قانون نحوه جمع کردن کسری با مخرج های مختلف یک عدد صحیح را بر یک عدد صحیح تقسیم کنید. کسرهای معمولی تقسیم با باقیمانده

فرزند شما آورده است مشق شباز مدرسه و شما نمی دانید چگونه آن را حل کنید؟ پس این درس کوچک برای شماست!

نحوه اضافه کردن اعداد اعشاری

اضافه کردن کسری اعشاری در یک ستون راحت تر است. برای انجام اضافه اعشاری، باید یک قانون ساده را رعایت کنید:

• مکان باید زیر مکان باشد، ویرگول زیر کاما.

همانطور که در مثال مشاهده می کنید، کل واحدها در زیر یکدیگر قرار دارند، رقم های دهم و صدم در زیر یکدیگر قرار دارند. حالا اعداد را با نادیده گرفتن کاما اضافه می کنیم. با کاما چه کنیم؟ کاما به جایی که در دسته عدد صحیح قرار داشت منتقل می شود.

جمع کسری با مخرج مساوی

برای انجام جمع با مخرج مشترک، باید مخرج را بدون تغییر نگه دارید، مجموع اعداد را بیابید و کسری به دست آورید که مجموع کل خواهد بود.

جمع کردن کسری با مخرج های مختلف با استفاده از روش چندگانه مشترک

اولین چیزی که باید به آن توجه کنید مخرج ها هستند. مخرج ها متفاوت هستند، چه یکی بر دیگری بخش پذیر باشد و چه اعداد اول. ابتدا باید آن را به یک مخرج مشترک برسانید، چندین راه برای این کار وجود دارد:

• 1/3 + 3/4 = 13/12، برای حل این مثال باید حداقل مضرب مشترک (LCM) را پیدا کنیم که بر 2 مخرج بخش پذیر باشد. برای نشان دادن کوچکترین مضرب a و b - LCM (a;b). در در این مثال LCM (3;4)=12. بررسی می کنیم: 12:3=4; 12:4=3.
• ما عوامل را ضرب می کنیم و اعداد حاصل را اضافه می کنیم، 13/12 به دست می آید - کسری نامناسب.

• برای تبدیل کسر نامناسب به کسر مناسب، صورت را بر مخرج تقسیم می کنیم، عدد صحیح 1، باقیمانده 1 عدد و 12 مخرج است.

جمع کردن کسرها با استفاده از روش ضرب متقاطع

برای افزودن کسری با مخرج های مختلف، روش دیگری با استفاده از فرمول «متقاطع به متقاطع» وجود دارد. این یک روش تضمین شده برای مساوی کردن مخرج ها برای انجام این کار است، شما باید اعداد را با مخرج یک کسری ضرب کنید و بالعکس. اگر شما فقط در مرحله اولیهبا مطالعه کسرها، پس این روش ساده ترین و دقیق ترین راه برای به دست آوردن نتیجه صحیح هنگام جمع کردن کسرهایی با مخرج های مختلف است.

در قرن پنجم قبل از میلاد فیلسوف یونان باستان Zeno of Elea آپوریاهای معروف خود را فرموله کرد که معروف ترین آنها آپوریا "آخیل و لاک پشت" است. در اینجا به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا به امروز ادامه دارد، جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسد ... تجزیه و تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی این موضوع نقش داشتند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند...«[ویکی‌پدیا، «آپوریای زنو». همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد که زمان کند می شود تا زمانی که آشیل به لاک پشت می رسد، به طور کامل متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به واحدهای متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. گفته انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، بازاندیشی و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا یک ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا در یک نقطه از زمان نیاز دارید، اما از روی آنها نمی توانید واقعیت حرکت را تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند. ). چیزی که می خواهم به آن اشاره کنم توجه ویژه، این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. ببینیم

همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه وجود ندارد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. موجودات معقول هرگز چنین منطق پوچ را درک نمی کنند. این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت «به من فکر کن، من در خانه هستم» یا بهتر است بگوییم «ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می‌کند» پنهان می‌شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می‌کند. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و "مجموعه ریاضی دستمزد" را به ریاضیدان می دهیم. اجازه دهید به ریاضیدان توضیح دهیم که تنها زمانی اسکناس های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. اینجاست که سرگرمی شروع می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان دادن به ما خواهند کرد که اسکناس‌های یک فرقه دارای شماره اسکناس‌های متفاوتی هستند، به این معنی که نمی‌توان آنها را عناصر یکسانی در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان شروع به یادآوری دیوانه وار فیزیک می کند: روی سکه های مختلف وجود دارد مقادیر مختلفخاک، ساختار کریستالی و آرایش اتمی هر سکه منحصر به فرد است...

و حالا من بیشترین را دارم سوال جالب: خطی که بعد از آن عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام صحیح است؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با نظریه مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه «مفهوم به عنوان یک کل واحد» یا «مصالح به عنوان یک کل واحد».

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. پس از همه، اعداد هستند نمادهای گرافیکی، که با کمک آن اعداد را می نویسیم و به زبان ریاضی کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را که هر عددی را نشان می دهند پیدا کنید." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب بررسی کنیم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک تصویر حاصل را به چندین عکس که حاوی اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" از شمن ها هستند که ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های مختلفدر حساب دیفرانسیل و انتگرال، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با عدد بزرگ 12345، نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید عدد 26 را از مقاله در مورد آن در نظر بگیریم. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما به هر مرحله زیر میکروسکوپ نگاه نمی کنیم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی می گیرید.

صفر در همه سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر همان اقدامات با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت منجر شود نتایج متفاوتبعد از مقایسه آنها به این معنی است که ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه عملیات ریاضیبه اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی عمل را انجام می دهد، بستگی ندارد.

در را باز می کند و می گوید:

اوه! اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این آزمایشگاهی است برای مطالعه قدوسیت بی‌فلیک ارواح در هنگام عروج آنها به بهشت! هاله در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله بالا و فلش پایین نر هستند.

اگر چنین اثر هنری طراحی چندین بار در روز از جلوی چشمان شما چشمک بزند،

پس جای تعجب نیست که ناگهان نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیبی از چندین تصویر: علامت منفی، شماره چهار، تعیین درجه). و من فکر نمی کنم این دختر احمقی باشد که فیزیک نمی داند. او فقط یک کلیشه قوی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. در اینجا یک مثال است.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در نماد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار یک عدد و یک حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

توجه کن!قبل از نوشتن پاسخ نهایی، ببینید آیا می توانید کسری را که دریافت کرده اید کوتاه کنید.

تفریق کسری با مخرج مشابه، مثال ها:

,

,

کم کردن کسر مناسب از یک

اگر لازم باشد کسری از واحدی که مناسب است کم شود، آن واحد به کسری نامناسب تبدیل می شود، مخرج آن برابر است با مخرج کسر تفریق شده.

مثالی از تفریق کسر مناسب از یک:

مخرج کسری که باید تفریق شود = 7 ، یعنی یک را به عنوان کسر نامناسب 7/7 نشان می دهیم و طبق قانون تفریق کسری با مخرج مشابه از آن کم می کنیم.

کم کردن کسر مناسب از یک عدد کامل

قوانین تفریق کسرها -درست از یک عدد کامل (شماره طبیعی):

• کسرهای داده شده را که دارای یک جزء صحیح هستند به کسرهای نامناسب تبدیل می کنیم. ما عبارات عادی را دریافت می کنیم (مهم نیست که مخرج های متفاوتی داشته باشند) که طبق قوانین ذکر شده در بالا محاسبه می کنیم.
• بعد، ما تفاوت بین کسری که دریافت کرده ایم را محاسبه می کنیم. در نتیجه، تقریباً پاسخ را خواهیم یافت.
• ما تبدیل معکوس را انجام می دهیم، یعنی از کسر نامناسب خلاص می شویم - کل قسمت را در کسری انتخاب می کنیم.

