سطح اول

معادلات درجه دوم. راهنمای جامع (2019)

در اصطلاح " معادله درجه دومکلمه کلیدی "مربع" است. این به این معنی است که معادله لزوماً باید دارای یک متغیر (همان x) مربع باشد و نباید X برای توان سوم (یا بیشتر) وجود داشته باشد.

حل بسیاری از معادلات به حل معادلات درجه دوم ختم می شود.

بیایید یاد بگیریم که تعیین کنیم که این یک معادله درجه دوم است و نه یک معادله دیگر.

مثال 1.

بیایید از مخرج خلاص شویم و هر جمله معادله را در ضرب کنیم

بیایید همه چیز را به سمت چپو عبارت ها را به ترتیب نزولی توان های x مرتب کنید

حالا با اطمینان می توان گفت که این معادله درجه دوم است!

مثال 2.

ضلع چپ و راست را در:

این معادله با اینکه در اصل در آن بود، درجه دوم نیست!

مثال 3.

بیایید همه چیز را ضرب کنیم:

ترسناک؟ درجه چهارم و دوم ... اما اگر جایگزینی انجام دهیم می بینیم که یک معادله درجه دوم ساده داریم:

مثال 4.

به نظر می رسد وجود دارد، اما اجازه دهید نگاهی دقیق تر بیندازیم. بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم:

ببینید، کاهش یافته است - و اکنون یک معادله خطی ساده است!

حال سعی کنید خودتان تعیین کنید که کدام یک از معادلات زیر درجه دوم هستند و کدام یک نیستند:

مثال ها:

پاسخ ها:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. مربع نیست؛
4. مربع نیست؛
5. مربع نیست؛
6. مربع؛
7. مربع نیست؛
8. مربع.

ریاضیدانان به طور معمول تمام معادلات درجه دوم را به انواع زیر تقسیم می کنند:

• معادلات درجه دوم را کامل کنید- معادلاتی که در آنها ضرایب و همچنین عبارت آزاد c برابر با صفر نیستند (مانند مثال). علاوه بر این، در میان معادلات درجه دوم کامل وجود دارد داده شده- اینها معادلاتی هستند که در آنها ضریب (معادله مثال یک نه تنها کامل است، بلکه کاهش می یابد!)

• معادلات درجه دوم ناقص- معادلاتی که در آنها ضریب و یا عبارت آزاد c برابر با صفر است:

  آنها ناقص هستند زیرا برخی از عناصر را از دست داده اند. اما معادله باید همیشه X مربع باشد!!! در غیر این صورت، دیگر یک معادله درجه دوم نخواهد بود، بلکه یک معادله دیگر خواهد بود.

چرا چنین تقسیم بندی کردند؟ به نظر می رسد که یک X مربع وجود دارد، و خوب است. این تقسیم با روش های حل تعیین می شود. بیایید به هر یک از آنها با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

حل معادلات درجه دوم ناقص

ابتدا، بیایید روی حل معادلات درجه دوم ناقص تمرکز کنیم - آنها بسیار ساده تر هستند!

انواع معادلات درجه دوم ناقص وجود دارد:

1. ، در این معادله ضریب برابر است.
2. ، در این معادله عبارت آزاد برابر است با.
3. ، در این معادله ضریب و جمله آزاد برابر هستند.

1. من. چون می دانیم چگونه استخراج کنیم ریشه دوم، سپس از این معادله بیان می کنیم

عبارت می تواند منفی یا مثبت باشد. یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد، زیرا هنگام ضرب دو عدد منفی یا دو عدد مثبت، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود، بنابراین: اگر، پس معادله هیچ جوابی ندارد.

و اگر، پس دو ریشه می گیریم. نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. نکته اصلی این است که باید بدانید و همیشه به یاد داشته باشید که نمی تواند کمتر باشد.

بیایید سعی کنیم چند مثال را حل کنیم.

مثال 5:

معادله را حل کنید

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از سمت چپ و راست است. پس از همه، شما به یاد دارید که چگونه ریشه ها را استخراج کنید؟

پاسخ:

ریشه های دارای علامت منفی را هرگز فراموش نکنید!!!

مثال 6:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 7:

معادله را حل کنید

اوه! مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد، به این معنی که معادله

بدون ریشه!

برای چنین معادلاتی که ریشه ندارند، ریاضیدانان نماد خاصی را ارائه کردند - (مجموعه خالی). و پاسخ را می توان اینگونه نوشت:

پاسخ:

بنابراین، این معادله درجه دوم دو ریشه دارد. در اینجا هیچ محدودیتی وجود ندارد، زیرا ما ریشه را استخراج نکردیم.
مثال 8:

معادله را حل کنید

بیایید عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

بدین ترتیب،

این معادله دو ریشه دارد.

پاسخ:

ساده ترین نوع معادلات درجه دوم ناقص (اگرچه همه آنها ساده هستند، درست است؟). بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

در اینجا از ذکر مثال صرف نظر می کنیم.

حل معادلات درجه دوم کامل

یادآوری می کنیم که یک معادله درجه دوم کامل معادله ای از معادله فرم است که در آن

حل معادلات درجه دوم کمی دشوارتر از اینها (فقط کمی) است.

یاد آوردن، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از یک ممیز حل کرد! حتی ناقص.

