سلام، گربه ها! آخرین بار ما به طور مفصل در مورد ریشه ها صحبت کردیم (اگر به خاطر ندارید، توصیه می کنم آن را بخوانید). نکته اصلی از آن درس: تنها یک تعریف جهانی از ریشه وجود دارد، آن چیزی است که شما باید بدانید. بقیه چیزهای بیهوده و اتلاف وقت است.

امروز جلوتر می رویم. ما یاد خواهیم گرفت که ریشه ها را ضرب کنیم، برخی از مشکلات مرتبط با ضرب را مطالعه خواهیم کرد (اگر این مشکلات حل نشد، در امتحان می توانند کشنده شوند) و به درستی تمرین می کنیم. پس پاپ کورن تهیه کنید، راحت باشید و بیایید شروع کنیم.

تو هم هنوز سیگار نکشیده ای؟

درس بسیار طولانی بود، بنابراین آن را به دو بخش تقسیم کردم:

1. ابتدا قوانین ضرب را بررسی می کنیم. به نظر می رسد کلاه اشاره می کند: این زمانی است که دو ریشه وجود دارد، بین آنها علامت "ضرب" وجود دارد - و ما می خواهیم کاری با آن انجام دهیم.
2. سپس بیایید به وضعیت مخالف نگاه کنیم: یک ریشه بزرگ وجود دارد، اما ما الهام گرفتیم که آن را به عنوان محصولی از دو ریشه ساده تر نشان دهیم. چرا این امر ضروری است، یک سوال جداگانه است. ما فقط الگوریتم را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

برای کسانی که نمی توانند منتظر بمانند تا فوراً به قسمت دوم بروند، خوش آمدید. به ترتیب از بقیه شروع می کنیم.

قانون اساسی ضرب

بیایید با ساده ترین چیز شروع کنیم - ریشه های مربع کلاسیک. همان هایی که با $\sqrt(a)$ و $\sqrt(b)$ نشان داده می شوند. همه چیز برای آنها واضح است:

قانون ضرب. برای ضرب یک جذر در دیگری، به سادگی عبارات رادیکال آنها را ضرب کرده و نتیجه را زیر رادیکال مشترک بنویسید:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

هیچ محدودیت اضافی برای اعداد سمت راست یا چپ اعمال نمی شود: اگر عوامل ریشه وجود داشته باشد، محصول نیز وجود دارد.

نمونه ها بیایید به طور همزمان به چهار مثال با اعداد نگاه کنیم:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید معنای اصلی این قانون ساده سازی عبارات غیر منطقی است. و اگر در مثال اول، ریشه های 25 و 4 را خودمان بدون هیچ قاعده جدیدی استخراج می کردیم، اوضاع سخت می شود: $\sqrt(32)$ و $\sqrt(2)$ به خودی خود در نظر گرفته نمی شوند، اما حاصل ضرب آنها یک مربع کامل است، بنابراین ریشه آن برابر با یک عدد گویا است.

من به خصوص می خواهم خط آخر را برجسته کنم. در آنجا، هر دو عبارت رادیکال کسری هستند. به لطف محصول، بسیاری از عوامل لغو می شوند و کل عبارت به یک عدد مناسب تبدیل می شود.

البته همه چیز همیشه آنقدر زیبا نخواهد بود. گاهی اوقات یک آشفتگی کامل در زیر ریشه ها ایجاد می شود - مشخص نیست که با آن چه باید کرد و چگونه آن را پس از ضرب تغییر داد. کمی بعد، وقتی شروع به مطالعه معادلات و نابرابری های غیرمنطقی کنید، انواع متغیرها و توابع وجود خواهند داشت. و اغلب، مشکل نویسان روی این واقعیت حساب می کنند که شما برخی از اصطلاحات یا عوامل لغو کننده را کشف خواهید کرد، پس از آن مشکل چندین برابر ساده می شود.

علاوه بر این، اصلاً لازم نیست دقیقاً دو ریشه را ضرب کنید. شما می توانید سه، چهار یا حتی ده را در یک زمان ضرب کنید! این قانون را تغییر نمی دهد. نگاهی بیندازید:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \پایان (تراز کردن)\]

و دوباره یادداشت کوچکبا توجه به مثال دوم همانطور که می بینید، در عامل سوم زیر ریشه یک کسری اعشاری وجود دارد - در فرآیند محاسبات، آن را با یک معمولی جایگزین می کنیم، پس از آن همه چیز به راحتی کاهش می یابد. بنابراین: من به شدت توصیه می کنم از شر کسرهای اعشاری در هر عبارت غیر منطقی (یعنی حاوی حداقل یک نماد رادیکال) خلاص شوید. این کار باعث صرفه جویی در زمان و اعصاب شما در آینده می شود.

