با هم کار کنیم معادلات درجه دوم. این معادلات بسیار محبوب هستند! در بسیار نمای کلیمعادله درجه دوم به صورت زیر است:

به عنوان مثال:

اینجا الف =1; ب = 3; ج = -4

اینجا الف =2; ب = -0,5; ج = 2,2

اینجا الف =-3; ب = 6; ج = -18

خوب فهمیدی...

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم؟اگر یک معادله درجه دوم به این شکل در مقابل خود دارید، پس همه چیز ساده است. به یاد بیاوریم کلمه جادویی ممیز . به ندرت دانش آموز دبیرستانی این کلمه را نشنیده است! عبارت "ما از طریق یک متمایز حل می کنیم" اعتماد و اطمینان را القا می کند. چون نیازی به حیله از ممیز نیست! استفاده از آن ساده و بدون دردسر است. بنابراین، فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

بیان زیر علامت ریشه یکی است ممیز. همانطور که می بینید، برای یافتن X از آن استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج. آن ها ضرایب از یک معادله درجه دوم فقط با دقت مقادیر را جایگزین کنید الف، ب و جاین فرمولی است که ما محاسبه می کنیم. جایگزین کنیم با نشانه های خودت! مثلا برای معادله اول الف =1; ب = 3; ج= -4. در اینجا ما آن را یادداشت می کنیم:

مثال تقریباً حل شده است:

همین است.

هنگام استفاده از این فرمول چه مواردی امکان پذیر است؟ فقط سه مورد وجود دارد.

1. ممیز مثبت است. این بدان معنی است که ریشه را می توان از آن استخراج کرد. اینکه ریشه به خوبی استخراج شود یا ضعیف، سوال دیگری است. مهم این است که در اصل چه چیزی استخراج می شود. سپس معادله درجه دوم شما دو ریشه دارد. دو راه حل متفاوت

2. ممیز صفر است. سپس شما یک راه حل دارید. به بیان دقیق، این یک ریشه نیست، بلکه دو تا یکسان. اما این در نابرابری ها نقش دارد، جایی که ما موضوع را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد.

3. ممیز منفی است. از عدد منفی ریشه مربعاستخراج نشده است. اوه خوب این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

خیلی ساده است. و چه، به نظر شما اشتباه کردن غیرممکن است؟ خب آره چطوری...
رایج ترین اشتباهات، اشتباه گرفتن با مقادیر علامت است الف، ب و ج. یا بهتر است بگوییم، نه با علائم آنها (کجا گیج شویم؟)، بلکه با جایگزینی مقادیر منفی در فرمول محاسبه ریشه ها. چیزی که در اینجا کمک می کند، ضبط دقیق فرمول با اعداد خاص است. در صورت وجود مشکل در محاسبات، انجام این کار!

فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:

اینجا a = -6; b = -5; c = -1

فرض کنید می دانید که به ندرت بار اول پاسخ می گیرید.

خب تنبل نباش نوشتن یک خط اضافی و تعداد خطاها حدود 30 ثانیه طول می کشد به شدت کاهش خواهد یافت. بنابراین ما با تمام پرانتزها و علائم به تفصیل می نویسیم:

به نظر می رسد نوشتن با این دقت بسیار دشوار است. اما فقط به نظر می رسد. آن را امتحان کنید. خوب یا انتخاب کن چه چیزی بهتر است، سریع یا درست؟ علاوه بر این، من شما را خوشحال خواهم کرد. بعد از مدتی دیگر نیازی نیست همه چیز را با دقت بنویسید. به خودی خود درست کار خواهد کرد. به خصوص اگر استفاده می کنید تکنیک های عملی، که در زیر توضیح داده شده است. این مثال شیطانی با یکسری معایب را می توان به راحتی و بدون خطا حل کرد!

بنابراین، چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیماز طریق تمایزی که به یاد آوردیم. یا یاد گرفتند که این هم خوب است. شما می دانید که چگونه به درستی تعیین کنید الف، ب و ج. آیا می دانید چگونه؟ با دقتآنها را به فرمول ریشه جایگزین کنید و با دقتنتیجه را بشمار می فهمید که کلمه کلیدی اینجاست با دقت؟

با این حال، معادلات درجه دوم اغلب کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:

این معادلات درجه دوم ناقص . آنها همچنین می توانند از طریق یک تفکیک حل شوند. شما فقط باید به درستی بفهمید که آنها در اینجا با چه چیزی برابر هستند. الف، ب و ج.

آیا آن را فهمیده اید؟ در مثال اول a = 1; b = -4;الف ج? اصلا اونجا نیست! خوب بله، درست است. در ریاضیات این به این معنی است c = 0 ! همین است. به جای آن صفر را به فرمول جایگزین کنید جو ما موفق خواهیم شد. با مثال دوم هم همینطور. فقط ما اینجا صفر نداریم با، A ب !

اما معادلات درجه دوم ناقص را می توان بسیار ساده تر حل کرد. بدون هیچ تبعیضی. بیایید اولین معادله ناقص را در نظر بگیریم. در سمت چپ چه کاری می توانید انجام دهید؟ می توانید X را از پرانتز خارج کنید! بیا بیرونش کنیم

پس از این چه؟ و این که حاصل ضرب صفر می شود اگر و فقط اگر هر یک از عوامل برابر با صفر باشد! باور نمی کنی؟ خوب، پس دو عدد غیر صفر بیاورید که با ضرب آنها صفر می شود!
کار نمی کند؟ همین...
بنابراین، می توانیم با اطمینان بنویسیم: x = 0، یا x = 4

همه اینها ریشه های معادله ما خواهند بود. هر دو مناسب هستند. هنگامی که هر یک از آنها را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، هویت صحیح 0 = 0 را به دست می آوریم. همانطور که می بینید، راه حل بسیار ساده تر از استفاده از تفکیک کننده است.

معادله دوم را نیز می توان به سادگی حل کرد. 9 را به سمت راست حرکت دهید. دریافت می کنیم:

تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از 9 است و تمام. معلوم خواهد شد:

همچنین دو ریشه . x = +3 و x = -3.

به این ترتیب تمام معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند. یا با قرار دادن X خارج از براکت، یا انتقال سادهاعداد به سمت راست و سپس استخراج ریشه.
اشتباه گرفتن این تکنیک ها بسیار دشوار است. فقط به این دلیل که در حالت اول باید ریشه X را استخراج کنید که به نوعی نامفهوم است و در مورد دوم چیزی برای خارج کردن از براکت وجود ندارد ...

اکنون به تکنیک های عملی توجه داشته باشید که تعداد خطاها را به طور چشمگیری کاهش می دهد. همان هایی که ناشی از بی توجهی است... که بعداً دردناک و توهین آمیز می شود...

