در وب سایت ما ارسال شده است. ریشه گرفتن یک عدد اغلب در استفاده می شود محاسبات مختلفو ماشین حساب ما یک ابزار عالی برای چنین محاسبات ریاضی است.

یک ماشین حساب آنلاین با روت به شما این امکان را می دهد که به سرعت و به راحتی هر گونه محاسبات مربوط به استخراج ریشه را انجام دهید. ریشه سوم را می توان به راحتی محاسبه کرد ریشه مربعاز یک عدد، ریشه از عدد منفی، ریشه یک عدد مختلط، ریشه pi و غیره.

محاسبه ریشه یک عدد به صورت دستی امکان پذیر است. اگر بتوان کل ریشه یک عدد را محاسبه کرد، با استفاده از جدول ریشه ها به سادگی مقدار عبارت رادیکال را پیدا می کنیم. در موارد دیگر، محاسبه تقریبی ریشه‌ها به تجزیه بیان رادیکال به حاصل ضرب عوامل ساده‌تر می‌رسد، که قدرت هستند و می‌توان با علامت ریشه حذف شد و بیان زیر ریشه را تا حد امکان ساده‌تر کرد.

اما شما نباید از این محلول ریشه استفاده کنید. و در اینجا دلیل آن است. اولا، شما باید زمان زیادی را برای چنین محاسباتی صرف کنید. اعداد در ریشه، یا به طور دقیق تر، عبارات می توانند کاملاً پیچیده باشند، و درجه لزوماً درجه دوم یا مکعب نیست. ثانیا، دقت چنین محاسباتی همیشه رضایت بخش نیست. و ثالثاً، یک ماشین حساب روت آنلاین وجود دارد که هر گونه استخراج ریشه را در عرض چند ثانیه برای شما انجام می دهد.

استخراج ریشه از یک عدد به معنای یافتن عددی است که وقتی به توان n افزایش یابد، برابر با مقدار عبارت رادیکال باشد، جایی که n قدرت ریشه است و خود عدد پایه عدد است. ریشه ریشه درجه 2 را ساده یا مربع و ریشه درجه سوم را مکعب می گویند و در هر دو مورد از علامت درجه حذف می شود.

حل ریشه در ماشین حساب آنلاینفقط نوشتن یک عبارت ریاضی در خط ورودی است. استخراج ریشه در ماشین حساب به عنوان sqrt تعیین می شود و با استفاده از سه کلید - ریشه مربع sqrt(x)، ریشه مکعبی sqrt3(x) و ریشه n ام sqrt(x,y) انجام می شود. اطلاعات دقیق تر در مورد کنترل پنل در صفحه ارائه شده است.

ریشه مربع

با کلیک بر روی این دکمه، ورودی ریشه مربع در خط ورودی وارد می شود: sqrt(x)، فقط باید عبارت رادیکال را وارد کنید و پرانتز را ببندید.

راه حل مثال ریشه های مربعدر ماشین حساب:

اگر ریشه یک عدد منفی و درجه ریشه زوج باشد، پاسخ به صورت یک عدد مختلط با واحد فرضی i نشان داده می شود.

جذر یک عدد منفی:

ریشه سوم

زمانی که نیاز به ریشه مکعب دارید از این کلید استفاده کنید. ورودی sqrt3(x) را در خط ورودی وارد می کند.

ریشه درجه 3:

ریشه درجه n

به طور طبیعی، ماشین حساب آنلاین ریشه به شما امکان می دهد نه تنها ریشه های مربع و مکعب یک عدد، بلکه ریشه درجه n را نیز استخراج کنید. با کلیک بر روی این دکمه ورودی مانند sqrt (x x,y) نمایش داده می شود.

ریشه چهارم:

ریشه دقیق n از یک عدد فقط در صورتی قابل استخراج است که خود عدد دقیقاً ریشه nام باشد. در غیر این صورت، محاسبه تقریبی به نظر می رسد، اگرچه بسیار نزدیک به ایده آل است، زیرا دقت محاسبات ماشین حساب آنلاین به 14 رقم اعشار می رسد.

ریشه پنجم با نتیجه تقریبی:

ریشه کسری

ماشین حساب می تواند ریشه را از اعداد و عبارات مختلف محاسبه کند. یافتن ریشه کسری به استخراج جداگانه ریشه صورت و مخرج می رسد.