روش‌های دیگر به شما کمک می‌کنند این کار را سریع‌تر انجام دهید، اما اگر با معادلات درجه دوم مشکل دارید، ابتدا با استفاده از تفکیک کننده به حل مسلط شوید.

1. حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز.

حل معادلات درجه دوم با استفاده از این روش بسیار ساده است.

اگر، پس معادله ریشه دارد. توجه ویژهیک قدم بردار. متمایز () تعداد ریشه های معادله را به ما می گوید.

• اگر، فرمول موجود در مرحله به کاهش می یابد. بنابراین، معادله فقط یک ریشه خواهد داشت.
• اگر، پس نمی‌توانیم ریشه ممیز را در مرحله استخراج کنیم. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

بیایید به معادلات خود برگردیم و به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 9:

معادله را حل کنید

مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

یعنی معادله دو ریشه دارد.

مرحله 3.

پاسخ:

مثال 10:

معادله را حل کنید

معادله به شکل استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

یعنی معادله یک ریشه دارد.

پاسخ:

مثال 11:

معادله را حل کنید

معادله به شکل استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

این بدان معنی است که ما نمی توانیم ریشه تمایز را استخراج کنیم. هیچ ریشه ای از معادله وجود ندارد.

اکنون می دانیم که چگونه چنین پاسخ هایی را به درستی یادداشت کنیم.

پاسخ:بدون ریشه

2. حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا.

اگر به خاطر داشته باشید، یک نوع معادله وجود دارد که به آن کاهش می گویند (زمانی که ضریب a برابر باشد):

حل چنین معادلاتی با استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است:

مجموع ریشه ها داده شدهمعادله درجه دوم برابر است و حاصل ضرب ریشه ها برابر است.

مثال 12:

معادله را حل کنید

این معادله را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد زیرا .

مجموع ریشه های معادله برابر است، یعنی. معادله اول را بدست می آوریم:

و محصول برابر است با:

بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

پاسخ: ; .

مثال 13:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 14:

معادله را حل کنید

معادله داده شده است که به این معنی است:

پاسخ:

معادلات درجه دوم. سطح متوسط

معادله درجه دوم چیست؟

به عبارت دیگر، یک معادله درجه دوم معادله ای از شکل است که در آن - مجهول، - برخی اعداد، و.

عدد بالاترین یا نامیده می شود ضریب اولمعادله درجه دوم، - ضریب دوم، آ - عضو رایگان.

چرا؟ زیرا اگر معادله بلافاصله خطی شود، زیرا ناپدید خواهد شد.

در این مورد، و می تواند برابر با صفر باشد. در این صندلی معادله ناقص نامیده می شود. اگر همه عبارت ها سر جای خود باشند، یعنی معادله کامل است.

راه حل برای انواع مختلف معادلات درجه دوم

روش های حل معادلات درجه دوم ناقص:

ابتدا، بیایید به روش هایی برای حل معادلات درجه دوم ناقص نگاه کنیم - آنها ساده تر هستند.

ما می توانیم انواع معادلات زیر را تشخیص دهیم:

I.، در این معادله ضریب و جمله آزاد برابر هستند.

II. ، در این معادله ضریب برابر است.

III. ، در این معادله عبارت آزاد برابر است با.

حال بیایید راه حل هر یک از این زیرگروه ها را بررسی کنیم.

بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد، زیرا وقتی دو عدد منفی یا دو عدد مثبت را ضرب کنید، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود. از همین رو:

اگر، پس معادله هیچ راه حلی ندارد.

اگر دو ریشه داشته باشیم

نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. نکته اصلی که باید به خاطر داشته باشید این است که نمی تواند کمتر باشد.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

هرگز ریشه های دارای علامت منفی را فراموش نکنید!

مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد، به این معنی که معادله

بدون ریشه

برای اینکه به طور خلاصه بنویسیم که یک مشکل راه حلی ندارد، از نماد مجموعه خالی استفاده می کنیم.

پاسخ:

بنابراین، این معادله دو ریشه دارد: و.

پاسخ:

بیایید عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. این به این معنی است که معادله یک راه حل دارد که:

بنابراین، این معادله درجه دوم دو ریشه دارد: و.

مثال:

معادله را حل کنید.

راه حل:

بیایید سمت چپ معادله را فاکتور بگیریم و ریشه ها را پیدا کنیم:

پاسخ:

روش های حل معادلات درجه دوم:

1. ممیز

حل معادلات درجه دوم از این طریق آسان است، نکته اصلی این است که دنباله اقدامات و چند فرمول را به خاطر بسپارید. به یاد داشته باشید، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از یک ممیز حل کرد! حتی ناقص.

آیا متوجه ریشه از متمایز کننده در فرمول ریشه ها شده اید؟ اما تمایز می تواند منفی باشد. چه باید کرد؟ ما باید به مرحله 2 توجه ویژه ای داشته باشیم. متمایز کننده تعداد ریشه های معادله را به ما می گوید.

• اگر، پس معادله دارای ریشه است:
• اگر معادله دارای ریشه های یکسان و در واقع یک ریشه باشد:

  به این گونه ریشه ها، ریشه دوتایی می گویند.

