معادله دیفرانسیل معمولی معادله ای است که یک متغیر مستقل، یک تابع مجهول از این متغیر و مشتقات (یا دیفرانسیل) آن از مرتبه های مختلف را به هم مرتبط می کند.

ترتیب معادله دیفرانسیل مرتبه بالاترین مشتق موجود در آن نامیده می شود.

علاوه بر معادلات معمولی، معادلات دیفرانسیل جزئی نیز مورد مطالعه قرار می گیرد. اینها معادلات مربوط به متغیرهای مستقل، تابعی ناشناخته از این متغیرها و مشتقات جزئی آن با توجه به متغیرهای مشابه هستند. اما ما فقط در نظر خواهیم گرفت معادلات دیفرانسیل معمولی و لذا به جهت اختصار از کلمه ی معمولی صرف نظر می کنیم.

نمونه ها معادلات دیفرانسیل:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

معادله (1) مرتبه چهارم، معادله (2) مرتبه سوم، معادلات (3) و (4) مرتبه دوم، معادله (5) مرتبه اول هستند.

معادله دیفرانسیل nمرتبه هفتم لزوماً نباید حاوی یک تابع صریح باشد، تمام مشتقات آن از اول تا nمرتبه هفتم و متغیر مستقل. ممکن است به صراحت مشتقاتی از دستورات خاص، یک تابع یا یک متغیر مستقل را نداشته باشد.

به عنوان مثال، در معادله (1) به وضوح هیچ مشتق مرتبه سوم و دوم و همچنین یک تابع وجود ندارد. در معادله (2) - مشتق مرتبه دوم و تابع. در معادله (4) - متغیر مستقل؛ در معادله (5) - توابع. فقط معادله (3) به طور صریح شامل تمام مشتقات، تابع و متغیر مستقل است.

حل معادله دیفرانسیل هر تابع فراخوانی می شود y = f(x)، هنگامی که در معادله جایگزین می شود به یک هویت تبدیل می شود.

فرآیند یافتن راه حل برای یک معادله دیفرانسیل آن نامیده می شود ادغام.

مثال 1.جواب معادله دیفرانسیل را پیدا کنید.

راه حل. بیایید این معادله را به شکل بنویسیم. راه حل این است که تابع را از مشتق آن پیدا کنید. تابع اصلی، همانطور که از حساب انتگرال مشخص است، یک ضد مشتق برای، i.e.

این است حل این معادله دیفرانسیل . در آن تغییر می کند سی، راه حل های مختلفی به دست خواهیم آورد. ما متوجه شدیم که برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد.

حل کلی معادله دیفرانسیل nمرتبه ام راه حل آن است که به صراحت با توجه به تابع مجهول و حاوی بیان شده است nثابت های دلخواه مستقل، یعنی

حل معادله دیفرانسیل در مثال 1 کلی است.

حل جزئی معادله دیفرانسیل راه حلی که در آن به ثابت های دلخواه مقادیر عددی خاصی داده می شود، نامیده می شود.

مثال 2.جواب کلی معادله دیفرانسیل و یک جواب خاص برای .

راه حل. بیایید هر دو طرف معادله را چند بار برابر با ترتیب معادله دیفرانسیل ادغام کنیم.

,

.

در نتیجه، ما یک راه حل کلی دریافت کردیم -

از یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم معین.

حالا بیایید یک راه حل خاص در شرایط مشخص شده پیدا کنیم. برای انجام این کار، به جای ضرایب دلخواه، مقادیر آنها را جایگزین کنید و دریافت کنید

.

اگر علاوه بر معادله دیفرانسیل، شرط اولیه به شکل داده شود، چنین مسئله ای نامیده می شود. مشکل کوشی . مقادیر را جایگزین و در جواب کلی معادله قرار دهید و مقدار یک ثابت دلخواه را پیدا کنید سی، و سپس یک راه حل خاص از معادله برای مقدار یافت شده سی. این راه حل مشکل کوشی است.

مثال 3.حل مسئله کوشی برای معادله دیفرانسیل از مثال 1 موضوع به .

راه حل. اجازه دهید مقادیر را از شرایط اولیه به راه حل کلی جایگزین کنیم y = 3, x= 1. دریافت می کنیم

حل مسئله کوشی را برای این معادله دیفرانسیل مرتبه اول می نویسیم:

حل معادلات دیفرانسیل، حتی ساده ترین آنها، نیازمند مهارت های انتگرال گیری و مشتق خوبی از جمله توابع پیچیده است. این را می توان در مثال زیر مشاهده کرد.

مثال 4.جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید.

راه حل. معادله به گونه ای نوشته شده است که می توانید بلافاصله هر دو طرف را ادغام کنید.

.

روش ادغام را با تغییر متغیر (جایگزینی) اعمال می کنیم. بگذار آن وقت باشد.

مورد نیاز برای گرفتن dxو اکنون - توجه - ما این کار را طبق قوانین تمایز یک تابع پیچیده انجام می دهیم، زیرا xو یک تابع پیچیده وجود دارد ("سیب" - عصاره ریشه مربعیا، همان چیزی است - بالا بردن قدرت "یک دوم" و "گوشت چرخ کرده" همان عبارت زیر ریشه است):

ما انتگرال را پیدا می کنیم:

بازگشت به متغیر x، دریافت می کنیم:

.

این راه حل کلی برای این معادله دیفرانسیل درجه یک است.

در حل معادلات دیفرانسیل نه تنها مهارت‌های بخش‌های قبلی ریاضیات عالی، بلکه مهارت‌های ابتدایی، یعنی ریاضی مدرسه نیز مورد نیاز است. همانطور که قبلا ذکر شد، در یک معادله دیفرانسیل از هر مرتبه ممکن است یک متغیر مستقل، یعنی یک متغیر وجود نداشته باشد. x. دانش در مورد نسبت های مدرسه که فراموش نشده است (اما بسته به اینکه چه کسی) از مدرسه به حل این مشکل کمک می کند. این مثال بعدی است.

معادلات دیفرانسیل (DE). این دو کلمه معمولاً افراد عادی را به وحشت می اندازد. به نظر می رسد معادلات دیفرانسیل برای بسیاری از دانش آموزان امری بازدارنده و دشوار است. اووووو... معادلات دیفرانسیل، چطور میتونم از این همه جان سالم به در ببرم؟!

این نظر و این نگرش اساساً اشتباه است، زیرا در واقع معادلات دیفرانسیل - ساده و حتی سرگرم کننده است. برای یادگیری نحوه حل معادلات دیفرانسیل چه چیزهایی باید بدانید و بتوانید انجام دهید؟ برای یادگیری موفقیت آمیز Diffuses، باید در یکپارچه سازی و تمایز خوب باشید. هر چه موضوعات بهتر مطالعه شوند مشتق تابع یک متغیرو انتگرال نامعین، درک معادلات دیفرانسیل آسان تر خواهد بود. بیشتر می گویم، اگر مهارت های یکپارچه سازی کم و بیش مناسبی دارید، پس موضوع تقریبا مسلط است! هر چه انتگرال ها بیشتر باشد انواع مختلفشما می دانید چگونه تصمیم بگیرید - خیلی بهتر. چرا؟ زیرا شما مجبور خواهید بود خیلی چیزها را ادغام کنید. و متمایز کردن. همچنین به شدت توصیه می شودپیدا کردن را یاد بگیر مشتق تابعی که به طور ضمنی مشخص شده است.