جذر کسری:

ریشه از ریشه

در مواردی که ریشه عبارت زیر ریشه باشد با توجه به خواص ریشه ها می توان آنها را با یک ریشه جایگزین کرد که درجه آن برابر با حاصل ضرب درجات هر دو خواهد بود. به عبارت ساده، برای استخراج ریشه از ریشه، کافی است شاخص های ریشه را ضرب کنید. در مثال نشان داده شده در شکل، عبارت ریشه درجه سوم ریشه درجه دوم را می توان با یک ریشه درجه 6 جایگزین کرد. عبارت را به دلخواه خود مشخص کنید. در هر صورت، ماشین حساب همه چیز را به درستی محاسبه می کند.

مثالی از نحوه استخراج ریشه از ریشه:

درجه در ریشه

ریشه ماشین حساب درجه به شما امکان می دهد بدون کاهش شاخص های ریشه و درجه، در یک مرحله محاسبه کنید.

جذر یک درجه:

تمام عملکردهای ماشین حساب رایگان ما در یک بخش جمع آوری شده است.

حل ریشه در ماشین حساب آنلاینآخرین ویرایش: 3 مارس 2016 توسط مدیر

وقت آن است که آن را مرتب کنیم روش های استخراج ریشه. آنها بر اساس ویژگی های ریشه ها، به ویژه، بر تساوی هستند، که برای هر عدد غیر منفی b صادق است.

در زیر روش های اصلی استخراج ریشه را یکی یکی بررسی خواهیم کرد.

بیایید با ساده ترین حالت شروع کنیم - استخراج ریشه از اعداد طبیعی با استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.

اگر جداول مربع، مکعب و غیره اگر آن را در دسترس ندارید، منطقی است که از روش استخراج ریشه استفاده کنید، که شامل تجزیه عدد رادیکال به عوامل اول است.

شایان ذکر است که چه چیزی برای ریشه هایی با توان های فرد امکان پذیر است.

در نهایت، بیایید روشی را در نظر بگیریم که به ما امکان می دهد ارقام مقدار ریشه را به ترتیب پیدا کنیم.

بیایید شروع کنیم.

استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.

در ساده ترین موارد، جداول مربع، مکعب و غیره به شما امکان استخراج ریشه را می دهد. این جداول چیست؟

جدول مربع های اعداد صحیح از 0 تا 99 شامل (نشان داده شده در زیر) از دو ناحیه تشکیل شده است. منطقه اول جدول بر روی یک پس زمینه خاکستری قرار دارد، با انتخاب یک ردیف خاص و یک ستون خاص، به شما امکان می دهد یک عدد از 0 تا 99 بنویسید. برای مثال، بیایید یک ردیف 8 ده تایی و یک ستون 3 واحدی را انتخاب کنیم، با این کار عدد 83 را ثابت کردیم. منطقه دوم بقیه جدول را اشغال می کند. هر سلول در محل تقاطع یک ردیف خاص و یک ستون خاص قرار دارد و شامل مربع عدد مربوطه از 0 تا 99 است. در تقاطع ردیف انتخابی ما از 8 ده و ستون 3 از یک، سلولی با شماره 6889 وجود دارد که مربع عدد 83 است.

جداول مکعب ها، جداول توان های چهارم اعداد از 0 تا 99 و ... شبیه جدول مربع ها هستند، فقط در منطقه دوم حاوی مکعب ها، قدرت های چهارم و غیره هستند. اعداد مربوطه

جداول مربع، مکعب، قدرت چهارم و غیره به شما امکان استخراج ریشه های مربع، ریشه های مکعبی، ریشه های چهارم و غیره را می دهد. بر این اساس از اعداد این جداول. اجازه دهید اصل استفاده از آنها را در هنگام استخراج ریشه توضیح دهیم.

فرض کنید باید ریشه n عدد a را استخراج کنیم، در حالی که عدد a در جدول توان های n موجود است. با استفاده از این جدول عدد b را به گونه ای می یابیم که a=b n. سپس بنابراین عدد b ریشه مورد نظر درجه n خواهد بود.

به عنوان مثال، بیایید نحوه استفاده از جدول مکعبی برای استخراج ریشه مکعب 19683 را نشان دهیم. عدد 19683 را در جدول مکعب ها پیدا می کنیم، از آن در می یابیم که این عدد مکعب عدد 27 است، بنابراین، .

واضح است که جداول توان های n برای استخراج ریشه بسیار راحت هستند. با این حال، آنها اغلب در دسترس نیستند و تدوین آنها نیاز به زمان دارد. علاوه بر این، اغلب لازم است ریشه هایی را از اعدادی که در جداول مربوطه موجود نیستند استخراج کرد. در این موارد، باید به روش های دیگر ریشه یابی متوسل شوید.

فاکتورگیری یک عدد رادیکال به عوامل اول

یک راه نسبتاً راحت برای استخراج ریشه یک عدد طبیعی (البته اگر ریشه استخراج شود) این است که عدد رادیکال را به عوامل اول تجزیه کنید. او نکته این است: پس از آن بسیار آسان است که آن را به عنوان یک توان با توان مورد نظر نشان دهید، که به شما امکان می دهد مقدار ریشه را بدست آورید. بیایید این نکته را روشن کنیم.