اولین قرار. قبل از حل یک معادله درجه دوم تنبل نباشید و آن را به شکل استاندارد بیاورید. این به چه معناست؟
بیایید بگوییم که پس از همه تبدیل ها، معادله زیر را به دست می آورید:

برای نوشتن فرمول ریشه عجله نکنید! تقریباً مطمئناً احتمالات را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.مثال را درست بسازید. ابتدا X مربع، سپس بدون مربع، سپس عبارت آزاد. مثل این:

و باز هم عجله نکنید! یک منهای جلوی یک مربع X می تواند واقعا شما را ناراحت کند. فراموش کردن آسان است... از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ بله همانطور که در مبحث قبل آموزش داده شد! باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. دریافت می کنیم:

اما اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را یادداشت کنید، تفکیک کننده را محاسبه کنید و حل مثال را تمام کنید. خودت تصمیم بگیر اکنون باید ریشه های 2 و -1 داشته باشید.

پذیرایی دوم.ریشه ها را بررسی کنید! طبق قضیه ویتا. نترس همه چیز رو توضیح میدم! چک کردن آخرینمعادله آن ها همانی که برای نوشتن فرمول ریشه استفاده کردیم. اگر (مانند این مثال) ضریب a = 1، بررسی ریشه ها آسان است. کافی است آنها را ضرب کنیم. نتیجه باید یک عضو رایگان باشد، یعنی. در مورد ما -2. لطفا توجه داشته باشید، نه 2، بلکه -2! عضو رایگان با علامت شما . اگر درست نشد، به این معنی است که آنها قبلاً جایی را خراب کرده اند. به دنبال خطا باشید اگر کار کرد، باید ریشه ها را اضافه کنید. آخرین و آخرین بررسی ضریب باید باشد ببا مقابل آشنا در مورد ما -1+2 = +1. یک ضریب بکه قبل از X است برابر با 1- است. بنابراین، همه چیز درست است!
حیف که این فقط برای مثال هایی که x مجذور خالص است، با ضریب بسیار ساده است. a = 1.اما حداقل در چنین معادلاتی بررسی کنید! همه خطاهای کمترخواهد شد.

پذیرایی سوم. اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسرها خلاص شوید! معادله را در ضرب کنید مخرج مشترک، همانطور که در بخش قبل توضیح داده شد. هنگام کار با کسرها، به دلایلی خطاها همچنان به وجود می آیند...

اتفاقا من قول دادم مثال شیطانی را با یک سری موارد منفی ساده کنم. لطفا! او اینجاست.

برای اینکه با منفی ها اشتباه نگیریم، معادله را در -1 ضرب می کنیم. دریافت می کنیم:

همین! حل کردن یک لذت است!

بنابراین، اجازه دهید موضوع را خلاصه کنیم.

مشاوره عملی:

1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم و می سازیم درسته.

2. اگر جلوی مربع X ضریب منفی باشد با ضرب کل معادله در -1 آن را حذف می کنیم.

3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در ضریب مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.

4. اگر x مجذور خالص باشد، ضریب آن برابر با یک است، با استفاده از قضیه Vieta می توان جواب را به راحتی تأیید کرد. انجامش بده

معادلات کسری ODZ.

ما به تسلط بر معادلات ادامه می دهیم. ما قبلاً می دانیم که چگونه با معادلات خطی و درجه دوم کار کنیم. آخرین نمای باقی مانده - معادلات کسری. یا به آنها بسیار محترمانه تر نیز گفته می شود - کسری معادلات منطقی . همین موضوع است.

معادلات کسری

همانطور که از نام آن پیداست، این معادلات لزوماً شامل کسری هستند. اما نه فقط کسری، بلکه کسری که دارد مجهول در مخرج. حداقل در یکی. به عنوان مثال:

به شما یادآوری کنم که اگر مخرج ها فقط باشند اعداد، این معادلات خطی هستند.

نحوه تصمیم گیری معادلات کسری? اول از همه، از شر کسری خلاص شوید! پس از این، معادله اغلب به خطی یا درجه دوم تبدیل می شود. و سپس می دانیم چه باید بکنیم... در برخی موارد می تواند به یک هویت تبدیل شود، مانند 5=5 یا یک عبارت نادرست، مانند 7=2. اما این به ندرت اتفاق می افتد. در زیر به این موضوع اشاره خواهم کرد.

اما چگونه از شر کسری خلاص شویم!؟ خیلی ساده اعمال همان تبدیل های یکسان.

باید کل معادله را در همان عبارت ضرب کنیم. به طوری که همه مخرج ها کاهش می یابد! همه چیز بلافاصله آسان تر خواهد شد. بگذارید با یک مثال توضیح دهم. اجازه دهید معادله را حل کنیم:

همانطور که در کلاس های خردسال? ما همه چیز را به یک طرف منتقل می کنیم، آن را به یک مخرج مشترک می آوریم و غیره. فراموش کن چگونه خواب بد! این همان کاری است که هنگام جمع یا تفریق کسرها باید انجام دهید. یا با نابرابری ها کار می کنید. و در معادلات، بلافاصله هر دو طرف را در یک عبارت ضرب می کنیم که به ما فرصت می دهد همه مخرج ها را کاهش دهیم (یعنی در اصل با یک مخرج مشترک). و این بیان چیست؟

در سمت چپ، برای کاهش مخرج نیاز به ضرب در x+2. و در سمت راست، ضرب در 2 مورد نیاز است، به این معنی که معادله باید در ضرب شود 2 (x+2). ضرب کن:

این یک ضرب معمولی کسری است، اما من آن را با جزئیات شرح می دهم:

لطفا توجه داشته باشید که من هنوز براکت را باز نمی کنم (x + 2)! بنابراین، به طور کامل آن را می نویسم:

در سمت چپ کاملا منقبض می شود (x+2)و در سمت راست 2. چیزی که لازم بود! پس از کاهش می گیریم خطیمعادله:

و همه می توانند این معادله را حل کنند! x = 2.

بیایید مثال دیگری را حل کنیم، کمی پیچیده تر:

اگر به یاد داشته باشیم که 3 = 3/1، و 2x = 2x/ 1، می توانیم بنویسیم:

و دوباره از چیزهایی که واقعاً دوست نداریم خلاص می شویم - کسری.

می بینیم که برای کاهش مخرج با X، باید کسر را در ضرب کنیم (x - 2). و چند مورد مانعی برای ما نیستند. خوب بیایید ضرب کنیم. همهسمت چپ و همهسمت راست:

دوباره پرانتز (x - 2)من فاش نمی کنم. من با کل براکت طوری کار می کنم که انگار یک عدد است! این باید همیشه انجام شود، در غیر این صورت چیزی کاهش نمی یابد.

با احساس رضایت عمیق ما را کاهش می دهیم (x - 2)و معادله ای بدون کسری با خط کش بدست می آوریم!

حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم:

موارد مشابه را می آوریم، همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و می گیریم:

معادله درجه دوم کلاسیک اما منهای پیش رو خوب نیست. همیشه می توانید با ضرب یا تقسیم بر 1 از شر آن خلاص شوید. اما اگر به مثال دقت کنید متوجه می شوید که بهتر است این معادله را بر 2- تقسیم کنید! در یک لحظه، منهای ناپدید می شوند و شانس ها جذاب تر می شوند! تقسیم بر -2 در سمت چپ - ترم به جمله، و در سمت راست - به سادگی صفر را بر -2 تقسیم کنید، صفر و به دست می آوریم:

ما از طریق تفکیک حل می کنیم و با استفاده از قضیه Vieta بررسی می کنیم. می گیریم x = 1 و x = 3. دو ریشه

همانطور که می بینید، در حالت اول معادله بعد از تبدیل خطی شد، اما در اینجا به درجه دوم تبدیل می شود. این اتفاق می افتد که پس از خلاص شدن از کسری، تمام X کاهش می یابد. چیزی باقی می ماند، مانند 5=5. این به این معنی است که x می تواند هر چیزی باشد. هر چه هست باز هم کم می شود. و معلوم می شود که حقیقت محض 5=5 است. اما، پس از خلاص شدن از کسر، ممکن است کاملاً نادرست باشد، مانند 2=7. و این به این معنی است بدون راه حل! هر X نادرست است.

متوجه راه حل اصلی شد معادلات کسری ? ساده و منطقی است. عبارت اصلی را تغییر می دهیم تا هر چیزی که دوست نداریم ناپدید شود. یا دخالت می کند. در در این مورداینها کسری هستند ما همین کار را با انواع مثال های پیچیده با لگاریتم، سینوس و دیگر وحشت انجام خواهیم داد. ما همیشهبیایید از شر همه اینها خلاص شویم.

با این حال، باید عبارت اصلی را در جهتی که نیاز داریم تغییر دهیم طبق قوانین، بله ... که تسلط آن آمادگی برای آزمون دولتی واحد ریاضی است. بنابراین ما در حال تسلط بر آن هستیم.

اکنون یاد خواهیم گرفت که چگونه یکی از آنها را دور بزنیم کمین اصلی در آزمون دولتی واحد! اما اول، بیایید ببینیم که آیا شما در آن قرار می گیرید یا نه؟

بیایید به یک مثال ساده نگاه کنیم:

موضوع از قبل آشناست، ما هر دو طرف را ضرب می کنیم (x - 2)، دریافت می کنیم:

با پرانتز یادآوری می کنم (x - 2)ما طوری کار می کنیم که گویی با یک عبارت یکپارچه کار می کنیم!

اینجا دیگر یکی در مخرج ننوشتم، بی ارزش است... و در مخرج ها پرانتز نکشیدم، به جز x – 2چیزی وجود ندارد، شما مجبور نیستید نقاشی کنید. کوتاه کنیم:

پرانتزها را باز کنید، همه چیز را به سمت چپ ببرید و موارد مشابه را بدهید:

حل می کنیم، بررسی می کنیم، دو ریشه می گیریم. x = 2و x = 3. عالیه

فرض کنید تکلیف می گوید که ریشه را یادداشت کنید، یا اگر بیش از یک ریشه وجود دارد، مجموع آنها را بنویسید. چی بنویسیم؟

اگر تصمیم گرفتید که پاسخ 5 باشد، شما در کمین قرار گرفتند. و وظیفه به شما اعتبار داده نخواهد شد. بیهوده کار کردند... پاسخ صحیح 3 است.

قضیه چیه؟! و شما سعی می کنید بررسی کنید. مقادیر مجهول را جایگزین کنید اصلیمثال و اگر در x = 3همه چیز با هم به طرز شگفت انگیزی رشد خواهد کرد، ما 9 = 9، سپس چه زمانی x = 2تقسیم بر صفر خواهد شد! کاری که شما مطلقاً نمی توانید انجام دهید. به معنی x = 2راه حل نیست و در پاسخ به آن توجه نمی شود. این به اصطلاح ریشه اضافی یا اضافی است. ما به سادگی آن را کنار می گذاریم. ریشه نهایی یکی است. x = 3.

چطور؟! - من تعجب های خشمگین می شنوم. به ما یاد دادند که یک معادله را می توان در یک عبارت ضرب کرد! این یک تحول یکسان است!

بله یکسان تحت یک شرایط کوچک - عبارتی که در آن ضرب (تقسیم) می کنیم - متفاوت از صفر. الف x – 2در x = 2برابر با صفر است! پس همه چیز منصفانه است.

خب حالا چیکار کنیم؟! با بیان ضرب نکنیم؟ آیا باید هر بار چک کنم؟ بازم معلوم نیست!

با آرامش! وحشت نکنید!

در این شرایط سخت، سه حرف جادویی ما را نجات خواهند داد. میدونم به چی فکر میکنی درسته! این ODZ . حوزه ارزش های قابل قبول

مشخص است که نسخه خاصی از برابری ax 2 + bx + c = o است که در آن a، b و c ضرایب واقعی برای x مجهول هستند، و جایی که a ≠ o، و b و c صفر خواهند بود - به طور همزمان یا به طور جداگانه به عنوان مثال، c = o، b ≠ o یا برعکس. تقریباً تعریف معادله درجه دوم را به یاد آوردیم.

سه جمله ای درجه دوم صفر است. ضریب اول آن a ≠ o، b و c می تواند هر مقداری را بگیرد. مقدار متغیر x زمانی خواهد بود که جایگزینی آن را به یک برابری عددی صحیح تبدیل کند. بیایید روی ریشه های واقعی تمرکز کنیم، اگرچه معادلات نیز می توانند راه حل باشند.
بیایید یک مثال را حل کنیم. 2x 2 -9x-5 = اوه، ما پیدا کردیم
D = 81+40 = 121،
D مثبت است، به این معنی که ریشه ها وجود دارد، x 1 = (9+√121):4 = 5، و دومی x 2 = (9-√121):4 = -o.5. بررسی به اطمینان از درستی آنها کمک می کند.

