ماژول یکی از آن چیزهایی است که به نظر می رسد همه درباره آن شنیده اند، اما در واقعیت هیچ کس واقعاً نمی فهمد. بنابراین، امروز یک درس بزرگ اختصاص داده شده به حل معادلات با ماژول ها خواهد بود.

فوراً می گویم: درس دشوار نخواهد بود. و به طور کلی، ماژول ها یک موضوع نسبتا ساده هستند. "بله، البته، پیچیده نیست! ذهنم را به هم می زند!» - بسیاری از دانش آموزان خواهند گفت، اما همه این شکستگی های مغزی به این دلیل اتفاق می افتد که اکثر مردم دانش در سر خود ندارند، بلکه نوعی مزخرف هستند. و هدف این درس تبدیل مزخرفات به دانش است.

کمی تئوری

پس بزن بریم. بیایید با مهمترین چیز شروع کنیم: ماژول چیست؟ اجازه دهید یادآوری کنم که مدول یک عدد به سادگی همان عدد است، اما بدون علامت منفی گرفته می شود. یعنی مثلا $\left| -5 \right|=5$. یا $\ چپ| -129.5 \right|=129.5$.

به همین سادگی است؟ بله ساده پس قدر مطلق یک عدد مثبت چیست؟ اینجا حتی ساده تر است: مدول یک عدد مثبت برابر با خود این عدد است: $\left| 5 \right|=5$; $\ چپ| 129.5 \right|=129.5$ و غیره

یک چیز عجیب به نظر می رسد: اعداد مختلفممکن است همان ماژول را داشته باشد. به عنوان مثال: $\left| -5 \راست|=\چپ| 5 \right|=5$; $\ چپ| -129.5 \راست|=\چپ| 129.5\right|=129.5$. به راحتی می توان فهمید که این اعداد چه نوع اعدادی هستند که ماژول های آنها یکسان است: این اعداد مخالف هستند. بنابراین، ما برای خود توجه می کنیم که ماژول های اعداد مخالف برابر هستند:

\[\چپ| -a \راست|=\چپ| a\درست|\]

یکی دیگر واقعیت مهم: مدول هرگز منفی نیست. هر عددی را که می گیریم - چه مثبت و چه منفی - مدول آن همیشه مثبت (یا در موارد شدید، صفر) می شود. به همین دلیل است که مدول اغلب قدر مطلق یک عدد نامیده می شود.

علاوه بر این، اگر تعریف مدول را برای مثبت و ترکیب کنیم عدد منفی، سپس یک تعریف جهانی از ماژول برای همه اعداد دریافت می کنیم. یعنی: مدول یک عدد اگر عدد مثبت (یا صفر) باشد با خود عدد برابر است و اگر عدد منفی باشد برابر با عدد مقابل است. می توانید این را به صورت فرمول بنویسید:

مدول صفر نیز وجود دارد، اما همیشه برابر با صفر است. علاوه بر این، صفر تنها عددی است که مخالف ندارد.

بنابراین، اگر تابع $y=\left| را در نظر بگیریم x \right|$ و سعی کنید نمودار آن را رسم کنید، چیزی شبیه به این خواهید داشت:

نمودار مدول و مثال حل معادله

از این تصویر بلافاصله مشخص است که $\left| -m \راست|=\چپ| m \right|$، و نمودار مدول هرگز زیر محور x قرار نمی گیرد. اما این همه ماجرا نیست: خط قرمز خط مستقیم $y=a$ را نشان می‌دهد، که برای مثبت $a$، دو ریشه را همزمان به ما می‌دهد: $((x)_(1))$ و $((x) _(2)) دلار، اما بعداً در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

علاوه بر تعریف صرفاً جبری، یک تعریف هندسی نیز وجود دارد. فرض کنید دو نقطه روی خط اعداد وجود دارد: $((x)_(1))$ و $((x)_(2))$. در این حالت عبارت $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ به سادگی فاصله بین نقاط مشخص شده است. یا اگر ترجیح می دهید، طول قطعه ای که این نقاط را به هم متصل می کند:

این تعریف همچنین بیانگر این است که مدول همیشه غیر منفی است. اما تعاریف و تئوری کافی - بیایید به معادلات واقعی برویم.

فرمول پایه

خوب، ما تعریف را مرتب کردیم. اما این کار را آسانتر نکرد. چگونه معادلات حاوی همین ماژول را حل کنیم؟

آرام، فقط آرام. بیایید با ساده ترین چیزها شروع کنیم. چیزی شبیه به این را در نظر بگیرید:

\[\چپ| x\راست|=3\]

بنابراین مدول $x$ 3 است. $x$ با چه چیزی می تواند برابر باشد؟ خوب، با قضاوت بر اساس تعریف، ما با $x=3$ کاملا راضی هستیم. واقعا:

\[\چپ| 3\راست|=3\]

آیا اعداد دیگری وجود دارد؟ به نظر می رسد کلاه به این موضوع اشاره می کند که وجود دارد. برای مثال، $x=-3$ نیز $\left| است -3 \right|=3$، یعنی. برابری مورد نیاز برآورده می شود.

پس شاید اگر جستجو کنیم و فکر کنیم اعداد بیشتری پیدا کنیم؟ اما اجازه دهید با آن روبرو شویم: هیچ عدد دیگری وجود ندارد. معادله $\left| x \right|=3$ فقط دو ریشه دارد: $x=3$ و $x=-3$.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اجازه دهید تابع $f\left(x \right)$ به جای متغیر $x$ زیر علامت مدول آویزان شود و به جای سه گانه سمت راست قرار دهیم. شماره دلخواه$a$. معادله را بدست می آوریم:

\[\چپ| f\left(x \راست) \راست|=a\]

پس چگونه می توانیم این را حل کنیم؟ اجازه دهید یادآوری کنم: $f\left(x \right)$ یک تابع دلخواه است، $a$ هر عددی است. آن ها اصلاً هر چیزی! مثلا:

\[\چپ| 2x+1 \راست|=5\]

\[\چپ| 10x-5 \راست|=-65\]

به معادله دوم توجه کنیم. بلافاصله می توانید در مورد او بگویید: او ریشه ندارد. چرا؟ همه چیز درست است: زیرا مستلزم آن است که مدول برابر با یک عدد منفی باشد، که هرگز اتفاق نمی افتد، زیرا از قبل می دانیم که مدول همیشه یک عدد مثبت یا در موارد شدید، صفر است.

اما با معادله اول همه چیز سرگرم کننده تر است. دو گزینه وجود دارد: یا یک عبارت مثبت در زیر علامت مدول وجود دارد و سپس $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ یا این عبارت هنوز منفی است و سپس $\left| 2x+1 \راست|=-\چپ(2x+1 \راست)=-2x-1$. در حالت اول، معادله ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[\چپ| 2x+1 \راست|=5\راست فلش 2x+1=5\]

و ناگهان معلوم شد که عبارت زیر مدولار $2x+1$ واقعا مثبت است - برابر با عدد 5 است. ما می توانیم با خیال راحت این معادله را حل کنیم - ریشه حاصل بخشی از پاسخ خواهد بود:

کسانی که به خصوص بی اعتماد هستند می توانند سعی کنند ریشه پیدا شده را جایگزین معادله اصلی کنند و مطمئن شوند که واقعاً یک عدد مثبت زیر مدول وجود دارد.

