اولین نکته طبق معمول، arcsin(-a)=-arcsina است. برای رسیدن به نقطه دوم راه بالا یعنی در جهت افزایش زاویه می رویم.

این بار فراتر از n حرکت می کنیم. تا کی قراره بریم؟ در arcsin x. یعنی نقطه دوم n+arcsin x است. چرا هیچ منهای وجود ندارد؟ زیرا منهای در نماد -arcsin a به معنای حرکت در جهت عقربه های ساعت است، اما ما در خلاف جهت عقربه های ساعت رفتیم. و در نهایت به هر انتهای بازه 2pn اضافه کنید.

5) sinx>a، اگر a>1.

دایره واحد کاملاً زیر خط مستقیم y=a قرار دارد. حتی یک نقطه بالاتر از خط مستقیم وجود ندارد. بنابراین هیچ راه حلی وجود ندارد.

6) sinx>-a، که در آن a>1.

در این حالت، کل دایره واحد کاملاً بالای خط مستقیم y=a قرار دارد. بنابراین، هر نقطه ای شرط sinx>a را برآورده می کند. این یعنی x هر عددی است.

و در اینجا x هر عددی است، زیرا نقاط -n/2+2nn بر خلاف نابرابری شدید sinx>-1 در راه حل گنجانده شده است. نیازی به حذف چیزی نیست.

تنها نقطه روی دایره که این شرط را برآورده می کند n/2 است. با در نظر گرفتن دوره سینوس، راه حل این نابرابری مجموعه نقاط x=n/2+2n است.

برای مثال، نابرابری sinx>-1/2 را حل کنید:

نابرابری ها روابطی به شکل a ›b هستند، که در آن a و b عبارت هایی هستند که حداقل یک متغیر را شامل می شوند. نابرابری‌ها می‌توانند دقیق - ‹، › و غیر دقیق - ≥، ≤ باشند.

نابرابری های مثلثاتی عبارت هایی هستند به این شکل: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a که در آن F(x) با یک یا چند تابع مثلثاتی نشان داده می شود. .

نمونه ای از ساده ترین نابرابری مثلثاتی این است: sin x ‹ 1/2. مرسوم است که چنین مسائلی را به صورت گرافیکی حل کنیم.

روش 1 - حل نابرابری ها با رسم نمودار یک تابع

برای یافتن بازه‌ای که شرایط نابرابری sin x ‹ 1/2 را برآورده می‌کند، باید مراحل زیر را انجام دهید:

1. بر محور مختصاتیک سینوسی y = sin x بسازید.
2. روی همان محور، نموداری از آرگومان عددی نابرابری بکشید، یعنی یک خط مستقیم که از نقطه ½ از مختصات OY می گذرد.
3. نقاط تقاطع دو نمودار را مشخص کنید.
4. قسمتی که راه حل مثال است را سایه بزنید.

هنگامی که علائم دقیق در یک عبارت وجود دارد، نقاط تقاطع راه حل نیستند. از آنجایی که کوچکترین دوره مثبت یک سینوسی 2π است، پاسخ را به صورت زیر می نویسیم:

اگر نشانه‌های عبارت دقیق نیستند، فاصله حل باید در براکت‌های مربع محصور شود - . پاسخ مسئله را می توان به صورت نابرابری زیر نیز نوشت:

روش 2 - حل نابرابری های مثلثاتی با استفاده از دایره واحد

مسائل مشابه را می توان به راحتی با استفاده از یک دایره مثلثاتی حل کرد. الگوریتم برای یافتن پاسخ بسیار ساده است:

1. ابتدا باید یک دایره واحد رسم کنید.
2. سپس باید مقدار تابع قوس آرگومان سمت راست نابرابری روی قوس دایره را یادداشت کنید.
3. لازم است یک خط مستقیم که از مقدار تابع قوس موازی با محور آبسیسا (OX) عبور می کند، رسم کرد.
4. پس از آن، تنها چیزی که باقی می ماند انتخاب کمان دایره است، که مجموعه ای از راه حل های نابرابری مثلثاتی است.
5. پاسخ را در فرم مورد نظر یادداشت کنید.