ریشه n ام یک عدد طبیعی a گرفته شود و مقدار آن برابر b باشد. در این حالت برابری a=b n درست است. شماره b مانند هر کدام عدد طبیعیرا می توان به عنوان حاصلضرب همه عوامل اول آن p 1 , p 2 , ..., p m به شکل p 1 · p 2 · ... · p m نمایش داد و عدد رادیکال a در این حالت به صورت (p 1 · p 2 نمایش داده می شود. · … · p m) n. از آنجایی که تجزیه یک عدد به عوامل اول منحصر به فرد است، تجزیه عدد رادیکال a به ضرایب اول به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n خواهد بود که محاسبه مقدار ریشه را ممکن می کند. به عنوان.

توجه داشته باشید که اگر تجزیه به عوامل اول یک عدد رادیکال a را نتوان به شکل (p 1 · p 2 · … · p m) n نشان داد، آنگاه ریشه n چنین عددی a به طور کامل استخراج نمی شود.

بیایید در هنگام حل مثال ها این را بفهمیم.

مثال.

جذر 144 را بگیرید.

راه حل.

اگر به جدول مربع های ارائه شده در پاراگراف قبل نگاه کنید، به وضوح می بینید که 144 = 12 2، که از آن مشخص است که جذر 144 برابر با 12 است.

اما با توجه به این نکته، ما به چگونگی استخراج ریشه با تجزیه عدد رادیکال 144 به عوامل اول علاقه مندیم. بیایید به این راه حل نگاه کنیم.

تجزیه کنیم 144 تا عوامل اول:

یعنی 144=2·2·2·2·3·3. بر اساس تجزیه حاصل، تبدیلات زیر را می توان انجام داد: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. از این رو، .

با استفاده از خواص درجه و خواص ریشه، می توان راه حل را کمی متفاوت فرموله کرد: .

پاسخ:

برای تجمیع مطالب، راه حل های دو مثال دیگر را در نظر بگیرید.

مثال.

مقدار ریشه را محاسبه کنید.

راه حل.

فاکتورسازی اول عدد رادیکال 243 به شکل 243=3 5 است. بنابراین، .

پاسخ:

مثال.

آیا مقدار ریشه یک عدد صحیح است؟

راه حل.

برای پاسخ به این سوال، بیایید عدد رادیکال را در ضرایب اول قرار دهیم و ببینیم که آیا می توان آن را به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد یا خیر.

ما 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2 داریم. بسط حاصل به عنوان یک مکعب از یک عدد صحیح نشان داده نمی شود، زیرا درجه است عامل اصلی 7 مضرب سه نیست. بنابراین، ریشه مکعب 285768 را نمی توان به طور کامل استخراج کرد.

پاسخ:

خیر

استخراج ریشه از اعداد کسری

وقت آن رسیده است که بفهمیم چگونه ریشه را از آن استخراج کنیم عدد کسری. بگذارید عدد رادیکال کسری به صورت p/q نوشته شود. با توجه به خاصیت ریشه یک ضریب برابری زیر صادق است. از این برابری بر می آید قانون استخراج ریشه کسری: ریشه کسری برابر است با نصاب ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج.

بیایید به مثالی از استخراج ریشه از کسری نگاه کنیم.

مثال.

جذر آن چیست؟ کسر مشترک 25/169 .

راه حل.

با استفاده از جدول مربع ها متوجه می شویم که جذر صورت کسر اصلی برابر با 5 و جذر مخرج برابر با 13 است. سپس . این استخراج ریشه کسر مشترک 25/169 را کامل می کند.

پاسخ:

ریشه یک کسر اعشاری یا عدد مختلط پس از جایگزینی اعداد رادیکال با کسرهای معمولی استخراج می شود.

مثال.

ریشه مکعب کسر اعشاری 474.552 را بگیرید.

راه حل.

بیایید اصل را تصور کنیم اعشاریبه عنوان کسر مشترک: 474.552=474552/1000. سپس . باقی مانده است که ریشه های مکعبی را که در صورت و مخرج کسری به دست آمده است استخراج کنیم. چون 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 و 1 000 = 10 3، سپس و . تنها چیزی که باقی می ماند تکمیل محاسبات است .

پاسخ:

.