در اینجا یک راه حل گام به گام برای معادله درجه دوم آورده شده است

با استفاده از ممیز، می توانید هر معادله ای را که در سمت چپ آن یک مثلث درجه دوم شناخته شده برای ≠ o وجود دارد، حل کنید. در مثال ما. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+c = o)

بیایید در نظر بگیریم که معادلات ناقص درجه دوم چیست

1. تبر 2 +in = o. جمله آزاد، ضریب c در x 0، در اینجا برابر با صفر است، در ≠ o.
   چگونه یک معادله درجه دوم ناقص از این نوع را حل کنیم؟ بیایید x را از پرانتز خارج کنیم. به یاد بیاوریم که حاصل ضرب دو عامل برابر با صفر است.
   x(ax+b) = o، این می تواند زمانی باشد که x = o یا زمانی که ax+b = o باشد.
   پس از حل دوم، x = -в/а داریم.
   در نتیجه، طبق محاسبات x 2 = -b/a، ریشه x 1 = 0 داریم.
2. حالا ضریب x برابر o است و c برابر (≠) o نیست.
   x 2 + c = o. اجازه دهید c را به سمت راست تساوی منتقل کنیم، x 2 = -с را دریافت می کنیم. این معادله فقط زمانی ریشه واقعی دارد که -c باشد عدد مثبت(با ‹ o)،
   x 1 به ترتیب برابر با √(-c) است، x 2 برابر است -√(-c). در غیر این صورت، معادله اصلا ریشه ندارد.
3. آخرین گزینه: b = c = o، یعنی ax 2 = o. به طور طبیعی، چنین معادله ساده ای یک ریشه دارد، x = o.

موارد خاص

ما به نحوه حل یک معادله درجه دوم ناقص نگاه کردیم و اکنون بیایید انواع را انتخاب کنیم.

• در یک معادله درجه دوم کامل، ضریب دوم x یک عدد زوج است.
  اجازه دهید k = o.5b. ما فرمول هایی برای محاسبه ممیز و ریشه داریم.
  D/4 = k 2 - ac، ریشه ها به صورت x 1,2 = (-k±√(D/4))/a برای D › o محاسبه می شوند.
  x = -k/a در D = o.
  هیچ ریشه ای برای D ‹ o وجود ندارد.
• معادلات درجه دوم داده شده است، زمانی که ضریب x مربع برابر با 1 است، معمولاً x 2 + рх + q = o نوشته می شود. تمام فرمول های فوق برای آنها اعمال می شود، اما محاسبات تا حدودی ساده تر است.
  به عنوان مثال، x 2 -4x-9 = 0. محاسبه D: 2 2 +9، D = 13.
  x 1 = 2+√13، x 2 = 2-√13.
• علاوه بر این، به راحتی می توان آن را به موارد داده شده اعمال کرد. علامت مخالف) و حاصلضرب همین ریشه ها برابر q یعنی عبارت آزاد خواهد بود. ببینید چقدر آسان است که ریشه های این معادله را به صورت شفاهی تعیین کنید. برای ضرایب کاهش نیافته (برای همه ضرایب که برابر با صفر نیستند)، این قضیه به صورت زیر قابل اعمال است: مجموع x 1 + x 2 برابر با -b/a است، حاصلضرب x 1 ·x 2 برابر با c/a است.

مجموع جمله آزاد c و ضریب اول a برابر با ضریب b است. در این شرایط، معادله حداقل یک ریشه دارد (به راحتی قابل اثبات است)، اولی لزوماً برابر با -1 است و دومی -c/a در صورت وجود. شما می توانید بررسی کنید که چگونه یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنید. ساده تر از این نمی توانست باشد. ضرایب ممکن است در روابط خاصی با یکدیگر باشند

• x 2 + x = o، 7x 2 -7 = o.
• مجموع همه ضرایب برابر با o است.
  ریشه چنین معادله ای 1 و c/a است. به عنوان مثال، 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1، x 2 = 13/2.

چند راه دیگر برای حل معادلات درجه دوم مختلف وجود دارد. به عنوان مثال، در اینجا روشی برای استخراج مربع کامل از یک چند جمله ای داده شده است. چندین روش گرافیکی وجود دارد. هنگامی که اغلب با چنین نمونه هایی سر و کار دارید، یاد خواهید گرفت که مانند دانه روی آنها کلیک کنید، زیرا همه روش ها به طور خودکار به ذهن خطور می کنند.

در جامعه مدرنتوانایی انجام عملیات با معادلات حاوی یک متغیر مربعی می تواند در بسیاری از زمینه های فعالیت مفید باشد و به طور گسترده در عمل در پیشرفت های علمی و فنی استفاده می شود. گواه این امر را می توان در طراحی شناورهای دریایی و رودخانه ای، هواپیماها و موشک ها یافت. با استفاده از این محاسبات، مسیر حرکت از ترین بدن های مختلفاز جمله اجرام فضایی. نمونه هایی با حل معادلات درجه دوم نه تنها در پیش بینی اقتصادی، در طراحی و ساخت ساختمان ها، بلکه در معمول ترین شرایط روزمره نیز استفاده می شوند. آنها ممکن است در سفرهای پیاده روی، در رویدادهای ورزشی، در فروشگاه ها هنگام خرید و در موقعیت های بسیار رایج دیگر مورد نیاز باشند.

بیایید عبارت را به عوامل سازنده آن بشکنیم

درجه معادله تعیین می شود حداکثر مقداردرجه متغیری که این عبارت شامل می شود. اگر برابر 2 باشد، چنین معادله ای درجه دوم نامیده می شود.

اگر به زبان فرمول ها صحبت کنیم، عبارات نشان داده شده، صرف نظر از اینکه چگونه به نظر می رسند، همیشه می توانند به شکلی درآیند که سمت چپعبارت از سه اصطلاح تشکیل شده است. از جمله: ax 2 (یعنی یک متغیر مجذور ضریب آن)، bx (یک مجهول بدون مربع با ضریب آن) و c (یک جزء آزاد، یعنی یک عدد معمولی). همه اینها در سمت راست برابر با 0 است. در صورتی که چنین چند جمله ای فاقد یکی از جمله های تشکیل دهنده خود باشد، به استثنای محور 2، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود. نمونه هایی با حل چنین مسائلی، ابتدا باید مقادیر متغیرهایی را که در آنها به راحتی یافت می شود در نظر گرفت.

اگر عبارت به نظر می رسد که دو عبارت در سمت راست دارد، به طور دقیق تر ax 2 و bx، ساده ترین راه برای پیدا کردن x قرار دادن متغیر خارج از پرانتز است. حالا معادله ما به این صورت خواهد بود: x(ax+b). در مرحله بعد، مشخص می شود که یا x=0، یا مشکل به یافتن یک متغیر از عبارت زیر می شود: ax+b=0. این توسط یکی از خواص ضرب دیکته می شود. این قانون بیان می کند که حاصل ضرب دو عامل تنها در صورتی به صفر می رسد که یکی از آنها صفر باشد.

مثال

x=0 یا 8x - 3 = 0

در نتیجه دو ریشه معادله بدست می آوریم: 0 و 0.375.

