در نگاه اول، کسرهای جبری بسیار پیچیده به نظر می رسند و دانش آموز ناآماده ممکن است فکر کند که با آنها کاری نمی توان کرد. تجمع متغیرها، اعداد و حتی درجات ترس را برمی انگیزد. با این حال، قوانین مشابهی برای کاهش کسرهای رایج (مانند 15/25) و کسرهای جبری استفاده می شود.

مراحل

کسر کسر

بررسی فعالیت ها با کسرهای ساده. عملیات با کسرهای معمولی و جبری مشابه هستند. به عنوان مثال، کسری 15/35 را در نظر بگیرید. برای ساده کردن این کسر، باید مقسوم علیه مشترک پیدا کنید. هر دو عدد بر پنج بخش پذیر هستند، بنابراین می توانیم 5 را در صورت و مخرج جدا کنیم:

حالا می توانید کاهش عوامل رایجیعنی 5 را در صورت و مخرج خط بزنید. در نتیجه، کسر ساده شده را دریافت می کنیم 3/7 . که در عبارات جبریعوامل مشترک به همان ترتیبی که در موارد معمولی تخصیص داده می شود. در مثال قبلی به راحتی توانستیم 5 را از 15 جدا کنیم - همین اصل در مورد عبارات پیچیده تری مانند 15x – 5 صدق می کند. بیایید عامل مشترک را پیدا کنیم. که در در این مورداین 5 خواهد بود، زیرا هر دو عبارت (15x و -5) بر 5 بخش پذیر هستند. مانند قبل، عامل مشترک را جدا کرده و آن را جابجا کنید. ترک کرد.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

برای بررسی اینکه آیا همه چیز درست است، فقط عبارت داخل پرانتز را در 5 ضرب کنید - نتیجه همان اعداد اول خواهد بود. اعضای پیچیده را می توان به همان روشی که اعضای ساده جدا کرد. در مورد کسرهای جبری همان اصولی که برای کسرهای معمولی اعمال می شود. این ساده ترین راه برای کاهش کسری است. کسری زیر را در نظر بگیرید:

توجه داشته باشید که هر دو صورت (بالا) و مخرج (پایین) دارای یک عبارت (x+2) هستند، بنابراین می توان آن را به همان روشی که عامل مشترک 5 در کسر 15/35 کاهش داد:

در نتیجه، یک عبارت ساده شده دریافت می کنیم: (x-3)/(x+10)

کاهش کسرهای جبری

عامل مشترک را در صورت، یعنی در بالای کسر بیابید. هنگام کاهش یک کسر جبری، اولین قدم ساده کردن هر دو طرف است. با شماره‌گر شروع کنید و سعی کنید تا حد امکان آن را در فاکتورهای بیشتری قرار دهید. در این بخش کسری زیر را در نظر بگیرید:

بیایید با صورت‌گر شروع کنیم: 9x – 3. برای 9x و -3، ضریب مشترک عدد 3 است. بیایید 3 را از داخل پرانتز خارج کنیم، همانطور که با اعداد معمولی انجام می‌شود: 3 * (3x-1). حاصل این تبدیل کسری زیر است:

فاکتور مشترک را در صورتگر بیابید. بیایید با مثال بالا ادامه دهیم و مخرج را بنویسیم: 15x+6. مانند قبل، بیایید دریابیم که هر دو قسمت بر چه عددی بخش پذیر هستند. و در این مورد ضریب مشترک 3 است، بنابراین می توانیم بنویسیم: 3 * (5x +2). بیایید کسر را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

همان اصطلاحات را کوتاه کنید. در این مرحله می توانید کسر را ساده کنید. عبارات یکسان در صورت و مخرج را لغو کنید. در مثال ما این عدد 3 است.

تعیین کنید که کسر دارد ساده ترین شکل. کسری زمانی کاملا ساده می شود که هیچ عامل مشترکی در صورت و مخرج باقی نماند. توجه داشته باشید که نمی توانید عباراتی را که در داخل پرانتز ظاهر می شوند لغو کنید - در مثال بالا راهی برای جدا کردن x از 3x و 5x وجود ندارد، زیرا عبارت های کامل (3x -1) و (5x + 2) هستند. بنابراین، کسر را نمی توان بیشتر ساده کرد و پاسخ نهایی به شرح زیر است:

کاهش کسرها را به تنهایی تمرین کنید. بهترین راهیاد بگیرید روش است تصمیم مستقلوظایف پاسخ های صحیح در زیر مثال ها آورده شده است.

