در ادامه مبحث حل معادلات، مطالب این مقاله شما را با معادلات درجه دوم آشنا می کند.

بیایید همه چیز را با جزئیات در نظر بگیریم: ماهیت و ضبط معادله درجه دوم، تعریف اصطلاحات مرتبط، تجزیه و تحلیل طرح برای حل ناقص و معادلات کامل، با فرمول ریشه و ممیز آشنا می شویم و بین ریشه ها و ضرایب ارتباط برقرار می کنیم و البته به مثال های کاربردی راه حل تصویری می دهیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معادله درجه دوم، انواع آن

معادله درجه دوممعادله ای است که به صورت نوشته می شود a x 2 + b x + c = 0، کجا x– متغیر، a، b و ج- برخی از اعداد، در حالی که الفصفر نیست

اغلب معادلات درجه دوممعادلات درجه دوم نیز نامیده می شوند، زیرا در اصل یک معادله درجه دوم یک معادله جبری درجه دوم است.

برای روشن شدن مطلب مثالی می زنیم تعریف داده شده: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7، 5 x 2 + 3، 1 x + 0، 11 = 0، و غیره. اینها معادلات درجه دوم هستند.

تعریف 2

اعداد a، b و جضرایب معادله درجه دوم هستند a x 2 + b x + c = 0، در حالی که ضریب الفبه نام اول، یا ارشد، یا ضریب در x 2، b - ضریب دوم، یا ضریب در x، A جبه نام یک عضو رایگان

مثلا در معادله درجه دوم 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ضریب پیشرو 6 است، ضریب دوم است − 2 ، و عبارت آزاد برابر است با − 11 . به این نکته توجه کنیم که وقتی ضرایب بو/یا c منفی هستند، سپس استفاده کنید فرم کوتاهرکوردهایی مانند 6 x 2 − 2 x − 11 = 0، نه 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

اجازه دهید این جنبه را نیز روشن کنیم: اگر ضرایب الفو/یا ببرابر 1 یا − 1 ، در این صورت ممکن است در نوشتن معادله درجه دوم که با ویژگی های نوشتن ضرایب عددی نشان داده شده توضیح داده می شود ، مشارکت صریحی نداشته باشند. مثلا در معادله درجه دوم y 2 − y + 7 = 0ضریب پیشرو 1 و ضریب دوم است − 1 .

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته

بر اساس مقدار ضریب اول، معادلات درجه دوم به کاهش یافته و کاهش نیافته تقسیم می شوند.

تعریف 3

معادله درجه دوم کاهش یافته استمعادله درجه دومی است که ضریب اصلی آن 1 است. برای سایر مقادیر ضریب پیشرو، معادله درجه دوم کاهش نمی یابد.

بیایید مثال هایی بزنیم: معادلات درجه دوم x 2 − 4 · x + 3 = 0، x 2 − x − 4 5 = 0 کاهش می یابند که در هر یک از آنها ضریب پیشرو 1 است.

9 x 2 − x − 2 = 0- معادله درجه دوم کاهش نیافته که ضریب اول با آن متفاوت است 1 .

هر معادله درجه دوم کاهش یافته را می توان با تقسیم هر دو طرف بر ضریب اول (تبدیل معادل) به یک معادله کاهش یافته تبدیل کرد. معادله تبدیل شده دارای همان ریشه معادل معادله تقلیل نشده خواهد بود یا اصلاً ریشه نخواهد داشت.

در نظر گرفتن یک مثال خاص به ما این امکان را می دهد که انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش یافته به یک معادله کاهش یافته را به وضوح نشان دهیم.

مثال 1

با توجه به معادله 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . لازم است معادله اصلی را به شکل کاهش یافته تبدیل کنید.

راه حل

طبق طرح فوق، دو طرف معادله اصلی را بر ضریب پیشرو 6 تقسیم می کنیم. سپس دریافت می کنیم: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3، و این همان است که: (6 x 2): 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0و بیشتر: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.از اینجا: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . بنابراین، معادله ای معادل معادله داده شده به دست می آید.

پاسخ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

اجازه دهید به تعریف معادله درجه دوم بپردازیم. در آن مشخص کردیم که a ≠ 0. یک شرط مشابه برای معادله لازم است a x 2 + b x + c = 0دقیقا مربع بود، از زمانی که در a = 0اساساً تبدیل می شود معادله خطی b x + c = 0.

در صورتی که ضرایب بو جبرابر با صفر (که هم به صورت جداگانه و هم به صورت مشترک امکان پذیر است)، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف 4

معادله درجه دوم ناقص- چنین معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0،که در آن حداقل یکی از ضرایب بو ج(یا هر دو) صفر است.

معادله درجه دوم کامل- یک معادله درجه دوم که در آن تمام ضرایب عددی برابر با صفر نیستند.

بیایید بحث کنیم که چرا به انواع معادلات درجه دوم دقیقاً این نام ها داده شده است.

وقتی b = 0، معادله درجه دوم شکل می گیرد a x 2 + 0 x + c = 0، که همان است a x 2 + c = 0. در c = 0معادله درجه دوم به صورت نوشته شده است a x 2 + b x + 0 = 0، که معادل است a x 2 + b x = 0. در b = 0و c = 0معادله شکل خواهد گرفت a x 2 = 0. معادلاتی که ما به دست آوردیم با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها عبارتی با متغیر x یا عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. در واقع، این واقعیت نام این نوع معادله را داده است - ناقص.

برای مثال، x 2 + 3 x + 4 = 0 و - 7 x 2 - 2 x + 1، 3 = 0 معادلات درجه دوم کامل هستند. x 2 = 0، − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0، - x 2 - 6 x = 0 - معادلات درجه دوم ناقص.

حل معادلات درجه دوم ناقص

تعریفی که در بالا داده شد، تشخیص انواع معادلات درجه دوم ناقص زیر را ممکن می سازد:

• a x 2 = 0، این معادله با ضرایب مطابقت دارد b = 0و c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 در b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 در c = 0.

اجازه دهید حل هر نوع معادله درجه دوم ناقص را به ترتیب در نظر بگیریم.

حل معادله a x 2 = 0

همانطور که در بالا ذکر شد، این معادله با ضرایب مطابقت دارد بو ج، برابر با صفر است. معادله a x 2 = 0را می توان به یک معادله معادل تبدیل کرد x 2 = 0که با تقسیم دو طرف معادله اصلی بر عدد بدست می آوریم الف، برابر با صفر نیست. واقعیت آشکار این است که ریشه معادله x 2 = 0این صفر است زیرا 0 2 = 0 . این معادله ریشه دیگری ندارد که می توان آن را با ویژگی های درجه توضیح داد: برای هر عدد pبرابر با صفر نیست، نابرابری درست است p 2 > 0، که از آن نتیجه می شود که وقتی p ≠ 0برابری p 2 = 0هرگز محقق نخواهد شد.

تعریف 5

بنابراین، برای معادله درجه دوم ناقص a x 2 = 0 یک ریشه وجود دارد x = 0.

مثال 2

به عنوان مثال، اجازه دهید یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم − 3 x 2 = 0. معادل معادله است x 2 = 0، تنها ریشه آن است x = 0، سپس معادله اصلی یک ریشه دارد - صفر.

به طور خلاصه راه حل به صورت زیر نوشته شده است:

− 3 x 2 = 0، x 2 = 0، x = 0.

حل معادله a x 2 + c = 0

در خط بعدی، حل معادلات درجه دوم ناقص است، که در آن b = 0، c ≠ 0، یعنی معادلات شکل a x 2 + c = 0. بیایید این معادله را با انتقال یک جمله از یک طرف معادله به سمت دیگر، تغییر علامت به سمت مقابل و تقسیم دو طرف معادله بر عددی که برابر با صفر نیست، تبدیل کنیم:

• انتقال جسمت راست که معادله را نشان می دهد a x 2 = - c;
• دو طرف معادله را بر تقسیم کنید الف، در نهایت به x = - c a می رسیم.

بر این اساس، تبدیل های ما معادل هستند، معادله به دست آمده نیز معادل معادله اصلی است و این واقعیت، نتیجه گیری در مورد ریشه های معادله را ممکن می سازد. از آنچه ارزش ها هستند الفو جمقدار عبارت - c a بستگی دارد: می تواند علامت منفی داشته باشد (مثلاً اگر a = 1و c = 2، سپس - c a = - 2 1 = - 2) یا علامت مثبت (مثلاً اگر a = - 2و c = 6، سپس - c a = - 6 - 2 = 3); صفر نیست چون c ≠ 0. اجازه دهید با جزئیات بیشتری در موقعیت هایی صحبت کنیم که - c a< 0 и - c a > 0 .