در 95 درصد موارد در تست ها 3 نوع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول وجود دارد: معادلات با متغیرهای قابل تفکیک که در این درس به آنها خواهیم پرداخت. معادلات همگنو معادلات ناهمگن خطی. برای کسانی که شروع به مطالعه دیفیوزرها می کنند، به شما توصیه می کنم که درس ها را به این ترتیب مطالعه کنند. حتی انواع نادری از معادلات دیفرانسیل وجود دارد: معادلات در دیفرانسیل کل, معادلات برنولیو برخی دیگر مهمترین دو نوع آخر معادلات در مجموع دیفرانسیل هستند، زیرا من علاوه بر این معادله دیفرانسیل مواد جدید- ادغام خصوصی

ابتدا بیایید معادلات معمول را به خاطر بسپاریم. آنها حاوی متغیرها و اعداد هستند. ساده ترین مثال: . حل یک معادله معمولی به چه معناست؟ این یعنی پیدا کردن مجموعه ای از اعداد، که این معادله را برآورده می کند. به راحتی می توان متوجه شد که معادله کودکان یک ریشه دارد: . فقط برای سرگرمی، بیایید ریشه پیدا شده را بررسی کرده و در معادله خود جایگزین کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

دیفیوزرها تقریباً به همین شکل طراحی شده اند!

معادله دیفرانسیل سفارش اول, شامل:
1) متغیر مستقل؛
2) متغیر وابسته (تابع)؛
3) اولین مشتق تابع: .

در برخی موارد، معادله مرتبه اول ممکن است حاوی "x" و/یا "y" نباشد - مهم استبرای رفتن به اتاق کنترل بودمشتق اول، و وجود نداشتمشتقات مرتبه بالاتر – و غیره

به چه معناست؟حل معادله دیفرانسیل یعنی پیدا کردن بسیاری از توابع، که این معادله را برآورده می کند. این مجموعه از توابع نامیده می شود حل کلی معادله دیفرانسیل.

مثال 1

حل معادله دیفرانسیل

مهمات کامل حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول را از کجا شروع کنیم؟

اول از همه، شما باید مشتق را به شکل کمی متفاوت بازنویسی کنید. بیایید نماد دست و پا گیر برای مشتق را به یاد بیاوریم: . این نام گذاری برای مشتق احتمالاً برای بسیاری از شما مضحک و غیر ضروری به نظر می رسید، اما این چیزی است که در دیفیوزرها حاکم است!

بنابراین، در مرحله اول مشتق را به شکلی که نیاز داریم بازنویسی می کنیم:

در مرحله دوم همیشهببینیم امکانش هست یا نه متغیرهای جداگانه؟تفکیک متغیرها به چه معناست؟ به طور کلی، در سمت چپما باید ترک کنیم فقط "یونانی ها"، A در سمت راستسازماندهی فقط "X". تقسیم بندی متغیرها با استفاده از دستکاری های "مدرسه" انجام می شود: قرار دادن آنها در داخل پرانتز، انتقال اصطلاحات از قسمتی به قسمت دیگر با تغییر علامت، انتقال عوامل از بخشی به قسمت بر اساس قاعده تناسب و غیره.

دیفرانسیل و ضریب کامل و شرکت کننده فعال در خصومت ها هستند. در مثال مورد بررسی، متغیرها به راحتی با کنار زدن عوامل بر اساس قاعده تناسب از هم جدا می شوند:

متغیرها از هم جدا می شوند. در سمت چپ فقط "Y" وجود دارد، در سمت راست - فقط "X".

مرحله بعدی است ادغام معادله دیفرانسیل. ساده است، ما انتگرال ها را در هر دو طرف قرار می دهیم:

البته باید انتگرال بگیریم. در در این موردآنها جدولی هستند:

همانطور که به یاد داریم، یک ثابت به هر پاد مشتق اختصاص داده می شود. در اینجا دو انتگرال وجود دارد، اما کافی است ثابت را یک بار بنویسیم. تقریباً همیشه به سمت راست اختصاص داده می شود.

به بیان دقیق، پس از گرفتن انتگرال ها، معادله دیفرانسیل حل شده در نظر گرفته می شود. تنها چیزی که وجود دارد این است که "y" ما از طریق "x" بیان نمی شود، یعنی راه حل ارائه می شود به صورت ضمنیفرم. حل معادله دیفرانسیل به صورت ضمنی نامیده می شود انتگرال کلی معادله دیفرانسیل. یعنی این یک انتگرال کلی است.

اکنون باید سعی کنیم یک راه حل کلی پیدا کنیم، یعنی سعی کنیم تابع را به طور صریح نشان دهیم.

لطفا تکنیک اول را به خاطر بسپارید، این تکنیک بسیار رایج است و اغلب در کارهای عملی استفاده می شود. هنگامی که یک لگاریتم پس از ادغام در سمت راست ظاهر می شود، تقریباً همیشه توصیه می شود که ثابت را زیر لگاریتم نیز بنویسید.

یعنی به جایمدخل ها معمولا نوشته می شوند .

در اینجا همان ثابت تمام عیار است. چرا این لازم است؟ و به منظور سهولت در بیان "بازی". ما از ویژگی مدرسه لگاریتم استفاده می کنیم: . در این مورد:

اکنون می توان از لگاریتم ها و ماژول ها استفاده کرد وجدان پاکحذف از هر دو قسمت:

تابع به صراحت ارائه شده است. این راه حل کلی است.

بسیاری از ویژگی ها یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل است.

ثابت دادن معانی مختلف، می توانید بی نهایت تعداد زیادی بدست آورید راه حل های خصوصیمعادله دیفرانسیل هر یک از توابع، و غیره معادله دیفرانسیل را برآورده خواهد کرد.

گاهی اوقات راه حل کلی نامیده می شود خانواده توابع. در در این مثالراه حل کلی خانواده ای از توابع خطی یا به طور دقیق تر، خانواده ای از تناسب مستقیم است.

آزمایش بسیاری از معادلات دیفرانسیل بسیار آسان است. این کار خیلی ساده انجام می شود، راه حل پیدا شده را می گیریم و مشتق را پیدا می کنیم:

حل خود و مشتق یافت شده را در معادله اصلی جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است. به عبارت دیگر، جواب کلی معادله را برآورده می کند.

پس از بررسی کامل مثال اول، مناسب است به چندین سوال ساده در مورد معادلات دیفرانسیل پاسخ دهیم.

1)در این مثال توانستیم متغیرها را از هم جدا کنیم: . آیا می توان این کار را همیشه انجام داد؟نه همیشه نه و حتی بیشتر اوقات، متغیرها قابل تفکیک نیستند. به عنوان مثال، در معادلات مرتبه اول همگن، ابتدا باید آن را تعویض کنید. در انواع دیگر معادلات، به عنوان مثال، در یک معادله خطی مرتبه اول ناهمگن، نیاز به استفاده دارد تکنیک های مختلفو روش هایی برای یافتن راه حل کلی. معادلات با متغیرهای قابل تفکیک که در درس اول بررسی می کنیم، ساده ترین نوع معادلات دیفرانسیل هستند.

2) آیا همیشه امکان ادغام یک معادله دیفرانسیل وجود دارد؟نه همیشه نه بدست آوردن یک معادله "فانتزی" که قابل ادغام نیست، بسیار آسان است. اما چنین DE ها را می توان تقریباً با استفاده از روش های خاص حل کرد. گارانتی دالامبر و کوشی. ...اگه، lurkmore.ru من الان خیلی خوندم.