اجازه دهید مراحل حل را با استفاده از مثال نابرابری sin x › 1/2 تجزیه و تحلیل کنیم. نقاط α و β روی دایره - مقادیر مشخص شده اند

نقاط کمان واقع در بالای α و β، فاصله ای برای حل نابرابری داده شده است.

اگر نیاز به حل مثالی برای cos دارید، قوس پاسخ به طور متقارن با محور OX قرار می گیرد، نه OY. می توانید تفاوت بین فواصل حل sin و cos را در نمودارهای زیر در متن در نظر بگیرید.

راه حل های گرافیکی برای نابرابری های مماس و کتانژانت با هر دو سینوس و کسینوس متفاوت خواهد بود. این به دلیل ویژگی های توابع است.

Arctangent و Arccotangent مماس بر یک دایره مثلثاتی هستند و حداقل دوره مثبت برای هر دو تابع π است. برای استفاده سریع و صحیح از روش دوم، باید به یاد داشته باشید که مقادیر sin، cos، tg و ctg بر روی کدام محور ترسیم شده است.

مماس مماس موازی با محور OY است. اگر مقدار arctan a را روی دایره واحد رسم کنیم، دومین نقطه مورد نیاز در یک چهارم مورب قرار می گیرد. زاویه

آنها نقاط شکست تابع هستند، زیرا نمودار به آنها تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.

در مورد کوتانژانت، مماس به موازات محور OX اجرا می شود و تابع در نقاط π و 2π قطع می شود.

نابرابری های مثلثاتی پیچیده

اگر آرگومان تابع نابرابری نه فقط با یک متغیر، بلکه با یک عبارت کامل حاوی یک مجهول نشان داده شود، در این صورت ما در مورد یک نابرابری مختلط صحبت می کنیم. روند و روش حل آن تا حدودی با روش هایی که در بالا توضیح داده شد متفاوت است. فرض کنید باید برای نابرابری زیر راه حلی پیدا کنیم:

راه حل گرافیکی شامل ساخت یک سینوسی معمولی y = sin x با استفاده از مقادیر دلخواه انتخاب شده x است. بیایید جدولی را با مختصات نقاط کنترل گراف محاسبه کنیم:

نتیجه باید یک منحنی زیبا باشد.

برای سهولت یافتن راه حل، اجازه دهید آرگومان تابع پیچیده را جایگزین کنیم

اکثر دانش آموزان نابرابری های مثلثاتی را دوست ندارند. اما بیهوده. همانطور که یک شخصیت می گفت،

"شما نمی دانید چگونه آنها را بپزید"

بنابراین در این مقاله خواهیم فهمید که چگونه "آشپزی" کنیم و با چه چیزی نابرابری را با سینوس ارائه کنیم. تصمیم خواهیم گرفت به روشی ساده- با استفاده از دایره واحد.

پس اول از همه به الگوریتم زیر نیاز داریم.

الگوریتم حل نامساوی با سینوس:

1. روی محور سینوسی عدد $a$ را رسم می کنیم و یک خط مستقیم موازی با محور کسینوس می کشیم تا زمانی که با دایره قطع شود.
2. نقاط تلاقی این خط با دایره در صورتی که نابرابری سخت نباشد سایه زده می شود و اگر نابرابری شدید باشد سایه نمی اندازد.
3. اگر نابرابری دارای علامت "$>$" باشد، ناحیه حل نابرابری بالای خط و تا دایره قرار خواهد گرفت و اگر نابرابری دارای علامت "$" باشد، در زیر خط و تا دایره قرار خواهد گرفت.<$”;
4. برای یافتن نقاط تقاطع، معادله مثلثاتی $\sin(x)=a$ را حل می کنیم، $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. با تنظیم $n=0$، اولین نقطه تقاطع را پیدا می کنیم (این نقطه در سه ماهه اول یا چهارم قرار دارد).
6. برای یافتن نقطه دوم، نگاه می کنیم که در کدام جهت از منطقه به نقطه تقاطع دوم می رویم: اگر در جهت مثبت است، باید $n=1$ را بگیریم و اگر در جهت منفی است، آنگاه $n=- 1$;
7. در پاسخ، فاصله از نقطه تقاطع کوچکتر $+ 2\pi n$ تا بزرگتر $+ 2\pi n$ نوشته می شود.