• اگر، پس ریشه ممیز استخراج نمی شود. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

چرا ممکن است مقادیر مختلفریشه ها؟ اجازه دهید به معنای هندسی معادله درجه دوم بپردازیم. نمودار تابع یک سهمی است:

در یک حالت خاص که معادله درجه دوم است، . این بدان معنی است که ریشه های یک معادله درجه دوم، نقاط تقاطع با محور آبسیسا (محور) هستند. یک سهمی ممکن است اصلاً محور را قطع نکند، یا ممکن است آن را در یک (زمانی که راس سهمی روی محور قرار دارد) یا دو نقطه قطع کند.

علاوه بر این، ضریب مسئول جهت شاخه های سهمی است. اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت بالا و اگر به سمت پایین هدایت می شوند.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

پاسخ: .

پاسخ:

این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

پاسخ: .

2. قضیه ویتا

استفاده از قضیه Vieta بسیار آسان است: فقط باید یک جفت اعدادی را انتخاب کنید که حاصل ضرب آنها برابر با جمله آزاد معادله باشد و مجموع آن برابر با ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته شده است.

مهم است که به یاد داشته باشید که قضیه ویتا را فقط می توان در آن اعمال کرد معادلات درجه دوم کاهش یافته ().

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

مثال شماره 1:

معادله را حل کنید.

راه حل:

این معادله را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد زیرا . سایر ضرایب: ; .

مجموع ریشه های معادله برابر است با:

و محصول برابر است با:

بیایید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر است و بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است یا خیر:

• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

بنابراین، و ریشه های معادله ما هستند.

پاسخ: ؛ .

مثال شماره 2:

راه حل:

بیایید جفت‌هایی از اعداد را انتخاب کنیم که حاصل ضرب می‌شوند، و سپس بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است یا خیر:

و: در مجموع می دهند.

و: در مجموع می دهند. برای به دست آوردن، کافی است به سادگی علائم ریشه های فرضی را تغییر دهید: و پس از همه، محصول.

پاسخ:

مثال شماره 3:

راه حل:

جمله آزاد معادله منفی است و بنابراین حاصل ضرب ریشه ها برابر است یک عدد منفی. این تنها در صورتی امکان پذیر است که یکی از ریشه ها منفی و دیگری مثبت باشد. بنابراین مجموع ریشه ها برابر است با تفاوت ماژول های آنها.

اجازه دهید جفت‌هایی از اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب می‌شوند و تفاوت آنها برابر است با:

و: تفاوت آنها برابر است - مناسب نیست;

و: - مناسب نیست.

و: - مناسب نیست.

و: - مناسب. تنها چیزی که باقی می ماند این است که به یاد داشته باشید که یکی از ریشه ها منفی است. از آنجایی که مجموع آنها باید برابر باشد، ریشه با مدول کوچکتر باید منفی باشد: . بررسی می کنیم:

پاسخ:

مثال شماره 4:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله داده شده است که به این معنی است:

عبارت آزاد منفی است و بنابراین حاصل ضرب ریشه ها منفی است. و این تنها زمانی امکان پذیر است که یک ریشه معادله منفی و دیگری مثبت باشد.

بیایید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر است، و سپس تعیین کنیم که کدام ریشه ها باید علامت منفی داشته باشند:

بدیهی است که فقط ریشه ها و برای شرایط اول مناسب هستند:

پاسخ:

مثال شماره 5:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله داده شده است که به این معنی است:

مجموع ریشه ها منفی است، یعنی حداقل یکی از ریشه ها منفی است. اما از آنجایی که محصول آنها مثبت است، به این معنی است که هر دو ریشه یک علامت منفی دارند.

اجازه دهید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر با:

بدیهی است که ریشه ها اعداد و.

پاسخ:

موافقم، به جای شمردن این تمایز ناخوشایند، خیلی راحت است که ریشه ها را به صورت شفاهی بیاوریم. سعی کنید تا حد امکان از قضیه ویتا استفاده کنید.

اما قضیه ویتا برای تسهیل و تسریع یافتن ریشه ها مورد نیاز است. برای اینکه بتوانید از استفاده از آن بهره مند شوید، باید اقدامات را به صورت خودکار انجام دهید. و برای این، پنج مثال دیگر را حل کنید. اما تقلب نکنید: شما نمی توانید از تمایز استفاده کنید! فقط قضیه ویتا:

راه حل های وظایف برای کار مستقل:

کار 1. ((x)^(2))-8x+12=0

طبق قضیه ویتا:

طبق معمول، انتخاب را با این قطعه شروع می کنیم:

مناسب نیست زیرا مقدار;

: مقدار آن چیزی است که شما نیاز دارید.

پاسخ: ؛ .

وظیفه 2.

و دوباره قضیه ویتا مورد علاقه ما: مجموع باید برابر باشد و حاصلضرب باید برابر باشد.

اما چون نباید باشد، اما، نشانه های ریشه ها را تغییر می دهیم: و (در کل).

پاسخ: ؛ .

وظیفه 3.

هوم... اون کجاست؟

شما باید تمام اصطلاحات را به یک قسمت منتقل کنید:

مجموع ریشه ها برابر با حاصلضرب است.

باشه بس کن معادله داده نشده است. اما قضیه ویتا فقط در معادلات داده شده قابل اجرا است. بنابراین ابتدا باید یک معادله ارائه دهید. اگر نمی توانید رهبری کنید، این ایده را رها کنید و آن را به روش دیگری حل کنید (مثلاً از طریق یک ممیز). اجازه دهید یادآوری کنم که برای دادن یک معادله درجه دوم به معنای برابر کردن ضریب پیشرو است:

عالی. سپس مجموع ریشه ها برابر و حاصلضرب می شود.

