8 مثال از چند جمله ای های فاکتورگیری آورده شده است. آنها شامل نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم و دو درجه دوم، مثال هایی از چندجمله ای های متقابل و نمونه هایی از یافتن ریشه های اعداد صحیح چند جمله ای های درجه سوم و چهارم می باشند.

1. مثال هایی با حل معادله درجه دوم

مثال 1.1

ایکس 4 + x 3 - 6 x 2.

راه حل

x را بیرون می آوریم 2 خارج از پرانتز:
.
2 + x - 6 = 0:
.
ریشه های معادله:
, .

.

پاسخ

مثال 1.2

عامل چند جمله ای درجه سوم:
ایکس 3 + 6 x 2 + 9 x.

راه حل

بیایید x را از پرانتز خارج کنیم:
.
بیا تصمیم بگیریم معادله درجه دومایکس 2 + 6 x + 9 = 0:
ممیز آن: .
از آنجایی که ممیز صفر است، ریشه های معادله مضرب هستند: ;
.

از اینجا فاکتورسازی چند جمله ای را بدست می آوریم:
.

پاسخ

مثال 1.3

فاکتور چند جمله ای درجه پنجم:
ایکس 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

راه حل

x را بیرون می آوریم 3 خارج از پرانتز:
.
حل معادله درجه دوم x 2 - 2 x + 10 = 0.
ممیز آن: .
از آنجایی که ممیز کمتر از صفر، سپس ریشه های معادله مختلط هستند: ;
, .

فاکتورسازی چند جمله ای به شکل زیر است:
.

اگر علاقه مند به فاکتورسازی با ضرایب واقعی هستیم، پس:
.

پاسخ

نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای ها با استفاده از فرمول ها

مثال هایی با چند جمله ای های دو درجه ای

مثال 2.1

عامل چند جمله ای دو درجه ای:
ایکس 4 + × 2 - 20.

راه حل

بیایید فرمول ها را اعمال کنیم:
آ 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
آ 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

پاسخ

مثال 2.2

چند جمله ای را که به یک دو درجه ای تقلیل می دهد، فاکتور بگیرید:
ایکس 8 + × 4 + 1.

راه حل

بیایید فرمول ها را اعمال کنیم:
آ 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
آ 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

پاسخ

مثال 2.3 با چند جمله ای بازگشتی

عامل چند جمله ای متقابل:
.

راه حل

یک چند جمله ای متقابل درجه فرد دارد. بنابراین ریشه x = - دارد 1 . چند جمله ای را بر x تقسیم کنید - (-1) = x + 1. در نتیجه دریافت می کنیم:
.
بیایید یک جایگزین انجام دهیم:
, ;
;


;
.

پاسخ

نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای ها با ریشه های عدد صحیح

مثال 3.1

عامل چند جمله ای:
.

راه حل

بیایید فرض کنیم که معادله

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

بنابراین، ما سه ریشه پیدا کردیم:
ایکس 1 = 1 ، ایکس 2 = 2 ، ایکس 3 = 3 .
از آنجایی که چند جمله ای اصلی از درجه سوم است، بیش از سه ریشه ندارد. از آنجایی که ما سه ریشه را پیدا کردیم، آنها ساده هستند. سپس
.

پاسخ

مثال 3.2

عامل چند جمله ای:
.

راه حل

بیایید فرض کنیم که معادله

حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس مقسوم علیه عدد است 2 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
-2, -1, 1, 2 .
این مقادیر را یکی یکی جایگزین می کنیم:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
اگر فرض کنیم که این معادله یک ریشه صحیح داشته باشد، مقسوم علیه عدد است 2 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 2, -1, -2 .
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 :
.

بنابراین، ما یک ریشه x دیگر پیدا کرده ایم 2 = -1 . ممکن است، مانند مورد قبلی، چند جمله ای را بر تقسیم کنیم، اما ما عبارت ها را گروه بندی می کنیم:
.

از آنجایی که معادله x 2 + 2 = 0 هیچ ریشه واقعی ندارد، پس فاکتورگیری چند جمله ای شکل دارد.

بیایید حاصل جمع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم را پیدا کنیم. با استفاده از فرمول (59.8) برای ریشه های معادله فوق به دست می آوریم

(برابری اول واضح است ، دومی پس از یک محاسبه ساده بدست می آید که خواننده به طور مستقل انجام می دهد؛ استفاده از فرمول ضرب مجموع دو عدد در تفاوت آنها راحت است).

موارد زیر ثابت شده است

قضیه ویتا مجموع ریشه های معادله درجه دوم برابر با ضریب دوم c است علامت مخالف، و حاصل ضرب آنها برابر با عبارت آزاد است.