کسر مناسب را از یک عدد کامل کم کنید: عدد طبیعی را به صورت یک عدد مختلط نشان دهید. آن ها یک عدد طبیعی را می گیریم و آن را به کسری نامناسب تبدیل می کنیم که مخرج آن با کسر تفریق شده یکی است.

مثالی از تفریق کسرها:

در مثال، یک را با کسر نامناسب 7/7 جایگزین کردیم و به جای 3 نوشتیم عدد مختلطو کسری از قسمت کسری کم شد.

تفریق کسری با مخرج های مختلف.

یا به بیان دیگر، تفریق کسرهای مختلف.

قانون تفریق کسری با مخرج های مختلف.برای تفریق کسری با مخرج های مختلف، ابتدا باید این کسرها را به کمترین مخرج مشترک (LCD) تقلیل داد و تنها پس از آن، تفریق را مانند کسرهایی با مخرج مشابه انجام داد.

مخرج مشترک چند کسر است LCM (کمترین مضرب مشترک) اعداد طبیعی، که مخرج این کسرها هستند.

توجه!اگر در کسر نهاییصورت و مخرج فاکتورهای مشترکی دارند، پس کسر باید کاهش یابد. کسر نامناسب به بهترین شکل به صورت کسر مختلط نمایش داده می شود. ترک نتیجه تفریق بدون کاهش کسر در صورت امکان یک راه حل ناقص برای مثال است!

روش تفریق کسری با مخرج های مختلف.

• LCM را برای همه مخرج ها پیدا کنید.
• عوامل اضافی را برای همه کسری ها قرار دهید.
• همه اعداد را در یک عامل اضافی ضرب کنید.
• ما محصولات حاصل را در صورتگر می نویسیم و مخرج مشترک را در زیر همه کسرها امضا می کنیم.
• اعداد کسرها را کم کنید و مخرج مشترک را زیر اختلاف امضا کنید.

به همین ترتیب، جمع و تفریق کسرها در صورت وجود حروف در عدد انجام می شود.

تفریق کسرها، مثال:

تفریق کسرهای مختلط

در تفریق کسرهای مخلوط(اعداد)به طور جداگانه، قسمت صحیح از قسمت صحیح و قسمت کسری از قسمت کسری کم می شود.

اولین گزینه برای تفریق کسرهای مختلط.

اگر قطعات کسری یکسانمخرج و صورت بخش کسری مینیوند (آن را از آن کم می کنیم) ≥ صورت بخش کسری جزء فرعی (آن را کم می کنیم).

به عنوان مثال:

گزینه دوم برای تفریق کسرهای مختلط.

وقتی قطعات کسری متفاوت استمخرج ها برای شروع، اجزای کسری را به یک مخرج مشترک می آوریم و پس از آن کل جزء را از کل جزء و جزء کسری را از قسمت کسری کم می کنیم.

به عنوان مثال:

گزینه سوم برای تفریق کسرهای مختلط.

قسمت کسری مینوئند کمتر از قسمت کسری زیر خط است.

مثال:

چون قطعات کسری مخرج های مختلفی دارند، یعنی مانند گزینه دوم، ابتدا کسرهای معمولی را به مخرج مشترک می آوریم.

شمارنده قسمت کسری مینیوند کوچکتر از شمارنده قسمت کسری زیرترهند است.3 < 14. یعنی از کل قسمت یک واحد می گیریم و این واحد را به شکل کسر نامناسب با کاهش می دهیم همان مخرجو شمارنده = 18.

