5x (x - 4) = 0

5 x = 0 یا x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

پس از یادگیری حل معادلات درجه یک، البته، شما می خواهید با دیگران کار کنید، به ویژه با معادلات درجه دوم که در غیر این صورت به آنها درجه دوم می گویند.

معادلات درجه دوم معادلاتی هستند مانند ax² + bx + c = 0 که در آن متغیر x است، اعداد a، b، c هستند که a برابر با صفر نیست.

اگر در یک معادله درجه دوم یکی یا آن ضریب (c یا b) برابر با صفر باشد، این معادله به عنوان یک معادله درجه دوم ناقص طبقه بندی می شود.

در صورتی که دانش آموزان تا کنون فقط قادر به حل معادلات درجه یک بوده اند چگونه یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم؟ معادلات درجه دوم ناقص را در نظر بگیرید انواع متفاوتو راه های ساده برای حل آنها

الف) اگر ضریب c برابر 0 باشد و ضریب b برابر با صفر نباشد، ax ² + bx + 0 = 0 به معادله ای به شکل ax ² + bx = 0 کاهش می یابد.

برای حل چنین معادله ای باید فرمول حل یک معادله درجه دوم ناقص را بدانید که عبارت است از: سمت چپآن را فاکتور کنید و بعداً از شرط صفر بودن محصول استفاده کنید.

به عنوان مثال، 5x² - 20x = 0. ما سمت چپ معادله را فاکتور می کنیم، در حالی که کارهای معمول را انجام می دهیم. عملیات ریاضی: خارج کردن ضریب کل از پرانتز

5x (x - 4) = 0

از شرطی استفاده می کنیم که محصولات برابر با صفر باشند.

5 x = 0 یا x - 4 = 0

پاسخ این خواهد بود: ریشه اول 0 است. ریشه دوم 4 است.

ب) اگر b = 0، و جمله آزاد برابر با صفر نباشد، معادله ax ² + 0x + c = 0 به معادله ای به شکل ax ² + c = 0 کاهش می یابد. معادلات به دو روش حل می شوند. : الف) با فاکتورگیری چند جمله ای معادله سمت چپ . ب) استفاده از خصوصیات حساب ریشه دوم. چنین معادله ای را می توان با استفاده از یکی از روش ها حل کرد، به عنوان مثال:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. پاسخ این خواهد بود: ریشه اول 5/2 است. ریشه دوم برابر است با - 5/2.

ج) اگر b برابر 0 و c برابر با 0 باشد، ax ² + 0 + 0 = 0 به معادله ای به شکل ax ² = 0 تقلیل می یابد. در چنین معادله ای x برابر با 0 خواهد بود.

همانطور که می بینید، معادلات درجه دوم ناقص نمی توانند بیش از دو ریشه داشته باشند.

معادلات درجه دوم اغلب هنگام حل مسائل مختلف در فیزیک و ریاضیات ظاهر می شوند. در این مقاله به چگونگی حل این برابری ها به روشی جهانی "از طریق یک ممیز" خواهیم پرداخت. نمونه هایی از استفاده از دانش کسب شده نیز در مقاله آورده شده است.

در مورد چه معادلاتی صحبت خواهیم کرد؟

شکل زیر فرمولی را نشان می دهد که در آن x یک متغیر مجهول است و نمادهای لاتین a، b، c نشان دهنده برخی از اعداد شناخته شده است.

به هر یک از این نمادها یک ضریب می گویند. همانطور که می بینید، عدد "a" قبل از متغیر x به مربع ظاهر می شود. این حداکثر توان عبارت نمایش داده شده است، به همین دلیل است که به آن معادله درجه دوم می گویند. نام دیگر آن اغلب استفاده می شود: معادله مرتبه دوم. مقدار a خود یک ضریب مربع (ایستاده با متغیر مربع است)، b یک ضریب خطی است (در کنار متغیری است که به توان اول افزایش یافته است) و در نهایت عدد c عبارت آزاد است.