محدودیت الگوریتم

مهم: دالگوریتم داده شده کار نمی کندبرای نابرابری های شکل $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1، \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

موارد خاص هنگام حل نابرابری ها با سینوس

توجه به موارد زیر نیز مهم است که حل منطقی آنها بدون استفاده از الگوریتم فوق بسیار راحت تر است.

مورد خاص 1. حل نابرابری:

$\sin(x)\leq 1.$

با توجه به اینکه محدوده مقادیر تابع مثلثاتیپس $y=\sin(x)$ از مدول $1$ بزرگتر نیست سمت چپنابرابری ها در هر$x$ از دامنه تعریف (و دامنه تعریف سینوس همه اعداد واقعی است) بیش از $1 نیست. و بنابراین، در پاسخ می نویسیم: $x \in R$.

نتیجه:

$\sin(x)\geq -1.$

مورد خاص 2.حل نابرابری:

$\sin(x)< 1.$

با استفاده از آرگومان‌های مشابه مورد خاص 1، متوجه می‌شویم که سمت چپ نابرابری کمتر از $1$ برای همه $x\in R$ است، به جز نقاطی که راه‌حل‌های معادله $\sin(x) = 1$ هستند. با حل این معادله خواهیم داشت:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

و بنابراین، در پاسخ می نویسیم: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

نتیجه:نابرابری به طور مشابه حل می شود

$\sin(x) > -1.$

نمونه هایی از حل نابرابری ها با استفاده از یک الگوریتم.

مثال 1:حل نابرابری:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. اجازه دهید مختصات $\frac(1)(2)$ را روی محور سینوسی علامت گذاری کنیم.
2. بیایید یک خط مستقیم به موازات محور کسینوس و عبور از این نقطه رسم کنیم.
3. بیایید نقاط تقاطع را علامت گذاری کنیم. آنها سایه خواهند داشت زیرا نابرابری سختگیرانه نیست.
4. علامت نابرابری $\geq$ است، به این معنی که منطقه بالای خط را رنگ می کنیم، یعنی. نیم دایره کوچکتر
5. اولین نقطه تقاطع را پیدا می کنیم. برای انجام این کار، نابرابری را به مساوی تبدیل می کنیم و آن را حل می کنیم: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. ما $n=0$ را تنظیم می کنیم و اولین نقطه تقاطع را پیدا می کنیم: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. نکته دوم را پیدا می کنیم. ناحیه ما از نقطه اول در جهت مثبت می رود، یعنی $n$ را برابر $1$ قرار می دهیم: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

بنابراین، راه حل به شکل زیر خواهد بود:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\راست]، \n \در Z.$

مثال 2:حل نابرابری:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

مختصات $-\frac(1)(2)$ را روی محور سینوس علامت گذاری می کنیم و یک خط مستقیم موازی با محور کسینوس و گذر از این نقطه رسم می کنیم. بیایید نقاط تقاطع را علامت گذاری کنیم. آنها سایه نمی اندازند، زیرا نابرابری شدید است. علامت نابرابری $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\راست))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

علاوه بر این با فرض $n=0$، اولین نقطه تقاطع را پیدا می کنیم: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. ناحیه ما از نقطه اول در جهت منفی می رود، یعنی $n$ را برابر $-1$ قرار می دهیم: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

بنابراین، راه حل این نابرابری فاصله زمانی خواهد بود:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n؛ -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\راست)، \n \in Z.$

مثال 3:حل نابرابری:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

این مثال را نمی توان بلافاصله با استفاده از یک الگوریتم حل کرد. ابتدا باید آن را تغییر دهید. ما دقیقاً همان کاری را انجام می دهیم که با یک معادله انجام می دهیم، اما علامت را فراموش نکنید. تقسیم یا ضرب در یک عدد منفی آن را معکوس می کند!