پاسخ:(x=13)

پاسخ:(2x-1)/5

حرکات ویژه

بیرونش کن علامت منفیفراتر از کسری فرض کنید کسر زیر به شما داده می شود:

توجه داشته باشید که (x-4) و (4-x) "تقریبا" یکسان هستند، اما نمی توان آنها را فورا کاهش داد زیرا "معکوس" هستند. با این حال، (x - 4) را می توان به صورت -1 * (4 - x) نوشت، همانطور که (4 + 2x) را می توان به صورت 2 * (2 + x) نوشت. به این حالت "برگشت علامت" می گویند.

اکنون می توانید عبارت های یکسان (4-x) را کاهش دهید:

بنابراین، ما پاسخ نهایی را دریافت می کنیم: -3/5 . یاد بگیرید که تفاوت بین مربع ها را تشخیص دهید. تفاوت مربع ها زمانی است که مربع یک عدد از مربع یک عدد دیگر کم شود، همانطور که در عبارت (a 2 - b 2) وجود دارد. تفاوت مربع های کامل را همیشه می توان به دو قسمت تقسیم کرد - مجموع و تفاضل مربوطه ریشه های مربع. سپس عبارت به شکل زیر در می آید:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

این تکنیک برای یافتن اصطلاحات رایج در کسرهای جبری بسیار مفید است.

• بررسی کنید که آیا این یا آن عبارت را به درستی فاکتور گرفته اید یا خیر. برای انجام این کار، عوامل را ضرب کنید - نتیجه باید همان عبارت باشد.
• برای ساده کردن کامل یک کسر، همیشه بزرگترین عوامل را جدا کنید.

در این مقاله به طور مفصل به نحوه انجام آن خواهیم پرداخت کسر کسر. ابتدا بیایید در مورد چیزی که کسر کسر نامیده می شود بحث کنیم. پس از این، بیایید در مورد کاهش یک کسر تقلیل پذیر به شکل غیرقابل تقلیل صحبت کنیم. در ادامه قانون کاهش کسرها را به دست می آوریم و در نهایت نمونه هایی از کاربرد این قانون را در نظر می گیریم.

پیمایش صفحه.

کاهش کسری به چه معناست؟

می دانیم که کسرهای معمولی به کسرهای تقلیل پذیر و غیر قابل تقلیل تقسیم می شوند. از روی نام ها می توان حدس زد که کسرهای تقلیل پذیر را می توان کاهش داد، اما کسرهای تقلیل ناپذیر را نمی توان.

کاهش کسری به چه معناست؟ کسر را کاهش دهید- یعنی تقسیم صورت و مخرج آن بر مثبت و متفاوت از واحد. واضح است که در نتیجه کسر کسر، کسر جدیدی با صورت و مخرج کوچکتر به دست می‌آید و به دلیل خاصیت اصلی کسر، کسر حاصل با کسر اصلی برابر است.

برای مثال، بیایید کسر مشترک 8/24 را با تقسیم صورت و مخرج آن بر 2 کاهش دهیم. به عبارت دیگر، کسری 8/24 را 2 کاهش می دهیم. از آنجایی که 8:2=4 و 24:2=12، این کاهش منجر به کسر 4/12 می شود که برابر است با کسر اصلی 8/24 (کسری مساوی و نامساوی را ببینید). در نتیجه ما داریم.

تقلیل کسرهای معمولی به شکل غیر قابل تقلیل

به طور معمول، هدف نهایی از کاهش یک کسر، به دست آوردن کسری غیر قابل تقلیل است که برابر با کسر قابل تقلیل اولیه باشد. این هدف را می توان با کاهش کسر تقلیل پذیر اولیه توسط صورت و مخرج آن به دست آورد. در نتیجه چنین کاهشی، همیشه کسری غیر قابل تقلیل به دست می آید. در واقع کسری غیر قابل کاهش است، زیرا مشخص است که و - . در اینجا خواهیم گفت که بزرگترین مقسوم علیه و مخرج کسری است. بزرگترین عدد، که توسط آن می توان این کسر را کاهش داد.