توجه داشته باشید که نوع معادله نشان داده شده در شکل بالا یک عبارت درجه دوم کلاسیک عمومی است. علاوه بر آن، معادلات مرتبه دوم دیگری نیز وجود دارد که در آنها ضرایب b و c می تواند صفر باشد.

هنگامی که وظیفه برای حل برابری مورد نظر تنظیم شده است، این بدان معنی است که چنین مقادیری از متغیر x باید پیدا شود که آن را برآورده کند. در اینجا، اولین چیزی که باید به خاطر بسپارید این است: از آنجایی که حداکثر درجه X 2 است، پس این نوع بیان نمی تواند بیش از 2 راه حل داشته باشد. این بدان معناست که اگر هنگام حل یک معادله، 2 مقدار x پیدا شد که آن را برآورده می کند، می توانید مطمئن باشید که عدد 3 وجود ندارد و آن را جایگزین x کنید، تساوی نیز درست خواهد بود. جواب یک معادله را در ریاضیات ریشه آن می نامند.

روش های حل معادلات مرتبه دوم

حل معادلات از این نوع مستلزم آگاهی از برخی نظریه ها در مورد آنها است. که در دوره مدرسهجبرها 4 را در نظر می گیرند روش های مختلفراه حل ها بیایید آنها را فهرست کنیم:

• با استفاده از فاکتورسازی؛
• با استفاده از فرمول مربع کامل؛
• با اعمال نمودار تابع درجه دوم مربوطه؛
• با استفاده از معادله تفکیک

مزیت روش اول سادگی آن است، اما نمی توان از آن برای همه معادلات استفاده کرد. روش دوم جهانی است، اما تا حدودی دست و پا گیر است. روش سوم با وضوح آن متمایز است، اما همیشه راحت و قابل اجرا نیست. و در نهایت، استفاده از معادله تمایز یک راه جهانی و نسبتاً ساده برای یافتن ریشه‌های مطلقاً هر معادله مرتبه دوم است. بنابراین، در مقاله ما فقط آن را در نظر خواهیم گرفت.

فرمول به دست آوردن ریشه های معادله

بیایید به ظاهر عمومیمعادله درجه دوم. بیایید آن را بنویسیم: a*x²+ b*x + c =0. قبل از استفاده از روش حل آن "از طریق تشخیص"، باید همیشه برابری را به شکل نوشتاری آن بیاورید. یعنی باید از سه جمله (یا کمتر اگر b یا c 0 باشد) تشکیل شده باشد.

برای مثال، اگر عبارتی وجود داشته باشد: x²-9*x+8 = -5*x+7*x²، ابتدا باید تمام عبارت‌های آن را به یک سمت برابری منتقل کنید و عبارت‌های حاوی متغیر x را به آن اضافه کنید. همان قدرت ها

که در در این مورداین عمل به عبارت زیر منجر می شود: -6*x²-4*x+8=0 که معادل معادله 6*x²+4*x-8=0 است (در اینجا ما سمت چپ و راست را ضرب کردیم. برابری 1-).

در مثال بالا، a = 6، b=4، c=-8. توجه داشته باشید که تمام عبارات تساوی مورد بررسی همیشه با هم جمع می شوند، بنابراین اگر علامت "-" ظاهر شود، به این معنی است که ضریب مربوطه مانند عدد c در این مورد منفی است.

پس از بررسی این نکته، اجازه دهید اکنون به خود فرمول برویم، که به دست آوردن ریشه های یک معادله درجه دوم را ممکن می سازد. به نظر می رسد که در عکس زیر نشان داده شده است.

همانطور که از این عبارت مشخص است، به شما امکان می دهد دو ریشه بگیرید (به علامت "±" توجه کنید). برای این کار کافی است ضرایب b و c و a را جایگزین آن کنید.

