در دوره های راهنمایی و دبیرستان، دانش آموزان موضوع "کسری" را پوشش دادند. با این حال، این مفهوم بسیار گسترده تر از آنچه در فرآیند یادگیری ارائه شده است. امروزه با مفهوم کسری اغلب مواجه می‌شویم و همه نمی‌توانند هر عبارتی را محاسبه کنند، مثلاً ضرب کسرها.

کسری چیست؟

از نظر تاریخی، اعداد کسری به دلیل نیاز به اندازه گیری به وجود آمدند. همانطور که تمرین نشان می دهد، اغلب نمونه هایی از تعیین طول یک قطعه و حجم یک مستطیل مستطیلی وجود دارد.

در ابتدا دانش آموزان با مفهوم سهم آشنا می شوند. به عنوان مثال، اگر یک هندوانه را به 8 قسمت تقسیم کنید، به هر نفر یک هشتم هندوانه می رسد. به این یک قسمت از هشت، سهم می گویند.

سهمی معادل ½ از هر ارزشی نصف نامیده می شود. ⅓ - سوم؛ ¼ - یک چهارم. رکوردهای شکل 5/8، 4/5، 2/4 کسر معمولی نامیده می شوند. کسر مشترک به صورت و مخرج تقسیم می شود. بین آنها نوار کسر یا نوار کسر قرار دارد. خط کسری را می توان به صورت افقی یا مایل رسم کرد. که در در این موردنشان دهنده علامت تقسیم است.

مخرج نشان می دهد که مقدار یا شیء به چند قسمت مساوی تقسیم می شود. و شمارش تعداد سهام یکسان است. صورت در بالای خط کسری و مخرج زیر آن نوشته می شود.

نشان دادن کسرهای معمولی روی یک پرتو مختصات راحت‌تر است. اگر یک قطعه واحد به 4 قسمت مساوی تقسیم شده است، هر قسمت را برچسب بزنید حرف لاتین، پس نتیجه می تواند یک کمک بصری عالی باشد. بنابراین، نقطه A سهمی برابر با 1/4 از کل بخش واحد را نشان می دهد و نقطه B 2/8 از یک بخش معین را نشان می دهد.

انواع کسر

کسرها می توانند اعداد معمولی، اعشاری و مختلط باشند. علاوه بر این، کسرها را می توان به مناسب و نامناسب تقسیم کرد. این طبقه بندی بیشتر برای کسرهای معمولی مناسب است.

کسری مناسب عددی است که صورت آن باشد کمتر از مخرج. بر این اساس کسری نامناسب عددی است که صورت آن بزرگتر از مخرج آن باشد. نوع دوم معمولاً به صورت عدد مختلط نوشته می شود. این عبارت از یک عدد صحیح و یک قسمت کسری تشکیل شده است. به عنوان مثال، 1 ½. 1 - کل بخش، ½ - کسری. با این حال، اگر شما نیاز به انجام برخی دستکاری ها با عبارت (تقسیم یا ضرب کسرها، کاهش یا تبدیل آنها دارید)، عدد مختلط به کسری نامناسب تبدیل می شود.

یک عبارت کسری صحیح همیشه کمتر از یک است و یک عبارت نادرست همیشه بزرگتر یا مساوی 1 است.

در مورد این عبارت، منظور ما رکوردی است که در آن هر عددی نمایش داده می شود که مخرج عبارت کسری آن را می توان بر حسب یک با چندین صفر بیان کرد. اگر کسری مناسب باشد، آنگاه قسمت صحیح در نماد اعشاری برابر با صفر خواهد بود.

برای نوشتن کسر اعشاری ابتدا باید کل قسمت را بنویسید و با استفاده از کاما آن را از کسر جدا کنید و سپس عبارت کسر را بنویسید. باید به خاطر داشت که پس از نقطه اعشار، شمارنده باید دارای همان تعداد کاراکترهای دیجیتال باشد که در مخرج صفر وجود دارد.

مثال. کسر 7 21 / 1000 را با نماد اعشاری بیان کنید.

الگوریتم تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط و بالعکس

نوشتن کسری نامناسب در پاسخ یک مسئله نادرست است، بنابراین باید به عدد مختلط تبدیل شود:

• صورت را بر مخرج موجود تقسیم کنید.
• V مثال خاصضریب ناقص - کل؛
• و باقیمانده صورت بخش کسری است و مخرج آن بدون تغییر باقی می ماند.

مثال. تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط: 47 / 5.

راه حل. 47: 5. نصاب جزئی 9 است، باقیمانده = 2. بنابراین، 47 / 5 = 9 2 / 5 است.

گاهی لازم است یک عدد مختلط را به عنوان کسر نامناسب نشان دهید. سپس باید از الگوریتم زیر استفاده کنید:

• قسمت صحیح در مخرج عبارت کسری ضرب می شود.
• محصول حاصل به شمارنده اضافه می شود.
• نتیجه در صورتگر نوشته می شود، مخرج بدون تغییر باقی می ماند.

مثال. عدد مختلط را به صورت کسر نامناسب ارائه دهید: 9 8 / 10.

راه حل. 9 × 10 + 8 = 90 + 8 = 98 صورت شمار است.

پاسخ: 98 / 10.

ضرب کسرها

عملیات جبری مختلفی را می توان بر روی کسرهای معمولی انجام داد. برای ضرب دو عدد باید صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب کنید. علاوه بر این، ضرب کسری با مخرج های مختلف هیچ تفاوتی با محصول ندارد اعداد کسریبا مخرج های یکسان

این اتفاق می افتد که پس از یافتن نتیجه باید کسر را کاهش دهید. ضروری است که عبارت حاصل را تا حد امکان ساده کنید. البته نمی توان گفت که کسر نامناسب در پاسخ خطا است، اما به سختی می توان آن را پاسخ صحیح نامید.

مثال. حاصل ضرب دو کسر معمولی ½ و 20/18 را بیابید.

همانطور که از مثال مشخص است، پس از یافتن حاصل ضرب، یک نماد کسری تقلیل پذیر به دست می آید. هم صورت و هم مخرج در این حالت بر 4 تقسیم می شوند و نتیجه 5/9 است.

ضرب کسرهای اعشاری

کار کنید اعداد اعشاریکاملاً با کارهای معمولی در اصل متفاوت است. بنابراین، ضرب کسرها به صورت زیر است:

• دو کسر اعشاری باید یکی زیر دیگری نوشته شود تا سمت راست ترین ارقام یکی زیر دیگری باشد.
• شما باید اعداد نوشته شده را با وجود کاما ضرب کنید، یعنی به صورت اعداد طبیعی.
• تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار در هر عدد را بشمارید.
• در نتیجه حاصل از ضرب ، باید از سمت راست تعداد نمادهای دیجیتالی را که در مجموع هر دو فاکتور پس از نقطه اعشار وجود دارد ، بشمارید و یک علامت جداکننده قرار دهید.
• اگر تعداد اعداد کمتری در محصول وجود دارد، باید جلوی آنها صفر بنویسید تا این عدد را پوشش دهد، کاما بگذارید و کل قسمت را برابر با صفر جمع کنید.

مثال. حاصل ضرب دو کسر اعشاری 2.25 و 3.6 را محاسبه کنید.

راه حل.

ضرب کسرهای مختلط

برای محاسبه حاصل ضرب دو کسر مختلط، باید از قانون ضرب کسرها استفاده کنید:

• تبدیل اعداد مختلط به کسرهای نامناسب
• حاصل ضرب اعداد را بیابید.
• حاصل ضرب مخرج ها را بیابید.
• نتیجه را یادداشت کنید؛
• تا حد امکان بیان را ساده کنید.

مثال. حاصل ضرب 4½ و 6 2/5 را بیابید.

ضرب یک عدد در کسری (کسری در یک عدد)

علاوه بر یافتن حاصل ضرب دو کسر و اعداد مختلط، کارهایی وجود دارد که باید در کسری ضرب کنید.

بنابراین، برای پیدا کردن حاصل ضرب کسری اعشاری و یک عدد طبیعی، شما نیاز دارید:

• عدد زیر کسر را طوری بنویسید که سمت راست ترین ارقام یکی بالای دیگری باشد.
• محصول را با وجود کاما پیدا کنید.
• در نتیجه، قسمت عدد صحیح را با استفاده از کاما از قسمت کسری جدا کنید و از سمت راست تعداد ارقامی را که بعد از نقطه اعشار در کسری قرار دارند بشمارید.

برای ضرب یک کسر مشترک در یک عدد، باید حاصل ضرب عدد و عامل طبیعی را پیدا کنید. اگر پاسخ به کسری تبدیل شود که قابل کاهش است، باید تبدیل شود.

مثال. حاصل ضرب 5/8 و 12 را محاسبه کنید.

راه حل. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

پاسخ: 7 1 / 2.

همانطور که از مثال قبلی می بینید، لازم بود که نتیجه حاصل را کاهش دهیم و عبارت کسری نادرست را به عدد مختلط تبدیل کنیم.

ضرب کسرها نیز مربوط به یافتن حاصل ضرب یک عدد به صورت مخلوط و یک عامل طبیعی است. برای ضرب این دو عدد باید کل ضریب مختلط را در عدد ضرب کنید، عدد را در همان مقدار ضرب کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. در صورت لزوم، باید نتیجه حاصل را تا حد امکان ساده کنید.

مثال. حاصل ضرب 9 5 / 6 و 9 را پیدا کنید.

راه حل. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

پاسخ: 88 1 / 2.

ضرب در عوامل 10، 100، 1000 یا 0.1. 0.01; 0.001

قاعده زیر از پاراگراف قبل ناشی می شود. برای ضرب یک کسری اعشاری در 10، 100، 1000، 10000 و غیره، باید نقطه اعشار را به تعداد صفرهایی که در فاکتور بعد از یک وجود دارد به سمت راست منتقل کنید.

مثال 1. حاصل ضرب 0.065 و 1000 را پیدا کنید.

راه حل. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

پاسخ: 65.

مثال 2. حاصل ضرب 3.9 و 1000 را پیدا کنید.

راه حل. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

پاسخ: 3900.

اگر باید یک عدد طبیعی را در 0.1 ضرب کنید؛ 0.01; 0.001; 0.0001 و غیره، باید کاما را در محصول به دست آمده با تعداد کاراکترهای رقمی به اندازه صفرهای قبل از یک به سمت چپ منتقل کنید. در صورت لزوم تعداد کافی صفر قبل از عدد طبیعی نوشته می شود.

مثال 1. حاصل ضرب 56 و 0.01 را پیدا کنید.

راه حل. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

پاسخ: 0,56.

مثال 2. حاصل ضرب 4 و 0.001 را پیدا کنید.

راه حل. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

پاسخ: 0,004.

بنابراین، یافتن حاصل ضرب کسرهای مختلف نباید مشکلی ایجاد کند، جز اینکه شاید بتوان نتیجه را محاسبه کرد. در این مورد، شما به سادگی نمی توانید بدون ماشین حساب انجام دهید.