معادلات از این نوع می توانند حرکت اجسامی را تحت تأثیر گرانش توصیف کنند که از نقطه خاصی که به عنوان مبدأ مختصات گرفته شده شروع به حرکت کردند. در اینجا نماد ریاضی به شکل زیر است: y = v 0 t + gt 2/2. با جایگزین کردن مقادیر لازم، برابر کردن سمت راست با 0 و یافتن مجهولات احتمالی، می توانید زمان سپری شدن از لحظه بالا آمدن بدن تا لحظه سقوط و همچنین بسیاری از کمیت های دیگر را دریابید. اما بعداً در این مورد صحبت خواهیم کرد.

فاکتورگیری یک بیان

قاعده ای که در بالا توضیح داده شد، حل این مشکلات را در موارد بیشتری ممکن می سازد موارد دشوار. بیایید به نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم از این نوع نگاه کنیم.

X 2 - 33x + 200 = 0

این سه جمله ای درجه دومکامل است. ابتدا بیایید عبارت را تبدیل کنیم و آن را فاکتور کنیم. دو تا از آنها وجود دارد: (x-8) و (x-25) = 0. در نتیجه ما دو ریشه 8 و 25 داریم.

مثال‌هایی با حل معادلات درجه دوم در درجه 9 به این روش اجازه می‌دهد تا متغیری را در عبارات نه تنها مرتبه دوم، بلکه حتی از مرتبه سوم و چهارم پیدا کند.

به عنوان مثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. هنگام فاکتورگیری سمت راست به عوامل با متغیر، سه مورد از آنها وجود دارد، یعنی (x+1)، (x-3) و (x+ 3).

در نتیجه مشخص می شود که این معادله دارای سه ریشه است: -3; -1؛ 3.

ریشه مربع

یک مورد دیگر معادله ناقصمرتبه دوم عبارتی است که در زبان حروف به گونه ای نمایش داده می شود که سمت راست از اجزای ax 2 و c ساخته شده است. در اینجا برای به دست آوردن مقدار متغیر، عبارت آزاد به سمت راست منتقل می شود و پس از آن جذر از دو طرف تساوی استخراج می شود. لازم به ذکر است که در این حالت معمولاً دو ریشه معادله وجود دارد. تنها استثناها می‌توانند برابری‌هایی باشند که اصلاً شامل یک عبارت نیستند، جایی که متغیر برابر با صفر است، و همچنین انواع عبارات وقتی سمت راست منفی است. در مورد دوم، هیچ راه حلی وجود ندارد، زیرا اقدامات فوق را نمی توان با ریشه انجام داد. نمونه هایی از راه حل های معادلات درجه دوم از این نوع باید در نظر گرفته شود.

در این صورت ریشه های معادله اعداد -4 و 4 خواهند بود.

محاسبه مساحت زمین

نیاز به این نوع محاسبات در زمان های قدیم ظاهر شد، زیرا توسعه ریاضیات در آن زمان های دور تا حد زیادی با نیاز به تعیین با بیشترین دقت مساحت و محیط قطعات زمین تعیین می شد.

همچنین باید نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم را بر اساس مسائلی از این دست در نظر بگیریم.

بنابراین، فرض کنید یک زمین مستطیل شکل وجود دارد که طول آن 16 متر بیشتر از عرض است. اگر می دانید مساحت آن 612 متر مربع است، باید طول، عرض و محیط سایت را پیدا کنید.

برای شروع، اجازه دهید ابتدا معادله لازم را ایجاد کنیم. اجازه دهید عرض منطقه را با x نشان دهیم، سپس طول آن (x+16) خواهد بود. از مطالبی که نوشته شد مساحت با عبارت x(x+16) تعیین می شود که با توجه به شرایط مسئله ما 612 می شود. یعنی x(x+16) = 612.

حل معادلات درجه دوم کامل، و این عبارت دقیقاً همان است، به همین شکل قابل انجام نیست. چرا؟ اگرچه سمت چپ هنوز دارای دو عامل است، اما حاصل ضرب آنها به هیچ وجه برابر با 0 نیست، بنابراین در اینجا از روش های مختلفی استفاده می شود.

ممیز

اول از همه، بیایید تحولات لازم را انجام دهیم، سپس ظاهراین عبارت به شکل زیر خواهد بود: x 2 + 16x - 612 = 0. این به این معنی است که ما یک عبارت را به شکلی مطابق با استاندارد مشخص شده قبلی دریافت کرده ایم، که در آن a=1، b=16، c=-612.

این می تواند نمونه ای از حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز باشد. اینجا محاسبات لازمطبق این طرح تولید می شوند: D = b 2 - 4ac. این کمیت کمکی نه تنها یافتن مقادیر مورد نیاز را در یک معادله مرتبه دوم ممکن می سازد، بلکه کمیت را نیز تعیین می کند. گزینه های ممکن. اگر D>0 باشد، دو مورد از آنها وجود دارد. برای D=0 یک ریشه وجود دارد. در مورد D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

درباره ریشه ها و فرمول آنها

در مورد ما، تمایز برابر است با: 256 - 4(-612) = 2704. این نشان می دهد که مشکل ما یک پاسخ دارد. اگر k را می دانید حل معادلات درجه دوم را باید با استفاده از فرمول زیر ادامه دهید. این به شما امکان می دهد ریشه ها را محاسبه کنید.

این بدان معنی است که در مورد ارائه شده: x 1 = 18، x 2 =-34. گزینه دوم در این معضل نمی تواند راه حل باشد، زیرا ابعاد زمین را نمی توان در مقادیر منفی اندازه گیری کرد، یعنی x (یعنی عرض قطعه) 18 متر است از اینجا طول را محاسبه می کنیم: 18 +16=34 و محیط 2(34+18)=104(m2).

مثال ها و وظایف

ما مطالعه خود را در مورد معادلات درجه دوم ادامه می دهیم. نمونه ها و راه حل های دقیق چند مورد از آنها در زیر آورده شده است.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

بیایید همه چیز را به سمت چپ تساوی منتقل کنیم، یک تبدیل ایجاد کنیم، یعنی نوع معادله ای را که معمولاً استاندارد نامیده می شود، به دست می آوریم و آن را با صفر برابر می کنیم.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

با اضافه کردن موارد مشابه، تفکیک کننده را تعیین می کنیم: D = 49 - 48 = 1. این به این معنی است که معادله ما دو ریشه خواهد داشت. بیایید آنها را طبق فرمول بالا محاسبه کنیم، به این معنی که اولی برابر با 4/3 و دومی برابر با 1 خواهد بود.

2) حالا بیایید اسرار دیگری را حل کنیم.