مفهوم ممیز

در پاراگراف قبلی، فرمولی داده شد که به شما امکان می دهد هر معادله مرتبه دوم را به سرعت حل کنید. در آن، عبارت رادیکال تفکیک کننده نامیده می شود، یعنی D = b²-4*a*c.

چرا این قسمت از فرمول برجسته شده است و حتی دارد اسم مناسب? واقعیت این است که ممیز هر سه ضریب معادله را به یک عبارت واحد متصل می کند. واقعیت اخیر به این معنی است که کاملاً حاوی اطلاعاتی در مورد ریشه ها است که می تواند در لیست زیر بیان شود:

1. D>0: تساوی دارای 2 راه حل مختلف است که هر دو اعداد واقعی هستند.
2. D=0: معادله فقط یک ریشه دارد و آن یک عدد واقعی است.

وظیفه تعیین تمایز

بیایید یک مثال ساده از نحوه پیدا کردن یک ممیز ارائه کنیم. اجازه دهید برابری زیر داده شود: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

بیایید آن را به شکل استاندارد بیاوریم، دریافت می کنیم: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0، که از آن به برابری می رسیم : -2*x² +2*x-11 = 0. در اینجا a=-2، b=2، c=-11.

اکنون می توانید از فرمول بالا برای تشخیص دهنده استفاده کنید: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. عدد حاصل پاسخ کار است. از آنجایی که در مثال ممیز کمتر از صفر، پس می توان گفت که این معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد. راه حل آن فقط اعداد از نوع مختلط خواهد بود.

نمونه ای از نابرابری از طریق ممیز

بیایید مسائل از نوع کمی متفاوت را حل کنیم: با توجه به برابری -3*x²-6*x+c = 0. لازم است مقادیر c را پیدا کنیم که برای آنها D>0 باشد.

در این حالت از 3 ضریب فقط 2 ضریب مشخص است بنابراین نمی توان مقدار دقیق ممیز را محاسبه کرد اما مثبت بودن آن مشخص است. ما از آخرین واقعیت هنگام نوشتن نابرابری استفاده می کنیم: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. حل نابرابری حاصل به نتیجه می رسد: c>-3.

بیایید عدد حاصل را بررسی کنیم. برای این کار D را برای 2 حالت c=-2 و c=-4 محاسبه می کنیم. عدد -2 نتیجه به دست آمده (-2>-3) را برآورده می کند، ممیز مربوطه مقدار D = 12>0 را خواهد داشت. به نوبه خود، عدد -4 نابرابری (-4) را برآورده نمی کند. بنابراین، هر عدد c که بزرگتر از -3 باشد، شرط را برآورده می کند.

نمونه ای از حل معادله

اجازه دهید مسئله ای را ارائه کنیم که نه تنها شامل یافتن ممیز، بلکه حل معادله نیز می شود. باید ریشه های برابری -2*x²+7-9*x = 0 را پیدا کرد.

در این مثال، ممیز است مقدار بعدی: D = 81-4*(-2)*7= 137. سپس ریشه های معادله به صورت زیر تعیین می شود: x = (9±√137)/(-4). این مقادیر دقیق ریشه ها هستند، اگر ریشه را تقریباً محاسبه کنید، اعداد را دریافت می کنید: x = -5.176 و x = 0.676.

مسئله هندسی

بیایید مشکلی را حل کنیم که نه تنها به توانایی محاسبه متمایز، بلکه به استفاده از مهارت های تفکر انتزاعی و دانش نحوه نوشتن معادلات درجه دوم نیاز دارد.

باب یک لحاف 5*4 متری داشت. پسر می خواست یک نوار پیوسته بدوزد پارچه زیبا. اگر بدانیم که باب 10 متر مربع پارچه دارد، این نوار چقدر ضخیم خواهد بود.