اعشاری زمانی استفاده می شود که شما نیاز به انجام عملیات با اعداد غیر صحیح دارید. این ممکن است غیر منطقی به نظر برسد. اما این نوع اعداد عملیات ریاضی را که باید با آنها انجام شود بسیار ساده می کند. این درک به مرور زمان به وجود می آید که نوشتن آنها آشنا می شود و خواندن آنها مشکلی ایجاد نمی کند و قوانین کسرهای اعشاری مسلط شده است. علاوه بر این، تمام اعمال، اقدامات شناخته شده را که با اعداد طبیعی آموخته شده اند، تکرار می کنند. فقط باید برخی از ویژگی ها را به خاطر بسپارید.

تعریف اعشاری

اعشار نمایش خاصی از یک عدد غیر صحیح با مخرجی است که بر 10 بخش پذیر است و پاسخ را به صورت یک و احتمالاً صفر می دهد. به عبارت دیگر، اگر مخرج 10، 100، 1000 و غیره باشد، بازنویسی عدد با استفاده از کاما راحت تر است. سپس کل قسمت قبل از آن قرار می گیرد و سپس قسمت کسری. علاوه بر این، ضبط نیمه دوم عدد به مخرج آن بستگی دارد. تعداد ارقامی که در قسمت کسری هستند باید با رقم مخرج برابر باشد.

موارد فوق را می توان با این اعداد نشان داد:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

دلایل استفاده از اعشار

ریاضیدانان به چند دلیل به اعشار نیاز داشتند:

ساده سازی ضبط چنین کسری در امتداد یک خط بدون خط تیره بین مخرج و صورت قرار دارد، در حالی که وضوح آسیب نمی بیند.

سادگی در مقایسه. کافی است به سادگی اعدادی را که در موقعیت های یکسان هستند به هم مرتبط کنید، در حالی که با کسرهای معمولی باید آنها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

محاسبات را ساده کنید.

ماشین حساب ها برای پذیرش کسری طراحی نشده اند.

چگونه چنین اعدادی را به درستی بخوانیم؟

پاسخ ساده است: درست مانند یک عدد مختلط معمولی با مخرجی که مضربی از 10 است. تنها استثنا کسری بدون مقدار صحیح است، سپس هنگام خواندن باید "عدد صحیح صفر" را تلفظ کنید.

به عنوان مثال، 45/1000 باید به صورت تلفظ شود چهل و پنج هزارم، در همان زمان 0.045 به نظر می رسد نقطه صفر چهل و پنج هزارم.

یک عدد مختلط با جزء صحیح 7 و کسری از 17/100 که به صورت 7.17 نوشته می شود، در هر دو مورد به صورت خوانده می شود. هفت نقطه هفده.

نقش اعداد در نوشتن کسرها

علامت گذاری صحیح رتبه چیزی است که ریاضیات به آن نیاز دارد. اگر رقم را در جای اشتباه بنویسید، اعشار و معنای آنها می تواند به طور قابل توجهی تغییر کند. با این حال، این قبلا درست بود.

برای خواندن ارقام کل بخش کسری اعشاری، فقط باید از قوانین شناخته شده استفاده کنید اعداد طبیعی. و در سمت راست آنها آینه شده و متفاوت خوانده می شوند. اگر کل بخش "ده ها" به نظر می رسد، پس از نقطه اعشار در حال حاضر "دهم" خواهد بود.

این را می توان به وضوح در این جدول مشاهده کرد.

چگونه یک عدد مختلط را به صورت اعشاری به درستی بنویسیم؟

اگر مخرج دارای عددی برابر با 10 یا 100 و سایرین باشد، این سوال که چگونه یک کسری را به اعشار تبدیل کنیم دشوار نیست. برای این کار کافی است تمام اجزای آن را متفاوت بازنویسی کنید. نکات زیر به این امر کمک می کند:

عدد کسری را کمی به سمت کنار بنویسید، در این لحظه نقطه اعشار در سمت راست، بعد از آخرین رقم قرار دارد.

کاما را به سمت چپ حرکت دهید، مهمترین چیز در اینجا این است که اعداد را به درستی بشمارید - باید آن را با تعداد صفرهایی که در مخرج وجود دارد حرکت دهید.

اگر تعداد کافی از آنها وجود نداشته باشد، باید صفر در موقعیت های خالی وجود داشته باشد.

صفرهایی که در انتهای عدد قرار داشتند اکنون مورد نیاز نیستند و می توان آنها را خط زد.

قبل از کاما، کل قسمت را اضافه کنید، در اینجا نیز صفر خواهد بود.

توجه شما نمی توانید صفرهایی را که با اعداد دیگری احاطه شده اند خط بزنید.

در زیر می‌توانید در مورد اینکه در شرایطی که مخرج عددی دارد که نه تنها از یک‌ها و صفرها تشکیل شده است، چه باید کرد، و چگونه یک کسری را به اعشار تبدیل کنیم، بخوانید. این اطلاعات مهم، که قطعا ارزش بررسی را دارد.

اگر مخرج آن یک عدد دلخواه باشد چگونه کسری را به اعشار تبدیل کنیم؟

در اینجا دو گزینه وجود دارد:

هنگامی که مخرج را می توان به عنوان عددی نشان داد که برابر با ده به هر توانی است.

اگر چنین عملیاتی قابل انجام نباشد.

چگونه می توانم این را بررسی کنم؟ شما باید مخرج را فاکتور بگیرید. اگر فقط 2 و 5 در محصول وجود داشته باشد، پس همه چیز خوب است و کسری به راحتی به اعشار نهایی تبدیل می شود. در غیر این صورت، اگر 3، 7 و اعداد اول دیگر ظاهر شوند، نتیجه بی نهایت خواهد بود. چنین کسر اعشاری برای سهولت استفاده در عملیات ریاضیمرسوم است که گرد شود. در ادامه کمی به این موضوع پرداخته خواهد شد.

نحوه ساخت اعشار، کلاس پنجم را بررسی می کند. مثال های اینجا بسیار مفید خواهد بود.

مخرج اعداد: 40، 24 و 75 باشد. تجزیه به عوامل اصلیبرای آنها اینگونه خواهد بود:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

در این مثال ها فقط کسر اول را می توان به عنوان کسر نهایی نشان داد.

الگوریتم تبدیل کسر مشترک به اعشار نهایی

فاکتورسازی مخرج را به ضرایب اول بررسی کنید و مطمئن شوید که از 2 و 5 تشکیل شده است.

به این اعداد 2 و 5 اضافه کنید تا تعداد آنها مساوی باشد. آنها مقدار ضریب اضافی را می دهند.

مخرج و صورت را در این عدد ضرب کنید. نتیجه یک کسری معمولی خواهد بود که در زیر خط آن تا حدودی 10 وجود دارد.

اگر در یک کار این اعمال با شماره های درهم، سپس ابتدا باید به عنوان کسر نامناسب نمایش داده شود. و تنها پس از آن طبق سناریوی توصیف شده عمل کنید.

نمایش کسری به صورت اعشار گرد

این روش تبدیل کسری به اعشاری ممکن است برای برخی ساده تر به نظر برسد. چون اکشن زیادی نداره. فقط باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید.

به هر عددی که یک قسمت اعشاری در سمت راست نقطه اعشار داشته باشد، می توان تعداد بی نهایت صفر را به آن اختصاص داد. این ویژگی همان چیزی است که شما باید از آن بهره ببرید.

ابتدا کل قسمت را یادداشت کنید و بعد از آن کاما بگذارید. اگر کسر صحیح است، صفر بنویسید.

سپس باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید. به طوری که آنها تعداد ارقام یکسانی دارند. یعنی به سمت راست صورت حساب اضافه کنید مقدار مورد نیازصفرها

تقسیم طولانی را تا رسیدن به تعداد ارقام مورد نیاز انجام دهید. به عنوان مثال، اگر باید به صدم گرد کنید، پاسخ باید 3 باشد. به طور کلی، باید یک عدد بیشتر از آن چیزی باشد که در پایان باید بدست آورید.

جواب میانی را بعد از اعشار بنویسید و طبق قوانین گرد کنید. اگر آخرین رقم از 0 تا 4 باشد، فقط باید آن را کنار بگذارید. و وقتی برابر با 5-9 شد ، باید یکی از جلوی آن یک افزایش یابد و آخرین مورد کنار گذاشته شود.

از اعشار به کسر معمولی برگردانید

در ریاضیات، وقتی راحت‌تر است کسرهای اعشاری را به شکل کسرهای معمولی نشان دهیم، که در آن یک عدد با مخرج وجود دارد، مشکلاتی وجود دارد. می توانید نفس راحتی بکشید: این عمل همیشه امکان پذیر است.

برای این روش باید موارد زیر را انجام دهید:

کل قسمت را بنویسید، اگر برابر با صفر باشد، دیگر نیازی به نوشتن چیزی نیست.

رسم یک خط کسری؛

در بالای آن، اعداد را از سمت راست بنویسید، اگر صفرها اول باشند، باید آنها را خط بزنید.

در زیر خط، یک واحد بنویسید که به تعداد عدد صفر بعد از نقطه اعشار در کسر اصلی، صفر باشد.

این تنها کاری است که برای تبدیل اعشار به کسری باید انجام دهید.

با اعشار چه کاری می توانید انجام دهید؟

در ریاضیات، اینها عملیات معینی با اعشار هستند که قبلاً برای اعداد دیگر انجام می شد.

آن ها هستند:

مقایسه؛

جمع و تفریق؛

ضرب و تقسیم

اولین اقدام، مقایسه، مشابه نحوه انجام آن برای اعداد طبیعی است. برای تعیین اینکه کدام بزرگتر است، باید ارقام کل قسمت را با هم مقایسه کنید. اگر مساوی باشند، به سمت کسری می روند و همچنین آنها را با ارقام مقایسه می کنند. عددی که بیشترین رقم را در مهمترین رقم داشته باشد پاسخ خواهد بود.

جمع و تفریق اعشار

اینها شاید بیشترین هستند مراحل ساده. زیرا آنها طبق قوانین مربوط به اعداد طبیعی انجام می شوند.



بنابراین، برای اضافه کردن کسرهای اعشاری، باید آنها را یکی زیر دیگری نوشت و کاما را در یک ستون قرار داد. با این نماد، قسمت های کامل در سمت چپ کاما و قسمت های کسری در سمت راست ظاهر می شوند. و اکنون باید اعداد را ذره ذره اضافه کنید، همانطور که با اعداد طبیعی انجام می شود و کاما را به پایین ببرید. باید شروع به جمع کردن از کوچکترین رقم قسمت کسری عدد کنید. اگر اعداد کافی در نیمه سمت راست وجود نداشته باشد، صفرها اضافه می شوند.

همین امر در مورد تفریق نیز صدق می کند. و در اینجا قانونی وجود دارد که امکان گرفتن واحد از بالاترین رتبه را توصیف می کند. اگر کسری که کاهش می‌یابد دارای ارقام کمتری بعد از اعشار نسبت به کسری باشد که کسر می‌شود، به سادگی صفر به آن اضافه می‌شود.

وضعیت با وظایفی که در آن باید کسرهای اعشاری را ضرب و تقسیم کنید کمی پیچیده تر است.

چگونه یک کسر اعشاری را در مثال های مختلف ضرب کنیم؟

قانون ضرب کسرهای اعشاری در یک عدد طبیعی به این صورت است:

آنها را در یک ستون بنویسید، بدون توجه به کاما.

مثل اینکه طبیعی هستند ضرب کن.

