عبارت عدد صحیح یک عبارت ریاضی است که از اعداد و متغیرهای تحت اللفظی با استفاده از عملیات جمع، تفریق و ضرب تشکیل شده است. اعداد صحیح همچنین شامل عباراتی هستند که شامل تقسیم بر هر عددی غیر از صفر است.

مفهوم یک عبارت منطقی کسری

عبارت کسری یک عبارت ریاضی است که علاوه بر عملیات جمع، تفریق و ضرب که با اعداد و متغیرهای حروف انجام می شود و همچنین تقسیم بر عددی که برابر با صفر نیست، شامل تقسیم به عبارات دارای متغیرهای حرفی نیز می باشد.

عبارات گویا همه عبارت های کل و کسری هستند. معادلات گویامعادلاتی هستند که در آن سمت چپ و راست عبارات گویا هستند. اگر در یک معادله گویا، سمت چپ و راست عبارت‌های عدد صحیح باشند، چنین معادله‌ای را یک عدد صحیح می‌گویند.

اگر در یک معادله گویا، سمت چپ یا راست عبارات کسری باشند، چنین معادله گویا را کسری می نامند.

نمونه هایی از عبارات منطقی کسری

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

طرحی برای حل یک معادله گویا کسری

1. مخرج مشترک همه کسری که در معادله گنجانده شده است را بیابید.

2. دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنید.

3. معادله کامل حاصل را حل کنید.

4. ریشه ها را بررسی کنید و آنهایی را که مخرج مشترک را از بین می برند حذف کنید.

از آنجایی که ما در حال حل معادلات گویا کسری هستیم، متغیرهایی در مخرج کسرها وجود خواهد داشت. این بدان معنی است که آنها یک مخرج مشترک خواهند بود. و در نقطه دوم الگوریتم در یک مخرج مشترک ضرب می کنیم، سپس ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند. که در آن مخرج مشترک برابر با صفر خواهد بود، یعنی ضرب در آن بی معنی خواهد بود. بنابراین در پایان لازم است ریشه های به دست آمده را بررسی کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

معادله گویا کسری را حل کنید: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

ما به آن پایبند خواهیم بود طرح کلی: ابتدا مخرج مشترک همه کسرها را پیدا می کنیم. x*(x-5) را بدست می آوریم.

هر کسر را در یک مخرج مشترک ضرب کنید و معادله کامل حاصل را بنویسید.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

اجازه دهید معادله حاصل را ساده کنیم. دریافت می کنیم:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

یک معادله درجه دوم کاهش یافته ساده بدست می آوریم. ما آن را با هر یک از آنها حل می کنیم روش های شناخته شده، ریشه های x=-2 و x=5 را بدست می آوریم.

اکنون راه حل های به دست آمده را بررسی می کنیم:

اعداد -2 و 5 را با مخرج مشترک جایگزین کنید. در x=-2 مخرج مشترک x*(x-5) محو نمی شود، -2*(-2-5)=14. این بدان معنی است که عدد -2 ریشه معادله گویا کسری اصلی خواهد بود.

در x=5 مخرج مشترک x*(x-5) صفر می شود. بنابراین، این عدد ریشه معادله گویا کسری اصلی نیست، زیرا تقسیم بر صفر وجود خواهد داشت.

ما قبلاً یاد گرفتیم که چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم. حال بیایید روش های مورد مطالعه را به معادلات گویا تعمیم دهیم.

بیان عقلانی چیست؟ ما قبلاً با این مفهوم روبرو شده ایم. عبارات منطقیعباراتی هستند که از اعداد، متغیرها، قدرت آنها و نمادهای عملیات ریاضی تشکیل شده اند.

بر این اساس، معادلات گویا معادلاتی هستند به شکل: , Where - عبارات منطقی

پیش از این، ما فقط آن معادلات منطقی را در نظر گرفتیم که می توان آنها را به معادلات خطی تقلیل داد. حال بیایید آن معادلات منطقی را که می توان به معادلات درجه دوم تقلیل داد، در نظر بگیریم.

مثال 1

معادله را حل کنید: .

راه حل:

کسری برابر 0 است اگر و فقط اگر صورت آن برابر با 0 باشد و مخرج آن برابر با 0 نباشد.

ما سیستم زیر را دریافت می کنیم:

اولین معادله سیستم یک معادله درجه دوم است. قبل از حل آن، بیایید تمام ضرایب آن را بر 3 تقسیم کنیم.

دو ریشه می گیریم: ; .

از آنجایی که 2 هرگز برابر 0 نیست، دو شرط باید رعایت شود: . از آنجایی که هیچ یک از ریشه های معادله به دست آمده در بالا با مقادیر نامعتبر متغیری که هنگام حل نابرابری دوم به دست آمده است منطبق نیست، هر دو راه حل این معادله هستند.