در مورد یک معادله درجه دوم تقلیل نشده، باید عبارات فرمول (60.1) را به فرمول (60.1) جایگزین کرد و شکل را به خود گرفت.

مثال 1. یک معادله درجه دوم را با استفاده از ریشه های آن بسازید:

راه حل، الف) می یابیم که معادله شکل دارد

مثال 2. مجموع مجذورات ریشه های معادله را بدون حل خود معادله بیابید.

راه حل. مجموع و حاصلضرب ریشه ها مشخص است. اجازه دهید مجموع ریشه های مربع را در فرم نمایش دهیم

و دریافت می کنیم

از فرمول های Vieta به راحتی می توان فرمول را بدست آورد

بیان قاعده فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم.

در واقع، اجازه دهید فرمول های (60.2) را به شکل بنویسیم

حالا داریم

چیزی که ما نیاز داشتیم به دست بیاوریم.

اشتقاق بالا از فرمول های ویتا برای خواننده از یک دوره جبر آشنا است دبیرستان. نتیجه گیری دیگری را می توان با استفاده از قضیه بزوت و فاکتورسازی چند جمله ای ارائه داد (بندهای 51 و 52).

بگذارید ریشه های معادله باشد قانون کلی(52.2) سه جمله ای در سمت چپ معادله فاکتور می شود:

با باز کردن براکت ها در سمت راست این برابری یکسان، به دست می آوریم

و مقایسه ضرایب در توان های یکسان فرمول Vieta (60.1) را به ما می دهد.

مزیت این اشتقاق این است که می توان آن را در معادلات نیز اعمال کرد درجات بالاتربرای به دست آوردن عباراتی برای ضرایب معادله از طریق ریشه های آن (بدون یافتن خود ریشه ها!). به عنوان مثال، اگر ریشه های معادله مکعب داده شده

ماهیت این است که بر اساس برابری (52.2) می یابیم

(در مورد ما، باز کردن پرانتز در سمت راست برابری و جمع آوری ضرایب در درجات مختلف، به دست می آید.

جهان در تعداد زیادی از اعداد غوطه ور است. هر گونه محاسبه با کمک آنها انجام می شود.

مردم اعداد را یاد می گیرند تا در زندگی بعدی فریب نخورند. زمان زیادی طول می کشد تا آموزش ببینید و بودجه خود را مشخص کنید.

ریاضیات علمی دقیقی است که نقش زیادی در زندگی دارد. در مدرسه، کودکان اعداد را مطالعه می کنند و سپس اقداماتی را روی آنها انجام می دهند.

عملیات روی اعداد کاملاً متفاوت است: ضرب، بسط، جمع و غیره. علاوه بر فرمول های ساده، از اقدامات پیچیده تری نیز در مطالعه ریاضیات استفاده می شود. تعداد زیادی فرمول وجود دارد که می توان از آنها برای یافتن هر مقداری استفاده کرد.

در مدرسه، به محض ظاهر شدن جبر، فرمول های ساده سازی به زندگی دانش آموز اضافه می شود. معادلاتی وجود دارد که در آن دو عدد مجهول وجود دارد، اما پیدا کنید به روشی سادهکار نخواهد کرد. سه جمله ای ترکیبی از سه تک جمله با روش ساده تفریق و جمع است. سه جمله ای با استفاده از قضیه Vieta و ممیز حل می شود.

فرمول فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم

دو مورد صحیح وجود دارد و راه حل های سادهمثال:

• ممیز؛
• قضیه ویتا

یک مثلث مربع دارای مجذور مجهول و همچنین عددی بدون مربع است. اولین گزینه برای حل مشکل از فرمول Vieta استفاده می کند. این یک فرمول ساده است، اگر اعدادی که قبل از مجهول ایستاده اند خواهد بود حداقل مقدار.

برای معادلات دیگر که یک عدد قبل از مجهول است، معادله باید از طریق ممیز حل شود. این راه حل پیچیده تری است، اما تفکیک کننده بسیار بیشتر از قضیه Vieta استفاده می شود.

در ابتدا، برای پیدا کردن همه متغیرهای معادلهلازم است مثال را به 0 برسانید. راه حل مثال را می توان بررسی کرد و می توانید متوجه شوید که آیا اعداد به درستی تنظیم شده اند یا خیر.

ممیز

1. لازم است معادله را با 0 برابر کنیم.

2. هر عدد قبل از x را اعداد a، b، c می نامند. از آنجایی که هیچ عددی قبل از اولین مربع x وجود ندارد، برابر با 1 است.

