محور جهت است. این بدان معنی است که طرح ریزی بر روی یک محور یا روی یک خط هدایت شده یکسان در نظر گرفته می شود. طرح ریزی می تواند جبری یا هندسی باشد. در اصطلاح هندسی، طرح یک بردار بر روی یک محور به عنوان یک بردار و در اصطلاح جبری به عنوان یک عدد درک می شود. یعنی از مفاهیم طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور و طرح عددی یک بردار بر روی یک محور استفاده می شود.

Yandex.RTB R-A-339285-1

اگر یک محور L و یک بردار غیرصفر A B → داشته باشیم، می‌توانیم بردار A 1 B 1 ⇀ بسازیم که نمایانگر نقاط A 1 و B 1 آن است.

A 1 B → 1 نمایانگر بردار A B → بر روی L خواهد بود.

تعریف 1

طرح ریزی بردار بر روی محوربرداري است كه ابتدا و پايان آن پيش بيني هاي ابتدا و انتهاي يك بردار معين است. n p L A B → → مرسوم است که برآمدگی A B → بر روی L نشان داده شود. برای ساختن یک برآمدگی روی L، عمود بر روی L انداخته می شود.

مثال 1

نمونه ای از طرح ریزی برداری بر روی یک محور.

بر هواپیمای مختصاتحدود x y نقطه M 1 (x 1 , y 1) مشخص شده است. برای تصویر برداری از بردار شعاع نقطه M 1 باید برآمدگی هایی روی Ox و Oy ایجاد کرد. مختصات بردارهای (x 1, 0) و (0, y 1) را بدست می آوریم.

اگر ما در مورددر مورد برآمدگی a → روی یک b غیر صفر → یا برآمدگی a → بر روی جهت b → ، پس منظور ما برآمدگی a → بر روی محوری است که جهت b → با آن منطبق است. برآمدگی a → روی خطی که با b → تعریف شده است n p b → a → → مشخص می شود. مشخص است که وقتی زاویه بین a → و b → ، n p b → a → → و b → را می توان هم جهت در نظر گرفت. در موردی که زاویه منفرد است، n p b → a → → و b → در جهت مخالف هستند. در حالت عمود بردار a → و b → و a → صفر است، طرح a → در جهت b → بردار صفر است.

مشخصه عددی طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور، پیش بینی عددی یک بردار بر روی یک محور معین است.

تعریف 2

طرح عددی بردار بر روی محورعددی است که برابر است با حاصل ضرب طول یک بردار معین و کسینوس زاویه بین بردار داده شده و بردار تعیین کننده جهت محور.

طرح عددی A B → روی L با n p L A B → و a → روی b → - n p b → a → نشان داده می شود.

بر اساس فرمول n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ به دست می آوریم که از آنجا a → طول بردار a → , a ⇀ , b → ^ زاویه بین بردارهای a → است. و ب → .

فرمول محاسبه پیش بینی عددی را به دست می آوریم: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . این برای طول های شناخته شده a → و b → و زاویه بین آنها قابل استفاده است. این فرمول برای مختصات شناخته شده a → و b → قابل استفاده است، اما یک شکل ساده شده وجود دارد.

مثال 2

طرح عددی a → بر روی یک خط مستقیم در جهت b → با طول a → برابر با 8 و زاویه بین آنها 60 درجه را پیدا کنید. با شرط یک ⇀ = 8، a ⇀، b → ^ = 60 درجه داریم. بنابراین، بیایید جایگزین کنیم مقادیر عددیبه فرمول n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

پاسخ: 4.

با cos شناخته شده (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → → a → , b → به عنوان حاصل ضرب اسکالر a → و b → داریم. با پیروی از فرمول n p b → a → = a → · cos a ⇀ ، b → ^ ، می توانیم طرح عددی a → را در امتداد بردار b → پیدا کنیم و n p b → a → = a → ، b → b → بدست آوریم. این فرمول معادل تعریفی است که در ابتدای پاراگراف ارائه شده است.