تعداد ارقامی که در قسمت کسری عدد اصلی وجود دارد را با کاما از هم جدا کنید.

یک مورد خاص مثالی است که در آن یک عدد طبیعی برابر با 10 به هر توانی است. سپس برای دریافت پاسخ، فقط باید نقطه اعشار را به تعداد موقعیت هایی که در عامل دیگر صفر وجود دارد به سمت راست حرکت دهید. به عبارت دیگر، وقتی در 10 ضرب می شود، نقطه اعشار با یک رقم، 100 حرکت می کند - دو عدد از آنها وجود خواهد داشت و غیره. اگر اعداد کافی در قسمت کسری وجود ندارد، باید صفرها را در موقعیت های خالی بنویسید.

قاعده ای که برای انجام یک کار مستلزم ضرب کسری اعشاری در عدد مشابه دیگری است استفاده می شود:

آنها را یکی پس از دیگری بنویسید، بدون توجه به کاما.

مثل اینکه طبیعی هستند ضرب کنند.

با کاما به تعداد ارقامی که در قسمت های کسری هر دو کسر اصلی با هم وجود داشت از هم جدا کنید.

یک مورد خاص نمونه هایی هستند که در آنها یکی از ضرب کننده ها برابر با 0.1 یا 0.01 و غیره است. در آنها باید نقطه اعشار را با تعداد ارقام در فاکتورهای ارائه شده به سمت چپ حرکت دهید. یعنی اگر در 0.1 ضرب شود، نقطه اعشار یک موقعیت جابجا می شود.

چگونه یک کسر اعشاری را در وظایف مختلف تقسیم کنیم؟

تقسیم کسرهای اعشاری بر یک عدد طبیعی طبق قانون زیر انجام می شود:

آنها را برای تقسیم در یک ستون بنویسید که گویی آنها طبیعی هستند.

طبق قاعده معمول تقسیم کنید تا کل قسمت تمام شود.

در پاسخ کاما قرار دهید؛

به تقسیم جزء کسری ادامه دهید تا باقیمانده صفر شود.

در صورت لزوم، می توانید تعداد صفر مورد نیاز را اضافه کنید.

اگر عدد صحیح برابر با صفر باشد، در پاسخ نیز نخواهد بود.

به طور جداگانه، تقسیم به اعداد برابر با ده، صد و غیره وجود دارد. در چنین مسائلی، باید نقطه اعشار را با تعداد صفرهای مقسوم‌گیرنده به سمت چپ منتقل کنید. این اتفاق می افتد که اعداد کافی در یک قسمت کامل وجود ندارد، سپس به جای آن از صفر استفاده می شود. می بینید که این عملیات شبیه ضرب در 0.1 و اعداد مشابه است.

برای تقسیم اعشار، باید از این قانون استفاده کنید:

تقسیم کننده را به یک عدد طبیعی تبدیل کنید و برای انجام این کار، کاما را در آن به سمت راست تا انتها ببرید.

نقطه اعشار در سود تقسیمی را با همان تعداد رقم منتقل کنید.

طبق سناریوی قبلی عمل کنید

تقسیم بر 0.1 برجسته شده است. 0.01 و اعداد مشابه دیگر. در چنین مثال هایی، نقطه اعشار با تعداد ارقام در قسمت کسری به سمت راست منتقل می شود. اگر آنها تمام شوند، باید تعداد صفرهای از دست رفته را اضافه کنید. شایان ذکر است که این عمل تقسیم بر 10 و اعداد مشابه را تکرار می کند.



نتیجه: همه چیز به تمرین بستگی دارد

هیچ چیز در یادگیری آسان یا بدون تلاش به دست نمی آید. تسلط مطمئن بر مطالب جدید نیازمند زمان و تمرین است. ریاضیات نیز از این قاعده مستثنی نیست.

برای اطمینان از اینکه مبحث مربوط به کسرهای اعشاری مشکلی ایجاد نمی کند، باید تا حد امکان مثال های بیشتری را با آنها حل کنید. گذشته از این، زمانی بود که جمع اعداد طبیعی یک بن بست بود. و اکنون همه چیز خوب است.

بنابراین، به تعبیر یک عبارت معروف: تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید و دوباره تصمیم بگیرید. سپس وظایف با چنین اعدادی مانند یک پازل دیگر به راحتی و به طور طبیعی تکمیل می شود.

به هر حال، حل پازل ها در ابتدا دشوار است و سپس باید حرکات معمول را انجام دهید. در مثال‌های ریاضی هم همین‌طور است: با چندین بار قدم زدن در یک مسیر، دیگر به این فکر نمی‌کنید که به کجا بپیچید.

بیایید به مطالعه عمل بعدی با کسرهای اعشاری برویم، اکنون نگاهی جامع به آن خواهیم داشت ضرب اعشار. اول حرف بزنیم اصول کلیضرب کسرهای اعشاری پس از این، ما به ضرب کسری اعشاری در کسری اعشاری می رویم، نحوه ضرب کسری اعشاری را در یک ستون نشان می دهیم و راه حل هایی برای مثال ها در نظر می گیریم. در مرحله بعد، به ضرب کسرهای اعشاری در اعداد طبیعی، به ویژه در 10، 100 و غیره خواهیم پرداخت. در نهایت، اجازه دهید در مورد ضرب اعشار در کسری و اعداد مختلط صحبت کنیم.

بیایید بلافاصله بگوییم که در این مقاله فقط در مورد ضرب کسرهای اعشاری مثبت صحبت خواهیم کرد (اعداد مثبت و منفی را ببینید). موارد باقی مانده در مقالات ضرب اعداد گویا و ضرب اعداد واقعی.

پیمایش صفحه.

اصول کلی ضرب اعشار

بیایید اصول کلی را که باید هنگام ضرب با اعشار رعایت شود، مورد بحث قرار دهیم.

از آنجایی که اعشار متناهی و کسرهای تناوبی نامتناهی شکل اعشاری کسرهای رایج هستند، ضرب چنین اعشاری اساساً ضرب کسرهای مشترک است. به عبارت دیگر، ضرب اعشار محدود, ضرب کسرهای اعشاری متناهی و تناوبی، و ضرب کسرهای اعشاری دوره ایپس از تبدیل کسرهای اعشاری به معمولی، به ضرب کسرهای معمولی می رسد.

بیایید به مثال هایی از اعمال اصل بیان شده در ضرب کسرهای اعشاری نگاه کنیم.

مثال.

اعداد اعشاری را 1.5 و 0.75 ضرب کنید.

راه حل.

اجازه دهید کسرهای اعشاری در حال ضرب را با کسرهای معمولی مربوطه جایگزین کنیم. از آنجایی که 1.5=15/10 و 0.75=75/100، پس . می توانید کسر را کاهش دهید، سپس کل قسمت را از کسر نامناسب جدا کنید، و راحت تر است که کسر معمولی حاصل را 1125/1000 به عنوان کسری اعشاری 1.125 بنویسید.

پاسخ:

1.5·0.75=1.125.

لازم به ذکر است که ضرب کسرهای اعشاری نهایی در یک ستون راحت است.

بیایید به مثالی از ضرب کسرهای اعشاری دوره ای نگاه کنیم.

مثال.

حاصل ضرب کسرهای اعشاری تناوبی 0، (3) و 2، (36) را محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید کسرهای اعشاری تناوبی را به کسرهای معمولی تبدیل کنیم:

سپس . می توانید کسر معمولی حاصل را به کسر اعشاری تبدیل کنید:

پاسخ:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

اگر در بین کسرهای اعشاری ضرب شده، کسرهای غیر تناوبی نامتناهی وجود داشته باشد، تمام کسرهای ضرب شده، از جمله کسرهای متناهی و تناوبی، باید به یک رقم معین گرد شوند (نگاه کنید به گرد کردن اعداد) و سپس کسرهای اعشاری نهایی بدست آمده پس از گرد کردن را ضرب کنید.

مثال.

اعداد اعشاری 5.382... و 0.2 را ضرب کنید.

راه حل.

ابتدا بیایید یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی را گرد کنیم، گرد کردن را می توان تا صدم انجام داد، ما 5.382...≈5.38 داریم. کسر اعشاری نهایی 0.2 نیازی به گرد کردن به نزدیکترین صدم ندارد. بنابراین، 5.382...·0.2≈5.38·0.2. باقی مانده است که حاصل ضرب کسرهای اعشاری نهایی را محاسبه کنیم: 5.38·0.2=538/100·2/10= 1076/1000=1.076.

پاسخ:

5.382…·0.2≈1.076.

ضرب کسرهای اعشاری در ستون

ضرب کسرهای اعشاری محدود را می توان در یک ستون انجام داد، مشابه ضرب اعداد طبیعی در یک ستون.

فرمول بندی کنیم قانون ضرب کسرهای اعشاری در ستون. برای ضرب کسرهای اعشاری در ستون، باید:

• بدون توجه به کاما، ضرب را طبق تمام قوانین ضرب با ستونی از اعداد طبیعی انجام دهید.
• در عدد حاصل، به تعداد رقم سمت راست به تعداد اعشار در هر دو فاکتور با هم، با یک نقطه اعشار جدا کنید و اگر رقم کافی در حاصلضرب نباشد، باید تعداد صفرهای لازم را به سمت چپ اضافه کنید.

بیایید به مثال هایی از ضرب کسرهای اعشاری در ستون نگاه کنیم.

مثال.

اعداد اعشاری 63.37 و 0.12 را ضرب کنید.

راه حل.

بیایید کسرهای اعشاری را در یک ستون ضرب کنیم. ابتدا اعداد را ضرب می کنیم و کاما را نادیده می گیریم:

تنها چیزی که باقی می ماند این است که یک کاما به محصول حاصل اضافه کنید. او باید 4 رقم را به سمت راست جدا کند، زیرا فاکتورها در مجموع چهار رقم اعشار دارند (دو رقم در کسری 3.37 و دو رقم در کسری 0.12). اعداد کافی در آنجا وجود دارد، بنابراین لازم نیست صفر را به سمت چپ اضافه کنید. بیایید ضبط را تمام کنیم:

در نتیجه 3.37·0.12=7.6044 داریم.

پاسخ:

3.37·0.12=7.6044.

مثال.

حاصل ضرب اعشار 3.2601 و 0.0254 را محاسبه کنید.

راه حل.

با انجام ضرب در یک ستون بدون در نظر گرفتن کاما، تصویر زیر را دریافت می کنیم:

اکنون در محصول باید 8 رقم سمت راست را با کاما جدا کنید، زیرا مجموع رقم های اعشار کسرهای ضرب شده هشت است. اما فقط 7 رقم در محصول وجود دارد، بنابراین، باید به همان تعداد صفر به سمت چپ اضافه کنید تا بتوانید 8 رقم را با کاما از هم جدا کنید. در مورد ما، باید دو صفر را اختصاص دهیم:

این کار ضرب کسرهای اعشاری را در ستون کامل می کند.

پاسخ:

3.2601·0.0254=0.08280654.

ضرب اعداد اعشاری در 0.1، 0.01 و غیره

اغلب شما باید کسرهای اعشاری را در 0.1، 0.01 و غیره ضرب کنید. بنابراین، توصیه می شود یک قانون برای ضرب کسری اعشاری در این اعداد، که از اصول ضرب کسری اعشاری در بالا مورد بحث قرار گرفت، تنظیم شود.