بنابراین، بیایید هر چیزی را که تابع مثلثاتی ندارد به سمت راست منتقل کنیم. ما گرفتیم:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

بیایید طرف چپ و راست را بر 2-$ تقسیم کنیم (علامت را فراموش نکنید!). خواهد داشت:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

باز هم یک نابرابری داریم که نمی توانیم با استفاده از یک الگوریتم آن را حل کنیم. اما در اینجا کافی است متغیر را تغییر دهید:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

یک نابرابری مثلثاتی بدست می آوریم که با استفاده از الگوریتم قابل حل است:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

این نابرابری در مثال 1 حل شد، بنابراین بیایید پاسخ را از آنجا قرض بگیریم:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

با این حال، این تصمیم هنوز به پایان نرسیده است. باید به متغیر اصلی برگردیم.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

بیایید بازه را به عنوان یک سیستم تصور کنیم:

$\left\(\begin(آرایه)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n، \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \right.$

در سمت چپ سیستم عبارت ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$ وجود دارد که به بازه تعلق دارد. مرز سمت چپ بازه مسئول نابرابری اول است و مرز سمت راست مسئول نابرابری دوم است. علاوه بر این، براکت ها نقش مهمی ایفا می کنند: اگر براکت مربع باشد، نابرابری آرام می شود و اگر گرد باشد، سخت خواهد بود. وظیفه ما دریافت x$ در سمت چپ است در هر دو نابرابری.

اجازه دهید $\frac(\pi)(6)$ را از سمت چپ به سمت راست منتقل کنیم، دریافت می کنیم:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6)، \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(آرایه) \right.$.

با ساده سازی، داریم:

$\left\(\begin(آرایه)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n \end(آرایه) \right.$

با ضرب ضلع چپ و راست در 4 دلار، به دست می آید:

$\left\(\begin(آرایه)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(آرایه) \راست. $

با جمع آوری سیستم در بازه، پاسخ را دریافت می کنیم:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\راست]، \n \در Z.$

1. اگر آرگومان پیچیده باشد (متفاوت از ایکس، سپس آن را جایگزین کنید تی.

2. ما در یک هواپیما مختصات می سازیم اسباب بازینمودارهای تابع y=هزینهو y=a.

3. چنین می یابیم دو نقطه مجاور از تقاطع نمودارها، که بین آن قرار دارد بالای خط مستقیم y=a. ما ابسیساهای این نقاط را می یابیم.

4. یک نابرابری مضاعف برای استدلال بنویسید تیبا در نظر گرفتن دوره کسینوس ( تیبین ابسیساهای یافت شده خواهد بود).

5. جایگزینی معکوس کنید (به آرگومان اصلی برگردید) و مقدار را بیان کنید ایکساز نابرابری مضاعف پاسخ را به صورت فاصله عددی می نویسیم.

مثال 1.

در مرحله بعد، طبق الگوریتم، آن مقادیر آرگومان را تعیین می کنیم تی، که سینوسی در آن قرار دارد بالاتر سر راست. بیایید این مقادیر را با در نظر گرفتن تناوب تابع کسینوس به صورت یک نابرابری مضاعف بنویسیم و سپس به آرگومان اصلی برگردیم. ایکس.

مثال 2.

انتخاب محدوده ای از مقادیر تی، که در آن سینوسی بالای خط مستقیم است.

