کسر- عددی که از یک عدد صحیح از کسری یک واحد تشکیل شده و به شکل a/b نمایش داده می شود.

شمارنده کسر (a)- عددی که در بالای خط کسری قرار دارد و تعداد سهامی را که واحد به آنها تقسیم شده است نشان می دهد.

مخرج کسری (ب)- عددی که در زیر خط کسر قرار دارد و نشان می دهد که واحد به چند قسمت تقسیم شده است.

2. کاهش کسرها به مخرج مشترک

3. عملیات حسابی در کسرهای معمولی

3.1. جمع کسرهای معمولی

3.2. تفریق کسرها

3.3. ضرب کسرهای مشترک

3.4. تقسیم کسرها

4. اعداد متقابل

5. اعداد اعشاری

6. عملیات حسابی روی اعشار

6.1. اضافه کردن اعشار

6.2. تفریق اعشار

6.3. ضرب اعشار

6.4. تقسیم اعشاری

#1. خاصیت اصلی کسری

اگر صورت و مخرج کسری در عددی که برابر با صفر نیست ضرب یا تقسیم شود، کسری برابر با عدد داده شده به دست می آید.

3/7=3*3/7*3=9/21، یعنی 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - این چیزی است که ویژگی اصلی یک کسری به نظر می رسد.

به عبارت دیگر، با ضرب یا تقسیم کسر و مخرج کسر اصلی بر همان کسری به دست می‌آییم. عدد طبیعی.

اگر آگهی=پیش از میلاد، سپس دو کسر a/b =c /d برابر در نظر گرفته می شوند.

برای مثال، کسرهای 3/5 و 9/15 برابر خواهند بود، زیرا 3*15=5*9، یعنی 45=45

کاهش کسریفرآیند جایگزینی کسری است که در آن کسر جدید برابر با کسر اصلی است، اما با صورت و مخرج کوچکتر.

مرسوم است که کسرها را بر اساس ویژگی اصلی کسر کاهش می دهند.

مثلا، 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (صورت و مخرج بر عدد 3، بر 5 و بر 15 تقسیم می شوند).

کسر تقلیل ناپذیرکسری از فرم است 3/4 ​ ​ ، که در آن صورت و مخرج متقابل هستند اعداد اول. هدف اصلی از کاهش کسر این است که کسر را تقلیل ناپذیر کند.

2. تقلیل کسرها به مخرج مشترک

برای آوردن دو کسر به مخرج مشترک، باید:

1) مخرج هر کسری را بسط دهید عوامل اصلی;

2) صورت و مخرج کسر اول را در کسرهای از دست رفته ضرب کنید

عوامل ناشی از بسط مخرج دوم؛

3) صورت و مخرج کسر دوم را در ضرایب گمشده از بسط اول ضرب کنید.

مثال: کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهید.

بیایید مخرج ها را به عوامل ساده تبدیل کنیم: 18=3∙3∙2، 15=3∙5

صورت و مخرج کسر را در ضریب گمشده 5 از بسط دوم ضرب کنید.

صورت و مخرج کسر به فاکتورهای گمشده 3 و 2 از بسط اول.

= , 90 – مخرج مشترک کسرها.

3. عملیات حسابی روی کسرهای معمولی

3.1. جمع کسرهای معمولی

الف) اگر مخرج ها یکی باشند، صورت کسر اول به صورت کسر دوم اضافه می شود و مخرج همان باقی می ماند. همانطور که در مثال می بینید:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

ب) برای مخرج‌های مختلف، کسرها ابتدا به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابند و بر اساس قانون الف، اعداد جمع می‌شوند:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. تفریق کسرها

الف) اگر مخرج ها یکسان هستند، صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج را ثابت کنید:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

ب) اگر مخرج کسرها متفاوت باشد، ابتدا کسرها به مخرج مشترک آورده می شوند و سپس اعمال مانند نقطه الف تکرار می شوند.

3.3. ضرب کسرهای مشترک

ضرب کسرها از قانون زیر پیروی می کند:

a/b*c/d=a*c/b*d،

یعنی صورت و مخرج را جداگانه ضرب می کنند.

مثلا:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. تقسیم کسرها

کسری ها به روش زیر تقسیم می شوند:

a/b:c/d=a*d/b*c،

یعنی کسر a/b در کسر معکوس کسری داده شده ضرب می شود، یعنی در d/c ضرب می شود.

مثال: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. اعداد متقابل

اگر a*b=1،سپس عدد b است شماره متقابلبرای عدد a

مثال: برای عدد 9 متقابل است 1/9 ​ ​ ، از 9*1/9 = 1 ، برای عدد 5 - عدد معکوس 1/5 ​ ​ ، زیرا 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. اعشار

اعشاریکسر مناسبی است که مخرج آن برابر است 10، 1000، 10 000، …، 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

به عنوان مثال: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

موارد نادرست با مخرج نیز به همین ترتیب نوشته می شوند 10^nیا اعداد مختلط

برای مثال: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

هر کسری معمولی با مخرجی که مقسوم علیه توان معین 10 باشد به صورت کسری اعشاری نشان داده می شود.