بگذارید نوار ضخامت x متر داشته باشد، سپس مساحت پارچه است سمت طولانیپتو (5+2*x)*x خواهد بود و از آنجایی که 2 ضلع بلند وجود دارد، داریم: 2*x*(5+2*x). در ضلع کوتاه، مساحت پارچه دوخته شده 4*x خواهد بود، چون 2 تا از این ضلع ها وجود دارد، مقدار 8*x را به دست می آوریم. توجه داشته باشید که 2*x به ضلع بلند اضافه شده است زیرا طول پتو به این تعداد افزایش یافته است. مساحت کل پارچه دوخته شده به پتو 10 متر مربع است. بنابراین، برابری را بدست می آوریم: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

برای این مثال، ممیز برابر است با: D = 18²-4*4*(-10) = 484. ریشه آن 22 است. با استفاده از فرمول، ریشه های مورد نیاز را پیدا می کنیم: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5؛ 0.5). بدیهی است که از بین دو ریشه، تنها عدد 0.5 با توجه به شرایط مسئله مناسب است.

بنابراین، نوار پارچه ای که باب به پتو می دوزد، 50 سانتی متر عرض خواهد داشت.

یک معادله درجه دوم ناقص با معادلات کلاسیک (کامل) تفاوت دارد زیرا عوامل یا جمله آزاد آن برابر با صفر است. نمودار چنین توابعی سهمی هستند. بسته به ظاهر کلی آنها به 3 گروه تقسیم می شوند. اصول حل برای همه انواع معادلات یکسان است.

هیچ چیز پیچیده ای در تعیین نوع چند جمله ای ناقص وجود ندارد. بهتر است تفاوت های اصلی را با استفاده از مثال های بصری در نظر بگیرید:

1. اگر b = 0، معادله ax 2 + c = 0 است.
2. اگر c = 0 باشد، عبارت ax 2 + bx = 0 باید حل شود.
3. اگر b = 0 و c = 0، آنگاه چند جمله ای به تساوی مانند ax 2 = 0 تبدیل می شود.

مورد دوم بیشتر یک امکان تئوری است و هرگز در کارهای تست دانش رخ نمی دهد، زیرا تنها مقدار صحیح متغیر x در عبارت صفر است. در آینده روش ها و نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم ناقص انواع 1) و 2) مورد توجه قرار خواهد گرفت.

الگوریتم کلی برای جستجوی متغیرها و مثال ها با راه حل

صرف نظر از نوع معادله، الگوریتم حل به مراحل زیر کاهش می یابد:

1. عبارت را به شکلی مناسب برای یافتن ریشه کاهش دهید.
2. محاسبات را انجام دهید.
3. پاسخ را یادداشت کنید.

ساده ترین راه برای حل معادلات ناقص این است که سمت چپ را فاکتور کنید و در سمت راست یک صفر بگذارید. بنابراین، فرمول یک معادله درجه دوم ناقص برای یافتن ریشه ها به محاسبه مقدار x برای هر یک از عوامل کاهش می یابد.

شما فقط می توانید نحوه حل آن را در عمل یاد بگیرید، بنابراین بیایید در نظر بگیریم مثال خاصپیدا کردن ریشه یک معادله ناقص:

همانطور که می بینید، در این مورد b = 0. بیایید سمت چپ را فاکتور بگیریم و عبارت را بدست آوریم:

4 (x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

بدیهی است که حاصلضرب زمانی برابر با صفر است که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد. مقادیر متغیر x1 = 0.5 و (یا) x2 = -0.5 الزامات مشابهی را برآورده می کند.

برای اینکه به راحتی و به سرعت با کار تجزیه کنار بیایید سه جمله ای درجه دومبه عوامل، فرمول زیر را به خاطر بسپارید:

اگر اصطلاح آزاد در بیان وجود نداشته باشد، مشکل بسیار ساده می شود. فقط کافی است مخرج مشترک را پیدا کنید و در پرانتز قرار دهید. برای وضوح، مثالی از نحوه حل معادلات درجه دوم ناقص به شکل ax2 + bx = 0 را در نظر بگیرید.

بیایید متغیر x را از پرانتز خارج کنیم و عبارت زیر را بدست آوریم:

x ⋅ (x + 3) = 0.