3) در این مثال راه حلی به شکل یک انتگرال کلی به دست آوردیم . آیا همیشه می توان از یک انتگرال کلی یک راه حل کلی پیدا کرد، یعنی «y» را به صراحت بیان کرد؟نه همیشه نه به عنوان مثال: . خوب، چگونه می توان "یونانی" را در اینجا بیان کرد؟! در این گونه موارد، پاسخ باید به صورت یک انتگرال کلی نوشته شود. علاوه بر این، گاهی اوقات می توان یک راه حل کلی پیدا کرد، اما آنقدر دست و پا گیر و ناشیانه نوشته شده است که بهتر است پاسخ را به صورت یک انتگرال کلی بگذاریم.

عجله نکنیم یک کنترل از راه دور ساده دیگر و یک راه حل معمولی دیگر.

مثال 2

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند

با توجه به شرایط، شما باید پیدا کنید راه حل خصوصی DE شرایط اولیه را برآورده می کند. به این صورت بندی سوال نیز گفته می شود مشکل کوشی.

ابتدا یک راه حل کلی پیدا می کنیم. هیچ متغیر "x" در معادله وجود ندارد، اما این نباید گیج شود، نکته اصلی این است که مشتق اول را دارد.

مشتق را در آن بازنویسی می کنیم در فرم مناسب:

بدیهی است که متغیرها را می توان از هم جدا کرد، پسران به چپ، دختران به راست:

بیایید معادله را ادغام کنیم:

انتگرال کلی به دست می آید. در اینجا من یک ثابت را با یک ستاره رسم کرده ام، واقعیت این است که خیلی زود به ثابت دیگری تبدیل می شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را به یک راه حل کلی تبدیل کنیم (y را به صراحت بیان کنید). بیایید چیزهای خوب قدیمی مدرسه را به یاد بیاوریم: . در این مورد:

ثابت موجود در اندیکاتور به نوعی نامطلوب به نظر می رسد، بنابراین معمولاً به زمین منتقل می شود. در جزئیات، به این صورت است که اتفاق می افتد. با استفاده از ویژگی درجه، تابع را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

اگر یک ثابت است، مقداری ثابت نیز وجود دارد که آن را با حرف نشان می دهیم:

"حمل کردن" ثابت را به خاطر بسپارید، این دومین تکنیکی است که اغلب برای حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.

بنابراین، راه حل کلی این است: . این یک خانواده خوب از توابع نمایی است.

در مرحله نهایی، باید راه حل خاصی پیدا کنید که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند. این هم ساده است.

تکلیف چیست؟ نیاز به برداشتن چنینمقدار یک ثابت به طوری که شرط اولیه مشخص شده برآورده شود.

می توان آن را به روش های مختلف قالب بندی کرد، اما این احتمالا واضح ترین راه خواهد بود. در جواب کلی، به جای «X» یک صفر و به جای «Y» دو را جایگزین می کنیم:



یعنی

نسخه طراحی استاندارد:

مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم:
- این راه حل خاصی است که ما نیاز داریم.

بیایید بررسی کنیم. بررسی راه حل خصوصی شامل دو مرحله است.

ابتدا باید بررسی کنید که آیا راه حل خاص یافت شده واقعاً شرایط اولیه را برآورده می کند؟ به جای "X" یک صفر را جایگزین می کنیم و می بینیم چه اتفاقی می افتد:
- بله، در واقع یک دو دریافت شد، یعنی شرط اولیه برقرار است.

مرحله دوم از قبل آشناست. راه حل خاص حاصل را می گیریم و مشتق را پیدا می کنیم:

معادله اصلی را جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید.

نتیجه گیری: راه حل خاص به درستی پیدا شد.

بیایید به سراغ مثال های معنادارتری برویم.

مثال 3

حل معادله دیفرانسیل

راه حل:مشتق را به شکلی که نیاز داریم بازنویسی می کنیم:

ما ارزیابی می کنیم که آیا امکان جداسازی متغیرها وجود دارد؟ می تواند. عبارت دوم را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم:

و ضرایب را طبق قاعده تناسب انتقال می دهیم:

متغیرها از هم جدا هستند، بیایید هر دو بخش را ادغام کنیم:

باید به شما هشدار بدهم، روز قیامت نزدیک است. اگر خوب درس نخوانده اید انتگرال های نامعین، چند نمونه را حل کرده اند، پس جایی برای رفتن وجود ندارد - اکنون باید به آنها مسلط شوید.

انتگرال سمت چپ را به راحتی می توان یافت یکپارچه سازی توابع مثلثاتی سال گذشته:

در سمت راست ما یک لگاریتم داریم، طبق اولین توصیه فنی من، در این مورد ثابت نیز باید زیر لگاریتم نوشته شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را ساده کنیم. از آنجایی که ما فقط لگاریتم داریم، خلاص شدن از شر آنها کاملاً ممکن (و ضروری) است. ما لگاریتم ها را تا حد امکان "بسته بندی" می کنیم. بسته بندی با استفاده از سه ویژگی انجام می شود:

لطفا این سه فرمول را در خود بازنویسی کنید کتاب کار، هنگام حل دیفیوزرها اغلب از آنها استفاده می شود.

راه حل را با جزئیات کامل شرح خواهم داد:

بسته بندی کامل است، لگاریتم ها را حذف کنید:

آیا می توان "بازی" را بیان کرد؟ می تواند. لازم است هر دو قسمت مربع شود. اما شما نیازی به انجام این کار ندارید.

سوم مشاوره فنی: اگر برای به دست آوردن یک راه حل کلی لازم است که به یک قدرت برسیم یا ریشه داشته باشیم، پس در اکثر مواردباید از این اقدامات خودداری کنید و پاسخ را در قالب یک انتگرال کلی بگذارید. واقعیت این است که راه حل کلی پرمدعا و وحشتناک به نظر می رسد - با ریشه های بزرگ، علائم.

بنابراین پاسخ را به صورت انتگرال کلی می نویسیم. به نحو احسندر نظر گرفته می شود که انتگرال کلی را به شکل نشان می دهد، یعنی در سمت راست، در صورت امکان، فقط یک ثابت باقی می گذارد. انجام این کار ضروری نیست، اما خوشحال کردن استاد همیشه مفید است ;-)

پاسخ:انتگرال عمومی:

توجه:انتگرال کلی هر معادله ای را می توان به بیش از یک روش نوشت. بنابراین، اگر نتیجه شما با پاسخ شناخته شده قبلی مطابقت نداشته باشد، این بدان معنا نیست که معادله را اشتباه حل کرده اید.

بررسی انتگرال کلی نیز بسیار آسان است، نکته اصلی این است که بتوانید پیدا کنید مشتقات یک تابع به طور ضمنی مشخص شده است. بیایید پاسخ را متمایز کنیم:

هر دو عبارت را ضرب می کنیم:

و تقسیم بر:

معادله دیفرانسیل اصلی دقیقا به دست آمده است، یعنی انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 4

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند. بررسی را انجام دهید.

این یک مثال برای تصمیم مستقل. اجازه دهید یادآوری کنم که مشکل کوشی شامل دو مرحله است:
1) یافتن راه حل کلی.
2) یافتن راه حلی خاص

بررسی نیز در دو مرحله انجام می‌شود (به مثال 2 نیز مراجعه کنید)، شما باید:
1) مطمئن شوید که راه حل خاص یافت شده واقعاً شرایط اولیه را برآورده می کند.
2) بررسی کنید که راه حل خاص به طور کلی معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

مثال 5

یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل پیدا کنید ، ارضای شرایط اولیه. بررسی را انجام دهید.