حال بیایید به مورد یک عبارت زیر مدولار منفی نگاه کنیم:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end (align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \پیکان راست 2x+1=-5\]

اوه! باز هم، همه چیز واضح است: ما فرض کردیم که $2x+1 \lt 0$، و در نتیجه آن $2x+1=-5$ را دریافت کردیم - در واقع، این عبارت است کمتر از صفر. ما معادله به دست آمده را حل می کنیم، در حالی که از قبل مطمئن هستیم که ریشه پیدا شده برای ما مناسب است:

در مجموع دوباره دو پاسخ دریافت کردیم: $x=2$ و $x=3$. بله، مقدار محاسبات کمی بزرگتر از معادله بسیار ساده $\left| x \right|=3$، اما هیچ چیز اساساً تغییر نکرده است. پس شاید مقداری وجود داشته باشد الگوریتم جهانی?

بله، چنین الگوریتمی وجود دارد. و اکنون آن را تحلیل خواهیم کرد.

خلاص شدن از علامت مدول

اجازه دهید معادله $\left| به ما داده شود f\left(x \right) \right|=a$، و $a\ge 0$ (در غیر این صورت، همانطور که قبلاً می دانیم، هیچ ریشه ای وجود ندارد). سپس می توانید با استفاده از قانون زیر از شر علامت مدول خلاص شوید:

\[\چپ| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

بنابراین، معادله ما با یک مدول به دو بخش تقسیم می شود، اما بدون مدول. این همه فناوری است! بیایید سعی کنیم چند معادله را حل کنیم. بیایید با این شروع کنیم

\[\چپ| 5x+4 \راست|=10\پیکان راست 5x+4=\pm 10\]

بیایید به طور جداگانه زمانی که یک ده به علاوه در سمت راست وجود دارد، و جداگانه زمانی که یک منفی وجود دارد، در نظر بگیریم. ما داریم:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! ما دو ریشه داریم: $x=1.2$ و $x=-2.8$. کل راه حل به معنای واقعی کلمه دو خط طول کشید.

خوب، بدون شک، بیایید به موضوع کمی جدی تر نگاه کنیم:

\[\چپ| 7-5x\راست|=13\]

دوباره ماژول را با مثبت و منفی باز می کنیم:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\پایان (تراز کردن)\]

دوباره چند خط - و پاسخ آماده است! همانطور که گفتم، هیچ چیز پیچیده ای در مورد ماژول ها وجود ندارد. فقط باید چند قانون را به خاطر بسپارید. بنابراین، ما ادامه می دهیم و با کارهای واقعاً پیچیده تر شروع می کنیم.

مورد یک متغیر سمت راست

حال این معادله را در نظر بگیرید:

\[\چپ| 3x-2 \راست|=2x\]

این معادله با تمام معادلات قبلی تفاوت اساسی دارد. چگونه؟ و این واقعیت که در سمت راست علامت مساوی عبارت $2x$ وجود دارد - و نمی توانیم از قبل بدانیم که مثبت یا منفی است.

در این صورت چه باید کرد؟ اول، ما باید یک بار برای همیشه درک کنیم اگر سمت راست معادله منفی شود، معادله ریشه نخواهد داشت- ما قبلاً می دانیم که ماژول نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.

و ثانیاً، اگر قسمت سمت راست هنوز مثبت است (یا برابر با صفر)، پس می توانید دقیقاً به همان روش قبلی عمل کنید: به سادگی ماژول را جداگانه با علامت مثبت و جداگانه با علامت منفی باز کنید.

بنابراین، یک قانون برای توابع دلخواه $f\left(x \right)$ و $g\left(x \right)$ فرموله می‌کنیم:

\[\چپ| f\left(x \right) \right|=g\left(x \راست)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \راست ), \\& g\left(x \راست)\ge 0. \\\end (تراز کردن) \راست.\]

در رابطه با معادله ما بدست می آوریم:

\[\چپ| 3x-2 \راست|=2x\راست فلش \چپ\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end (تراز کردن) \راست.\]

خوب، ما به نوعی با نیاز $2x\ge 0$ مقابله خواهیم کرد. در نهایت، می توانیم ریشه هایی را که از معادله اول به دست می آوریم احمقانه جایگزین کنیم و بررسی کنیم که آیا نابرابری برقرار است یا خیر.

پس بیایید خود معادله را حل کنیم:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

خوب، کدام یک از این دو ریشه نیاز $2x\ge 0$ را برآورده می کند؟ بله هر دو! بنابراین، پاسخ دو عدد خواهد بود: $x=(4)/(3)\;$ و $x=0$. راه حل همینه :)

من گمان می کنم که برخی از دانش آموزان در حال حاضر شروع به خسته شدن کرده اند؟ خوب، اجازه دهید به یک معادله پیچیده تر نگاه کنیم:

\[\چپ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \راست|=x-((x)^(3))\]

اگرچه بد به نظر می رسد، اما در واقع هنوز همان معادله شکل "مدول برابر است با تابع" است:

\[\چپ| f\left(x \right) \right|=g\left(x \راست)\]

و دقیقاً به همین ترتیب حل می شود:

\[\چپ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \راست|=x-((x)^(3))\پیکان راست \چپ\( \begin(تراز)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \چپ(x-((x)^(3)) \راست)، \\& x-((x )^(3)\ge 0. \\\end (تراز کردن) \راست.\]

ما بعداً با نابرابری برخورد خواهیم کرد - این به نوعی خیلی بد است (در واقع ساده است اما ما آن را حل نمی کنیم). در حال حاضر، بهتر است به معادلات حاصل بپردازیم. بیایید مورد اول را در نظر بگیریم - این زمانی است که ماژول با علامت مثبت گسترش می یابد:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

خوب، این که شما باید همه چیز را از سمت چپ جمع آوری کنید، موارد مشابه را بیاورید و ببینید چه اتفاقی می افتد، بی فکر نیست. و این چیزی است که اتفاق می افتد:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\پایان (تراز کردن)\]

فاکتور مشترک $((x)^(2))$ را از پرانتز خارج می کنیم و یک معادله بسیار ساده بدست می آوریم:

\[((x)^(2))\چپ(2x-3 \راست)=0\پیکان راست \چپ[ \begin(تراز)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\پایان(تراز) \راست.\]

\[((x)_(1))=0;\چهار ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

در اینجا ما از یک ویژگی مهم محصول استفاده کردیم که به خاطر آن چند جمله ای اصلی را فاکتور گرفتیم: حاصل ضرب برابر با صفر است زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد.