پاسخ:.

بنابراین، بیایید یک الگوریتم برای حل معادلات گویا فرموله کنیم:

1. همه عبارت ها را به سمت چپ حرکت دهید تا سمت راست به 0 ختم شود.

2. سمت چپ را تبدیل و ساده کنید، همه کسرها را به کاهش دهید مخرج مشترک.

3. کسر حاصل را با استفاده از الگوریتم زیر برابر کنید: .

4. آن ریشه هایی را که در معادله اول به دست آمده اند بنویسید و نابرابری دوم را در پاسخ برآورده کنید.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم.

مثال 2

معادله را حل کنید: .

راه حل

در همان ابتدا، همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم تا 0 در سمت راست باقی بماند.

حالا بیایید سمت چپ معادله را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

این معادله معادل سیستم:

اولین معادله سیستم یک معادله درجه دوم است.

ضرایب این معادله: . تفکیک را محاسبه می کنیم:

دو ریشه می گیریم: ; .

حالا بیایید نابرابری دوم را حل کنیم: حاصل ضرب عوامل برابر با 0 نیست اگر و فقط اگر هیچ یک از عوامل برابر با 0 نباشد.

دو شرط باید رعایت شود: . متوجه شدیم که از دو ریشه معادله اول، تنها یکی مناسب است - 3.

پاسخ:.

در این درس به یاد آوردیم که یک عبارت منطقی چیست و همچنین یاد گرفتیم که چگونه معادلات گویا را حل کنیم که به معادلات درجه دوم کاهش می یابد.

در درس بعدی به معادلات منطقی به عنوان مدل‌های موقعیت‌های واقعی و همچنین مشکلات حرکت نگاه خواهیم کرد.

مراجع

1. باشماکوف M.I. جبر، کلاس هشتم. - م.: آموزش و پرورش، 1383.
2. Dorofeev G.V.، Suvorova S.B.، Bunimovich E.A. و دیگران جبر، 8. 5th ed. - م.: آموزش و پرورش، 2010.
3. نیکولسکی اس.ام.، پوتاپوف ام.آ.، رشتنیکوف ن.ن.، شوکین آ.و. جبر، کلاس هشتم. آموزش برای موسسات آموزشی. - م.: آموزش و پرورش، 1385.

1. جشنواره ایده های آموزشی "درس باز" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

مشق شب

بیایید به صحبت کردن ادامه دهیم حل معادلات. در این مقاله به جزئیات در مورد آن خواهیم پرداخت معادلات منطقیو اصول حل معادلات گویا با یک متغیر. ابتدا بیایید بفهمیم که چه نوع معادلاتی را گویا می نامند، از کل معادلات گویا و کسری تعریف کنیم و مثال هایی بزنیم. در ادامه به الگوریتم هایی برای حل معادلات گویا می پردازیم و البته راه حل هایی را برای مثال های معمولی با تمامی توضیحات لازم در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

بر اساس تعاریف بیان شده، چندین مثال از معادلات گویا را بیان می کنیم. برای مثال، x=1، 2·x−12·x 2·y·z 3 =0، همه معادلات گویا هستند.

از مثال های نشان داده شده مشخص می شود که معادلات گویا و همچنین معادلات انواع دیگر می توانند با یک متغیر یا با دو، سه و غیره باشند. متغیرها در پاراگراف های بعدی در مورد حل معادلات گویا با یک متغیر صحبت خواهیم کرد. حل معادلات در دو متغیرو تعداد زیاد آنها شایسته توجه ویژه است.

معادلات گویا علاوه بر تقسیم بر تعداد متغیرهای مجهول، به عدد صحیح و کسری نیز تقسیم می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله منطقی نامیده می شود کل، اگر هر دو سمت چپ و راست آن عبارت های منطقی اعداد صحیح باشند.

تعریف.

اگر حداقل یکی از اجزای یک معادله گویا یک عبارت کسری باشد، چنین معادله ای نامیده می شود. کسری منطقی(یا عقلی کسری).

واضح است که معادلات کل شامل تقسیم بر یک متغیر نیستند، برعکس، معادلات گویا کسری لزوماً شامل تقسیم بر یک متغیر (یا یک متغیر در مخرج) هستند. پس 3 x+2=0 و (x+y)·(3·x 2-1)+x=-y+0.5- اینها معادلات کل عقلی هستند، هر دو قسمت آنها عبارت های کل هستند. A و x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 نمونه هایی از معادلات گویا کسری هستند.

در پایان به این نکته توجه کنیم که معادلات خطی و معادلات درجه دوم شناخته شده در این نقطه، معادلات کامل عقلی هستند.