یک تغییر دهنده که مقسوم علیه توان معینی از عدد 10 است.

مثال: 5 مقسوم علیه 100 است، پس کسری است 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. عملیات حسابی روی اعشار

6.1. افزودن اعشار

برای جمع کردن دو کسر اعشاری باید آنها را طوری مرتب کنید که اعداد یکسان زیر یکدیگر و یک کاما در زیر کاما وجود داشته باشد و سپس کسرها را مانند اعداد معمولی جمع کنید.

6.2. تفریق اعشار

به همان روش اضافه انجام می شود.

6.3. ضرب اعشار

هنگام ضرب اعداد اعشاریکافی است اعداد داده شده را بدون توجه به کاما (مانند اعداد طبیعی) ضرب کنید و در پاسخ به دست آمده، یک کاما در سمت راست تعداد رقم های بعد از اعشار را در مجموع هر دو عامل جدا می کند.

بیایید 2.7 را در 1.3 ضرب کنیم. ما داریم 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . دو رقم سمت راست را با کاما از هم جدا می کنیم (اعداد اول و دوم یک رقم بعد از نقطه اعشار دارند. 1+1=2 1 + 1 = 2 ). در نتیجه بدست می آوریم 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

اگر نتیجه به دست آمده حاوی رقم های کمتری باشد که باید با کاما از هم جدا شوند، صفرهای از دست رفته در جلو نوشته می شوند، به عنوان مثال:

برای ضرب در 10، 100، 1000، باید اعشار 1، 2، 3 رقم را به سمت راست حرکت دهید (در صورت لزوم، تعداد معینی از صفر به سمت راست اختصاص داده می شود).

مثلا: 1.47\cdot 10000 = 14700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. تقسیم اعشاری

تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی مانند تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی انجام می شود. کاما در ضریب پس از اتمام تقسیم کل قسمت قرار می گیرد.

اگر کل بخشقابل تقسیم کمتر از مقسوم علیه، سپس جواب صفر عدد صحیح می شود، به عنوان مثال:

بیایید تقسیم اعشار بر اعشار را بررسی کنیم. فرض کنید باید 2.576 را بر 1.12 تقسیم کنیم. اول از همه، بیایید تقسیم کننده و مقسوم علیه کسری را در 100 ضرب کنیم، یعنی نقطه اعشار را در تقسیم به سمت راست و مقسوم علیه را به تعداد اعشاری که در مقسوم علیه وجود دارد پس از اعشار (در در این مثالتوسط دو). سپس باید کسری 257.6 را بر عدد طبیعی 112 تقسیم کنید، یعنی مشکل به حالتی که قبلاً در نظر گرفته شده کاهش می یابد:

این اتفاق می افتد که نتیجه نهایی همیشه به دست نمی آید اعشاریهنگام تقسیم یک عدد بر عدد دیگر نتیجه یک کسر اعشاری نامتناهی است. در چنین مواردی به سراغ کسرهای معمولی می رویم.

به عنوان مثال، 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

مثال هایی با کسر یکی از عناصر اساسی ریاضیات هستند. بسیاری وجود دارد انواع متفاوتمعادلات با کسری در زیر آمده است دستورالعمل های دقیقبرای حل نمونه هایی از این نوع

نحوه حل مثال با کسری - قوانین کلی

برای حل مثال با کسری از هر نوع، چه جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم، باید قوانین اساسی را بدانید:

• برای اضافه کردن عبارات کسری با مخرج یکسان (مخرج عددی است که در پایین کسر قرار دارد، صورت‌گر در بالا است)، باید شماره‌های آن‌ها را اضافه کنید و مخرج را یکسان بگذارید.
• برای کم کردن یک عبارت کسری دوم (با مخرج یکسان) از یک کسر، باید اعداد آنها را کم کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.
• برای جمع یا تفریق عبارات کسری با مخرج های مختلف، باید کمترین مخرج مشترک را پیدا کنید.
• برای پیدا کردن یک محصول کسری باید اعداد و مخرج ها را ضرب کنید و در صورت امکان کاهش دهید.
• برای تقسیم کسری بر کسری، کسر اول را در کسر دوم برعکس ضرب می کنیم.

نحوه حل مثال با کسر - تمرین

قانون 1، مثال 1:

3/4 +1/4 را محاسبه کنید.