حال بیایید دقیقاً به همین ترتیب با معادله دوم برخورد کنیم که با گسترش ماژول با علامت منفی به دست می آید:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

باز هم همان: حاصل ضرب برابر با صفر است که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد. ما داریم:

\[\چپ[ \شروع(تراز)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

خوب، ما سه ریشه داریم: $x=0$، $x=1.5$ و $x=(2)/(3)\;$. خوب، کدام یک از این مجموعه وارد پاسخ نهایی می شود؟ برای انجام این کار، به یاد داشته باشید که یک محدودیت اضافی به شکل نابرابری داریم:

چگونه این نیاز را در نظر بگیریم؟ بیایید فقط ریشه های پیدا شده را جایگزین کنیم و بررسی کنیم که آیا نابرابری برای این $x$ وجود دارد یا خیر. ما داریم:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\فلش راست x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\پیکان راست x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، ریشه $x=1.5$ برای ما مناسب نیست. و در پاسخ فقط دو ریشه وجود خواهد داشت:

\[((x)_(1))=0;\چهار ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

همانطور که می بینید، حتی در این مورد نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود نداشت - معادلات با ماژول ها همیشه با استفاده از یک الگوریتم حل می شوند. شما فقط باید درک خوبی از چند جمله ای ها و نابرابری ها داشته باشید. بنابراین، ما به کارهای پیچیده تر می رویم - در حال حاضر نه یک، بلکه دو ماژول وجود خواهد داشت.

معادلات با دو ماژول

تا کنون ما فقط بیشتر مطالعه کرده ایم معادلات ساده- یک ماژول بود و چیز دیگری. ما این «چیز دیگر» را به قسمت دیگری از نابرابری، دور از ماژول فرستادیم تا در نهایت همه چیز به معادله ای به شکل $\left| کاهش یابد. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ یا حتی ساده تر $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

ولی مهد کودکبه پایان رسید - وقت آن است که چیز جدی تری را در نظر بگیرید. بیایید با معادلاتی مانند این شروع کنیم:

\[\چپ| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \راست) \راست|\]

این معادله ای از شکل "مدول برابر با مدول" است. اساسا نکته مهمعدم وجود شرایط و عوامل دیگر است: فقط یک ماژول در سمت چپ، یک ماژول دیگر در سمت راست - و نه چیز بیشتر.

اکنون کسی فکر خواهد کرد که حل چنین معادلاتی دشوارتر از آنچه تاکنون مطالعه کرده ایم است. اما نه: حل این معادلات حتی ساده تر است. این فرمول است:

\[\چپ| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \راست)\]

همه! ما به سادگی عبارات زیر مدولار را با قرار دادن علامت مثبت یا منفی در مقابل یکی از آنها برابر می کنیم. و سپس دو معادله حاصل را حل می کنیم - و ریشه ها آماده هستند! بدون محدودیت اضافی، بدون نابرابری و غیره. همه چیز بسیار ساده است.

بیایید سعی کنیم این مشکل را حل کنیم:

\[\چپ| 2x+3 \راست|=\چپ| 2x-7 \راست|\]

واتسون ابتدایی! گسترش ماژول ها:

\[\چپ| 2x+3 \راست|=\چپ| 2x-7 \راست|\پیکان راست 2x+3=\pm \چپ(2x-7 \راست)\]

بیایید هر مورد را جداگانه در نظر بگیریم:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\چپ(2x-7 \راست)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\پایان (تراز کردن)\]

معادله اول ریشه ندارد. زیرا چه زمانی $3=-7$ است؟ در چه مقادیری از $x$؟ "لعنتی $x$ چیست؟ سنگسار شدی؟ شما می گویید که اصلاً $x$ وجود ندارد. و حق با شما خواهد بود. برابری به دست آورده ایم که به متغیر $x$ بستگی ندارد و در عین حال خود تساوی نادرست است. به همین دلیل است که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

با معادله دوم، همه چیز کمی جالب تر، اما همچنین بسیار بسیار ساده است:

همانطور که می بینید، همه چیز به معنای واقعی کلمه در چند خط حل شد - ما از یک معادله خطی انتظار دیگری نداشتیم.

در نتیجه، پاسخ نهایی این است: $x=1$.

خوب چطور؟ دشوار؟ البته که نه. بیایید چیز دیگری را امتحان کنیم:

\[\چپ| x-1 \راست|=\چپ| ((x)^(2))-3x+2 \راست|\]

باز هم معادله ای به شکل $\left| داریم f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. بنابراین، ما بلافاصله آن را بازنویسی می کنیم و علامت مدول را آشکار می کنیم:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \چپ(x-1 \راست)\]

شاید کسی اکنون بپرسد: «هی، چه مزخرفی؟ چرا "بعلاوه منهای" در عبارت سمت راست ظاهر می شود و در سمت چپ ظاهر نمی شود؟" آرام باش، الان همه چیز را توضیح می دهم. در واقع، ما باید معادله خود را به شکل زیر بازنویسی می کردیم:

سپس باید پرانتزها را باز کنید، همه عبارت ها را به یک طرف علامت مساوی منتقل کنید (زیرا معادله، بدیهی است که در هر دو حالت مربع خواهد بود) و سپس ریشه ها را پیدا کنید. اما باید اعتراف کنید: وقتی «بعلاوه منهای» قبل از سه عبارت ظاهر می‌شود (مخصوصاً وقتی یکی از این اصطلاحات یک عبارت درجه دوم است)، به نوعی پیچیده‌تر از وضعیتی به نظر می‌رسد که «بعلاوه منهای» فقط قبل از دو عبارت ظاهر می‌شود.

اما هیچ چیز ما را از بازنویسی معادله اصلی به صورت زیر باز نمی دارد:

\[\چپ| x-1 \راست|=\چپ| ((x)^(2))-3x+2 \راست|\راست فلش \چپ| ((x)^(2))-3x+2 \راست|=\چپ| x-1 \راست|\]

چی شد؟ چیز خاصی نیست: آنها فقط سمت چپ و راست را عوض کردند. یک چیز کوچک که در نهایت زندگی ما را کمی آسان تر می کند.

به طور کلی، این معادله را با در نظر گرفتن گزینه های مثبت و منفی حل می کنیم:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\چپ(x-1 \راست)\پیکان راست ((x)^(2))-2x+1=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

معادله اول دارای ریشه $x=3$ و $x=1$ است. دومی به طور کلی یک مربع دقیق است:

\[((x)^(2))-2x+1=((\چپ(x-1 \راست))^(2))\]

بنابراین، فقط یک ریشه دارد: $x=1$. اما ما قبلاً این ریشه را به دست آورده ایم. بنابراین، تنها دو عدد وارد پاسخ نهایی می شوند:

\[((x)_(1))=3;\چهار ((x)_(2))=1.\]

مأموریت انجام شد! می توانید یک پای از قفسه بردارید و بخورید. 2 تا هست مال شما وسطش :)

یادداشت مهم. وجود ریشه های یکسان برای گزینه های مختلفبسط مدول به این معنی است که چند جمله ای های اصلی فاکتوریزه شده اند و در بین این عوامل لزوما عامل مشترکی وجود خواهد داشت. واقعا:

\[\شروع(تراز)& \چپ| x-1 \راست|=\چپ| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \چپ| x-1 \راست|=\چپ| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\پایان (تراز کردن)\]

یکی از ویژگی های ماژول: $\left| a\cdot b \راست|=\چپ| یک \راست|\cdot \چپ| b \right|$ (یعنی مدول حاصل برابر با حاصل ضرب مدول است)، بنابراین معادله اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\چپ| x-1 \راست|=\چپ| x-1 \راست|\cdot \چپ| x-2 \راست|\]

همانطور که می بینید، ما واقعا یک عامل مشترک داریم. حال، اگر همه ماژول ها را از یک طرف جمع آوری کنید، می توانید این فاکتور را از براکت خارج کنید:

\[\شروع(تراز)& \چپ| x-1 \راست|=\چپ| x-1 \راست|\cdot \چپ| x-2 \right|; \\& \چپ| x-1 \راست|-\چپ| x-1 \راست|\cdot \چپ| x-2 \right|=0; \\& \چپ| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

خوب، حالا به یاد داشته باشید که وقتی حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \راست|=0، \\& \چپ| x-2 \right|=1. \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

بنابراین، معادله اصلی با دو ماژول به دو ساده ترین معادله ای که در همان ابتدای درس در مورد آن صحبت کردیم، کاهش یافته است. چنین معادلاتی را می توان به معنای واقعی کلمه در چند خط حل کرد.