در صورت‌دهنده سمت راست مجموع اعداد را می‌نویسیم، سپس پرانتزها را در صورت‌گر سمت راست باز می‌کنیم، یعنی همه چیز را ضرب می‌کنیم و موارد مشابه را می‌دهیم. پرانتز را در مخرج باز نمی کنیم. مرسوم است که محصول را در مخرج ها بگذارید. دریافت می کنیم:

یکی از مهم ترین علومی که کاربرد آن را در رشته هایی مانند شیمی، فیزیک و حتی زیست شناسی می توان دید، ریاضیات است. مطالعه این علم به شما این امکان را می دهد که برخی از ویژگی های ذهنی خود را توسعه دهید و توانایی تمرکز خود را بهبود بخشید. یکی از مباحثی که در درس ریاضی جای توجه ویژه دارد، جمع و تفریق کسرها است. بسیاری از دانش‌آموزان درس خواندن را دشوار می‌دانند. شاید مقاله ما به شما در درک بهتر این موضوع کمک کند. نحوه تفریق کسری که مخرج آنها یکسان است کسرها همان اعدادی هستند که می توانید با آنها تولید کنید اقدامات مختلف. تفاوت آنها با اعداد کامل در حضور یک مخرج است. به همین دلیل است که هنگام انجام عملیات با کسرها، باید برخی از ویژگی ها و قوانین آنها را مطالعه کنید. ساده ترین حالت تفریق کسری معمولی است که مخرج آنها به صورت یک عدد نمایش داده می شود. اگر یک قانون ساده را بدانید، انجام این عمل دشوار نخواهد بود: برای تفریق یک ثانیه از یک کسر، لازم است که کسر کسر را از کسر در حال کاهش کم کنیم. این عدد را در صورت‌دهنده تفاضل می‌نویسیم و مخرج را یکسان می‌گذاریم: k/m - b/m = (k-b)/m. نمونه هایی از تفریق کسری که مخرج آنها یکسان است 7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19. از صورت‌دهنده کسری «7»، صورت‌گر کسری «3» را کم می‌کنیم، «4» به دست می‌آید. ما این عدد را در صورتگر پاسخ می نویسیم و در مخرج همان عددی را که در مخرج کسرهای اول و دوم بود - "19" قرار می دهیم. تصویر زیر چندین نمونه مشابه دیگر را نشان می دهد. بیایید مثال پیچیده‌تری را در نظر بگیریم که در آن کسری با مخرج مشابه کم می‌شود: 29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47. از شمار کسر "29" که با تفریق به نوبه خود اعداد کسرهای بعدی - "3"، "8"، "2"، "7" کاهش می یابد. در نتیجه ، نتیجه "9" را به دست می آوریم که در صورتگر پاسخ می نویسیم و در مخرج عددی را که در مخرج همه این کسرها است - "47" می نویسیم. جمع کسری که مخرج یکسان دارند جمع و تفریق کسرهای معمولی از همین اصل پیروی می کند. برای اضافه کردن کسرهایی که مخرج آنها یکسان است، باید اعداد را جمع کنید. عدد حاصل، صورت‌گر مجموع است و مخرج ثابت خواهد ماند: k/m + b/m = (k + b)/m. بیایید با استفاده از یک مثال ببینیم که این چگونه به نظر می رسد: 1/4 + 2/4 = 3/4. به شماره‌گذار اولین جمله کسری - "1" - شمارنده جمله دوم کسری - "2" را اضافه کنید. نتیجه - "3" - در صورت مجموع نوشته می شود و مخرج همان چیزی است که در کسرها - "4" وجود دارد. کسری با مخرج های مختلف و تفریق آنها ما قبلاً عملیات را با کسری که مخرج یکسانی دارند در نظر گرفته ایم. همانطور که می بینیم، دانستن قوانین ساده، حل چنین مثال هایی بسیار آسان است. اما اگر بخواهید عملیاتی را با کسری که مخرج های متفاوتی دارند انجام دهید چه؟ بسیاری از دانش آموزان دبیرستانی با چنین مثال هایی گیج می شوند. اما حتی در اینجا، اگر اصل راه حل را بدانید، دیگر مثال ها برای شما دشوار نخواهد بود. در اینجا قانونی نیز وجود دارد که بدون آن حل چنین کسرهایی به سادگی غیرممکن است. برای تفریق کسری از مخرج های مختلف، لازم است آنها را به کمترین مخرج یکسان کاهش دهیم. در مورد نحوه انجام این کار با جزئیات بیشتری صحبت خواهیم کرد. خاصیت کسری برای اینکه چند کسر را به یک مخرج بیاورید، باید از ویژگی اصلی یک کسر در حل استفاده کنید: پس از تقسیم یا ضرب صورت و مخرج در یک عدد، کسری برابر با عدد داده شده به دست می آید. به عنوان مثال، کسر 2/3 می تواند دارای مخرج هایی مانند "6"، "9"، "12" و غیره باشد، یعنی می تواند شکل هر عددی را داشته باشد که مضرب "3" باشد. پس از ضرب کردن صورت و مخرج در "2"، کسری 4/6 را بدست می آوریم. بعد از ضرب کردن صورت و مخرج کسر اصلی در "3" به 9/6 می رسد و اگر عمل مشابهی را با عدد "4" انجام دهیم، 8/12 به دست می آید. یک برابری را می توان به صورت زیر نوشت: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12… نحوه تبدیل کسرهای متعدد به مخرج یکسان بیایید به نحوه کاهش کسرهای متعدد به مخرج یکسان نگاه کنیم. برای مثال، کسرهای نشان داده شده در تصویر زیر را در نظر بگیرید. ابتدا باید تعیین کنید که کدام عدد می تواند مخرج همه آنها شود. برای آسان‌تر کردن کار، بیایید مخرج‌های موجود را فاکتورسازی کنیم. مخرج کسر 1/2 و کسری 2/3 را نمی توان فاکتور گرفت. مخرج 7/9 دارای دو عامل 7/9 = 7/(3 x 3)، مخرج کسری 5/6 = 5/(2 x 3) است. اکنون باید تعیین کنیم که کدام فاکتور برای هر چهار کسر کوچکترین خواهد بود. از آنجایی که کسر اول در مخرج عدد "2" دارد، به این معنی است که باید در کسر 7/9 دو ثلاث وجود داشته باشد، یعنی هر دوی آنها باید در مخرج نیز باشند. با در نظر گرفتن موارد فوق، مشخص می کنیم که مخرج از سه عامل 3، 2، 3 تشکیل شده است و برابر با 3 x 2 x 3 = 18 است. بیایید کسر اول را در نظر بگیریم - 1/2. یک "2" در مخرج آن وجود دارد، اما یک رقم "3" وجود ندارد، بلکه باید دو رقم باشد. برای این کار، مخرج را در دو سه برابر ضرب می کنیم، اما با توجه به خاصیت کسری، باید صورت را در دو سه برابر ضرب کنیم: 1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18. ما همان عملیات را با کسرهای باقی مانده انجام می دهیم. 2/3 - یک سه و یک دو در مخرج وجود ندارد: 2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. 7/9 یا 7/(3 x 3) - مخرج یک دو را از دست داده است: 7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. 5/6 یا 5/(2 x 3) - مخرج سه مورد را ندارد: 5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. همه با هم به این شکل به نظر می رسد: نحوه تفریق و جمع کسری که مخرج متفاوتی دارند همانطور که در بالا ذکر شد، برای جمع یا تفریق کسری که مخرج متفاوتی دارند، باید آنها را به یک مخرج تقلیل داد و سپس از قوانین تفریق کسرهایی که مخرج یکسان دارند استفاده کرد که قبلاً در مورد آن صحبت شد. بیایید به عنوان مثال به این نگاه کنیم: 4/18 - 3/15. پیدا کردن مضرب اعداد 18 و 15: عدد 18 از 3*2*3 تشکیل شده است. عدد 15 از 5*3 ساخته شده است. مضرب مشترک عوامل زیر خواهد بود: 5 x 3 x 2 = 90. پس از یافتن مخرج، لازم است عاملی را محاسبه کنیم که برای هر کسری متفاوت است، یعنی عددی که در آن لازم