بنابراین، کاهش یک کسر مشترک به شکل غیر قابل تقلیلشامل تقسیم صورت و مخرج کسر قابل تقلیل اولیه بر gcd آنها است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم که برای آن به کسر 24/8 برمی گردیم و آن را با بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 8 و 24 کاهش می دهیم که برابر با 8 است. از آنجایی که 8:8=1 و 24:8=3، به کسر تقلیل ناپذیر 1/3 می رسیم. بنابراین، .

توجه داشته باشید که عبارت "کاهش کسری" اغلب به معنای کاهش کسر اصلی به شکل غیر قابل تقلیل آن است. به عبارت دیگر، کاهش یک کسر اغلب به تقسیم صورت و مخرج بر بزرگترین عامل مشترک آنها (به جای هر عامل مشترک) اشاره دارد.

چگونه کسری را کاهش دهیم؟ قواعد و مثال های کسر کسر

تنها چیزی که باقی می ماند این است که به قانون کاهش کسرها نگاه کنیم، که توضیح می دهد چگونه یک کسر معین را کاهش دهیم.

قانون کاهش کسرهاشامل دو مرحله است:

• ابتدا gcd صورت و مخرج کسری پیدا می شود.
• ثانیاً، صورت و مخرج کسر بر gcd آنها تقسیم می شود که کسری تقلیل ناپذیر برابر با کسر اصلی به دست می دهد.

بیایید آن را مرتب کنیم مثال کاهش کسریطبق قاعده اعلام شده

مثال.

کسر 182/195 را کاهش دهید.

راه حل.

بیایید هر دو مرحله را که توسط قانون برای کاهش کسری تعیین شده است انجام دهیم.

ابتدا GCD (182، 195) را پیدا می کنیم. استفاده از الگوریتم اقلیدسی راحت‌تر است (نگاه کنید به): 195=182·1+13، 182=13·14، یعنی GCD(182، 195)=13.

حالا صورت و مخرج کسر 182/195 را بر 13 تقسیم می کنیم و کسری تقلیل ناپذیر 14/15 به دست می آید که برابر با کسر اصلی است. این کاهش کسر را کامل می کند.

به طور خلاصه می توان راه حل را به صورت زیر نوشت: .

پاسخ:

اینجاست که می توانیم کسر کسر را به پایان برسانیم. اما برای تکمیل تصویر، اجازه دهید به دو روش دیگر برای کاهش کسرها که معمولاً در موارد آسان استفاده می شود، نگاه کنیم.

گاهی اوقات محاسبه و مخرج کسری که کاهش می یابد دشوار نیست. کاهش کسری در این مورد بسیار ساده است: فقط باید همه عوامل مشترک را از صورت و مخرج حذف کنید.

شایان ذکر است که این روش مستقیماً از قانون تقلیل کسرها تبعیت می کند، زیرا حاصلضرب همه ضرایب اول مشترک صورت و مخرج برابر با بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها است.

بیایید به راه حل مثال نگاه کنیم.

مثال.

کسر 360/2 940 را کاهش دهید.

راه حل.

بیایید صورت و مخرج را به عوامل ساده تقسیم کنیم: 360=2·2·2·3·3·5 و 2,940=2·2·3·5·7·7. بدین ترتیب، .

اکنون ما از شر عوامل مشترک در صورت و مخرج خلاص می شویم، آنها را به سادگی خط می زنیم. .

در نهایت عوامل باقیمانده را ضرب می کنیم: و کاهش کسر کامل می شود.

در اینجا خلاصه ای از راه حل آمده است: .

پاسخ:

بیایید روش دیگری را برای کاهش یک کسر در نظر بگیریم که شامل کاهش متوالی است. در اینجا، در هر مرحله، کسر با چند مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج کاهش می یابد، که یا آشکار است یا به راحتی با استفاده از آن تعیین می شود.