ریشه گرفتن یک عدد منفی

ارزش آن را دارد که در استخراج ریشه ها از اعداد منفی صحبت کنیم. هنگام مطالعه ریشه ها، گفتیم که وقتی توان ریشه یک عدد فرد باشد، می تواند زیر علامت ریشه یک عدد منفی وجود داشته باشد. ما به این ورودی ها معنی زیر را دادیم: برای یک عدد منفی -a و یک توان فرد از ریشه 2 n-1، . این برابری می دهد قانون استخراج ریشه های فرد از اعداد منفی: برای استخراج ریشه یک عدد منفی باید ریشه عدد مثبت مقابل را بگیرید و جلوی نتیجه آن علامت منفی قرار دهید.

بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.

مثال.

مقدار ریشه را پیدا کنید.

راه حل.

بیایید عبارت اصلی را طوری تبدیل کنیم که زیر علامت ریشه یک عدد مثبت وجود داشته باشد: . در حال حاضر عدد مختلطآن را با یک کسر معمولی جایگزین کنید: . ما قانون استخراج ریشه یک کسر معمولی را اعمال می کنیم: . باقی مانده است که ریشه ها را در صورت و مخرج کسر حاصل محاسبه کنیم: .

در اینجا خلاصه ای کوتاه از راه حل آورده شده است: .

پاسخ:

.

تعیین مقدار ریشه به صورت بیتی

در مورد کلیدر زیر ریشه یک عدد وجود دارد که با استفاده از تکنیک های مورد بحث در بالا، نمی توان آن را به عنوان توان n ام هر عددی نشان داد. اما در این مورد نیاز به دانستن معنای یک ریشه معین، حداقل تا یک علامت خاص وجود دارد. در این مورد، برای استخراج ریشه، می توانید از الگوریتمی استفاده کنید که به شما امکان می دهد به صورت متوالی به دست آورید مقدار کافیمقادیر ارقام تعداد مورد نیاز.

اولین قدم این الگوریتم این است که بفهمیم مهم ترین بیت از مقدار ریشه چیست. برای انجام این کار، اعداد 0، 10، 100، ... به ترتیب به توان n افزایش می یابند تا لحظه ای که عددی از عدد رادیکال بیشتر شود. سپس عددی که در مرحله قبل به توان n رساندیم نشان دهنده مهم ترین رقم مربوطه خواهد بود.

برای مثال، هنگام استخراج جذر پنج، این مرحله از الگوریتم را در نظر بگیرید. اعداد 0، 10، 100، ... را بگیرید و آنها را مربع کنید تا عددی بزرگتر از 5 به دست آوریم. ما 0 2 = 0 داریم<5 , 10 2 =100>5، به این معنی که مهم ترین رقم، رقم یکان خواهد بود. مقدار این بیت و همچنین مقادیر پایین تر در مراحل بعدی الگوریتم استخراج ریشه پیدا می شود.

تمام مراحل زیر الگوریتم با هدف روشن کردن متوالی ارزش ریشه با یافتن مقادیر بیت های بعدی از مقدار مورد نظر ریشه، شروع از بالاترین و حرکت به پایین ترین آنها، انجام می شود. به عنوان مثال، مقدار ریشه در مرحله اول 2، در مرحله دوم - 2.2، در مرحله سوم - 2.23 و به همین ترتیب 2.236067977 به نظر می رسد. اجازه دهید نحوه یافتن مقادیر ارقام را شرح دهیم.

ارقام با جستجو در مقادیر احتمالی 0، 1، 2، ...، 9 پیدا می شوند. در این حالت، توان های n اعداد مربوطه به صورت موازی محاسبه شده و با عدد رادیکال مقایسه می شوند. اگر در مرحله ای مقدار درجه از عدد رادیکال تجاوز کند، آنگاه مقدار رقم مربوط به مقدار قبلی یافت شده در نظر گرفته می شود و اگر این اتفاق نیفتد، انتقال به مرحله بعدی الگوریتم استخراج ریشه انجام می شود. پس مقدار این رقم برابر با 9 است.

اجازه دهید این نکات را با استفاده از همان مثال استخراج جذر پنج توضیح دهیم.

ابتدا مقدار عدد واحد را پیدا می کنیم. مقادیر 0، 1، 2، ...، 9 را به ترتیب با محاسبه 0 2، 1 2، ...، 9 2 طی می کنیم تا زمانی که مقداری بزرگتر از عدد رادیکال 5 به دست آوریم. ارائه تمام این محاسبات در قالب یک جدول راحت است:

بنابراین مقدار رقم واحد 2 است (از 2 2<5 , а 2 3 >5). بیایید به سراغ یافتن ارزش مکان دهم برویم. در این حالت، اعداد 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9 را مربع می کنیم و مقادیر حاصل را با عدد رادیکال 5 مقایسه می کنیم:

از 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5، سپس مقدار مکان دهم برابر با 2 است. می توانید برای یافتن مقدار مکان صدم ادامه دهید:

پس پیدا شد مقدار بعدیریشه پنج برابر است با 2.23. و بنابراین می توانید به یافتن مقادیر ادامه دهید: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

برای تجمیع مطالب، استخراج ریشه را با دقت صدم با استفاده از الگوریتم در نظر گرفته شده تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

ابتدا مهم ترین رقم را تعیین می کنیم. برای این کار اعداد 0، 10، 100 و ... را مکعب می کنیم. تا زمانی که عددی بزرگتر از 2,151,186 بدست آوریم. ما 0 3 = 0 داریم<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186، بنابراین مهم ترین رقم رقم ده ها است.