تعریف 3

طرح عددی بردار a → بر روی محوری منطبق بر جهت b → نسبت حاصلضرب اسکالر بردارهای a → و b → به طول b → است. فرمول n p b → a → = a → , b → b → برای یافتن پیش بینی عددی a → بر روی خطی که در جهت با b → → با مختصات a → و b → شناخته شده است، قابل استفاده است.

مثال 3

با توجه به b → = (- 3، 4) . طرح عددی a → = (1، 7) را روی L پیدا کنید.

راه حل

در صفحه مختصات n p b → a → = a → , b → b → دارای شکل n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 با a → = (a x , a y ) و b → = b x، b y. برای یافتن پیش بینی عددی بردار a → بر روی محور L، شما نیاز دارید: n p L a → = n p b → a → = a →، b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

پاسخ: 5.

مثال 4

برآمدگی a → بر روی L را پیدا کنید، منطبق با جهت b →، جایی که a → = - 2، 3، 1 و b → = (3، - 2، 6) وجود دارد. فضای سه بعدی مشخص شده است.

راه حل

با توجه به a → = a x، a y، a z و b → = b x، b y، b z، حاصل ضرب اسکالر را محاسبه می کنیم: a ⇀، b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z. طول b → با استفاده از فرمول b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 یافت می شود. بنابراین فرمول تعیین طرح عددی a → خواهد بود: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

مقادیر عددی را جایگزین کنید: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

پاسخ: - 6 7.

بیایید به ارتباط بین a → روی L و طول برآمدگی a → روی L نگاه کنیم. بیایید یک محور L رسم کنیم و یک → و b → را از نقطه ای روی L اضافه کنیم، پس از آن یک خط عمود از انتهای a → به L رسم می کنیم و یک برآمدگی روی L می کشیم. 5 نوع تصویر وجود دارد:

اولینمورد با a → = n p b → a → → به معنی a → = n p b → a → → n p b → a → = a → · cos (a, → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

دومینمورد دلالت بر استفاده از n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → است که به معنی n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

سوممورد توضیح می دهد که وقتی n p b → a → → = 0 → n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 ، سپس n p b → a → → = 0 به دست می آوریم. و n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

چهارممورد n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) ، به دنبال n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

پنجممورد یک → = n p b → a → → را نشان می دهد که به معنی a → = n p b → a → → → است، از این رو ما n p b → a → = a → · cos a →، b → ^ = a → · cos 180 ° = - داریم. a → = - n p b → a → .

تعریف 4

طرح عددی بردار a → بر روی محور L که به همان ترتیب b → هدایت می شود دارای مقدار زیر است:

• طول طرح بردار a → بر روی L، مشروط بر اینکه زاویه بین a → و b → کمتر از 90 درجه یا مساوی 0 باشد: n p b → a → = n p b → a → → با شرط 0 ≤ (a → ، ب →) ^< 90 ° ;
• صفر به شرطی که a → و b → عمود باشند: n p b → a → = 0، زمانی که (a → , b → ^) = 90 درجه.
• طول برجستگی a → بر روی L، ضرب در -1، زمانی که بردارهای a → و b زاویه منفرد یا مستقیم وجود دارد →: n p b → a → = - n p b → a → → با شرط 90 درجه< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

مثال 5

با توجه به طول برآمدگی a → روی L، برابر با 2. طرح عددی a → را به شرطی که زاویه 5 π 6 رادیان باشد، بیابید.

راه حل

از شرط مشخص است که این زاویه منفرد است: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

پاسخ: - 2.

مثال 6

صفحه O x y z با طول برداری a → برابر با 6 3، b → (- 2، 1، 2) با زاویه 30 درجه در نظر گرفته می شود. مختصات طرح ریزی a → را روی محور L پیدا کنید.

راه حل

ابتدا طرح عددی بردار a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 را محاسبه می کنیم. .