با هدایت منطق، به این نتیجه می رسیم که x1 = 0، و x2 = -3.

روش حل سنتی و معادلات درجه دوم ناقص

اگر فرمول تفکیک را اعمال کنید و سعی کنید ریشه های یک چند جمله ای با ضرایب برابر با صفر را پیدا کنید چه اتفاقی می افتد؟ بیایید یک مثال از مجموعه بیاوریم وظایف معمولیبرای آزمون دولتی واحد در ریاضیات 2017، آن ​​را با استفاده از فرمول های استاندارد و روش فاکتورگیری حل می کنیم.

7x 2 – 3x = 0.

بیایید مقدار متمایز را محاسبه کنیم: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. معلوم می شود که چند جمله ای دو ریشه دارد:

حال بیایید معادله را با فاکتورگیری حل کنیم و نتایج را با هم مقایسه کنیم.

X ⋅ (7x + 3) = 0،

2) 7x + 3 = 0،
7x = -3،
x = -.

همانطور که می بینید، هر دو روش نتیجه یکسانی دارند، اما حل معادله با استفاده از روش دوم بسیار ساده تر و سریعتر بود.

قضیه ویتا

اما با قضیه مورد علاقه ویتا چه باید کرد؟ آیا می توان از این روش در مواقعی که سه جمله ناقص است استفاده کرد؟ بیایید سعی کنیم جنبه های بازیگری را درک کنیم معادلات کاملبه ظاهر کلاسیک ax2 + bx + c = 0.

در واقع می توان قضیه ویتا را در این مورد اعمال کرد. فقط لازم است که عبارت را به شکل کلی خود بیاوریم و عبارات گمشده را با صفر جایگزین کنیم.

مثلاً با b = 0 و a = 1، برای از بین بردن احتمال اشتباه، باید کار را به شکل ax2 + 0 + c = 0 نوشت. سپس نسبت جمع و حاصل ضرب ریشه ها و عوامل چند جمله ای را می توان به صورت زیر بیان کرد:

محاسبات نظری به آشنایی با اصل موضوع کمک می کند و همیشه در هنگام حل نیاز به تمرین مهارت دارد. وظایف خاص. بیایید دوباره به کتاب مرجع وظایف استاندارد برای آزمون یکپارچه دولتی برگردیم و یک مثال مناسب پیدا کنیم:

اجازه دهید عبارت را به شکلی بنویسیم که برای به کارگیری قضیه ویتا مناسب است:

x 2 + 0 - 16 = 0.

مرحله بعدی ایجاد یک سیستم از شرایط است:

بدیهی است که ریشه های چند جمله ای درجه دوم x 1 = 4 و x 2 = -4 خواهد بود.

حالا بیایید تمرین کنیم که معادله را به شکل کلی آن برسانیم. بیایید مثال زیر را در نظر بگیریم: 1/4× 2 – 1 = 0

برای اعمال قضیه ویتا بر یک عبارت، باید از کسر خلاص شد. بیایید ضلع چپ و راست را در 4 ضرب کنیم و به نتیجه نگاه کنیم: x2– 4 = 0. برابری حاصل با قضیه ویتا حل می‌شود، اما با حرکت دادن c= بسیار ساده‌تر و سریع‌تر می‌توان به پاسخ پاسخ داد. 4 در سمت راست معادله: x2 = 4.

به طور خلاصه باید گفت که بهترین راهراه حل ها معادلات ناقصفاکتورسازی است، ساده ترین و روش سریع. اگر در روند جستجوی ریشه ها مشکلاتی ایجاد شد، می توانید تماس بگیرید روش سنتیریشه یابی از طریق ممیز.

فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم. موارد ریشه های واقعی، متعدد و پیچیده در نظر گرفته شده است. فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم. تفسیر هندسی نمونه هایی از تعیین ریشه و فاکتورسازی.