طبق قانون 1، اگر دو (یا چند) کسر مخرج یکسانی داشته باشند، شما به سادگی اعداد آنها را اضافه کنید. دریافت می کنیم: 3/4 + 1/4 = 4/4. اگر کسری دارای صورت و مخرج یکسان باشد، کسری برابر با 1 خواهد بود.

پاسخ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

قانون 2، مثال 1:

محاسبه کنید: 3/4 – 1/4

با استفاده از قانون شماره 2، برای حل این معادله باید 1 را از 3 کم کنید و مخرج را ثابت نگه دارید. ما 2/4 می گیریم. از آنجایی که دو عدد 2 و 4 را می توان کاهش داد، ما کاهش می دهیم و 1/2 می گیریم.

پاسخ: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

قانون 3، مثال 1

محاسبه کنید: 3/4 + 1/6

راه حل: با استفاده از قانون 3، کمترین مخرج مشترک را پیدا می کنیم. کمترین مخرج مشترک عددی است که بر مخرج تمام عبارات کسری در مثال بخش پذیر است. بنابراین، ما باید حداقل عددی را پیدا کنیم که بر 4 و 6 بخش پذیر باشد. این عدد 12 است. 3 در صورت *3 و علامت +. 12 را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم، 2 بدست می آوریم، 2 را در 1 ضرب می کنیم، 2*1 را در صورت می نویسیم. بنابراین، یک کسر جدید با مخرج برابر با 12 و یک صورت برابر با 3*3+2*1=11 بدست می آوریم. 11/12.

پاسخ: 11/12

قانون 3، مثال 2:

3/4 – 1/6 را محاسبه کنید. این مثال بسیار شبیه به نمونه قبلی است. همه مراحل را یکسان انجام می دهیم اما در صورت حساب به جای علامت + یک علامت منفی می نویسیم. دریافت می کنیم: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

پاسخ: 7/12

قانون 4، مثال 1:

محاسبه کنید: 3/4 * 1/4

با استفاده از قانون چهارم، مخرج کسر اول را در مخرج دوم ضرب می کنیم و صورت کسر اول را در عدد دوم ضرب می کنیم. 3*1/4*4 = 3/16.

جواب: 16/3

قانون 4، مثال 2:

2/5 * 10/4 را محاسبه کنید.

این کسر را می توان کاهش داد. در صورت حاصلضرب، صورت کسر اول و مخرج کسر دوم و صورت کسر دوم و مخرج کسر اول باطل می شود.

2 لغو از 4. 10 لغو از 5. 1 * 2/2 = 1*1 = 1 می گیریم.

پاسخ: 2/5 * 10/4 = 1

قانون 5، مثال 1:

محاسبه کنید: 3/4: 5/6

با استفاده از قانون پنجم، به دست می آوریم: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. کسر را طبق اصل مثال قبل کاهش می دهیم و 9/10 بدست می آوریم.

جواب: 9/10.

نحوه حل مثال با کسری - معادلات کسری

معادلات کسری نمونه هایی هستند که مخرج شامل یک مجهول است. برای حل چنین معادله ای باید از قوانین خاصی استفاده کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

معادله 15/3x+5 = 3 را حل کنید

به یاد داشته باشید که نمی توانید بر صفر تقسیم کنید، یعنی. مقدار مخرج نباید صفر باشد. هنگام حل چنین مثال هایی، این باید نشان داده شود. برای این منظور، یک OA (محدوده مقدار مجاز) وجود دارد.

بنابراین 3x+5 ≠ 0.
بنابراین: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

در x = 5/3 معادله به سادگی هیچ راه حلی ندارد.

با نشان دادن ODZ، به بهترین شکل ممکنبا حل این معادله کسرها خلاص می شوند. برای انجام این کار، ابتدا تمام مقادیر غیر کسری را به صورت کسری، در نمایش می دهیم در این موردشماره 3. دریافت می کنیم: 15/(3x+5) = 3/1. برای خلاص شدن از شر کسرها باید هر یک از آنها را در کمترین مخرج مشترک ضرب کنید. در این صورت (3x+5)*1 خواهد بود. ترتیب دهی:

1. 15/(3x+5) را در (3x+5)*1 = 15*(3x+5) ضرب کنید.
2. پرانتزها را باز کنید: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. همین کار را با سمت راست معادله انجام می دهیم: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. سمت چپ و راست را برابر کنید: 45x + 75 = 9x +15
5. X ها را به چپ، اعداد را به راست: 36x = – 50 حرکت دهید
6. x را پیدا کنید: x = -50/36.
7. ما کاهش می دهیم: -50/36 = -25/18

پاسخ: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

نحوه حل مثال با کسری - نامساوی کسری

نابرابری های کسری از نوع (3x-5)/(2-x)≥0 با استفاده از محور عددی حل می شوند. بیایید به این مثال نگاه کنیم.