بنابراین، ضرب اعشار داده شده در 0.1، 0.01، 0.001 و غیرهکسری را می دهد که اگر در علامت گذاری آن کاما به ترتیب با اعداد 1، 2، 3 و غیره به سمت چپ منتقل شود، از کسری به دست می آید، و اگر ارقام کافی برای جابجایی کاما وجود نداشته باشد، باید تعداد صفرهای مورد نیاز را به سمت چپ اضافه کنید.

به عنوان مثال، برای ضرب کسری اعشاری 54.34 در 0.1، باید نقطه اعشار در کسری 54.34 را با 1 رقم به سمت چپ منتقل کنید، که به شما کسری 5.434 می دهد، یعنی 54.34·0.1=5.434. بیایید مثال دیگری بزنیم. کسر اعشاری 9.3 را در 0.0001 ضرب کنید. برای انجام این کار، باید 4 رقم اعشاری را در کسر اعشاری ضرب شده 9.3 به سمت چپ حرکت دهیم، اما نماد کسری 9.3 دارای این تعداد رقم نیست. بنابراین باید آنقدر صفر به سمت چپ کسر 9.3 نسبت دهیم تا بتوانیم نقطه اعشار را به راحتی به 4 رقم منتقل کنیم، 9.3·0.0001=0.00093 داریم.

توجه داشته باشید که قانون ذکر شده برای ضرب کسر اعشاری در 0.1، 0.01، ... برای کسرهای اعشاری بی نهایت نیز معتبر است. برای مثال، 0.(18)·0.01=0.00(18) یا 93.938…·0.1=9.3938….

ضرب اعشار در یک عدد طبیعی

در هسته آن ضرب اعشار در اعداد طبیعیتفاوتی با ضرب اعشار در اعشار ندارد.

در این مورد، راحت ترین کسری اعشاری را در یک عدد طبیعی ضرب کنید، باید قوانین ضرب کسری اعشاری در یک ستون را که در یکی از پاراگراف های قبلی مورد بحث قرار گرفت، رعایت کنید.

مثال.

حاصلضرب 15·2.27 را محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید یک عدد طبیعی را در یک کسری اعشاری در یک ستون ضرب کنیم:

پاسخ:

15·2.27=34.05.

هنگام ضرب کسر اعشاری تناوبی در یک عدد طبیعی، کسر تناوبی باید با کسری معمولی جایگزین شود.

مثال.

کسر اعشاری 0.(42) را در عدد طبیعی 22 ضرب کنید.

راه حل.

ابتدا، اجازه دهید کسر اعشاری تناوبی را به کسری معمولی تبدیل کنیم:

حالا بیایید ضرب را انجام دهیم: . این نتیجه به عنوان اعشار 9، (3) است.

پاسخ:

0,(42)·22=9,(3) .

و هنگام ضرب کردن یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی در یک عدد طبیعی، ابتدا باید گرد کردن را انجام دهید.

مثال.

ضرب 4·2.145….

راه حل.

پس از گرد کردن کسر اعشاری نامتناهی اولیه به صدم، به ضرب یک عدد طبیعی و یک کسری اعشاری نهایی می رسیم. ما 4·2.145…≈4·2.15=8.60 داریم.

پاسخ:

4·2.145…≈8.60.

ضرب اعشار در 10، 100، …

اغلب اوقات شما باید کسرهای اعشاری را در 10، 100، ضرب کنید ... بنابراین، توصیه می شود در مورد این موارد با جزئیات صحبت کنید.

بیایید آن را صدا کنیم قانون ضرب کسری اعشاری در 10، 100، 1000 و غیره.هنگام ضرب یک کسر اعشاری در 10، 100، ... در نماد آن، باید نقطه اعشار را به ترتیب به 1، 2، 3، ... به سمت راست منتقل کنید و صفرهای اضافی سمت چپ را دور بریزید. اگر نماد کسری که ضرب می شود دارای ارقام کافی برای جابجایی نقطه اعشار نباشد، باید تعداد صفرهای مورد نیاز را به سمت راست اضافه کنید.

مثال.

کسر اعشاری 0.0783 را در 100 ضرب کنید.

راه حل.

بیایید کسر 0.0783 را دو رقمی به سمت راست منتقل کنیم و 007.83 به دست می آید. با انداختن دو صفر در سمت چپ کسر اعشاری 7.38 بدست می آید. بنابراین، 0.0783·100 = 7.83.

پاسخ:

0.0783·100=7.83.

مثال.

کسر اعشاری 0.02 را در 10000 ضرب کنید.

راه حل.

برای ضرب 0.02 در 10000، باید نقطه اعشار را 4 رقم به سمت راست منتقل کنیم. بدیهی است که در نماد کسری 0.02 ارقام کافی برای جابجایی نقطه اعشار با 4 رقم وجود ندارد، بنابراین چند صفر به سمت راست اضافه می کنیم تا نقطه اعشار جابه جا شود. در مثال ما کافی است سه صفر اضافه کنیم، 0.02000 داریم. پس از جابجایی کاما، ورودی 00200.0 را دریافت می کنیم. با حذف صفرهای سمت چپ، عدد 200.0 را داریم که برابر با عدد طبیعی 200 است که حاصل ضرب کسر اعشاری 0.02 در 10000 است.

ضرب اعشاردر سه مرحله رخ می دهد.

کسرهای اعشاری در یک ستون نوشته می شوند و مانند اعداد معمولی ضرب می شوند.

تعداد ارقام اعشار را برای کسر اعشاری اول و دومی می شماریم. تعداد آنها را جمع می کنیم.

در نتیجه، همان تعداد اعدادی را که در پاراگراف بالا به دست آوردیم، از راست به چپ می شماریم و کاما می گذاریم.

نحوه ضرب اعشار

کسرهای اعشاری را در یک ستون می نویسیم و بدون توجه به کاما آنها را به صورت اعداد طبیعی ضرب می کنیم. یعنی 3.11 را 311 و 0.01 را 1 در نظر می گیریم.

ما 311 دریافت کردیم. حالا تعداد علائم (اعداد) بعد از نقطه اعشار را برای هر دو کسر می شماریم. اعشار اول دارای دو رقم و دومی دارای دو رقم است. تعداد کل ارقام اعشاری:

از راست به چپ 4 علامت (رقم) عدد حاصل را می شماریم. نتیجه به دست آمده حاوی اعداد کمتری است که باید با کاما از هم جدا شوند. در این مورد شما نیاز دارید ترک کردعدد صفرهای از دست رفته را اضافه کنید.

ما یک رقم را از دست می دهیم، بنابراین یک صفر به سمت چپ اضافه می کنیم.

هنگام ضرب هر کسری اعشاریدر 10; 100; 1000 و غیره نقطه اعشار به تعداد صفرهای بعد از یک به سمت راست حرکت می کند.

برای ضرب اعشار در 0.1؛ 0.01; 0.001 و غیره، باید نقطه اعشار این کسری را به تعداد صفرهای قبل از یک به سمت چپ منتقل کنید.

اعداد صحیح را صفر می شماریم!

• 12 0.1 = 1.2
• 0.05 · 0.1 = 0.005
• 1.256 · 0.01 = 0.012 56

برای درک چگونگی ضرب اعشار، بیایید به مثال های خاص نگاه کنیم.

قانون ضرب اعشار

1) بدون توجه به کاما ضرب کنید.

2) در نتیجه به تعداد رقم بعد از اعشار هر دو فاکتور با هم جدا می کنیم.

حاصل ضرب کسرهای اعشاری را پیدا کنید:

برای ضرب کسری اعشاری، بدون توجه به کاما ضرب می کنیم. یعنی نه 6.8 و 3.4 بلکه 68 و 34 را ضرب می کنیم. در نتیجه به تعداد رقم بعد از اعشار هر دو فاکتور با هم جدا می کنیم. در فاکتور اول یک رقم بعد از نقطه اعشار وجود دارد، در عامل دوم نیز یک رقم وجود دارد. در مجموع دو عدد را بعد از نقطه اعشار از هم جدا می کنیم.

اعداد اعشاری را بدون در نظر گرفتن اعشار ضرب می کنیم. یعنی در واقع به جای اینکه 36.85 را در 1.14 ضرب کنیم، 3685 را در 14 ضرب می کنیم. به 51590 می رسیم. حالا در این نتیجه باید هر تعداد رقم را با کاما از هم جدا کنیم که در هر دو فاکتور با هم وجود دارد. عدد اول دارای دو رقم پس از نقطه اعشار است، عدد دوم دارای یک رقم است. در کل سه رقم را با کاما از هم جدا می کنیم. از آنجایی که بعد از اعشار در انتهای ورودی یک صفر وجود دارد، آن را در پاسخ نمی نویسیم: 36.85∙1.4=51.59.

برای ضرب این اعشار، بدون توجه به کاما، اعداد را ضرب می کنیم. یعنی اعداد طبیعی 2315 و 7 را ضرب می کنیم. 16205 به دست می آید. در این عدد باید چهار رقم را بعد از نقطه اعشار جدا کنید - به تعداد هر دو عامل با هم (در هر کدام دو رقم). پاسخ نهایی: 23.15∙0.07=1.6205.

ضرب کسری اعشاری در یک عدد طبیعی به همین ترتیب انجام می شود. اعداد را بدون توجه به کاما ضرب می کنیم، یعنی 75 را در 16 ضرب می کنیم. بنابراین، 75∙1.6=120.0=120.

ضرب کسرهای اعشاری را با ضرب اعداد طبیعی شروع می کنیم، زیرا به کاما توجه نمی کنیم. پس از این، به تعداد هر دو فاکتور با هم، بعد از نقطه اعشار، رقم را جدا می کنیم. عدد اول دو رقم اعشار دارد، عدد دوم نیز دو رقم دارد. در مجموع، نتیجه باید چهار رقم بعد از نقطه اعشار باشد: 4.72∙5.04=23.7888.

و چند مثال دیگر در مورد ضرب کسرهای اعشاری:

www.for6cl.uznateshe.ru

ضرب اعشار، قوانین، مثال ها، راه حل ها.

بریم سراغ مطالعه اقدام بعدیبا کسرهای اعشاری، اکنون نگاهی جامع خواهیم داشت ضرب اعشار. ابتدا، اجازه دهید در مورد اصول کلی ضرب اعشار بحث کنیم. پس از این، ما به ضرب کسری اعشاری در کسری اعشاری می رویم، نحوه ضرب کسری اعشاری را در یک ستون نشان می دهیم و راه حل هایی برای مثال ها در نظر می گیریم. در مرحله بعد، به ضرب کسرهای اعشاری در اعداد طبیعی، به ویژه در 10، 100 و غیره خواهیم پرداخت. در نهایت، اجازه دهید در مورد ضرب اعشار در کسری و اعداد مختلط صحبت کنیم.

بیایید بلافاصله بگوییم که در این مقاله فقط در مورد ضرب کسرهای اعشاری مثبت صحبت خواهیم کرد (به مثبت و اعداد منفی). موارد باقی مانده در مقالات ضرب اعداد گویا و ضرب اعداد واقعی.

پیمایش صفحه.