راه حل:ابتدا بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم. متغیرها را از هم جدا می کنیم:

بیایید معادله را ادغام کنیم:

انتگرال سمت چپ جدولی است، انتگرال سمت راست گرفته شده است روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل:

انتگرال کلی به دست آمده است آیا می توان راه حل کلی را با موفقیت بیان کرد؟ می تواند. لگاریتم ها را آویزان می کنیم:

(امیدوارم همه این تحول را درک کنند، چنین چیزهایی باید قبلاً شناخته شده باشند)

بنابراین، راه حل کلی این است:

بیایید یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه داده شده پیدا کنیم. در جواب کلی به جای «X» صفر و به جای «Y» لگاریتم دو را جایگزین می کنیم:

طراحی آشناتر:

مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم.

پاسخ:راه حل خصوصی:

بررسی: ابتدا، بیایید بررسی کنیم که آیا شرط اولیه برقرار است یا خیر:
- همه چیز وزوز است.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا راه حل خاص یافت شده اصلا معادله دیفرانسیل را برآورده می کند یا خیر. پیدا کردن مشتق:

بیایید به معادله اصلی نگاه کنیم: - به صورت دیفرانسیل ارائه می شود. دو راه برای بررسی وجود دارد. می توان دیفرانسیل را از مشتق یافت شده بیان کرد:

اجازه دهید راه حل خاص یافت شده و دیفرانسیل حاصل را در معادله اصلی جایگزین کنیم :

ما از هویت لگاریتمی پایه استفاده می کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل خاص به درستی پیدا شده است.

روش دوم بررسی آینه ای و آشناتر است: از معادله بیایید مشتق را بیان کنیم، برای انجام این کار، تمام قطعات را بر اساس تقسیم می کنیم:

و به DE تبدیل شده، راه حل جزئی به دست آمده و مشتق یافت شده را جایگزین می کنیم. در نتیجه ساده سازی ها باید برابری صحیح نیز به دست آید.

مثال 6

حل معادله دیفرانسیل پاسخ را در قالب یک انتگرال کلی ارائه دهید.

این مثالی است برای حل خودتان، راه حل کامل و در پایان درس پاسخ دهید.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک چه مشکلاتی در کمین است؟

1) همیشه واضح نیست (مخصوصاً برای قوری) که می توان متغیرها را از هم جدا کرد. در نظر بگیریم مثال شرطی: . در اینجا باید فاکتورها را از پرانتز خارج کنید و ریشه ها را جدا کنید: . مشخص است که در ادامه چه باید کرد.

2) مشکلات با خود ادغام. انتگرال ها اغلب ساده ترین نیستند و در صورت وجود نقص در مهارت های یافتن انتگرال نامعین، سپس با بسیاری از دیفیوزرها دشوار خواهد بود. علاوه بر این، منطق "از آنجایی که معادله دیفرانسیل ساده است، پس بگذارید انتگرال ها پیچیده تر شوند" در بین کامپایلرهای مجموعه ها و کتابچه های آموزشی رایج است.

3) تبدیل با یک ثابت. همانطور که همه متوجه شده اند، شما می توانید تقریبا هر کاری را با یک ثابت در معادلات دیفرانسیل انجام دهید. و چنین تحولاتی همیشه برای یک مبتدی قابل درک نیست. بیایید به مثال شرطی دیگری نگاه کنیم: . توصیه می شود همه عبارت ها را در 2 ضرب کنید: . ثابت حاصل نیز نوعی ثابت است که می توان آن را با: . بله، و از آنجایی که یک لگاریتم در سمت راست وجود دارد، توصیه می شود ثابت را به شکل ثابت دیگری بازنویسی کنید: .

مشکل این است که آنها اغلب با ایندکس ها زحمت نمی کشند و از همان حرف استفاده می کنند. و در نتیجه، رکورد راه حل به شکل زیر است:

این چه جهنمی است؟ اشتباهاتی نیز وجود دارد. به طور رسمی، بله. اما به طور غیررسمی - هیچ خطایی وجود ندارد که هنگام تبدیل یک ثابت، هنوز مقداری ثابت دیگر به دست می آید.

یا این مثال فرض کنید در جریان حل معادله یک انتگرال کلی به دست می آید. این پاسخ زشت به نظر می رسد، بنابراین توصیه می شود علائم همه عوامل را تغییر دهید: . به طور رسمی طبق ضبط، دوباره خطایی وجود دارد، باید یادداشت می شد. اما به طور غیررسمی فهمیده می شود که هنوز یک ثابت دیگر است (علاوه بر این، می تواند هر مقداری را به خود بگیرد)، بنابراین تغییر علامت یک ثابت معنی ندارد و می توانید از همان حرف استفاده کنید.

من سعی خواهم کرد از یک رویکرد بی دقت اجتناب کنم، و همچنان می گذارم شاخص های مختلفهنگام تبدیل آنها

مثال 7

حل معادله دیفرانسیل بررسی را انجام دهید.

راه حل:این معادله امکان جداسازی متغیرها را فراهم می کند. متغیرها را از هم جدا می کنیم:

بیایید ادغام کنیم:

لازم نیست ثابت را در اینجا به عنوان لگاریتم تعریف کنیم، زیرا هیچ چیز مفیدی از این کار حاصل نخواهد شد.

پاسخ:انتگرال عمومی:

بررسی کنید: پاسخ را متمایز کنید (عملکرد ضمنی):

ما از شر کسرها با ضرب هر دو جمله در:

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 8

یک راه حل خاص برای DE پیدا کنید.
,

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. تنها نظر این است که در اینجا شما یک انتگرال کلی دریافت می کنید، و به عبارت صحیح تر، باید برای یافتن یک راه حل خاص تلاش کنید. انتگرال جزئی. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

همانطور که قبلاً اشاره شد، در پراکنده‌هایی با متغیرهای قابل تفکیک، اغلب ساده‌ترین انتگرال‌ها ظاهر نمی‌شوند. و در اینجا چند نمونه دیگر از این قبیل برای شما وجود دارد که خودتان آنها را حل کنید. من به همه توصیه می کنم که مثال های شماره 9-10 را بدون توجه به سطح آمادگی خود حل کنند، این به آنها امکان می دهد مهارت های خود را در یافتن انتگرال ها به روز کنند یا شکاف های دانش را پر کنند.

مثال 9

حل معادله دیفرانسیل

مثال 10

حل معادله دیفرانسیل

به یاد داشته باشید که بیش از یک راه برای نوشتن یک انتگرال کلی وجود دارد و پاسخ های شما ممکن است متفاوت به نظر برسند. ظاهرپاسخ های من راه حل و پاسخ مختصر در پایان درس.

ارتقاء مبارک!

مثال 4:راه حل: بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم. متغیرها را از هم جدا می کنیم:


بیایید ادغام کنیم:



انتگرال کلی بدست آمده است. بیایید لگاریتم ها را بسته بندی کنیم و از شر آنها خلاص شویم:

I. معادلات دیفرانسیل معمولی

1.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

معادله دیفرانسیل معادله ای است که یک متغیر مستقل را به هم مرتبط می کند x، تابع مورد نیاز است yو مشتقات یا دیفرانسیل های آن.

معادله دیفرانسیل به صورت نمادین به صورت زیر نوشته می شود:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y,y,.., y (n))=0

اگر تابع مورد نیاز به یک متغیر مستقل وابسته باشد، معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود.

حل معادله دیفرانسیلتابعی نامیده می شود که این معادله را به یک هویت تبدیل می کند.

ترتیب معادله دیفرانسیلترتیب بالاترین مشتق موجود در این معادله است

نمونه ها

1. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید

جواب این معادله تابع y = 5 ln x است. در واقع، جایگزینی y"در معادله، هویت را دریافت می کنیم.

و این بدان معنی است که تابع y = 5 ln x– راه حلی برای این معادله دیفرانسیل است.

2. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را در نظر بگیرید y" - 5y" +6y = 0. تابع جواب این معادله است.

واقعا، .

با جایگزینی این عبارات در معادله، به دست می آوریم: , – هویت.

و این بدان معنی است که تابع راه حل این معادله دیفرانسیل است.

ادغام معادلات دیفرانسیلفرآیند یافتن راه حل برای معادلات دیفرانسیل است.

حل کلی معادله دیفرانسیلتابع فرم نامیده می شود ، که به اندازه ترتیب معادله شامل ثابت دلخواه مستقل است.

حل جزئی معادله دیفرانسیلراه حلی است که از یک راه حل کلی برای مقادیر مختلف عددی ثابت های دلخواه بدست می آید. مقادیر ثابت دلخواه در مقادیر اولیه معینی از آرگومان و تابع یافت می شود.

نمودار یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال.

نمونه ها

1. یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول پیدا کنید

xdx + ydy = 0، اگر y= 4 در x = 3.

راه حل. با ادغام هر دو طرف معادله، به دست می آوریم

نظر دهید. یک ثابت دلخواه C که در نتیجه ادغام به دست می آید را می توان به هر شکلی که برای تبدیل های بعدی مناسب است نشان داد. در این مورد، با در نظر گرفتن معادله متعارف یک دایره، نشان دادن یک ثابت دلخواه C به شکل راحت است.

- حل کلی معادله دیفرانسیل.

حل خاص معادله ای که شرایط اولیه را برآورده می کند y = 4 در x = 3 از کلی با جایگزین کردن شرایط اولیه به راه حل کلی پیدا می شود: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

با جایگزینی C=5 به جواب کلی، دریافت می کنیم x 2 +y 2 = 5 2 .

این یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل است که از یک راه حل کلی در شرایط اولیه داده شده به دست می آید.

2. جواب کلی معادله دیفرانسیل را بیابید

راه حل این معادله هر تابعی از شکل است که در آن C یک ثابت دلخواه است. در واقع، با جایگزینی در معادلات، به دست می آوریم: , .

در نتیجه، این معادله دیفرانسیل دارای بی نهایت جواب است، زیرا برای مقادیر مختلف ثابت C، تساوی راه حل های متفاوتی را برای معادله تعیین می کند.

به عنوان مثال، با جایگزینی مستقیم می توانید تأیید کنید که توابع راه حل های معادله هستند.

مسئله ای که در آن باید راه حل خاصی برای معادله پیدا کنید y" = f(x,y)ارضای شرایط اولیه y (x 0) = y 0، مسئله کوشی نامیده می شود.

حل معادله y" = f(x,y)، ارضای شرایط اولیه، y (x 0) = y 0، راه حلی برای مشکل کوشی نامیده می شود.

راه حل مسئله کوشی معنای هندسی ساده ای دارد. در واقع، با توجه به این تعاریف، برای حل مشکل کوشی y" = f(x,y)با توجه به اینکه y (x 0) = y 0، یعنی پیدا کردن منحنی انتگرال معادله y" = f(x,y)که از آن عبور می کند این نقطه M 0 (x 0,y 0).

II. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

2.1. مفاهیم اساسی

یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله ای از فرم است F(x,y,y") = 0.

معادله دیفرانسیل مرتبه اول مشتق اول را شامل می شود و مشتقات مرتبه بالاتر را شامل نمی شود.

معادله y" = f(x,y)معادله مرتبه اول حل شده با توجه به مشتق نامیده می شود.

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول تابعی از شکل است که شامل یک ثابت دلخواه است.

مثال.یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید.

راه حل این معادله تابع است.

در واقع، با جایگزینی این معادله با مقدار آن، دریافت می کنیم

یعنی 3x=3x

بنابراین، تابع یک راه حل کلی برای معادله برای هر ثابت C است.

راه حل خاصی برای این معادله پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند y(1)=1جایگزینی شرایط اولیه x = 1، y = 1به حل کلی معادله، از کجا می‌رسیم C=0.

بنابراین، با جایگزین کردن مقدار به دست آمده در این معادله، یک راه حل خاص از یک راه حل عمومی به دست می آوریم C=0- راه حل خصوصی

2.2. معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک معادله ای به شکل زیر است: y"=f(x)g(y)یا از طریق دیفرانسیل، که در آن f(x)و g(y)- توابع مشخص شده

برای آن ها y، که برای آن، معادله y"=f(x)g(y)معادل معادله است، که در آن متغیر yفقط در سمت چپ وجود دارد و متغیر x فقط در سمت راست است. آنها می گویند: «در معادله y"=f(x)g(yبیایید متغیرها را از هم جدا کنیم."

معادله فرم معادله متغیر جدا شده نامیده می شود.

ادغام دو طرف معادله توسط x، دریافت می کنیم G(y) = F(x) + Cجواب کلی معادله است که در آن G(y)و F(x)- برخی از ضد مشتقات، به ترتیب، از توابع و f(x), سیثابت دلخواه

الگوریتم حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک

مثال 1

معادله را حل کنید y" = xy

راه حل. مشتق از یک تابع y"آن را جایگزین کنید

بیایید متغیرها را از هم جدا کنیم

بیایید هر دو طرف برابری را ادغام کنیم:

مثال 2

2 سال" = 1- 3x 2، اگر y 0 = 3در x 0 = 1

این یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید آن را در دیفرانسیل تصور کنیم. برای این کار این معادله را در فرم بازنویسی می کنیم از اینجا

با ادغام هر دو طرف آخرین برابری، متوجه می شویم

جایگزینی مقادیر اولیه x 0 = 1، y 0 = 3ما پیدا خواهیم کرد با 9=1-1+سی، یعنی C = 9.

بنابراین، انتگرال جزئی مورد نیاز خواهد بود یا

مثال 3

برای منحنی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید M(2;-3)و داشتن مماس با ضریب زاویه ای

راه حل. با توجه به شرایط

این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است. با تقسیم متغیرها به دست می آید:

با ادغام هر دو طرف معادله، بدست می آوریم:

با استفاده از شرایط اولیه، x = 2و y = - 3ما پیدا خواهیم کرد سی:

بنابراین معادله مورد نیاز شکل دارد

2.3. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادله ای از فرم است y" = f(x)y + g(x)

کجا f(x)و g(x)- برخی از توابع مشخص شده

اگر g(x)=0سپس معادله دیفرانسیل خطی همگن نامیده می شود و به شکل زیر است: y" = f(x)y

اگر پس معادله y" = f(x)y + g(x)ناهمگن نامیده می شود.

حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی y" = f(x)yبا فرمول: Where با- ثابت دلخواه

به ویژه، اگر C=0،سپس راه حل است y = 0اگر خطی باشد معادله همگنبه نظر می رسد y" = کیکجا کمقداری ثابت است، سپس حل کلی آن به شکل زیر است: .

حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی y" = f(x)y + g(x)با فرمول داده می شود ,

آن ها برابر است با مجموع جواب کلی معادله همگن خطی مربوطه و جواب خاص این معادله.

برای یک معادله ناهمگن خطی شکل y" = kx + b,

کجا کو ب- برخی از اعداد و یک راه حل خاص تابع ثابت خواهند بود. بنابراین، راه حل کلی شکل دارد.

مثال. معادله را حل کنید y" + 2y +3 = 0

راه حل. بیایید معادله را به شکل نمایش دهیم y" = -2y - 3کجا k = -2، b= -3راه حل کلی با فرمول ارائه می شود.

بنابراین، جایی که C یک ثابت دلخواه است.