فرمول های پایه

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید:
(1) .
ریشه های یک معادله درجه دوم(1) با فرمول های زیر تعیین می شود:
; .
این فرمول ها را می توان به صورت زیر ترکیب کرد:
.
هنگامی که ریشه های یک معادله درجه دوم مشخص است، آنگاه یک چند جمله ای درجه دوم را می توان به عنوان حاصلضرب عوامل (فاکتور) نشان داد:
.

بعد فرض می کنیم که اعداد واقعی هستند.
در نظر بگیریم تمایز یک معادله درجه دوم:
.
اگر ممیز مثبت باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه واقعی متفاوت است:
; .
سپس فاکتورسازی مثلثی درجه دوم به شکل زیر است:
.
اگر ممیز برابر با صفر باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه واقعی چندگانه (برابر) است:
.
فاکتورسازی:
.
اگر ممیز منفی باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه مزدوج پیچیده است:
;
.
در اینجا واحد خیالی، ;
و قسمت های واقعی و خیالی ریشه ها هستند:
; .
سپس

.

تفسیر گرافیکی

اگر بسازید نمودار یک تابع
,
که سهمی است، سپس نقاط تلاقی نمودار با محور، ریشه معادله خواهد بود.
.
در نمودار، محور x (محور) را در دو نقطه قطع می کند.
هنگامی که نمودار، محور x را در یک نقطه لمس می کند.
هنگامی که نمودار از محور x عبور نمی کند.

در زیر نمونه هایی از این گونه نمودارها آورده شده است.

فرمول های مفید مربوط به معادله درجه دوم

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

ما تبدیل ها را انجام می دهیم و فرمول های (f.1) و (f.3) را اعمال می کنیم:




,
جایی که
; .

بنابراین، ما فرمول چند جمله ای درجه دوم را به شکل زیر دریافت کردیم:
.
این نشان می دهد که معادله

انجام شده در
و .
یعنی و ریشه های معادله درجه دوم هستند
.

نمونه هایی از تعیین ریشه های یک معادله درجه دوم

مثال 1

(1.1) .

راه حل

.
با مقایسه با معادله ما (1.1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
از آنجایی که ممیز مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد:
;
;
.

از این، فاکتورسازی سه جمله درجه دوم را به دست می آوریم:

.

نمودار تابع y = 2 x 2 + 7 x + 3محور x را در دو نقطه قطع می کند.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. از محور آبسیسا (محور) در دو نقطه عبور می کند:
و .
این نقاط ریشه معادله اصلی (1.1) هستند.

پاسخ

;
;
.

مثال 2

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید:
(2.1) .

راه حل

بیایید معادله درجه دوم را به صورت کلی بنویسیم:
.
در مقایسه با معادله اصلی (2.1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
از آنجایی که ممیز صفر است، معادله دارای دو ریشه چندگانه (برابر) است:
;
.

سپس فاکتورگیری مثلثی به شکل زیر است:
.

نمودار تابع y = x 2 - 4 x + 4محور x را در یک نقطه لمس می کند.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. محور x (محور) را در یک نقطه لمس می کند:
.
این نقطه ریشه معادله اصلی (2.1) است. زیرا این ریشه دو بار فاکتور می شود:
,
سپس چنین ریشه ای معمولاً مضرب نامیده می شود. یعنی معتقدند دو ریشه مساوی وجود دارد:
.

پاسخ

;
.

مثال 3

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید:
(3.1) .

راه حل

بیایید معادله درجه دوم را به صورت کلی بنویسیم:
(1) .
بیایید معادله اصلی (3.1) را بازنویسی کنیم:
.
در مقایسه با (1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
ممیز منفی است، . بنابراین هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

شما می توانید ریشه های پیچیده را پیدا کنید:
;
;
.

سپس


.

نمودار تابع از محور x عبور نمی کند. هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. محور x را قطع نمی کند. بنابراین هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

پاسخ

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. ریشه های پیچیده:
;
;
.