اصول کلی ضرب اعشار

بیایید اصول کلی را که باید هنگام ضرب با اعشار رعایت شود، مورد بحث قرار دهیم.

از آنجایی که اعشار متناهی و کسرهای تناوبی نامتناهی شکل اعشاری کسرهای رایج هستند، ضرب چنین اعشاری اساساً ضرب کسرهای مشترک است. به عبارت دیگر، ضرب اعشار محدود, ضرب کسرهای اعشاری متناهی و تناوبی، و ضرب کسرهای اعشاری دوره ایپس از تبدیل کسرهای اعشاری به معمولی، به ضرب کسرهای معمولی می رسد.

بیایید به مثال هایی از اعمال اصل بیان شده در ضرب کسرهای اعشاری نگاه کنیم.

اعداد اعشاری را 1.5 و 0.75 ضرب کنید.

اجازه دهید کسرهای اعشاری در حال ضرب را با کسرهای معمولی مربوطه جایگزین کنیم. از آنجایی که 1.5=15/10 و 0.75=75/100، پس. می توانید کسر را کاهش دهید، سپس کل قسمت را از کسر نامناسب جدا کنید، و راحت تر است که کسر معمولی حاصل را 1 125/1 000 به عنوان کسری اعشاری 1.125 بنویسید.

لازم به ذکر است که ضرب کسرهای اعشاری نهایی در یک ستون راحت است.

بیایید به مثالی از ضرب کسرهای اعشاری دوره ای نگاه کنیم.

حاصل ضرب کسرهای اعشاری تناوبی 0، (3) و 2، (36) را محاسبه کنید.

بیایید کسرهای اعشاری تناوبی را به کسرهای معمولی تبدیل کنیم:

سپس. می توانید کسر معمولی حاصل را به کسری اعشاری تبدیل کنید:


اگر در بین کسرهای اعشاری ضرب شده، کسرهای غیر تناوبی نامتناهی وجود داشته باشد، تمام کسرهای ضرب شده، از جمله کسرهای متناهی و تناوبی، باید به یک رقم معین گرد شوند (نگاه کنید به گرد کردن اعداد) و سپس کسرهای اعشاری نهایی بدست آمده پس از گرد کردن را ضرب کنید.

اعداد اعشاری 5.382... و 0.2 را ضرب کنید.

ابتدا بیایید یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی را گرد کنیم، گرد کردن را می توان تا صدم انجام داد، ما 5.382...≈5.38 داریم. کسر اعشاری نهایی 0.2 نیازی به گرد کردن به نزدیکترین صدم ندارد. بنابراین، 5.382...·0.2≈5.38·0.2. باقی مانده است که حاصل ضرب کسرهای اعشاری نهایی را محاسبه کنیم: 5.38·0.2=538/100·2/10= 1076/1000=1.076.

ضرب کسرهای اعشاری در ستون

ضرب کسرهای اعشاری محدود را می توان در یک ستون انجام داد، مشابه ضرب اعداد طبیعی در یک ستون.

فرمول بندی کنیم قانون ضرب کسرهای اعشاری در ستون. برای ضرب کسرهای اعشاری در ستون، باید:

• بدون توجه به کاما، ضرب را طبق تمام قوانین ضرب با ستونی از اعداد طبیعی انجام دهید.
• در عدد حاصل، به تعداد رقم سمت راست به تعداد اعشار در هر دو فاکتور با هم، با یک نقطه اعشار جدا کنید و اگر رقم کافی در حاصلضرب نباشد، باید تعداد صفرهای لازم را به سمت چپ اضافه کنید.

بیایید به مثال هایی از ضرب کسرهای اعشاری در ستون نگاه کنیم.

اعداد اعشاری 63.37 و 0.12 را ضرب کنید.

بیایید کسرهای اعشاری را در یک ستون ضرب کنیم. ابتدا اعداد را ضرب می کنیم و کاما را نادیده می گیریم:


تنها چیزی که باقی می ماند اضافه کردن یک کاما به محصول به دست آمده است. او باید 4 رقم را به سمت راست جدا کند زیرا فاکتورها در مجموع چهار رقم اعشار دارند (دو رقم در کسر 3.37 و دو رقم در کسری 0.12). اعداد کافی در آنجا وجود دارد، بنابراین لازم نیست صفر را به سمت چپ اضافه کنید. بیایید ضبط را تمام کنیم:


در نتیجه 3.37·0.12=7.6044 داریم.

حاصل ضرب اعداد اعشاری 3.2601 و 0.0254 را محاسبه کنید.

با انجام ضرب در یک ستون بدون در نظر گرفتن کاما، تصویر زیر را دریافت می کنیم:


اکنون در محصول باید 8 رقم سمت راست را با کاما جدا کنید، زیرا مجموع رقم های اعشار کسرهای ضرب شده هشت است. اما فقط 7 رقم در محصول وجود دارد، بنابراین، باید به همان تعداد صفر به سمت چپ اضافه کنید تا بتوانید 8 رقم را با کاما از هم جدا کنید. در مورد ما، باید دو صفر را اختصاص دهیم:


این کار ضرب کسرهای اعشاری را در ستون کامل می کند.

ضرب اعداد اعشاری در 0.1، 0.01 و غیره

اغلب شما باید کسرهای اعشاری را در 0.1، 0.01 و غیره ضرب کنید. بنابراین، توصیه می شود یک قانون برای ضرب کسر اعشاری در این اعداد، که از اصول ضرب کسری اعشاری در بالا مورد بحث قرار گرفت، تنظیم شود.

بنابراین، ضرب اعشار داده شده در 0.1، 0.01، 0.001 و غیرهکسری را می دهد که اگر در علامت گذاری آن کاما به ترتیب با اعداد 1، 2، 3 و غیره به سمت چپ منتقل شود، از کسری به دست می آید، و اگر ارقام کافی برای جابجایی کاما وجود نداشته باشد، باید تعداد صفرهای مورد نیاز را به سمت چپ اضافه کنید.

به عنوان مثال، برای ضرب کسری اعشاری 54.34 در 0.1، باید نقطه اعشار در کسری 54.34 را با 1 رقم به سمت چپ منتقل کنید، که به شما کسری 5.434 می دهد، یعنی 54.34·0.1=5.434. بیایید مثال دیگری بزنیم. کسر اعشاری 9.3 را در 0.0001 ضرب کنید. برای انجام این کار، باید 4 رقم اعشاری را در کسر اعشاری ضرب شده 9.3 به سمت چپ منتقل کنیم، اما نماد کسری 9.3 شامل این تعداد رقم نیست. بنابراین باید آنقدر صفر به سمت چپ کسر 9.3 نسبت دهیم تا بتوانیم نقطه اعشار را به راحتی به 4 رقم منتقل کنیم، 9.3·0.0001=0.00093 داریم.

توجه داشته باشید که قانون ذکر شده برای ضرب کسر اعشاری در 0.1، 0.01، ... برای کسرهای اعشاری بی نهایت نیز معتبر است. برای مثال، 0.(18)·0.01=0.00(18) یا 93.938…·0.1=9.3938….

ضرب اعشار در یک عدد طبیعی

در هسته آن ضرب اعشار در اعداد طبیعیتفاوتی با ضرب اعشار در اعشار ندارد.

در این مورد، راحت ترین کسری اعشاری را در یک عدد طبیعی ضرب کنید، باید قوانین ضرب کسری اعشاری در یک ستون را که در یکی از پاراگراف های قبلی مورد بحث قرار گرفت، رعایت کنید.

حاصلضرب 15·2.27 را محاسبه کنید.

بیایید یک عدد طبیعی را در یک کسری اعشاری در یک ستون ضرب کنیم:


هنگام ضرب کسر اعشاری تناوبی در یک عدد طبیعی، کسر تناوبی باید با کسری معمولی جایگزین شود.

کسر اعشاری 0.(42) را در عدد طبیعی 22 ضرب کنید.

ابتدا، اجازه دهید کسر اعشاری تناوبی را به کسری معمولی تبدیل کنیم:

حالا بیایید ضرب را انجام دهیم: . این نتیجه به عنوان اعشار 9، (3) است.

و هنگام ضرب کردن یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی در یک عدد طبیعی، ابتدا باید گرد کردن را انجام دهید.

ضرب 4·2.145….

پس از گرد کردن کسر اعشاری نامتناهی اولیه به صدم، به ضرب یک عدد طبیعی و یک کسر اعشاری نهایی می‌رسیم. ما 4·2.145…≈4·2.15=8.60 داریم.

ضرب اعشار در 10، 100، …

اغلب اوقات شما باید کسرهای اعشاری را در 10، 100، ضرب کنید ... بنابراین، توصیه می شود در مورد این موارد با جزئیات صحبت کنید.

بیایید آن را صدا کنیم قانون ضرب کسری اعشاری در 10، 100، 1000 و غیره.هنگام ضرب یک کسر اعشاری در 10، 100، ... در نماد آن، باید نقطه اعشار را به ترتیب به 1، 2، 3، ... به سمت راست منتقل کنید و صفرهای اضافی سمت چپ را دور بریزید. اگر نماد کسری که ضرب می شود دارای ارقام کافی برای جابجایی نقطه اعشار نباشد، باید تعداد صفرهای مورد نیاز را به سمت راست اضافه کنید.

کسر اعشاری 0.0783 را در 100 ضرب کنید.

بیایید کسر 0.0783 را دو رقمی به سمت راست ببریم و 007.83 را بدست آوریم. با انداختن دو صفر در سمت چپ کسر اعشاری 7.38 بدست می آید. بنابراین، 0.0783·100 = 7.83.

کسر اعشاری 0.02 را در 10000 ضرب کنید.

برای ضرب 0.02 در 10000، باید نقطه اعشار را 4 رقم به سمت راست منتقل کنیم. بدیهی است که در نماد کسری 0.02 ارقام کافی برای جابجایی نقطه اعشار با 4 رقم وجود ندارد، بنابراین چند صفر به سمت راست اضافه می کنیم تا نقطه اعشار جابه جا شود. در مثال ما کافی است سه صفر را اضافه کنیم، 0.02000 داریم. پس از جابجایی کاما، ورودی 00200.0 را دریافت می کنیم. با حذف صفرهای سمت چپ، عدد 200.0 را داریم که برابر با عدد طبیعی 200 است که حاصل ضرب کسر اعشاری 0.02 در 10000 است.

قاعده بیان شده برای ضرب کسرهای اعشاری نامتناهی در 10، 100، نیز صادق است.

کسر اعشاری تناوبی 5.32(672) را در 1000 ضرب کنید.

قبل از ضرب، اجازه دهید کسر اعشاری تناوبی را به صورت 5.32672672672 بنویسیم، این به ما امکان می دهد از اشتباه جلوگیری کنیم. حالا کاما را 3 مکان به سمت راست ببرید، 5 326.726726 داریم…. بنابراین، پس از ضرب، کسر اعشاری تناوبی 5 326، (726) به دست می آید.

5.32(672)·1000=5326،(726).

وقتی کسرهای غیر تناوبی نامتناهی را در 10، 100، ... ضرب می کنید، ابتدا باید کسر نامتناهی را به یک رقم مشخص گرد کنید و سپس ضرب را انجام دهید.