اما این یک انحراف غزلی بود. حالا بیایید بیشتر نگاه کنیم مورد کلی- زمانی که نشانگر ریشه است شماره دلخواه$n$، و نه فقط "کلاسیک" دو.

مورد یک شاخص دلخواه

بنابراین، با ریشه های مربعآن را فهمید. با مکعب ها چه کنیم؟ یا حتی با ریشه های درجه دلخواه $n$؟ بله، همه چیز یکسان است. قاعده ثابت می ماند:

برای ضرب دو ریشه درجه $n$ کافی است عبارات رادیکال آنها را ضرب کنید و سپس نتیجه را زیر یک رادیکال بنویسید.

به طور کلی، هیچ چیز پیچیده ای نیست. با این تفاوت که ممکن است مقدار محاسبات بیشتر باشد. بیایید به چند مثال نگاه کنیم:

نمونه ها محاسبه محصولات:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5 \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac((((4)^(3)))(((25)^(3)) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \راست))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \پایان (تراز کردن)\]

و باز هم توجه به عبارت دوم. ضرب می کنیم ریشه های مکعبی، خلاص شوید اعشاریو در نتیجه حاصلضرب اعداد 625 و 25 را در مخرج بدست می آوریم تعداد زیادی- من شخصاً نمی توانم به طور مستقیم محاسبه کنم که برابر است.

بنابراین، ما به سادگی مکعب دقیق را در صورت و مخرج جدا کردیم و سپس از یکی از ویژگی‌های کلیدی (یا اگر ترجیح می‌دهید، تعریف) ریشه $n$th استفاده کردیم:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\راست|. \\ \پایان (تراز کردن)\]

چنین "دستکاری" می تواند زمان زیادی را در امتحان یا کار آزمایشی، پس به یاد داشته باشید:

برای ضرب اعداد با استفاده از عبارات رادیکال عجله نکنید. ابتدا بررسی کنید: اگر درجه دقیق هر عبارتی در آنجا "رمگذاری" شده باشد، چه؟

علیرغم بدیهی بودن این تذکر، باید اعتراف کنم که اکثر دانش آموزان ناآماده درجات دقیق را در محدوده نقطه خالی نمی بینند. در عوض، آنها همه چیز را به طور کامل ضرب می کنند، و سپس تعجب می کنند: چرا آنها به این اعداد وحشیانه دست یافته اند؟

با این حال، همه اینها در مقایسه با آنچه که اکنون مطالعه خواهیم کرد، بحث کودک است.

ضرب ریشه ها با توان های مختلف

خوب، اکنون می توانیم ریشه ها را با همان اندیکاتورها ضرب کنیم. اگر شاخص ها متفاوت باشد چه؟ فرض کنید چگونه یک $\sqrt(2)$ معمولی را در مقداری مزخرف مانند $\sqrt(23)$ ضرب کنیم؟ آیا حتی امکان انجام این کار وجود دارد؟

بله البته می توانید. همه چیز طبق این فرمول انجام می شود:

قانون ضرب ریشه برای ضرب $\sqrt[n](a)$ در $\sqrt[p](b)$ کافی است تبدیل زیر را انجام دهید:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

با این حال، این فرمول تنها در صورتی کار می کند که عبارات رادیکال غیر منفی هستند. این نکته بسیار مهمی است که کمی بعد به آن باز خواهیم گشت.

در حال حاضر، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست. حالا بیایید بفهمیم شرط غیر منفی از کجا آمده است و اگر آن را نقض کنیم چه اتفاقی می افتد.

چرا عبارات رادیکال باید غیر منفی باشند؟

البته شما می توانید مانند معلمان مدرسهو هوشمندانه کتاب درسی را نقل کنید:

لازمه عدم منفی بودن با تعاریف مختلفی از ریشه های درجات زوج و فرد همراه است (بر این اساس دامنه تعریف آنها نیز متفاوت است).

خب واضح تر شده؟ من شخصاً وقتی این مزخرفات را در کلاس هشتم خواندم ، چیزی شبیه به این فهمیدم: "مسلط به عدم منفی با *#&^@(*#@^#)~% همراه است" - خلاصه من متوجه شدم. اون موقع یه چیز لعنتی نفهمیدم

بنابراین اکنون همه چیز را به روش عادی توضیح خواهم داد.