در صورتی که - ج الف< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа صبرابری p 2 = - c a نمی تواند درست باشد.

همه چیز متفاوت است وقتی - c a > 0: ریشه مربع را به خاطر بسپارید، و آشکار می شود که ریشه معادله x 2 = - c a عدد - c a خواهد بود، زیرا - c a 2 = - c a. درک اینکه عدد - - c a نیز ریشه معادله x 2 = - c a است دشوار نیست: در واقع، - - c a 2 = - c a.

معادله هیچ ریشه دیگری نخواهد داشت. ما می توانیم این را با استفاده از روش تضاد نشان دهیم. برای شروع، اجازه دهید نمادهای ریشه های موجود در بالا را به صورت تعریف کنیم x 1و - x 1. فرض کنید معادله x 2 = - c a نیز یک ریشه دارد x 2، که با ریشه متفاوت است x 1و - x 1. ما می دانیم که با جایگزینی در معادله xریشه های آن، معادله را به یک برابری عددی منصفانه تبدیل می کنیم.

برای x 1و - x 1می نویسیم: x 1 2 = - c a و برای x 2- x 2 2 = - c a . بر اساس ویژگی های تساوی های عددی، یک عبارت برابری صحیح را به صورت ترم از دیگری کم می کنیم که به ما می دهد: x 1 2 − x 2 2 = 0. ما از خصوصیات عملیات با اعداد برای بازنویسی آخرین برابری به عنوان استفاده می کنیم (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. معلوم است که حاصل ضرب دو عدد صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از اعداد صفر باشد. از مطالب فوق چنین بر می آید که x 1 - x 2 = 0و/یا x 1 + x 2 = 0، که همان است x 2 = x 1و/یا x 2 = - x 1. یک تناقض آشکار به وجود آمد، زیرا در ابتدا توافق شد که ریشه معادله است x 2متفاوت از x 1و - x 1. بنابراین، ما ثابت کردیم که معادله هیچ ریشه ای جز x = - c a و x = - - c a ندارد.

اجازه دهید همه استدلال های بالا را خلاصه کنیم.

تعریف 6

معادله درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0معادل معادله x 2 = - c a است که:

• هیچ ریشه ای در - c a نخواهد داشت< 0 ;
• دارای دو ریشه x = - c a و x = - - c a برای - c a > 0 خواهد بود.

مثال هایی از حل معادلات می آوریم a x 2 + c = 0.

مثال 3

با یک معادله درجه دوم 9 x 2 + 7 = 0.باید راه حلی پیدا کرد.

راه حل

بیایید عبارت آزاد را به سمت راست معادله منتقل کنیم، سپس معادله شکل خواهد گرفت 9 x 2 = − 7.
اجازه دهید هر دو طرف معادله حاصل را بر تقسیم کنیم 9 ، به x 2 = - 7 9 می رسیم. در سمت راست عددی با علامت منفی می بینیم که به این معنی است: معادله داده شده ریشه ندارد. سپس معادله درجه دوم ناقص اصلی 9 x 2 + 7 = 0هیچ ریشه ای نخواهد داشت

پاسخ:معادله 9 x 2 + 7 = 0ریشه ندارد

مثال 4

معادله باید حل شود − x 2 + 36 = 0.

راه حل

بیایید 36 را به سمت راست حرکت دهیم: − x 2 = − 36.
بیایید هر دو قسمت را بر اساس تقسیم کنیم − 1 ، دریافت می کنیم x 2 = 36. در سمت راست - عدد مثبت، از اینجا می توانیم نتیجه بگیریم که x = 36 یا x = - 36 .
بیایید ریشه را استخراج کنیم و نتیجه نهایی را بنویسیم: معادله درجه دوم ناقص − x 2 + 36 = 0دو ریشه دارد x=6یا x = - 6.

پاسخ: x=6یا x = - 6.

حل معادله a x 2 +b x=0

اجازه دهید نوع سوم معادلات درجه دوم ناقص را تجزیه و تحلیل کنیم c = 0. برای یافتن راه حل برای یک معادله درجه دوم ناقص a x 2 + b x = 0، از روش فاکتورسازی استفاده خواهیم کرد. بیایید چند جمله ای را که در سمت چپ معادله قرار دارد فاکتورسازی کنیم و عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم. x. این مرحله تبدیل معادله درجه دوم ناقص اولیه را به معادل آن ممکن می سازد x (a x + b) = 0. و این معادله نیز به نوبه خود معادل مجموعه ای از معادلات است x = 0و a x + b = 0. معادله a x + b = 0خطی و ریشه آن: x = - b a.

تعریف 7

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص است a x 2 + b x = 0دو ریشه خواهد داشت x = 0و x = - b a.

بیایید مطالب را با یک مثال تقویت کنیم.

مثال 5

لازم است برای معادله 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 راه حلی پیدا کنید.

راه حل

ما آن را بیرون می آوریم xخارج از پرانتز معادله x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 را دریافت می کنیم. این معادله معادل معادلات است x = 0و 2 3 x - 2 2 7 = 0. اکنون باید معادله خطی حاصل را حل کنید: 2 3 · x = 2 2 7، x = 2 2 7 2 3.

به طور خلاصه جواب معادله را به صورت زیر بنویسید:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 یا 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 یا x = 3 3 7

پاسخ: x = 0، x = 3 3 7.

متمایز، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

برای یافتن جواب معادلات درجه دوم، یک فرمول ریشه وجود دارد:

تعریف 8

x = - b ± D 2 · a، که در آن D = b 2 − 4 a c- به اصطلاح تفکیک کننده یک معادله درجه دوم.

نوشتن x = - b ± D 2 · a اساساً به این معنی است که x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

درک این که چگونه این فرمول مشتق شده و چگونه آن را اعمال کنیم مفید خواهد بود.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

اجازه دهید با کار حل یک معادله درجه دوم روبرو شویم a x 2 + b x + c = 0. اجازه دهید تعدادی تبدیل معادل را انجام دهیم:

• دو طرف معادله را بر یک عدد تقسیم کنید الف، متفاوت از صفر، معادله درجه دوم زیر را به دست می آوریم: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• بیایید مربع کامل در سمت چپ معادله حاصل را انتخاب کنیم:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ج الف
  پس از این، معادله به شکل زیر در می آید: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• اکنون می توان دو عبارت آخر را به سمت راست منتقل کرد، علامت را به سمت مخالف تغییر داد، پس از آن به دست می آوریم: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• در نهایت، عبارت نوشته شده در سمت راست آخرین برابری را تبدیل می کنیم:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

بنابراین، به معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 می رسیم که معادل معادله اصلی است. a x 2 + b x + c = 0.

حل این گونه معادلات را در پاراگراف های قبل (حل معادلات درجه دوم ناقص) بررسی کردیم. تجربه به دست آمده این امکان را فراهم می کند تا در مورد ریشه های معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 نتیجه گیری کنیم:

• با b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• وقتی b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 معادله x + b 2 · a 2 = 0 است، سپس x + b 2 · a = 0 است.

از اینجا تنها ریشه x = - b 2 · a آشکار است.

• برای b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 موارد زیر درست خواهد بود: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 که همان x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x = - b 2 · a - b 2 - 4 است. · a · c 4 · a 2 , i.e. معادله دو ریشه دارد

می توان نتیجه گرفت که وجود یا عدم وجود ریشه های معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (و بنابراین معادله اصلی) به علامت عبارت b بستگی دارد. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 در سمت راست نوشته شده است. و علامت این عبارت با علامت صورت، (مخرج 4 a 2همیشه مثبت خواهد بود)، یعنی نشانه بیان b 2 − 4 a c. این بیان b 2 − 4 a cنام داده شده است - ممیز معادله درجه دوم و حرف D به عنوان نام آن تعریف می شود. در اینجا می توانید ماهیت ممیز را بنویسید - بر اساس ارزش و علامت آن ، آنها می توانند نتیجه بگیرند که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی خواهد داشت یا خیر ، و اگر چنین است ، تعداد ریشه ها چقدر است - یک یا دو.