ترتیب دهی:

• صورت و مخرج را با صفر برابر می کنیم: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• یک محور عددی رسم می کنیم و مقادیر حاصل را روی آن می نویسیم.
• یک دایره زیر مقدار بکشید. دو نوع دایره وجود دارد - پر و خالی. دایره پر به این معنی است که مقدار داده شده در محدوده حل است. یک دایره خالی نشان می دهد که این مقدار در محدوده حل گنجانده نشده است.
• از آنجایی که مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، یک دایره خالی زیر عدد 2 وجود خواهد داشت.

• برای تعیین علائم، هر عدد بزرگتر از دو را در معادله جایگزین می کنیم، به عنوان مثال 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. مقدار منفی است، به این معنی که ما یک منهای بالای منطقه بعد از این دو می نویسیم. سپس هر مقدار از فاصله 5/3 تا 2 را جایگزین X کنید، به عنوان مثال 1. مقدار دوباره منفی است. منهای می نویسیم. همین کار را با ناحیه ای که تا 5/3 قرار دارد تکرار می کنیم. هر عددی که کمتر از 5/3 باشد را جایگزین می کنیم، برای مثال 1. باز هم منهای.

• از آنجایی که ما علاقه مند به مقادیر x هستیم که در آن عبارت بزرگتر یا مساوی 0 خواهد بود و چنین مقادیری وجود ندارد (همه جا موارد منفی وجود دارد)، این نابرابری راه حلی ندارد، یعنی x = Ø (یک مجموعه خالی).

پاسخ: x = Ø

ماشین حساب کسریبرای محاسبه سریع عملیات با کسر طراحی شده است، به شما کمک می کند به راحتی کسرها را اضافه، ضرب، تقسیم یا تفریق کنید.

دانش آموزان مدرن در کلاس پنجم شروع به مطالعه کسری می کنند و تمرینات با آنها هر سال پیچیده تر می شود. اصطلاحات و مقادیر ریاضی که در مدرسه یاد می گیریم به ندرت می توانند در زندگی برای ما مفید باشند. زندگی بزرگسالی. با این حال، کسرها، بر خلاف لگاریتم ها و توان ها، اغلب در زندگی روزمره یافت می شوند (اندازه گیری فواصل، وزن کردن کالاها و غیره). ماشین حساب ما برای عملیات سریع با کسری طراحی شده است.

ابتدا بیایید تعریف کنیم کسرها چیست و چیستند. کسرها نسبت یک عدد به عدد دیگر است که از یک عدد صحیح از کسری یک واحد تشکیل شده است.

انواع کسرها:

• معمولی
• اعشاری
• مختلط

مثال کسرهای معمولی:

مقدار بالا عدد است، پایین مخرج است. خط تیره به ما نشان می دهد که عدد بالا بر عدد پایین بخش پذیر است. به جای این فرمت نوشتاری، وقتی خط تیره افقی است، می توانید متفاوت بنویسید. می توانید یک خط مایل قرار دهید، به عنوان مثال:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

اعداد اعشاریمحبوب ترین نوع کسری هستند. آنها از یک قسمت صحیح و یک قسمت کسری تشکیل شده اند که با کاما از هم جدا می شوند.

مثال کسری اعشاری:

0.2 یا 6.71 یا 0.125

از یک عدد کامل و یک جزء کسری تشکیل شده است. برای فهمیدن مقدار این کسر، باید عدد کامل و کسر را جمع کنید.

نمونه ای از کسرهای مختلط:

ماشین حساب کسری در وب سایت ما می تواند به سرعت هر کار را به صورت آنلاین انجام دهد. عملیات ریاضیبا کسری:

• اضافه شدن
• منها کردن
• ضرب
• بخش

برای انجام محاسبه، باید اعداد را در فیلدها وارد کرده و یک عمل را انتخاب کنید. برای کسرها، باید عدد و مخرج را پر کنید (اگر کسر معمولی باشد). فراموش نکنید که روی دکمه "برابر" کلیک کنید.

راحت است که ماشین حساب بلافاصله فرآیند حل یک مثال با کسری را ارائه دهد و نه فقط یک پاسخ آماده. به لطف راه حل دقیق است که می توانید از این مطالب برای حل مشکلات مدرسه و تسلط بهتر بر مطالب پوشش داده شده استفاده کنید.

شما باید محاسبه مثال را انجام دهید:

پس از وارد کردن شاخص ها در فیلدهای فرم، به دست می آوریم:

برای محاسبه خود، داده ها را در فرم وارد کنید.