در اینجا انتخاب کردن به آسانی گلابی پوست کنده است: به هر حال، این یک عدد اول است (با عرض پوزش برای توتولوژی).

پاسخ: ؛ .

وظیفه 4.

عضو رایگان منفی است. این چه ویژگی خاصی دارد؟ و واقعیت این است که ریشه ها نشانه های متفاوتی خواهند داشت. و اکنون، در حین انتخاب، ما نه مجموع ریشه ها، بلکه تفاوت ماژول های آنها را بررسی می کنیم: این تفاوت برابر است، اما یک محصول.

بنابراین، ریشه ها برابر هستند با و، اما یکی از آنها منهای است. قضیه ویتا به ما می گوید که مجموع ریشه ها برابر است با ضریب دوم با علامت مخالف، یعنی. این بدان معنی است که ریشه کوچکتر یک منهای خواهد داشت: and, since.

پاسخ: ؛ .

وظیفه 5.

اول باید چی کار کنید؟ درست است، معادله را ارائه دهید:

باز هم: فاکتورهای عدد را انتخاب می کنیم و اختلاف آنها باید برابر باشد:

ریشه ها مساوی و هستند، اما یکی از آنها منهای است. کدام؟ مجموع آنها باید برابر باشد، به این معنی که منهای یک ریشه بزرگتر خواهد داشت.

پاسخ: ؛ .

بگذارید خلاصه کنم:

1. قضیه ویتا فقط در معادلات درجه دوم داده شده استفاده می شود.
2. با استفاده از قضیه ویتا، می توانید ریشه ها را با انتخاب، به صورت شفاهی پیدا کنید.
3. اگر معادله داده نشود یا هیچ جفت عامل مناسبی از جمله آزاد پیدا نشود، هیچ ریشه کاملی وجود ندارد و باید آن را به روش دیگری (مثلاً از طریق ممیز) حل کنید.

3. روش انتخاب مربع کامل

اگر همه عبارت‌های حاوی مجهول به صورت عبارت از فرمول‌های ضرب اختصاری - مجذور مجموع یا تفاوت - نشان داده شوند، پس از جایگزینی متغیرها، می‌توان معادله را در قالب یک معادله درجه دوم ناقص از نوع ارائه کرد.

مثلا:

مثال 1:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

پاسخ:

مثال 2:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

پاسخ:

که در نمای کلیتبدیل به شکل زیر خواهد بود:

این دلالت می کنه که: .

شما را به یاد چیزی نمی اندازد؟ این یک چیز تبعیض آمیز است! این دقیقاً چگونه است که ما فرمول تشخیص را دریافت کردیم.

معادلات درجه دوم. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

معادله درجه دوم- این یک معادله شکل است، جایی که - مجهول، - ضرایب معادله درجه دوم، - عبارت آزاد.

معادله درجه دوم کامل- معادله ای که در آن ضرایب برابر با صفر نیستند.

معادله درجه دوم کاهش یافته است- معادله ای که در آن ضریب، یعنی: .

معادله درجه دوم ناقص- معادله ای که در آن ضریب و یا عبارت آزاد c برابر با صفر است:

• اگر ضریب باشد، معادله به نظر می رسد:
• اگر یک جمله آزاد وجود داشته باشد، معادله به شکل زیر است:
• اگر و، معادله به نظر می رسد: .

1. الگوریتم حل معادلات درجه دوم ناقص

1.1. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن، :

1) مجهول را بیان کنیم:

2) علامت عبارت را بررسی کنید:

• اگر، پس معادله هیچ راه حلی ندارد،
• اگر، پس معادله دو ریشه دارد.

1.2. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن، :

1) عامل مشترک را از پرانتز خارج می کنیم:

2) اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. بنابراین، معادله دو ریشه دارد:

1.3. معادله درجه دوم فرم که در آن:

این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد: .

2. الگوریتم حل معادلات درجه دوم کامل فرم Where

2.1. راه حل با استفاده از تشخیص

1) بیایید معادله را به شکل استاندارد برسانیم:

2) بیایید تفکیک کننده را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم: که تعداد ریشه های معادله را نشان می دهد:

3) ریشه های معادله را پیدا کنید:

• اگر، پس معادله دارای ریشه هایی است که با فرمول پیدا می شوند:
• اگر، پس معادله یک ریشه دارد که با فرمول پیدا می شود:
• اگر، پس معادله ریشه ندارد.

2.2. حل با استفاده از قضیه Vieta

مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته (معادله شکل که در آن) برابر است، و حاصل ضرب ریشه ها برابر است، یعنی. ، آ.

2.3. حل با روش انتخاب مربع کامل

2.5 فرمول ویتا برای چند جمله ای ها (معادلات) درجات بالاتر

فرمول های استخراج شده توسط Viète برای معادلات درجه دوم برای چند جمله ای های درجات بالاتر نیز صادق است.

چند جمله ای را بگذارید

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

دارای n ریشه مختلف x 1، x 2...، x n.