بیایید ارزش آن را تعیین کنیم.

از 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186، سپس مقدار مکان ده ها 1 است. بریم سراغ واحدها.

بنابراین، مقدار یکان رقم 2 است. بریم سراغ دهمین.

از آنجایی که حتی 12.9 3 کمتر از عدد رادیکال 2 151.186 است، پس مقدار مکان دهم 9 است. باقی مانده است که آخرین مرحله الگوریتم را انجام دهیم، مقدار ریشه را با دقت لازم به ما می دهد.

در این مرحله، مقدار ریشه با دقت صدم پیدا می شود: .

در پایان این مقاله، می خواهم بگویم که راه های زیادی برای استخراج ریشه وجود دارد. اما برای اکثر وظایف، مواردی که در بالا مطالعه کردیم کافی هستند.

مراجع

• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

ماشین حساب مهندسی آنلاین

ما خوشحالیم که به همه یک ماشین حساب مهندسی رایگان ارائه می دهیم. با کمک آن، هر دانش آموزی می تواند به سرعت و از همه مهمتر به راحتی انواع مختلف محاسبات ریاضی را به صورت آنلاین انجام دهد.

یک ماشین حساب مهندسی ساده و با کاربری آسان با رابط کاربری محجوب و شهودی واقعا برای طیف وسیعی از کاربران اینترنت مفید خواهد بود. اکنون، هر زمان که به ماشین حساب نیاز داشتید، به وب سایت ما بروید و از ماشین حساب مهندسی رایگان استفاده کنید.

یک ماشین حساب مهندسی می تواند هم عملیات ساده حسابی و هم محاسبات ریاضی کاملاً پیچیده را انجام دهد.

Web20calc یک ماشین حساب مهندسی است که دارای تعداد زیادی توابع است، به عنوان مثال نحوه محاسبه تمام توابع ابتدایی. این ماشین حساب همچنین از توابع مثلثاتی، ماتریس ها، لگاریتم ها و حتی نمودار پشتیبانی می کند.

بدون شک Web20calc برای آن دسته از افراد مورد توجه خواهد بود که در جستجوی راه حل های ساده، عبارت را در موتورهای جستجو تایپ می کنند: ماشین حساب ریاضی آنلاین. یک برنامه وب رایگان به شما کمک می کند تا فوراً نتیجه برخی از عبارت های ریاضی را محاسبه کنید، به عنوان مثال، تفریق، اضافه، تقسیم، استخراج ریشه، افزایش به توان و غیره.

در عبارت می توانید از عملیات توان، جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، درصد و ثابت PI استفاده کنید. برای محاسبات پیچیده، پرانتز باید گنجانده شود.

ویژگی های ماشین حساب مهندسی:

1. عملیات حسابی اساسی.
2. کار با اعداد در فرم استاندارد.
3. محاسبه ریشه های مثلثاتی، توابع، لگاریتم، توان.
4. محاسبات آماری: جمع، میانگین حسابی یا انحراف معیار.
5. استفاده از سلول های حافظه و توابع سفارشی 2 متغیر.
6. کار با زاویه در اندازه گیری رادیان و درجه.

ماشین حساب مهندسی امکان استفاده از انواع توابع ریاضی را فراهم می کند:

استخراج ریشه (ریشه مربع، مکعب و n ام)؛
ex (e به توان x)، نمایی;
توابع مثلثاتی: سینوسی - گناه، کسینوس - cos، مماس - tan.
توابع مثلثاتی معکوس: آرکسین - sin-1، آرکوزین - cos-1، آرکتانژانت - tan-1.
توابع هذلولی: سینوسی - سین، کسینوس - کوش، مماس - تان.
لگاریتم: لگاریتم باینری به پایه دو - log2x، لگاریتم اعشاری به پایه ده - log، لگاریتم طبیعی - ln.