اجازه دهید به معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 برگردیم. بیایید آن را با استفاده از نماد تفکیک بازنویسی کنیم: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

اجازه دهید نتایج خود را دوباره فرموله کنیم:

تعریف 9

• در D< 0 معادله هیچ ریشه واقعی ندارد.
• در D=0معادله یک ریشه دارد x = - b 2 · a ;
• در D > 0معادله دو ریشه دارد: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 یا x = - b 2 · a - D 4 · a 2. بر اساس خواص رادیکال ها، این ریشه ها را می توان به شکل زیر نوشت: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. و وقتی ماژول ها را باز می کنیم و کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم، به دست می آوریم: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

بنابراین، نتیجه استدلال ما استخراج فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم بود:

x = - b + D 2 a، x = - b - D 2 a، ممیز Dبا فرمول محاسبه می شود D = b 2 − 4 a c.

این فرمول ها تعیین هر دو ریشه واقعی را در زمانی که تفکیک کننده بزرگتر از صفر است ممکن می سازد. هنگامی که تمایز صفر است، با اعمال هر دو فرمول، ریشه یکسانی به دست می‌آید تنها راه حلمعادله درجه دوم در مواردی که ممیز منفی باشد، اگر بخواهیم از فرمول ریشه معادله درجه دوم استفاده کنیم، با نیاز به استخراج مواجه خواهیم شد. ریشه مربعاز عدد منفی، که ما را فراتر از اعداد واقعی خواهد برد. با یک ممیز منفی، معادله درجه دوم ریشه واقعی نخواهد داشت، اما یک جفت ریشه مزدوج پیچیده امکان پذیر است که با همان فرمول های ریشه ای که ما به دست آوردیم تعیین می شود.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

حل یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه امکان پذیر است، اما این معمولاً زمانی انجام می شود که نیاز به یافتن ریشه های پیچیده باشد.

در اکثر موارد، معمولاً به معنای جستجوی نه پیچیده، بلکه برای ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم است. سپس بهتر است قبل از استفاده از فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم، ابتدا ممیز را مشخص کرده و از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنیم (در غیر این صورت به این نتیجه می رسیم که معادله ریشه واقعی ندارد) و سپس اقدام به محاسبه می کنیم. ارزش ریشه ها

استدلال بالا امکان فرموله کردن یک الگوریتم برای حل یک معادله درجه دوم را فراهم می کند.

تعریف 10

برای حل یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0، لازم:

• طبق فرمول D = b 2 − 4 a cمقدار متمایز را بیابید.
• در D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• برای D = 0، تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول x = - b 2 · a ;
• برای D > 0، دو ریشه واقعی معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول x = - b ± D 2 · a تعیین کنید.

توجه داشته باشید که وقتی تفکیک کننده صفر است، می توانید از فرمول x = - b ± D 2 · a استفاده کنید، نتیجه مشابه فرمول x = - b 2 · a خواهد بود.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

اجازه دهید برای مثال ها راه حلی ارائه دهیم معانی مختلفممیز

مثال 6

ما باید ریشه های معادله را پیدا کنیم x 2 + 2 x − 6 = 0.

راه حل

بیایید ضرایب عددی معادله درجه دوم را بنویسیم: a = 1، b = 2 و c = - 6. بعد طبق الگوریتم پیش می رویم، i.e. بیایید شروع به محاسبه ممیز کنیم، که ضرایب a، b را جایگزین می کنیم. و جبه فرمول تفکیک: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28.

پس D > 0 بدست می آوریم، یعنی معادله اصلی دو ریشه واقعی خواهد داشت.
برای یافتن آنها، از فرمول ریشه x = - b ± D 2 · a استفاده می کنیم و با جایگزینی مقادیر مربوطه، به دست می آوریم: x = - 2 ± 28 2 · 1. اجازه دهید عبارت حاصل را با خارج کردن عامل از علامت ریشه و سپس کاهش کسر ساده کنیم:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 یا x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 یا x = - 1 - 7

پاسخ: x = - 1 + 7، x = - 1 - 7.

مثال 7

نیاز به حل یک معادله درجه دوم − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

راه حل

بیایید تفکیک کننده را تعریف کنیم: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. با این مقدار ممیز، معادله اصلی تنها یک ریشه خواهد داشت که با فرمول x = - b 2 · a تعیین می شود.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

پاسخ: x = 3.5.

مثال 8

معادله باید حل شود 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

راه حل

ضرایب عددی این معادله عبارتند از: a = 5، b = 6 و c = 2. ما از این مقادیر برای یافتن متمایز استفاده می کنیم: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . تفکیک محاسبه شده منفی است، بنابراین معادله درجه دوم اصلی ریشه واقعی ندارد.

در موردی که وظیفه نشان دادن ریشه های پیچیده است، فرمول ریشه را اعمال می کنیم و اقداماتی را با اعداد مختلط انجام می دهیم:

x = - 6 ± - 4 2 5،

x = - 6 + 2 i 10 یا x = - 6 - 2 i 10،

x = - 3 5 + 1 5 · i یا x = - 3 5 - 1 5 · i.

پاسخ:هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. ریشه های مختلط به شرح زیر است: - 3 5 + 1 5 · i، - 3 5 - 1 5 · i.

در برنامه درسی مدرسههیچ الزام استانداردی برای جستجوی ریشه های پیچیده وجود ندارد، بنابراین، اگر در حین حل، تشخیص دهنده منفی باشد، بلافاصله پاسخ نوشته می شود که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) به دست آوردن فرمول دیگری، فشرده تر را ممکن می کند، به فرد اجازه می دهد برای معادلات درجه دوم راه حل هایی با ضریب زوج برای x پیدا کند. یا با ضریب شکل 2 · n، به عنوان مثال، 2 3 یا 14 ln 5 = 2 7 ln 5). اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این فرمول مشتق شده است.

اجازه دهید با کار پیدا کردن یک راه حل برای معادله درجه دوم a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 مواجه شویم. طبق الگوریتم پیش می رویم: متمایز D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) را تعیین می کنیم و سپس از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

x = - 2 n ± D 2 a، x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a، x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a، x = - - n ± n 2 - a · c a .

بگذارید عبارت n 2 − a · c با D 1 نشان داده شود (گاهی اوقات با D نشان داده می شود). سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 · n به شکل زیر در می آید:

x = - n ± D 1 a، که در آن D 1 = n 2 - a · c.

به راحتی می توان فهمید که D = 4 · D 1، یا D 1 = D 4. به عبارت دیگر، D 1 یک چهارم ممیز است. بدیهی است که علامت D 1 همان علامت D است ، به این معنی که علامت D 1 می تواند به عنوان نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم نیز باشد.

تعریف 11

بنابراین، برای یافتن راه حل برای یک معادله درجه دوم با ضریب دوم 2 n، لازم است:

• پیدا کردن D 1 = n 2 − a · c ;
• در D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• وقتی D 1 = 0، تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول x = - n a تعیین کنید.
• برای D 1 > 0، دو ریشه واقعی را با استفاده از فرمول x = - n ± D 1 a تعیین کنید.

مثال 9

حل معادله درجه دوم 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ضروری است.

راه حل

می توانیم ضریب دوم معادله داده شده را به صورت 2 · (- 3) نشان دهیم. سپس معادله درجه دوم داده شده را به صورت 5 x 2 + 2 (- 3) x − 32 = 0 بازنویسی می کنیم که a = 5، n = − 3 و c = − 32.

بیایید قسمت چهارم ممیز را محاسبه کنیم: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. مقدار حاصل مثبت است، به این معنی که معادله دو ریشه واقعی دارد. اجازه دهید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مربوطه تعیین کنیم:

x = - n ± D 1 a، x = - - 3 ± 169 5، x = 3 ± 13 5،

x = 3 + 13 5 یا x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 یا x = - 2

انجام محاسبات با استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم امکان پذیر است، اما در این مورد راه حل دشوارتر خواهد بود.

پاسخ: x = 3 1 5 یا x = - 2 .

ساده سازی فرم معادلات درجه دوم

گاهی اوقات می توان شکل معادله اصلی را بهینه کرد که روند محاسبه ریشه ها را ساده می کند.

به عنوان مثال، حل معادله درجه دوم 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 به وضوح راحت‌تر از 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 است.

بیشتر اوقات، ساده سازی شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم دو طرف آن در یک عدد مشخص انجام می شود. به عنوان مثال، در بالا یک نمایش ساده از معادله 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 را نشان دادیم که با تقسیم هر دو طرف بر 100 به دست می‌آید.