در این مورد، یک فاکتورگیری از فرم دارد:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

بیایید هر دو طرف این تساوی را بر 0 ≠ 0 تقسیم کنیم و پرانتزهای قسمت اول را باز کنیم. برابری را بدست می آوریم:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

اما دو چند جمله ای به طور یکسان برابر هستند اگر و تنها در صورتی که ضرایب توان های یکسان برابر باشند. نتیجه می شود که برابری

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

به عنوان مثال، برای چند جمله ای های درجه سوم

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

ما هویت داریم

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

همانند معادلات درجه دوم، این فرمول فرمول ویتا نامیده می شود. ضلع سمت چپ این فرمول ها چند جمله ای های متقارن از ریشه های x 1, x 2 ..., x n این معادله هستند و ضلع های سمت راست از طریق ضریب چند جمله ای بیان می شوند.

2.6 معادلات قابل تقلیل به درجه دوم (دوطرفه)

معادلات درجه چهارم به معادلات درجه دوم کاهش می یابد:

تبر 4 + bx 2 + c = 0،

Biquadratic نامیده می شود و a ≠ 0.

کافی است x 2 = y را در این معادله قرار دهیم، بنابراین،

ay² + توسط + c = 0

بیایید ریشه های معادله درجه دوم حاصل را پیدا کنیم

y 1,2 =

برای یافتن فوری ریشه های x 1، x 2، x 3، x 4، y را با x جایگزین کنید و بدست آورید

x² =

x 1،2،3،4 = .

اگر یک معادله درجه چهارم دارای x 1 باشد، آنگاه ریشه x 2 = -x 1 نیز دارد.

اگر x 3 داشته باشد، x 4 = - x 3. مجموع ریشه های چنین معادله ای صفر است.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

بیایید معادله را با فرمول ریشه های معادلات دو درجه ای جایگزین کنیم:

x 1،2،3،4 = ,

با دانستن اینکه x 1 = -x 2، و x 3 = -x 4، سپس:

x 3.4 =

پاسخ: x 1.2 = 2±; x 1.2 =

2.7 مطالعه معادلات دو درجه ای

بیایید معادله دو درجه ای را در نظر بگیریم

تبر 4 + bx 2 + c = 0،

که در آن a، b، c اعداد واقعی هستند و a > 0. با معرفی مجهول کمکی y = x²، ریشه های این معادله را بررسی کرده و نتایج را در جدول وارد می کنیم (پیوست شماره 1 را ببینید).

2.8 فرمول کاردانو

اگر از نمادگرایی مدرن استفاده کنیم، اشتقاق فرمول کاردانو می تواند به شکل زیر باشد:

x =

این فرمول ریشه ها را مشخص می کند معادله کلیدرجه سوم:

تبر 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

این فرمول بسیار دست و پا گیر و پیچیده است (شامل چندین رادیکال پیچیده است). همیشه اعمال نخواهد شد، زیرا ... پر کردن خیلی سخته

F ¢ (xо) = 0، > 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

جالب‌ترین مکان‌ها را از بین ۲ تا ۳ متن فهرست یا انتخاب کنید. بنابراین، ما مقررات کلی برای ایجاد و اجرای دروس انتخابی را بررسی کرده‌ایم که هنگام توسعه یک درس انتخابی در جبر برای کلاس 9 "معادلات درجه دوم و نابرابری‌ها با یک پارامتر" در نظر گرفته می‌شود. فصل دوم. روش اجرای درس انتخابی معادلات درجه دوم و نامساوی با یک پارامتر 1.1. معمول هستند...

راه حل هایی از روش های محاسبه عددی برای تعیین ریشه یک معادله، آگاهی از نظریات گروه های هابیل، گالوا، دروغ و ... و استفاده از اصطلاحات ریاضی خاص: حلقه، میدان، ایده آل، هم ریختی و ... لازم نیست. برای حل یک معادله جبری درجه n فقط به توانایی حل معادلات درجه دوم و استخراج ریشه از یک عدد مختلط نیاز دارید. ریشه ها را می توان با ...

با واحدهای اندازه گیری کمیت های فیزیکی در سیستم MathCAD؟ 11. متن، بلوک های گرافیکی و ریاضی را با جزئیات شرح دهید. سخنرانی شماره 2. مسائل جبر خطی و حل معادلات دیفرانسیل در محیط MathCAD در مسائل جبر خطی تقریباً همیشه نیاز به انجام عملیات مختلف با ماتریس وجود دارد. پانل عملگر با ماتریس ها در پنل Math قرار دارد. ...

فرمول بندی و اثبات قضیه ویتا برای معادلات درجه دوم. قضیه معکوس ویتا قضیه ویتا برای معادلات مکعبی و معادلات نظم دلخواه.

معادلات درجه دوم

قضیه ویتا

ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته را بگذارید و نشان دهید
(1) .
سپس مجموع ریشه ها برابر با ضریب است که با علامت مخالف گرفته می شود. حاصل ضرب ریشه ها برابر است با عبارت آزاد:
;
.

نکته ای در مورد ریشه های متعدد

اگر ممیز معادله (1) صفر باشد، این معادله یک ریشه دارد. اما، به منظور اجتناب از فرمول‌بندی‌های دست و پاگیر، به طور کلی پذیرفته شده است که در این مورد، معادله (1) دارای دو ریشه چندگانه یا مساوی است:
.