است نه تنها مخرج، بلکه صورت نیز ضرب شود. برای انجام این کار، عددی را که یافتیم (مضرب مشترک) بر مخرج کسری که باید فاکتورهای اضافی برای آن تعیین شود، تقسیم کنیم. 90 تقسیم بر 15. عدد حاصل "6" ضریب 3/15 خواهد بود. 90 تقسیم بر 18. عدد حاصل "5" ضریب 4/18 خواهد بود. مرحله بعدی حل ما این است که هر کسری را به مخرج "90" کاهش دهیم. قبلاً در مورد نحوه انجام این کار صحبت کرده ایم. بیایید ببینیم که چگونه این در یک مثال نوشته شده است: (4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45. اگر کسرها دارای اعداد کوچک هستند، می توانید مخرج مشترک را تعیین کنید، همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است. همین امر در مورد کسانی که مخرج های متفاوتی دارند نیز صادق است. تفریق و داشتن اجزای صحیح قبلاً در مورد تفریق کسرها و جمع آنها به تفصیل بحث کرده ایم. اما اگر کسری داشته باشد چگونه می توان تفریق کرد کل بخش? باز هم از چند قانون استفاده می کنیم: تمام کسری که دارای یک جزء صحیح است را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. صحبت کردن به زبان ساده، کل قسمت را بردارید. برای این کار، عدد عدد صحیح را در مخرج کسر ضرب کرده و حاصل ضرب را به صورتگر اضافه کنید. عددی که بعد از این اعمال بیرون می آید، عدد کسر نامناسب است. مخرج بدون تغییر باقی می ماند. اگر کسرها مخرج متفاوتی داشته باشند، باید به یک مخرج تقلیل داده شوند. جمع یا تفریق را با مخرج های یکسان انجام دهید. هنگام دریافت کسر نامناسب، کل قسمت را انتخاب کنید. روش دیگری نیز وجود دارد که در آن می توانید کسری را با اجزای کامل جمع و تفریق کنید. برای انجام این کار، اقدامات به طور جداگانه با قطعات کامل و اقدامات با کسرها به طور جداگانه انجام می شود و نتایج با هم ثبت می شوند. مثال ارائه شده شامل کسری است که مخرج یکسانی دارند. در مواردی که مخرج ها متفاوت هستند، باید آنها را به یک مقدار رساند و سپس اقدامات را همانطور که در مثال نشان داده شده است انجام داد. کم کردن کسرها از اعداد صحیح نوع دیگر عمل با کسرها حالتی است که در نگاه اول باید کسر را کم کرد. مثال مشابهحل مشکل به نظر می رسد با این حال، همه چیز در اینجا بسیار ساده است. برای حل آن باید عدد کامل را به کسری و با مخرجی که در کسر تفریق شده است تبدیل کنید. بعد، ما یک تفریق مشابه تفریق با مخرج های یکسان انجام می دهیم. در یک مثال به این صورت است: 7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9. تفریق کسری (درجه 6) ارائه شده در این مقاله مبنایی برای حل مثال های پیچیده تری است که در نمرات بعدی پوشش داده می شوند. دانش این موضوع متعاقباً برای حل توابع، مشتقات و غیره استفاده می شود. بنابراین، درک و درک عملیات با کسری که در بالا مورد بحث قرار گرفت بسیار مهم است. اعمال با کسر. توجه! اضافی وجود دارد مواد در بخش ویژه 555. برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند و برای کسانی که "خیلی...") بنابراین، کسرها، انواع کسرها، تبدیلات چیست - ما به یاد آوردیم. بریم سر موضوع اصلی. با کسرها چه کاری می توانید انجام دهید؟