ابتدا بیایید دریابیم که فرمول ضرب بالا از کجا آمده است. برای انجام این کار، اجازه دهید یک ویژگی مهم ریشه را به شما یادآوری کنم:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

به عبارت دیگر، ما به راحتی می توانیم بیان رادیکال را به هر یک از آنها برسانیم درجه طبیعی$k$ - در این حالت، توان ریشه باید در همان توان ضرب شود. بنابراین، به راحتی می‌توانیم هر ریشه را به یک توان مشترک کاهش دهیم و سپس آن‌ها را ضرب کنیم. فرمول ضرب از اینجا می آید:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

اما یک مشکل وجود دارد که استفاده از همه این فرمول ها را به شدت محدود می کند. این عدد را در نظر بگیرید:

طبق فرمولی که داده شد، می توانیم هر مدرکی را اضافه کنیم. بیایید سعی کنیم $k=2$ را اضافه کنیم:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

منهای را دقیقاً حذف کردیم زیرا مربع منهای را می سوزاند (مانند هر درجه زوج دیگری). حال اجازه دهید تبدیل معکوس را انجام دهیم: این دو را در توان و توان "کاهش دهید". از این گذشته ، هر برابری را می توان هم از چپ به راست و هم از راست به چپ خواند:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ] (الف)؛ \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\arrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \پایان (تراز کردن)\]

اما بعد معلوم می شود که نوعی مزخرف است:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

این اتفاق نمی‌افتد، زیرا $\sqrt(-5) \lt 0$، و $\sqrt(5) \gt 0$. این بدان معنی است که برای توان های زوج و اعداد منفی فرمول ما دیگر کار نمی کند. پس از آن دو گزینه داریم:

1. ضربه زدن به دیوار و بیان اینکه ریاضیات یک علم احمقانه است، جایی که "قوانینی وجود دارد، اما اینها نادرست هستند".
2. محدودیت های اضافی را معرفی کنید که تحت آن فرمول 100٪ کار می کند.

در گزینه اول، ما باید دائماً موارد "غیر کار" را بگیریم - دشوار، وقت گیر و به طور کلی سخت است. بنابراین، ریاضیدانان گزینه دوم را ترجیح دادند.

اما نگران نباشید! در عمل، این محدودیت به هیچ وجه بر محاسبات تأثیر نمی گذارد، زیرا تمام مشکلات توصیف شده فقط به ریشه های درجه فرد مربوط می شود و می توان از آنها منفی ها را گرفت.

بنابراین، اجازه دهید یک قانون دیگر را فرموله کنیم، که به طور کلی برای همه اقدامات با ریشه اعمال می شود:

قبل از ضرب ریشه، مطمئن شوید که عبارات رادیکال غیر منفی هستند.

مثال. در عدد $\sqrt(-5)$ می توانید منهای را از زیر علامت ریشه حذف کنید - سپس همه چیز عادی خواهد بود:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\night arrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end (تراز کردن)\]

آیا تفاوت را احساس می کنید؟ اگر یک منهای زیر ریشه بگذارید، وقتی عبارت رادیکال مربع شد، ناپدید می‌شود و مزخرف شروع می‌شود. و اگر ابتدا منهای را بردارید، می توانید مربع/حذف کنید تا زمانی که صورتتان آبی شود - عدد منفی باقی می ماند.

بنابراین، صحیح ترین و بیشترین راه قابل اعتمادضرب ریشه ها به صورت زیر است:

1. تمام منفی ها را از رادیکال ها حذف کنید. منفی ها فقط در ریشه های تعدد فرد وجود دارند - می توان آنها را در جلوی ریشه قرار داد و در صورت لزوم آنها را کاهش داد (مثلاً اگر دو مورد از این موارد منفی وجود داشته باشد).
2. ضرب را طبق قوانینی که در درس امروز در بالا توضیح داده شد، انجام دهید. اگر شاخص های ریشه ها یکسان باشد، به سادگی عبارت های رادیکال را ضرب می کنیم. و اگر متفاوت باشند، از فرمول شیطانی \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) استفاده می کنیم. ^(n)))\].
3. 3. از نتیجه و نمرات خوب لذت ببرید. :)

خب؟ تمرین کنیم؟

مثال 1: عبارت را ساده کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \پایان (تراز کردن)\]

این ساده ترین گزینه است: ریشه ها یکسان و عجیب هستند، تنها مشکل این است که عامل دوم منفی است. ما این منهای را از تصویر خارج می کنیم، پس از آن همه چیز به راحتی محاسبه می شود.