اثبات یک

بیایید ریشه های معادله (1) را پیدا کنیم. برای انجام این کار، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم را اعمال کنید:
;
;
.

جمع ریشه ها را بیابید:
.

برای پیدا کردن محصول، فرمول را اعمال کنید:
.
سپس

.

قضیه ثابت شده است.

اثبات دو

اگر اعداد ریشه های معادله درجه دوم (1) باشند، پس
.
باز کردن پرانتز.

.
بنابراین، معادله (1) به شکل زیر خواهد بود:
.
در مقایسه با (1) متوجه می شویم:
;
.

قضیه ثابت شده است.

قضیه معکوس ویتا

بگذارید اعداد دلخواه وجود داشته باشد. سپس و ریشه های معادله درجه دوم هستند
,
جایی که
(2) ;
(3) .

اثبات قضیه معکوس ویتا

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید
(1) .
باید ثابت کنیم که اگر و، پس و ریشه های معادله (1) هستند.

بیایید (2) و (3) را با (1) جایگزین کنیم:
.
عبارات سمت چپ معادله را گروه بندی می کنیم:
;
;
(4) .

بیایید در (4) جایگزین کنیم:
;
.

بیایید در (4) جایگزین کنیم:
;
.
معادله برقرار است. یعنی عدد ریشه معادله (1) است.

قضیه ثابت شده است.

قضیه ویتا برای یک معادله درجه دوم کامل

حالا معادله درجه دوم کامل را در نظر بگیرید
(5) ,
کجا، و تعدادی اعداد هستند. علاوه بر این.

بیایید معادله (5) را بر:
.
یعنی معادله داده شده را بدست آوردیم
,
جایی که ؛ .

سپس قضیه ویتا برای یک معادله درجه دوم کامل به شکل زیر است.

ریشه های معادله درجه دوم کامل را بگذارید و نشان دهید
.
سپس مجموع و حاصلضرب ریشه ها با فرمول های زیر تعیین می شود:
;
.

قضیه ویتا برای معادله مکعب

به روشی مشابه، می توانیم بین ریشه های یک معادله مکعبی ارتباط برقرار کنیم. معادله مکعب را در نظر بگیرید
(6) ,
که در آن،،، تعدادی اعداد هستند. علاوه بر این.
بیایید این معادله را بر:
(7) ,
جایی که ، ، .
, , ریشه های معادله (7) (و معادله (6)) باشد. سپس

.

با مقایسه با معادله (7) متوجه می شویم:
;
;
.

قضیه ویتا برای معادله درجه n

به همین ترتیب، می توانید ارتباط بین ریشه های , , ... , , را برای معادله درجه n بیابید.
.

قضیه ویتا برای معادله درجه n به شکل زیر است:
;
;
;

.

برای بدست آوردن این فرمول ها معادله را به صورت زیر می نویسیم:
.
سپس ضرایب , , , ... را برابر می کنیم و عبارت آزاد را با هم مقایسه می کنیم.

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.
سانتی متر. نیکولسکی، M.K. پوتاپوف و همکاران، جبر: کتاب درسی کلاس هشتم در موسسات آموزش عمومی، مسکو، آموزش و پرورش، 2006.

در ریاضیات تکنیک های خاصی وجود دارد که با آن می توان بسیاری از معادلات درجه دوم را خیلی سریع و بدون هیچ تمایزی حل کرد. علاوه بر این، با آموزش مناسب، بسیاری شروع به حل معادلات درجه دوم به صورت شفاهی، به معنای واقعی کلمه "در نگاه اول" می کنند.

متأسفانه ، در دوره مدرن ریاضیات مدرسه ، چنین فناوری هایی تقریباً مورد مطالعه قرار نمی گیرند. اما باید بدانید! و امروز به یکی از این تکنیک ها نگاه خواهیم کرد - قضیه ویتا. ابتدا اجازه دهید یک تعریف جدید ارائه کنیم.

معادله درجه دوم به شکل x 2 + bx + c = 0 کاهش می‌یابد. لطفا توجه داشته باشید که ضریب برای x 2 1 است. هیچ محدودیت دیگری در ضرایب وجود ندارد.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 یک معادله درجه دوم کاهش یافته است.
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - همچنین کاهش یافته است.
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - اما این به هیچ وجه داده نشده است، زیرا ضریب x 2 برابر با 2 است.

البته، هر معادله درجه دوم از شکل ax 2 + bx + c = 0 را می توان کاهش داد - فقط تمام ضرایب را بر عدد a تقسیم کنید. ما همیشه می توانیم این کار را انجام دهیم، زیرا تعریف یک معادله درجه دوم نشان می دهد که ≠ 0 است.

درست است، این تحولات همیشه برای ریشه یابی مفید نخواهد بود. در زیر مطمئن خواهیم شد که این کار فقط زمانی انجام می شود که در معادله نهایی مربع همه ضرایب عدد صحیح باشند. در حال حاضر، بیایید به ساده ترین مثال ها نگاه کنیم:

وظیفه. معادله درجه دوم را به معادله کاهش یافته تبدیل کنید:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

بیایید هر معادله را بر ضریب متغیر x 2 تقسیم کنیم. ما گرفتیم:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - همه چیز را بر 3 تقسیم کنید.
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - تقسیم بر -4.
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - تقسیم بر 1.5، همه ضرایب به اعداد صحیح تبدیل شدند.
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x − 5.5 = 0 - تقسیم بر 2. در این مورد، ضرایب کسری ظاهر شد.