این اظهار نظر ممکن است در عمل پیچیده و غیر ضروری به نظر برسد. با این حال، در واقعیت ممکن است با موارد بسیار بیشتری روبرو شوید وظایف پیچیده، از مواردی که امروز در حال تجزیه و تحلیل هستیم. در آنها، ماژول ها را می توان با چند جمله ای ها، ریشه های حسابی، لگاریتم ها و غیره ترکیب کرد. و در چنین شرایطی، توانایی پایین آوردن درجه کلی معادله با خارج کردن چیزی از براکت می تواند بسیار بسیار مفید باشد.

اکنون می خواهم به معادله دیگری نگاه کنم که در نگاه اول ممکن است دیوانه کننده به نظر برسد. بسیاری از دانش آموزان در آن گیر می کنند، حتی آنهایی که فکر می کنند درک خوبی از ماژول ها دارند.

با این حال، حل این معادله حتی ساده تر از آنچه قبلاً به آن نگاه کردیم، است. و اگر دلیل آن را بفهمید، ترفند دیگری برای حل سریع معادلات با مدول به دست خواهید آورد.

پس معادله این است:

\[\چپ| x-((x)^(3)) \راست|+\چپ| ((x)^(2))+x-2 \راست|=0\]

نه، این یک اشتباه تایپی نیست: این یک امتیاز مثبت بین ماژول ها است. و ما باید دریابیم که مجموع دو ماژول در چه دلاری برابر با صفر است.

به هر حال مشکل چیست؟ اما مشکل اینجاست که هر ماژول یک عدد مثبت یا در موارد شدید صفر است. اگر دو عدد مثبت اضافه کنید چه اتفاقی می افتد؟ واضح است که دوباره یک عدد مثبت است:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\پایان (تراز کردن)\]

خط آخر ممکن است به شما یک ایده بدهد: تنها زمانی که مجموع ماژول ها صفر است این است که هر ماژول صفر باشد:

\[\چپ| x-((x)^(3)) \راست|+\چپ| ((x)^(2))+x-2 \راست|=0\راست فلش \چپ\( \شروع(تراز)& \چپ| x-((x)^(3)) \راست|=0, \\& \چپ|.

و چه زمانی ماژول برابر با صفر است؟ فقط در یک مورد - زمانی که عبارت ساب مدولار برابر با صفر باشد:

\[((x)^(2))+x-2=0\پیکان راست \چپ(x+2 \راست)\چپ(x-1 \راست)=0\پیکان راست \چپ[ \begin(تراز)& x=-2 \\& x=1 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

بنابراین، ما سه نقطه داریم که در آن ماژول اول تنظیم مجدد می شود: 0، 1 و -1. و همچنین دو نقطه که در آن ماژول دوم به صفر بازنشانی می شود: −2 و 1. با این حال، ما نیاز داریم که هر دو ماژول به طور همزمان به صفر برسند، بنابراین از بین اعداد یافت شده باید آنهایی را انتخاب کنیم که در آن گنجانده شده است. هر دو مجموعه بدیهی است که تنها یک عدد وجود دارد: $x=1$ - این پاسخ نهایی خواهد بود.

روش برش

خوب، ما قبلاً یک سری مشکلات را پوشش داده ایم و تکنیک های زیادی را یاد گرفته ایم. فکر می کنی همین است؟ اما نه! اکنون به تکنیک نهایی - و در عین حال مهمترین - نگاه خواهیم کرد. ما در مورد تقسیم معادلات با مدول صحبت خواهیم کرد. ما حتی در مورد چه چیزی صحبت خواهیم کرد؟ بیایید کمی به عقب برگردیم و به یک معادله ساده نگاه کنیم. برای مثال این:

\[\چپ| 3x-5 \راست|=5-3x\]

در اصل، ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین معادله ای را حل کنیم، زیرا یک ساختار استاندارد از شکل $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. اما بیایید سعی کنیم از زاویه کمی متفاوت به این معادله نگاه کنیم. به طور دقیق تر، عبارت زیر علامت مدول را در نظر بگیرید. یادآوری می کنم که مدول هر عددی می تواند برابر با خود عدد باشد یا می تواند مخالف این عدد باشد:

\[\چپ| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end (align) \right.\]

در واقع، این ابهام کل مشکل است: از آنجایی که عدد زیر مدول تغییر می کند (بستگی به متغیر دارد)، مثبت یا منفی بودن آن برای ما مشخص نیست.

اما اگر در ابتدا بخواهید این عدد مثبت باشد چه؟ به عنوان مثال، ما نیاز داریم که $3x-5 \gt 0$ - در این مورد ما تضمین می کنیم که یک عدد مثبت زیر علامت مدول بدست آوریم، و می توانیم کاملاً از شر این مدول خلاص شویم:

بنابراین، معادله ما به یک معادله خطی تبدیل می شود که به راحتی قابل حل است:

درست است، همه این افکار فقط تحت شرایط $3x-5 \gt 0$ معنی دارند - ما خودمان این نیاز را به منظور آشکار کردن بدون ابهام ماژول معرفی کردیم. بنابراین، بیایید $x=\frac(5)(3)$ پیدا شده را جایگزین این شرط کنیم و بررسی کنیم:

به نظر می رسد که برای مقدار مشخص شده $x$ نیاز ما برآورده نمی شود، زیرا این عبارت برابر با صفر است و ما نیاز داریم که به شدت بزرگتر از صفر باشد. غمگین. :(

اما اشکالی ندارد! پس از همه، گزینه دیگری $3x-5 \lt 0$ وجود دارد. علاوه بر این: مورد $3x-5=0$ نیز وجود دارد - این نیز باید در نظر گرفته شود، در غیر این صورت راه حل ناقص خواهد بود. بنابراین، مورد $3x-5 \lt 0$ را در نظر بگیرید:

بدیهی است که ماژول با علامت منفی باز می شود. اما پس از آن وضعیت عجیبی پیش می‌آید: هم در سمت چپ و هم در سمت راست در معادله اصلی، همان عبارت ظاهر می‌شود:

من تعجب می کنم که در چه $x$ عبارت $5-3x$ برابر با عبارت $5-3x$ خواهد بود؟ حتی کاپیتان اوبیوسنس نیز از چنین معادلاتی آب دهان خود را خفه می کند، اما می دانیم: این معادله یک هویت است، یعنی. برای هر مقدار از متغیر درست است!