بر اساس شرط، زاویه تند است، سپس طرح عددی a → = طول طرح بردار a →: n p L a → = n p L a → → = 9. این موردنشان می دهد که بردارهای n p L a → → و b → هم جهت هستند، به این معنی که یک عدد t وجود دارد که برابری برای آن صادق است: n p L a → → = t · b → . از اینجا می بینیم که n p L a → → = t · b → ، یعنی می توانیم مقدار پارامتر t را پیدا کنیم: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

سپس n p L a → → = 3 · b → با مختصات طرح بردار a → بر روی محور L برابر b → = (- 2 , 1 , 2) ، جایی که لازم است مقادیر را در 3. n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) داریم. پاسخ: (- 6، 3، 6).

لازم است اطلاعات آموخته شده قبلی در مورد شرایط همخطی بودن بردارها تکرار شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

بگذارید دو بردار و در فضا داده شود. بیایید از یک نقطه دلخواه به تعویق بیفتیم Oبردارها و . زاویهبین بردارها کوچکترین زاویه نامیده می شود. تعیین شده است .

محور را در نظر بگیرید لو یک بردار واحد را روی آن رسم کنید (یعنی برداری که طول آن برابر با یک است).

در زاویه بین بردار و محور لدرک زاویه بین بردارها و .

بنابراین اجازه دهید لیک محور است و یک بردار است.

اجازه دهید با نشان دادن الف 1و ب 1پیش بینی ها روی محور لبه ترتیب امتیاز آو ب. بیایید وانمود کنیم که الف 1مختصات دارد x 1، آ ب 1- هماهنگ كردن x 2در محور ل.

سپس طرح ریزیبردار در هر محور لتفاوت نامیده می شود x 1 – x 2بین مختصات پیش بینی های انتهای و ابتدای بردار روی این محور.

طرح ریزی بردار بر روی محور لنشان خواهیم داد.

واضح است که اگر زاویه بین بردار و محور لپس تند x 2> x 1، و طرح ریزی x 2 – x 1> 0; اگر این زاویه تیره است، پس x 2< x 1و فرافکنی x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси ل، آن x 2= x 1و x 2– x 1=0.

بنابراین، طرح بردار بر روی محور لطول قطعه است A 1 B 1، با علامت خاصی گرفته شده است. بنابراین، طرح بردار بر روی محور یک عدد یا یک اسکالر است.

طرح ریزی یک بردار به بردار دیگر به طور مشابه تعیین می شود. در این مورد، پیش بینی های انتهای این بردار بر روی خطی که بردار دوم روی آن قرار دارد، پیدا می شود.

بیایید به چند مورد اساسی نگاه کنیم ویژگی های پیش بینی ها.

سیستم های برداری خطی وابسته و مستقل خطی

بیایید چندین بردار را در نظر بگیریم.

ترکیب خطیاز این بردارها هر بردار شکل است که در آن تعدادی اعداد وجود دارد. اعداد را ضرایب ترکیب خطی می نامند. آنها همچنین می گویند که در این مورد به صورت خطی از طریق این بردارها بیان می شود. با استفاده از اقدامات خطی از آنها به دست می آید.

به عنوان مثال، اگر سه بردار داده شود، بردارهای زیر را می توان به عنوان ترکیب خطی آنها در نظر گرفت:

اگر یک بردار به صورت ترکیبی خطی از برخی بردارها نشان داده شود، به آن می گویند گذاشته شددر امتداد این بردارها

بردارها نامیده می شوند وابسته به خط، اگر اعدادی وجود داشته باشند، همه برابر با صفر نیستند، به طوری که . واضح است که اگر هر یک از این بردارها به صورت خطی بر حسب بردارهای دیگر بیان شود، بردارهای داده شده به صورت خطی وابسته خواهند بود.

در غیر این صورت، یعنی زمانی که نسبت فقط زمانی انجام می شود که ، این بردارها نامیده می شوند مستقل خطی.

قضیه 1.هر دو بردار به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر هم خط باشند.

اثبات:

قضیه زیر را می توان به طور مشابه اثبات کرد.

قضیه 2.سه بردار به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر همسطح باشند.

اثبات.

اساس

اساسمجموعه ای از بردارهای مستقل خطی غیر صفر است. عناصر پایه را با علامت نشان خواهیم داد.