حل معادلات کل

یکی از رویکردهای اصلی برای حل کل معادلات، کاهش آنها به معادلات است معادلات جبری. این همیشه می تواند با انجام تبدیل های معادل زیر در معادله انجام شود:

• ابتدا عبارت از سمت راست معادله عدد صحیح اصلی به سمت چپ منتقل می شود علامت مخالفبرای گرفتن صفر در سمت راست؛
• پس از این، در سمت چپ معادله فرم استاندارد به دست آمده است.

نتیجه یک معادله جبری است که معادل معادله عدد صحیح اصلی است. بنابراین، در ساده ترین موارد، حل کل معادلات به حل معادلات خطی یا درجه دوم کاهش می یابد و در مورد کلی- حل معادله جبری درجه n. برای وضوح، بیایید به راه حل مثال نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های کل معادله را پیدا کنید 3·(x+1)·(x-3)=x·(2·x-1)-3.

راه حل.

اجازه دهید حل کل این معادله را به حل یک معادله جبری معادل تقلیل دهیم. برای این کار ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم و در نتیجه به معادله می رسیم. 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3=0. و ثانیاً عبارت تشکیل شده در سمت چپ را با تکمیل موارد لازم به چند جمله ای از فرم استاندارد تبدیل می کنیم: 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2-9 x+3 x-9-2 x 2 +x+3=x 2-5 x-6. بنابراین، حل معادله اعداد صحیح اصلی به حل کاهش می یابد معادله درجه دوم x 2 −5 x−6=0 .

تفکیک آن را محاسبه می کنیم D=(-5) 2-4·1·(-6)=25+24=49، مثبت است، به این معنی که معادله دو ریشه واقعی دارد که با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم آنها را پیدا می کنیم:

برای اطمینان کامل، بیایید این کار را انجام دهیم بررسی ریشه های یافت شده معادله. ابتدا ریشه 6 را بررسی می کنیم، آن را به جای متغیر x در معادله عدد صحیح اصلی جایگزین می کنیم: 3·(6+1)·(6-3)=6·(2·6-1)-3که همان 63=63 است. این یک معادله عددی معتبر است، بنابراین x=6 در واقع ریشه معادله است. اکنون ریشه −1 را بررسی می کنیم 3·(-1+1)·(-1-3)=(-1)·(2·(-1)-1)-3، از کجا، 0=0 . هنگامی که x=−1، معادله اصلی نیز به یک برابری عددی صحیح تبدیل می‌شود، بنابراین، x=−1 نیز ریشه‌ای از معادله است.

پاسخ:

6 , −1 .

در اینجا همچنین باید توجه داشت که اصطلاح "درجه کل معادله" با نمایش کل معادله در قالب یک معادله جبری همراه است. اجازه دهید تعریف مربوطه را ارائه دهیم:

تعریف.

قدرت کل معادلهدرجه یک معادله جبری معادل نامیده می شود.

طبق این تعریف، کل معادله مثال قبلی دارای درجه دوم است.

این می‌توانست پایان حل معادلات منطقی باشد، اگر نه برای یک چیز…. همانطور که مشخص است، حل معادلات جبری درجه بالاتر از دوم با مشکلات قابل توجهی همراه است و برای معادلات درجه بالاتر از چهارم هیچ فرمول ریشه کلی وجود ندارد. بنابراین، برای حل کامل معادلات سوم، چهارم و بیشتر درجات بالااغلب شما باید به روش های دیگر راه حل متوسل شوید.

در چنین مواردی، رویکردی برای حل کل معادلات عقلی بر اساس روش فاکتورسازی. در این مورد، الگوریتم زیر رعایت می شود:

• اول، آنها اطمینان حاصل می کنند که یک صفر در سمت راست معادله برای انجام این کار وجود دارد، آنها عبارت را از سمت راست کل معادله به سمت چپ منتقل می کنند.
• سپس، عبارت حاصل در سمت چپ به‌عنوان محصولی از چندین عامل ارائه می‌شود که به ما امکان می‌دهد به مجموعه‌ای از چندین معادله ساده‌تر برویم.

الگوریتم داده شده برای حل کل یک معادله از طریق فاکتورسازی نیاز دارد توضیح مفصلبا مثال

مثال.

کل معادله را حل کنید (x 2-1)·(x2-10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

راه حل.

ابتدا، طبق معمول، عبارت را از سمت راست به سمت چپ معادله منتقل می کنیم، بدون اینکه تغییر علامت را فراموش کنیم، دریافت می کنیم (x2-1)·(x2-10·x+13)- 2 x (x 2 −10 x+13) = 0. در اینجا کاملاً واضح است که تبدیل سمت چپ معادله به دست آمده به یک چند جمله ای از فرم استاندارد توصیه نمی شود ، زیرا این یک معادله جبری درجه چهارم شکل را به دست می دهد. x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x-13=0، که حل آن دشوار است.