ماشین حساب کسری

بخش های مرتبط

دانش آموزان در کلاس پنجم با کسرها آشنا می شوند. قبلاً افرادی که می دانستند چگونه عملیات با کسری را انجام دهند بسیار باهوش در نظر گرفته می شدند. کسر اول 1/2 بود، یعنی نصف، سپس 1/3 ظاهر شد و غیره. برای چندین قرن این نمونه ها بسیار پیچیده در نظر گرفته می شدند. اکنون توسعه یافته است قوانین دقیقدر تبدیل کسر، جمع، ضرب و سایر عملیات. کافی است مطالب را کمی درک کنید و راه حل آسان خواهد بود.

یک کسر معمولی که کسر ساده نامیده می شود، به صورت تقسیم دو عدد نوشته می شود: m و n.

M سود تقسیمی است، یعنی صورت کسر، و مقسوم علیه n را مخرج می گویند.

کسرهای مناسب (m< n) а также неправильные (m >n).

کسر مناسب کمتر از یک است (مثلاً 5/6 - به این معنی که 5 قسمت از یک گرفته می شود؛ 2/8 - 2 قسمت از یک گرفته می شود). کسر نامناسب برابر یا بزرگتر از 1 است (7/8 - واحد 7/7 است و یک قسمت بیشتر به عنوان مثبت در نظر گرفته می شود).

بنابراین، یکی زمانی است که صورت و مخرج بر هم منطبق باشند (3/3، 12/12، 100/100 و دیگران).

عملیات با کسرهای معمولی، درجه 6

با کسرهای ساده می توانید کارهای زیر را انجام دهید:

• کسری را بسط دهید. اگر قسمت های بالایی و پایینی کسر را در هر عدد یکسانی ضرب کنید (فقط در صفر نیست)، آنگاه مقدار کسری تغییر نخواهد کرد (3/5 = 6/10 (به سادگی در 2 ضرب می شود).
• کسر کسرها شبیه به انبساط است، اما در اینجا آنها بر یک عدد تقسیم می شوند.
• مقایسه کنید. اگر دو کسر دارای اعداد یکسانی باشند، کسری با مخرج کوچکتر بزرگتر خواهد بود. اگر مخرج ها یکسان باشند، کسری با بزرگترین صورت بزرگتر خواهد بود.
• جمع و تفریق را انجام دهید. با مخرج های یکسان، انجام این کار آسان است (قسمت های بالایی را خلاصه می کنیم، اما قسمت پایین تغییر نمی کند). اگر آنها متفاوت هستند، باید یک مخرج مشترک و عوامل اضافی پیدا کنید.
• کسرها را ضرب و تقسیم کنید.

بیایید به نمونه هایی از عملیات با کسری در زیر نگاه کنیم.

کسرهای کاهش یافته درجه 6

کاهش یعنی تقسیم بالا و پایین یک کسر بر تعدادی مساوی.

شکل نمونه های ساده ای از کاهش را نشان می دهد. در گزینه اول بلافاصله می توانید حدس بزنید که صورت و مخرج بر 2 بخش پذیر هستند.

در یک یادداشت! اگر عدد زوج باشد، به هر نحوی بر 2 بخش پذیر است اعداد زوج 2، 4، 6...32 هستند 8 (با عدد زوج به پایان می رسد) و غیره.

در حالت دوم، هنگام تقسیم 6 بر 18، بلافاصله مشخص می شود که اعداد بر 2 بخش پذیر هستند. با تقسیم، 3/9 به دست می آید. این کسر بیشتر بر 3 تقسیم می شود. سپس پاسخ 1/3 است. اگر هر دو مقسوم علیه را ضرب کنید: 2 در 3، 6 به دست می آید. معلوم می شود که کسر بر شش تقسیم شده است. این تقسیم تدریجی نامیده می شود کاهش پی در پی کسر توسط تقسیم کننده های مشترک.

برخی از افراد بلافاصله بر 6 تقسیم می شوند، برخی دیگر باید بر قطعات تقسیم شوند. نکته اصلی این است که در پایان کسری باقی می ماند که به هیچ وجه نمی توان آن را کاهش داد.

توجه داشته باشید که اگر یک عدد از ارقام تشکیل شده باشد که جمع آنها عددی را بر 3 بخش پذیر می کند، عدد اصلی را نیز می توان به 3 کاهش داد. مثال: عدد 341. اعداد را اضافه کنید: 3 + 4 + 1 = 8 (8) بر 3 بخش پذیر نیست، این بدان معناست که عدد 341 را نمی توان بدون باقی مانده به 3 کاهش داد. مثال دیگر: 264. اضافه کنید: 2 + 6 + 4 = 12 (قابل تقسیم بر 3). دریافت می کنیم: 264: 3 = 88. این کار کاهش اعداد بزرگ را آسان تر می کند.

علاوه بر روش کاهش متوالی کسرها توسط مقسوم‌گیرنده‌های مشترک، روش‌های دیگری نیز وجود دارد.