این بدان معناست که هر $x$ مناسب ما خواهد بود. با این حال، ما یک محدودیت داریم:

به عبارت دیگر، پاسخ یک عدد واحد نیست، بلکه یک بازه کامل خواهد بود:

در نهایت، یک مورد دیگر برای بررسی باقی مانده است: $3x-5=0$. همه چیز در اینجا ساده است: در زیر مدول صفر خواهد بود و مدول صفر نیز برابر با صفر است (این به طور مستقیم از تعریف به دست می آید):

اما سپس معادله اصلی $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ به صورت زیر بازنویسی می شود:

ما قبلاً این ریشه را در بالا زمانی که مورد $3x-5 \gt 0$ را در نظر گرفتیم به دست آوردیم. علاوه بر این، این ریشه یک راه حل برای معادله $3x-5=0$ است - این محدودیتی است که ما خودمان برای تنظیم مجدد ماژول معرفی کردیم.

بنابراین، علاوه بر بازه، به عددی که در انتهای این بازه قرار دارد نیز رضایت خواهیم داد:

مجموع پاسخ نهایی: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ دیدن چنین مزخرفی در پاسخ به یک معادله نسبتاً ساده (اصلاً خطی) با مدول بسیار معمول نیست. واقعاً خوب، به آن عادت کنید: دشواری ماژول این است که پاسخ در چنین معادلاتی می تواند کاملاً غیرقابل پیش بینی باشد.

چیز دیگری بسیار مهمتر است: ما به تازگی یک الگوریتم جهانی برای حل یک معادله با مدول را تجزیه و تحلیل کرده ایم! و این الگوریتم شامل مراحل زیر است:

1. هر مدول در معادله را با صفر برابر کنید. چندین معادله بدست می آوریم.
2. تمام این معادلات را حل کنید و ریشه ها را روی خط اعداد علامت بزنید. در نتیجه، خط مستقیم به چندین بازه تقسیم می شود که در هر یک از آنها همه ماژول ها به طور منحصر به فرد آشکار می شوند.
3. معادله اصلی را برای هر بازه حل کنید و پاسخ های خود را ترکیب کنید.

همین! فقط یک سوال باقی می ماند: با ریشه های به دست آمده در مرحله 1 چه باید کرد؟ فرض کنید دو ریشه داریم: $x=1$ و $x=5$. آنها خط اعداد را به 3 قسمت تقسیم می کنند:

پس فواصل آن چقدر است؟ واضح است که سه مورد از آنها وجود دارد:

1. سمت چپ: $x \lt 1$ - خود واحد در بازه گنجانده نشده است.
2. مرکزی: $1\le x \lt 5$ - در اینجا یکی در بازه گنجانده شده است، اما پنج گنجانده نشده است.
3. درست ترین: $x\ge 5$ - پنج فقط در اینجا گنجانده شده است!

من فکر می کنم شما قبلاً الگو را درک کرده اید. هر بازه شامل انتهای چپ است و راست را شامل نمی شود.

در نگاه اول، چنین ورودی ممکن است ناخوشایند، غیر منطقی و به طور کلی به نوعی دیوانه کننده به نظر برسد. اما باور کنید: پس از کمی تمرین، متوجه خواهید شد که این روش قابل اعتمادترین است و در باز کردن بدون ابهام ماژول ها دخالت نمی کند. بهتر است از چنین طرحی استفاده کنید تا اینکه هر بار فکر کنید: انتهای چپ / راست را به فاصله فعلی بدهید یا آن را به بعدی "پرتاب کنید".

در این مقاله به طور مفصل بررسی خواهیم کرد قدر مطلق یک عدد. خواهیم داد تعاریف مختلفمدول یک عدد، نشانه گذاری را معرفی کنید و تصاویر گرافیکی ارائه دهید. در عین حال، بیایید در نظر بگیریم نمونه های مختلفپیدا کردن مدول یک عدد بر اساس تعریف پس از این، ویژگی های اصلی ماژول را لیست و توجیه می کنیم. در پایان مقاله، در مورد چگونگی تعیین و یافتن مدول یک عدد مختلط صحبت خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

ماژول شماره - تعریف، نماد و مثال

ابتدا معرفی می کنیم تعیین مدول عددی. مدول عدد a را به صورت می نویسیم، یعنی در سمت چپ و راست عدد خط تیره های عمودی قرار می دهیم تا علامت مدول تشکیل شود. بیایید چند مثال بزنیم. به عنوان مثال، ماژول −7 را می توان به صورت ; ماژول 4.125 به صورت نوشته شده است و ماژول دارای نماد شکل است.

تعریف زیر از مدول به اعداد صحیح و گویا و غیر منطقی به عنوان اجزای تشکیل دهنده مجموعه اعداد حقیقی اشاره دارد. ما در مورد مدول یک عدد مختلط در صحبت خواهیم کرد.

تعریف.

مدول عدد a- این یا خود عدد a است، اگر a یک عدد مثبت باشد، یا عدد -a، عدد مقابلاگر a یک عدد منفی است یا 0 اگر a=0 باشد.

تعریف صوتی مدول یک عدد اغلب به شکل زیر نوشته می شود ، این ورودی به این معنی است که اگر a>0 ، اگر a=0 و اگر a<0 .

رکورد را می توان به شکل فشرده تری ارائه کرد . این نماد به این معنی است که اگر (a بزرگتر یا مساوی 0 است)، و اگر a<0 .

ورودی نیز وجود دارد . در اینجا باید موردی که a=0 را به طور جداگانه توضیح دهیم. در این مورد، داریم، اما −0=0، زیرا صفر عددی است که مخالف خودش است.

بدهیم مثال هایی برای یافتن مدول یک عددبا استفاده از تعریف بیان شده به عنوان مثال، ماژول های اعداد 15 و . بیایید با پیدا کردن شروع کنیم. از آنجایی که عدد 15 مثبت است، مدول آن، طبق تعریف، برابر با خود این عدد است، یعنی . مدول یک عدد چقدر است؟ از آنجایی که یک عدد منفی است، مدول آن برابر است با عدد مقابل عدد، یعنی عدد . بدین ترتیب، .

برای نتیجه‌گیری، یک نتیجه‌گیری را ارائه می‌کنیم که در عمل برای یافتن مدول یک عدد بسیار راحت است. از تعریف مدول یک عدد به دست می آید که مدول یک عدد با عدد زیر علامت مدول بدون در نظر گرفتن علامت آن برابر است، و از نمونه هایی که در بالا بحث شد این به وضوح قابل مشاهده است. عبارت بیان شده توضیح می دهد که چرا ماژول یک عدد نیز فراخوانی می شود قدر مطلق عدد. بنابراین مدول یک عدد و قدر مطلق یک عدد یکی و یکسان است.

مدول یک عدد به عنوان فاصله

از نظر هندسی، مدول یک عدد را می توان به صورت تفسیر کرد فاصله. بدهیم تعیین مدول یک عدد از طریق فاصله.