بیایید دریابیم که آیا ریشه ای در اینجا وجود دارد x 2 - 4x + 5 = 1؟ برای به دست آوردن یک پاسخ جامع، چند جمله ای را به شکل معمول مربوطه کاهش می دهیم و تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در مثال بالا نیازی به حل معادله درجه دوم نیست، زیرا اصل مسئله اصلاً این نیست. در این مورد، D = 16 - 20 = -4، یعنی واقعا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

قضیه ویتا

معادلات درجه دوموقتی جذر دوم از مقدار دومی گرفته می شود، حل آن از طریق فرمول های بالا و ممیز راحت است. اما همیشه این اتفاق نمی افتد. با این حال، راه های زیادی برای به دست آوردن مقادیر متغیرها در این مورد وجود دارد. مثال: حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا. نام او برگرفته از کسی است که در قرن شانزدهم در فرانسه زندگی می‌کرد و به لطف استعداد ریاضی و ارتباطاتش در دربار، حرفه‌ای درخشان ایجاد کرد. پرتره او در مقاله قابل مشاهده است.

الگویی که مرد مشهور فرانسوی متوجه آن شد به شرح زیر بود. او ثابت کرد که ریشه های معادله به صورت عددی با -p=b/a جمع می شوند و حاصلضرب آنها با q=c/a مطابقت دارد.

حالا بیایید به وظایف خاص نگاه کنیم.

3x 2 + 21x - 54 = 0

برای سادگی، اجازه دهید عبارت را تبدیل کنیم:

x 2 + 7x - 18 = 0

بیایید از قضیه Vieta استفاده کنیم، این به ما می دهد: مجموع ریشه ها -7 است و حاصلضرب آنها 18- است. از اینجا می‌گیریم که ریشه‌های معادله اعداد -9 و 2 هستند. پس از بررسی، مطمئن می‌شویم که این مقادیر متغیر واقعاً با عبارت مطابقت دارند.

نمودار سهمی و معادله

مفاهیم تابع درجه دوم و معادلات درجه دوم ارتباط نزدیکی با هم دارند. نمونه هایی از این قبلا قبلاً آورده شده است. حالا بیایید با کمی جزئیات بیشتر به چند معمای ریاضی نگاه کنیم. هر معادله ای از نوع توصیف شده را می توان به صورت بصری نشان داد. چنین رابطه ای که به صورت نمودار ترسیم می شود، سهمی نامیده می شود. انواع مختلف آن در شکل زیر ارائه شده است.

هر سهمی یک راس دارد، یعنی نقطه ای که شاخه های آن از آن بیرون می آیند. اگر a>0 باشد، آنها تا بی نهایت بالا می روند و زمانی که a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

نمایش بصری توابع به حل هر معادله ای از جمله معادلات درجه دوم کمک می کند. این روش را گرافیکی می نامند. و مقدار متغیر x مختصات آبسیسا در نقاطی است که خط نمودار با 0x قطع می شود. مختصات راس را می توان با استفاده از فرمولی که x 0 = -b/2a داده شده است، پیدا کرد. و با جایگزین کردن مقدار حاصل به معادله اصلی تابع، می توانید y 0 را پیدا کنید، یعنی مختصات دوم راس سهمی که متعلق به محور مختصات است.

تقاطع شاخه های سهمی با محور آبسیسا

مثال های زیادی برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد، اما الگوهای کلی نیز وجود دارد. بیایید به آنها نگاه کنیم. واضح است که تقاطع نمودار با محور 0x برای a>0 تنها در صورتی امکان پذیر است که 0 مقادیر منفی بگیرد. و برای یک<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. در غیر این صورت D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

از نمودار سهمی نیز می توانید ریشه ها را تعیین کنید. برعکس آن نیز صادق است. یعنی اگر تصویر بصری به دست بیاورید تابع درجه دومکار آسانی نیست، می توانید سمت راست عبارت را با 0 برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید. و با دانستن نقاط تقاطع با محور 0x، ساختن نمودار آسانتر است.

از تاریخ

با استفاده از معادلات حاوی یک متغیر مربع، در قدیم نه تنها محاسبات ریاضی انجام می دادند و مساحت اشکال هندسی را تعیین می کردند. گذشتگان برای اکتشافات بزرگ در زمینه های فیزیک و ستاره شناسی و همچنین برای پیش بینی های نجومی به چنین محاسباتی نیاز داشتند.

همانطور که دانشمندان مدرن پیشنهاد می کنند، ساکنان بابل جزو اولین کسانی بودند که معادلات درجه دوم را حل کردند. این اتفاق چهار قرن قبل از دوران ما افتاد. البته محاسبات آنها با محاسباتی که در حال حاضر پذیرفته شده اند کاملاً متفاوت بود و معلوم شد که بسیار ابتدایی تر است. به عنوان مثال، ریاضیدانان بین النهرین هیچ ایده ای در مورد وجود اعداد منفی نداشتند. آنها همچنین با ظرافت های دیگری که هر دانش آموز مدرنی می داند ناآشنا بودند.

شاید حتی زودتر از دانشمندان بابل، حکیم هندی بودهایاما شروع به حل معادلات درجه دوم کرد. این اتفاق حدود هشت قرن قبل از عصر مسیح رخ داد. درست است، معادلات مرتبه دوم، روش هایی که او برای حل آنها ارائه کرد، ساده ترین بودند. علاوه بر او، ریاضیدانان چینی نیز در قدیم به سوالات مشابه علاقه داشتند. در اروپا، معادلات درجه دوم فقط در آغاز قرن سیزدهم حل شد، اما بعداً توسط دانشمندان بزرگی مانند نیوتن، دکارت و بسیاری دیگر در آثار خود استفاده شد.

معادله درجه دوم - آسان برای حل! *از این پس "KU" نامیده می شود.دوستان، به نظر می رسد که هیچ چیز ساده تر از حل چنین معادله ای در ریاضیات وجود ندارد. اما چیزی به من گفت که خیلی ها با او مشکل دارند. تصمیم گرفتم ببینم که Yandex در هر ماه چه تعداد برداشت بر اساس تقاضا ارائه می دهد. این چیزی است که اتفاق افتاده است، نگاه کنید:

یعنی چی؟ این بدان معنی است که حدود 70000 نفر در ماه به دنبال این اطلاعات هستند، و این تابستان است، و آنچه در طول سال تحصیلی اتفاق می افتد - دو برابر بیشتر درخواست می شود. این تعجب آور نیست، زیرا آن دسته از پسران و دخترانی که مدت ها پیش از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای آزمون یکپارچه دولتی آماده می شوند به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان مدرسه نیز در تلاش هستند تا حافظه خود را تازه کنند.

علیرغم اینکه سایت های زیادی وجود دارند که به شما می گویند چگونه این معادله را حل کنید، من تصمیم گرفتم که مطالب را نیز منتشر کنم. اولاً، من می خواهم بازدیدکنندگان بر اساس این درخواست به سایت من بیایند. ثانیاً، در مقالات دیگر، وقتی موضوع "KU" مطرح شد، لینک این مقاله را ارائه خواهم کرد. ثالثاً، من کمی بیشتر از آنچه که معمولاً در سایت های دیگر بیان می شود، در مورد راه حل او به شما خواهم گفت. بیایید شروع کنیم!مطالب مقاله:

معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:

جایی که ضرایب a،بو c اعداد دلخواه با a≠0 هستند.