مثال 2: عبارت را ساده کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt((\left(((2)^(5)) \راست))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \راست))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( تراز کردن)\]

در اینجا، بسیاری از این واقعیت که خروجی یک عدد غیر منطقی است، گیج می شوند. بله، این اتفاق می افتد: ما نتوانستیم به طور کامل از ریشه خلاص شویم، اما حداقل بیان را به طور قابل توجهی ساده کردیم.

مثال 3: عبارت را ساده کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \راست))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24))) = \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(تراز)\]

من می خواهم توجه شما را به این کار جلب کنم. در اینجا دو نکته وجود دارد:

1. ریشه یک عدد یا توان خاص نیست، بلکه متغیر $a$ است. در نگاه اول، این کمی غیر معمول است، اما در واقعیت، هنگام حل مسائل ریاضی، اغلب باید با متغیرها سر و کار داشته باشید.
2. در پایان، ما موفق شدیم شاخص رادیکال و درجه بیان رادیکال را "کاهش" دهیم. این اغلب اتفاق می افتد. و این بدان معنی است که در صورت استفاده نکردن از فرمول اصلی، محاسبات به طور قابل توجهی ساده می شود.

به عنوان مثال، می توانید این کار را انجام دهید:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \راست))^(2))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((a)^(8)) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\پایان (تراز کردن)\]

در واقع، تمام تحولات فقط با رادیکال دوم انجام شد. و اگر تمام مراحل میانی را با جزئیات توصیف نکنید، در پایان میزان محاسبات به میزان قابل توجهی کاهش می یابد.

در واقع، زمانی که مثال $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ را حل کردیم، قبلاً با یک کار مشابه در بالا روبرو شده ایم. حالا می توان خیلی ساده تر نوشت:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \راست))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \راست))^(2))) =\sqrt(75). \پایان (تراز کردن)\]

خوب، ما ضرب ریشه ها را مرتب کرده ایم. حالا بیایید عملیات معکوس را در نظر بگیریم: وقتی محصولی در زیر ریشه وجود دارد چه باید کرد؟

استخراج ریشه ربع یک عدد تنها عملیاتی نیست که می توان با این پدیده ریاضی انجام داد. درست مانند اعداد منظم، ریشه های مربع جمع و تفریق می کنند.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قوانین جمع و تفریق ریشه های مربع

عملیاتی مانند جمع و تفریق ریشه های مربع تنها در صورتی امکان پذیر است که عبارت رادیکال یکسان باشد.

مثال 1

می توانید عبارات 2 3 را اضافه یا کم کنید و 6 3، اما نه 5 6 و 9 4. اگر می توان عبارت را ساده کرد و با همان رادیکال به ریشه تقلیل داد، سپس ساده کرد و سپس جمع یا تفریق کرد.

اقدامات با ریشه: اصول

6 50 - 2 8 + 5 12

الگوریتم اقدام:

1. بیان رادیکال را ساده کنید. برای انجام این کار، باید عبارت رادیکال را به 2 عامل تجزیه کرد که یکی از آنها یک عدد مربع است (عددی که کل ریشه مربع از آن استخراج می شود، مثلاً 25 یا 9).
2. سپس باید ریشه عدد مربع را بگیریدو مقدار حاصل را قبل از علامت ریشه بنویسید. لطفا توجه داشته باشید که عامل دوم در زیر علامت ریشه وارد می شود.
3. پس از فرآیند ساده سازی، لازم است ریشه ها را با همان عبارات رادیکال تأکید کنیم - فقط می توان آنها را اضافه و کم کرد.
4. برای ریشه هایی با عبارات رادیکال یکسان، باید عواملی را که قبل از علامت ریشه ظاهر می شوند جمع یا کم کرد. بیان رادیکال بدون تغییر باقی می ماند. شما نمی توانید اعداد رادیکال را جمع یا تفریق کنید!

نکته 1

اگر مثالی دارید با تعداد زیادیعبارات رادیکال یکسان، سپس زیر این عبارات با خطوط تک، دوتایی و سه گانه خط بکشید تا فرآیند محاسبه تسهیل شود.

مثال 3

بیایید سعی کنیم این مثال را حل کنیم:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. ابتدا باید 50 را به 2 عامل 25 و 2 تجزیه کنید، سپس ریشه 25 را که برابر با 5 است، بگیرید و 5 را از زیر ریشه خارج کنید. پس از این باید 5 را در 6 ضرب کنید (ضریب ریشه) و 30 2 بدست آورید.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. ابتدا باید 8 را به 2 عامل تجزیه کنید: 4 و 2. سپس ریشه را از 4 که برابر با 2 است بگیرید و 2 را از زیر ریشه خارج کنید. پس از این، باید 2 را در 2 ضرب کنید (ضریب ریشه) و 4 2 بدست آورید.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. ابتدا باید 12 را به 2 عامل 4 و 3 تجزیه کنید سپس ریشه 4 را که برابر با 2 است استخراج کنید و از زیر ریشه خارج کنید. پس از این، باید 2 را در 5 (ضریب ریشه) ضرب کنید و 10 3 بدست آورید.