GCD بزرگترین مقسوم علیه یک عدد است. با یافتن gcd برای مخرج و صورت، می توانید بلافاصله کسری را به عدد دلخواه کاهش دهید. جستجو با تقسیم تدریجی هر عدد انجام می شود. در مرحله بعد ، آنها به این می نگرند که اگر چندین مورد از آنها وجود داشته باشد (مانند تصویر زیر) ، باید ضرب کنید.

کسرهای مختلط درجه 6

تمام کسرهای نامناسب را می توان با جدا کردن کل قسمت از آنها به کسرهای مخلوط تبدیل کرد. عدد کامل در سمت چپ نوشته شده است.

اغلب باید از یک کسر نامناسب یک عدد مختلط بسازید. فرآیند تبدیل در مثال زیر نشان داده شده است: 22/4 = 22 تقسیم بر 4، ما 5 عدد صحیح (5 * 4 = 20) دریافت می کنیم. 22 - 20 = 2. 5 عدد صحیح و 2/4 می گیریم (مخرج تغییر نمی کند). از آنجایی که کسر قابل کاهش است، قسمت های بالایی و پایینی را بر 2 تقسیم می کنیم.

تبدیل یک عدد مختلط به کسر نامناسب آسان است (این در هنگام تقسیم و ضرب کسرها ضروری است). برای انجام این کار: عدد کامل را در قسمت پایین کسر ضرب کرده و عدد را به آن اضافه کنید. آماده. مخرج تغییر نمی کند.

محاسبات با کسری کلاس ششم

اعداد ترکیبی را می توان اضافه کرد. اگر مخرج ها یکسان باشند، انجام این کار آسان است: اجزاء صحیح و اعداد را اضافه کنید، مخرج در جای خود باقی می ماند.

هنگام جمع کردن اعداد با مخرج های مختلف، فرآیند پیچیده تر می شود. ابتدا اعداد را به یک کاهش می دهیم مخرج کوچک(NOZ).

در مثال زیر برای اعداد 9 و 6 مخرج 18 خواهد بود. پس از این به فاکتورهای اضافی نیاز است. برای پیدا کردن آنها، باید 18 را بر 9 تقسیم کنید، به این ترتیب عدد اضافی - 2 را پیدا می کنید. آن را در عدد 4 ضرب می کنیم تا کسری 8/18 به دست آید. آنها همین کار را با کسر دوم انجام می دهند. ما قبلاً کسرهای تبدیل شده را اضافه می کنیم (اعداد صحیح و اعداد جداگانه، مخرج را تغییر نمی دهیم). در مثال، پاسخ باید به کسری مناسب تبدیل می شد (در ابتدا صورت بزرگتر از مخرج بود).

لطفاً توجه داشته باشید که وقتی کسرها متفاوت هستند، الگوریتم اقدامات یکسان است.

هنگام ضرب کسرها، مهم است که هر دو را زیر یک خط قرار دهید. اگر عدد مخلوط شد آن را به کسری ساده تبدیل می کنیم. سپس قسمت های بالا و پایین را ضرب کرده و جواب را یادداشت کنید. اگر مشخص است که کسرها قابل کاهش هستند، بلافاصله آنها را کاهش می دهیم.

در مثال بالا، لازم نیست چیزی را برش دهید، فقط پاسخ را یادداشت کرده و کل قسمت را برجسته کرده اید.

در این مثال، ما مجبور شدیم اعداد را زیر یک خط کاهش دهیم. اگرچه می توانید پاسخ آماده را کوتاه کنید.

هنگام تقسیم، الگوریتم تقریباً یکسان است. ابتدا کسر مختلط را به کسر نامناسب تبدیل می کنیم سپس اعداد را زیر یک خط می نویسیم و تقسیم را با ضرب جایگزین می کنیم. فراموش نکنید که قسمت های بالا و پایین کسر دوم را با هم عوض کنید (این قانون برای تقسیم کسرها است).

در صورت لزوم، اعداد را کاهش می دهیم (در مثال زیر آنها را پنج و دو کاهش دادیم). کسر نامناسب را با برجسته کردن کل قسمت تبدیل می کنیم.

مسائل کسری پایه ششم

این ویدیو چند کار دیگر را نشان می دهد. برای وضوح استفاده می شود تصاویر گرافیکیراه حل هایی که به شما در تجسم کسرها کمک می کند.

نمونه هایی از ضرب کسر درجه 6 با توضیحات

ضرب کسرها زیر یک خط نوشته می شود. سپس با تقسیم بر همان اعداد کاهش می یابد (مثلاً 15 در مخرج و 5 در صورت را می توان بر پنج تقسیم کرد).

مقایسه کسری درجه 6

برای مقایسه کسرها، باید دو قانون ساده را به خاطر بسپارید.

قانون 1. اگر مخرج ها متفاوت باشند

قانون 2. هنگامی که مخرج ها یکسان هستند

برای مثال، کسرهای 7/12 و 2/3 را با هم مقایسه کنید.