همانطور که می بینید، معادلات درجه دوم فوق می توانند ضرایب صحیح داشته باشند حتی اگر معادله اصلی شامل کسری باشد.

حال اجازه دهید قضیه اصلی را که در واقع مفهوم معادله درجه دوم تقلیل یافته برای آن معرفی شد، فرمول بندی کنیم:

قضیه ویتا معادله درجه دوم کاهش یافته شکل x 2 + bx + c = 0 را در نظر بگیرید. فرض کنید که این معادله دارای ریشه های واقعی x 1 و x 2 است. در این مورد، عبارات زیر درست است:

1. x 1 + x 2 = -b. به عبارت دیگر، مجموع ریشه های معادله درجه دوم برابر با ضریب متغیر x است که با علامت مخالف گرفته می شود.
2. x 1 x 2 = c. حاصل ضرب ریشه های یک معادله درجه دوم برابر با ضریب آزاد است.

مثال ها. برای سادگی، ما فقط معادلات درجه دوم فوق را در نظر می گیریم که نیازی به تبدیل اضافی ندارند:

1. x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (-9) = 9; x 1 x 2 = 20; ریشه ها: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = -15; ریشه ها: x 1 = 3; x 2 = -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -5; x 1 x 2 = 4; ریشه ها: x 1 = -1; x 2 = -4.

قضیه ویتا اطلاعات بیشتری در مورد ریشه های یک معادله درجه دوم به ما می دهد. در نگاه اول، این ممکن است دشوار به نظر برسد، اما حتی با حداقل آموزش، یاد خواهید گرفت که ریشه ها را ببینید و به معنای واقعی کلمه آنها را در عرض چند ثانیه حدس بزنید.

وظیفه. حل معادله درجه دوم:

1. x 2 - 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

بیایید سعی کنیم ضرایب را با استفاده از قضیه Vieta بنویسیم و ریشه ها را "حدس بزنیم".

1. x 2 − 9x + 14 = 0 یک معادله درجه دوم کاهش یافته است.
   با قضیه ویتا داریم: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. به راحتی می توان فهمید که ریشه ها اعداد 2 و 7 هستند.
2. x 2 - 12x + 27 = 0 - نیز کاهش یافته است.
   با قضیه ویتا: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. از این رو ریشه ها: 3 و 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - این معادله کاهش نمی یابد. اما اکنون این را با تقسیم دو طرف معادله بر ضریب a = 3 تصحیح می کنیم. به دست می آید: x 2 + 11x + 10 = 0.
   ما با استفاده از قضیه Vieta حل می کنیم: x 1 + x 2 = -11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ریشه: -10 و -1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - باز هم ضریب برای x 2 برابر با 1 نیست، یعنی. معادله داده نشده است همه چیز را بر عدد a = -7 تقسیم می کنیم. دریافت می کنیم: x 2 − 11x + 30 = 0.
   با قضیه ویتا: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; از این معادلات به راحتی می توان ریشه های 5 و 6 را حدس زد.

از استدلال بالا مشخص می شود که چگونه قضیه ویتا حل معادلات درجه دوم را ساده می کند. بدون محاسبات پیچیده، بدون ریشه های حسابی یا کسری. و ما حتی به یک تمایز نیاز نداشتیم (به درس "حل معادلات درجه دوم" مراجعه کنید).

البته در تمام تأملات خود از دو فرض مهم استنباط کردیم که به طور کلی همیشه در مسائل واقعی برآورده نمی شود:

1. معادله درجه دوم کاهش می یابد، یعنی. ضریب برای x 2 1 است.
2. معادله دو ریشه متفاوت دارد. از نقطه نظر جبری، در این مورد ممیز D > 0 است - در واقع، ما در ابتدا فرض می کنیم که این نابرابری درست است.

با این حال، در مسائل ریاضی معمولی این شرایط برآورده می شود. اگر محاسبه منجر به یک معادله درجه دوم "بد" شود (ضریب x 2 با 1 متفاوت است)، این را می توان به راحتی اصلاح کرد - به مثال ها در همان ابتدای درس نگاه کنید. من به طور کلی در مورد ریشه ها سکوت می کنم: این چه نوع مشکلی است که پاسخی ندارد؟ البته ریشه هایی وجود خواهد داشت.

بدین ترتیب، طرح کلیحل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا به صورت زیر است:

1. معادله درجه دوم را به معادله داده شده کاهش دهید، اگر قبلاً در بیان مسئله انجام نشده است.
2. اگر ضرایب در معادله درجه دوم فوق کسری باشد، با استفاده از تفکیک حل می کنیم. حتی می توانید به معادله اصلی برگردید تا با اعداد "دستی" بیشتری کار کنید.
3. در مورد ضرایب صحیح، معادله را با استفاده از قضیه Vieta حل می کنیم.
4. اگر نمی توانید ریشه ها را در عرض چند ثانیه حدس بزنید، قضیه Vieta را فراموش کنید و با استفاده از تفکیک حل کنید.

وظیفه. معادله را حل کنید: 5 x 2 − 35x + 50 = 0.

بنابراین، ما یک معادله داریم که کاهش نمی یابد، زیرا ضریب a = 5. همه چیز را بر 5 تقسیم می کنیم، می گیریم: x 2 − 7x + 10 = 0.