نتیجه ساده سازی: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

در نتیجه، دیدیم که چه تعداد از عبارات رادیکال یکسان در آن موجود است در این مثال. حالا بیایید با مثال های دیگر تمرین کنیم.

مثال 4

• بیایید ساده کنیم (45). عامل 45: (45) = (9 × 5) ;
• 3 را از زیر ریشه خارج می کنیم (9 = 3): 45 = 3 5;
• عوامل را در ریشه ها اضافه کنید: 3 5 + 4 5 = 7 5.

مثال 5

6 40 - 3 10 + 5:

• بیایید 6 40 را ساده کنیم. ما فاکتور 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• 2 عدد را از زیر ریشه خارج می کنیم (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• عواملی که جلوی ریشه ظاهر می شوند را ضرب می کنیم: 12 10 ;
• عبارت را به شکل ساده شده می نویسیم: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• از آنجایی که دو عبارت اول دارای اعداد رادیکال یکسانی هستند، می توانیم آنها را کم کنیم: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

مثال 6

همانطور که می بینیم، ساده کردن اعداد رادیکال ممکن نیست، بنابراین در مثال به دنبال عبارت هایی با اعداد رادیکال یکسان می گردیم، عملیات ریاضی (جمع، تفریق و غیره) را انجام می دهیم و نتیجه را می نویسیم:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

نصیحت:

• قبل از جمع یا تفریق، لازم است (در صورت امکان) عبارات رادیکال ساده شوند.
• افزودن و تفریق ریشه با عبارات رادیکال مختلف اکیداً ممنوع است.
• شما نباید یک عدد یا ریشه کامل را اضافه یا کم کنید: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• هنگام انجام عملیات با کسرها، باید عددی را پیدا کنید که بر هر مخرج بخش پذیر باشد، سپس کسرها را به آن کاهش دهید. مخرج مشترک، سپس اعداد را اضافه کنید و مخرج ها را بدون تغییر رها کنید.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم ایمیلو غیره

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و به شما اطلاع دهیم پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و رویدادهای دیگر و رویدادهای آینده.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثنائات:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، در محاکمهو/یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های سازمان های دولتی در فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

ساده ترین راه برای تفریق ریشه از یک عدد با ماشین حساب است. اما، اگر ماشین حساب ندارید، باید الگوریتم محاسبه جذر را بدانید. واقعیت این است که زیر ریشه یک عدد مربع وجود دارد. به عنوان مثال، مجذور 4 برابر با 16 است. یعنی جذر 16 برابر با چهار خواهد بود. همچنین، مجذور 5 برابر با 25 است. بنابراین، ریشه 25 برابر با 5 خواهد بود و به همین ترتیب.

اگر عدد کوچک باشد، به راحتی می توان آن را به صورت شفاهی کم کرد، به عنوان مثال، ریشه 25 برابر با 5 و ریشه 144-12 خواهد بود. شما همچنین می توانید در ماشین حساب یک آیکون ریشه خاص را وارد کنید و روی نماد کلیک کنید.

جدول ریشه های مربع نیز کمک خواهد کرد:

همچنین روش هایی وجود دارد که پیچیده تر، اما بسیار موثر هستند:

ریشه هر عددی را می توان با استفاده از ماشین حساب کم کرد، به خصوص که امروزه در هر گوشی موجود است.

می‌توانید با ضرب کردن یک عدد در خودش، تخمین بزنید که چگونه یک عدد مشخص می‌شود.



محاسبه جذر یک عدد سخت نیست، به خصوص اگر جدول خاصی داشته باشید. جدولی معروف از درس های جبر. به این عمل جذر یک عدد و به عبارت دیگر حل معادله می گویند. تقریباً همه ماشین‌حساب‌های موجود در گوشی‌های هوشمند عملکردی برای تعیین ریشه مربع دارند.



نتیجه گرفتن جذر یک عدد شناخته شده عدد دیگری خواهد بود که با افزایش توان دوم (مربع) همان عددی را که ما می دانیم به دست می دهد. بیایید به یکی از توضیحات محاسباتی نگاه کنیم که کوتاه و واضح به نظر می رسد:







در اینجا یک ویدیو در مورد این موضوع وجود دارد:

روش های مختلفی برای محاسبه جذر یک عدد وجود دارد.