بله، همه چیز مانند اعداد معمولی است. جمع، تفریق، ضرب، تقسیم. همه این اقدامات با اعشاریکار با کسرها با اعداد کامل تفاوتی ندارد. در واقع، این چیزی است که در مورد آنها خوب است، اعشاری. تنها نکته این است که باید کاما را به درستی قرار دهید. اعداد مختلطهمانطور که قبلاً گفتم، برای اکثر اقدامات مفید نیستند. آنها هنوز باید به کسرهای معمولی تبدیل شوند. اما اقدامات با کسرهای معمولیآنها حیله گر تر خواهند بود. و خیلی مهمتر! بگذارید یادآوری کنم: تمام اعمال با عبارات کسری با حروف، سینوس، مجهولات، و غیره و غیره هیچ تفاوتی با اعمال با کسرهای معمولی ندارند.! عملیات با کسرهای معمولی اساس همه جبر است. به همین دلیل است که ما در اینجا تمام این محاسبات را با جزئیات زیاد تحلیل خواهیم کرد. جمع و تفریق کسرها. همه می توانند کسرهایی را با مخرج یکسان جمع کنند (کسر کنند (من واقعا امیدوارم!). خوب، بگذارید به کسانی که کاملاً فراموشکار هستند یادآوری کنم: هنگام جمع کردن (کاهش) مخرج تغییر نمی کند. شمارنده ها اضافه می شوند (کاهش می شوند) تا به نتیجه برسد. نوع: به طور خلاصه، در نمای کلی: اگر مخرج ها متفاوت باشد چه؟ سپس با استفاده از ویژگی اصلی یک کسری (اینجا دوباره به کار می آید!)، مخرج ها را یکسان می کنیم! به عنوان مثال: در اینجا باید از کسر 2/5 کسر را 4/10 کنیم. تنها به این منظور که مخرج ها یکسان شوند. اجازه دهید توجه داشته باشم، فقط در مورد، 2/5 و 4/10 هستند همان کسری! فقط 2/5 برای ما ناخوشایند است و 4/10 واقعاً خوب است. به هر حال، این جوهر حل هر مسئله ریاضی است. زمانی که ما از ناراحت کنندهما عبارات را انجام می دهیم همان چیزی است، اما برای حل راحت تر است. مثال دیگر: وضعیت مشابه است. در اینجا ما از 16 عدد 48 را بدست می آوریم. با ضرب ساده در 3. این همه واضح است. اما به چیزی شبیه این برخورد کردیم: چگونه بودن؟! سخت است که از هفت تا 9 بسازی! اما ما باهوشیم، قوانین را می دانیم! بیایید متحول شویم هرکسری به طوری که مخرج ها یکسان باشند. به این می گویند "بیایید منجر به مخرج مشترک»: عجب! من از کجا با 63 آشنا شدم؟ خیلی ساده! 63 عددی است که همزمان بر 7 و 9 بخش پذیر است. چنین عددی را همیشه می توان با ضرب مخرج بدست آورد. اگر مثلاً عددی را در 7 ضرب کنیم، قطعاً حاصل بر 7 بخش پذیر خواهد بود! در صورت نیاز به جمع (تفریق) چند کسر، نیازی به انجام آن به صورت جفت، مرحله به مرحله نیست. فقط باید مخرج مشترک همه کسرها را پیدا کنید و هر کسر را به همان مخرج کاهش دهید. به عنوان مثال: و وجه مشترک چه خواهد بود؟ البته می توانید 2، 4، 8 و 16 را ضرب کنید. تخمین زدن اینکه عدد 16 کاملا بر 2، 4 و 8 بخش پذیر است آسان تر است. بنابراین، از این اعداد به راحتی می توان 16 را بدست آورد. این عدد مخرج مشترک خواهد بود. بیایید 1/2 را به 8/16، 3/4 را به 12/16 و غیره تبدیل کنیم. به هر حال، اگر 1024 را به عنوان مخرج مشترک بگیرید، همه چیز درست می شود، در نهایت همه چیز کاهش می یابد. اما همه به این هدف نمی رسند، زیرا محاسبات ... خودتان مثال را کامل کنید. نه نوعی لگاریتم... باید 29/16 باشد. بنابراین، جمع (تفریق) کسرها مشخص است، امیدوارم؟ البته، کار در یک نسخه کوتاه شده، با چند برابر اضافی آسان تر است. اما این لذت در اختیار کسانی است که صادقانه در آن کار کرده اند کلاس های خردسال... و من چیزی را فراموش نکردم. و اکنون همان اعمال را انجام خواهیم داد، اما نه با کسری، بلکه با عبارات کسری. راک جدید در اینجا آشکار خواهد شد، بله... بنابراین، باید دو عبارت کسری اضافه کنیم: باید مخرج ها را یکسان کنیم. و فقط با کمک ضرب! این همان چیزی است که خاصیت اصلی یک کسری حکم می کند. بنابراین، من نمی توانم یک به X در کسر اول در مخرج اضافه کنم. (خوب خواهد بود!). اما اگر مخرج ها را ضرب کنید، می بینید که همه چیز با هم رشد می کند! بنابراین خط کسری را یادداشت می کنیم، یک فضای خالی در بالا می گذاریم، سپس آن را اضافه می کنیم و حاصلضرب مخرج ها را در زیر می نویسیم تا فراموش نکنیم: و البته، ما چیزی را در سمت راست ضرب نمی کنیم، پرانتز را باز نمی کنیم! و اکنون، با نگاه به مخرج مشترک سمت راست، متوجه می شویم: برای بدست آوردن مخرج x(x+1) در کسر اول، باید صورت و مخرج این کسر را در (x+1) ضرب کنید. . و در کسر دوم - به x. این چیزی است که به دست می آورید: توجه کن! اینجا پرانتز است! این همان چنگک است که بسیاری از افراد روی آن پا می گذارند. البته نه پرانتز، بلکه نبود آنها. پرانتز ظاهر می شود زیرا ما در حال ضرب هستیم همهشمارنده و همهمخرج! و نه تک تک آنها... در صورت‌حساب سمت راست مجموع اعداد را می‌نویسیم، همه چیز مانند کسرهای عددی است، سپس پرانتزها را در صورت‌گر سمت راست باز می‌کنیم، یعنی. همه چیز را ضرب می کنیم و موارد مشابه را می دهیم. نیازی به باز کردن پرانتز در مخرج یا ضرب کردن چیزی نیست! به طور کلی، در مخرج (هر) محصول همیشه خوشایندتر است! دریافت می کنیم: پس جواب گرفتیم. این روند طولانی و دشوار به نظر می رسد، اما به تمرین بستگی دارد. وقتی مثال ها را حل کنید، به آن عادت کنید، همه چیز ساده می شود. کسانی که به موقع بر کسرها مسلط شده اند، تمام این عملیات را با یک دست چپ، به طور خودکار انجام می دهند! و یک نکته دیگر خیلی ها هوشمندانه با کسرها برخورد می کنند، اما در مثال هایی با آن گیر می کنند کلاعداد دوست دارم: 2 + 1/2 + 3/4 = ? دو تکه را کجا ببندیم؟ لازم نیست آن را در جایی ببندید، باید از دو کسری درست کنید. این آسان نیست، اما بسیار ساده است! 2=2/1. مثل این. هر عدد صحیح را می توان به صورت کسری نوشت. صورت خود عدد است، مخرج یک است. 7 برابر 7/1، 3 برابر 3/1 و غیره است. در مورد حروف هم همینطور است. (a+b) = (a+b)/1، x=x/1 و غیره. و سپس طبق تمام قوانین با این کسرها کار می کنیم. خوب دانش جمع و تفریق کسرها تازه شد. تبدیل کسرها از یک نوع به نوع دیگر تکرار شد. شما همچنین می توانید بررسی شوید. کمی حلش کنیم؟) محاسبه کنید: پاسخ ها (به هم ریخته): 71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6 ضرب / تقسیم کسر - در درس بعدی. همچنین وظایفی برای همه عملیات با کسری وجود دارد. اگر این سایت را دوست دارید ... به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.) می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!) می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

روی درب امضا کنید

 

---

بخوانید:
چرا خواب طوفان روی امواج دریا را می بینید؟ حسابداری تسویه حساب با بودجه کیک پنیر از پنیر در یک ماهیتابه - دستور العمل های کلاسیک برای کیک پنیر کرکی کیک پنیر از 500 گرم پنیر دلمه سالاد مروارید سیاه با آلو سالاد مروارید سیاه با آلو دستور العمل لچو با رب گوجه فرنگی