از سوی دیگر، بدیهی است که در سمت چپ معادله حاصل می‌توانیم x 2 −10 x+13 را داشته باشیم و در نتیجه آن را به‌عنوان یک محصول ارائه کنیم. ما داریم (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. معادله حاصل معادل معادله کل اصلی است و به نوبه خود می توان آن را با مجموعه ای از دو معادله درجه دوم x 2 −10·x+13=0 و x 2 −2·x−1=0 جایگزین کرد. یافتن ریشه های آنها با استفاده از فرمول های ریشه شناخته شده از طریق تفکیک کار دشواری نیست، ریشه ها برابر هستند. آنها ریشه های مورد نظر معادله اصلی هستند.

پاسخ:

همچنین برای حل کل معادلات منطقی مفید است روشی برای معرفی یک متغیر جدید. در برخی موارد، به شما امکان می دهد به معادلاتی بروید که درجه آنها کمتر از درجه معادله کل اصلی است.

مثال.

ریشه های واقعی یک معادله گویا را پیدا کنید (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

راه حل.

تقلیل کل این معادله عقلی به یک معادله جبری، به بیان ملایم، ایده خوبی نیست، زیرا در این صورت به نیاز به حل معادله درجه چهارمی خواهیم رسید که ریشه های عقلی ندارد. بنابراین، شما باید به دنبال راه حل دیگری باشید.

در اینجا به راحتی می توان فهمید که می توانید یک متغیر جدید y را معرفی کنید و عبارت x 2 +3·x را با آن جایگزین کنید. این جایگزینی ما را به کل معادله (y+1) 2 +10=−2·(y−4) می رساند که پس از انتقال عبارت −2·(y−4) به سمت چپ و تبدیل بعدی عبارت در آنجا تشکیل می شود، به یک معادله درجه دوم y 2 +4·y+3=0 کاهش می یابد. ریشه های این معادله y=−1 و y=−3 به راحتی پیدا می شوند، به عنوان مثال، می توان آنها را بر اساس قضیه معکوس قضیه ویتا انتخاب کرد.

حال به سراغ قسمت دوم روش معرفی متغیر جدید یعنی انجام جایگزینی معکوس می رویم. پس از انجام تعویض معکوس، دو معادله x 2 +3 x=−1 و x 2 +3 x=−3 به دست می‌آوریم که می‌توان آن‌ها را به صورت x 2 +3 x+1=0 و x 2 +3 x+3 بازنویسی کرد. =0. با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های معادله اول را پیدا می کنیم. و معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد، زیرا ممیز آن منفی است (D=3 2 −4·3=9−12=−3).

پاسخ:

به طور کلی، زمانی که با کل معادلات درجات بالا سروکار داریم، همیشه باید برای جستجو آماده باشیم روش غیر استانداردیا یک روش مصنوعی برای حل آنها.

حل معادلات گویا کسری

ابتدا، درک چگونگی حل معادلات گویا کسری به شکل مفید خواهد بود، جایی که p(x) و q(x) عبارات منطقی اعداد صحیح هستند. و سپس نشان خواهیم داد که چگونه حل معادلات دیگر کسری گویا را به حل معادلات از نوع مشخص شده کاهش دهیم.

یک رویکرد برای حل معادله بر اساس عبارت زیر است: کسری عددی u/v، که در آن v عددی غیر صفر است (در غیر این صورت با آن مواجه خواهیم شد، که تعریف نشده است)، برابر با صفر است اگر و فقط اگر عدد آن باشد. برابر با صفر است، اگر و فقط اگر u=0 است. به موجب این عبارت، حل معادله به تحقق دو شرط p(x)=0 و q(x)≠0 کاهش می یابد.

این نتیجه گیری با موارد زیر مطابقت دارد الگوریتم حل یک معادله گویا کسری. برای حل یک معادله گویا کسری از شکل، شما نیاز دارید

• حل کل معادله گویا p(x)=0 ;
• و بررسی کنید که آیا شرط q(x)≠0 برای هر ریشه یافت شده برآورده می شود، while
• اگر درست باشد، این ریشه ریشه معادله اصلی است.
• اگر ارضا نشد، این ریشه خارجی است، یعنی ریشه معادله اصلی نیست.

بیایید به مثالی از استفاده از الگوریتم اعلام شده در حل یک معادله گویا کسری نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

این یک معادله گویا کسری است، و به شکل p(x)=3·x-2، q(x)=5·x 2-2=0 است.