1. ما به مخرج ها نگاه می کنیم، آنها مطابقت ندارند. بنابراین باید یک مورد مشترک پیدا کنید.
2. برای کسرها، مخرج مشترک 12 است.
3. ابتدا 12 را بر قسمت پایین کسر اول تقسیم می کنیم: 12: 12 = 1 (این یک عامل اضافی برای کسر 1 است).
4. حالا 12 را بر 3 تقسیم می کنیم، 4 - اضافی می گیریم. ضریب کسر 2
5. برای تبدیل کسرها، اعداد حاصل را در اعداد ضرب می کنیم: 1 x 7 = 7 (کسر اول: 7/12). 4 x 2 = 8 (کسر دوم: 8/12).
6. اکنون می توانیم مقایسه کنیم: 7/12 و 8/12. معلوم شد: 7/12< 8/12.

برای نمایش بهتر کسری ها، می توانید از تصاویر برای وضوح استفاده کنید که در آن یک شی به قسمت هایی تقسیم شده است (مثلاً یک کیک). اگر می خواهید 4/7 و 2/3 را با هم مقایسه کنید، در حالت اول کیک به 7 قسمت تقسیم می شود و 4 مورد از آنها انتخاب می شود. در قسمت دوم به 3 قسمت تقسیم می شوند و 2 می گیرند. با چشم غیر مسلح مشخص می شود که 2/3 بزرگتر از 4/7 خواهد بود.

نمونه هایی با کسری درجه 6 برای آموزش

می توانید کارهای زیر را به عنوان تمرین انجام دهید.

• کسرها را با هم مقایسه کنید

• ضرب را انجام دهد

نکته: اگر یافتن کمترین مخرج مشترک برای کسرها دشوار است (به خصوص اگر مقادیر آنها کوچک باشد)، می توانید مخرج کسر اول و دوم را ضرب کنید. مثال: 2/8 و 5/9. پیدا کردن مخرج آنها ساده است: 8 را در 9 ضرب کنید، 72 به دست می آید.

حل معادلات با کسری کلاس ششم

حل معادلات مستلزم به خاطر سپردن عملیات با کسری است: ضرب، تقسیم، تفریق و جمع. اگر یکی از عوامل ناشناخته باشد، حاصلضرب (کل) بر عامل شناخته شده تقسیم می شود، یعنی کسرها ضرب می شوند (دومی برگردانده می شود).

اگر سود تقسیمی مجهول باشد، مخرج در تقسیم‌کننده ضرب می‌شود و برای یافتن تقسیم‌کننده باید تقسیم را بر ضریب تقسیم کنید.

بیایید تصور کنیم مثال های سادهحل معادلات:

در اینجا فقط باید تفاوت کسرها را تولید کنید، بدون اینکه به مخرج مشترکی منجر شود.

پاسخ به صورت کسری نامناسب بیرون آمد. می توان آن را به 1 کل و 3/5 تبدیل کرد.

در روش دوم، به جای برگرداندن مخرج، صورت و مخرج در 4 ضرب شدند تا قسمت پایینی حذف شود.

کسرها اعدادی معمولی هستند و قابل جمع و تفریق نیز هستند. اما از آنجایی که آنها مخرج دارند، به قوانین پیچیده تری نسبت به اعداد صحیح نیاز دارند.

بیایید ساده ترین حالت را در نظر بگیریم، زمانی که دو کسر با وجود دارد مخرج های مشابه. سپس:

برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

برای تفریق کسری با مخرج یکسان، باید عدد دوم را از صورت کسر اول کم کنید و دوباره مخرج را بدون تغییر رها کنید.

در هر عبارت، مخرج کسری برابر است. با تعریف جمع و تفریق کسرها به دست می آید:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست: ما فقط اعداد را اضافه یا کم می کنیم و تمام.

اما حتی در چنین اقدامات سادهمردم موفق به اشتباه می شوند آنچه اغلب فراموش می شود این است که مخرج تغییر نمی کند. به عنوان مثال، هنگام جمع کردن آنها، آنها نیز شروع به جمع کردن می کنند و این اساساً اشتباه است.

خلاص شدن از شر عادت بدجمع کردن مخرج ها بسیار ساده است. هنگام تفریق همین کار را امتحان کنید. در نتیجه، مخرج صفر می شود و کسر (ناگهان!) معنای خود را از دست می دهد.

بنابراین، یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: هنگام جمع و تفریق، مخرج تغییر نمی کند!

بسیاری از افراد هنگام جمع کردن چند کسر منفی نیز اشتباه می کنند. با علائم سردرگمی وجود دارد: کجا یک منفی و کجا یک مثبت قرار دهیم.