3. اکنون حل معادله از طریق ممیز آغاز می شود:

4. حالا تفکیک کننده را پیدا کرده و دو x پیدا می کنیم. تفاوت این است که در یک مورد b قبل از یک مثبت و در مورد دیگر یک منهای قرار می گیرد:

5. با حل دو عدد نتایج -2 و -1 شد. معادله اصلی را جایگزین کنید:

6. در این مثال معلوم شد دو گزینه صحیح. اگر هر دو راه حل مناسب باشند، هر یک از آنها درست است.

معادلات پیچیده تر نیز با استفاده از تفکیک حل می شوند. اما اگر خود مقدار تفکیک کمتر از 0 باشد، آن مثال نادرست است. هنگام جستجو، ممیز همیشه در ریشه است و یک مقدار منفی نمی تواند در ریشه باشد.

قضیه ویتا

برای حل مسائل آسان در جایی که x اول قبل از یک عدد وجود ندارد، یعنی a=1 استفاده می شود. اگر گزینه مطابقت داشته باشد، محاسبه با استفاده از قضیه Vieta انجام می شود.

برای حل هر سه جمله ایلازم است معادله را به 0 برسانیم. گام های اول ممیز و قضیه ویتا تفاوتی ندارند.

2. حالا تفاوت های این دو روش شروع می شود. قضیه ویتا نه تنها از محاسبه خشک، بلکه از منطق و شهود نیز استفاده می کند. هر عدد حرف الف، ب، ج مخصوص به خود را دارد. این قضیه از مجموع و حاصل ضرب دو عدد استفاده می کند.

یاد آوردن! عدد b همیشه هنگام اضافه شدن علامت مخالف دارد اما عدد c بدون تغییر باقی می ماند!

جایگزینی مقادیر داده در مثال , ما گرفتیم:

3. با استفاده از روش منطقی مناسب ترین اعداد را جایگزین می کنیم. بیایید همه راه حل های ممکن را در نظر بگیریم:

1. اعداد 1 و 2 هستند. وقتی با هم جمع می شوند، 3 می گیریم، اما اگر ضرب کنیم، 4 به دست نمی آید. تناسب ندارد.
2. مقدار 2 و -2. وقتی ضرب شود -4 می شود، اما وقتی اضافه می شود 0 می شود. مناسب نیست.
3. اعداد 4 و -1. از آنجایی که ضرب شامل یک مقدار منفی است، به این معنی است که یکی از اعداد منهای خواهد داشت. مناسب برای جمع و ضرب گزینه صحیح

4. تنها چیزی که باقی می ماند این است که با قرار دادن اعداد بررسی کنید و ببینید آیا گزینه انتخاب شده درست است یا خیر.

5. به لطف بررسی آنلاین، متوجه شدیم که -1 با شرایط مثال مطابقت ندارد و بنابراین راه حلی نادرست است.

هنگام اضافه کردن یک مقدار منفی در مثال، باید عدد را در پرانتز قرار دهید.

همیشه در ریاضیات وجود خواهد داشت کارهای سادهو پیچیده است. علم خود شامل مسائل، قضایا و فرمول های مختلفی است. اگر دانش را به درستی درک کرده و به کار ببرید، هر گونه مشکل در محاسبات بی اهمیت خواهد بود.

ریاضیات نیازی به حفظ مداوم ندارد. شما باید یاد بگیرید که راه حل را بفهمید و چندین فرمول را یاد بگیرید. با توجه به نتایج منطقی به تدریج می توان مسائل و معادلات مشابه را حل کرد. چنین علمی ممکن است در نگاه اول بسیار دشوار به نظر برسد، اما اگر کسی در دنیای اعداد و مسائل فرو رود، آنگاه دیدگاه به طرز چشمگیری تغییر خواهد کرد. سمت بهتر.

تخصص های فنیهمیشه محبوب ترین در جهان باقی می ماند. در حال حاضر، در جهان فن آوری های مدرن، ریاضیات به یکی از ویژگی های ضروری هر رشته تبدیل شده است. ما باید همیشه به یاد داشته باشیم خواص مفیدریاضیات

بسط یک مثلثی با استفاده از پرانتز

علاوه بر حل روش های معمول، روش دیگری وجود دارد - تجزیه به براکت. با استفاده از فرمول Vieta استفاده می شود.

1. معادله را با 0 برابر کنید.

تبر 2 +bx+c= 0

2. ریشه های معادله ثابت می ماند، اما به جای صفر، اکنون از فرمول های بسط در پرانتز استفاده می کنند.