2.4. حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول به روش برنولی

یافتن یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول y" = f(x)y + g(x)به حل دو معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده با استفاده از جایگزینی کاهش می یابد y=uv، کجا توو v- توابع ناشناخته از x. این روش حل را روش برنولی می نامند.

الگوریتم حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول

y" = f(x)y + g(x)

1. جایگزینی را وارد کنید y=uv.

2. این برابری را متمایز کنید y" = u"v + uv"

3. جایگزین yو y"در این معادله: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)یا u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. عبارات معادله را طوری گروه بندی کنید که توآن را از پرانتز خارج کنید:

5. از براکت، با برابر کردن آن با صفر، تابع را پیدا کنید

این یک معادله قابل تفکیک است:

بیایید متغیرها را تقسیم کنیم و بدست آوریم:

کجا . .

6. مقدار حاصل را جایگزین کنید vبه معادله (از مرحله 4):

و تابع را پیدا کنید این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است:

7- راه حل کلی را به شکل زیر بنویسید: ، یعنی .

مثال 1

یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنید y" = -2y +3 = 0اگر y = 1در x = 0

راه حل. بیایید آن را با استفاده از جایگزینی حل کنیم y=uv،.y" = u"v + uv"

جایگزین کردن yو y"به این معادله می رسیم

با گروه بندی جمله های دوم و سوم در سمت چپ معادله، عامل مشترک را خارج می کنیم تو خارج از پرانتز

عبارت داخل پرانتز را با صفر برابر می کنیم و با حل معادله حاصل، تابع را پیدا می کنیم v = v(x)

معادله ای با متغیرهای جدا شده بدست می آوریم. بیایید هر دو طرف این معادله را ادغام کنیم: تابع را پیدا کنید v:

بیایید مقدار حاصل را جایگزین کنیم vدر معادله به دست می آوریم:

این یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم: بیایید تابع را پیدا کنیم u = u(x,c) بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم: اجازه دهید یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند y = 1در x = 0:

III. معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

3.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معادله ای است که مشتقات آن بالاتر از مرتبه دوم نباشد. در حالت کلی، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود: F(x،y،y،y") = 0

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم تابعی از شکل است که شامل دو ثابت دلخواه است. ج 1و ج 2.

یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم، راه حلی است که از یک جواب کلی برای مقادیر معینی از ثابت های دلخواه به دست می آید. ج 1و ج 2.

3.2. معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت

معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابتمعادله فرم نامیده می شود y" + py" +qy = 0، کجا صو q- مقادیر ثابت

الگوریتم حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت

1. معادله دیفرانسیل را به شکل زیر بنویسید: y" + py" +qy = 0.

2. معادله مشخصه آن را ایجاد کنید، نشان دهید y"از طریق r 2, y"از طریق r, yدر 1: r 2 + pr + q = 0

محتویات مقاله

معادلات دیفرانسیل.بسیاری قوانین فیزیکی، که پدیده های خاصی مشمول آن هستند، به شکل یک معادله ریاضی که رابطه معینی بین برخی از کمیت ها را بیان می کند، نوشته می شود. اغلب ما در مورددر مورد رابطه بین مقادیری که در طول زمان تغییر می کنند، به عنوان مثال، راندمان موتور، اندازه گیری شده با مسافتی که یک خودرو می تواند با یک لیتر سوخت طی کند، به سرعت خودرو بستگی دارد. معادله مربوطه شامل یک یا چند تابع و مشتقات آنهاست و معادله دیفرانسیل نامیده می شود. (نرخ تغییر مسافت در طول زمان با سرعت تعیین می شود؛ بنابراین سرعت مشتق فاصله است؛ به همین ترتیب، شتاب مشتق سرعت است، زیرا شتاب میزان تغییر سرعت را با زمان تعیین می کند). ارزش عالیمعادلات دیفرانسیل برای ریاضیات و به ویژه برای کاربردهای آن، با این واقعیت توضیح داده می شود که مطالعه بسیاری از مسائل فیزیکی و فنی به حل چنین معادلاتی ختم می شود. معادلات دیفرانسیل در سایر علوم مانند زیست شناسی، اقتصاد و مهندسی برق نیز نقش بسزایی دارند. در واقع هر جا که نیاز به توصیف کمی (عددی) پدیده ها باشد (از آنجایی که دنیای اطراف مادر طول زمان تغییر می کند و شرایط از مکانی به مکان دیگر تغییر می کند).

نمونه ها

مثال‌های زیر درک بهتری از نحوه فرمول‌بندی مسائل مختلف به زبان معادلات دیفرانسیل ارائه می‌دهند.

1) قانون واپاشی برخی از مواد رادیواکتیو این است که میزان تجزیه با مقدار موجود این ماده متناسب است. اگر x- مقدار ماده در یک نقطه خاص از زمان تی، پس این قانون را می توان به صورت زیر نوشت:

کجا dx/dtنرخ پوسیدگی است و ک- مقداری ثابت مثبت که یک ماده معین را مشخص می کند. (علامت منفی در سمت راست نشان دهنده آن است xبا گذشت زمان کاهش می یابد؛ علامت بعلاوه، همیشه زمانی که علامت به صراحت بیان نشده باشد، به این معنی است xبا گذشت زمان افزایش می یابد.)

2) ظرف در ابتدا حاوی 10 کیلوگرم نمک حل شده در 100 متر مکعب آب است. اگر آب تمیزبا سرعت 1 متر مکعب در دقیقه در ظرف ریخته و به طور یکنواخت با محلول مخلوط می شود و محلول حاصل با همان سرعت از ظرف خارج می شود، پس در هر زمان بعدی چقدر نمک در ظرف خواهد بود؟ اگر x– مقدار نمک (به کیلوگرم) در ظرف در هر بار تی، سپس در هر زمان تی 1 متر مکعب از محلول در ظرف حاوی x/ 100 کیلوگرم نمک; بنابراین مقدار نمک به سرعت کاهش می یابد x/100 کیلوگرم در دقیقه یا

3) اجازه دهید توده هایی روی بدن وجود داشته باشد متربه حالت تعلیق در انتهای فنر، یک نیروی ترمیم کننده متناسب با مقدار کشش در فنر عمل می کند. اجازه دهید x- میزان انحراف بدن از وضعیت تعادل. سپس، طبق قانون دوم نیوتن، که بیان می کند که شتاب (مشتق دوم از xبر اساس زمان، تعیین شده است د 2 x/dt 2) متناسب با نیرو:

سمت راست علامت منفی دارد زیرا نیروی ترمیم کننده کشش فنر را کاهش می دهد.

4) قانون خنک کننده بدن بیان می کند که مقدار گرما در بدن به نسبت اختلاف دمای بدن کاهش می یابد و محیط زیست. اگر یک فنجان قهوه در دمای 90 درجه سانتیگراد در اتاقی باشد که دمای آن 20 درجه سانتیگراد است،

کجا تی– دمای قهوه در زمان تی.

5) وزیر خارجه ایالت بلفوسکو ادعا می کند که برنامه تسلیحاتی که توسط لیلیپوت اتخاذ شده است، کشورش را مجبور می کند تا هزینه های نظامی را تا حد امکان افزایش دهد. وزیر امور خارجه لیلیپوت نیز اظهاراتی مشابه دارد. وضعیت حاصل (در ساده ترین تفسیر آن) را می توان با دو معادله دیفرانسیل به دقت توصیف کرد. اجازه دهید xو y- هزینه های تسلیح لیلیپوت و بلفوسکو. با فرض اینکه لیلیپوت هزینه های خود را برای تسلیحات با نرخی متناسب با نرخ افزایش هزینه های تسلیحات بلفوسکو افزایش می دهد و بالعکس، به دست می آوریم:

جایی که اعضا هستند تبرو - توسطمخارج نظامی هر کشور را شرح دهد، کو لثابت های مثبت هستند (این مسئله برای اولین بار در سال 1939 توسط ال. ریچاردسون به این شکل بیان شد.)