بدون دانستن چگونگی کاهش کسری و داشتن مهارت ثابت در حل نمونه های مشابهمطالعه جبر در مدرسه بسیار دشوار است. هرچه جلوتر بروید، دانش اولیه در مورد مخفف بیشتر می شود کسرهای معمولیروی هم گذاشته شده است اطلاعات جدید. ابتدا قدرت ها ظاهر می شوند سپس عواملی که بعداً به چند جمله ای تبدیل می شوند.

چگونه می توانید در اینجا گیج نشوید؟ مهارت ها را در مباحث قبلی کاملاً ادغام کنید و به تدریج برای دانش نحوه کاهش کسری آماده شوید که سال به سال پیچیده تر می شود.

دانش عمومی

بدون آنها، شما نمی توانید با وظایف هر سطحی کنار بیایید. برای درک، باید دو مورد را درک کنید لحظات ساده. اول: شما فقط می توانید عوامل را کاهش دهید. وقتی چندجمله ای ها در صورت یا مخرج ظاهر می شوند، این تفاوت بسیار مهم است. سپس باید به وضوح تشخیص دهید که مضاعف کجاست و مضاف کجاست.

نکته دوم می گوید که هر عددی را می توان در قالب فاکتورها نشان داد. علاوه بر این، نتیجه کاهش، کسری است که صورت و مخرج آن دیگر قابل کاهش نیست.

قوانین کاهش کسرهای مشترک

ابتدا باید بررسی کنید که آیا صورت بر مخرج بخش پذیر است یا برعکس. سپس دقیقاً این عدد است که باید کاهش یابد. این ساده ترین گزینه است.

دوم تحلیل است ظاهرشماره. اگر هر دو به یک یا چند صفر ختم می‌شوند، می‌توان آنها را با 10، 100 یا هزار کوتاه کرد. در اینجا می توانید متوجه زوج بودن اعداد شوید. اگر بله، پس با خیال راحت می توانید آن را دو تا کنید.

قانون سوم برای کاهش کسری این است که صورت و مخرج را در ضرایب اول قرار دهیم. در این زمان، شما باید به طور فعال از تمام دانش خود در مورد علائم تقسیم پذیری اعداد استفاده کنید. پس از این تجزیه، تنها چیزی که باقی می ماند این است که همه موارد تکرار شونده را پیدا کنید، آنها را ضرب کنید و در عدد حاصل کاهش دهید.

اگر یک عبارت جبری در کسری وجود داشته باشد چه؟

اینجاست که اولین مشکلات ظاهر می شود. زیرا در اینجا اصطلاحاتی ظاهر می شوند که می توانند با عوامل یکسان باشند. من واقعاً می خواهم آنها را کاهش دهم، اما نمی توانم. قبل از قطع کردن کسر جبری، باید تبدیل شود تا ضریب داشته باشد.

برای انجام این کار، باید چندین مرحله را انجام دهید. ممکن است لازم باشد همه آنها را مرور کنید، یا شاید اولین گزینه گزینه مناسبی را ارائه دهد.

بررسی کنید که آیا صورت و مخرج یا هر عبارتی در آنها با علامت متفاوت است یا خیر. در این مورد، فقط باید منهای یک را از براکت ها قرار دهید. این عوامل مساوی را تولید می کند که می توان آنها را کاهش داد.

ببینید آیا امکان حذف عامل مشترک از چند جمله ای خارج از پرانتز وجود دارد یا خیر. شاید این منجر به یک پرانتز شود که می تواند کوتاه شود یا یک تک نام حذف شده باشد.

سعی کنید تک اسم ها را گروه بندی کنید تا یک عامل مشترک به آنها اضافه کنید. پس از این، ممکن است معلوم شود که عواملی وجود دارد که می توان آنها را کاهش داد، یا دوباره براکت بندی عناصر مشترک تکرار می شود.

سعی کنید در نوشتن فرمول های ضرب اختصاری را در نظر بگیرید. با کمک آنها می توانید به راحتی چند جمله ای ها را به فاکتور تبدیل کنید.

دنباله ای از عملیات با کسری با توان

برای اینکه به راحتی این سوال را درک کنید که چگونه یک کسری را با توان کاهش دهید، باید عملیات اساسی را با آنها به طور جدی به خاطر بسپارید. اولین مورد مربوط به ضرب قوا است. در این صورت اگر پایه ها یکسان باشد باید اندیکاتورها اضافه شود.