در پاراگراف قبل دیدیم که دو بردار غیر خطی در یک صفحه به صورت خطی مستقل هستند. بنابراین، با توجه به قضیه 1 از پاراگراف قبل، یک پایه در یک صفحه، هر دو بردار غیر خطی در این صفحه است.

به طور مشابه، هر سه بردار غیرهمسطح به صورت خطی در فضا مستقل هستند. در نتیجه، ما سه بردار غیرهمسطح را پایه در فضا می نامیم.

عبارت زیر درست است.

قضیه.بگذارید مبنایی در فضا داده شود. سپس هر بردار را می توان به صورت یک ترکیب خطی نشان داد ، جایی که ایکس, y, z- تعدادی اعداد این تنها تجزیه است.

اثبات.

بنابراین، اساس اجازه می دهد تا هر بردار به طور منحصر به فرد با سه عدد از اعداد مرتبط شود - ضرایب گسترش این بردار به بردارهای پایه: . عکس آن نیز صادق است، برای هر سه عدد x، y، zبا استفاده از مبنا، اگر یک ترکیب خطی ایجاد کنید، می توانید بردار را مقایسه کنید .

اگر اساس و ، سپس اعداد x، y، zنامیده می شوند مختصاتبردار در یک مبنای معین مختصات بردار با نشان داده می شود.

سیستم مختصات دکارتی

بگذارید یک نقطه در فضا داده شود Oو سه بردار غیرهمسطح.

سیستم مختصات دکارتیدر فضا (روی هواپیما) مجموعه ای از یک نقطه و یک پایه است، یعنی. مجموعه ای از یک نقطه و سه بردار غیرهمسطح (2 بردار غیر خطی) که از این نقطه سرچشمه می گیرد.

نقطه Oبه نام مبدا; خطوط مستقیمی که از مبدأ مختصات در جهت بردارهای پایه عبور می کنند، محور مختصات نامیده می شوند - ابسیسا، مختصات و محور کاربردی. صفحاتی که از محورهای مختصات عبور می کنند، صفحات مختصات نامیده می شوند.

یک نقطه دلخواه را در سیستم مختصات انتخاب شده در نظر بگیرید م. اجازه دهید مفهوم مختصات نقطه را معرفی کنیم م. بردار اتصال مبدا به یک نقطه م. تماس گرفت بردار شعاعنکته ها م.

یک بردار در مبنای انتخاب شده را می توان با سه عدد اعداد مرتبط کرد - مختصات آن: .

مختصات بردار شعاع نقطه م. نامیده می شوند مختصات نقطه M. در سیستم مختصات مورد بررسی M(x،y،z). مختصات اول را ابسیسا، دومی مختصات و سومی را اطلاق می نامند.

مختصات دکارتی در هواپیما به طور مشابه تعیین می شود. در اینجا نقطه فقط دو مختصات دارد - ابسیسا و مختصات.

به راحتی می توان فهمید که برای یک سیستم مختصات معین، هر نقطه دارای مختصات خاصی است. از طرف دیگر، برای هر سه اعداد یک نقطه منحصر به فرد وجود دارد که این اعداد را به عنوان مختصات دارد.

اگر بردارهایی که به عنوان مبنا در سیستم مختصات انتخابی گرفته می شوند دارای طول واحد بوده و به صورت زوجی عمود بر هم باشند، سیستم مختصات نامیده می شود. مستطیل دکارتی.

نشان دادن آن آسان است.

کسینوس های جهت یک بردار به طور کامل جهت آن را تعیین می کنند، اما چیزی در مورد طول آن نمی گویند.

و بر روی یک محور یا بردار دیگر مفاهیم طرح ریزی هندسی و طرح عددی (یا جبری) آن وجود دارد. نتیجه یک طرح هندسی یک بردار و نتیجه یک طرح جبری یک عدد واقعی غیر منفی خواهد بود. اما قبل از رفتن به این مفاهیم، ​​بیایید اطلاعات لازم را به خاطر بسپاریم.