چنین تبدیلی زمانی امکان پذیر است که ضرایب معادله درجه دوم متقابل نباشند اعداد اول. سپس معمولاً هر دو طرف معادله را بر بزرگترین تقسیم می کنیم مقسوم علیه مشترک ارزش های مطلقضرایب آن

به عنوان مثال، از معادله درجه دوم 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 استفاده می کنیم. اجازه دهید GCD مقادیر مطلق ضرایب آن را تعیین کنیم: GCD (12، 42، 48) = GCD (GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. اجازه دهید هر دو طرف معادله درجه دوم اصلی را بر 6 تقسیم کنیم و معادله درجه دوم معادل 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 را به دست آوریم.

با ضرب هر دو طرف یک معادله درجه دوم، معمولاً از شر ضرایب کسری خلاص می شوید. در این حالت آنها در کمترین مضرب مشترک مخرج ضرایب آن ضرب می کنند. به عنوان مثال، اگر هر قسمت از معادله درجه دوم 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 با LCM (6، 3، 1) = 6 ضرب شود، آنگاه به صورت بیشتر نوشته می شود. به شکل ساده x 2 + 4 x − 18 = 0.

در نهایت، یادآور می‌شویم که تقریباً همیشه با تغییر علائم هر جمله معادله، که با ضرب (یا تقسیم) هر دو طرف در - 1 به دست می‌آید، از منهای اولین ضریب معادله درجه دوم خلاص می‌شویم. به عنوان مثال، از معادله درجه دوم − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0، می توانید به نسخه ساده شده آن 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 بروید.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب

فرمول ریشه های معادلات درجه دوم که قبلاً برای ما شناخته شده است، x = - b ± D 2 · a، ریشه های معادله را از طریق ضرایب عددی آن بیان می کند. بر اساس این فرمول، ما این فرصت را داریم که وابستگی های دیگر بین ریشه ها و ضرایب را مشخص کنیم.

معروف ترین و کاربردی ترین فرمول های قضیه ویتا هستند:

x 1 + x 2 = - b a و x 2 = c a.

به ویژه، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها ضریب دوم است علامت مخالف، و حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است. به عنوان مثال، با نگاه کردن به شکل معادله درجه دوم 3 x 2 − 7 x + 22 = 0، می توان بلافاصله تعیین کرد که مجموع ریشه های آن 7 3 و حاصل ضرب ریشه ها 22 3 است.

همچنین می توانید تعدادی ارتباط دیگر بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم پیدا کنید. به عنوان مثال، مجموع مجذورات ریشه های یک معادله درجه دوم را می توان بر حسب ضرایب بیان کرد:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

یک معادله درجه دوم ناقص با معادلات کلاسیک (کامل) تفاوت دارد زیرا عوامل یا جمله آزاد آن برابر با صفر است. نمودار چنین توابعی سهمی هستند. بسته به ظاهر کلی آنها به 3 گروه تقسیم می شوند. اصول حل برای همه انواع معادلات یکسان است.

هیچ چیز دشواری در تعیین نوع چند جمله ای ناقص وجود ندارد. بهتر است تفاوت های اصلی را با استفاده از مثال های بصری در نظر بگیرید:

1. اگر b = 0، معادله ax 2 + c = 0 است.
2. اگر c = 0 باشد، عبارت ax 2 + bx = 0 باید حل شود.
3. اگر b = 0 و c = 0، آنگاه چند جمله ای به تساوی مانند ax 2 = 0 تبدیل می شود.

مورد دوم بیشتر یک امکان تئوری است و هرگز در کارهای تست دانش رخ نمی دهد، زیرا تنها مقدار صحیح متغیر x در عبارت صفر است. در آینده روش ها و نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم ناقص انواع 1) و 2) مورد توجه قرار خواهد گرفت.

الگوریتم کلی برای جستجوی متغیرها و مثال ها با راه حل

صرف نظر از نوع معادله، الگوریتم حل به مراحل زیر کاهش می یابد:

1. عبارت را به شکلی مناسب برای یافتن ریشه کاهش دهید.
2. محاسبات را انجام دهید.
3. پاسخ را یادداشت کنید.

ساده ترین راه برای حل معادلات ناقص، فاکتورگیری آنهاست سمت چپو یک صفر در سمت راست باقی می گذاریم. بنابراین، فرمول یک معادله درجه دوم ناقص برای یافتن ریشه ها به محاسبه مقدار x برای هر یک از عوامل کاهش می یابد.

شما فقط می توانید نحوه حل آن را در عمل یاد بگیرید، بنابراین بیایید در نظر بگیریم مثال ملموسپیدا کردن ریشه یک معادله ناقص:

همانطور که مشاهده می شود، در در این مورد b = 0. بیایید سمت چپ را فاکتور بگیریم و عبارت را بدست آوریم:

4 (x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

بدیهی است که حاصلضرب زمانی برابر با صفر است که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد. مقادیر متغیر x1 = 0.5 و (یا) x2 = -0.5 الزامات مشابهی را برآورده می کند.

برای اینکه به راحتی و به سرعت با کار تجزیه کنار بیایید سه جمله ای درجه دومبه عوامل، فرمول زیر را به خاطر بسپارید:

اگر اصطلاح آزاد در بیان وجود نداشته باشد، مشکل بسیار ساده می شود. فقط پیدا کردن و براکت کردن کافی خواهد بود مخرج مشترک. برای وضوح، مثالی از نحوه حل معادلات درجه دوم ناقص به شکل ax2 + bx = 0 را در نظر بگیرید.

بیایید متغیر x را از پرانتز خارج کنیم و عبارت زیر را بدست آوریم:

x ⋅ (x + 3) = 0.

با هدایت منطق، به این نتیجه می رسیم که x1 = 0، و x2 = -3.

روش حل سنتی و معادلات درجه دوم ناقص

اگر فرمول تفکیک را اعمال کنید و سعی کنید ریشه های یک چند جمله ای با ضرایب برابر با صفر را پیدا کنید چه اتفاقی می افتد؟ بیایید یک مثال از مجموعه بیاوریم وظایف معمولیبرای آزمون دولتی واحد ریاضی 2017، آن ​​را با استفاده از فرمول های استاندارد و روش فاکتورسازی حل خواهیم کرد.

7x 2 – 3x = 0.

بیایید مقدار متمایز را محاسبه کنیم: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. معلوم می شود که چند جمله ای دو ریشه دارد:

حال بیایید معادله را با فاکتورگیری حل کنیم و نتایج را با هم مقایسه کنیم.

X ⋅ (7x + 3) = 0،

2) 7x + 3 = 0،
7x = -3،
x = -.

همانطور که می بینید، هر دو روش نتیجه یکسانی دارند، اما حل معادله با استفاده از روش دوم بسیار ساده تر و سریعتر بود.

قضیه ویتا

اما با قضیه مورد علاقه ویتا چه باید کرد؟ آیا می توان از این روش در زمانی که سه جمله ناقص است استفاده کرد؟ بیایید سعی کنیم جنبه های آوردن معادلات ناقص را درک کنیم ظاهر کلاسیک ax2 + bx + c = 0.

در واقع می توان قضیه ویتا را در این مورد اعمال کرد. فقط لازم است که عبارت را به شکل کلی خود بیاوریم و عبارات گمشده را با صفر جایگزین کنیم.

به عنوان مثال با b = 0 و a = 1، برای از بین بردن احتمال اشتباه، باید کار را به شکل ax2 + 0 + c = 0 نوشت. سپس نسبت جمع و حاصل ضرب ریشه ها و عوامل چند جمله ای را می توان به صورت زیر بیان کرد:

محاسبات نظری به آشنایی با اصل موضوع کمک می کند و همیشه در هنگام حل نیاز به تمرین مهارت دارد. وظایف خاص. بیایید دوباره به کتاب مرجع وظایف استاندارد برای آزمون یکپارچه دولتی برگردیم و یک مثال مناسب پیدا کنیم:

اجازه دهید عبارت را به شکلی بنویسیم که برای به کارگیری قضیه ویتا مناسب است:

x 2 + 0 - 16 = 0.

مرحله بعدی ایجاد یک سیستم از شرایط است:

بدیهی است که ریشه های چند جمله ای درجه دوم x 1 = 4 و x 2 = -4 خواهد بود.

حالا بیایید تمرین کنیم که معادله را به شکل کلی آن برسانیم. بیایید مثال زیر را در نظر بگیریم: 1/4× 2 – 1 = 0

برای اعمال قضیه ویتا بر یک عبارت، باید از کسر خلاص شد. بیایید ضلع چپ و راست را در 4 ضرب کنیم و به نتیجه نگاه کنیم: x2– 4 = 0. برابری حاصل با قضیه ویتا حل می‌شود، اما با حرکت دادن c = بسیار ساده‌تر و سریع‌تر می‌توان به پاسخ پاسخ داد. 4 در سمت راست معادله: x2 = 4.