دوم تقسیم است. باز هم، برای کسانی که دلایل مشابهی دارند، شاخص ها باید کم شوند. علاوه بر این، باید از عددی که در سود سهام است کم کنید و نه برعکس.

سوم قدرت است. در این شرایط شاخص ها چند برابر می شوند.

کاهش موفقیت آمیز همچنین مستلزم توانایی کاهش قدرت ها به پایه های برابر است. یعنی ببینیم که چهار برابر دو است. یا 27 - مکعب سه. زیرا کاهش 9 مربع و 3 مکعب دشوار است. اما اگر عبارت اول را به صورت (3 2) 2 تبدیل کنیم، کاهش موفقیت آمیز خواهد بود.

بسیاری از دانش آموزان هنگام کار با کسری اشتباهات مشابهی را مرتکب می شوند. و همه به این دلیل که آنها قوانین اساسی را فراموش می کنند حسابی. امروز ما این قوانین را تکرار خواهیم کرد وظایف خاصکه در کلاس هایم می دهم.

در اینجا وظیفه ای است که من به همه کسانی که برای امتحان دولتی واحد ریاضی آماده می شوند پیشنهاد می کنم:

وظیفه. یک گراز دریایی روزانه 150 گرم غذا می خورد. اما او بزرگ شد و شروع به خوردن 20٪ بیشتر کرد. حالا خوک چند گرم خوراک می خورد؟

نه راه حل صحیح. این یک مشکل درصدی است که به معادله خلاصه می شود:

بسیاری (خیلی زیاد) عدد 100 را در صورت و مخرج کسری کاهش می دهند:

این اشتباهی است که شاگرد من درست در روز نوشتن این مقاله مرتکب شد. اعدادی که کوتاه شده اند با رنگ قرمز مشخص شده اند.

نیازی به گفتن نیست که پاسخ اشتباه بود. خودتان قضاوت کنید: خوک 150 گرم خورد، اما شروع به خوردن 3150 گرم کرد. افزایش 20٪ نیست، بلکه 21 برابر است، یعنی. تا 2000 درصد

برای جلوگیری از چنین سوء تفاهمی، قانون اساسی را به خاطر بسپارید:

فقط ضریب ها را می توان کاهش داد. شرایط قابل کاهش نیست!

بنابراین، راه حل صحیح برای مشکل قبلی به صورت زیر است:

اعدادی که در صورت و مخرج به اختصار آمده اند با رنگ قرمز مشخص می شوند. همانطور که می بینید، صورت حاصل ضرب است، مخرج است شماره معمولی. بنابراین کاهش کاملا قانونی است.

کار با نسبت ها

یکی دیگر منطقه مشکل — نسبت ها. به خصوص زمانی که متغیر در دو طرف باشد. مثلا:

وظیفه. معادله را حل کنید:

راه حل اشتباه - برخی افراد به معنای واقعی کلمه خارش دارند تا همه چیز را با m کوتاه کنند:

متغیرهای کاهش یافته با رنگ قرمز نشان داده شده اند. عبارت 1/4 = 1/5 کاملاً مزخرف است، این اعداد هرگز برابر نیستند.

و اکنون - تصمیم درست. در اصل معمولی است معادله خطی . می توان آن را با حرکت دادن همه عناصر به یک طرف یا با ویژگی اصلی نسبت حل کرد:

بسیاری از خوانندگان اعتراض خواهند کرد: "اشتباه در راه حل اول کجاست؟" خب بیایید بفهمیم بیایید قانون کار با معادلات را به خاطر بسپاریم:

هر معادله ای را می توان در هر عددی تقسیم و ضرب کرد، غیر صفر.

آیا ترفند را از دست دادید؟ شما فقط می توانید بر روی اعداد تقسیم کنید غیر صفر. به طور خاص، شما می توانید بر یک متغیر m تقسیم کنید فقط اگر m != 0. اما اگر بالاخره m = 0 باشد چه؟ بیایید جایگزین و بررسی کنیم:

ما برابری عددی صحیح را دریافت کردیم، یعنی. m = 0 ریشه معادله است. برای m != 0 باقیمانده، عبارتی به شکل 1/4 = 1/5 دریافت می کنیم که طبیعتاً نادرست است. بنابراین، هیچ ریشه غیر صفر وجود ندارد.