تعریف.

مدول عدد a- این فاصله از مبدا روی خط مختصات تا نقطه مربوط به عدد a است.

این تعریف با تعریف مدول یک عدد ارائه شده در پاراگراف اول مطابقت دارد. بیایید این نکته را روشن کنیم. فاصله مبدا تا نقطه مربوط به عدد مثبت برابر با این عدد است. صفر با مبدا مطابقت دارد، بنابراین فاصله مبدأ تا نقطه با مختصات 0 برابر با صفر است (نیازی نیست یک قطعه واحد و نه یک پاره واحد که هر کسری از یک قطعه واحد را به ترتیب تشکیل می دهد کنار بگذارید. برای رسیدن از نقطه O به نقطه ای با مختصات 0). فاصله مبدا تا نقطه ای با مختصات منفی برابر با عدد مقابل مختصات این نقطه است، زیرا مساوی است با فاصله مبدا تا نقطه ای که مختصات آن عدد مقابل است.

به عنوان مثال، مدول عدد 9 برابر با 9 است، زیرا فاصله مبدا تا نقطه با مختصات 9 برابر با نه است. بیایید مثال دیگری بزنیم. نقطه با مختصات 3.25- در فاصله 3.25 از نقطه O قرار دارد، بنابراین .

تعریف بیان شده از مدول یک مورد خاص از تعریف مدول اختلاف دو عدد است.

تعریف.

مدول اختلاف دو عدد a و b برابر است با فاصله بین نقاط خط مختصات با مختصات a و b.

یعنی اگر نقاط روی خط مختصات A(a) و B(b) داده شوند، فاصله نقطه A تا نقطه B برابر است با مدول اختلاف بین اعداد a و b. اگر نقطه O (منشا) را به عنوان نقطه B در نظر بگیریم، تعریف مدول یک عدد را که در ابتدای این پاراگراف داده شده است، بدست می آوریم.

تعیین مدول یک عدد با استفاده از جذر حسابی

گهگاه رخ می دهد تعیین مدول از طریق جذر حسابی.

به عنوان مثال، مدول اعداد -30 را بر اساس این تعریف محاسبه می کنیم. ما داریم. به طور مشابه، ماژول دو سوم را محاسبه می کنیم: .

تعریف مدول یک عدد از طریق جذر حسابی نیز با تعریف ارائه شده در بند اول این مقاله مطابقت دارد. بیایید آن را نشان دهیم. بگذارید a یک عدد مثبت باشد و −a یک عدد منفی باشد. سپس و ، اگر a=0 باشد، پس .

ویژگی های ماژول

این ماژول تعدادی نتایج مشخص دارد - خواص ماژول. حال به معرفی اصلی ترین و پرکاربردترین آنها می پردازیم. هنگام توجیه این خصوصیات، به تعریف مدول یک عدد بر حسب فاصله تکیه می کنیم.

بیایید با واضح ترین ویژگی ماژول شروع کنیم - مدول یک عدد نمی تواند یک عدد منفی باشد. در شکل تحت اللفظی، این ویژگی شکل هر عدد a را دارد. توجیه این ویژگی بسیار آسان است: مدول یک عدد یک فاصله است و فاصله را نمی توان به عنوان یک عدد منفی بیان کرد.

بیایید به ویژگی ماژول بعدی برویم. مدول یک عدد صفر است اگر و فقط اگر این عدد صفر باشد. مدول صفر طبق تعریف صفر است. صفر با مبدأ مطابقت دارد. به همین دلیل، هر عددی غیر از صفر با نقطه ای متفاوت از مبدا مطابقت دارد. و فاصله مبدأ تا هر نقطه ای غیر از نقطه O صفر نیست، زیرا فاصله بین دو نقطه صفر است اگر و فقط اگر این نقاط بر هم منطبق باشند. استدلال فوق ثابت می کند که فقط مدول صفر برابر با صفر است.

برو جلو. اعداد مقابل ماژول های مساوی دارند، یعنی برای هر عدد a. در واقع، دو نقطه روی خط مختصات، که مختصات آنها اعداد متضاد هستند، در فاصله یکسانی از مبدا قرار دارند، به این معنی که ماژول های اعداد مقابل برابر هستند.

ویژگی زیر ماژول است: مدول حاصل ضرب دو عدد برابر است با حاصل ضرب مدول این اعداد، به این معنا که، . طبق تعریف، مدول حاصلضرب اعداد a و b برابر است با a·b اگر یا −(a·b) اگر . از قواعد ضرب اعداد حقیقی چنین استنباط می شود که حاصل ضرب مدول اعداد a و b برابر با a·b، یا −(a·b) است که خاصیت مورد نظر را ثابت می کند.

مدول ضریب a تقسیم بر b برابر است با ضریب مدول یک عدد تقسیم بر مدول b، به این معنا که، . اجازه دهید این ویژگی ماژول را توجیه کنیم. از آنجایی که ضریب برابر با حاصلضرب است، پس. به موجب اموال قبلی که داریم . تنها چیزی که باقی می ماند استفاده از تساوی است که به واسطه تعریف مدول یک عدد معتبر است.

ویژگی زیر یک ماژول به صورت نابرابری نوشته می شود: , a , b و c اعداد واقعی دلخواه هستند. نابرابری نوشتاری چیزی بیش از این نیست نابرابری مثلث. برای روشن شدن این موضوع، اجازه دهید نقاط A(a)، B(b)، C(c) را روی خط مختصات در نظر بگیریم، و یک مثلث منحط ABC را در نظر بگیریم که رئوس آن روی همان خط قرار دارد. طبق تعریف، مدول اختلاف برابر است با طول قطعه AB، - طول قطعه AC، و - طول قطعه CB. از آنجایی که طول هر یک از ضلع های مثلث از مجموع طول های دو ضلع دیگر تجاوز نمی کند، نابرابری درست است. بنابراین، نابرابری نیز صادق است.

نابرابری که به تازگی ثابت شد در شکل بسیار رایج تر است . نابرابری نوشته شده معمولاً به عنوان یک ویژگی جداگانه از ماژول با فرمول زیر در نظر گرفته می شود: مدول مجموع دو عدد از مجموع مدول های این اعداد تجاوز نمی کند" اما اگر −b را به جای b قرار دهیم و c=0 را بگیریم، نابرابری مستقیماً از نابرابری پیروی می کند.

مدول یک عدد مختلط

بدهیم تعریف مدول یک عدد مختلط. باشد که به ما داده شود عدد مختلط، به شکل جبری نوشته شده است، که در آن x و y برخی از اعداد واقعی هستند که به ترتیب نشان دهنده قسمت های واقعی و خیالی یک عدد مختلط z هستند و واحد خیالی است.