اطلاعات اولیه

مفهوم اصلی خود مفهوم بردار است. برای معرفی تعریف بردار هندسی، به یاد بیاوریم که پاره چیست. اجازه دهید تعریف زیر را معرفی کنیم.

تعریف 1

پاره قسمتی از یک خط مستقیم است که دارای دو مرز به صورت نقطه است.

یک بخش می تواند 2 جهت داشته باشد. برای نشان دادن جهت، یکی از مرزهای قطعه را ابتدای آن و مرز دیگر را انتهای آن می نامیم. جهت از ابتدا تا انتهای بخش نشان داده شده است.

تعریف 2

بردار یا قطعه جهت دار را قطعه ای می نامیم که مشخص است کدام یک از مرزهای پاره آغاز و کدام انتهای آن است.

نامگذاری: با دو حرف: $\overline(AB)$ – (که $A$ شروع آن و $B$ پایان آن است).

در یک حرف کوچک: $\overline(a)$ (شکل 1).

اجازه دهید چند مفهوم دیگر مرتبط با مفهوم بردار را معرفی کنیم.

تعریف 3

دو بردار غیر صفر را اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی با یکدیگر قرار گیرند، خطی می نامیم (شکل 2).

تعریف 4

اگر دو بردار غیر صفر را واجد دو شرط باشند، هم جهت می نامیم:

1. این بردارها خطی هستند.
2. اگر آنها در یک جهت هدایت شوند (شکل 3).

علامت گذاری: $\overline(a)\overline(b)$

تعریف 5

ما دو بردار غیر صفر را با جهت مخالف می نامیم اگر دو شرط را داشته باشند:

1. این بردارها خطی هستند.
2. اگر آنها در جهت های مختلف هدایت شوند (شکل 4).

علامت گذاری: $\overline(a)↓\overline(d)$

تعریف 6

طول بردار $\overline(a)$ طول بخش $a$ خواهد بود.

علامت گذاری: $|\overline(a)|$

بیایید به تعیین برابری دو بردار برویم

تعریف 7

اگر دو بردار را واجد دو شرط باشند، مساوی می نامیم:

1. آنها هم جهت هستند.
2. طول آنها برابر است (شکل 5).

طرح ریزی هندسی

همانطور که قبلاً گفتیم، نتیجه یک طرح هندسی یک بردار خواهد بود.

تعریف 8

طرح هندسی بردار $\overline(AB)$ بر روی یک محور، برداری است که به صورت زیر به دست می آید: نقطه مبدا بردار $A$ بر روی این محور پیش بینی می شود. نقطه $A"$ - ابتدای بردار مورد نظر را بدست می آوریم. نقطه پایان بردار $B$ روی این محور پیش بینی می شود. نقطه $B"$ - انتهای بردار مورد نظر را بدست می آوریم. بردار $\overline(A"B")$ بردار مورد نظر خواهد بود.

بیایید مشکل را در نظر بگیریم:

مثال 1

یک طرح هندسی $\overline(AB)$ روی محور $l$ نشان داده شده در شکل 6 بسازید.

اجازه دهید یک عمود از نقطه $A$ به محور $l$ رسم کنیم، نقطه $A"$ را روی آن به دست می آوریم. سپس، یک عمود از نقطه $B$ به محور $l$ رسم می کنیم، نقطه $B را به دست می آوریم. "$ روی آن (شکل 7).

طرح ریزی خطوط و سطوح مختلف بر روی یک هواپیما به شما این امکان را می دهد که یک تصویر بصری از اشیاء در قالب یک نقاشی بسازید. ما طرح مستطیلی را در نظر خواهیم گرفت، که در آن پرتوهای بیرون زده عمود بر صفحه طرح ریزی هستند. پرتاب یک بردار در یک هواپیما بردار = را در نظر بگیرید (شکل 3.22)، محصور بین عمودهای حذف شده از ابتدا و انتهای آن.

برنج. 3.23. طرح برداری برداری از یک بردار بر روی یک محور.