به طور خلاصه باید گفت که بهترین راهحل معادلات ناقص فاکتورگیری است، ساده ترین و روش سریع. اگر در روند جستجوی ریشه ها مشکلاتی ایجاد شد، می توانید تماس بگیرید روش سنتیریشه یابی از طریق ممیز.

با هم کار کنیم معادلات درجه دوم. این معادلات بسیار محبوب هستند! در بسیار نمای کلیمعادله درجه دوم به صورت زیر است:

به عنوان مثال:

اینجا الف =1; ب = 3; ج = -4

اینجا الف =2; ب = -0,5; ج = 2,2

اینجا الف =-3; ب = 6; ج = -18

خوب فهمیدی...

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم؟اگر یک معادله درجه دوم به این شکل در مقابل خود دارید، پس همه چیز ساده است. به یاد بیاوریم کلمه جادویی متمایز کننده . به ندرت دانش آموز دبیرستانی این کلمه را نشنیده است! عبارت "ما از طریق یک متمایز حل می کنیم" اعتماد و اطمینان را القا می کند. چون نیازی به حیله از ممیز نیست! استفاده از آن ساده و بدون دردسر است. بنابراین، فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

بیان زیر علامت ریشه یکی است متمایز کننده. همانطور که می بینید، برای یافتن X از آن استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج. آن ها ضرایب از یک معادله درجه دوم فقط با دقت مقادیر را جایگزین کنید الف، ب و جاین فرمولی است که ما محاسبه می کنیم. جایگزین کنیم با نشانه های خودت! مثلا برای معادله اول الف =1; ب = 3; ج= -4. در اینجا ما آن را یادداشت می کنیم:

مثال تقریباً حل شده است:

همین.

چه مواردی در هنگام استفاده از این فرمول امکان پذیر است؟ فقط سه مورد وجود دارد.

1. ممیز مثبت است. این بدان معنی است که ریشه را می توان از آن استخراج کرد. اینکه ریشه به خوبی استخراج شود یا ضعیف، سوال دیگری است. مهم این است که در اصل چه چیزی استخراج می شود. سپس معادله درجه دوم شما دو ریشه دارد. دو راه حل متفاوت

2. ممیز صفر است. سپس شما یک راه حل دارید. به بیان دقیق، این یک ریشه نیست، بلکه دو تا یکسان. اما این در نابرابری ها نقش دارد، جایی که ما موضوع را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد.

3. ممیز منفی است. جذر یک عدد منفی را نمی توان گرفت. اوه خوب این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

خیلی ساده است. و چه، به نظر شما اشتباه کردن غیرممکن است؟ خب آره چطوری...
رایج ترین اشتباهات اشتباه گرفتن با مقادیر علامت است الف، ب و ج. یا بهتر است بگوییم، نه با علائم آنها (کجا گیج شویم؟)، بلکه با جایگزینی مقادیر منفی در فرمول محاسبه ریشه ها. آنچه در اینجا کمک می کند، ضبط دقیق فرمول با اعداد خاص است. اگر در محاسبات مشکلی وجود دارد، انجام این کار!

فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:

اینجا a = -6; b = -5; c = -1

فرض کنید می دانید که به ندرت بار اول پاسخ می گیرید.

خب تنبل نباش نوشتن یک خط اضافی و تعداد خطاها حدود 30 ثانیه طول می کشد به شدت کاهش خواهد یافت. بنابراین ما با تمام پرانتزها و علائم به تفصیل می نویسیم:

به نظر می رسد نوشتن با این دقت بسیار دشوار است. اما فقط به نظر می رسد. آن را امتحان کنید. خوب یا انتخاب کن چه چیزی بهتر است، سریع یا درست؟ علاوه بر این، من شما را خوشحال خواهم کرد. بعد از مدتی دیگر نیازی نیست همه چیز را با دقت بنویسید. به خودی خود درست کار خواهد کرد. به خصوص اگر استفاده می کنید تکنیک های عملی، که در زیر توضیح داده شده است. این مثال شیطانی با یک سری معایب به راحتی و بدون خطا قابل حل است!

بنابراین، چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیماز طریق تمایزی که به یاد آوردیم. یا یاد گرفتند که این هم خوب است. شما می دانید که چگونه به درستی تعیین کنید الف، ب و ج. آیا می دانید چگونه؟ با دقتآنها را به فرمول ریشه جایگزین کنید و با دقتنتیجه را بشمار می فهمید که کلمه کلیدی اینجاست با دقت؟

با این حال، معادلات درجه دوم اغلب کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:

این معادلات درجه دوم ناقص . آنها همچنین می توانند از طریق یک تفکیک حل شوند. شما فقط باید به درستی بفهمید که آنها در اینجا با چه چیزی برابر هستند. الف، ب و ج.

آیا آن را فهمیده اید؟ در مثال اول a = 1; b = -4;الف ج? اصلا اونجا نیست! خوب بله، درست است. در ریاضیات این به این معنی است c = 0 ! همین. به جای آن صفر را به فرمول جایگزین کنید جو ما موفق خواهیم شد. مثال دوم هم همینطور. فقط ما اینجا صفر نداریم با، A ب !

اما معادلات درجه دوم ناقص را می توان بسیار ساده تر حل کرد. بدون هیچ تبعیضی. بیایید اولی را در نظر بگیریم معادله ناقص. در سمت چپ چه کاری می توانید انجام دهید؟ می توانید X را از پرانتز خارج کنید! بیا بیرونش کنیم

پس از این چه؟ و این که حاصل برابر صفر است اگر و فقط اگر هر یک از عوامل برابر با صفر باشد! باور نمی کنی؟ خوب، پس دو عدد غیر صفر بیاورید که با ضرب آنها صفر می شود!
کار نمی کند؟ همین...
بنابراین، می توانیم با اطمینان بنویسیم: x = 0، یا x = 4

همه اینها ریشه های معادله ما خواهند بود. هر دو مناسب هستند. هنگامی که هر یک از آنها را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، هویت صحیح 0 = 0 را به دست می آوریم. همانطور که می بینید، راه حل بسیار ساده تر از استفاده از تفکیک کننده است.

معادله دوم را نیز می توان به سادگی حل کرد. 9 را به سمت راست حرکت دهید. دریافت می کنیم:

تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از 9 است و تمام. معلوم خواهد شد:

همچنین دو ریشه . x = +3 و x = -3.

به این ترتیب تمام معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند. یا با قرار دادن X خارج از براکت، یا انتقال سادهاعداد به سمت راست و سپس استخراج ریشه.
اشتباه گرفتن این تکنیک ها بسیار دشوار است. فقط به این دلیل که در حالت اول باید ریشه X را استخراج کنید که به نوعی نامفهوم است و در مورد دوم چیزی برای خارج کردن از براکت وجود ندارد ...

اکنون به تکنیک های عملی توجه داشته باشید که تعداد خطاها را به طور چشمگیری کاهش می دهد. همان هایی که ناشی از بی توجهی است... که بعداً دردناک و توهین آمیز می شود...

اولین قرار. قبل از حل یک معادله درجه دوم تنبل نباشید و آن را به شکل استاندارد بیاورید. این به چه معناست؟
فرض کنید بعد از همه تبدیل ها معادله زیر را به دست می آورید:

برای نوشتن فرمول ریشه عجله نکنید! تقریباً مطمئناً احتمالات را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.مثال را درست بسازید. ابتدا X مربع، سپس بدون مربع، سپس عبارت آزاد. مثل این:

و باز هم عجله نکنید! یک منهای جلوی یک مربع X می تواند واقعا شما را ناراحت کند. فراموش کردن آسان است... از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ بله همانطور که در مبحث قبل آموزش داده شد! باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. دریافت می کنیم:

اما اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را یادداشت کنید، تفکیک کننده را محاسبه کنید و حل مثال را تمام کنید. خودت تصمیم بگیر اکنون باید ریشه های 2 و -1 داشته باشید.