تبر 2 + bx + c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 ایکس 2 – 4 ایکس – 6 = 2 (ایکس + 1) (ایکس – 3)

4. راه حل x=-1، x=3

فاکتورسازی سه جمله های درجه دوم یکی از تکالیف مدرسه است که دیر یا زود همه با آن مواجه می شوند. چگونه انجامش بدهیم؟ فرمول فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم چیست؟ بیایید با استفاده از مثال ها آن را گام به گام بفهمیم.

فرمول کلی

سه جمله های درجه دوم با حل یک معادله درجه دوم فاکتورگیری می شوند. این یک مشکل ساده است که با چندین روش قابل حل است - با یافتن تفکیک کننده با استفاده از قضیه ویتا، یک راه حل گرافیکی نیز وجود دارد. دو روش اول در دبیرستان مطالعه می شود.

فرمول کلی به این صورت است:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

الگوریتم تکمیل کار

برای فاکتورگیری سه جمله ای درجه دوم، باید قضیه ویتا را بدانید، یک برنامه حل در دست داشته باشید، بتوانید به صورت گرافیکی یک جواب پیدا کنید یا با استفاده از فرمول تفکیک به دنبال ریشه های یک معادله درجه دوم بگردید. اگر یک مثلث درجه دوم داده شود و باید فاکتورگیری شود، الگوریتم به شرح زیر است:

1) عبارت اصلی را با صفر برابر کنید تا یک معادله به دست آید.

2) بیاورید اصطلاحات مشابه(در صورت وجود چنین نیازی).

3) ریشه هر کدام را بیابید به روشی شناخته شده. اگر از قبل مشخص شده باشد که ریشه ها اعداد صحیح و کوچک هستند، روش گرافیکی بهتر است استفاده شود. باید به خاطر داشت که تعداد ریشه ها برابر با حداکثر درجه معادله است، یعنی معادله درجه دوم دارای دو ریشه است.

4) مقدار را جایگزین کنید ایکسبه بیان (1).

5) فاکتورسازی سه جمله های درجه دوم را بنویسید.

مثال ها

تمرین به شما اجازه می دهد تا در نهایت درک کنید که چگونه این کار انجام می شود. مثال های زیر فاکتورسازی یک مثلث درجه دوم را نشان می دهد:

لازم است این عبارت را گسترش دهیم:

بیایید به الگوریتم خود متوسل شویم:

1) x 2 -17x+32=0

2) اصطلاحات مشابه کاهش می یابد

3) با استفاده از فرمول Vieta، یافتن ریشه برای این مثال دشوار است، بنابراین بهتر است از عبارت تشخیص دهنده استفاده کنید:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) بیایید ریشه هایی را که پیدا کردیم در فرمول اصلی برای تجزیه جایگزین کنیم:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) سپس پاسخ به این صورت خواهد بود:

x 2 -17x+32=(x-2.155)(x-14.845)

بیایید بررسی کنیم که آیا راه حل های یافت شده توسط تفکیک کننده با فرمول های Vieta مطابقت دارند یا خیر:

14,845 . 2,155=32

برای این ریشه ها، قضیه Vieta اعمال می شود، آنها به درستی پیدا شدند، به این معنی که فاکتورگیری که به دست آوردیم نیز درست است.

اجازه دهید به طور مشابه 12x2 + 7x-6 را گسترش دهیم.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

در مورد قبلی، راه‌حل‌ها اعداد غیر صحیح، اما واقعی بودند که اگر ماشین‌حساب پیش روی خود داشته باشید، به راحتی می‌توانید آن‌ها را پیدا کنید. حالا بیایید به یک مثال پیچیده تر نگاه کنیم، که در آن ریشه ها پیچیده خواهند بود: ضریب x 2 + 4x + 9. با استفاده از فرمول Vieta، ریشه ها را نمی توان یافت و ممیز منفی است. ریشه ها در صفحه پیچیده خواهند بود.

D=-20

بر این اساس، ریشه های مورد علاقه خود را به دست می آوریم -4+2i*5 1/2 و -4-2i * 5 1/2 از (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

با جایگزین کردن ریشه ها به فرمول کلی، تجزیه مورد نظر را به دست می آوریم.

مثال دیگر: باید عبارت 23x 2 -14x+7 را فاکتور کنید.

معادله را داریم 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

یعنی ریشه ها 14+21.166i و 14-21.166i. پاسخ این خواهد بود:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(ایکس- 14+21,166i ).

بیایید مثالی بزنیم که بدون کمک ممیز قابل حل است.

فرض کنید باید معادله درجه دوم x 2 -32x+255 را گسترش دهیم. بدیهی است که می توان آن را با استفاده از تفکیک کننده نیز حل کرد، اما سرعت آن بیشتر است در این موردریشه ها را بردارید

x 1 = 15

x 2 = 17

به معنای x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).