مقادیر را به صورت نابرابری مضاعف می نویسیم تی،ارضای شرط فراموش نکنید که کوچکترین دوره عملکرد y=هزینهبرابر است 2π. بازگشت به متغیر ایکس، به تدریج تمام قسمت های نابرابری دوگانه را ساده می کند.

ما پاسخ را به صورت یک بازه عددی بسته می نویسیم، زیرا نابرابری دقیق نبود.

مثال 3.

ما به محدوده مقادیر علاقه مند خواهیم شد تی، که در آن نقاط سینوسی بالای خط مستقیم قرار می گیرند.

ارزش های تیآن را به شکل یک نابرابری مضاعف بنویسید، همان مقادیر را برای آن بازنویسی کنید 2 برابرو بیان کنند ایکس. جواب را به صورت فاصله عددی بنویسیم.

و دوباره فرمول هزینه> a.

اگر هزینه> a, (-1≤آ≤1)، سپس - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

از فرمول ها برای حل نابرابری های مثلثاتی استفاده کنید و در زمان تست امتحان صرفه جویی خواهید کرد.

و حالا فرمول ، که باید در آزمون UNT یا Unified State Examination هنگام حل یک نابرابری مثلثاتی فرم استفاده کنید. هزینه

اگر هزینه , (-1≤آ≤1)، سپس arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

برای حل نابرابری های مطرح شده در این مقاله از این فرمول استفاده کنید و خیلی سریعتر و بدون هیچ نموداری به جواب خواهید رسید!

با در نظر گرفتن تناوب تابع سینوس، یک نابرابری مضاعف برای مقادیر آرگومان می نویسیم. تی، ارضای آخرین نابرابری. بیایید به متغیر اصلی برگردیم. اجازه دهید نابرابری دوگانه حاصل را تبدیل کرده و متغیر را بیان کنیم ایکس.جواب را به صورت فاصله بنویسیم.

بیایید نابرابری دوم را حل کنیم:

هنگام حل نابرابری دوم، باید سمت چپ این نابرابری را با استفاده از فرمول سینوس آرگومان دوگانه تبدیل می‌کردیم تا نابرابری شکل را به دست آوریم: sint≥a.در ادامه الگوریتم را دنبال کردیم.

نابرابری سوم را حل می کنیم:

فارغ التحصیلان و متقاضیان محترم! به خاطر داشته باشید که روش های حل نابرابری های مثلثاتی مانند روش گرافیکی ارائه شده در بالا و احتمالاً برای شما روش حل با استفاده از دایره مثلثاتی واحد (دایره مثلثاتی) تنها در اولین مراحل مطالعه بخش مثلثات قابل استفاده است. حل معادلات مثلثاتی و نامساوی. فکر می کنم به خاطر داشته باشید که ابتدا ساده ترین معادلات مثلثاتی را با استفاده از نمودار یا دایره حل کردید. با این حال، اکنون به این فکر نمی کنید که معادلات مثلثاتی را حل کنید. چگونه آنها را حل می کنید؟ طبق فرمول ها درست است. بنابراین نابرابری های مثلثاتی را باید با استفاده از فرمول ها حل کرد، به خصوص در هنگام آزمایش، زمانی که هر دقیقه ارزشمند است. پس با استفاده از فرمول مناسب سه نامساوی این درس را حل کنید.

اگر sint>a، جایی که -1≤ آ≤1، پس arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

فرمول ها را یاد بگیرید!

و در آخر: آیا می دانستید که ریاضیات تعاریف، قوانین و فرمول ها هستند؟!

البته که انجامش میدی! و کنجکاوترین با مطالعه این مقاله و تماشای ویدیو، فریاد زد: "چقدر طولانی و دشوار! آیا فرمولی وجود دارد که به شما امکان می دهد چنین نابرابری هایی را بدون هیچ نمودار یا دایره ای حل کنید؟ بله، البته وجود دارد!