ضرب اعشار در یک عدد کسری یا مختلط

برای ضرب یک کسر اعشاری متناهی یا یک کسر اعشاری متناوب نامتناهی در یک کسری معمولی یا مختلط، باید کسری اعشاری را به شکل نشان دهید. کسر مشترکو سپس ضرب را انجام دهید.

کسر اعشاری 0.4 را در یک عدد مختلط ضرب کنید.

از 0.4=4/10=2/5 و سپس. عدد حاصل را می توان به صورت کسری اعشاری تناوبی 1.5(3) نوشت.

هنگام ضرب یک کسر اعشاری نامتناهی غیر تناوبی در یک عدد کسری یا مختلط، کسری یا عدد مختلط را با کسری اعشاری جایگزین کنید، سپس کسرهای ضرب شده را گرد کنید و محاسبه را تمام کنید.

از آنجایی که 2/3=0.6666...، پس. پس از گرد کردن کسرهای ضرب شده به هزارم، به حاصل ضرب دو کسر اعشاری نهایی 3.568 و 0.667 می رسیم. بیایید ضرب ستونی را انجام دهیم:


نتیجه به‌دست‌آمده باید به نزدیک‌ترین هزارم گرد شود، زیرا کسرهای ضرب شده با دقت به هزارم رسیده‌اند، ما 2.379856≈2.380 داریم.

www.cleverstudents.ru

29. ضرب اعشار. قوانین




مساحت یک مستطیل با اضلاع مساوی را پیدا کنید
1.4 dm و 0.3 dm. بیایید دسی متر را به سانتی متر تبدیل کنیم:

1.4 dm = 14 سانتی متر؛ 0.3 dm = 3 سانتی متر.

حالا بیایید مساحت را بر حسب سانتی متر محاسبه کنیم.

S = 14 3 = 42 cm2.

سانتی متر مربع را به سانتی متر مربع تبدیل کنید
دسی متر:

d m 2 = 0.42 d m 2.

این یعنی S = 1.4 dm 0.3 dm = 0.42 dm 2.

ضرب دو کسر اعشاری به این صورت انجام می شود:
1) اعداد بدون در نظر گرفتن کاما ضرب می شوند.
2) کاما در محصول به گونه ای قرار می گیرد که آن را در سمت راست جدا کند
همان تعداد نشانه هایی که در هر دو عامل از هم جدا شده اند
ترکیب شده. مثلا:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

نمونه هایی از ضرب کسرهای اعشاری در یک ستون:



به جای ضرب هر عددی در 0.1؛ 0.01; 0.001
می توانید این عدد را بر 10 تقسیم کنید. 100 ; یا به ترتیب 1000.
مثلا:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

وقتی کسر اعشاری را در یک عدد طبیعی ضرب می کنیم باید:

1) اعداد را بدون توجه به کاما ضرب کنید.

2) در محصول حاصل، یک کاما قرار دهید تا در سمت راست
تعداد ارقام آن به اندازه یک کسر اعشاری بود.

بیایید محصول 3.12 10 را پیدا کنیم. طبق قاعده فوق
ابتدا عدد 312 را در 10 ضرب می کنیم. دریافت می کنیم: 312 10 = 3120.
حالا دو رقم سمت راست را با کاما از هم جدا می کنیم و می گیریم:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

یعنی وقتی 3.12 را در 10 ضرب می کنیم، نقطه اعشار را یک جابجا می کنیم
شماره سمت راست اگر 3.12 را در 100 ضرب کنیم، 312 می شود، یعنی
کاما دو رقمی به سمت راست منتقل شد.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

وقتی کسر اعشاری را در 10، 100، 1000 و غیره ضرب می کنید، باید
در این کسری نقطه اعشار را به تعداد صفر به سمت راست حرکت دهید
ارزش چند برابر را دارد مثلا:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

مسائل مربوط به موضوع "ضرب اعشار"

school-assistant.ru

جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعشار

جمع و تفریق اعداد اعشاری شبیه جمع و تفریق اعداد طبیعی است اما با شرایط خاصی.

قانون.

با توجه به ارقام اعداد صحیح و کسری به عنوان اعداد طبیعی انجام می شود. در نوشتارجمع و تفریق اعداد اعشاری

کاما که قسمت صحیح را از قسمت کسری جدا می کند باید در ضمائم و مجموع یا در مینیوند، زیر خط و تفاوت در یک ستون قرار گیرد (یک کاما زیر کاما از نوشتن شرط تا پایان محاسبه).جمع و تفریق اعشار

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

کاما که قسمت صحیح را از قسمت کسری جدا می کند باید در ضمائم و مجموع یا در مینیوند، زیر خط و تفاوت در یک ستون قرار گیرد (یک کاما زیر کاما از نوشتن شرط تا پایان محاسبه).به خط:

در یک ستون:

هنگامی که مجموع ارزش مکانی از ده فراتر می رود، افزودن اعشار به یک خط بالای اضافی برای ثبت اعداد نیاز دارد. تفریق اعشار به یک خط بالای اضافی نیاز دارد تا جایی که 1 قرض گرفته شده را مشخص کند.

ضرب اعشاراگر ارقام کافی از قسمت کسری در سمت راست اضافه یا مینیوند وجود نداشته باشد، به سمت راست در قسمت کسری می‌توانید به همان تعداد صفر اضافه کنید (رقم جزء کسری را افزایش دهید) به تعداد ارقام در جمع دیگر. یا minuend

مانند ضرب اعداد طبیعی، طبق قوانین یکسان انجام می شود، اما در حاصل ضرب با توجه به مجموع ارقام ضرایب در قسمت کسری، با شمارش از راست به چپ (مجموع ارقام ضریب ها تعداد ارقام بعد از اعشار ضرایب با هم است). درضرب اعشار

در یک ستون، اولین رقم قابل توجه در سمت راست، مانند اعداد طبیعی، زیر اولین رقم مهم در سمت راست امضا می شود: رکوردبه خط:

در یک ستون، اولین رقم قابل توجه در سمت راست، مانند اعداد طبیعی، زیر اولین رقم مهم در سمت راست امضا می شود: ضرب اعشاربه خط:

تقسیم اعشار

کاراکترهایی که زیر آنها خط کشیده شده، کاراکترهایی هستند که با کاما دنبال می شوند زیرا مقسوم علیه باید یک عدد صحیح باشد. قانون. درتقسیم کسرها

مقسوم علیه اعشاری به تعداد ارقامی که در قسمت کسری وجود دارد، افزایش می یابد. برای اطمینان از عدم تغییر کسری، سود سهام به همان تعداد ارقام افزایش می یابد (در تقسیم کننده و مقسوم علیه، نقطه اعشار به همان تعداد ارقام منتقل می شود). در آن مرحله از تقسیم وقتی تمام قسمت کسر تقسیم می شود کاما در ضریب قرار می گیرد. برای کسرهای اعشاری، مانند اعداد طبیعی، این قانون باقی می ماند:

§ 107. جمع کسرهای اعشاری.

جمع اعشار مانند جمع اعداد کامل است. بیایید این را با مثال ببینیم.

1) 0.132 + 2.354. بیایید اصطلاحات را یکی زیر دیگری برچسب گذاری کنیم.
در اینجا، با افزودن 2 هزارم به 4 هزارم، 6 هزارم حاصل شد.
از جمع 3 صدم با 5 صدم، نتیجه 8 صدم می شود.
از جمع 1 دهم با 3 دهم -4 دهم و

2) 5,065 + 7,83.

از اضافه کردن 0 عدد صحیح با 2 عدد صحیح - 2 عدد صحیح.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

در اینجا، هنگام جمع هزارم، نتیجه 21 هزارم است. ما 1 را زیر هزارم نوشتیم و 2 را به صدم اضافه کردیم، بنابراین در مکان صدم عبارت های زیر را به دست آوردیم: 2 + 3 + 6 + 8 + 0. در مجموع 19 صدم می دهند، 9 تا زیر صدم امضا کردیم و 1 دهم به حساب می آمد و غیره.

بنابراین، هنگام جمع کردن کسرهای اعشاری، ترتیب زیر باید رعایت شود: کسرها را یکی زیر دیگری امضا کنید تا در همه شرایط، اعداد یکسان زیر یکدیگر قرار گیرند و همه کاماها در یک ستون عمودی قرار گیرند. در سمت راست ارقام اعشار برخی از عبارت ها، حداقل از نظر ذهنی، چنین تعداد صفر اضافه می شود، به طوری که همه اعداد بعد از اعشار دارای تعداد یکسانی هستند. سپس آنها را با اعداد جمع می کنند و از سمت راست شروع می کنند و در جمع حاصل یک کاما را در همان ستون عمودی که در این شرایط قرار دارد قرار می دهند.

§ 108. تفریق کسرهای اعشاری.

تفریق اعداد اعشاری مانند تفریق اعداد کامل عمل می کند. بیایید این را با مثال هایی نشان دهیم.

1) 9.87 - 7.32. بیایید زیر خط زیر را امضا کنیم تا واحدهای یک رقم زیر یکدیگر قرار گیرند:

2) 16.29 - 4.75. بیایید مانند مثال اول، زیرنویس را در زیر مینیوند امضا کنیم:

برای تفریق یک دهم، باید یک واحد کامل از 6 گرفته و آن را به دهم تقسیم کنید.

3) 14.0213- 5.350712. بیایید زیرنویس زیر را امضا کنیم:

تفریق به این صورت انجام شد: از آنجایی که نمی توانیم 2 میلیونیم از 0 کم کنیم، باید به نزدیکترین رقم سمت چپ یعنی صد هزارم بچرخیم، اما به جای صد هزارم نیز صفر است، بنابراین 1 ده هزارم را از 0 می گیریم. 3 ده هزارم می کنیم و آن را به صد هزارم تقسیم می کنیم، 10 صد هزارم می گیریم که 9 صد هزارم آن را در دسته صد هزارم می گذاریم و 1 صد هزارم را به میلیونم می کنیم، 10 میلیونیم می گیریم. بنابراین، در سه رقم آخر به دست آوردیم: میلیونم 10، صد هزارم 9، ده هزارم 2. برای وضوح و راحتی بیشتر (برای فراموش نشدن)، این اعداد بالای ارقام کسری مربوطه نوشته می شوند. حالا می توانید شروع به تفریق کنید. از 10 میلیونیم، 2 میلیونیم را کم می کنیم، 8 میلیونیم می گیریم. از 9 صد هزارم 1 صد هزارم را کم می کنیم، 8 صد هزارم می گیریم و غیره.

بنابراین، هنگام تفریق کسرهای اعشاری، ترتیب زیر مشاهده می شود: زیر خط زیر را امضا کنید تا ارقام مشابه زیر یکدیگر قرار گیرند و همه کاماها در یک ستون عمودی قرار گیرند. در سمت راست، حداقل از نظر ذهنی، آنقدر صفر در مینیواند یا فرعی اضافه می‌کنند تا تعداد ارقام یکسانی داشته باشند، سپس با اعداد از سمت راست شروع می‌کنند و در اختلاف حاصل یک کاما می‌گذارند. همان ستون عمودی که در آن در minuend و subtract قرار دارد.

§ 109. ضرب کسرهای اعشاری.

بیایید به چند نمونه از ضرب کسرهای اعشاری نگاه کنیم.