پذیرایی دوم.ریشه ها را بررسی کنید! طبق قضیه ویتا. نترس همه چیز رو توضیح میدم! چک کردن آخرینمعادله آن ها همانی که برای نوشتن فرمول ریشه استفاده کردیم. اگر (مانند این مثال) ضریب a = 1، بررسی ریشه ها آسان است. کافی است آنها را ضرب کنیم. نتیجه باید یک عضو رایگان باشد، یعنی. در مورد ما -2. لطفا توجه داشته باشید، نه 2، بلکه -2! عضو رایگان با علامت شما . اگر درست نشد، به این معنی است که آنها قبلاً جایی را خراب کرده اند. به دنبال خطا باشید اگر کار کرد، باید ریشه ها را اضافه کنید. آخرین و آخرین بررسی ضریب باید باشد ببا مقابل آشنا در مورد ما -1+2 = +1. یک ضریب بکه قبل از X است برابر با 1- است. بنابراین، همه چیز درست است!
حیف که این فقط برای مثال هایی که x مجذور خالص است، با ضریب بسیار ساده است. a = 1.اما حداقل در چنین معادلاتی بررسی کنید! همه خطاهای کمترخواهد شد.

پذیرایی سوم. اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسرها خلاص شوید! معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنید که در قسمت قبل توضیح داده شد. هنگام کار با کسرها، به دلایلی خطاها همچنان به وجود می آیند...

اتفاقا من قول دادم مثال شیطانی را با یک سری موارد منفی ساده کنم. لطفا! او اینجاست.

برای اینکه با منفی ها اشتباه نگیریم، معادله را در -1 ضرب می کنیم. دریافت می کنیم:

همین! حل کردن یک لذت است!

بنابراین، اجازه دهید موضوع را خلاصه کنیم.

مشاوره عملی:

1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم و می سازیم درسته.

2. اگر جلوی مربع X ضریب منفی باشد با ضرب کل معادله در -1 آن را حذف می کنیم.

3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در ضریب مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.

4. اگر x مجذور خالص باشد، ضریب آن برابر با یک است، با استفاده از قضیه Vieta می توان جواب را به راحتی تأیید کرد. انجامش بده

معادلات کسری ODZ.

ما به تسلط بر معادلات ادامه می دهیم. ما قبلاً می دانیم که چگونه با معادلات خطی و درجه دوم کار کنیم. آخرین نمای باقی مانده - معادلات کسری. یا به آنها بسیار محترمانه تر نیز گفته می شود - کسری معادلات منطقی . همین موضوع است.

معادلات کسری

همانطور که از نام آن پیداست، این معادلات لزوماً شامل کسری هستند. اما نه فقط کسری، بلکه کسری که دارد مجهول در مخرج. حداقل در یکی. به عنوان مثال:

به شما یادآوری کنم که اگر مخرج ها فقط باشند اعداد، این معادلات خطی هستند.

نحوه تصمیم گیری معادلات کسری? اول از همه، از شر کسرها خلاص شوید! پس از این، معادله اغلب به خطی یا درجه دوم تبدیل می شود. و سپس می دانیم چه باید بکنیم... در برخی موارد می تواند به یک هویت تبدیل شود، مانند 5=5 یا یک عبارت نادرست، مانند 7=2. اما این به ندرت اتفاق می افتد. در زیر به این موضوع اشاره خواهم کرد.

اما چگونه از شر کسری خلاص شویم!؟ خیلی ساده اعمال همان تبدیل های یکسان.

باید کل معادله را در همان عبارت ضرب کنیم. به طوری که همه مخرج ها کاهش می یابد! همه چیز بلافاصله آسان تر خواهد شد. بگذارید با یک مثال توضیح دهم. اجازه دهید معادله را حل کنیم:

همانطور که در کلاس های خردسال? ما همه چیز را به یک طرف منتقل می کنیم، آن را به یک مخرج مشترک می آوریم و غیره. فراموش کن چگونه خواب بد! این همان کاری است که هنگام جمع یا تفریق کسرها باید انجام دهید. یا با نابرابری ها کار می کنید. و در معادلات، بلافاصله هر دو طرف را در یک عبارت ضرب می کنیم که به ما فرصت می دهد همه مخرج ها را کاهش دهیم (یعنی در اصل با یک مخرج مشترک). و این بیان چیست؟

در سمت چپ، برای کاهش مخرج نیاز به ضرب در x+2. و در سمت راست، ضرب در 2 مورد نیاز است، به این معنی که معادله باید در ضرب شود 2 (x+2). ضرب کن:

این یک ضرب معمولی کسری است، اما من آن را با جزئیات شرح می دهم:

لطفا توجه داشته باشید که من هنوز براکت را باز نمی کنم (x + 2)! بنابراین، به طور کامل آن را می نویسم:

در سمت چپ کاملا منقبض می شود (x+2)و در سمت راست 2. چیزی که لازم بود! پس از کاهش می گیریم خطیمعادله:

و همه می توانند این معادله را حل کنند! x = 2.

بیایید مثال دیگری را حل کنیم، کمی پیچیده تر:

اگر به یاد داشته باشیم که 3 = 3/1، و 2x = 2x/ 1، می توانیم بنویسیم:

و دوباره از چیزهایی که واقعاً دوست نداریم خلاص می شویم - کسری.

می بینیم که برای کاهش مخرج با X، باید کسر را در ضرب کنیم (x - 2). و چند مورد مانعی برای ما نیستند. خوب بیایید ضرب کنیم. همهسمت چپ و همهسمت راست:

دوباره پرانتز (x - 2)من فاش نمی کنم. من با کل براکت طوری کار می کنم که انگار یک عدد است! این باید همیشه انجام شود، در غیر این صورت چیزی کاهش نمی یابد.

با احساس رضایت عمیق ما را کاهش می دهیم (x - 2)و معادله ای بدون کسری با خط کش می گیریم!

حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم:

موارد مشابه را می آوریم، همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و می گیریم:

معادله درجه دوم کلاسیک اما منهای پیش رو خوب نیست. همیشه می توانید با ضرب یا تقسیم بر 1 از شر آن خلاص شوید. اما اگر به مثال دقت کنید متوجه می شوید که بهتر است این معادله را بر 2- تقسیم کنید! در یک لحظه، منفی ناپدید می شود و شانس جذاب تر می شود! تقسیم بر -2 در سمت چپ - ترم به جمله، و در سمت راست - به سادگی صفر را بر -2 تقسیم کنید، صفر و به دست می آوریم:

ما از طریق تفکیک حل می کنیم و با استفاده از قضیه Vieta بررسی می کنیم. می گیریم x = 1 و x = 3. دو ریشه

همانطور که می بینید در حالت اول معادله بعد از تبدیل خطی شد اما در اینجا درجه دوم می شود. این اتفاق می افتد که پس از خلاص شدن از کسری، تمام X کاهش می یابد. چیزی باقی می ماند، مانند 5=5. این به این معنی است که x می تواند هر چیزی باشد. هر چه هست باز هم کم می شود. و معلوم می شود که حقیقت محض 5=5 است. اما، پس از خلاص شدن از کسر، ممکن است کاملاً نادرست باشد، مانند 2=7. و این به این معنی است بدون راه حل! هر X نادرست است.

متوجه راه حل اصلی شد معادلات کسری ? ساده و منطقی است. عبارت اصلی را تغییر می دهیم تا هر چیزی که دوست نداریم ناپدید شود. یا دخالت می کند. در این مورد اینها کسری هستند. ما همین کار را با انواع مثال های پیچیده با لگاریتم، سینوس و دیگر وحشت انجام خواهیم داد. ما همیشهبیایید از شر همه اینها خلاص شویم.

با این حال، باید عبارت اصلی را در جهتی که نیاز داریم تغییر دهیم طبق قوانین، بله ... که تسلط آن آمادگی برای آزمون دولتی واحد ریاضی است. بنابراین ما در حال تسلط بر آن هستیم.

اکنون یاد خواهیم گرفت که چگونه یکی از آنها را دور بزنیم کمین اصلی در آزمون دولتی واحد! اما اول، بیایید ببینیم که آیا شما در آن قرار می گیرید یا نه؟

بیایید به یک مثال ساده نگاه کنیم:

موضوع از قبل آشناست، ما هر دو طرف را ضرب می کنیم (x - 2)، دریافت می کنیم:

با پرانتز یادآوری می کنم (x - 2)ما طوری کار می کنیم که گویی با یک عبارت یکپارچه کار می کنیم!

اینجا دیگر یکی در مخرج ننوشتم، بی ارزش است... و در مخرج پرانتز نکشیدم، به جز x – 2چیزی وجود ندارد، شما مجبور نیستید نقاشی کنید. کوتاه کنیم:

پرانتزها را باز کنید، همه چیز را به سمت چپ ببرید و موارد مشابه را بدهید:

حل می کنیم، بررسی می کنیم، دو ریشه می گیریم. x = 2و x = 3. عالیه

فرض کنید تکلیف می گوید که ریشه را یادداشت کنید، یا اگر بیش از یک ریشه وجود دارد، مجموع آنها را بنویسید. چی بنویسیم؟

اگر تصمیم گرفتید که پاسخ 5 باشد، شما در کمین قرار گرفتند. و وظیفه به شما اعتبار داده نخواهد شد. بیهوده کار کردند... پاسخ صحیح 3 است.