برای حل نابرابری های فرم: گناه (-1≤آ≤1) فرمول معتبر است:

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

آن را به مثال های مورد بحث اعمال کنید و خیلی سریعتر به پاسخ خواهید رسید!

نتیجه: فرمول ها را یاد بگیرید، دوستان!

صفحه 1 از 1 1

در طول درس عملی، انواع اصلی وظایف را از مبحث "مثلثات" تکرار می کنیم، علاوه بر این، مشکلات افزایش پیچیدگی را تجزیه و تحلیل می کنیم و نمونه هایی از حل نابرابری های مختلف مثلثاتی و سیستم های آنها را در نظر می گیریم.

این درس به شما کمک می کند تا برای یکی از انواع وظایف B5، B7، C1 و C3 آماده شوید.

بیایید با مرور انواع اصلی کارهایی که در مبحث "مثلثات" به آنها پرداختیم شروع کنیم و چندین مشکل غیر استاندارد را حل کنیم.

وظیفه شماره 1. تبدیل زاویه به رادیان و درجه: الف) ; ب) .

الف) از فرمول تبدیل درجه به رادیان استفاده می کنیم

بیایید مقدار مشخص شده را در آن جایگزین کنیم.

ب) فرمول تبدیل رادیان به درجه را اعمال کنید

بیایید تعویض را انجام دهیم .

پاسخ. آ) ؛ ب) .

وظیفه شماره 2. محاسبه کنید: الف)؛ ب) .

الف) از آنجایی که زاویه بسیار فراتر از جدول است، با کم کردن دوره سینوس آن را کاهش می دهیم. زیرا زاویه بر حسب رادیان نشان داده شده است، سپس دوره را به صورت .

ب) در این مورد نیز وضعیت مشابه است. از آنجایی که زاویه بر حسب درجه نشان داده می شود، دوره مماس را به صورت .

زاویه حاصل، اگرچه کوچکتر از نقطه است، اما بزرگتر است، به این معنی که دیگر به قسمت اصلی جدول اشاره نمی کند، بلکه به قسمت گسترده جدول اشاره دارد. برای اینکه یک بار دیگر حافظه خود را با به خاطر سپردن جدول توسعه یافته مقادیر سه تابعه آموزش ندهید، بیایید دوباره دوره مماس را کم کنیم:

ما از عجیب بودن تابع مماس استفاده کردیم.

پاسخ. الف) 1؛ ب) .

وظیفه شماره 3. محاسبه ، اگر .

اجازه دهید کل عبارت را با تقسیم صورت و مخرج کسر بر مماس کاهش دهیم. در عین حال، ما نمی توانیم از این ترس داشته باشیم، زیرا در این حالت مقدار مماس وجود نخواهد داشت.

وظیفه شماره 4. بیان را ساده کنید.

عبارات مشخص شده با استفاده از فرمول های کاهش تبدیل می شوند. آنها فقط به طور غیر معمول با استفاده از درجه نوشته می شوند. اولین عبارت به طور کلی یک عدد را نشان می دهد. بیایید همه توابع سه گانه را یکی یکی ساده کنیم:

زیرا ، سپس تابع به یک تابع تغییر می کند، یعنی. به کوتانژانت، و زاویه به ربع دوم می‌افتد که در آن مماس اصلی علامت منفی دارد.

به همان دلایلی که در عبارت قبلی وجود دارد، تابع به یک تابع تغییر می کند، یعنی. به کوتانژانت، و زاویه به ربع اول می افتد، که در آن مماس اصلی دارای علامت مثبت است.

بیایید همه چیز را با یک عبارت ساده شده جایگزین کنیم:

مشکل شماره 5. بیان را ساده کنید.

اجازه دهید مماس زاویه دوتایی را با استفاده از فرمول مناسب بنویسیم و عبارت را ساده کنیم:

آخرین هویت یکی از فرمول های جایگزین جهانی برای کسینوس است.