نتیجه گیری: همه چیز را کنار هم بگذارید

بنابراین، برای حل معادلات گویا کسریسه قانون را به خاطر بسپار:

1. فقط ضریب ها را می توان کاهش داد. افزودن مجاز نیست. بنابراین، یاد بگیرید که صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.
2. ویژگی اصلی نسبت: حاصلضرب عناصر افراطی برابر با حاصلضرب عناصر میانی است.
3. معادلات را فقط می توان با اعداد k غیر از صفر ضرب و تقسیم کرد. مورد k = 0 باید جداگانه بررسی شود.

این قوانین را به خاطر بسپارید و اشتباه نکنید.

بخشو صورت و مخرج کسری روی آنها مقسوم علیه مشترک، متفاوت از یک نامیده می شود کاهش کسری.

برای کاهش یک کسر مشترک، باید صورت و مخرج آن را بر همان عدد طبیعی تقسیم کنید.

این عدد بزرگترین مقسوم علیه و مخرج کسر داده شده است.

موارد زیر امکان پذیر است فرم های ثبت تصمیممثال هایی برای کاهش کسرهای مشترک

دانشجو حق انتخاب هر نوع ضبط را دارد.

مثال ها. کسرها را ساده کنید.

کسر را 3 کاهش دهید (عدد را بر 3 تقسیم کنید.

مخرج را بر 3 تقسیم کنید).

کسر را 7 کاهش دهید.

اعمال مشخص شده را در صورت و مخرج کسری انجام می دهیم.

کسر حاصل 5 کاهش می یابد.

بیایید این کسر را کاهش دهیم 4) بر 5·7³- بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) صورت و مخرج که از ضرایب مشترک صورت و مخرج تشکیل شده است که به توان با کوچکترین توان گرفته شده است.

بیایید صورت و مخرج این کسر را به ضرایب اول تبدیل کنیم.

ما گرفتیم: 756=2²·3³·7و 1176=2³·3·7².

GCD (بزرگترین مقسوم علیه مشترک) صورت و مخرج کسر را تعیین کنید. 5) .

این محصول حاصل عوامل مشترک با کمترین توان است.

gcd(756، 1176)= 22·3·7.

صورت و مخرج این کسر را بر gcd آنها تقسیم می کنیم، یعنی بر 22·3·7کسری تقلیل ناپذیر می گیریم 9/14 .

یا می شد بدون استفاده از مفهوم توان، تجزیه صورت و مخرج را به صورت ضربی از ضرایب اول نوشت و سپس با خط زدن همان عوامل در صورت و مخرج کسر را کاهش داد. هنگامی که هیچ عاملی مشابه باقی نمانده است، عوامل باقیمانده را جداگانه در صورت و جداگانه در مخرج ضرب می کنیم و کسر حاصل را می نویسیم. 9/14 .

و در نهایت امکان کاهش این کسر وجود داشت 5) به تدریج، با اعمال علائم تقسیم اعداد به صورت و مخرج کسر. ما اینگونه استدلال می کنیم: اعداد 756 و 1176 به عدد زوج ختم می شود، یعنی هر دو بر آن بخش پذیرند 2 . کسر را کاهش می دهیم 2 . صورت و مخرج کسر جدید اعداد هستند 378 و 588 نیز تقسیم شده است 2 . کسر را کاهش می دهیم 2 . متوجه می شویم که عدد 294 - حتی، و 189 فرد است و کاهش 2 دیگر امکان پذیر نیست. بیایید تقسیم پذیری اعداد را بررسی کنیم 189 و 294 بر 3 .

(1+8+9)=18 بر 3 بخش پذیر است و (2+9+4)=15 بر 3 بخش پذیر است، بنابراین خود اعداد 189 و 294 تقسیم می شوند 3 . کسر را کاهش می دهیم 3 . به علاوه، 63 بر 3 و بخش پذیر است 98 - نه بیایید به سایر عوامل اصلی نگاه کنیم. هر دو عدد بر بخش پذیر هستند 7 . کسر را کاهش می دهیم 7 و کسر تقلیل ناپذیر را بدست می آوریم 9/14 .