با توجه به الگوریتم حل معادلات گویا کسری از این نوع، ابتدا باید معادله 3 x−2=0 را حل کنیم. این معادله خطیکه ریشه آن x=2/3 است.

باقی مانده است که این ریشه را بررسی کنید، یعنی بررسی کنید که آیا شرط 5 x 2 −2≠0 را برآورده می کند یا خیر. عدد 2/3 را به جای x در عبارت 5 x 2-2 قرار می دهیم و می گیریم. شرط برقرار است، بنابراین x=2/3 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

2/3 .

شما می توانید به حل یک معادله منطقی کسری از موقعیت کمی متفاوت نزدیک شوید. این معادله معادل معادله عدد صحیح p(x)=0 در متغیر x معادله اصلی است. یعنی می توانید به این موضوع پایبند باشید الگوریتم حل یک معادله گویا کسری :

• حل معادله p(x)=0 ;
• ODZ متغیر x را پیدا کنید.
• ریشه های متعلق به منطقه مقادیر قابل قبول را بگیرید - آنها ریشه های مورد نظر معادله منطقی کسری اصلی هستند.

برای مثال بیایید با استفاده از این الگوریتم یک معادله گویا کسری را حل کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

ابتدا معادله درجه دوم x 2 −2·x−11=0 را حل می کنیم. ریشه های آن را می توان با استفاده از فرمول ریشه برای ضریب زوج دوم محاسبه کرد D 1 =(-1) 2-1·(-11)=12، و .

در مرحله دوم، ما ODZ متغیر x را برای معادله اصلی پیدا می کنیم. این شامل تمام اعدادی است که برای آنها x 2 +3·x≠0، که همان x·(x+3)≠0 است، از آنجا x≠0، x≠−3 است.

باقی مانده است که بررسی کنیم آیا ریشه های یافت شده در مرحله اول در ODZ گنجانده شده اند یا خیر. بدیهی است که بله. بنابراین، معادله گویا کسری اصلی دو ریشه دارد.

پاسخ:

توجه داشته باشید که اگر ODZ به راحتی پیدا شود، این رویکرد سودآورتر از روش اول است، و به ویژه اگر ریشه های معادله p(x) = 0 غیرمنطقی یا منطقی باشند، به عنوان مثال، یا منطقی باشند، اما با یک عدد و عدد نسبتا بزرگ و / یا مخرج، برای مثال، 127/1101 و −31/59. این به دلیل این واقعیت است که در چنین مواردی، بررسی شرط q(x)≠0 به تلاش محاسباتی قابل توجهی نیاز دارد و حذف ریشه های خارجی با استفاده از ODZ آسان تر است.

در موارد دیگر، هنگام حل معادله، به ویژه زمانی که ریشه های معادله p(x) = 0 اعداد صحیح هستند، استفاده از الگوریتم اول از الگوریتم های داده شده سود بیشتری دارد. به این معنی که توصیه می شود به جای یافتن ODZ، بلافاصله ریشه های کل معادله p(x)=0 را پیدا کنید و سپس بررسی کنید که آیا شرط q(x)≠0 برای آنها برآورده می شود یا خیر، و سپس معادله را حل کنید. p(x)=0 در این ODZ. این به این دلیل است که در چنین مواردی معمولاً بررسی آسان تر از یافتن DZ است.

اجازه دهید راه حل دو مثال را برای نشان دادن تفاوت های ظریف مشخص شده در نظر بگیریم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

ابتدا بیایید ریشه های کل معادله را پیدا کنیم (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0، با استفاده از عدد کسر ساخته شده است. سمت چپاین معادله یک حاصلضرب و دست راست صفر است، بنابراین با توجه به روش حل معادلات از طریق فاکتورگیری، این معادله معادل مجموعه ای از چهار معادله 2 x−1=0، x−6=0، x است. 2 −5 x+14= 0، x+1=0. سه تا از این معادلات خطی و یکی درجه دوم است. از معادله اول x=1/2، از دومی - x=6، از سومی - x=7، x=−2، از چهارمی - x=−1 را پیدا می کنیم.

با یافتن ریشه ها، بررسی اینکه آیا مخرج کسری در سمت چپ معادله اصلی ناپدید می شود بسیار آسان است، اما برعکس، تعیین ODZ چندان آسان نیست، زیرا برای این کار باید یک مشکل را حل کنید. معادله جبری درجه پنجم. بنابراین، ما از یافتن ODZ به نفع بررسی ریشه ها صرف نظر می کنیم. برای این کار به جای متغیر x در عبارت، آنها را یکی یکی جایگزین می کنیم x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112، پس از تعویض به دست آمده و آنها را با صفر مقایسه کنید: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3-13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(-2) 5-15·(-2) 4 +57·(-2) 3-13·(-2) 2 + 26·(-2)+112=-720≠0 ;
(-1) 5-15·(-1) 4 +57·(-1) 3-13·(-1) 2 + 26·(-1)+112=0.