مشکل شماره 6. محاسبه.

نکته اصلی این است که مرتکب اشتباه استاندارد نشویم که پاسخی را که عبارت برابر است را ندهیم. تا زمانی که فاکتوری به شکل دو در کنار آن وجود داشته باشد، نمی توانید از خاصیت اصلی آرکتانژانت استفاده کنید. برای خلاص شدن از آن، عبارت را با توجه به فرمول مماس یک زاویه مضاعف می نویسیم، در حالی که با را به عنوان یک استدلال معمولی در نظر می گیریم.

اکنون می‌توانیم خاصیت پایه‌ای را اعمال کنیم که هیچ محدودیتی در نتیجه عددی آن وجود ندارد.

مشکل شماره 7. معادله را حل کنید.

هنگام حل یک معادله کسری که برابر با صفر است، همیشه نشان داده می شود که صورت برابر با صفر است، اما مخرج آن نیست، زیرا شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.

معادله اول یک مورد خاص از ساده ترین معادله است که با استفاده از دایره مثلثاتی قابل حل است. این راه حل را خودتان به خاطر بسپارید. نابرابری دوم به عنوان ساده ترین معادله با استفاده از فرمول کلی ریشه های مماس حل می شود، اما فقط با علامت مساوی نیست.

همانطور که می بینیم، یک خانواده از ریشه ها خانواده دیگری از ریشه های دقیقاً مشابه را که معادله را برآورده نمی کنند، حذف می کند. آن ها بدون ریشه

پاسخ. هیچ ریشه ای وجود ندارد.

مشکل شماره 8. معادله را حل کنید.

بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که می توانیم عامل مشترک را حذف کنیم و این کار را انجام دهیم:

معادله به یکی از اشکال استاندارد تقلیل یافته است که حاصلضرب چندین عامل برابر با صفر است. قبلاً می دانیم که در این مورد یا یکی از آنها برابر با صفر است یا دیگری یا سومی. بیایید این را به صورت مجموعه ای از معادلات بنویسیم:

دو معادله اول موارد خاص از ساده ترین آنها هستند که قبلاً بارها با معادلات مشابه روبرو شده ایم، بنابراین بلافاصله راه حل آنها را نشان خواهیم داد. معادله سوم را با استفاده از فرمول سینوس دو زاویه به یک تابع کاهش می دهیم.

بیایید معادله آخر را جداگانه حل کنیم:

این معادله ریشه ندارد، زیرا مقدار سینوسی نمی تواند فراتر رود .

بنابراین، راه حل تنها دو خانواده اول ریشه ها است که می توان آنها را در یکی ترکیب کرد، که به راحتی در دایره مثلثاتی نشان داده می شود.

این یک خانواده از تمام نیمه است، یعنی.

بیایید به حل نابرابری های مثلثاتی برویم. ابتدا روش حل مثال را بدون استفاده از فرمول برای حل های کلی، اما با استفاده از دایره مثلثاتی تحلیل خواهیم کرد.

مشکل شماره 9. حل نابرابری

اجازه دهید یک خط کمکی بر روی دایره مثلثاتی مربوط به یک مقدار سینوس مساوی بکشیم و دامنه زوایایی را نشان دهیم که نابرابری را برآورده می کند.

بسیار مهم است که بدانیم دقیقاً چگونه می توان فاصله زاویه های حاصل را نشان داد، یعنی. آغاز آن چیست و پایان آن چیست. شروع بازه، زاویه ای خواهد بود که اگر خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم، در همان ابتدای بازه وارد خواهیم شد. در مورد ما، این نقطه ای است که در سمت چپ است، زیرا برعکس، در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت می کنیم و از نقطه درست عبور می کنیم، برعکس، محدوده زوایای مورد نیاز را ترک می کنیم. بنابراین نقطه مناسب با انتهای شکاف مطابقت دارد.