برای یافتن حاصلضرب این اعداد، می‌توانیم به این صورت استدلال کنیم: اگر ضریب ۱۰ برابر شود، هر دو ضریب اعداد صحیح خواهند بود و می‌توانیم آنها را طبق قوانین ضرب اعداد صحیح ضرب کنیم. اما می دانیم که وقتی یکی از عوامل چندین برابر شود، محصول به همان میزان افزایش می یابد. یعنی عددی که از ضرب ضرایب صحیح یعنی 28 در 23 به دست می آید 10 برابر بیشتر از حاصل ضرب واقعی است و برای به دست آوردن حاصل ضرب واقعی باید حاصل ضرب پیدا شده را 10 برابر کاهش داد. بنابراین، در اینجا باید یک بار در 10 ضرب و یک بار بر 10 تقسیم کنید، اما ضرب و تقسیم بر 10 با حرکت دادن نقطه اعشار به راست و چپ در یک مکان انجام می شود. بنابراین، شما باید این کار را انجام دهید: در فاکتور، کاما را به یک مکان مناسب منتقل کنید، این آن را برابر با 23 می کند، سپس باید اعداد صحیح حاصل را ضرب کنید:

این محصول 10 برابر بزرگتر از نمونه واقعی است. بنابراین باید 10 برابر کاهش یابد که برای این کار کاما را یک جا به چپ می بریم. بنابراین، ما دریافت می کنیم

28 2,3 = 64,4.

برای تأیید، می توانید یک کسر اعشاری را با مخرج بنویسید و عمل را طبق قانون ضرب کسرهای معمولی انجام دهید.

2) 12,27 0,021.

تفاوت این مثال با مثال قبلی این است که در اینجا هر دو عامل به صورت کسری اعشاری نشان داده می شوند. اما در اینجا در فرآیند ضرب به کاما توجهی نخواهیم کرد، یعنی ضرب را موقتاً 100 برابر و ضریب را 1000 برابر می کنیم که حاصل ضرب را 100000 برابر می کنیم. بنابراین، با ضرب 1227 در 21، به دست می آید:

1 227 21 = 25 767.

با توجه به اینکه محصول به دست آمده 100000 برابر بزرگتر از محصول واقعی است، اکنون باید با قرار دادن صحیح کاما آن را 100000 بار کاهش دهیم، سپس دریافت می کنیم:

32,27 0,021 = 0,25767.

بیایید بررسی کنیم:

بنابراین، برای ضرب دو کسر اعشاری، کافی است بدون توجه به کاما، آنها را به صورت اعداد کامل ضرب کنیم و در حاصل ضرب به همان تعداد اعشار با کاما در سمت راست جدا کنیم که در ضرب و در ضریب با هم

آخرین مثال منجر به یک محصول با پنج رقم اعشار شد. اگر به چنین دقت بالایی نیاز نباشد، کسر اعشاری گرد می شود. هنگام گرد کردن، باید از همان قاعده ای استفاده کنید که برای اعداد صحیح نشان داده شده است.

§ 110. ضرب با استفاده از جداول.

ضرب اعشار گاهی اوقات با استفاده از جداول قابل انجام است. برای این منظور می توانید به عنوان مثال از آن جداول ضرب برای اعداد دو رقمی استفاده کنید که توضیحات آنها قبلا داده شد.

1) 53 را در 1.5 ضرب کنید.

ما 53 را در 15 ضرب می کنیم. در جدول، این حاصل برابر با 795 است. ما حاصلضرب را 53 در 15 یافتیم، اما ضریب دوم ما 10 برابر کوچکتر بود، یعنی حاصل باید 10 برابر کاهش یابد، i.e.

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3 را در 4.7 ضرب کنید.

ابتدا حاصل ضرب 53 در 47 را در جدول می یابیم، 2491 می شود، اما از آنجایی که ضریب و ضریب را در مجموع 100 برابر افزایش دادیم، حاصلضرب 100 برابر بزرگتر از آنچه باید باشد است. بنابراین باید این محصول را 100 برابر کاهش دهیم:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53 را در 7.4 ضرب کنید.

ابتدا محصول 53 در 74 را در جدول می یابیم. 3922 خواهد بود اما از آنجایی که ضریب را 100 برابر و ضریب را 10 برابر کردیم، حاصلضرب 1000 برابر شد. بنابراین اکنون باید آن را 1000 برابر کاهش دهیم:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. تقسیم کسرهای اعشاری.

ما به تقسیم کسرهای اعشاری به این ترتیب نگاه خواهیم کرد:

1. تقسیم کسر اعشاری بر عدد صحیح,

1. یک کسر اعشاری را بر یک عدد کامل تقسیم کنید.

1) 2.46 را بر 2 تقسیم کنید.

ابتدا بر 2 تقسیم کردیم، سپس بر دهم و در نهایت صدم.

2) 32.46 را بر 3 تقسیم کنید.

32,46: 3 = 10,82.

ما 3 ده را بر 3 تقسیم کردیم، سپس شروع به تقسیم 2 واحد بر 3 کردیم. از آنجایی که تعداد واحدهای سود سهام (2) است. کمتر از مقسوم علیه(3)، سپس من مجبور شدم 0 را در ضریب قرار دهم. علاوه بر این، ما 4 دهم را گرفتیم و 24 دهم را بر 3 تقسیم کردیم. در ضریب 8 دهم دریافت کرد و در نهایت 6 صدم را تقسیم کرد.

3) 1.2345 را بر 5 تقسیم کنید.

1,2345: 5 = 0,2469.

در اینجا در ضریب اولین اعداد صحیح صفر است، زیرا یک عدد صحیح بر 5 بخش پذیر نیست.

4) 13.58 را بر 4 تقسیم کنید.

ویژگی این مثال این است که وقتی 9 صدم را در ضریب دریافت کردیم، باقیمانده ای معادل 2 صدم را کشف کردیم، این باقیمانده را به هزارم تقسیم کردیم، 20 هزارم بدست آوردیم و تقسیم را کامل کردیم.

قانون.تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد صحیح مانند تقسیم اعداد صحیح انجام می شود و باقیمانده به کسری اعشاری کوچکتر و کوچکتر تبدیل می شود. تقسیم تا زمانی که باقیمانده صفر شود ادامه می یابد.

2. اعشار را بر اعشار تقسیم کنید.

1) 2.46 را بر 0.2 تقسیم کنید.

ما قبلاً می دانیم که چگونه یک کسر اعشاری را بر یک عدد کامل تقسیم کنیم. بیایید فکر کنیم، آیا می توان این مورد جدید تقسیم را به مورد قبلی تقلیل داد؟ در یک زمان، ما ویژگی قابل توجه یک ضریب را در نظر گرفتیم، که شامل این واقعیت است که وقتی سود تقسیمی و مقسوم‌کننده به طور همزمان به تعداد یکسان افزایش یا کاهش می‌یابند، بدون تغییر باقی می‌ماند. اگر مقسوم علیه یک عدد صحیح بود، به راحتی می توانستیم اعدادی را که به ما داده شده بود تقسیم کنیم. برای این کار کافی است آن را 10 برابر افزایش دهید و برای به دست آوردن ضریب صحیح باید سود سهام را به همان میزان یعنی 10 برابر افزایش دهید. سپس تقسیم این اعداد با تقسیم اعداد زیر جایگزین می شود:

علاوه بر این، دیگر نیازی به هیچ گونه اصلاحی در جزئیات نخواهد بود.

بیایید این تقسیم را انجام دهیم:

بنابراین 2.46: 0.2 = 12.3.

2) 1.25 را بر 1.6 تقسیم کنید.

مقسوم علیه (1.6) را 10 برابر افزایش می دهیم. به طوری که ضریب تغییر نکند، سود سهام را 10 برابر افزایش می دهیم. 12 عدد صحیح بر 16 بخش پذیر نیستند، پس در ضریب 0 می نویسیم و 125 دهم را بر 16 تقسیم می کنیم، ضریب 7 دهم و بقیه 13 به دست می آید. با اختصاص صفر 13 دهم را به صدم تقسیم می کنیم و 130 صدم را بر 16 تقسیم می کنیم. و غیره لطفا به موارد زیر توجه کنید:

الف) هنگامی که در یک معین اعداد صحیح وجود ندارد، به جای آنها اعداد صحیح صفر نوشته می شود.

ب) هنگامی که پس از جمع رقم سود به باقیمانده، عددی به دست می آید که بر مقسوم علیه تقسیم نمی شود، آنگاه در ضریب صفر نوشته می شود.

ج) هنگامی که پس از حذف آخرین رقم سود تقسیم به پایان نمی رسد، سپس با اضافه کردن صفر به باقی مانده، تقسیم ادامه می یابد.

د) اگر سود سهام یک عدد صحیح باشد، هنگام تقسیم آن بر کسری اعشاری، با افزودن صفر به آن، آن را افزایش می‌دهند.

بنابراین، برای تقسیم یک عدد بر کسری اعشاری، باید کاما را در مقسوم‌گیرنده کنار بگذارید، و سپس با حذف کاما در آن، تقسیم را به اندازه‌ای که تقسیم‌کننده افزایش یافته است، افزایش دهید و سپس تقسیم را طبق قانون انجام دهید. برای تقسیم کسر اعشاری بر یک عدد صحیح

§ 112. ضرایب تقریبی.

در پاراگراف قبل به تقسیم کسرهای اعشاری نگاه کردیم و در تمام مثال هایی که حل کردیم تقسیم کامل شد، یعنی یک ضریب دقیق به دست آمد. با این حال، در بیشتر موارد، مهم نیست که چقدر تقسیم را ادامه دهیم، یک ضریب دقیق به دست نمی آید. در اینجا یکی از این موارد وجود دارد: 53 را بر 101 تقسیم کنید.

ما قبلاً پنج رقم در ضریب دریافت کرده‌ایم، اما تقسیم هنوز به پایان نرسیده است و امیدی نیست که هرگز به پایان برسد، زیرا در بقیه ما شروع به داشتن اعدادی می‌کنیم که قبلاً با آنها مواجه شده‌اند. در ضریب، اعداد نیز تکرار خواهند شد: واضح است که بعد از عدد 7 عدد 5 ظاهر می شود، سپس 2 و غیره بی انتها. در چنین مواردی، تقسیم قطع می شود و به چند رقم اول ضریب محدود می شود. چنین ضریبی نامیده می شود نزدیکانما با مثال هایی نحوه انجام تقسیم را نشان خواهیم داد.

لازم است 25 را بر 3 تقسیم کنیم. بدیهی است که یک ضریب دقیق که به صورت یک عدد صحیح یا یک کسری اعشاری بیان می شود را نمی توان از چنین تقسیمی بدست آورد. بنابراین، ما به دنبال یک ضریب تقریبی خواهیم بود:

25: 3 = 8 و باقیمانده 1

ضریب تقریبی 8 است. البته کمتر از ضریب دقیق است، زیرا یک باقیمانده 1 وجود دارد. برای به دست آوردن ضریب دقیق، باید کسری را که از تقسیم باقی مانده 1 بر 3 به دست می آید به ضریب تقریبی پیدا شده اضافه کنید. ، تا 8; این کسری 1/3 خواهد بود. این بدان معنی است که ضریب دقیق به صورت یک عدد مختلط 8 1/3 بیان می شود. از آنجایی که 1/3 کسر مناسب است، یعنی کسری، کمتر از یک، سپس با دور انداختن آن اجازه خواهیم داد خطا، که کمتر از یک. ضریب 8 خواهد بود ضریب تقریبی تا وحدت با یک نقطه ضعف.اگر به جای 8، 9 را در ضریب بگیریم، خطای کمتر از یک را نیز مجاز می کنیم، زیرا کل واحد را اضافه نمی کنیم، بلکه 2/3 را اضافه می کنیم. چنین اراده خصوصی ضریب تقریبی در یک با بیش از حد.