یکی از سخت ترین موضوعات برای دانش آموزان حل معادلات حاوی یک متغیر زیر علامت مدول است. بیایید ابتدا بفهمیم که این به چه چیزی مرتبط است؟ به عنوان مثال، چرا اکثر کودکان معادلات درجه دوم را مانند آجیل شکست می دهند، اما مشکلات زیادی با مفهومی به دور از پیچیدگی مانند یک ماژول دارند؟

به نظر من، تمام این دشواری ها با فقدان قوانین مشخص شده برای حل معادلات با مدول همراه است. بنابراین، تصمیم گیری معادله درجه دوم، دانش آموز مطمئناً می داند که باید ابتدا فرمول تفکیک و سپس فرمول های ریشه های معادله درجه دوم را اعمال کند. اگر مدول در معادله پیدا شد چه باید کرد؟ ما سعی خواهیم کرد برنامه اقدام لازم را برای موردی که معادله دارای یک مجهول در زیر علامت مدول باشد، به وضوح توصیف کنیم. برای هر مورد چند مثال می زنیم.

اما ابتدا به یاد بیاوریم تعریف ماژول. بنابراین، عدد را مدول کنید آخود این شماره اگر نامیده می شود آغیر منفی و -آ، اگر شماره آکمتر از صفر می توانید آن را اینگونه بنویسید:

|a| = a اگر a ≥ 0 و |a| = -a اگر a< 0

در مورد معنای هندسی ماژول، باید به خاطر داشت که هر عدد واقعی مربوط به نقطه خاصی در محور عدد است - آن هماهنگ كردن. بنابراین، مدول یا قدر مطلق یک عدد، فاصله این نقطه تا مبدأ محور عددی است. فاصله همیشه به عنوان یک عدد مثبت مشخص می شود. بنابراین، مدول هر عدد منفی یک عدد مثبت است. به هر حال، حتی در این مرحله بسیاری از دانش آموزان شروع به گیج شدن می کنند. ماژول می تواند شامل هر عددی باشد، اما نتیجه استفاده از ماژول همیشه یک عدد مثبت است.

حالا بیایید مستقیماً به حل معادلات برویم.

1. معادله ای به شکل |x| را در نظر بگیرید = c، که در آن c یک عدد واقعی است. این معادله را می توان با استفاده از تعریف مدول حل کرد.

همه اعداد حقیقی را به سه گروه تقسیم می کنیم: بزرگتر از صفر، آنهایی که کوچکتر از صفر هستند و گروه سوم عدد 0 است. جواب را به شکل نمودار می نویسیم:

(±c، اگر c> 0 باشد

اگر |x| = c، سپس x = (0، اگر c = 0 باشد

(بدون ریشه اگر با< 0

1) |x| = 5، زیرا 5 > 0، سپس x = ± 5.

2) |x| = -5، زیرا -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0، سپس x = 0.

2. معادله فرم |f(x)| = b، جایی که b > 0. برای حل این معادله باید از شر ماژول خلاص شد. ما این کار را به این صورت انجام می دهیم: f(x) = b یا f(x) = -b. حال باید هر یک از معادلات به دست آمده را جداگانه حل کنید. اگر در معادله اصلی ب< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4، زیرا 4 > 0، سپس

x + 2 = 4 یا x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11، زیرا 11 > 0، سپس

x 2 - 5 = 11 یا x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 بدون ریشه

3) |x 2 – 5x| = -8، زیرا -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. معادله ای به شکل |f(x)| = g(x). با توجه به معنای ماژول، چنین معادله ای راه حل هایی خواهد داشت که سمت راست آن بزرگتر یا مساوی صفر باشد، یعنی. g(x) ≥ 0. سپس خواهیم داشت:

f(x) = g(x)یا f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. اگر 5x – 10 ≥ 0 باشد، این معادله دارای ریشه خواهد بود. حل چنین معادلاتی از اینجا شروع می شود.

1. O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. راه حل:

2x – 1 = 5x – 10 یا 2x – 1 = -(5x – 10)

3. O.D.Z را با هم ترکیب می کنیم. و راه حل، دریافت می کنیم:

ریشه x = 11/7 با O.D.Z مطابقت ندارد، کمتر از 2 است، اما x = 3 این شرط را برآورده می کند.

پاسخ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. بیایید این نابرابری را با استفاده از روش بازه حل کنیم:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. راه حل:

x – 1 = 1 – x 2 یا x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 یا x = 1 x = 0 یا x = 1

3. محلول و O.D.Z را با هم ترکیب می کنیم:

فقط ریشه های x = 1 و x = 0 مناسب هستند.

پاسخ: x = 0، x = 1.

4. معادله فرم |f(x)| = |g(x)|. چنین معادله ای معادل دو معادله زیر f(x) = g(x) یا f(x) = -g(x) است.

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. این معادله معادل دو معادله زیر است:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 یا x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 یا x = 4 x = 2 یا x = 1

پاسخ: x = 1، x = 2، x = 3، x = 4.

5. معادلات حل شده به روش جایگزینی (جایگزینی متغیر). این روش حل به راحتی در توضیح داده شده است مثال خاص. بنابراین، اجازه دهید یک معادله درجه دوم با مدول به ما داده شود:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. با خاصیت مدول x 2 = |x| 2، بنابراین معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. بیایید جایگزین |x| را بسازیم = t ≥ 0، سپس خواهیم داشت:

t 2 – 6t + 5 = 0. با حل این معادله، در می یابیم که t = 1 یا t = 5. اجازه دهید به جایگزینی برگردیم:

|x| = 1 یا |x| = 5

x = ± 1 x = ± 5

پاسخ: x = -5، x = -1، x = 1، x = 5.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم:

x 2 + |x| – 2 = 0. با خاصیت مدول x 2 = |x| 2، بنابراین

|x| 2 + |x| – 2 = 0. بیایید جایگزین |x| را بسازیم = t ≥ 0، سپس:

t 2 + t – 2 = 0. با حل این معادله، t = -2 یا t = 1 به دست می آوریم. اجازه دهید به جایگزینی برگردیم:

|x| = -2 یا |x| = 1

بدون ریشه x = ± 1

پاسخ: x = -1، x = 1.

6. نوع دیگری از معادلات، معادلات با مدول "مختلط" است. چنین معادلاتی شامل معادلاتی است که "ماژول های درون یک ماژول" دارند. معادلات این نوع را می توان با استفاده از خواص ماژول حل کرد.

1) |3 – |x|| = 4. ما مانند معادلات نوع دوم عمل خواهیم کرد. زیرا 4 > 0، سپس دو معادله بدست می آوریم:

3 – |x| = 4 یا 3 – |x| = -4.

حال اجازه دهید مدول x را در هر معادله بیان کنیم، سپس |x| = -1 یا |x| = 7.

هر یک از معادلات به دست آمده را حل می کنیم. در معادله اول هیچ ریشه ای وجود ندارد، زیرا -1< 0, а во втором x = ±7.

پاسخ x = -7، x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. ما این معادله را به روشی مشابه حل می کنیم:

3 + |x + 1| = 5 یا 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 یا x + 1 = -2. بدون ریشه

پاسخ: x = -3، x = 1.

همچنین یک روش جهانی برای حل معادلات با مدول وجود دارد. این روش فاصله است. اما بعدا به آن نگاه خواهیم کرد.

blog.site، هنگام کپی کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

قدر مطلق یک عدد آفاصله مبدا تا نقطه است آ(آ).

برای درک این تعریف، اجازه دهید متغیر را جایگزین کنیم آهر عددی، مثلاً 3 و سعی کنید دوباره آن را بخوانید:

قدر مطلق یک عدد 3 فاصله مبدا تا نقطه است آ(3 ).