اکنون باید زوایای آغاز و پایان فاصله راه حل های خود را برای نابرابری درک کنیم. یک اشتباه معمولی این است که بلافاصله نشان دهید که نقطه سمت راست با زاویه، سمت چپ مطابقت دارد و پاسخ دهید. این درست نیست! لطفاً توجه داشته باشید که ما فقط فاصله مربوط به قسمت بالای دایره را نشان داده ایم، اگرچه به قسمت پایین علاقه مندیم، به عبارت دیگر، ابتدا و انتهای فاصله راه حل مورد نیاز خود را با هم مخلوط کرده ایم.

برای اینکه فاصله از گوشه نقطه سمت راست شروع و به گوشه نقطه چپ ختم شود، لازم است که زاویه مشخص شده اول کمتر از زاویه دوم باشد. برای انجام این کار، ما باید زاویه نقطه سمت راست را در جهت منفی مرجع اندازه گیری کنیم، یعنی. در جهت عقربه های ساعت و برابر با . سپس با شروع حرکت از آن در جهت عقربه های ساعت مثبت، به نقطه سمت راست بعد از نقطه چپ می رسیم و مقدار زاویه را برای آن بدست می آوریم. اکنون ابتدای فاصله زاویه ها از انتهای آن کمتر است و می توانیم فاصله جواب ها را بدون در نظر گرفتن دوره بنویسیم:

با توجه به اینکه چنین بازه هایی پس از هر تعداد صحیح چرخش، بی نهایت بار تکرار می شوند، با در نظر گرفتن دوره سینوس، یک راه حل کلی به دست می آوریم:

چون نابرابری سخت است، پرانتز می گذاریم و نقاطی را روی دایره انتخاب می کنیم که با انتهای فاصله مطابقت دارند.

پاسخ دریافتی خود را با فرمول حل کلی که در سخنرانی ارائه کردیم مقایسه کنید.

پاسخ. .

این روش برای درک اینکه فرمول های جواب های کلی ساده ترین نابرابری های مثلثاتی از کجا آمده اند خوب است. علاوه بر این، یادگیری همه این فرمول های دست و پا گیر برای کسانی که خیلی تنبل هستند مفید است. با این حال، خود روش نیز آسان نیست.

برای حل نابرابری های مثلثاتی، می توانید از نمودارهای توابعی که روی آنها یک خط کمکی ساخته شده است، مشابه روش نشان داده شده با استفاده از دایره واحد استفاده کنید. اگر علاقه مند هستید، سعی کنید خودتان این رویکرد را برای راه حل پیدا کنید. در ادامه از فرمول های کلی برای حل نابرابری های مثلثاتی ساده استفاده خواهیم کرد.

مشکل شماره 10. حل نابرابری

با در نظر گرفتن این واقعیت که نابرابری دقیق نیست، از فرمول برای حل کلی استفاده کنیم:

در مورد ما دریافت می کنیم:

پاسخ.

مشکل شماره 11. حل نابرابری

اجازه دهید از فرمول حل کلی برای نابرابری کاملاً مربوطه استفاده کنیم:

پاسخ. .

مشکل شماره 12. حل نابرابری ها: الف) ; ب) .

در این نابرابری ها، نیازی به عجله برای استفاده از فرمول ها برای راه حل های کلی یا دایره مثلثاتی نیست، کافی است محدوده مقادیر سینوس و کسینوس را به خاطر بسپارید.

الف) از آنجایی که ، پس نابرابری معنا ندارد. بنابراین هیچ راه حلی وجود ندارد.

ب) زیرا به طور مشابه، سینوس هر استدلال همیشه نابرابری مشخص شده در شرط را برآورده می کند. بنابراین، تمام مقادیر واقعی استدلال نابرابری را برآورده می کند.

پاسخ. الف) راه حلی وجود ندارد؛ ب) .

مسئله 13. حل نابرابری .