حل این مشکل نیز بسیار آسان است. کافی است به یاد داشته باشید که منهای قبل از علامت کسری همیشه می تواند به شمارنده منتقل شود - و بالعکس. و البته، دو قانون ساده را فراموش نکنید:

1. به علاوه منهای منفی می دهد.
2. دو منفی یک مثبت را نشان می دهد.

بیایید همه اینها را با مثال های خاص بررسی کنیم:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

در مورد اول، همه چیز ساده است، اما در مورد دوم، اجازه دهید منهای را به اعداد کسرها اضافه کنیم:

اگر مخرج ها متفاوت باشد چه باید کرد

شما نمی توانید کسری با مخرج های مختلف را مستقیماً اضافه کنید. حداقل این روش برای من ناشناخته است. با این حال، کسرهای اصلی همیشه می توانند بازنویسی شوند تا مخرج ها یکسان شوند.

روش های زیادی برای تبدیل کسرها وجود دارد. سه مورد از آنها در درس "کاهش کسرها به مخرج مشترک" مورد بحث قرار گرفته است، بنابراین ما در اینجا به آنها نمی پردازیم. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

در حالت اول، کسرها را با استفاده از روش متقاطع به یک مخرج مشترک کاهش می دهیم. در مرحله دوم ما به دنبال NOC خواهیم بود. توجه داشته باشید که 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. فاکتورهای آخر در این بسط ها مساوی هستند و اولین ها نسبتاً اول هستند. بنابراین، LCM(6، 9) = 2 3 3 = 18.

اگر کسری دارای یک جزء صحیح باشد چه باید کرد؟

من می توانم شما را خوشحال کنم: مخرج های مختلف در کسرها بزرگترین شر نیستند. خیلی خطاهای بیشترزمانی اتفاق می‌افتد که یک قسمت صحیح در قالب کسری جدا شود.

البته، الگوریتم‌های جمع و تفریق خاص برای چنین کسری وجود دارد، اما آنها کاملاً پیچیده هستند و نیاز به مطالعه طولانی دارند. استفاده بهتر نمودار ساده، در زیر آورده شده:

1. تمام کسرهای حاوی یک عدد صحیح را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. ما عبارات معمولی (حتی با مخرج های مختلف) را به دست می آوریم که طبق قوانین مورد بحث در بالا محاسبه می شوند.
2. در واقع، مجموع یا تفاوت کسرهای حاصل را محاسبه کنید. در نتیجه عملاً پاسخ را خواهیم یافت;
3. اگر این تمام چیزی است که در مسئله مورد نیاز بود، تبدیل معکوس را انجام می دهیم، یعنی. با برجسته کردن کل قسمت از شر کسر نامناسب خلاص می شویم.

قوانین انتقال به کسرهای نامناسبو برجسته کردن یک قسمت کامل در درس "کسری عددی چیست" به طور مفصل توضیح داده شده است. اگر یادتان نیست حتما تکرار کنید. مثال ها:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

اینجا همه چیز ساده است. مخرج داخل هر عبارت برابر است، بنابراین تنها چیزی که باقی می ماند تبدیل همه کسرها به کسرهای نامناسب و شمارش است. ما داریم:

برای ساده‌تر کردن محاسبات، چند مرحله واضح را در آخرین نمونه‌ها نادیده گرفتم.

یک یادداشت کوچک در مورد دو مثال آخر، که در آن کسری با قسمت صحیح برجسته شده کم می شود. منهای قبل از کسر دوم به این معنی است که کل کسر کم می شود و نه فقط کل قسمت آن.

این جمله را دوباره بخوانید، به مثال ها نگاه کنید - و در مورد آن فکر کنید. اینجاست که مبتدیان اشتباهات زیادی مرتکب می شوند. آنها دوست دارند چنین وظایفی را به آنها بدهند تست ها. همچنین در تست های این درس که به زودی منتشر خواهد شد، چندین بار با آنها مواجه خواهید شد.

خلاصه: طرح محاسبه کلی

در پایان، من یک الگوریتم کلی ارائه می کنم که به شما کمک می کند مجموع یا تفاضل دو یا چند کسر را پیدا کنید:

1. اگر یک یا چند کسر دارای یک جزء صحیح هستند، این کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید.
2. همه کسری ها را به هر شکلی که برای شما مناسب است به یک مخرج مشترک بیاورید (مگر اینکه، البته، نویسندگان مسائل این کار را انجام داده باشند).
3. اعداد به دست آمده را طبق قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج مشابه جمع یا تفریق کنید.
4. در صورت امکان، نتیجه را کوتاه کنید. اگر کسر نادرست است، کل قسمت را انتخاب کنید.

به یاد داشته باشید که بهتر است تمام قسمت را در انتهای کار، بلافاصله قبل از نوشتن پاسخ برجسته کنید.