. شکل کلی محاسبه توان کسری به شرح زیر است: a m/n = n √8 m.
• بنابراین، 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). ریشه مکعب هشت را می گیریم که برابر با 2 است. از اینجا 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2 است.
• پاسخ: 8 -1/3 = 2