بعد از اینکه مسئله به زبان معادلات دیفرانسیل نوشته شد، باید سعی کنید آنها را حل کنید. مقادیری را بیابید که نرخ تغییر آنها در معادلات گنجانده شده است. گاهی اوقات راه‌حل‌ها در قالب فرمول‌های صریح یافت می‌شوند، اما اغلب آنها را فقط می‌توان به صورت تقریبی ارائه کرد یا اطلاعات کیفی در مورد آنها به دست آورد. تعیین اینکه آیا راه حلی وجود دارد یا نه، چه رسد به یافتن راه حل، اغلب دشوار است. بخش مهمی از نظریه معادلات دیفرانسیل شامل به اصطلاح "قضیه های وجود" است که در آنها وجود یک راه حل برای یک یا آن نوع معادله دیفرانسیل ثابت می شود.

فرمول ریاضی اصلی یک مسئله فیزیکی معمولاً شامل فرضیات ساده‌کننده است. ملاک معقول بودن آنها می تواند میزان سازگاری جواب ریاضی با مشاهدات موجود باشد.

حل معادلات دیفرانسیل.

برای مثال معادله دیفرانسیل دو/dx = x/y، نه با یک عدد، بلکه توسط یک تابع، در این مورد خاص به گونه ای که نمودار آن در هر نقطه، برای مثال در نقطه ای با مختصات (2،3)، مماس با شیب، برابر با نسبت مختصات (در مثال ما 2/3). اگر بسازید، به راحتی می توان آن را تأیید کرد تعداد زیادینقاط و از هر یک قسمت کوتاه با شیب مربوطه را کنار بگذارید. راه حل تابعی خواهد بود که نمودار آن هر یک از نقاط آن را به بخش مربوطه لمس می کند. اگر نقاط و بخش‌های کافی وجود داشته باشد، می‌توانیم تقریباً مسیر منحنی‌های محلول را ترسیم کنیم (سه منحنی در شکل 1 نشان داده شده است). دقیقاً یک منحنی راه حل وجود دارد که از هر نقطه عبور می کند yشماره 0. هر جواب منفرد را حل جزئی یک معادله دیفرانسیل می نامند. اگر بتوان فرمولی حاوی تمام راه‌حل‌های خاص (به استثنای چند راه‌حل خاص) پیدا کرد، آنگاه می‌گویند که یک راه‌حل کلی به دست آمده است. یک راه حل خاص نشان دهنده یک تابع است، در حالی که یک راه حل کلی نشان دهنده یک خانواده کامل از آنها است. حل معادله دیفرانسیل به معنای یافتن جواب خاص یا کلی آن است. در مثالی که در نظر داریم راه حل کلی شکل دارد y 2 – x 2 = ج، کجا ج- هر تعداد؛ یک محلول خاص که از نقطه (1،1) می گذرد شکل دارد y = xو معلوم می شود که چه زمانی ج= 0; یک محلول خاص که از نقطه (2،1) می گذرد شکل دارد y 2 – x 2 = 3. شرطی که لازم است منحنی محلول، به عنوان مثال، از نقطه (2،1) عبور کند، شرط اولیه نامیده می شود (زیرا نقطه شروع را در منحنی محلول مشخص می کند).

می توان نشان داد که در مثال (1) راه حل کلی شکل دارد x = CE –kt، کجا ج- ثابتی که می توان آن را تعیین کرد، برای مثال، با نشان دادن مقدار ماده در تی= 0. معادله از مثال (2) - مورد خاصمعادله مثال (1) مربوطه ک= 1/100. شرایط اولیه x= 10 ساعت تی= 0 یک راه حل خاص می دهد x = 10ه –تی/100 . معادله مثال (4) یک جواب کلی دارد تی = 70 + CE –ktو راه حل خصوصی 70 + 130 – kt; برای تعیین مقدار ک، داده های اضافی مورد نیاز است.

معادله دیفرانسیل دو/dx = x/yمعادله مرتبه اول نامیده می شود، زیرا حاوی اولین مشتق است (ترتیب یک معادله دیفرانسیل معمولاً مرتبه بالاترین مشتق موجود در آن در نظر گرفته می شود). برای اکثر (و نه همه) معادلات دیفرانسیل نوع اول که در عمل به وجود می آیند، فقط یک منحنی حل از هر نقطه عبور می کند.

چندین نوع مهم از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول وجود دارد که می توان آنها را در قالب فرمول هایی که فقط حاوی توابع ابتدایی هستند - توان ها، توان ها، لگاریتم ها، سینوس ها و کسینوس ها و غیره حل کرد. چنین معادلاتی شامل موارد زیر است.

معادلات با متغیرهای قابل تفکیک

معادلات فرم دو/dx = f(x)/g(y) را می توان با نوشتن آن در دیفرانسیل حل کرد g(y)دو = f(x)dxو ادغام هر دو بخش در بدترین حالت، راه حل را می توان به شکل انتگرال توابع شناخته شده نشان داد. مثلاً در مورد معادله دو/dx = x/yما داریم f(x) = x, g(y) = y. با نوشتن آن در فرم ydy = xdxو ادغام، دریافت می کنیم y 2 = x 2 + ج. معادلات با متغیرهای قابل تفکیک شامل معادلات مثال های (1)، (2)، (4) است (آنها را می توان به روشی که در بالا توضیح داده شد حل کرد).

معادلات در دیفرانسیل کل.

اگر معادله دیفرانسیل دارای شکل باشد دو/dx = م(x,y)/ن(x,y، کجا مو ندو تابع داده شده است، سپس می توان آن را به صورت نمایش داد م(x,y)dx – ن(x,y)دو= 0. اگر سمت چپدیفرانسیل یک تابع است اف(x,y، سپس معادله دیفرانسیل را می توان به صورت نوشتاری نوشت dF(x,y) = 0 که معادل معادله است اف(x,y) = ثابت. بنابراین، منحنی های حل معادله «خطوط سطوح ثابت» تابع یا مکان نقاطی هستند که معادلات را برآورده می کنند. اف(x,y) = ج. معادله ydy = xdx(شکل 1) - با متغیرهای قابل تفکیک و یکسان - در مجموع دیفرانسیل: برای اطمینان از دومی آن را به شکل می نویسیم. ydy – xdx= 0، یعنی د(y 2 – x 2) = 0. تابع اف(x,y) در این حالت برابر است با (1/2)( y 2 – x 2)؛ برخی از خطوط سطح ثابت آن در شکل نشان داده شده است. 1.

معادلات خطی

معادلات خطی معادلات "درجه اول" هستند - تابع مجهول و مشتقات آن در چنین معادلاتی فقط تا درجه اول ظاهر می شوند. بنابراین، معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول شکل دارد دو/dx + ص(x) = q(x، کجا ص(x) و q(x) – توابعی که فقط به x. راه حل آن همیشه می تواند با استفاده از انتگرال های توابع شناخته شده نوشته شود. بسیاری از انواع دیگر معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با استفاده از تکنیک های خاص حل می شوند.