این ماشین حساب مهندسی همچنین شامل یک ماشین حساب کمیت با قابلیت تبدیل کمیت های فیزیکی برای سیستم های مختلف اندازه گیری – واحدهای کامپیوتری، مسافت، وزن، زمان و ... می باشد. با استفاده از این تابع می توانید فوراً مایل ها را به کیلومتر، پوند به کیلوگرم، ثانیه ها را به ساعت و غیره تبدیل کنید.

برای انجام محاسبات ریاضی ابتدا دنباله ای از عبارات ریاضی را در قسمت مربوطه وارد کنید سپس بر روی علامت مساوی کلیک کرده و نتیجه را مشاهده کنید. می توانید مقادیر را مستقیماً از صفحه کلید وارد کنید (برای این کار، منطقه ماشین حساب باید فعال باشد، بنابراین، قرار دادن مکان نما در قسمت ورودی مفید خواهد بود). از جمله، داده ها را می توان با استفاده از دکمه های خود ماشین حساب وارد کرد.

برای ساختن نمودارها، باید تابع را در قسمت ورودی همانطور که در فیلد با مثال نشان داده شده است بنویسید یا از نوار ابزاری که مخصوص این کار طراحی شده است استفاده کنید (برای رفتن به آن، روی دکمه با نماد نمودار کلیک کنید). برای تبدیل مقادیر، روی واحد برای کار با ماتریس ها، روی Matrix کلیک کنید.

اگر ماشین حساب در دست دارید، استخراج ریشه مکعب هر عددی مشکلی نخواهد داشت. اما اگر ماشین حساب ندارید یا فقط می خواهید دیگران را تحت تاثیر قرار دهید، ریشه مکعب را با دست پیدا کنید. برای اکثر مردم فرآیندی که در اینجا توضیح داده شده بسیار پیچیده است، اما با تمرین، استخراج ریشه های مکعبی بسیار آسان تر خواهد شد. قبل از شروع خواندن این مقاله، عملیات ریاضی و محاسبات اولیه با اعداد مکعبی را به خاطر بسپارید.

مراحل

قسمت 1

تکلیف را یادداشت کنید.گرفتن ریشه های مکعبی با دست شبیه به تقسیم طولانی است، اما با برخی تفاوت های ظریف. ابتدا تکلیف را به شکلی خاص یادداشت کنید.

• عددی را که می خواهید ریشه مکعب را از آن بگیرید بنویسید. عدد را به گروه های سه رقمی تقسیم کنید و از نقطه اعشار شروع کنید. برای مثال، شما باید ریشه مکعب 10 را استخراج کنید.
• یک علامت ریشه در کنار و بالای عدد بکشید. آن را به عنوان خطوط افقی و عمودی که هنگام تقسیم ترسیم می کنید، در نظر بگیرید. تنها تفاوت در شکل این دو علامت است.
• یک نقطه اعشار بالای خط افقی قرار دهید. این کار را مستقیما بالای نقطه اعشار عدد اصلی انجام دهید.

1. نتایج اعداد صحیح مکعبی را به خاطر بسپارید.آنها در محاسبات استفاده خواهند شد.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. رقم اول پاسخ را پیدا کنید.مکعب عدد صحیح را که نزدیکترین اما کوچکتر از گروه سه رقمی اول است انتخاب کنید.

   • در مثال ما اولین گروه سه رقمی عدد 10 است. بزرگترین مکعبی که کمتر از 10 باشد را پیدا کنید. این مکعب 8 است و ریشه مکعب 8 برابر 2 است.
   • بالای خط افقی بالای عدد 10 عدد 2 را بنویسید سپس مقدار عملیات را یادداشت کنید 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8 زیر 10. یک خط بکشید و 8 را از 10 کم کنید (مانند تقسیم طولانی منظم). نتیجه 2 است (این اولین باقیمانده است).
   • بنابراین، شما اولین رقم پاسخ را پیدا کرده اید. در نظر بگیرید که آیا نتیجه داده شده به اندازه کافی دقیق است یا خیر. در بیشتر موارد این یک پاسخ بسیار خشن خواهد بود. نتیجه را مکعب کنید تا بفهمید چقدر به عدد اصلی نزدیک است. در مثال ما: 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8، که خیلی نزدیک به 10 نیست، بنابراین محاسبات باید ادامه یابد.

3. رقم بعدی پاسخ را پیدا کنید.گروه دوم سه رقمی را به باقی مانده اول اضافه کنید و یک خط عمودی در سمت چپ عدد حاصل بکشید. با استفاده از عدد به دست آمده، رقم دوم پاسخ را خواهید یافت. در مثال ما، باید گروه دوم سه رقمی (000) را به باقی مانده اول (2) اضافه کنیم تا عدد 2000 به دست آید.