بنابراین، 1/2، 6 و -2 ریشه های مورد نظر معادله گویا کسری اصلی هستند و 7 و -1 ریشه های خارجی هستند.

پاسخ:

1/2 , 6 , −2 .

مثال.

ریشه های یک معادله گویا کسری را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا بیایید ریشه های معادله را پیدا کنیم (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. این معادله معادل مجموعه ای از دو معادله است: مربع 5 x 2 −7 x−1=0 و خطی x−2=0. با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم دو ریشه پیدا می کنیم و از معادله دوم x=2 داریم.

بررسی اینکه آیا مخرج در مقادیر یافت شده x به صفر می رسد بسیار ناخوشایند است. و تعیین محدوده مقادیر مجاز متغیر x در معادله اصلی بسیار ساده است. بنابراین، ما از طریق ODZ اقدام خواهیم کرد.

در مورد ما، ODZ متغیر x معادله گویا کسری اصلی شامل همه اعدادی است به جز اعدادی که شرط x2 +5·x-14=0 برای آنها برآورده می شود. ریشه‌های این معادله درجه دوم x=−7 و x=2 هستند که از آن‌ها در مورد ODZ نتیجه‌گیری می‌کنیم: این معادله از همه x تشکیل شده است به طوری که .

باقی مانده است که بررسی کنیم آیا ریشه های یافت شده و x=2 به محدوده مقادیر قابل قبول تعلق دارند یا خیر. ریشه ها تعلق دارند، بنابراین ریشه های معادله اصلی هستند و x=2 تعلق ندارد، بنابراین یک ریشه خارجی است.

پاسخ:

همچنین مفید خواهد بود که به طور جداگانه در مواردی صحبت کنیم که در یک معادله گویا کسری شکل یک عدد در صورت وجود دارد، یعنی زمانی که p(x) با مقداری نشان داده می شود. در عین حال

• اگر این عدد غیر صفر باشد، معادله هیچ ریشه ای ندارد، زیرا یک کسری برابر با صفر است اگر و فقط اگر عدد آن برابر با صفر باشد.
• اگر این عدد صفر باشد، ریشه معادله هر عددی از ODZ است.

مثال.

راه حل.

از آنجایی که شمارنده کسری در سمت چپ معادله حاوی یک عدد غیر صفر است، بنابراین برای هر x مقدار این کسر نمی تواند برابر با صفر باشد. بنابراین، این معادله ریشه ندارد.

پاسخ:

بدون ریشه

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

عدد کسری در سمت چپ این معادله گویا کسری حاوی صفر است، بنابراین مقدار این کسری برای هر x که منطقی است، صفر است. به عبارت دیگر راه حل این معادله هر مقدار x از ODZ این متغیر است.

تعیین این محدوده از مقادیر قابل قبول باقی مانده است. این شامل تمام مقادیر x است که برای آنها x 4 + 5 x 3 ≠0 است. راه حل های معادله x 4 + 5 x 3 = 0 0 و −5 هستند، زیرا این معادله معادل معادله x 3 (x+5)=0 است و به نوبه خود معادل ترکیب دو معادله x است. 3 = 0 و x +5 = 0، از جایی که این ریشه ها قابل مشاهده هستند. بنابراین، محدوده مورد نظر مقادیر قابل قبول هر x به جز x=0 و x=−5 است.

بنابراین، یک معادله گویا کسری راه حل های بی نهایت زیادی دارد که هر عددی به جز صفر و منهای پنج هستند.

پاسخ:

در نهایت، وقت آن است که در مورد حل معادلات گویا کسری به شکل دلخواه صحبت کنیم. آنها را می توان به صورت r(x)=s(x) نوشت، که در آن r(x) و s(x) عبارات گویا هستند و حداقل یکی از آنها کسری است. با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که راه حل آنها به حل معادلاتی از شکلی که قبلاً برای ما آشنا هستند، می رسد.

مشخص است که انتقال عبارت از قسمتی از معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف منجر به معادله معادل می شود، بنابراین معادله r(x)=s(x) معادل معادله r(x)−s(x است. )=0.

ما همچنین می دانیم که هر یک، به طور یکسان با این عبارت، ممکن است. بنابراین، ما همیشه می‌توانیم عبارت منطقی سمت چپ معادله r(x)−s(x)=0 را به یک کسر منطقی یکسان از شکل تبدیل کنیم.