چه خبره؟! و شما سعی می کنید بررسی کنید. مقادیر مجهول را جایگزین کنید اصلیمثال و اگر در x = 3همه چیز با هم به طرز شگفت انگیزی رشد خواهد کرد، ما 9 = 9، سپس چه زمانی x = 2تقسیم بر صفر خواهد شد! کاری که شما مطلقاً نمی توانید انجام دهید. به معنی x = 2راه حل نیست و در پاسخ به آن توجه نمی شود. این به اصطلاح ریشه اضافی یا اضافی است. ما به سادگی آن را کنار می گذاریم. ریشه نهایی یکی است. x = 3.

چطور؟! - من تعجب های خشمگین می شنوم. به ما یاد دادند که یک معادله را می توان در یک عبارت ضرب کرد! این یک تحول یکسان است!

بله یکسان تحت یک شرایط کوچک - عبارتی که در آن ضرب (تقسیم) می کنیم - متفاوت از صفر. الف x – 2در x = 2برابر با صفر است! پس همه چیز منصفانه است.

خب حالا چیکار کنیم؟! با بیان ضرب نکنیم؟ آیا باید هر بار چک کنم؟ بازم معلوم نیست!

با آرامش! وحشت نکنید!

در این شرایط سخت، سه حرف جادویی ما را نجات خواهند داد. میدونم به چی فکر میکنی درسته! این ODZ . حوزه ارزش های قابل قبول

امیدوارم پس از مطالعه این مقاله یاد بگیرید که چگونه ریشه های یک معادله درجه دوم را کامل بیابید.

با استفاده از ممیز، فقط معادلات درجه دوم کامل حل می شوند، برای حل معادلات درجه دوم از روش های دیگری استفاده می شود که در مقاله حل معادلات درجه دوم ناقص خواهید دید.

به کدام معادلات درجه دوم کامل می گویند؟ این معادلات شکل ax 2 + b x + c = 0، که در آن ضرایب a، b و c برابر با صفر نیستند. بنابراین، برای حل یک معادله درجه دوم کامل، باید تفکیک کننده D را محاسبه کنیم.

D = b 2 - 4ac.

بسته به ارزش ممیز، پاسخ را یادداشت می کنیم.

اگر ممیز یک عدد منفی باشد (D< 0),то корней нет.

اگر ممیز صفر باشد، x = (-b)/2a. هنگامی که ممیز یک عدد مثبت باشد (D > 0)،

سپس x 1 = (-b - √D)/2a، و x 2 = (-b + √D)/2a.

به عنوان مثال. معادله را حل کنید x 2- 4x + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

پاسخ: 2.

حل معادله 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

پاسخ: بدون ریشه.

حل معادله 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 - 4 2 (-7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= - 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

پاسخ: – 3.5; 1.

پس بیایید حل معادلات درجه دوم کامل را با استفاده از نمودار شکل 1 تصور کنیم.

با استفاده از این فرمول ها می توانید هر معادله درجه دوم کامل را حل کنید. شما فقط باید مراقب باشید معادله به صورت چند جمله ای از فرم استاندارد نوشته شد

الف x 2 + bx + c،در غیر این صورت ممکن است اشتباه کنید به عنوان مثال، در نوشتن معادله x + 3 + 2x 2 = 0، می توانید به اشتباه تصمیم بگیرید که

a = 1، b = 3 و c = 2. سپس

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 و سپس معادله دو ریشه دارد. و این درست نیست. (راه حل مثال 2 را در بالا ببینید).

بنابراین، اگر معادله به صورت چند جمله ای از فرم استاندارد نوشته نشود، ابتدا باید معادله درجه دوم کامل به صورت چند جمله ای از فرم استاندارد نوشته شود (تک جمله ای با بزرگترین توان باید اول باشد، یعنی الف x 2 ، سپس با کمتر – bxو سپس یک عضو رایگان با.

هنگام حل معادله درجه دوم کاهش یافته و معادله درجه دوم با ضریب زوج در ترم دوم، می توانید از فرمول های دیگر استفاده کنید. بیایید با این فرمول ها آشنا شویم. اگر در یک معادله درجه دوم کامل جمله دوم دارای ضریب زوج (b = 2k) باشد، می توانید معادله را با استفاده از فرمول های نشان داده شده در نمودار در شکل 2 حل کنید.

یک معادله درجه دوم کامل را کاهش می گویند اگر ضریب در x 2 برابر یک است و معادله شکل می گیرد x 2 + px + q = 0. چنین معادله ای را می توان حل کرد یا با تقسیم تمام ضرایب معادله بر ضریب به دست آمد. الف، ایستاده در x 2 .

شکل 3 نموداری را برای حل مربع کاهش یافته نشان می دهد
معادلات بیایید نمونه ای از کاربرد فرمول های مورد بحث در این مقاله را بررسی کنیم.

مثال. معادله را حل کنید

3x 2 + 6x – 6 = 0.

بیایید این معادله را با استفاده از فرمول های نشان داده شده در نمودار در شکل 1 حل کنیم.

D = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

پاسخ: –1 – √3; –1 + √3

می توانید متوجه شوید که ضریب x در این معادله یک عدد زوج است، یعنی b = 6 یا b = 2k، از آنجا k = 3. سپس با استفاده از فرمول های نشان داده شده در نمودار شکل D سعی می کنیم معادله را حل کنیم. 1 = 3 2 - 3 (- 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

پاسخ: –1 – √3; –1 + √3. با توجه به اینکه همه ضرایب در این معادله درجه دوم بر 3 بخش پذیر هستند و با انجام تقسیم، معادله درجه دوم کاهش یافته را بدست می آوریم x 2 + 2x – 2 = 0 این معادله را با استفاده از فرمول های درجه دوم کاهش یافته حل کنید.
معادلات شکل 3.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

پاسخ: –1 – √3; –1 + √3.

همانطور که می بینید، هنگام حل این معادله با استفاده از فرمول های مختلف، پاسخ یکسانی دریافت کردیم. بنابراین، با تسلط کامل بر فرمول های نشان داده شده در نمودار در شکل 1، همیشه قادر خواهید بود هر معادله درجه دوم کامل را حل کنید.

blog.site، هنگام کپی کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

معادله درجه دوم - آسان برای حل! *از این پس "KU" نامیده می شود.دوستان، به نظر می رسد که هیچ چیز ساده تر از حل چنین معادله ای در ریاضیات وجود ندارد. اما چیزی به من گفت که خیلی ها با او مشکل دارند. تصمیم گرفتم ببینم که Yandex در هر ماه چه تعداد برداشت بر اساس تقاضا ارائه می دهد. این چیزی است که اتفاق افتاده است، نگاه کنید:

به چه معناست؟ این به این معنی است که حدود 70000 نفر در ماه جستجو می کنند این اطلاعات، این تابستان چه ربطی به آن دارد و چه اتفاقی خواهد افتاد سال تحصیلی- دو برابر بیشتر درخواست وجود خواهد داشت. این تعجب آور نیست، زیرا آن دسته از پسران و دخترانی که مدت ها پیش از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای آزمون یکپارچه دولتی آماده می شوند به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان مدرسه نیز در تلاش هستند تا حافظه خود را تازه کنند.

علیرغم اینکه سایت های زیادی وجود دارند که به شما می گویند چگونه این معادله را حل کنید، من تصمیم گرفتم که مطالب را نیز منتشر کنم. اولاً، من می خواهم بازدیدکنندگان بر اساس این درخواست به سایت من بیایند. ثانیاً، در مقالات دیگر، وقتی موضوع "KU" مطرح شد، لینک این مقاله را ارائه خواهم کرد. ثالثاً، من کمی بیشتر از آنچه که معمولاً در سایت های دیگر بیان می شود، در مورد راه حل او به شما خواهم گفت. بیایید شروع کنیم!مطالب مقاله:

معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:

جایی که ضرایب a،بو با اعداد دلخواه، جایی که a≠0.

در دوره مدرسهمواد به شکل زیر ارائه می شود - معادلات به طور مشروط به سه کلاس تقسیم می شوند:

1. دو ریشه دارند.

2. *فقط یک ریشه داشته باشید.

3. ریشه ندارند. در اینجا به ویژه شایان ذکر است که آنها ریشه واقعی ندارند

ریشه ها چگونه محاسبه می شوند؟ فقط!

تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در زیر این کلمه "وحشتناک" یک فرمول بسیار ساده نهفته است:

فرمول های ریشه به شرح زیر است:

*این فرمول ها را باید از روی قلب بدانید.

بلافاصله می توانید یادداشت کنید و حل کنید:

مثال:

1. اگر D > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد.

2. اگر D = 0 باشد، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

توسط به این مناسبت، وقتی ممیز برابر با صفر است، درس مدرسه می گوید نتیجه یک ریشه است، اینجا برابر با نه است. همه چیز درست است، همینطور است، اما...

این تصور تا حدودی نادرست است. در واقع دو ریشه وجود دارد. بله، بله، تعجب نکنید، شما دو ریشه مساوی دریافت می کنید، و برای اینکه از نظر ریاضی دقیق باشیم، در پاسخ باید دو ریشه بنویسید:

x 1 = 3 x 2 = 3

اما این چنین است - یک انحراف کوچک. در مدرسه می توانید آن را یادداشت کنید و بگویید که یک ریشه است.

حالا مثال بعدی:

همانطور که می دانیم، ریشه یک عدد منفی را نمی توان گرفت، بنابراین هیچ راه حلی در این مورد وجود ندارد.

این کل فرآیند تصمیم گیری است.

تابع درجه دوم.

این نشان می دهد که راه حل از نظر هندسی چگونه به نظر می رسد. درک این امر بسیار مهم است (در آینده در یکی از مقالات راه حل نابرابری درجه دوم را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).

این تابعی از فرم است:

که در آن x و y متغیر هستند

a, b, c – اعداد داده شده با ≠ 0

نمودار یک سهمی است:

یعنی معلوم می شود که با حل یک معادله درجه دوم با “y” برابر با صفر، نقاط تقاطع سهمی را با محور x می یابیم. دو مورد از این نقاط می تواند وجود داشته باشد (ممیز مثبت است)، یکی (ممیز صفر است) و هیچ یک (ممیز منفی است). جزئیات در مورد تابع درجه دوم می توانید نگاه کنیدمقاله اینا فلدمن

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

مثال 1: حل کنید 2 برابر 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

پاسخ: x 1 = 8 x 2 = -12

*می توان بلافاصله سمت چپ و راست معادله را بر 2 تقسیم کرد، یعنی آن را ساده کرد. محاسبات راحت تر خواهد بود.

مثال 2: تصمیم بگیرید x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

دریافتیم که x 1 = 11 و x 2 = 11

نوشتن x=11 در جواب جایز است.

پاسخ: x = 11

مثال 3: تصمیم بگیرید x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ممیز منفی است، هیچ راه حلی در اعداد واقعی وجود ندارد.

پاسخ: راه حلی نیست

ممیز منفی است. راه حلی وجود دارد!

در اینجا در مورد حل معادله در موردی که ممیز منفی به دست می آید صحبت خواهیم کرد. آیا در مورد اعداد مختلط چیزی می دانید؟ من در اینجا به جزئیات نمی پردازم که چرا و کجا بوجود آمدند و نقش و ضرورت خاص آنها در ریاضیات چیست.

مفهوم عدد مختلط

کمی تئوری

عدد مختلط z عددی از فرم است

z = a + bi

جایی که a و b اعداد واقعی هستند، i به اصطلاح واحد خیالی است.

a+bi - این یک عدد واحد است، نه یک عدد.

واحد خیالی برابر است با ریشه منهای یک:

حالا معادله را در نظر بگیرید:

دو ریشه مزدوج می گیریم.

معادله درجه دوم ناقص

بیایید موارد خاصی را در نظر بگیریم، این زمانی است که ضریب "b" یا "c" برابر با صفر (یا هر دو برابر با صفر) باشد. آنها را می توان به راحتی و بدون هیچ تبعیضی حل کرد.

مورد 1. ضریب b = 0.

معادله تبدیل می شود:

تبدیل کنیم:

مثال:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

مورد 2. ضریب c = 0.

معادله تبدیل می شود:

بیایید تبدیل و فاکتورسازی کنیم:

*زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 یا x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

مورد 3. ضرایب b = 0 و c = 0.

در اینجا واضح است که جواب معادله همیشه x = 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که به شما امکان می دهد معادلات را با ضرایب بزرگ حل کنید.

الفx 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

الف + ب+ c = 0،که

- اگر برای ضرایب معادله الفx 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

الف+ s =ب, که

این خواص به تصمیم گیری کمک می کند یک نوع خاصمعادلات

مثال 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

مجموع شانس ها 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0، به این معنی

مثال 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

برابری برقرار است الف+ s =ب, به معنی

نظم ضرایب.

1. اگر در معادله ax 2 + bx + c = 0 ضریب "b" برابر با (a 2 +1) و ضریب "c" از نظر عددی برابر با ضریب "a" باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

مثال. معادله 6 x 2 + 37 x + 6 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. اگر در معادله ax 2 – bx + c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 +1) و ضریب “c” از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 15x2 –226x+15 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. اگر در معادله ax 2 + bx – c = 0 ضریب "b" برابر است با (a 2 - 1) و ضریب "c" عددی برابر با ضریب a, سپس ریشه های آن برابر است

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 17x2 +288x – 17 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. اگر در معادله ax 2 – bx – c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 – 1) و ضریب c از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

مثال. معادله 10x2 – 99x –10 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

قضیه ویتا

قضیه ویتا به افتخار ریاضیدان معروف فرانسوی فرانسوا ویتا نامگذاری شده است. با استفاده از قضیه ویتا می توان مجموع و حاصلضرب ریشه های یک KU دلخواه را بر حسب ضرایب آن بیان کرد.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

در کل عدد 14 فقط 5 و 9 را می دهد. اینها ریشه هستند. با مهارت خاصی، با استفاده از قضیه ارائه شده، می توانید بسیاری از معادلات درجه دوم را بلافاصله به صورت شفاهی حل کنید.

علاوه بر این، قضیه ویتا. راحت است که پس از حل یک معادله درجه دوم به روش معمول (از طریق یک تفکیک کننده)، ریشه های حاصل را می توان بررسی کرد. توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهید.

روش حمل و نقل

با این روش، ضریب الف در عبارت آزاد ضرب می شود، گویی به آن پرتاب می شود، به همین دلیل به آن می گویند. روش "انتقال".این روش زمانی استفاده می شود که بتوانید به راحتی ریشه های معادله را با استفاده از قضیه ویتا بیابید و مهمتر از همه، زمانی که تفکیک کننده یک مربع دقیق باشد.

اگر الف± b+c≠ 0، سپس از تکنیک انتقال استفاده می شود، به عنوان مثال:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

با استفاده از قضیه ویتا در رابطه (2)، به راحتی می توان تعیین کرد که x 1 = 10 x 2 = 1

ریشه های حاصل از معادله باید بر 2 تقسیم شوند (از آنجایی که این دو از x 2 "پرتاب" شدند)، دریافت می کنیم

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

منطق چیست؟ ببین چه خبره

ممیز معادلات (1) و (2) برابر است:

اگر به ریشه معادلات نگاه کنید، فقط مخرج های متفاوتی بدست می آورید و نتیجه دقیقاً به ضریب x 2 بستگی دارد:

دومی (اصلاح شده) دارای ریشه هایی است که 2 برابر بزرگتر هستند.

بنابراین، نتیجه را بر 2 تقسیم می کنیم.

*اگر سه را دوباره بچرخانیم، حاصل را بر 3 تقسیم می کنیم و غیره.

پاسخ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

مربع ur-ie و آزمون یکپارچه ایالتی.

من به طور خلاصه در مورد اهمیت آن به شما می گویم - شما باید بتوانید سریع و بدون فکر تصمیم بگیرید، باید فرمول های ریشه ها و تمایزات را از روی قلب بدانید. بسیاری از مسائل موجود در وظایف آزمون یکپارچه ایالت به حل یک معادله درجه دوم (شامل موارد هندسی) خلاصه می شود.

چیزی که قابل توجه است!

1. شکل نوشتن یک معادله می تواند "ضمنی" باشد. به عنوان مثال، ورودی زیر ممکن است:

15+ 9x 2 - 45x = 0 یا 15x+42+9x 2 - 45x=0 یا 15 -5x+10x 2 = 0.

شما باید آن را به یک فرم استاندارد بیاورید (تا هنگام حل گیج نشوید).

2. به یاد داشته باشید که x یک کمیت مجهول است و می توان آن را با هر حرف دیگری نشان داد - t، q، p، h و غیره.