   • در سمت چپ خط عمودی سه عدد می نویسید که مجموع آنها برابر با یک عامل اول مشخص است. برای این اعداد فضاهای خالی بگذارید و بین آنها علامت مثبت قرار دهید.

4. عبارت اول (از سه مورد) را پیدا کنید.در اولین جای خالی، حاصل ضرب عدد 300 در مجذور اولین رقم پاسخ را بنویسید (بالای علامت ریشه نوشته شده است). در مثال ما، رقم اول پاسخ 2 است، بنابراین 300*(2^2) = 300*4 = 1200. در اولین فضای خالی عدد 1200 را بنویسید. اولین عبارت عدد 1200 است (به علاوه دو عدد دیگر برای پیدا کردن).

   رقم دوم پاسخ را بیابید.ببینید چه عددی باید 1200 را ضرب کنید تا نتیجه نزدیک باشد، اما از 2000 تجاوز نکند. این عدد فقط می تواند 1 باشد، زیرا 2 * 1200 = 2400، که بیشتر از 2000 است. 1 را بنویسید (رقم دوم پاسخ) بعد از 2 و اعشار بالای علامت ریشه.

   عبارت دوم و سوم (از سه مورد) را بیابید.ضریب متشکل از سه عدد (اصطلاح) است که اولین آن را قبلاً پیدا کرده اید (1200). اکنون باید دو عبارت باقیمانده را پیدا کنیم.

   • 3 را در 10 و در هر رقم پاسخ ضرب کنید (بالای علامت ریشه نوشته شده اند). در مثال ما: 3*10*2*1 = 60. این نتیجه را به 1200 اضافه کنید و 1260 بدست آورید.
   • در نهایت، رقم آخر پاسخ خود را مربع کنید. در مثال ما، آخرین رقم پاسخ 1 است، بنابراین 1^2 = 1. بنابراین، اولین عامل برابر است با مجموع اعداد زیر: 1200 + 60 + 1 = 1261. این عدد را در سمت چپ بنویسید. نوار عمودی

5. ضرب و تفریق.رقم آخر پاسخ (در مثال ما 1 است) را در ضریب یافت شده (1261) ضرب کنید: 1*1261 = 1261. این عدد را زیر 2000 بنویسید و از 2000 کم کنید. 739 به دست می آید (این دومین باقیمانده است. ).

6. در نظر بگیرید که آیا پاسخی که دریافت می کنید به اندازه کافی دقیق است یا خیر.این کار را هر بار که تفریق دیگری را کامل کردید انجام دهید. بعد از تفریق اول جواب 2 بود که نتیجه دقیقی نیست. پس از تفریق دوم، پاسخ 2.1 است.

   • برای بررسی صحت پاسخ خود، آن را مکعب کنید: 2.1*2.1*2.1 = 9.261.
   • اگر فکر می کنید پاسخ به اندازه کافی دقیق است، نیازی به ادامه محاسبات ندارید. در غیر این صورت یک تفریق دیگر انجام دهید.

7. عامل دوم را پیدا کنید.برای تمرین محاسبات و گرفتن نتیجه دقیق تر، مراحل بالا را تکرار کنید.

   • به باقی مانده دوم (739) گروه سوم سه رقمی (000) را اضافه کنید. شماره 739000 را دریافت خواهید کرد.
   • عدد 300 را در مربع عددی که بالای علامت ریشه (21) نوشته شده ضرب کنید: 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • رقم سوم پاسخ را پیدا کنید. ببینید چه عددی باید 132300 را ضرب کنید تا نتیجه نزدیک به 739000 شود اما از 739000 تجاوز نکند. علامت ریشه
   • 3 را در 10 در 21 و در آخرین رقم پاسخ ضرب کنید (بالای علامت ریشه نوشته شده اند). در مثال ما: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • در نهایت، رقم آخر پاسخ خود را مربع کنید. در مثال ما، رقم آخر پاسخ 5 است، بنابراین 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • بنابراین، ضریب دوم: 132300 + 3150 + 25 = 135475 است.

8. رقم آخر جواب را در فاکتور دوم ضرب کنید.پس از یافتن فاکتور دوم و رقم سوم پاسخ، به صورت زیر عمل کنید:

   • رقم آخر پاسخ را در ضریب یافت شده ضرب کنید: 135475*5 = 677375.
   • تفریق: 739000-677375 = 61625.
   • در نظر بگیرید که آیا پاسخی که دریافت می کنید به اندازه کافی دقیق است یا خیر. برای انجام این کار، آن را مکعب کنید: 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 (\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94).