اکنون مثال دیگری می زنیم. فرض کنید باید 27 را بر 8 تقسیم کنیم. از آنجایی که در اینجا ضریب دقیقی را که به صورت یک عدد صحیح بیان می شود دریافت نمی کنیم، به دنبال یک ضریب تقریبی خواهیم بود:

27: 8 = 3 و باقیمانده 3.

در اینجا خطا برابر با 3/8 است، کمتر از یک است، به این معنی که ضریب تقریبی (3) دقیق به یک با یک نقطه ضعف پیدا شد. بیایید تقسیم را ادامه دهیم: 3 باقیمانده را به دهم تقسیم کنید، 30 دهم می گیریم. آنها را بر 8 تقسیم کنید.

در ضریب به جای یک دهم 3 و در بقیه 6 دهم گرفتیم. اگر خودمان را به عدد 3.3 محدود کنیم و 6 باقیمانده را کنار بگذاریم، خطای کمتر از یک دهم را مجاز خواهیم کرد. چرا؟ زیرا ضریب دقیق زمانی بدست می آید که حاصل تقسیم 6 دهم بر 8 را به 3.3 اضافه کنیم. این تقسیم برابر با 6/80 است که کمتر از یک دهم است. (بررسی کنید!) بنابراین، اگر در ضریب خود را به یک دهم محدود کنیم، می توانیم بگوییم که ضریب را پیدا کرده ایم. دقیق به یک دهم(با یک نقطه ضعف).

بیایید تقسیم را ادامه دهیم تا رقم اعشار دیگر را پیدا کنیم. برای این کار، 6 دهم را به صدم تقسیم می کنیم و 60 صدم بدست می آوریم. آنها را بر 8 تقسیم کنید.

در ضریب رتبه سوم 7 و بقیه 4 صدم بود. اگر آنها را دور بیندازیم، خطای کمتر از یک صدم را مجاز می کنیم، زیرا 4 صدم تقسیم بر 8 کمتر از یک صدم است. در چنین مواردی می گویند ضریب پیدا شده است دقیق به یک صدم(با یک نقطه ضعف).

در مثالی که اکنون به آن نگاه می‌کنیم، می‌توانیم ضریب دقیق را به صورت کسری اعشاری بیان کنیم. برای این کار کافی است آخرین باقیمانده یعنی 4 صدم را به هزارم تقسیم کنید و بر 8 تقسیم کنید.

با این حال، در اکثریت قریب به اتفاق موارد، به دست آوردن یک ضریب دقیق غیرممکن است و فرد باید خود را به مقادیر تقریبی آن محدود کند. اکنون به این مثال می پردازیم:

40: 7 = 5,71428571...

نقطه هایی که در انتهای عدد قرار می گیرند نشان می دهد که تقسیم کامل نشده است، یعنی برابری تقریبی است. معمولاً برابری تقریبی به صورت زیر نوشته می شود:

40: 7 = 5,71428571.

ضریب را با هشت رقم اعشار گرفتیم. اما اگر به چنین دقت بالایی نیاز نیست، می توانید خود را به کل قسمت ضریب، یعنی عدد 5 (به طور دقیق تر 6) محدود کنید. برای دقت بیشتر، می توان یک دهم را در نظر گرفت و ضریب را برابر با 5.7 گرفت. اگر به دلایلی این دقت کافی نیست، می توانید در صدم متوقف شوید و 5.71 و غیره بگیرید. بیایید ضریب های فردی را بنویسیم و آنها را نام ببریم.

اولین ضریب تقریبی دقیق یک 6 است.

دوم » » » تا یک دهم 5.7.

سوم » » » تا یک صدم 5.71.

چهارم » » » تا یک هزارم 5.714.

بنابراین، برای یافتن یک ضریب تقریبی دقیق به برخی، به عنوان مثال، رقم سوم اعشار (یعنی تا یک هزارم)، به محض یافتن این علامت، تقسیم را متوقف کنید. در این مورد، باید قاعده مندرج در § 40 را به خاطر بسپارید.

§ 113. ساده ترین مسائل مربوط به درصد.

پس از یادگیری اعداد اعشاری، چند درصد مشکل دیگر را انجام خواهیم داد.

این مشکلات مشابه مسائلی است که ما در بخش فراکسیون حل کردیم. اما اکنون صدم ها را به صورت کسری اعشاری می نویسیم، یعنی بدون مخرج مشخص.

اول از همه، شما باید بتوانید به راحتی از کسری معمولی به اعشاری با مخرج 100 حرکت کنید. برای این کار، باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید:

جدول زیر نشان می دهد که چگونه یک عدد با نماد % (درصد) با کسری اعشاری با مخرج 100 جایگزین می شود:

اکنون چند مشکل را در نظر می گیریم.

1. یافتن درصد یک عدد معین.

وظیفه 1.تنها 1600 نفر در یک روستا زندگی می کنند. تعداد فرزندان سن مدرسه 25 درصد از کل ساکنان را تشکیل می دهد. چند کودک در سن مدرسه در این روستا وجود دارد؟

در این مسئله باید 25% یا 0.25 از 1600 را پیدا کنید.

1600 0.25 = 400 (کودکان).

بنابراین، 25 درصد از 1600، 400 است.

برای درک واضح این وظیفه، یادآوری این نکته مفید است که به ازای هر صد نفر از جمعیت، 25 کودک در سن مدرسه وجود دارد. بنابراین، برای یافتن تعداد تمام کودکان در سن مدرسه، ابتدا می توانید دریابید که تعداد صدها عدد 1600 (16) وجود دارد و سپس عدد 25 را در تعداد صدها ضرب کنید (25 x 16 = 400). از این طریق می توانید اعتبار راه حل را بررسی کنید.

وظیفه 2.بانک های پس انداز سالانه 2 درصد بازدهی را به سپرده گذاران ارائه می دهند. اگر سپرده گذار در صندوق پول بگذارد، در سال چقدر درآمد دریافت می کند: الف) 200 روبل؟ ب) 500 روبل؟ ج) 750 روبل؟ د) 1000 روبل.؟

در هر چهار مورد، برای حل مشکل باید 0.02 از مقادیر مشخص شده را محاسبه کنید، یعنی هر یک از این اعداد باید در 0.02 ضرب شوند. بیایید آن را انجام دهیم:

الف) 200 0.02 = 4 (مالش)،

ب) 500 0.02 = 10 (مالش)،

ج) 750 0.02 = 15 (مالش)،

د) 1000 0.02 = 20 (مالش).

هر یک از این موارد را می توان با ملاحظات زیر تأیید کرد. بانک های پس انداز به سرمایه گذاران 2% درآمد می دهند، یعنی 0.02 از مبلغ سپرده گذاری شده در پس انداز. اگر مبلغ 100 روبل بود، 0.02 از آن 2 روبل خواهد بود. این بدان معنی است که هر صد 2 روبل برای سرمایه گذار به ارمغان می آورد. درآمد. بنابراین، در هر یک از موارد در نظر گرفته شده، کافی است بفهمیم که در یک عدد معین چند صد وجود دارد و 2 روبل را در این تعداد صدها ضرب کنیم. در مثال الف) 2 صد وجود دارد که به این معنی است

2 2 = 4 (مالش).

در مثال د) 10 صد وجود دارد که به این معنی است

2 10 = 20 (مالش).

2. یافتن یک عدد با درصد آن.

وظیفه 1.این مدرسه 54 دانش آموز را در بهار فارغ التحصیل کرد که 6 درصد از کل ثبت نام کنندگان آن را تشکیل می دهد. سال گذشته چند دانش آموز در مدرسه حضور داشتند؟ سال تحصیلی?

اجازه دهید ابتدا معنای این کار را روشن کنیم. این مدرسه 54 دانش آموز فارغ التحصیل کرد که 6 درصد کل دانش آموزان یا به عبارتی 6 صدم (0.06) کل دانش آموزان مدرسه است. این بدان معنی است که بخشی از دانش آموزان را که با عدد (54) و کسری (0.06) بیان می شود می دانیم و از این کسر باید کل عدد را پیدا کنیم. بنابراین، قبل از ما کار معمولیبرای پیدا کردن یک عدد از کسر آن (§90 p.6). مشکلات این نوع با تقسیم حل می شود:

یعنی فقط 900 دانش آموز در مدرسه بودند.

بررسی چنین مسائلی با حل مسئله معکوس مفید است، یعنی پس از حل مسئله، باید حداقل در ذهن خود، یک مسئله از نوع اول را حل کنید (درصد یک عدد معین): عدد پیدا شده را بگیرید ( 900) همانطور که داده شده است و درصد آن را که در مسئله حل شده نشان داده شده است بیابید، یعنی:

900 0,06 = 54.

وظیفه 2.خانواده در طول ماه 780 روبل برای غذا خرج می کنند که 65 درصد درآمد ماهانه پدر است. درآمد ماهانه او را مشخص کنید.

این وظیفه همان معنای قبلی را دارد. بخشی از درآمد ماهانه را به روبل (780 روبل) نشان می دهد و نشان می دهد که این بخش 65٪ یا 0.65 از کل درآمد است. و آنچه شما به دنبال آن هستید تمام درآمد است:

780: 0,65 = 1 200.

بنابراین، درآمد مورد نیاز 1200 روبل است.

3. یافتن درصد اعداد.

وظیفه 1.که در کتابخانه ی مدرسهفقط 6000 کتاب در میان آنها 1200 کتاب در زمینه ریاضیات وجود دارد. چند درصد از کتاب های ریاضی، تعداد کل کتاب های کتابخانه را تشکیل می دهند؟

ما قبلاً (§97) مسائلی از این دست را در نظر گرفتیم و به این نتیجه رسیدیم که برای محاسبه درصد دو عدد، باید نسبت این اعداد را پیدا کرده و در 100 ضرب کنیم.

در مسئله ما باید نسبت درصد اعداد 1200 و 6000 را پیدا کنیم.

بیایید ابتدا نسبت آنها را پیدا کنیم و سپس آن را در 100 ضرب کنیم:

به این ترتیب درصد اعداد 1200 و 6000 برابر با 20 است به عبارت دیگر کتاب های ریاضی 20 درصد از تعداد کل کتاب ها را تشکیل می دهند.

برای بررسی، بیایید مشکل معکوس را حل کنیم: 20٪ از 6000 را پیدا کنید:

6 000 0,2 = 1 200.

وظیفه 2.این کارخانه باید 200 تن زغال سنگ دریافت کند. تاکنون 80 تن زغال سنگ به کارخانه تحویل داده شده است؟

این مسئله می پرسد که چند درصد یک عدد (80) از عدد دیگر (200) است. نسبت این اعداد 80/200 خواهد بود. بیایید آن را در 100 ضرب کنیم:

یعنی 40 درصد زغال سنگ تحویل داده شده است.