محبوب ترین راه استفاده از جدول ریشه ویژه است (به زیر مراجعه کنید).

همچنین، هر ماشین حساب عملکردی دارد که با آن می توانید ریشه را پیدا کنید.

یا از فرمول خاصی استفاده کنید.



روش های مختلفی برای استخراج جذر یک عدد وجود دارد. یکی از آنها سریعترین است، با استفاده از یک ماشین حساب.

اما اگر ماشین حساب ندارید، می توانید آن را به صورت دستی انجام دهید.

نتیجه دقیق خواهد بود.

اصل تقریباً مشابه تقسیم بر یک ستون است:



















بیایید سعی کنیم جذر یک عدد را بدون ماشین حساب پیدا کنیم، مثلاً 190969.







بنابراین، همه چیز بسیار ساده است. در محاسبات، نکته اصلی این است که به برخی موارد پایبند باشید قوانین سادهو منطقی فکر کن

برای این کار به یک جدول مربع نیاز دارید



برای مثال، ریشه 100 = 10، از 20 = 400 از 43 = 1849

اکنون تقریباً همه ماشین‌حساب‌ها، از جمله ماشین‌های هوشمند، می‌توانند جذر یک عدد را محاسبه کنند. اما اگر ماشین حساب ندارید، می توانید ریشه یک عدد را به چند روش ساده پیدا کنید:

تجزیه به عوامل اصلی



عدد رادیکال را به عواملی که اعداد مربعی هستند، تبدیل کنید. بسته به عدد رادیکال، یک پاسخ تقریبی یا دقیق دریافت خواهید کرد. اعداد مربع اعدادی هستند که می توان کل جذر را از آنها گرفت. ضرایبی از یک عدد که با ضرب، عدد اصلی را می دهد. به عنوان مثال، ضرایب عدد 8 2 و 4 هستند، زیرا 2 x 4 = 8، اعداد 25، 36، 49 اعداد مربع هستند، زیرا 25 = 5، 36 = 6، 49 = 7. ضرایب مربع عواملی هستند که اعداد مربع هستند. ابتدا سعی کنید عدد رادیکال را به فاکتورهای مربعی تبدیل کنید.

برای مثال جذر 400 را (با دست) محاسبه کنید. ابتدا سعی کنید 400 را به فاکتورهای مربعی تبدیل کنید. 400 مضرب 100 است، یعنی بخش پذیر بر 25 یک عدد مربع است. با تقسیم 400 بر 25 عدد 16 بدست می آید که آن هم یک عدد مربع است. بنابراین، 400 را می توان در فاکتورهای مربع 25 و 16، یعنی 25 x 16 = 400 در نظر گرفت.

آن را به صورت زیر بنویسید: 400 = (25 x 16).



جذر حاصل ضرب برخی از جمله ها برابر است با حاصل ضرب جذر هر جمله، یعنی (a x b) = a x b. با استفاده از این قانون، جذر هر ضریب مربع را بگیرید و نتایج را ضرب کنید تا به پاسخ برسید.

در مثال ما، ریشه 25 و 16 را بگیرید.



اگر عدد رادیکال به دو تجزیه نشود فاکتور مربع(و این در اکثر موارد اتفاق می افتد)، شما نمی توانید پاسخ دقیق را در قالب یک عدد صحیح پیدا کنید. اما شما می توانید با تجزیه عدد رادیکال به یک ضریب مربع و یک عامل معمولی (عددی که کل جذر را نمی توان از آن گرفت) مسئله را ساده کنید. سپس جذر ضریب مربع را می گیرید و ریشه ضریب مشترک را می گیرید.

به عنوان مثال، جذر عدد 147 را محاسبه کنید، عدد 147 را نمی توان در دو فاکتور مربع قرار داد، اما می توان آن را به فاکتورهای زیر تقسیم کرد: 49 و 3. مسئله را به صورت زیر حل کنید:



اکنون می‌توانید با مقایسه آن با مقادیر ریشه‌های اعداد مربعی که نزدیک‌ترین (در دو طرف خط اعداد) به عدد رادیکال هستند، مقدار ریشه را تخمین بزنید (مقدار تقریبی را بیابید). مقدار ریشه را به صورت کسری اعشاری دریافت خواهید کرد که باید در عدد پشت علامت ریشه ضرب شود.