بنابراین از معادله گویا کسری اصلی r(x)=s(x) به معادله حرکت می کنیم و حل آن همانطور که در بالا متوجه شدیم به حل معادله p(x)=0 تقلیل می یابد.

اما در اینجا لازم است این واقعیت را در نظر بگیریم که هنگام جایگزینی r(x)−s(x)=0 با و سپس با p(x)=0، دامنه مقادیر مجاز متغیر x ممکن است گسترش یابد. .

در نتیجه معادله اصلی r(x)=s(x) و معادله p(x)=0 که به آن رسیدیم ممکن است نابرابر باشند و با حل معادله p(x)=0 می‌توانیم ریشه بدست آوریم. که ریشه های خارجی معادله اصلی r(x)=s(x) خواهد بود. شما می توانید ریشه های اضافی را با انجام بررسی یا با بررسی اینکه متعلق به ODZ معادله اصلی هستند شناسایی کرده و در پاسخ وارد نکنید.

بیایید این اطلاعات را خلاصه کنیم الگوریتم حل معادله منطقی کسری r(x)=s(x). برای حل معادله گویا کسری r(x)=s(x) نیاز دارید

• با حرکت دادن عبارت از سمت راست با علامت مخالف، صفر را در سمت راست بگیرید.
• عملیات را با کسرها و چند جمله ای ها در سمت چپ معادله انجام دهید و در نتیجه آن را به کسری گویا از فرم تبدیل کنید.
• معادله p(x)=0 را حل کنید.
• ریشه های خارجی را شناسایی و حذف کنید که با جایگزینی آنها در معادله اصلی یا بررسی تعلق آنها به ODZ معادله اصلی انجام می شود.

برای وضوح بیشتر، کل زنجیره حل معادلات گویا کسری را نشان خواهیم داد:
.

بیایید به راه‌حل‌های چندین مثال با توضیح دقیق فرآیند راه‌حل نگاه کنیم تا بلوک اطلاعات داده شده را روشن کنیم.

مثال.

یک معادله گویا کسری را حل کنید.

راه حل.

ما مطابق با الگوریتم حلی که به دست آمده عمل خواهیم کرد. و ابتدا عبارت ها را از سمت راست معادله به سمت چپ منتقل می کنیم در نتیجه به معادله می رویم.

در مرحله دوم باید عبارت منطقی کسری در سمت چپ معادله حاصل را به شکل کسری تبدیل کنیم. برای این کار، کسرهای گویا را به مخرج مشترک تقلیل می دهیم و عبارت حاصل را ساده می کنیم: . بنابراین به معادله می رسیم.

در مرحله بعد باید معادله −2·x−1=0 را حل کنیم. x=−1/2 را پیدا می کنیم.

باید بررسی کنیم که آیا عدد یافت شده 1/2 یک ریشه خارجی معادله اصلی نیست. برای این کار می توانید VA متغیر x معادله اصلی را بررسی یا پیدا کنید. بیایید هر دو رویکرد را نشان دهیم.

بیایید با بررسی شروع کنیم. عدد -1/2 را به جای متغیر x در معادله اصلی قرار می دهیم و همان چیزی را بدست می آوریم -1=-1. جایگزینی برابری عددی صحیح را به دست می دهد، بنابراین x=−1/2 ریشه معادله اصلی است.

حال نشان خواهیم داد که آخرین نقطه الگوریتم چگونه از طریق ODZ انجام می شود. محدوده مقادیر قابل قبول معادله اصلی مجموعه همه اعداد به جز -1 و 0 است (در x=−1 و x=0 مخرج کسرها ناپدید می شوند). ریشه x=−1/2 یافت شده در مرحله قبل متعلق به ODZ است، بنابراین، x=−1/2 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

−1/2 .

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

ما باید یک معادله منطقی کسری را حل کنیم، بیایید تمام مراحل الگوریتم را طی کنیم.

ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم، دریافت می کنیم.

در مرحله دوم، عبارت تشکیل شده در سمت چپ را تبدیل می کنیم: . در نتیجه به معادله x=0 می رسیم.

ریشه آن واضح است - صفر است.

در مرحله چهارم، باید دریابیم که آیا ریشه یافت شده با معادله گویا کسری اصلی بیگانه است یا خیر. هنگامی که به معادله اصلی جایگزین می شود، عبارت به دست می آید. بدیهی است که منطقی نیست زیرا شامل تقسیم بر صفر است. از آنجا نتیجه می گیریم که 0 یک ریشه خارجی است. بنابراین معادله اصلی ریشه ندارد.