همه ضرایب معادله درجه دوم عدد صحیح هستند - بیایید سعی کنیم آن را با استفاده از قضیه Vieta حل کنیم. داریم: x 1 + x 2 = −(-7) = 7; x 1 x 2 = 10.V در این موردحدس زدن ریشه ها آسان است - آنها 2 و 5 هستند. نیازی به شمارش با استفاده از متمایز نیست.

وظیفه. معادله را حل کنید: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0.

بیایید نگاه کنیم: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - این معادله کاهش نمی یابد، بیایید هر دو طرف را بر ضریب a = -5 تقسیم کنیم. ما بدست می آوریم: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - معادله ای با ضرایب کسری.

بهتر است به معادله اصلی برگردیم و از طریق ممیز بشماریم: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2; x 2 = 0.4.

وظیفه. معادله را حل کنید: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

ابتدا بیایید همه چیز را بر ضریب a = 2 تقسیم کنیم. معادله x 2 + 5x − 300 = 0 را به دست می آوریم.

این معادله کاهش یافته است، طبق قضیه ویتا داریم: x 1 + x 2 = -5. x 1 x 2 = -300. حدس زدن ریشه های معادله درجه دوم در این مورد دشوار است - شخصاً هنگام حل این مشکل به طور جدی گیر کرده بودم.

شما باید از طریق تشخیص دهنده به دنبال ریشه بگردید: D = 5 2 − 4 · 1 · (-300) = 1225 = 35 2 . اگر ریشه تفکیک کننده را به خاطر ندارید، فقط به این نکته توجه می کنم که 1225: 25 = 49. بنابراین، 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

اکنون که ریشه ممیز شناخته شده است، حل معادله کار دشواری نیست. دریافت می کنیم: x 1 = 15; x 2 = -20.

قضیه Vieta (به طور دقیق تر، قضیه معکوس قضیه Vieta) به شما امکان می دهد زمان حل معادلات درجه دوم را کاهش دهید. فقط باید بدانید که چگونه از آن استفاده کنید. چگونه حل معادلات درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا یاد بگیریم؟ اگر کمی به آن فکر کنید کار سختی نیست.

اکنون ما فقط در مورد حل معادله درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا صحبت خواهیم کرد. همچنین می توان معادلات درجه دومی را حل کرد که با استفاده از قضیه ویتا داده نشده اند، اما حداقل یکی از ریشه ها عدد صحیح نیست. حدس زدن آنها دشوارتر است.

قضیه معکوس قضیه ویتا بیان می کند: اگر اعداد x1 و x2 به گونه ای باشند که

سپس x1 و x2 ریشه های معادله درجه دوم هستند

هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا، تنها 4 گزینه ممکن است. اگر خط استدلال را به خاطر داشته باشید، می توانید یاد بگیرید که ریشه های کامل را خیلی سریع پیدا کنید.

I. اگر q یک عدد مثبت باشد،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند (زیرا فقط ضرب اعداد با علائم یکسان یک عدد مثبت تولید می کند).

I.a. اگر -p یک عدد مثبت است، (به ترتیب، ص<0), то оба корня x1 и x2 — اعداد مثبت(از آنجایی که اعداد یک علامت را اضافه کردیم و یک عدد مثبت گرفتیم).

I.b. اگر -p یک عدد منفی است، (به ترتیب p>0)، سپس هر دو ریشه اعداد منفی هستند (اعداد هم علامت را اضافه کردیم و یک عدد منفی گرفتیم).

II. اگر q یک عدد منفی است،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 دارای علائم متفاوتی هستند (هنگام ضرب اعداد، تنها زمانی که علائم عوامل متفاوت باشد، یک عدد منفی به دست می آید). در این حالت، x1+x2 دیگر یک مجموع نیست، بلکه یک تفاوت است (در نهایت، هنگام جمع کردن اعداد با نشانه های مختلفکوچکتر را از بزرگتر کم می کنیم). بنابراین، x1+x2 نشان می دهد که ریشه های x1 و x2 چقدر با هم تفاوت دارند، یعنی چقدر یک ریشه از دیگری بزرگتر است (در مقدار مطلق).

II.a. اگر -p یک عدد مثبت است، (یعنی ص<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. اگر -p یک عدد منفی است، (p>0)، سپس ریشه بزرگتر (مدول) یک عدد منفی است.

بیایید حل معادلات درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا با استفاده از مثال در نظر بگیریم.

معادله درجه دوم داده شده را با استفاده از قضیه ویتا حل کنید:

در اینجا q=12>0، بنابراین ریشه های x1 و x2 اعدادی با علامت یکسان هستند. مجموع آنها -p=7>0 است، بنابراین هر دو ریشه اعداد مثبت هستند. ما اعداد صحیحی را انتخاب می کنیم که حاصل ضرب آنها 12 باشد. این اعداد 1 و 12، 2 و 6، 3 و 4 هستند. مجموع آن ها برای جفت 3 و 4 برابر با 7 است. یعنی 3 و 4 ریشه های معادله هستند.

که در در این مثال q=16>0، یعنی ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند. مجموع آنها -p=-10 است<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

اینجا q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0، سپس عدد بزرگتر مثبت است. بنابراین ریشه ها 5 و -3 هستند.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.