بیایید به مثال خود بازگردیم. عدد رادیکال 3 است. نزدیکترین اعداد مربع به آن اعداد 1 (1 = 1) و 4 (4 = 2) خواهد بود. بنابراین، مقدار 3 بین 1 و 2 قرار دارد. از آنجایی که مقدار 3 احتمالاً به 2 نزدیک تر است تا 1، تخمین ما این است: 3 = 1.7. ما این مقدار را در عدد علامت ریشه ضرب می کنیم: 7 x 1.7 = 11.9. اگر حساب را روی ماشین حساب انجام دهید، 12.13 دریافت خواهید کرد که تقریباً به پاسخ ما نزدیک است.

این روش با اعداد زیاد نیز کار می کند. به عنوان مثال، 35 را در نظر بگیرید. عدد رادیکال 35 است. نزدیکترین اعداد مربع به آن اعداد 25 (25 = 5) و 36 (36 = 6) هستند. بنابراین، مقدار 35 بین 5 و 6 قرار دارد. از آنجایی که مقدار 35 به 6 بسیار نزدیکتر است تا به 5 (زیرا 35 فقط 1 کمتر از 36 است)، می توانیم بگوییم که 35 کمی کمتر از 6 است. ماشین حساب پاسخ 5.92 را به ما می دهد - ما درست می گفتیم.



راه دیگر این است که عدد رادیکال را به عوامل اول تبدیل کنیم. ضرایب اول اعدادی که فقط بر 1 و خودشان بخش پذیرند. فاکتورهای اول را در یک سری بنویسید و جفت فاکتورهای یکسان را پیدا کنید. چنین عواملی را می توان از علامت ریشه خارج کرد.

به عنوان مثال، جذر 45 را محاسبه کنید. عدد رادیکال را به ضرایب اول تبدیل می کنیم: 45 = 9 x 5، و 9 = 3 x 3. بنابراین، 45 = (3 x 3 x 5). 3 را می توان به عنوان علامت ریشه درآورد: 45 = 35. اکنون می توانیم 5 را ارزیابی کنیم.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). شما سه ضریب 2 دریافت کردید. چند تا از آنها را بردارید و آنها را فراتر از علامت ریشه حرکت دهید.

2 (2 x 11) = 22 x 11. حالا می توانید 2 و 11 را ارزیابی کنید و یک پاسخ تقریبی پیدا کنید.

این فیلم آموزشی نیز ممکن است مفید باشد:

برای استخراج ریشه یک عدد باید از ماشین حساب استفاده کنید یا اگر ماشین حساب مناسب ندارید به شما توصیه می کنم به این سایت بروید و با استفاده از آن مشکل را حل کنید. ماشین حساب آنلاین، که در عرض چند ثانیه مقدار صحیح را نشان می دهد.

جمع و تفریق ریشه ها- یکی از رایج ترین "سنگ های" برای کسانی که دروس ریاضی (جبر) را در دبیرستان می گذرانند. با این حال، یادگیری درستی جمع و تفریق آنها بسیار مهم است، زیرا مثال هایی در مورد مجموع یا تفاوت ریشه ها در برنامه امتحان دولتی واحد پایه در رشته "ریاضیات" گنجانده شده است.

برای تسلط بر حل چنین مثال هایی به دو چیز نیاز دارید - درک قوانین و همچنین تمرین. پس از حل یک یا دو دوجین مثال معمولی، دانش آموز این مهارت را به خودکارسازی می آورد و سپس در آزمون یکپارچه دولتی دیگر ترسی نخواهد داشت. توصیه می شود تسلط بر عملیات حسابی را با جمع شروع کنید، زیرا جمع کردن آنها کمی راحت تر از تفریق آنها است.

ساده ترین راه برای توضیح این موضوع استفاده از جذر به عنوان مثال است. در ریاضیات یک اصطلاح کاملاً جا افتاده "مربع" وجود دارد. "مربع" به معنای ضرب کردن یک عدد خاص در خودش یک بار است.. به عنوان مثال، اگر 2 را مربع کنید، 4 می گیرید. اگر مربع 7 را به دست آورید، 49 به دست می آید.

قاعدتا آموزش این مبحث در ریاضیات با جذر آغاز می شود. به منظور تعیین فوری آن، دانش آموز دبیرستانباید جدول ضرب را از روی قلب بداند. کسانی که این جدول را محکم نمی شناسند باید از نکات استفاده کنند. معمولاً فرآیند استخراج ریشه مربع از یک عدد به صورت جدول بر روی جلد بسیاری از دفترهای ریاضی مدرسه آورده شده است.