در دوره مدرسهمواد به شکل زیر ارائه می شود - معادلات به طور مشروط به سه کلاس تقسیم می شوند:

1. دو ریشه دارند.

2. *فقط یک ریشه داشته باشید.

3. ریشه ندارند. در اینجا به ویژه شایان ذکر است که آنها ریشه واقعی ندارند

ریشه ها چگونه محاسبه می شوند؟ فقط!

تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در زیر این کلمه "وحشتناک" یک فرمول بسیار ساده نهفته است:

فرمول های ریشه به شرح زیر است:

*باید این فرمول ها را از روی قلب بدانید.

بلافاصله می توانید یادداشت کنید و حل کنید:

مثال:

1. اگر D > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد.

2. اگر D = 0 باشد، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

توسط به این مناسبت، وقتی ممیز برابر با صفر است، درس مدرسه می گوید نتیجه یک ریشه است، اینجا برابر با نه است. همه چیز درست است، همینطور است، اما...

این تصور تا حدودی نادرست است. در واقع دو ریشه وجود دارد. بله، بله، تعجب نکنید، شما دو ریشه مساوی دریافت می کنید، و برای اینکه از نظر ریاضی دقیق باشیم، در پاسخ باید دو ریشه بنویسید:

x 1 = 3 x 2 = 3

اما این چنین است - یک انحراف کوچک. در مدرسه می توانید آن را یادداشت کنید و بگویید که یک ریشه است.

حالا مثال بعدی:

همانطور که می دانیم، ریشه یک عدد منفی را نمی توان گرفت، بنابراین هیچ راه حلی در این مورد وجود ندارد.

این کل فرآیند تصمیم گیری است.

تابع درجه دوم.

این نشان می دهد که راه حل از نظر هندسی چگونه به نظر می رسد. درک این امر بسیار مهم است (در آینده در یکی از مقالات راه حل نابرابری درجه دوم را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).

این تابعی از فرم است:

که در آن x و y متغیر هستند

a، b، c - اعداد داده شده، با ≠ 0

نمودار سهمی است:

یعنی معلوم می شود که با حل یک معادله درجه دوم با “y” برابر با صفر، نقاط تقاطع سهمی را با محور x می یابیم. دو مورد از این نقاط می تواند وجود داشته باشد (ممیز مثبت است)، یکی (ممیز صفر است) و هیچ یک (ممیز منفی است). جزئیات در مورد تابع درجه دوم می توانید نگاه کنیدمقاله اینا فلدمن

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

مثال 1: حل کنید 2 برابر 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

پاسخ: x 1 = 8 x 2 = -12

*می توان بلافاصله سمت چپ و راست معادله را بر 2 تقسیم کرد، یعنی آن را ساده کرد. محاسبات راحت تر خواهد بود.

مثال 2: تصمیم بگیرید x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

ما دریافتیم که x 1 = 11 و x 2 = 11

نوشتن x=11 در جواب جایز است.

پاسخ: x = 11

مثال 3: تصمیم بگیرید x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ممیز منفی است، هیچ راه حلی در اعداد واقعی وجود ندارد.

پاسخ: راه حلی نیست

ممیز منفی است. راه حلی وجود دارد!

در اینجا در مورد حل معادله در موردی که ممیز منفی به دست می آید صحبت خواهیم کرد. آیا در مورد اعداد مختلط چیزی می دانید؟ من در اینجا به جزئیات نمی پردازم که چرا و کجا بوجود آمدند و نقش و ضرورت خاص آنها در ریاضیات چیست.

مفهوم عدد مختلط

کمی تئوری

عدد مختلط z عددی از فرم است

z = a + bi

جایی که a و b اعداد واقعی هستند، i به اصطلاح واحد خیالی است.

a+bi - این یک عدد واحد است، نه یک عدد.

واحد خیالی برابر است با ریشه منهای یک:

حالا معادله را در نظر بگیرید:

دو ریشه مزدوج می گیریم.

معادله درجه دوم ناقص.

بیایید موارد خاصی را در نظر بگیریم، این زمانی است که ضریب "b" یا "c" برابر با صفر (یا هر دو برابر با صفر) باشد. آنها را می توان به راحتی و بدون هیچ تبعیضی حل کرد.

مورد 1. ضریب b = 0.

معادله تبدیل می شود:

تبدیل کنیم:

مثال:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

مورد 2. ضریب c = 0.

معادله تبدیل می شود:

بیایید تبدیل و فاکتورسازی کنیم:

*زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 یا x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

مورد 3. ضرایب b = 0 و c = 0.

در اینجا واضح است که جواب معادله همیشه x = 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که به شما امکان می دهد معادلات را با ضرایب بزرگ حل کنید.

الفx 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

الف + ب+ c = 0،که

- اگر برای ضرایب معادله الفx 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

الف+ s =ب, که

این خواص به تصمیم گیری کمک می کند یک نوع خاصمعادلات

مثال 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

مجموع شانس ها 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0، به این معنی

مثال 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

برابری برقرار است الف+ s =ب, به معنی

نظم ضرایب.

1. اگر در معادله ax 2 + bx + c = 0 ضریب "b" برابر با (a 2 +1) و ضریب "c" از نظر عددی برابر با ضریب "a" باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

مثال. معادله 6 x 2 + 37 x + 6 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. اگر در معادله ax 2 – bx + c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 +1) و ضریب “c” از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 15x2 –226x+15 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. اگر در معادله ax 2 + bx – c = 0 ضریب "b" برابر است با (a 2 - 1) و ضریب "c" عددی برابر با ضریب a است, سپس ریشه های آن برابر است

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 17x2 +288x – 17 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. اگر در معادله ax 2 – bx – c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 – 1) و ضریب c از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

مثال. معادله 10x2 – 99x –10 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

قضیه ویتا

قضیه ویتا به افتخار ریاضیدان معروف فرانسوی فرانسوا ویتا نامگذاری شده است. با استفاده از قضیه ویتا می توان مجموع و حاصلضرب ریشه های یک KU دلخواه را بر حسب ضرایب آن بیان کرد.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

در کل عدد 14 فقط 5 و 9 را می دهد. اینها ریشه هستند. با مهارت خاصی، با استفاده از قضیه ارائه شده، می توانید بسیاری از معادلات درجه دوم را بلافاصله به صورت شفاهی حل کنید.