9. پاسخ خود را بنویسیدنتیجه که در بالای علامت ریشه نوشته شده است، پاسخ دقیق به دو رقم اعشار است. در مثال ما، ریشه مکعب 10 2.15 است. پاسخ خود را با مکعب کردن آن بررسی کنید: 2.15^3 = 9.94، که تقریباً 10 است. اگر به دقت بیشتری نیاز دارید، به محاسبه ادامه دهید (همانطور که در بالا توضیح داده شد).

   قسمت 2

   استخراج ریشه مکعب با استفاده از روش تخمین

   1. از مکعب اعداد برای تعیین حد بالا و پایین استفاده کنید.اگر می‌خواهید ریشه مکعب تقریباً هر عددی را بگیرید، مکعب‌هایی (بعضی اعداد) را که به عدد داده شده نزدیک هستند پیدا کنید.

      • به عنوان مثال، شما باید ریشه مکعب 600 را بگیرید 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512)و 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729)، سپس مقدار ریشه مکعب 600 بین 8 و 9 قرار دارد. بنابراین از اعداد 512 و 729 به عنوان حد بالا و پایین پاسخ استفاده کنید.

   2. عدد دوم را تخمین بزنید.شما اولین عدد را به لطف دانش خود از مکعب های اعداد صحیح پیدا کردید. اکنون عدد صحیح را با اضافه کردن یک عدد معین از 0 تا 9 به آن (بعد از نقطه اعشار) به کسری اعشاری تبدیل کنید.

      • در مثال ما، عدد 600 بین اعداد 512 و 729 قرار دارد. برای مثال، عدد 5 را به اولین عدد یافت شده (8) اضافه کنید.
   3. • در مثال ما: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)

   4. مکعب عدد حاصل را با عدد اصلی مقایسه کنید. اگر مکعب عدد حاصل از عدد اصلی بزرگتر است، سعی کنید عدد کوچکتر را تخمین بزنید. اگر مکعب عدد به دست آمده بسیار کوچکتر از عدد اصلی است، اعداد بزرگتر را ارزیابی کنید تا زمانی که مکعب یکی از آنها از عدد اصلی بیشتر شود.

      • در مثال ما: 8 , 5 3 (\displaystyle 8.5^(3))> 600. بنابراین عدد کوچکتر را 8.4 ارزیابی کنید. این عدد را مکعب کرده و با عدد اصلی مقایسه کنید: 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7). این نتیجه کمتر از عدد اصلی است. بنابراین ریشه مکعب 600 بین 8.4 و 8.5 است.

   5. برای بهبود دقت پاسخ، عدد زیر را تخمین بزنید.برای هر عددی که آخرین تخمین زده اید، یک عدد از 0 تا 9 اضافه کنید تا به جواب دقیق برسید. در هر دور ارزیابی، باید حد بالایی و پایینی را که بین آن عدد اصلی قرار دارد، پیدا کنید.

      • در مثال ما: 8 , 4 3 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4^(3)=592.7)و 8 , 5 3 = 614 , 1 (\displaystyle 8.5^(3)=614.1). عدد اصلی 600 به 592 نزدیکتر است تا 614. بنابراین، به آخرین عددی که تخمین زده اید، رقمی نزدیک به 0 نسبت به 9 اختصاص دهید. مثلاً چنین عددی 4 است. بنابراین عدد 8.44 را مکعب کنید.

   6. در صورت لزوم، عدد متفاوتی را تخمین بزنید.مکعب عدد حاصل را با عدد اصلی مقایسه کنید. اگر مکعب عدد حاصل از عدد اصلی بزرگتر است، سعی کنید عدد کوچکتر را تخمین بزنید. به طور خلاصه، شما باید دو عدد را پیدا کنید که مکعب های آنها کمی بزرگتر و کمی کوچکتر از عدد اصلی باشد.

      • در مثال ما 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 (\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2). این مقدار کمی بزرگتر از عدد اصلی است، بنابراین عدد دیگری (کوچکتر) مانند 8.43 را تخمین بزنید: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 (\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07). بنابراین، ریشه مکعب 600 بین 8.43 و 8.44 قرار دارد.

   7. روند شرح داده شده را تا زمانی که پاسخی را که از آن راضی هستید دریافت کنید، دنبال کنید.عدد بعدی را تخمین بزنید، آن را با عدد اصلی مقایسه کنید، سپس در صورت لزوم عدد دیگری را تخمین بزنید و غیره. لطفا توجه داشته باشید که هر رقم اضافی بعد از اعشار دقت پاسخ را افزایش می دهد.

      • در مثال ما، مکعب 8.43 کمتر از 1 کمتر از عدد اصلی است، اگر به دقت بیشتری نیاز دارید، مکعب 8.434 را بگیرید 8, 434 3 = 599, 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93)، یعنی نتیجه کمتر از 0.1 کمتر از عدد اصلی است.