7 که به معادله منتهی می شود. از اینجا می توان نتیجه گرفت که عبارت در مخرج سمت چپ باید برابر با سمت راست باشد، یعنی . حالا از دو طرف ثلاث کم می کنیم: . به قیاس، از کجا، و بیشتر.

بررسی نشان می دهد که هر دو ریشه یافت شده ریشه های معادله گویا کسری اصلی هستند.

پاسخ:

مراجع

• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. در 2 ساعت قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.
• جبر:پایه نهم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2009. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-021134-5.

به بیان ساده، اینها معادلاتی هستند که در آنها حداقل یک متغیر در مخرج وجود دارد.

به عنوان مثال:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

مثال نهمعادلات گویا کسری:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

معادلات گویا کسری چگونه حل می شوند؟

نکته اصلی در مورد معادلات گویا کسری این است که باید در آنها بنویسید. و پس از یافتن ریشه ها حتما آنها را از نظر قابل قبول بودن بررسی کنید. در غیر این صورت ممکن است ریشه های خارجی ظاهر شود و کل تصمیم نادرست تلقی شود.

الگوریتم حل معادله منطقی کسری:

ODZ را بنویسید و "حل" کنید.

هر جمله در معادله را در مخرج مشترک ضرب کنید و کسرهای حاصل را باطل کنید. مخرج ها ناپدید می شوند.

معادله را بدون باز کردن پرانتز بنویسید.

معادله حاصل را حل کنید.

ریشه های یافت شده را با ODZ بررسی کنید.

ریشه هایی را که در مرحله 7 آزمون را پس داده اند، در پاسخ خود بنویسید.

الگوریتم را به خاطر بسپارید، 3-5 معادله حل شده را به خودی خود به خاطر بسپارید.

مثال . حل معادله گویا کسری \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

راه حل:

پاسخ: \(3\).

مثال . ریشه های معادله گویا کسری \(=0\) را پیدا کنید

راه حل:

پاسخ: \(\frac(1)(2)\).

«معادلات گویا با چند جمله‌ای» یکی از موضوعاتی است که اغلب با آن مواجه می‌شویم وظایف تستآزمون دولتی واحد در ریاضیات. به همین دلیل ارزش تکرار را دارند توجه ویژه. بسیاری از دانش‌آموزان با مشکل یافتن ممیز، انتقال شاخص‌ها از سمت راست به چپ و آوردن معادله به مخرج مشترک مواجه هستند، به همین دلیل است که انجام چنین وظایفی با مشکل مواجه می‌شود. حل معادلات منطقی در آماده سازی برای آزمون دولتی یکپارچه در وب سایت ما به شما کمک می کند تا به سرعت با مشکلات هر پیچیدگی کنار بیایید و آزمون را با رنگ های درخشان پشت سر بگذارید.

پورتال آموزشی Shkolkovo را انتخاب کنید تا با موفقیت برای امتحان ریاضی یکپارچه آماده شوید!

قوانین محاسبه مجهولات را بدانید و به راحتی بدست آورید نتایج صحیح، از خدمات آنلاین ما استفاده کنید. پورتال Shkolkovo یک پلت فرم منحصر به فرد است که شامل همه چیزهایی است که برای آماده شدن لازم است مواد آزمون دولتی یکپارچه. معلمان ما تمام قواعد ریاضی را به شکلی قابل درک و قابل فهم ارائه کردند. علاوه بر این، از دانش‌آموزان دعوت می‌کنیم تا دست خود را در حل معادلات عقلانی استاندارد امتحان کنند، که اساس آن به طور مداوم به روز و گسترش می‌یابد.

برای آمادگی مؤثرتر برای آزمایش، توصیه می کنیم روش خاص خود را دنبال کنید و با تکرار قوانین و حل مسائل ساده شروع کنید و به تدریج به سمت موارد پیچیده تر بروید. بنابراین، فارغ التحصیل قادر خواهد بود سخت ترین موضوعات را برای خود شناسایی کند و بر مطالعه آنها تمرکز کند.

آماده شدن برای تست نهایی را با Shkolkovo از امروز شروع کنید و نتایج دیری نخواهد آمد! بیشترین را انتخاب کنید مثال آساناز پیشنهادات اگر به سرعت بر بیان تسلط پیدا کردید، به سراغ موارد بیشتری بروید کار دشوار. به این ترتیب می توانید دانش خود را تا حد حل تکالیف USE در ریاضیات در سطح تخصصی ارتقا دهید.

آموزش نه تنها برای فارغ التحصیلان مسکو، بلکه برای دانش آموزان دیگر شهرها نیز در دسترس است. برای مثال، چند ساعت در روز را صرف مطالعه در پورتال ما کنید، و خیلی زود قادر خواهید بود با معادلات هر پیچیدگی کنار بیایید!