علاوه بر این، قضیه ویتا. راحت است که پس از حل یک معادله درجه دوم به روش معمول (از طریق یک تفکیک کننده)، ریشه های حاصل را می توان بررسی کرد. توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهید.

روش حمل و نقل

با این روش، ضریب الف در عبارت آزاد ضرب می شود، گویی به آن پرتاب می شود، به همین دلیل به آن می گویند. روش "انتقال".این روش زمانی استفاده می‌شود که ریشه‌های معادله را بتوان به راحتی با استفاده از قضیه ویتا پیدا کرد و مهمتر از همه، زمانی که ممیز یک مربع دقیق باشد.

اگر الف± b+c≠ 0، سپس از تکنیک انتقال استفاده می شود، به عنوان مثال:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

با استفاده از قضیه ویتا در رابطه (2)، به راحتی می توان تعیین کرد که x 1 = 10 x 2 = 1

ریشه های حاصل از معادله باید بر 2 تقسیم شوند (از آنجایی که این دو از x 2 "پرتاب" شدند)، دریافت می کنیم

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

منطق چیست؟ ببین چه خبره

ممیز معادلات (1) و (2) برابر است:

اگر به ریشه معادلات نگاه کنید، فقط مخرج های متفاوتی بدست می آورید و نتیجه دقیقاً به ضریب x 2 بستگی دارد:

دومی (اصلاح شده) دارای ریشه هایی است که 2 برابر بزرگتر هستند.

بنابراین، نتیجه را بر 2 تقسیم می کنیم.

*اگر سه را دوباره بچرخانیم، حاصل را بر 3 تقسیم می کنیم و غیره.

پاسخ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

مربع آزمون ur-ie و یکپارچه دولتی.

من به طور خلاصه در مورد اهمیت آن به شما می گویم - شما باید بتوانید سریع و بدون فکر تصمیم بگیرید، باید فرمول های ریشه ها و تمایزات را از روی قلب بدانید. بسیاری از مسائل موجود در وظایف آزمون یکپارچه ایالت به حل یک معادله درجه دوم (شامل موارد هندسی) خلاصه می شود.

چیزی که قابل توجه است!

1. شکل نوشتن یک معادله می تواند "ضمنی" باشد. به عنوان مثال، ورودی زیر ممکن است:

15+ 9x 2 - 45x = 0 یا 15x+42+9x 2 - 45x=0 یا 15 -5x+10x 2 = 0.

شما باید آن را به یک فرم استاندارد بیاورید (تا هنگام حل گیج نشوید).

2. به یاد داشته باشید که x یک کمیت مجهول است و می توان آن را با هر حرف دیگری نشان داد - t، q، p، h و غیره.

در این مقاله به حل معادلات درجه دوم ناقص خواهیم پرداخت.

اما ابتدا بیایید تکرار کنیم که چه معادلاتی درجه دوم نامیده می شوند. معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 که x یک متغیر است و ضرایب a، b و c برخی از اعداد و a ≠ 0 نامیده می شود. مربع. همانطور که می بینیم ضریب x 2 برابر با صفر نیست و بنابراین ضرایب x یا جمله آزاد می تواند برابر با صفر باشد که در این صورت یک معادله درجه دوم ناقص بدست می آید.

سه نوع معادله درجه دوم ناقص وجود دارد:

1) اگر b = 0، c ≠ 0، سپس ax 2 + c = 0.

2) اگر b ≠ 0، c = 0، سپس ax 2 + bx = 0.

3) اگر b = 0، c = 0، سپس ax 2 = 0.

• بیایید بفهمیم که چگونه حل کنیم معادلات شکل ax 2 + c = 0.

برای حل معادله، عبارت آزاد c را به سمت راست معادله منتقل می کنیم، به دست می آوریم

تبر 2 = ‒s. از آنجایی که a ≠ 0 است، هر دو طرف معادله را بر a تقسیم می کنیم، سپس x 2 = ‒c/a.

اگر ‒с/а > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد

x = ±√(–c/a) .

اگر ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

بیایید سعی کنیم با مثال هایی بفهمیم که چگونه چنین معادلاتی را حل کنیم.

مثال 1. معادله 2 x 2 ‒ 32 = 0 را حل کنید.

پاسخ: x 1 = - 4، x 2 = 4.

مثال 2. معادله 2 x 2 + 8 = 0 را حل کنید.

پاسخ: معادله هیچ راه حلی ندارد.

• بیایید دریابیم که چگونه آن را حل کنیم معادلات شکل ax 2 + bx = 0.

برای حل معادله ax 2 + bx = 0، آن را فاکتورگیری می کنیم، یعنی x را از پرانتز خارج می کنیم، x(ax + b) = 0 به دست می آید. اگر حداقل یکی از عوامل مساوی باشد حاصلضرب برابر با صفر است. به صفر سپس یا x = 0، یا ax + b = 0. با حل معادله ax + b = 0، ما ax = - b، که از آن x = - b/a. معادله ای به شکل ax 2 + bx = 0 همیشه دو ریشه x 1 = 0 و x 2 = ‒ b/a دارد. حل معادلات از این نوع را در نمودار ببینید.

بیایید دانش خود را با یک مثال خاص تثبیت کنیم.

مثال 3. معادله 3x 2 ‒ 12x = 0 را حل کنید.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 یا 3x – 12 = 0

پاسخ: x 1 = 0، x 2 = 4.

• معادلات نوع سوم تبر 2 = 0خیلی ساده حل می شوند

اگر ax 2 = 0، آنگاه x 2 = 0. معادله دارای دو ریشه مساوی x 1 = 0، x 2 = 0 است.

برای وضوح، بیایید به نمودار نگاه کنیم.

اجازه دهید هنگام حل مثال 4 مطمئن شویم که معادلات از این نوع را می توان خیلی ساده حل کرد.

مثال 4.معادله 7×2 = 0 را حل کنید.

پاسخ: x 1، 2 = 0.

همیشه بلافاصله مشخص نیست که چه نوع معادله درجه دوم ناقصی را باید حل کنیم. مثال زیر را در نظر بگیرید.

مثال 5.معادله را حل کنید

بیایید هر دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنیم، یعنی در 30

بیایید آن را کاهش دهیم

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

بیایید پرانتزها را باز کنیم

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.

بیایید مشابه بدهیم

بیایید 99 را از سمت چپ معادله به سمت راست حرکت دهیم و علامت را به عکس تغییر دهیم

پاسخ: بدون ریشه.

ما به چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص نگاه کردیم. امیدوارم اکنون با چنین کارهایی مشکلی نداشته باشید. در تعیین نوع معادله درجه دوم ناقص دقت کنید، آنگاه موفق خواهید شد.

اگر سوالی در مورد این موضوع دارید، در درس های من ثبت نام کنید، ما با هم مشکلات پیش آمده را حل خواهیم کرد.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.