ریشه ها از انواع زیر هستند:

• مربع؛
• مکعب (یا به اصطلاح درجه سوم)؛
• درجه چهارم؛
• درجه پنجم

قوانین اضافه

تا با موفقیت حل شود نمونه معمولی، لازم به ذکر است که همه اعداد ریشه نیستند را می توان با یکدیگر انباشته کرد. برای اینکه آنها را تا کنید، آنها را باید آورد الگوی یکنواخت. اگر این غیر ممکن است، پس مشکل راه حلی ندارد. چنین مسائلی نیز اغلب در کتاب های درسی ریاضی به عنوان نوعی تله برای دانش آموزان یافت می شود.

هنگامی که عبارات رادیکال با یکدیگر متفاوت هستند، افزودن در کارها مجاز نیست. این را می توان با یک مثال واضح نشان داد:

• دانش آموز با این وظیفه روبرو می شود: جذر 4 و 9 را اضافه کنید.
• یک دانش آموز بی تجربه که قانون را نمی داند معمولا می نویسد: "ریشه 4 + ریشه 9 = ریشه 13."
• اثبات نادرست بودن این راه حل بسیار آسان است. برای انجام این کار، باید جذر 13 را پیدا کنید و بررسی کنید که آیا مثال به درستی حل شده است یا خیر.
• با استفاده از یک ریزماشین حساب می توانید تعیین کنید که تقریباً 3.6 است. اکنون تنها چیزی که باقی می ماند بررسی راه حل است.
• ریشه 4=2 و ریشه 9=3.
• مجموع اعداد «دو» و «سه» برابر با پنج است. بنابراین، این الگوریتم حل را می توان نادرست در نظر گرفت.

اگر ریشه ها دارای درجه یکسان اما متفاوت باشند عبارات عددی، از داخل پرانتز خارج شده و داخل پرانتز قرار می گیرد مجموع دو عبارت رادیکال. بنابراین، قبلاً از این مقدار استخراج شده است.

الگوریتم جمع

تا درست تصمیم بگیریم ساده ترین کار، لازم:

1. مشخص کنید که دقیقاً چه چیزی به اضافه نیاز دارد.
2. دریابید که آیا می توان با توجه به قوانین موجود در ریاضیات، مقادیر را به یکدیگر اضافه کرد.
3. اگر تاشو نیستند، باید آنها را تغییر دهید تا بتوان آنها را تا کرد.
4. پس از انجام تمام تحولات لازم، باید جمع را انجام دهید و پاسخ تمام شده را یادداشت کنید. بسته به پیچیدگی مثال، می توانید جمع را در سر خود یا با استفاده از یک ریزماشین حساب انجام دهید.

ریشه های مشابه چیست

برای حل صحیح یک مثال جمع، ابتدا باید به این فکر کنید که چگونه می توانید آن را ساده کنید. برای انجام این کار، شما باید دانش اولیه ای از شباهت داشته باشید.

توانایی شناسایی موارد مشابه به حل سریع مثال‌های اضافه مشابه کمک می‌کند و آنها را به شکل ساده‌شده در می‌آورد. برای ساده کردن یک مثال اضافه معمولی، باید:

1. موارد مشابه را پیدا کنید و آنها را به یک گروه (یا چند گروه) جدا کنید.
2. مثال موجود را به گونه ای بازنویسی کنید که ریشه هایی که نشانگر یکسانی دارند به وضوح از یکدیگر پیروی کنند (به این "گروه بندی" می گویند).
3. در مرحله بعد، باید یک بار دیگر عبارت را دوباره بنویسید، این بار به گونه ای که موارد مشابه (که نشانگر یکسان و شکل رادیکال یکسانی دارند) نیز به دنبال یکدیگر بیایند.

پس از انجام این کار، حل مثال ساده شده معمولاً آسان است.

برای حل صحیح هر مثال جمع، باید قوانین اساسی جمع را به وضوح درک کنید و همچنین بدانید ریشه چیست و چه چیزی می تواند باشد.

گاهی اوقات چنین مشکلاتی در نگاه اول بسیار دشوار به نظر می رسند، اما معمولاً با گروه بندی موارد مشابه به راحتی حل می شوند. مهمترین چیز تمرین است، و سپس دانش آموز شروع به "شکستن مشکلات مانند آجیل" می کند. افزودن ریشه یکی از مهم ترین بخش های ریاضیات است، بنابراین معلمان باید زمان کافی را برای مطالعه آن صرف کنند.

ویدئو

این ویدیو به شما در درک معادلات با جذر کمک می کند.