معادلات مرتبه بالاتر

بسیاری از معادلات دیفرانسیل که فیزیکدانان با آنها مواجه می شوند، معادلات درجه دوم هستند (یعنی معادلات حاوی مشتقات دوم، برای مثال، معادله حرکت هارمونیک ساده از مثال (3) است. md 2 x/dt 2 = –kx. به طور کلی، ما می توانیم انتظار داشته باشیم که یک معادله مرتبه دوم راه حل های جزئی داشته باشد که دو شرط را برآورده می کند. به عنوان مثال، ممکن است نیاز باشد که منحنی حل از یک نقطه معین در یک جهت معین عبور کند. در مواردی که معادله دیفرانسیل حاوی پارامتری باشد (عددی که مقدار آن بستگی به شرایط دارد)، جواب‌هایی از نوع مورد نیاز فقط در صورتی وجود دارند که ارزش های خاصاین پارامتر به عنوان مثال، معادله را در نظر بگیرید md 2 x/dt 2 = –kxو ما آن را مطالبه خواهیم کرد y(0) = y(1) = 0. تابع yє 0 واضح است که یک راه حل است، اما اگر یک مضرب صحیح باشد ص، یعنی ک = متر 2 n 2 ص 2، کجا nیک عدد صحیح است، اما در واقعیت فقط در این مورد، راه حل های دیگری وجود دارد، یعنی: y= گناه npx. مقادیر پارامتری که معادله دارای راه حل های ویژه است، مشخصه یا مقادیر ویژه نامیده می شود. آنها در بسیاری از وظایف نقش مهمی دارند.

معادله حرکت هارمونیک ساده نمونه ای از یک کلاس مهم از معادلات، یعنی معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت است. بیشتر مثال کلی(همچنین مرتبه دوم) - معادله

کجا الفو ب- ثابت های داده شده، f(x) یک تابع داده شده است. چنین معادلاتی قابل حل است به طرق مختلفبه عنوان مثال، با استفاده از تبدیل لاپلاس انتگرال. همین را می توان در مورد معادلات خطی مرتبه های بالاتر با ضرایب ثابت گفت. آنها نیز نقش مهمی دارند معادلات خطیبا شانس متغیر

معادلات دیفرانسیل غیرخطی

معادلات حاوی توابع مجهول و مشتقات آنها به توان های بالاتر از اول یا به روشی پیچیده تر غیرخطی نامیده می شوند. در سال های اخیرآنها توجه بیشتری را به خود جلب می کنند. واقعیت این است که معادلات فیزیکی معمولاً فقط تا یک تقریب اول خطی هستند. تحقیقات بیشتر و دقیق تر، به عنوان یک قاعده، مستلزم استفاده از معادلات غیر خطی است. علاوه بر این، بسیاری از مسائل ماهیت غیرخطی دارند. از آنجایی که راه حل های معادلات غیرخطی اغلب بسیار پیچیده هستند و نمایش آنها با فرمول های ساده دشوار است، بخش مهمی از آن است نظریه مدرنبه تجزیه و تحلیل کیفی رفتار آنها اختصاص داده شده است. توسعه روش‌هایی که بدون حل معادله، می‌توان چیز مهمی در مورد ماهیت راه‌حل‌ها به‌عنوان یک کل بیان کرد: برای مثال، اینکه همه آنها محدود هستند، یا ماهیت دوره‌ای دارند، یا به روشی خاص به آن وابسته هستند. ضرایب

جواب های تقریبی معادلات دیفرانسیل را می توان به صورت عددی یافت، اما این امر مستلزم زمان زیادی است. با ظهور رایانه‌های پرسرعت، این زمان به شدت کاهش یافت، که فرصت‌های جدیدی را برای حل عددی بسیاری از مسائلی که قبلاً برای چنین راه‌حلی غیرقابل حل بودند، باز کرد.

قضایای هستی

قضیه وجود، قضیه ای است که بیان می کند، تحت شرایط معین، یک معادله دیفرانسیل معین دارای راه حل است. معادلات دیفرانسیل وجود دارد که هیچ راه حلی ندارند یا تعداد آنها بیش از حد انتظار است. هدف یک قضیه وجود این است که ما را متقاعد کند که یک معادله معین واقعاً یک راه حل دارد و اغلب به ما اطمینان دهد که دقیقاً یک جواب از نوع مورد نیاز دارد. به عنوان مثال، معادله ای که قبلاً با آن مواجه شده ایم دو/dx = –2yدقیقاً یک محلول دارد که از هر نقطه صفحه می گذرد ( x,y، و از آنجایی که ما قبلاً یکی از این راه حل ها را پیدا کرده ایم، بدین ترتیب این معادله را کاملاً حل کرده ایم. از سوی دیگر، معادله ( دو/dx) 2 = 1 – y 2 راه حل های زیادی دارد. در میان آنها مستقیم هستند y = 1, y= -1 و منحنی ها y= گناه ( x + ج). محلول ممکن است از چندین بخش از این خطوط و منحنی های مستقیم تشکیل شده باشد که در نقاط تماس از یکدیگر عبور می کنند (شکل 2).

معادلات دیفرانسیل جزئی

معادله دیفرانسیل معمولی عبارتی است درباره مشتق تابع مجهول یک متغیر. معادله دیفرانسیل جزئی شامل تابعی از دو یا چند متغیر و مشتقات آن تابع با توجه به حداقل دو متغیر متفاوت است.

در فیزیک، نمونه هایی از این معادلات معادله لاپلاس است

X، y) در داخل دایره اگر مقادیر تودر هر نقطه از دایره مرزی مشخص شده است. از آنجایی که مسائل با بیش از یک متغیر در فیزیک به جای استثنا قاعده است، به راحتی می توان تصور کرد که موضوع نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی چقدر گسترده است.

داده شده است ماشین حساب آنلاینبه شما امکان می دهد معادلات دیفرانسیل را بصورت آنلاین حل کنید. کافی است معادله خود را در فیلد مناسب وارد کنید و مشتق تابع را از طریق آپستروف نشان دهید و روی دکمه حل معادله کلیک کنید و سیستم پیاده سازی شده بر اساس وب سایت محبوب WolframAlpha جزئیات را ارائه می دهد حل یک معادله دیفرانسیلکاملا رایگان شما همچنین می توانید مشکل کوشی را از کل مجموعه تعریف کنید راه حل های ممکنضریب مربوط به شرایط اولیه داده شده را انتخاب کنید. مشکل کوشی در یک فیلد جداگانه وارد می شود.

معادله دیفرانسیل

به طور پیش فرض، تابع در معادله yتابعی از یک متغیر است x. با این حال، می توانید نام خود را برای متغیر مشخص کنید، اگر مثلاً y(t) را در معادله بنویسید، ماشین حساب به طور خودکار آن را تشخیص می دهد yیک تابع از یک متغیر وجود دارد تی. با کمک ماشین حساب می توانید حل معادلات دیفرانسیلاز هر پیچیدگی و نوع: همگن و ناهمگن، خطی یا غیرخطی، مرتبه اول یا مرتبه دوم و بالاتر، معادلات با متغیرهای قابل تفکیک یا غیرقابل تفکیک و غیره. تفاوت راه حل معادله به صورت تحلیلی داده شده است توضیحات مفصل. معادلات دیفرانسیل در فیزیک و ریاضیات بسیار رایج هستند. بدون محاسبه آنها، حل بسیاری از مسائل (به ویژه در فیزیک ریاضی) غیرممکن است.

یکی از مراحل حل معادلات دیفرانسیل، ادغام توابع است. روش های استانداردی برای حل معادلات دیفرانسیل وجود دارد. لازم است معادلات را به شکلی با متغیرهای قابل تفکیک y و x کاهش دهیم و توابع جدا شده را به طور جداگانه ادغام کنیم. برای انجام این کار، گاهی اوقات باید جایگزین خاصی انجام شود.