مشخص می شود که ماژول چیزی بیش از یک فاصله معمولی نیست. بیایید سعی کنیم فاصله مبدا تا نقطه A را ببینیم 3 )

فاصله مبدا تا نقطه A( 3 ) برابر با 3 (سه واحد یا سه مرحله) است.

ماژول یک عدد با دو خط عمودی نشان داده می شود، به عنوان مثال:

مدول عدد 3 را به صورت زیر نشان می دهند: |3|

مدول عدد 4 را به صورت زیر نشان می دهند: |4|

مدول عدد 5 را به صورت زیر نشان می دهند: |5|

ما مدول عدد 3 را جستجو کردیم و متوجه شدیم که برابر با 3 است. بنابراین آن را یادداشت می کنیم:

چنین می خواند: "مدول عدد سه سه است"

حالا بیایید سعی کنیم مدول عدد -3 را پیدا کنیم. دوباره به تعریف برمی گردیم و عدد -3 را جایگزین آن می کنیم. فقط به جای یک نقطه آاز یک نقطه جدید استفاده کنید ب. توقف کامل آقبلاً در مثال اول استفاده کردیم.

مدول عدد - 3 فاصله مبدا تا یک نقطه است ب(—3 ).

فاصله یک نقطه تا نقطه دیگر نمی تواند منفی باشد. بنابراین مدول هر عدد منفی که یک فاصله است نیز منفی نخواهد بود. مدول عدد -3 عدد 3 خواهد بود. فاصله مبدا تا نقطه B(-3) نیز برابر با سه واحد است:

چنین می خواند: "مدول منهای سه سه است."

مدول عدد 0 برابر با 0 است، زیرا نقطه با مختصات 0 با مبدا منطبق است، یعنی. فاصله از مبدا تا نقطه O(0)برابر با صفر است:

"مدول صفر صفر است"

نتیجه گیری می کنیم:

• مدول یک عدد نمی تواند منفی باشد.
• برای یک عدد مثبت و صفر، مدول برابر با خود عدد و برای یک عدد منفی - عدد مقابل است.
• اعداد مخالف دارای ماژول های مساوی هستند.

اعداد متضاد

اعدادی که فقط در علائم با هم تفاوت دارند نامیده می شوند مقابل. به عنوان مثال، اعداد -2 و 2 متضاد هستند. آنها فقط در علائم متفاوت هستند. عدد -2 یک علامت منفی دارد و 2 یک علامت مثبت دارد، اما ما آن را نمی‌بینیم، زیرا مثبت، همانطور که قبلاً گفتیم، به طور سنتی نوشته نمی‌شود.

نمونه های بیشتر از اعداد مقابل:

اعداد مخالف دارای ماژول های مساوی هستند. به عنوان مثال، اجازه دهید ماژول های −2 و 2 را پیدا کنیم

شکل نشان می دهد که فاصله از مبدا تا نقاط A (-2)و B (2)برابر با دو مرحله

آیا درس را دوست داشتید؟
به ما بپیوندید گروه جدید VKontakte و شروع به دریافت اعلان در مورد دروس جدید کنید

A طبق قوانین زیر محاسبه می شود:

برای اختصار، از نمادها استفاده می شود |a|. بنابراین، |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| = 100 و غیره

هر اندازه ایکسمربوط به مقدار نسبتا دقیق | ایکس|. و این یعنی هویت در= |ایکس| مجموعه ها درمثل بعضی ها تابع آرگومان ایکس.

برنامهاین کارکرددر زیر ارائه شده است.

برای ایکس > 0 |ایکس| = ایکس، و برای ایکس< 0 |ایکس|= -ایکس; در این رابطه خط y = | ایکس| در ایکس> 0 با یک خط مستقیم ترکیب شده است y = x(نصف ساز اولین زاویه مختصات)، و چه زمانی ایکس< 0 - с прямой y = -x(نصف ساز زاویه مختصات دوم).

جداگانه، مجزا معادلاتشامل مجهولات زیر علامت مدول.

نمونه های دلخواه از این گونه معادلات - | ایکس— 1| = 2, |6 — 2ایکس| =3ایکس+ 1 و غیره

حل معادلاتشامل یک مجهول در زیر علامت مدول بر این واقعیت است که اگر قدر مطلق عدد مجهول x برابر است با عدد مثبت a، پس این عدد x خود برابر با a یا -a است.

مثلا:، اگر | ایکس| = 10، سپس یا ایکس= 10، یا ایکس = -10.

در نظر بگیریم حل معادلات فردی.

بیایید حل معادله | ایکس- 1| = 2.

بیایید ماژول را گسترش دهیمسپس تفاوت ایکس- 1 می تواند برابر با 2 + یا - 2 باشد. اگر x - 1 = 2، پس ایکس= 3; اگر ایکس- 1 = - 2، سپس ایکس= - 1. یک جایگزین می کنیم و متوجه می شویم که هر دوی این مقادیر معادله را برآورده می کنند.

پاسخ.معادله فوق دو ریشه دارد: ایکس 1 = 3, ایکس 2 = - 1.

بیایید تحلیل کنیم حل معادله | 6 — 2ایکس| = 3ایکس+ 1.

بعد از گسترش ماژولمی گیریم: یا 6 - 2 ایکس= 3ایکس+ 1 یا 6 - 2 ایکس= - (3ایکس+ 1).

در مورد اول ایکس= 1، و در دوم ایکس= - 7.

معاینه.در ایکس= 1 |6 — 2ایکس| = |4| = 4, 3ایکس+ 1 = 4; از دادگاه برمی آید، ایکس = 1 - ریشهداده شده معادلات.

در ایکس = - 7 |6 — 2ایکس| = |20| = 20, 3ایکس+ 1 = - 20; از 20 ≠ -20، سپس ایکس= - 7 ریشه این معادله نیست.

پاسخ. Uمعادله فقط یک ریشه دارد: ایکس = 1.

معادلات از این نوع می تواند باشد حل و به صورت گرافیکی.

پس بیایید تصمیم بگیریم مثلا, معادله گرافیکی | ایکس- 1| = 2.

ابتدا می سازیم گرافیک تابع در = |ایکس- 1|. ابتدا یک نمودار از تابع رسم می کنیم در=ایکس- 1:

اون قسمتش هنرهای گرافیکی، که بالای محور قرار دارد ایکسما آن را تغییر نمی دهیم برای او ایکس- 1 > 0 و بنابراین | ایکس-1|=ایکس-1.

بخشی از نمودار که در زیر محور قرار دارد ایکس، بیایید به تصویر بکشیم به صورت متقارننسبت به این محور چون برای این قسمت ایکس - 1 < 0 и соответственно |ایکس - 1|= - (ایکس - 1). نتیجه خط(خط جامد) و اراده نمودار تابع y = | ایکس—1|.

این خط با سر راست در= 2 در دو نقطه: M 1 با آبسیسا -1 و M 2 با آبسیسا 3. و بر این اساس، معادله | ایکس- 1| =2 دو ریشه خواهد داشت: ایکس 1 = - 1, ایکس 2 = 3.