در جبر برداری، اغلب لازم است که یک بردار را روی یک AXIS، یعنی روی یک خط مستقیم که جهت خاصی دارد، نمایش دهیم. اگر بردار و محور L در یک صفحه قرار گیرند، چنین طراحی آسان است (شکل 3.23). با این حال، زمانی که این شرط برآورده نشود، کار دشوارتر می شود. بیایید زمانی که بردار و محور در یک صفحه قرار نگیرند، بردار را بر روی محور بسازیم (شکل 3.24).

برنج. 3.24. طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور
به طور کلی

از طریق انتهای بردار، صفحات عمود بر خط L را رسم می کنیم. در محل تقاطع با این خط، این صفحات دو نقطه A1 و B1 را تعریف می کنند - یک بردار که ما آن را طرح برداری برداری این بردار می نامیم. اگر بردار در همان صفحه محور قرار گیرد، مشکل پیدا کردن بردار را می توان راحت تر حل کرد، که می تواند انجام شود زیرا بردارهای آزاد در جبر برداری در نظر گرفته می شوند.

همراه با برآمدگی بردار، یک SCALAR PROJECTION نیز وجود دارد که اگر برآمدگی بردار با جهت محور L منطبق باشد، برابر مدول برآمدگی بردار است و در صورت برآمدگی بردار و L برابر با مقدار مخالف آن است. محورها جهت مخالف دارند. ما پیش بینی اسکالر را نشان خواهیم داد:

پیش‌بینی‌های برداری و اسکالر در عمل همیشه از نظر اصطلاحی کاملاً از هم جدا نیستند. معمولاً از اصطلاح "پیش بینی برداری" استفاده می شود که به معنای نمایش اسکالر یک بردار است. هنگام تصمیم گیری، لازم است به وضوح بین این مفاهیم تمایز قائل شد. با پیروی از سنت ایجاد شده، ما از اصطلاحات "طرح برداری برداری"، به معنای طرح ریزی اسکالر، و "طرح بردار" - مطابق با معنای تعیین شده استفاده خواهیم کرد.

اجازه دهید قضیه ای را ثابت کنیم که به ما امکان می دهد تا پیش بینی اسکالر یک بردار معین را محاسبه کنیم.

قضیه 5. طرح ریزی یک بردار بر روی محور L برابر است با حاصل ضرب مدول آن و کسینوس زاویه بین بردار و محور، یعنی

(3.5)

برنج. 3.25. یافتن بردار و اسکالر
پیش بینی های برداری بر روی محور L
(و محور L به طور مساوی جهت گیری می کنند).

اثبات. اجازه دهید ابتدا ساختارهایی را انجام دهیم که به ما امکان می دهد زاویه را پیدا کنیم جیبین بردار و محور L برای انجام این کار، یک خط مستقیم MN، موازی با محور L و عبور از نقطه O - ابتدای بردار (شکل 3.25) می سازیم. زاویه زاویه مورد نظر خواهد بود. اجازه دهید دو صفحه را از طریق نقاط A و O عمود بر محور L رسم کنیم:

از آنجایی که محور L و خط مستقیم MN موازی هستند.

اجازه دهید دو مورد از موقعیت نسبی بردار و محور L را برجسته کنیم.

1. اجازه دهید طرح برداری برداری و محور L به طور مساوی جهت گیری شوند (شکل 3.25). سپس طرح اسکالر مربوطه .

2. بگذارید و L در جهات مختلف جهت گیری شوند (شکل 3.26).

برنج. 3.26. یافتن بردار و برآمدگی اسکالر بردار بر روی محور L (و محور L در جهت مخالف است).

بنابراین، در هر دو مورد، قضیه صادق است.

قضیه 6. اگر مبدأ بردار به نقطه معینی در محور L آورده شود و این محور در صفحه s قرار گیرد، بردار یک زاویه با طرح برداری بردار در صفحه s و یک زاویه با بردار تشکیل می دهد. طرح ریزی روی محور L، علاوه بر این، برآمدگی های برداری خود با یکدیگر زاویه ای تشکیل می دهند، که